- Email: [email protected]
Phenomenes galvanomagnetiques non lineaires en limite quantique
J. Phw. Chem. Sdidr.
1972. Vol. 33, pp. 379-390.
Pergamon Press.
Printed in Great Britain
PHENOMENES GALVANOMAGNETIQUES NON LINEAIRES EN LIMITE QUANTIQUE D. CALECKI Groupe
de Physique
des Solides 9. quai
de I’Ecole St-Bernard-
Normale Paris
CReceiced4 Rckumt?-Nous loi d’Ohm dans limite quantique. AbstractWe ated, electron electron-phonon
March
Faculte
des Sciences,
197 I )
exposons les resultats theoriques concernant les faibles deviations par un gaz d’ilectrons non degenere. soumis a une forte induction magnetique. Trois types d’interaction electrons-phonons ont ete envisages. present theoretical results on small gas submitted to strong magnetic interactions have been considered.
deviations from field. in extreme
1. INTRODUCTION
DANS un article antCrieur[l]. nous avons expose une theorie generale des phenomenes galvanomagnetiques non lineaires en champs electrique et magnetique croises. Nous avons pu obtenir des expressions dormant,- dans la limite classique ou les conditions w,r s 1 et ho, < AT. sont remplies - les variations avec la temperature T et l’induction magnetique B du coefficient p caracterisant les premieres deviations par rapport a la loi d’Ohm du coefficient css du tenseur de conductivite Clectrique. Nous exposons dans ce qui suit les resultats concernant p dans la limite quantique oh W,T s I et ho, % AT. Nous envisagerons les trois types d’interaction deja etudies dans[ I]: interaction Clectrons-phonons acoustiques traitee a I-aide du potentiel de deformation d’une part et du couplage piezo-electrique d’autre part; interaction electrons-phonons optiques. 2. EXPRESSION DE COURANT
SupCrieure.* Se, France
GENERALE EN LIMITE
Ohm’s law of a free. non degenerquantum limit conditions. Three
de transitions qu’entre les etats de ce premier niveau dCgCnCrC. En reprenant les notations de la Ref. [l], la composante (J,) du vecteur densite de courant -produit par le gaz d’electrons independants soumis a I’action simultanee du champ Clectrique E(E.O,O) et de l’induction magnetique B(O.0, B)- s’ecrit, en limite quantique: (cf. les formules (3. I ) et (3.2) de la Ref. [ 11) (Jz(T0.T))
=x+ R x [N,(T,,. w,)-
A’,(T.
w,*,l.S,,(q (1
avec: S,(q
La definition de calculer:
DE LA DENSITE QUANTIQUE
rapport a la en extreme
g&kale
de y :$U.kI:,,,.l:.~1permet
Nous supposons que I’intensite
de I’inducClevee pour Ies electrons se repartissent dans le de Landau le plus bas et n’effectuent
tion
magrktique
que
tous
niveau
*Laboratoire
est
associe
suffisamment
au C. N.
Les differents
R. S. 379
facteurs 6 permettent
de sim-
380
D.CALECKl
plifier I’expression forme:
de ( jr( TO. T))
sous la
peu de la temperature T,, du reseau. c’est a dire dans la region dite des electrons tildes. Auparavant. il nous faut Ctablir le lien entre T et To. 3. RELATION GENERALE ENTRE EN LIMITE QUANTIQUE
x [NJ To. w,) - A’,( T. ~31
x [f(E) --f(E + hw:)l
(4)
T ET To
Nous avons vu dans [I] que la relation entre
T et To decoule de celle traduisant l’egalite
avec
entre dune part la puissance cedee par le champ Clectrique aux electrons et d’autre part la puissance cCdCe par les electrons aux phonons. Dans la limite quantique, nous pouvons Ccrire:
et
C tiw:[N,(To. co,)-A’JT. a~;;*,] S,(q) Cl
Nous nous placons exclusivement dans le cas ou le gaz d’electrons est non degenere. Alors la condition ---,$//CT %=I est supposee remplie et l’on peut remplacer j‘(e) par exp - (E - e/kT ) . En transformant la sommation sur 4 en une integrale &endue 21la premiere zone de Brillouin supposee spherique de rayon (I,,,~~et en introduisant la densite Clectronique n reliee a I’energie de Fermi 5, nous obtenons: T))
=
(2~)5/2~~(~T)l/Z
oh So(q) est don& par (2). si bien que la relation qui determine T en fonction de T,, et de E devient:
4. RESULTATS CONCERNANT ELECTRONS-PHONONS x
e-&(t+2)
e-&,%‘+4r’)
(8)
Cette integrale est t&s voisine de celle figurant dans (6) et les techniques de calcul vont etre tres semblables.
n m112 (Jr(To’
= 0
r
(6)
Rappelons que, outre les hypotheses generales formulCes dans[ l] pour obtenir I’expression de ( Js), seule la condition sur la limite quantique a CtC invoquee pour aboutir a I’expression (6). Nous devons ensuite Cvaluer ( .I,( To,T )) pour differentes valeurs de [C(q) I2 caracterisant les differents couplages electrons-phonons en nous placant dans le cas oti la temperature Clectronique T differe
LE COUPLAGE ACOUSTIQUES
Toutes les conditions de la Section 3(b) de la Ref. [l] sont supposees a nouveau satisfaites; nous reprenons les memes notations. si bien que:
D’“’ 4
pour le couplage par potentie1 de deformation (P.D.) pour le couplage Clectrique (C.P.).
Les integrales
intervenant
piezo-
dans (6) et (9)
PHENOMENES
GALVANOMAGNETIQUES
s’evaluent en passant en coordonnees spheriques (Fig. l), puis en definissant les nouvelles variables t et u par: gq=f
381
tcosx [ ---4Y
x i exp-
2
y
cos x -expr$expt0 [ 4Y +Y ( 1 +:usinx 7.
111
etsin$=u.
(11)
cos x Nous introduisons a2 = r kT
y2 4hw,
)I
cos x ( 1 +u+sinx
de plus les coefficients:
avec y = s = s VT
Id
auxquels sont automatiquement coefficients
%
(lOa)
associes les
avec p = 1 dans le cas du couplage piezoelectrique (C.P.), p = 3 dans le cas du potentiel de deformation (P.D.). Notons que dans (1 I), 1~1 et lcosxI =Z 1. Par consequent, si la condition
Q”2 = - lkT,
(12)
I%* 475%
avec y0 = s
= s
vT,,
Nous obtenons pour ( Jr) : 2,, ,,,“2D’P (Jr) = (2?T)5/2hB(kT)I/2
(lob)
est remplie, le terms (V,/s)u sinx est toujours petit devant 1 dans les facteurs exp ’ [k12. I1 est done logique de developper ces facteurs par rapport a cette perturbation. L’integration par rapport a la variable u des premiers termes du developpement ne presente pas de difficulte: dans le resultat obtenu, effectuons le changement de variable:
w = y2/cos2 x. e-f~‘sin2 x12 X er(T/T,,l _ 1
!I( 1 - !12)-1’2
Nous aboutissons alors en se limitant termes en ( Vo2/s2) B:
aux
,, ml/2D’“’
(Jr) = 4(2n)3’2hB(kT)1’2 B/T
X
I o dt I’ eerrZ1’IrnY=dw e
ef/2 +
-
ef/2 -
1. Choix
des axes.
w)
e-t/2+f(T/To)
e --N2+wr'Td
el(T/Ts)
Fig.
-(Z’t+
-
[4
( 1 -6)
K+
1
x (3W-$-2W2)
(l-6’]]
(13)
382
D. CALECKI
ou now avow defini le coefficient b’=
,L!c
( 14a)
hw,’
auquel nous associons automatiquement (14b) Notons que dans la limite quantique oti hw, 4 kT. b’ reste toujours voisin de I’unite et que I’on a de toute facon: b’+l6a”y”=b,‘+16c(,“y,‘=
1.
(15)
En procedant de faGon tout a fait analogue a partir de la relation (9). entre T et T,,, on obtient en se limitant a I’ordre deux en I’,,‘/.?
ef/Z +
e-f/Z+ftT/Too,
c/,2
(16)
Nous pouvons preciser ensore mieux les limites dans le cas ou T2/B G I. En effet. comme il est difficile de creer des inducations magnetiques superieures a SOWb/m’, on constate que T devra toujours etre inferieur a 10°K. Ceci implique que. dans ce cas. la borne superieure O/T des integrales par rapport a t dans ( 13) et ( 16) soit toujours superieure a IO puisque les temperatures de Debye ne descendent qu’exceptionnellement audessous de 100°K dans les semiconducteurs. (a) Et//de d/r premier MS: (I? s I Nous venons de voir que ceci se produit dans la limite des hautes temperatures et pour des inductions magnetiques juste suffisantes pour atteindre la limite quantique. De plus, comme kT/hw, << 1 (limite quantique), le coefficient y2 satisfait toujours la relation y 4 I. Considerons dans ( 13) ou (16) I’integrale par rapport a t. Le facteur e-““’ decroit tres rapidement avec t puisque ~1~% I. II est facile de s-assurer que seules les valeurs de t inferieures ou voisines de ~1~~(e I) vont contribuer aux integrales. Nous pouvons done remplacer d’une part la borne superieure O/T + ue2 par I’infini et d’autre part developper les facteurs: ef,’
Pour obtenir des resultats simples a partir des expressions ( 13) ou ( I6), il faut distinguer entre deux cas limite selon la valeur du parametre u. Envisageons les deux possibilites u’ + I ou nB 6 I. Remarquons sur le champ que d’apres ( IO). c2 s’ecrit sous la forme: a? _
Ii2 T’ 2hs”e B ’
Comme la vitesse du son s varie peu d’un solide a I’autre. profitons-en pour choisir s = 5. IV m/s. Dans ces conditions (k’/ Ztrs2e) est voisin de 5. 10-l MKSA. Les conditions sur (l’se traduisent done par: T’IB % I
ou
T”/B < 1
(B en Wb/m’).
k
e-f/“+ffT/Tu)
eflT/Tol
_
1
au voisinage de t = 0. En pratique, il suffit de conserver le premier terme du developpement, les corrections apportees par les suivants &ant d’ordre egal ou superieur a a-’ (G I ). Le detail des calculs est reporte dans I’annexe I. Nous obtenons finalement les resultats suivants:
kl=2yl-Log(;y;,,J
(J,(T,,.T))= (J,)“’
(17)
PHENOMENES
383
GALVANOMAGNETlQUES
contenues
dans le terme Log (4a,,/(dC ) Par consequent, p (ou T) doit peu varier avec T,. Par un raisonnement analogue. on constate que la variation de p avec I’induction magnetique est voisine dune loi en B-“. II est remarquable que, en dehors du fait
OS(T,‘/B).
avec Log C = Constante d’Euler = 0.577 2,7 18 dans le cas du P.D. et d= 1 dans le cas du C.P. (.I,)“’ est la composante de la densite de courant lineaire par rapport au champ Alectrique dont I’expression s’ecrit:
que
d =
2,718
&
1 selbn
que
le couplag
est
du type P.D. ou C.P.. les coefficients /3 soient pratiquement les m&mes pour les deux types
(1%) e ,, ,nl12D”’ Log%? E (2~))3/2h2.~(/iTI,)1/2 _L B Le resultat ( 19a) est identique a celui que I’on peut trouver dans la Ref. [2]. La formule (I9b) diffire de l’expression Cquivalente de [2] par I’absence du facteur numerique 2,7 18 devant C dans Log 4rr,jCri’. Remarquons que les dependances de ( Js)(” avec B et T,, sont de la forme: T,-1”
Log
T,,-““B-I
(,.‘f’T,,B-“2)
dans le P.D.
Log (PT,,B-I’?)
dans le C. P.
En reportant ( 17) dans ( 18). et, comme il se doit pour les phenomenes d’electrons tildes. en ne retenant que les terms en V,j’/s’. nous obtenons: ( Jx) = (J,)“‘(
1 +PE’)
avec
+ Les variations
d’interaction electrons-phonons envisages ici.
4(2n-)“‘2fiB(kT)“2 (cf.
( 19b) acoustiques
(b) Etude du second cas: a” 4 1 Dans ce cas T < 10°K et B/T > 10. Par ailleurs, le coefficient b peut sans probleme &tre assimile a I’unite car kTlhw, < I. Nous admettrons encore que le coefficient y” reste petit devant 1: ceci est d’autant plus vrai que la masse effective des electrons est plus faible. Toutefois la condition y” < 1 peut parfois ne pas &tre realisee; les calculs sont encore possibles au prix de quelques complications que nous n’envisagerons pas ici. Si nous admettons que -yZG 1, les terms en p/W contenus dans les facteurs (1 -r’/ W) et ( I- y’/ W )’ intervenant dans l’expression (13) de (J,) conduisent a des termes correctifs d’ordre Cgal ou superieur a y’. De m&me. dans (I 3). on peut remplacer par zero la borne inferieure. y’, de I’integrale par rapport a W; cette operation revient a nouveau a negliger des terms d’ordre y2. Dans ces conditions (J,) s’ecrit: ,, ml12D’“’
Log
de p (cf. (20)) ou de T/T,
pour le C. P.
X
dt t,,+l e-rrV 0
384
D.
CALECKI
Un calcul intervenant
( ))I
+3K2 ;
ef/2_ e-fla+ftT/T”u, K f ef(T/Ttl)_ ] [ 0 x(Ks(;)-3K,
Va’t’
(+))j,,
‘*
64
ou nous avons introduit les fonctions Bessel modifiees de second espece K,(z)
(21) de
= K-,,(m) =$]‘dxx”-le<(‘+t) 0
(16) entre T et To
De m&me, la relation devient: BIT o=
t”
e-f/2
( I) qu’elles sont pratiquement independantes de e/T,,d&s que e/To > 10. (2) que le crochet [ ] intervenant dans (23) varie dans de faibles limites inferieures ou de l’ordre de l’unite quand CI”* passe de IO-’ a 10d3 (cf. Fig. 2). Par consequent, tant que V,*/s* + I, les deux temperatures T et To sont tres voisines comme prevu. L’expression finale de (.I=) est d’ecriture compliquee et figure en annexe. Ici encore, nous avons utilise un ordinateur pour calculer certaines integrales, ce qui nous permet de dire que: (24)
+ f(T/Td
I
oh $~(“)(a~~) est une fonction dont les variations avec uo2 sont lentes et representees sur la Fig. 3. tandis que ( Jz)(‘) est la composante lineaire par rapport au champ Clectrique de la densite de courant:
it$(Ko(;)-$K;;$; ef/2 _
des integrales
montre:
e-ozf~
I
+
(23)
(.I,) = (J,)“‘[l+~~‘J~)(~02)]
ef/2 + dt
sur ordinateur
dans
ef/!2+ffT/Ts)
ef/2 -
4Ko ; -5
1
(
0
Nous poursuivons en notant que, dans les faibles deviations par rapport a la loi d’Ohm, la temperature Clectronique T differe peu de To. Nous pouvons done developper les facteurs: ef/Z +
e-f/2+ffT/To’
effT/To)
_
1
par rapport a (1 - T/T,). L’analyse detaillee des calculs est repartee dans 1’Annexe 2. La relation ( 16) entre T et Tos’analyse de la m&me faGon que (J,) et conduit au resultat suivant:
f+!$ 0
I * -;
X
CVT,, & t~+l~--nt,=f2 0
--&K.
f. 0 (25)
L’integrale ne depend pratiquement pas de e/To suppose > IO et varie avec uo2 relativement lentement, comme indique sur la Fig. 4. Les deviations par rapport a la loi d’Ohm sont done caracterisees par le coefficient
qui, si l’on neglige les variations de @‘(uo2) avec B, d’ecroit comme Be2 avec l’induction
(23)
PHENOMENES
GALVANOMAGNETIQUES
385
Fig. 2. Cas des phonons acoustiques; limite uO* Q 1: variations du facteur multiplicatif de V,*/2s* dans I’expression de (T/T,) - 1. Fig. 4. Cas des phonons acoustiques; limite a, -e 1: integrale intervenant dans I’expression de la composante liniaire (J,) [ 11. 5. RESULTATS CONCERNANT ELECTRONS-PHONONS
Nous choisissons dans [l] oti wq = C@ et
LE COUPLAGE OPTIQUES
le modele
deja utilise
]C(q) I2 = D”)/q2
et ou IYn’ est lie a w, et aux constantes ditlectriques l s et E, a frequence nulle et infinie par:
I 10-1
I 5110-'
I 10-z
/ 5x10-2
I 10-1
02
Fig. 3. Cas des phonons acoustiques; limite a,,* a 1: variations du facteur +(P)(ao2) intervenant dans l’expression de (J,).
magnetique, et qui varie lentement et de facon monotone decroissante quand la temperature contenue dans cro2croit. Notons que 4(P) varie beaucoup moins avec a,,* pour le couplage piezo-Clectrique que pour le couplage par potentiel de deformation.
Notons d&s maintenant que la condition w, 4 w, est de rigueur dans tout ce qui suit. En effet, nous avons admis depuis le debut des calculs que les electrons se trouvent dans le niveau de Landau le plus bas, n = 0, et qu’ils ne peuvent effectuer de transitions qu’entre des &tats de nombres quantiques k,, k, differents. Ceci n’a de sens que si l’energie hw, des phonons optiques est faible devant l’energie fiw, separant deux niveaux de Landau successifs. Nous Cvaluons l’integrale intervenant dans
386
D. CALECKI
l’expression (6) de (J,(*T, TO)) en passant en coordonnees cylindriques et nous posons: 42 =
2mo,1’2x1,* ( h ) . qr”+qr*=*f,
la condition
sera satisfaite
v,, e 2.
2nm
(29)
4max
sin II, = II. En introduisant les parametres: et (Y,,= hw,/2kTo, nous obtenons:
t vaut hq~,,lhw,. quand
II sera alors possible de developper {. . .} par rapport a la perturbation
(Y= h,/2kT
w 2mV” LLt
( WY
le terme
112 1,
)
f%
qui est lineaire par rapport au champ Clectrique. II faut noter que la condition (29) est surement trop severe. car elle a CtC obtenue en remplacant, dans (29). t par sa valeur maximum. En fait, ce sont surtout les valeurs de I voisines de hw,/kT qui vont contribuer a I’integrale et la condition (39) peut saris doute etre remplacee par celle moins draconienne: (30)
En developpant done le terms {. .} jusqu‘au troisieme ordre par rapport a la perturbation, les integrales par rapport a 11 apparaissant dans (36) et (27) ne presentent plus de difficulte et conduisent, pour (J,(T. T,,)) par exemple a: En procedant de meme a partir de la relation (9) entre T et To, nous obtenons:
x I,‘ch(a - a,,)- /,‘sh(a - a”) t I v,‘w, 4 vg w, x [~31.,‘-(Yl,~-3~/:~‘)c./z((Y-Lyo) -(3/:,“-3af**-al,“)sk(cy-Lu,,]
ou le terms {* . .} est identique a celui rencontre dans (26). Placons-nous dans le cas ou ($$t)“*lrrl
-=s I.
(28)
Comme (u( G I. et que la valeur maximum de
oh les 1: representent 1; =
hpb., 2mo-dx I0
I (31)
les integrdles
e-n,2cs+l,r,
xi
X I
fw:,.
wy
2mw,
Wrxdt
I,
fj e-f
t+ (wh-).
(32)
PHENOMENES
En procedant de meme sur l’equation qui relie T a T,, now obtenons: rh(a-a,,)
= $zaf2;;?
GALVANOMAGNETIQUES
(27)
(33)
Nous avons report6 dans I’annexe (3) l’etude des integrales 1:. Notons qu’elles doivent etre Cvaluees dans la limite oh WJW, e I pour les raisons invoquees au debut de ce paragraphe. Dans la limite ou la temperature electronique T reste voisine de T,,, on peut assimiler rh(cr - a,) a ((u-a,) et deduire de (33), compte tenu des resultats de I’annexe 3 sur les I:, que: 0” WCaoK, (a”) - Ko(ao) co .
(34)
387
1 --1 w, 1 et P = jj5 j/go oq [ Log (bo4CaJ x aoK* (a01 - Ko(cuo) ---3 ( 2ao Ko(boao)
+7(5++y+)].
2K, (a01 Ko(ao) >
0 a0
L’expression (36) de ( JZ)(*) est en accord avec celle de la Ref. [3]. Le coefficient p est particulierement complique. Ses variations avec I’induction magnetique sont sensiblement en B-l; celles avec la temperature sont plus complexes. 6. CONCLUSIONS
Nous avons Ctabli les lois de variation du coefficient /3 caracterisant les faibles deviations par rapport a la loi d’Ohm en extreme II est facile de verifier que le facteur: limite quantique quand les conditions: -.$/kT, %=1, Aw, S kT,, W,T 9 1 sont realisees. aoK* (a”) - Ko(ao) Dans le cas oti les electrons interagissent a,K, (ao) Log c p avec les phonons acoustiques, la gamme des OWC champs Clectriques qui correspond au pheest tqujours de I’ordre de, ou inferieur a nomene d’electrons tildes est, comme en I’unite d&s que (Y” > 0,l. De plus, il passe de limite classique, definie par la condition valeurs negatives a positives quand a0 croit yo2/s2 4 1. Pour les deux types de couplages et s’annule pour cr, = 3. Par consequent, par potentiel de deformation ou par effet quand la condition (V,2iV,‘)(o,/w,) 4 I est piezoelectrique (I) La temperature Clectronique T est verifiee. la temperature Clectronique reste toujours superieure a la temperature du reseau tres voisine de la temperature de reseau. Quand To varie, T peut lui etre superieur ou To. Elle varie, en premiere approximation, inferieur. Les variation de T/To- 1 avec comme Bm2 avec I’induction magnetique et I’induction magnetique sont sensiblement t&s lentement avec To. en B-‘. (2) Le coefficient /3 est toujours positif et varie avec B et To sensiblement de la m&me En revenant a I’expression (3 I) de (J,(T, T,,)) et en y reportant le resultat (34) et ceux facon que T. de I’annexe 3 sur les 1:. nous obtenons I’exCes resultats sont valables quelle que soit pression finale de la densite de courant valable la temperature, tant que les conditions &rites juste ci-dessus sont re’alisees. Dans le cas des a I’ordre trois en champ electrique: hautes temperatures, le coefficient /3 est pratiquement le meme pour les deux coup(J,) = (J,)“‘( 1 +PE’) lages. Par contre, a basse temperature p est avec sensiblement plus petit pour le couplage pi&o que pour le couplage par potentiel de deformation; de plus, il est beaucoup moins sensible aoKo(cro) Log0
bow,
388
D.
CALECKI
aux variations de TO dans le couplage pitzoClectrique que dans I’autre: Les resultats sont plus compliques pour le couplage avec les phonons optiques. Dans le cas oh wp/w, 4 I. la gamme des champs Clectriques correspondant au phenomene d’electrons tildes est fix&e par I’inegalite (V,‘/V~)(w,/w,) e 1. La temperature Clectronique peut etre superieure ou inferieure a la temperature des phonons. Le coefficient p varie sensiblement comme B-’ avec I’induction magnetique tandis que la temperature intervient de facon beaucoup plus complexe. REFERENCES CALECKI D..J. Phvs. Chem.Solids32. 1553(1971): 32, 1835(1971). KUBO R.. MIYAKE S. J.. HASHITSUME N., Solid State Physics. Vol. 17 Academic Press, New York (1965). GUREVICH V. L. and FIRSON YU. A., So&-r Phys. JETP 13. I37 ( I96 I ).
ANNEXE En utilisant des rapports:
1
le developpement
au
voisinage
de I = 0
eot f e-02+r~T,rur ennr”l - 1 I’expression
(4.13)
de la densite
de courant,
(I) (J,)
d t t:’ e-r,W
A, =
X
I
I:,,,,&,+($+F
-
W’
y’&+,e-“‘~
W’
II
!I[
dr p e -(d&P
xJ;
(4)
Nous avons fait ainsi apparaitre a la lere ligne de (4) les fonctions de Bessel modifiees de seconde espece: K,(a)
= K-,,(a)
= 1 I,’
d.rs”-’
e-f(.“k)
(5)
De plus. a la Xme ligne. comme 0 s W G y*. le facteur e-‘r peut itre remplace par I. ce qui revient a negliger des termes correctifs d’ordre egal ou superieur a y*. Par consequent A, devient: I
A,=2
( iI 71 Ii w-y2
,,t 13 e-““’
[
I 0 --
2
K,) $ 0
dW
0
-yl
W’
2 K,
(a’+
;
I (h’,,(jW))’
(6)
Dans la premiere integrale en t, toujours a cause du facteur e-“*r2 decroissant tres rapidement avec t. et du fait que les fonctions de Bessel K,,(bt/Z) dtcroissent avec t. la contribution essentielle de la fonction a integrer provient des valeurs de r voisines de zero. Nous developpons done K,(bt/Z) et K,(bt/Z) au voisinage de t = 0 et ne conservons que le premier terme du developpement; les autres termes produiront des corrections d’ordre superieur ou Cgal au-*. Au voisinage de ( = 0
devient:
K, avec
Log
(
$
=-Log$t
)
C = constante
d’Euler K”
& ‘2 (
Finalement,
en utilisant
=I. 1
le resultat
bt
connu:
I d.r e-’
I 0 et la relation Un grand nombre d’inttgrales doubles aparaissent dans (2) que nous allons evaluer de facon approchee. en tenant compte des deux conditions: 9 & I et a* 9 I. Nous allons en evaluer explicitement deux typiques. toutes les autres se calculant de la m&me fa9on ou plus simplement. (a) Soit. dans le cas du couplage par potentiel de deformation ou p = 3, I’integrale:
A,=I 0ILd t t3e-nzF Elle se decompose
en:
entre
a, b et y: b2+
A, = -$&[l
2.718.
16a2y2 = I on obtient:
+CS(y-*,a-‘,a2y’)].
(7)
Remarquons que nous aurions obtenu le mime resultat en faisant 3 = 0 et b = I darts (3). (b) Nous passons maintenant au cas du couplage piezoelectrique oh p = 1, et nous calculons I’integrale du type: Dj
dW e<(%+~k-$f,
d=
x Log x = - Logs
(3)
dt t e-oZtl
A; = I 0 En
proctdant
3 dW ,-;t&+f)~,
(8)
I 7comme
pour
A,,
nous
obtenons
dans
un
PHENOMENES premier
GALVANOMAGNETIQUES
temps.
389
ture electronique T differe peu de la temperature des phonons T,,. Nous pouvons done developper ces rapports par rapport a ( I - T/T,,). Nous obtenons:
I* X
e-t’
dW e-r’
I0
(9)
W(l6n’W+b*)’
e”l + e-t12+tw1rd ennn - , et,’
=2&[,+(*-;);=+...I
(I)
-e-r,2+rmror elmrd
_
,
=-g$(l-~)[l+(,-~);
Nous constatons alors que les deux integrales qui restent dans (9) divergent, alors que A; est une integrale convergente. La somme algtbrique des deux integrales divergentes est done convergente. Nous remarquons alors que:
Yl
dW e-“’ -
Ces developpements
w-y’
n’ont
=&Log&-y’
W(l6n’W+b’)
I 0
(2)
I-1 (
‘1
dr’
X f 0
Par consequent:
Darts I‘intervalle (0. y?). puisque y’ a I : la premiere ditliculte: ii reste:
em” est assimilable integrale se calcule
a I’unite alors sans
de sens que si le terme le’+l 7, ) 2e’-I
reste petit devant I pour toutes les valeurs de I’intervalle d’integrdtion [O. 0/T] qui intervient dans (4.2 I) ou (4.22). Or ceci peut ne pas se produire dans la limite basses temperatures quand I atteint la borne superieure O/T. II faut toutefois noter que les fonctions a integrer passent toutes par un maximum se produisant pour des valeurs de I voisines de quelques unites et decroissent ensuite rapidement. Dans ces conditions. ce sont essentiellement les valeurs de I au voisinage de ce maximum qui contribuent aux integrales tandis que les valeurs voisines de 0/T n’interviennent pratiquement pas. Dans ces conditions (4.22) conduit a:
d, ,,I+?e-r,,,W d, ,“+’ e-rrsW La derniere intigrale est toujours lorsque y’ < I. Finalement A;
inferieure
=~Log~~I+~(y~I.ogy’,~i~‘.
Ici encore. remarquons sultat ( 13) en faisant y’ loppements qui precedent degre d’approximation il pour obtenir des resultats
a t-
tr’y’ ) I.
Log
y’)
(13)
que nous aurions obtenu le re= 0 et b = I dans (8). Les deveont eu pour but de voir quel a fallu introduire dans Ies calculs relativement simples.
Le calcul des integrales figurant dans (3) a et.6 fait sur ordinateur. II montre qu’elles sont pratiquement indipendantes de la borne superieure e/T0 dts que 0/T,, > IO et que pour uo2 variant dans de larges limites t IO-” s uUz s IO-‘) le crochet [ ] est toujours inferieur a 1.7. Par consequent tant que la condition V,‘/s’ 4 I est remplie. T reste voisin de T,, comme privu. L’expression (4.2 I ) de (J,( T,,. T )) fait intervenir un grand nombre de termes:
CONCLUSION En effectuant des calculs analogues a ceux des paragraphes (a) et tb) pour chacun des termes de (2) et en regroupant tous les termes, on aboutit finalement a I’expression IJ.IXI de (J,( T,,. T 1). Les calculs concernant la temperature electronique 7 s’etfectuent de la meme facon: nous ne les exposons pas ici: ils conduisent a I’expression (4.17) saris plus de dithculte. ANNEXE Considerons
2
les rapports e,,? 2 e-rr?+rmr~~, elmrd
et utilisons le resultat anticipe gamme de champs electriques
_ * selon lequel pour lesquels
il existe une la tempera-
avec
D. CALECKI
390
En tenant compte de (3). la den&C de courant ( Jz) prend la forme:
oh #“‘(a,,‘) est pratiquement indkpendante de la tempCrature de Debye 0 dbs que 0/T,, > 10. Les variations de r#~“‘(a~*) pour les deux types de couplage ont et6 calculCes B I’ordinateur et sont rephenttes sur la Fig. 3. ANNEXE Etude
des intbgrales
*Comme kT/ho, * I, le paramttre b est toujours voisin de 1. *La borne superieure hq&,,/2mo, peut saris probl&me &re remplacCe par: + m. *Comme fiq2,.,/2mw, > 10 en gCnCral. la seconde inttgrale est nigligeable davant la premihe. *Utilisons la fonction exponentielle integrale. E(y). definie par:
E(Y) = pour rZcrire
I,’ sous la forme:
/i’=2K,-,(a)+~E(~)b’-*K,-,(ha)
3
m ,,,c IY 1
c
lj
Now avons dCfini I,J par: I{
dxx’-’
=
Nous alIons Cvaluer I,’ dans les limites :
$3
c
1,
Remarquons qu’il est exptrimentalement difficile de r& aliser la condition op/oc bien infhieure B 10-l dans les semiconducteurs courants. Notons de plus que a = h,/2kT est une quantitC dont les valeurs descendront peu audessous de I’unitC quand les conditions kT/Ao, d 1 et 0,~ 9 1 sont simultanCment remplies. Par ailleurs, la limite suptrieure fiq~,,/2mw, est toujours trh tlevte. Aussi, pour op = IO’* SK*, m = lO+O kg, et Bmax = 1O’Om-‘, on obtient hqZm.,/2mo,, = lo”. On en dtduit que fi&,,/2mo, sera aussi nettement suptrieur g 10. Ces ordres de grandeur Ltant not& nous allons analyser ici Ies intC@es du type I,‘, les autres s’evaluant de faGon analogue. En remarquent que t I+ (w,/o,b
,1-s,
,,I = Jo%
x j-o$$&y~
(
2x
1
=-Lo+
Ii’ - ZK,&+~P
+ I- dx’ ,f(~“+f),+l 0
e-%bx+t)
Logx’],
La dernihe inttgrale s’tvalue simplement:
-$&(ab) ~~~~~ = 0
*
-2
quelques trans-
&-ie-$( bx+;)je d$f % Or
ob nous avons posC:
E
dx’ ,%+&-,
dxx-’ e-;(X+;) -e-%
(zX)
Comme E(y) = e-“/y quand y * I et que. pour des valeurs de (Y ne descendant pas au-dessous de 0.1 les fonctions de Bessel K+,(a) et K+,(a) sont du mBme ordre de grandeur pour i = 1.2.3. le second terme de I,’ est nCgligeable devant le premier. Remarquons alors que dans I’intCgrale qui reste, les valeurs de x qui vont contribuer de faGon pr6pond&ante sont celles voisines de I’unitt. Dans ces conditions,
1 WC r+ (o,/w,)x’
I’intbgrale 1,’ se scinde en deux. Aprh formations Cltmentaires, on obtient:
e-ah(hr+h)E
KO(ab)
pouri=
1
pouri= pour i = 3.
L’approximation faite sur E(y) nous a en fait amen6 g nOgliger toute une s&e de termes contenant les puissances successives de W&J,. Dans un but de simplification evident, nous n’tcrirons les rtsultats sur les 1,Jqu’g I’ordre le plus bas par rapport ?I W&J,. Dans ces conditions, nous obtenons: Ii’ = 1: = 2K,-,(a)
et 1,” = 2
Log 2
P
K,(ab)
1972. Vol. 33, pp. 379-390.
Pergamon Press.
Printed in Great Britain
PHENOMENES GALVANOMAGNETIQUES NON LINEAIRES EN LIMITE QUANTIQUE D. CALECKI Groupe
de Physique
des Solides 9. quai
de I’Ecole St-Bernard-
Normale Paris
CReceiced4 Rckumt?-Nous loi d’Ohm dans limite quantique. AbstractWe ated, electron electron-phonon
March
Faculte
des Sciences,
197 I )
exposons les resultats theoriques concernant les faibles deviations par un gaz d’ilectrons non degenere. soumis a une forte induction magnetique. Trois types d’interaction electrons-phonons ont ete envisages. present theoretical results on small gas submitted to strong magnetic interactions have been considered.
deviations from field. in extreme
1. INTRODUCTION
DANS un article antCrieur[l]. nous avons expose une theorie generale des phenomenes galvanomagnetiques non lineaires en champs electrique et magnetique croises. Nous avons pu obtenir des expressions dormant,- dans la limite classique ou les conditions w,r s 1 et ho, < AT. sont remplies - les variations avec la temperature T et l’induction magnetique B du coefficient p caracterisant les premieres deviations par rapport a la loi d’Ohm du coefficient css du tenseur de conductivite Clectrique. Nous exposons dans ce qui suit les resultats concernant p dans la limite quantique oh W,T s I et ho, % AT. Nous envisagerons les trois types d’interaction deja etudies dans[ I]: interaction Clectrons-phonons acoustiques traitee a I-aide du potentiel de deformation d’une part et du couplage piezo-electrique d’autre part; interaction electrons-phonons optiques. 2. EXPRESSION DE COURANT
SupCrieure.* Se, France
GENERALE EN LIMITE
Ohm’s law of a free. non degenerquantum limit conditions. Three
de transitions qu’entre les etats de ce premier niveau dCgCnCrC. En reprenant les notations de la Ref. [l], la composante (J,) du vecteur densite de courant -produit par le gaz d’electrons independants soumis a I’action simultanee du champ Clectrique E(E.O,O) et de l’induction magnetique B(O.0, B)- s’ecrit, en limite quantique: (cf. les formules (3. I ) et (3.2) de la Ref. [ 11) (Jz(T0.T))
=x+ R x [N,(T,,. w,)-
A’,(T.
w,*,l.S,,(q (1
avec: S,(q
La definition de calculer:
DE LA DENSITE QUANTIQUE
rapport a la en extreme
g&kale
de y :$U.kI:,,,.l:.~1permet
Nous supposons que I’intensite
de I’inducClevee pour Ies electrons se repartissent dans le de Landau le plus bas et n’effectuent
tion
magrktique
que
tous
niveau
*Laboratoire
est
associe
suffisamment
au C. N.
Les differents
R. S. 379
facteurs 6 permettent
de sim-
380
D.CALECKl
plifier I’expression forme:
de ( jr( TO. T))
sous la
peu de la temperature T,, du reseau. c’est a dire dans la region dite des electrons tildes. Auparavant. il nous faut Ctablir le lien entre T et To. 3. RELATION GENERALE ENTRE EN LIMITE QUANTIQUE
x [NJ To. w,) - A’,( T. ~31
x [f(E) --f(E + hw:)l
(4)
T ET To
Nous avons vu dans [I] que la relation entre
T et To decoule de celle traduisant l’egalite
avec
entre dune part la puissance cedee par le champ Clectrique aux electrons et d’autre part la puissance cCdCe par les electrons aux phonons. Dans la limite quantique, nous pouvons Ccrire:
et
C tiw:[N,(To. co,)-A’JT. a~;;*,] S,(q) Cl
Nous nous placons exclusivement dans le cas ou le gaz d’electrons est non degenere. Alors la condition ---,$//CT %=I est supposee remplie et l’on peut remplacer j‘(e) par exp - (E - e/kT ) . En transformant la sommation sur 4 en une integrale &endue 21la premiere zone de Brillouin supposee spherique de rayon (I,,,~~et en introduisant la densite Clectronique n reliee a I’energie de Fermi 5, nous obtenons: T))
=
(2~)5/2~~(~T)l/Z
oh So(q) est don& par (2). si bien que la relation qui determine T en fonction de T,, et de E devient:
4. RESULTATS CONCERNANT ELECTRONS-PHONONS x
e-&(t+2)
e-&,%‘+4r’)
(8)
Cette integrale est t&s voisine de celle figurant dans (6) et les techniques de calcul vont etre tres semblables.
n m112 (Jr(To’
= 0
r
(6)
Rappelons que, outre les hypotheses generales formulCes dans[ l] pour obtenir I’expression de ( Js), seule la condition sur la limite quantique a CtC invoquee pour aboutir a I’expression (6). Nous devons ensuite Cvaluer ( .I,( To,T )) pour differentes valeurs de [C(q) I2 caracterisant les differents couplages electrons-phonons en nous placant dans le cas oti la temperature Clectronique T differe
LE COUPLAGE ACOUSTIQUES
Toutes les conditions de la Section 3(b) de la Ref. [l] sont supposees a nouveau satisfaites; nous reprenons les memes notations. si bien que:
D’“’ 4
pour le couplage par potentie1 de deformation (P.D.) pour le couplage Clectrique (C.P.).
Les integrales
intervenant
piezo-
dans (6) et (9)
PHENOMENES
GALVANOMAGNETIQUES
s’evaluent en passant en coordonnees spheriques (Fig. l), puis en definissant les nouvelles variables t et u par: gq=f
381
tcosx [ ---4Y
x i exp-
2
y
cos x -expr$expt0 [ 4Y +Y ( 1 +:usinx 7.
111
etsin$=u.
(11)
cos x Nous introduisons a2 = r kT
y2 4hw,
)I
cos x ( 1 +u+sinx
de plus les coefficients:
avec y = s = s VT
Id
auxquels sont automatiquement coefficients
%
(lOa)
associes les
avec p = 1 dans le cas du couplage piezoelectrique (C.P.), p = 3 dans le cas du potentiel de deformation (P.D.). Notons que dans (1 I), 1~1 et lcosxI =Z 1. Par consequent, si la condition
Q”2 = - lkT,
(12)
I%* 475%
avec y0 = s
= s
vT,,
Nous obtenons pour ( Jr) : 2,, ,,,“2D’P (Jr) = (2?T)5/2hB(kT)I/2
(lob)
est remplie, le terms (V,/s)u sinx est toujours petit devant 1 dans les facteurs exp ’ [k12. I1 est done logique de developper ces facteurs par rapport a cette perturbation. L’integration par rapport a la variable u des premiers termes du developpement ne presente pas de difficulte: dans le resultat obtenu, effectuons le changement de variable:
w = y2/cos2 x. e-f~‘sin2 x12 X er(T/T,,l _ 1
!I( 1 - !12)-1’2
Nous aboutissons alors en se limitant termes en ( Vo2/s2) B:
aux
,, ml/2D’“’
(Jr) = 4(2n)3’2hB(kT)1’2 B/T
X
I o dt I’ eerrZ1’IrnY=dw e
ef/2 +
-
ef/2 -
1. Choix
des axes.
w)
e-t/2+f(T/To)
e --N2+wr'Td
el(T/Ts)
Fig.
-(Z’t+
-
[4
( 1 -6)
K+
1
x (3W-$-2W2)
(l-6’]]
(13)
382
D. CALECKI
ou now avow defini le coefficient b’=
,L!c
( 14a)
hw,’
auquel nous associons automatiquement (14b) Notons que dans la limite quantique oti hw, 4 kT. b’ reste toujours voisin de I’unite et que I’on a de toute facon: b’+l6a”y”=b,‘+16c(,“y,‘=
1.
(15)
En procedant de faGon tout a fait analogue a partir de la relation (9). entre T et T,,, on obtient en se limitant a I’ordre deux en I’,,‘/.?
ef/Z +
e-f/Z+ftT/Too,
c/,2
(16)
Nous pouvons preciser ensore mieux les limites dans le cas ou T2/B G I. En effet. comme il est difficile de creer des inducations magnetiques superieures a SOWb/m’, on constate que T devra toujours etre inferieur a 10°K. Ceci implique que. dans ce cas. la borne superieure O/T des integrales par rapport a t dans ( 13) et ( 16) soit toujours superieure a IO puisque les temperatures de Debye ne descendent qu’exceptionnellement audessous de 100°K dans les semiconducteurs. (a) Et//de d/r premier MS: (I? s I Nous venons de voir que ceci se produit dans la limite des hautes temperatures et pour des inductions magnetiques juste suffisantes pour atteindre la limite quantique. De plus, comme kT/hw, << 1 (limite quantique), le coefficient y2 satisfait toujours la relation y 4 I. Considerons dans ( 13) ou (16) I’integrale par rapport a t. Le facteur e-““’ decroit tres rapidement avec t puisque ~1~% I. II est facile de s-assurer que seules les valeurs de t inferieures ou voisines de ~1~~(e I) vont contribuer aux integrales. Nous pouvons done remplacer d’une part la borne superieure O/T + ue2 par I’infini et d’autre part developper les facteurs: ef,’
Pour obtenir des resultats simples a partir des expressions ( 13) ou ( I6), il faut distinguer entre deux cas limite selon la valeur du parametre u. Envisageons les deux possibilites u’ + I ou nB 6 I. Remarquons sur le champ que d’apres ( IO). c2 s’ecrit sous la forme: a? _
Ii2 T’ 2hs”e B ’
Comme la vitesse du son s varie peu d’un solide a I’autre. profitons-en pour choisir s = 5. IV m/s. Dans ces conditions (k’/ Ztrs2e) est voisin de 5. 10-l MKSA. Les conditions sur (l’se traduisent done par: T’IB % I
ou
T”/B < 1
(B en Wb/m’).
k
e-f/“+ffT/Tu)
eflT/Tol
_
1
au voisinage de t = 0. En pratique, il suffit de conserver le premier terme du developpement, les corrections apportees par les suivants &ant d’ordre egal ou superieur a a-’ (G I ). Le detail des calculs est reporte dans I’annexe I. Nous obtenons finalement les resultats suivants:
kl=2yl-Log(;y;,,J
(J,(T,,.T))= (J,)“’
(17)
PHENOMENES
383
GALVANOMAGNETlQUES
contenues
dans le terme Log (4a,,/(dC ) Par consequent, p (ou T) doit peu varier avec T,. Par un raisonnement analogue. on constate que la variation de p avec I’induction magnetique est voisine dune loi en B-“. II est remarquable que, en dehors du fait
OS(T,‘/B).
avec Log C = Constante d’Euler = 0.577 2,7 18 dans le cas du P.D. et d= 1 dans le cas du C.P. (.I,)“’ est la composante de la densite de courant lineaire par rapport au champ Alectrique dont I’expression s’ecrit:
que
d =
2,718
&
1 selbn
que
le couplag
est
du type P.D. ou C.P.. les coefficients /3 soient pratiquement les m&mes pour les deux types
(1%) e ,, ,nl12D”’ Log%? E (2~))3/2h2.~(/iTI,)1/2 _L B Le resultat ( 19a) est identique a celui que I’on peut trouver dans la Ref. [2]. La formule (I9b) diffire de l’expression Cquivalente de [2] par I’absence du facteur numerique 2,7 18 devant C dans Log 4rr,jCri’. Remarquons que les dependances de ( Js)(” avec B et T,, sont de la forme: T,-1”
Log
T,,-““B-I
(,.‘f’T,,B-“2)
dans le P.D.
Log (PT,,B-I’?)
dans le C. P.
En reportant ( 17) dans ( 18). et, comme il se doit pour les phenomenes d’electrons tildes. en ne retenant que les terms en V,j’/s’. nous obtenons: ( Jx) = (J,)“‘(
1 +PE’)
avec
+ Les variations
d’interaction electrons-phonons envisages ici.
4(2n-)“‘2fiB(kT)“2 (cf.
( 19b) acoustiques
(b) Etude du second cas: a” 4 1 Dans ce cas T < 10°K et B/T > 10. Par ailleurs, le coefficient b peut sans probleme &tre assimile a I’unite car kTlhw, < I. Nous admettrons encore que le coefficient y” reste petit devant 1: ceci est d’autant plus vrai que la masse effective des electrons est plus faible. Toutefois la condition y” < 1 peut parfois ne pas &tre realisee; les calculs sont encore possibles au prix de quelques complications que nous n’envisagerons pas ici. Si nous admettons que -yZG 1, les terms en p/W contenus dans les facteurs (1 -r’/ W) et ( I- y’/ W )’ intervenant dans l’expression (13) de (J,) conduisent a des termes correctifs d’ordre Cgal ou superieur a y’. De m&me. dans (I 3). on peut remplacer par zero la borne inferieure. y’, de I’integrale par rapport a W; cette operation revient a nouveau a negliger des terms d’ordre y2. Dans ces conditions (J,) s’ecrit: ,, ml12D’“’
Log
de p (cf. (20)) ou de T/T,
pour le C. P.
X
dt t,,+l e-rrV 0
384
D.
CALECKI
Un calcul intervenant
( ))I
+3K2 ;
ef/2_ e-fla+ftT/T”u, K f ef(T/Ttl)_ ] [ 0 x(Ks(;)-3K,
Va’t’
(+))j,,
‘*
64
ou nous avons introduit les fonctions Bessel modifiees de second espece K,(z)
(21) de
= K-,,(m) =$]‘dxx”-le<(‘+t) 0
(16) entre T et To
De m&me, la relation devient: BIT o=
t”
e-f/2
( I) qu’elles sont pratiquement independantes de e/T,,d&s que e/To > 10. (2) que le crochet [ ] intervenant dans (23) varie dans de faibles limites inferieures ou de l’ordre de l’unite quand CI”* passe de IO-’ a 10d3 (cf. Fig. 2). Par consequent, tant que V,*/s* + I, les deux temperatures T et To sont tres voisines comme prevu. L’expression finale de (.I=) est d’ecriture compliquee et figure en annexe. Ici encore, nous avons utilise un ordinateur pour calculer certaines integrales, ce qui nous permet de dire que: (24)
+ f(T/Td
I
oh $~(“)(a~~) est une fonction dont les variations avec uo2 sont lentes et representees sur la Fig. 3. tandis que ( Jz)(‘) est la composante lineaire par rapport au champ Clectrique de la densite de courant:
it$(Ko(;)-$K;;$; ef/2 _
des integrales
montre:
e-ozf~
I
+
(23)
(.I,) = (J,)“‘[l+~~‘J~)(~02)]
ef/2 + dt
sur ordinateur
dans
ef/!2+ffT/Ts)
ef/2 -
4Ko ; -5
1
(
0
Nous poursuivons en notant que, dans les faibles deviations par rapport a la loi d’Ohm, la temperature Clectronique T differe peu de To. Nous pouvons done developper les facteurs: ef/Z +
e-f/2+ffT/To’
effT/To)
_
1
par rapport a (1 - T/T,). L’analyse detaillee des calculs est repartee dans 1’Annexe 2. La relation ( 16) entre T et Tos’analyse de la m&me faGon que (J,) et conduit au resultat suivant:
f+!$ 0
I * -;
X
CVT,, & t~+l~--nt,=f2 0
--&K.
f. 0 (25)
L’integrale ne depend pratiquement pas de e/To suppose > IO et varie avec uo2 relativement lentement, comme indique sur la Fig. 4. Les deviations par rapport a la loi d’Ohm sont done caracterisees par le coefficient
qui, si l’on neglige les variations de @‘(uo2) avec B, d’ecroit comme Be2 avec l’induction
(23)
PHENOMENES
GALVANOMAGNETIQUES
385
Fig. 2. Cas des phonons acoustiques; limite uO* Q 1: variations du facteur multiplicatif de V,*/2s* dans I’expression de (T/T,) - 1. Fig. 4. Cas des phonons acoustiques; limite a, -e 1: integrale intervenant dans I’expression de la composante liniaire (J,) [ 11. 5. RESULTATS CONCERNANT ELECTRONS-PHONONS
Nous choisissons dans [l] oti wq = C@ et
LE COUPLAGE OPTIQUES
le modele
deja utilise
]C(q) I2 = D”)/q2
et ou IYn’ est lie a w, et aux constantes ditlectriques l s et E, a frequence nulle et infinie par:
I 10-1
I 5110-'
I 10-z
/ 5x10-2
I 10-1
02
Fig. 3. Cas des phonons acoustiques; limite a,,* a 1: variations du facteur +(P)(ao2) intervenant dans l’expression de (J,).
magnetique, et qui varie lentement et de facon monotone decroissante quand la temperature contenue dans cro2croit. Notons que 4(P) varie beaucoup moins avec a,,* pour le couplage piezo-Clectrique que pour le couplage par potentiel de deformation.
Notons d&s maintenant que la condition w, 4 w, est de rigueur dans tout ce qui suit. En effet, nous avons admis depuis le debut des calculs que les electrons se trouvent dans le niveau de Landau le plus bas, n = 0, et qu’ils ne peuvent effectuer de transitions qu’entre des &tats de nombres quantiques k,, k, differents. Ceci n’a de sens que si l’energie hw, des phonons optiques est faible devant l’energie fiw, separant deux niveaux de Landau successifs. Nous Cvaluons l’integrale intervenant dans
386
D. CALECKI
l’expression (6) de (J,(*T, TO)) en passant en coordonnees cylindriques et nous posons: 42 =
2mo,1’2x1,* ( h ) . qr”+qr*=*f,
la condition
sera satisfaite
v,, e 2.
2nm
(29)
4max
sin II, = II. En introduisant les parametres: et (Y,,= hw,/2kTo, nous obtenons:
t vaut hq~,,lhw,. quand
II sera alors possible de developper {. . .} par rapport a la perturbation
(Y= h,/2kT
w 2mV” LLt
( WY
le terme
112 1,
)
f%
qui est lineaire par rapport au champ Clectrique. II faut noter que la condition (29) est surement trop severe. car elle a CtC obtenue en remplacant, dans (29). t par sa valeur maximum. En fait, ce sont surtout les valeurs de I voisines de hw,/kT qui vont contribuer a I’integrale et la condition (39) peut saris doute etre remplacee par celle moins draconienne: (30)
En developpant done le terms {. .} jusqu‘au troisieme ordre par rapport a la perturbation, les integrales par rapport a 11 apparaissant dans (36) et (27) ne presentent plus de difficulte et conduisent, pour (J,(T. T,,)) par exemple a: En procedant de meme a partir de la relation (9) entre T et To, nous obtenons:
x I,‘ch(a - a,,)- /,‘sh(a - a”) t I v,‘w, 4 vg w, x [~31.,‘-(Yl,~-3~/:~‘)c./z((Y-Lyo) -(3/:,“-3af**-al,“)sk(cy-Lu,,]
ou le terms {* . .} est identique a celui rencontre dans (26). Placons-nous dans le cas ou ($$t)“*lrrl
-=s I.
(28)
Comme (u( G I. et que la valeur maximum de
oh les 1: representent 1; =
hpb., 2mo-dx I0
I (31)
les integrdles
e-n,2cs+l,r,
xi
X I
fw:,.
wy
2mw,
Wrxdt
I,
fj e-f
t+ (wh-).
(32)
PHENOMENES
En procedant de meme sur l’equation qui relie T a T,, now obtenons: rh(a-a,,)
= $zaf2;;?
GALVANOMAGNETIQUES
(27)
(33)
Nous avons report6 dans I’annexe (3) l’etude des integrales 1:. Notons qu’elles doivent etre Cvaluees dans la limite oh WJW, e I pour les raisons invoquees au debut de ce paragraphe. Dans la limite ou la temperature electronique T reste voisine de T,,, on peut assimiler rh(cr - a,) a ((u-a,) et deduire de (33), compte tenu des resultats de I’annexe 3 sur les I:, que: 0” WCaoK, (a”) - Ko(ao) co .
(34)
387
1 --1 w, 1 et P = jj5 j/go oq [ Log (bo4CaJ x aoK* (a01 - Ko(cuo) ---3 ( 2ao Ko(boao)
+7(5++y+)].
2K, (a01 Ko(ao) >
0 a0
L’expression (36) de ( JZ)(*) est en accord avec celle de la Ref. [3]. Le coefficient p est particulierement complique. Ses variations avec I’induction magnetique sont sensiblement en B-l; celles avec la temperature sont plus complexes. 6. CONCLUSIONS
Nous avons Ctabli les lois de variation du coefficient /3 caracterisant les faibles deviations par rapport a la loi d’Ohm en extreme II est facile de verifier que le facteur: limite quantique quand les conditions: -.$/kT, %=1, Aw, S kT,, W,T 9 1 sont realisees. aoK* (a”) - Ko(ao) Dans le cas oti les electrons interagissent a,K, (ao) Log c p avec les phonons acoustiques, la gamme des OWC champs Clectriques qui correspond au pheest tqujours de I’ordre de, ou inferieur a nomene d’electrons tildes est, comme en I’unite d&s que (Y” > 0,l. De plus, il passe de limite classique, definie par la condition valeurs negatives a positives quand a0 croit yo2/s2 4 1. Pour les deux types de couplages et s’annule pour cr, = 3. Par consequent, par potentiel de deformation ou par effet quand la condition (V,2iV,‘)(o,/w,) 4 I est piezoelectrique (I) La temperature Clectronique T est verifiee. la temperature Clectronique reste toujours superieure a la temperature du reseau tres voisine de la temperature de reseau. Quand To varie, T peut lui etre superieur ou To. Elle varie, en premiere approximation, inferieur. Les variation de T/To- 1 avec comme Bm2 avec I’induction magnetique et I’induction magnetique sont sensiblement t&s lentement avec To. en B-‘. (2) Le coefficient /3 est toujours positif et varie avec B et To sensiblement de la m&me En revenant a I’expression (3 I) de (J,(T, T,,)) et en y reportant le resultat (34) et ceux facon que T. de I’annexe 3 sur les 1:. nous obtenons I’exCes resultats sont valables quelle que soit pression finale de la densite de courant valable la temperature, tant que les conditions &rites juste ci-dessus sont re’alisees. Dans le cas des a I’ordre trois en champ electrique: hautes temperatures, le coefficient /3 est pratiquement le meme pour les deux coup(J,) = (J,)“‘( 1 +PE’) lages. Par contre, a basse temperature p est avec sensiblement plus petit pour le couplage pi&o que pour le couplage par potentiel de deformation; de plus, il est beaucoup moins sensible aoKo(cro) Log0
bow,
388
D.
CALECKI
aux variations de TO dans le couplage pitzoClectrique que dans I’autre: Les resultats sont plus compliques pour le couplage avec les phonons optiques. Dans le cas oh wp/w, 4 I. la gamme des champs Clectriques correspondant au phenomene d’electrons tildes est fix&e par I’inegalite (V,‘/V~)(w,/w,) e 1. La temperature Clectronique peut etre superieure ou inferieure a la temperature des phonons. Le coefficient p varie sensiblement comme B-’ avec I’induction magnetique tandis que la temperature intervient de facon beaucoup plus complexe. REFERENCES CALECKI D..J. Phvs. Chem.Solids32. 1553(1971): 32, 1835(1971). KUBO R.. MIYAKE S. J.. HASHITSUME N., Solid State Physics. Vol. 17 Academic Press, New York (1965). GUREVICH V. L. and FIRSON YU. A., So&-r Phys. JETP 13. I37 ( I96 I ).
ANNEXE En utilisant des rapports:
1
le developpement
au
voisinage
de I = 0
eot f e-02+r~T,rur ennr”l - 1 I’expression
(4.13)
de la densite
de courant,
(I) (J,)
d t t:’ e-r,W
A, =
X
I
I:,,,,&,+($+F
-
W’
y’&+,e-“‘~
W’
II
!I[
dr p e -(d&P
xJ;
(4)
Nous avons fait ainsi apparaitre a la lere ligne de (4) les fonctions de Bessel modifiees de seconde espece: K,(a)
= K-,,(a)
= 1 I,’
d.rs”-’
e-f(.“k)
(5)
De plus. a la Xme ligne. comme 0 s W G y*. le facteur e-‘r peut itre remplace par I. ce qui revient a negliger des termes correctifs d’ordre egal ou superieur a y*. Par consequent A, devient: I
A,=2
( iI 71 Ii w-y2
,,t 13 e-““’
[
I 0 --
2
K,) $ 0
dW
0
-yl
W’
2 K,
(a’+
;
I (h’,,(jW))’
(6)
Dans la premiere integrale en t, toujours a cause du facteur e-“*r2 decroissant tres rapidement avec t. et du fait que les fonctions de Bessel K,,(bt/Z) dtcroissent avec t. la contribution essentielle de la fonction a integrer provient des valeurs de r voisines de zero. Nous developpons done K,(bt/Z) et K,(bt/Z) au voisinage de t = 0 et ne conservons que le premier terme du developpement; les autres termes produiront des corrections d’ordre superieur ou Cgal au-*. Au voisinage de ( = 0
devient:
K, avec
Log
(
$
=-Log$t
)
C = constante
d’Euler K”
& ‘2 (
Finalement,
en utilisant
=I. 1
le resultat
bt
connu:
I d.r e-’
I 0 et la relation Un grand nombre d’inttgrales doubles aparaissent dans (2) que nous allons evaluer de facon approchee. en tenant compte des deux conditions: 9 & I et a* 9 I. Nous allons en evaluer explicitement deux typiques. toutes les autres se calculant de la m&me fa9on ou plus simplement. (a) Soit. dans le cas du couplage par potentiel de deformation ou p = 3, I’integrale:
A,=I 0ILd t t3e-nzF Elle se decompose
en:
entre
a, b et y: b2+
A, = -$&[l
2.718.
16a2y2 = I on obtient:
+CS(y-*,a-‘,a2y’)].
(7)
Remarquons que nous aurions obtenu le mime resultat en faisant 3 = 0 et b = I darts (3). (b) Nous passons maintenant au cas du couplage piezoelectrique oh p = 1, et nous calculons I’integrale du type: Dj
dW e<(%+~k-$f,
d=
x Log x = - Logs
(3)
dt t e-oZtl
A; = I 0 En
proctdant
3 dW ,-;t&+f)~,
(8)
I 7comme
pour
A,,
nous
obtenons
dans
un
PHENOMENES premier
GALVANOMAGNETIQUES
temps.
389
ture electronique T differe peu de la temperature des phonons T,,. Nous pouvons done developper ces rapports par rapport a ( I - T/T,,). Nous obtenons:
I* X
e-t’
dW e-r’
I0
(9)
W(l6n’W+b*)’
e”l + e-t12+tw1rd ennn - , et,’
=2&[,+(*-;);=+...I
(I)
-e-r,2+rmror elmrd
_
,
=-g$(l-~)[l+(,-~);
Nous constatons alors que les deux integrales qui restent dans (9) divergent, alors que A; est une integrale convergente. La somme algtbrique des deux integrales divergentes est done convergente. Nous remarquons alors que:
Yl
dW e-“’ -
Ces developpements
w-y’
n’ont
=&Log&-y’
W(l6n’W+b’)
I 0
(2)
I-1 (
‘1
dr’
X f 0
Par consequent:
Darts I‘intervalle (0. y?). puisque y’ a I : la premiere ditliculte: ii reste:
em” est assimilable integrale se calcule
a I’unite alors sans
de sens que si le terme le’+l 7, ) 2e’-I
reste petit devant I pour toutes les valeurs de I’intervalle d’integrdtion [O. 0/T] qui intervient dans (4.2 I) ou (4.22). Or ceci peut ne pas se produire dans la limite basses temperatures quand I atteint la borne superieure O/T. II faut toutefois noter que les fonctions a integrer passent toutes par un maximum se produisant pour des valeurs de I voisines de quelques unites et decroissent ensuite rapidement. Dans ces conditions. ce sont essentiellement les valeurs de I au voisinage de ce maximum qui contribuent aux integrales tandis que les valeurs voisines de 0/T n’interviennent pratiquement pas. Dans ces conditions (4.22) conduit a:
d, ,,I+?e-r,,,W d, ,“+’ e-rrsW La derniere intigrale est toujours lorsque y’ < I. Finalement A;
inferieure
=~Log~~I+~(y~I.ogy’,~i~‘.
Ici encore. remarquons sultat ( 13) en faisant y’ loppements qui precedent degre d’approximation il pour obtenir des resultats
a t-
tr’y’ ) I.
Log
y’)
(13)
que nous aurions obtenu le re= 0 et b = I dans (8). Les deveont eu pour but de voir quel a fallu introduire dans Ies calculs relativement simples.
Le calcul des integrales figurant dans (3) a et.6 fait sur ordinateur. II montre qu’elles sont pratiquement indipendantes de la borne superieure e/T0 dts que 0/T,, > IO et que pour uo2 variant dans de larges limites t IO-” s uUz s IO-‘) le crochet [ ] est toujours inferieur a 1.7. Par consequent tant que la condition V,‘/s’ 4 I est remplie. T reste voisin de T,, comme privu. L’expression (4.2 I ) de (J,( T,,. T )) fait intervenir un grand nombre de termes:
CONCLUSION En effectuant des calculs analogues a ceux des paragraphes (a) et tb) pour chacun des termes de (2) et en regroupant tous les termes, on aboutit finalement a I’expression IJ.IXI de (J,( T,,. T 1). Les calculs concernant la temperature electronique 7 s’etfectuent de la meme facon: nous ne les exposons pas ici: ils conduisent a I’expression (4.17) saris plus de dithculte. ANNEXE Considerons
2
les rapports e,,? 2 e-rr?+rmr~~, elmrd
et utilisons le resultat anticipe gamme de champs electriques
_ * selon lequel pour lesquels
il existe une la tempera-
avec
D. CALECKI
390
En tenant compte de (3). la den&C de courant ( Jz) prend la forme:
oh #“‘(a,,‘) est pratiquement indkpendante de la tempCrature de Debye 0 dbs que 0/T,, > 10. Les variations de r#~“‘(a~*) pour les deux types de couplage ont et6 calculCes B I’ordinateur et sont rephenttes sur la Fig. 3. ANNEXE Etude
des intbgrales
*Comme kT/ho, * I, le paramttre b est toujours voisin de 1. *La borne superieure hq&,,/2mo, peut saris probl&me &re remplacCe par: + m. *Comme fiq2,.,/2mw, > 10 en gCnCral. la seconde inttgrale est nigligeable davant la premihe. *Utilisons la fonction exponentielle integrale. E(y). definie par:
E(Y) = pour rZcrire
I,’ sous la forme:
/i’=2K,-,(a)+~E(~)b’-*K,-,(ha)
3
m ,,,c IY 1
c
lj
Now avons dCfini I,J par: I{
dxx’-’
=
Nous alIons Cvaluer I,’ dans les limites :
$3
c
1,
Remarquons qu’il est exptrimentalement difficile de r& aliser la condition op/oc bien infhieure B 10-l dans les semiconducteurs courants. Notons de plus que a = h,/2kT est une quantitC dont les valeurs descendront peu audessous de I’unitC quand les conditions kT/Ao, d 1 et 0,~ 9 1 sont simultanCment remplies. Par ailleurs, la limite suptrieure fiq~,,/2mw, est toujours trh tlevte. Aussi, pour op = IO’* SK*, m = lO+O kg, et Bmax = 1O’Om-‘, on obtient hqZm.,/2mo,, = lo”. On en dtduit que fi&,,/2mo, sera aussi nettement suptrieur g 10. Ces ordres de grandeur Ltant not& nous allons analyser ici Ies intC@es du type I,‘, les autres s’evaluant de faGon analogue. En remarquent que t I+ (w,/o,b
,1-s,
,,I = Jo%
x j-o$$&y~
(
2x
1
=-Lo+
Ii’ - ZK,&+~P
+ I- dx’ ,f(~“+f),+l 0
e-%bx+t)
Logx’],
La dernihe inttgrale s’tvalue simplement:
-$&(ab) ~~~~~ = 0
*
-2
quelques trans-
&-ie-$( bx+;)je d$f % Or
ob nous avons posC:
E
dx’ ,%+&-,
dxx-’ e-;(X+;) -e-%
(zX)
Comme E(y) = e-“/y quand y * I et que. pour des valeurs de (Y ne descendant pas au-dessous de 0.1 les fonctions de Bessel K+,(a) et K+,(a) sont du mBme ordre de grandeur pour i = 1.2.3. le second terme de I,’ est nCgligeable devant le premier. Remarquons alors que dans I’intCgrale qui reste, les valeurs de x qui vont contribuer de faGon pr6pond&ante sont celles voisines de I’unitt. Dans ces conditions,
1 WC r+ (o,/w,)x’
I’intbgrale 1,’ se scinde en deux. Aprh formations Cltmentaires, on obtient:
e-ah(hr+h)E
KO(ab)
pouri=
1
pouri= pour i = 3.
L’approximation faite sur E(y) nous a en fait amen6 g nOgliger toute une s&e de termes contenant les puissances successives de W&J,. Dans un but de simplification evident, nous n’tcrirons les rtsultats sur les 1,Jqu’g I’ordre le plus bas par rapport ?I W&J,. Dans ces conditions, nous obtenons: Ii’ = 1: = 2K,-,(a)
et 1,” = 2
Log 2
P
K,(ab)