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Débit de distorsion et détection en communication quantique
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Sbrie II b, p. 667-670, Signal, informatique/Signa/, computers
Debit de distorsion en communication Chkif
b Department L69 3BX,
et dktection quantique
Jean-Marie LEROY’,
BENDJABALLAHa,
a Laboratoire des 91192 Gif-sur-Yvette
1998
siguaux et systkmes, CNRS cedex, associ6 B l’universith
of Electrical UK
Engineering
and
Apostol VOURDASb
et hole supkieure de Paris-Orsay,
Electronics,
University
d’klectricith, France of Liverpool,
plateau Brownlow
de Hill,
Moulon, Liverpool,
(ReGule 19 dkembre 1997,accept6le 8 avril 1998)
On analyseen communicationquantique,les relationsexistant entre l’opkateur optimal de dktection et l’opkrateur optimal pour le dkbit de distorsion.On Ctudiedans quellesconditionsil y a stricteCquivalenceentre cesdeux opkateurs.0 AcadCmiedes ScienceslElsevier, Paris
R&urn&
thCorie de l’information / communication quantique
Rate distortion
and detection
in quantum
communication
Several relations between the optimal detection operator and the optimal rate distortion operator are analyzed in the context of quantum communication theory. These two operators are studied to ascertain the conditions under which they have strict equivalence. 0 Acadimie des Sciences/Elsevier; Paris
Abstract.
information
theory / quantum
communication
1. Introduction
Le debit de distorsion s’introduit en theorie de l’information a partir de l’information mutuelle et sa transposition en communication quantique necessite de d&x-ire la source et le recepteur par des operateurs. Soit done un ensemble de M operateurs densitd pi dans un espace de Hilbert % de dimension finie h, chacun Cmis avec la probabilite a priori pi, composante de
p = [p,, -,PMlf E 97 9 : pj 2 0, vi, cpi = 1 , i > (
rateurs
positifs
auto-adjoints,
en
Note prCsent6epar Bernard PICINBONO. 1251.8069/98/03260667
0 AcadCmie
des SciencesElsevier,
Paris
667
C. Bendjaballah
et al.
n2Ej 20,q =q’, C 5 = I. Le canal, trait6 de faGon classique, est caract&-% par la matrice de transition Q = { qj,i} E 9 0~ qjlj = tr (pan ) : 1 : qjli 2 O,Vi, j ; x qjli = 1, Vi . On note i > Pi,j=piqj,i=pitr(fiq)
E
9,
~:O
oti
i
(
ij
>
et ‘j = x Pi, j E r = [ rl, .“, rN]* ; 2 rj = 1. Dans toute la suite, on se limitera au cas M = Iv’. On cherche’ q* E 2 tel que l’infknation mutuelle ZP soit minimale pour le critkre de fidtlitk C = { ci,j} sachant p donnC. La valeur moyenne (C) = x tr ( Ci,j p& q ) I d est la distorsion et la valeur minimale de Z, est le dCbit de distorsion [l, 21. ‘L’ensemble n* est appelC ici opkrateur de compression optimum (o.c.o.). Rappelons enfin que pour une matrice de cotit donnCe C={2i,j= 1 -6i,j},l a moyenne (c)(p, Q ) = x ~i,j pi tr ~54 est la probabilite d’erreur moyenne P, dont le minimum est rCalisC pour To E 2, a$el6 opkrateur de detection optimum (o.d.0.) [3]. On se propose d’Ctudier les liens existant entre O.C.O. et o.d.o. lorsque les critkes, coOt et fidClitC, sont identiques C = C. 2. Discussion du cas classique On sait [l] que R(d)
s’obtient 5 partir de Z, par :
d ’ C ci,j P;j = tr (P* C’),
(2)
ij pi,j
O~IIZP= C, Pi,j log pi, Dam (1 iyZ!Z( p ) dtsigie
et d est telle que 0 I d < d,,, l’entropie
(d,,
= ,Ft
7 pi Ci,j tel que Z?(d 2 d,, ) = 0.
de la source, s E ] - 00, 0] , un paranktre que l’on introduit g tra-
versB={bi,j}={exp(-~s(~i,j)},B-l
={wi,j},nSqE,etg,=~telque~~~~= l,Vj.Onse ,Ewi,j limite ici a ci,j = cli _ ji = ck ,. co = 0 ; co < cl I -. 5 c, _ 1 pour +:j E J, et k E Jo = { 0, .-, M - 1 }. Les 6lCments de B sont tels que bi,j = bii -jl = bk ; bo = 1 avec bo 2 b, 2 .- 2 b, _ 1 2 0. On pose 1 = [l,.“, l]‘, diag (p) = diag (p,,.",pM) et l’on d&nit les vecteurs Notons r* le vecteur des probabilitCs de A = diag (A,, .. . A,), {Ai} E W, Ap = [ iI pl, .-, lb,,,pYIr. sortie de la solution optimale, de sorte que [0, d,,] ti [ (s\~,,,~[, E’p = 1, Er* = 1, soit [E’]-‘Er* Ap=B-‘l=
=p
(3) [$...,&]‘,
P’ = diag ( Ap ) B diag (r* )’
(4)
ou encore :
(5)
668
Debit de distorsion
et detection
en communication
quantique
obtenue pour Ci,j=l-~j,j;bi,j=bl+(l-b1)6i,j;
gi=l+(M-l)b,;d=
h(M-
1)
(M-
l)b,’
1+
et v=&-l,ohb,=e+.
3. Cas quantique Une approche du cas quantique con&e a r&ire les equations du cas classique en termes d’operateurs. Ainsi Pii = pi tr (En? ) [4] et l’equation (5) se recrit : tr((ij 0~
+vsijp)q*)=o
Rj =Pj~ -M--p. d 1 -- p = k$lp$k. Ce recepteur,
(6)
defini par les {q*},
permettant
d’atteindre
R( dp*) : R(d), est 1’o.c.o. recherche. Chaque c* depend de pi, p:, et dp* et l’equation
mettre sous la forme $r&
(6) peut se
+ VP = 0. Comme d’autre part, d = P: = 1 - tr ( iFI M p&q -*),
la distor-
M-l I -.
sion est telle que 0 5 d I d,, Pour expliciter le recepteur, considerons par exemple le cas pour lequel les operateurs den&# sont tels que (p)- ’ existe. On a alors a partir de (6) &(p)-‘kj =-v$6,+Goti(tr g=O),desorteque:
L’autre solution ~7 * = - 1 & ( JJ)- ’ 6, diffkre de la precedente car [( p )- ‘, ii ] # 0. Ainsi les { 6 *} ne sont pas des projecte\rs [5] et leur rang est, en general, 2 1. A partir de (3) on montre que les vecteurs 1, p et r* sont coplanaires et que r* est proportionnel a p = [p,, .... ~~1’ oti 5,
La solution
(ci,j-cl)bi,jwj,k
comme un vecteur de ( ye”i = ‘(p, r), plan dans 1 (&), vecteurs d’entree {uk}r= r, dtfinie comme en [6] et telle que
optimale
r* peut etre aussi vue
de dimension
M dans la base des
Cela montre que r* =p si d = PI = 0 et tend a &re colineaire 2 1 lorsque d augmente. En outre, d,, M-l POW pi=&. correspond a la condition : au moins une composante de r* = 0, soit d,, =M M
Hormis
2,
on trouve 3,
{T”}E r&epteur
9 d
defini
tel que dp e
&P’={P$}E
par le p.o.m.
j pi tr ( p?nT” ) soit minimum
9’~
{T$“} cd
Pour
2 E 9,
et oti
de sorte que Pyj=pi
tr (fif$O)}.
dp, est precisbment p:d,Idld-},
1’o.d.o.
la c.n.s. d’avoir
{q*}
= {q’}n
Ce
Pour est qut 669
C. Bendjaballah
pour
M
et al.
&at;
purs
en entree
o=P~=l-~& L’existence L’o.d.o.3, 4. Condition
fi = 1vi){ vi],
1’o.d.o.
sous la condition
est connu
pi20,k~
[3]
6’ = &?‘fik’,
J, telle que tr(fi?‘)>
1.
de 6’ = )2$)( ty 1 es: assuree par la condition 3 EE Jr, ZJ~f 0, telle que tr ($? ’ ) = 1. ensemble de projecteurs de rang 1, est alors unique et est tel que 1 5 rang ( q * ) I M [7]. d’Cquivalence
entre o.d.o. et O.C.O.
Soient Zp et d, obtenus a partir de P, et supposons connus R(d) et d, alors 3 P* E @‘* tel que Zp*( dp*) 2 R(d) * Zp( dp) 2 Zp*( dp) 2 R(d). Pour qu’il y ait equivalence entre o.d.o. et o.c.o., dp* doit verifier dp* = min dp, ce qui implique que, pour differents canaux d’informap= ~(O dp, alors 3 P, 3 9” + dp < dp* et Zp( dp) 5 R( d ). Cela est en contradicPC ~(O
(IprR(d))
On peut done conclure que la minimisation de l’information mutuelle, pour un coot moyen donne, est Cquivalente a la minimisation du cot% moyen, pour une information mutuelle donnee. La relation recherchee entre detection et distorsion est ainsi Ctablie dans l’intervalle 9 = [ 0, d,,] . Pour d > d,,,, parce que R( d > d,, ) = 0, r et p deviennent independants, cette relation disparait. A defaut d’une reciproque stricte, on propose quelques indications pour bomer la solution troude. La condition 1 = &p-r est d’abord necessaire afin d’avoir T$* de rang 1 comme l’est q”. Le second point vient du fait que 1’o.d.o est unique alors que 1’o.c.o. depend de d. On peut rtsoudre cette difficult6 en bomant ?? a n-avers la capacite utilisee comme critere complementaire. En effet, d’apres le theoreme fondamental, la valeur d* pour laquelle R( d” ) = C est la valeur minimale de l’erreur en detection. Aussi, &ant don& 2, R(d) et C, notons R( d,i,) = try;xh C = C, et = min. C = C, et designons par Eli” et I%,, correspondant 21CM et CA respectivement. {qle z7 Pour d* tel que dminI d* I d,, et a partir de R( d* ) = C, d,i, 5 dp I d* 5 dmax,car le canal opere sous c,. Des lors, on a necessairement ?ti, c ?? G ?? !z zmax, inclusions qui constituent les bomes recherchees.
R( d,,,)
RCfkences [l] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
bibliographiques
Berger T., Rate Distortion Theory: A Mathematical Basis for Data Compression, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971, ch. 2, pp. 13-64. Cover T.M., Thomas J.A., Elements of Information Theory, John Wiley & Sons Inc., New York, 1991, ch. 13, pp. 336-373. Helstrom C.W., Quantum Detection and Estimation Theory, Academic Press, New York, 1976, ch. IV, pp. 88-118. Davies E.B., Information and quantum measurement, IEEE Trans. Inform. Theory IT-24 (1978) 596599. Holevo A., Information-Theoretical Aspects of Quantum Measurement, traduit de Probl. Pered. Inf. 9 (1973) 31-42 Bendjaballah C., Charbit M., Quantum communication with coherent states, IEEE Trans. Inform. Theory IT-35 (1989) 1114-1123. Belavkin VP, Optimal multiple quantum statistical hypothesis testing, Stochastics 1 (1975) 315-345.
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Debit de distorsion en communication Chkif
b Department L69 3BX,
et dktection quantique
Jean-Marie LEROY’,
BENDJABALLAHa,
a Laboratoire des 91192 Gif-sur-Yvette
1998
siguaux et systkmes, CNRS cedex, associ6 B l’universith
of Electrical UK
Engineering
and
Apostol VOURDASb
et hole supkieure de Paris-Orsay,
Electronics,
University
d’klectricith, France of Liverpool,
plateau Brownlow
de Hill,
Moulon, Liverpool,
(ReGule 19 dkembre 1997,accept6le 8 avril 1998)
On analyseen communicationquantique,les relationsexistant entre l’opkateur optimal de dktection et l’opkrateur optimal pour le dkbit de distorsion.On Ctudiedans quellesconditionsil y a stricteCquivalenceentre cesdeux opkateurs.0 AcadCmiedes ScienceslElsevier, Paris
R&urn&
thCorie de l’information / communication quantique
Rate distortion
and detection
in quantum
communication
Several relations between the optimal detection operator and the optimal rate distortion operator are analyzed in the context of quantum communication theory. These two operators are studied to ascertain the conditions under which they have strict equivalence. 0 Acadimie des Sciences/Elsevier; Paris
Abstract.
information
theory / quantum
communication
1. Introduction
Le debit de distorsion s’introduit en theorie de l’information a partir de l’information mutuelle et sa transposition en communication quantique necessite de d&x-ire la source et le recepteur par des operateurs. Soit done un ensemble de M operateurs densitd pi dans un espace de Hilbert % de dimension finie h, chacun Cmis avec la probabilite a priori pi, composante de
p = [p,, -,PMlf E 97 9 : pj 2 0, vi, cpi = 1 , i > (
rateurs
positifs
auto-adjoints,
en
Note prCsent6epar Bernard PICINBONO. 1251.8069/98/03260667
0 AcadCmie
des SciencesElsevier,
Paris
667
C. Bendjaballah
et al.
n2Ej 20,q =q’, C 5 = I. Le canal, trait6 de faGon classique, est caract&-% par la matrice de transition Q = { qj,i} E 9 0~ qjlj = tr (pan ) : 1 : qjli 2 O,Vi, j ; x qjli = 1, Vi . On note i > Pi,j=piqj,i=pitr(fiq)
E
9,
~:O
oti
i
(
ij
>
et ‘j = x Pi, j E r = [ rl, .“, rN]* ; 2 rj = 1. Dans toute la suite, on se limitera au cas M = Iv’. On cherche’ q* E 2 tel que l’infknation mutuelle ZP soit minimale pour le critkre de fidtlitk C = { ci,j} sachant p donnC. La valeur moyenne (C) = x tr ( Ci,j p& q ) I d est la distorsion et la valeur minimale de Z, est le dCbit de distorsion [l, 21. ‘L’ensemble n* est appelC ici opkrateur de compression optimum (o.c.o.). Rappelons enfin que pour une matrice de cotit donnCe C={2i,j= 1 -6i,j},l a moyenne (c)(p, Q ) = x ~i,j pi tr ~54 est la probabilite d’erreur moyenne P, dont le minimum est rCalisC pour To E 2, a$el6 opkrateur de detection optimum (o.d.0.) [3]. On se propose d’Ctudier les liens existant entre O.C.O. et o.d.o. lorsque les critkes, coOt et fidClitC, sont identiques C = C. 2. Discussion du cas classique On sait [l] que R(d)
s’obtient 5 partir de Z, par :
d ’ C ci,j P;j = tr (P* C’),
(2)
ij pi,j
O~IIZP= C, Pi,j log pi, Dam (1 iyZ!Z( p ) dtsigie
et d est telle que 0 I d < d,,, l’entropie
(d,,
= ,Ft
7 pi Ci,j tel que Z?(d 2 d,, ) = 0.
de la source, s E ] - 00, 0] , un paranktre que l’on introduit g tra-
versB={bi,j}={exp(-~s(~i,j)},B-l
={wi,j},nSqE,etg,=~telque~~~~= l,Vj.Onse ,Ewi,j limite ici a ci,j = cli _ ji = ck ,. co = 0 ; co < cl I -. 5 c, _ 1 pour +:j E J, et k E Jo = { 0, .-, M - 1 }. Les 6lCments de B sont tels que bi,j = bii -jl = bk ; bo = 1 avec bo 2 b, 2 .- 2 b, _ 1 2 0. On pose 1 = [l,.“, l]‘, diag (p) = diag (p,,.",pM) et l’on d&nit les vecteurs Notons r* le vecteur des probabilitCs de A = diag (A,, .. . A,), {Ai} E W, Ap = [ iI pl, .-, lb,,,pYIr. sortie de la solution optimale, de sorte que [0, d,,] ti [ (s\~,,,~[, E’p = 1, Er* = 1, soit [E’]-‘Er* Ap=B-‘l=
=p
(3) [$...,&]‘,
P’ = diag ( Ap ) B diag (r* )’
(4)
ou encore :
(5)
668
Debit de distorsion
et detection
en communication
quantique
obtenue pour Ci,j=l-~j,j;bi,j=bl+(l-b1)6i,j;
gi=l+(M-l)b,;d=
h(M-
1)
(M-
l)b,’
1+
et v=&-l,ohb,=e+.
3. Cas quantique Une approche du cas quantique con&e a r&ire les equations du cas classique en termes d’operateurs. Ainsi Pii = pi tr (En? ) [4] et l’equation (5) se recrit : tr((ij 0~
+vsijp)q*)=o
Rj =Pj~ -M--p. d 1 -- p = k$lp$k. Ce recepteur,
(6)
defini par les {q*},
permettant
d’atteindre
R( dp*) : R(d), est 1’o.c.o. recherche. Chaque c* depend de pi, p:, et dp* et l’equation
mettre sous la forme $r&
(6) peut se
+ VP = 0. Comme d’autre part, d = P: = 1 - tr ( iFI M p&q -*),
la distor-
M-l I -.
sion est telle que 0 5 d I d,, Pour expliciter le recepteur, considerons par exemple le cas pour lequel les operateurs den&# sont tels que (p)- ’ existe. On a alors a partir de (6) &(p)-‘kj =-v$6,+Goti(tr g=O),desorteque:
L’autre solution ~7 * = - 1 & ( JJ)- ’ 6, diffkre de la precedente car [( p )- ‘, ii ] # 0. Ainsi les { 6 *} ne sont pas des projecte\rs [5] et leur rang est, en general, 2 1. A partir de (3) on montre que les vecteurs 1, p et r* sont coplanaires et que r* est proportionnel a p = [p,, .... ~~1’ oti 5,
La solution
(ci,j-cl)bi,jwj,k
comme un vecteur de ( ye”i = ‘(p, r), plan dans 1 (&), vecteurs d’entree {uk}r= r, dtfinie comme en [6] et telle que
optimale
r* peut etre aussi vue
de dimension
M dans la base des
Cela montre que r* =p si d = PI = 0 et tend a &re colineaire 2 1 lorsque d augmente. En outre, d,, M-l POW pi=&. correspond a la condition : au moins une composante de r* = 0, soit d,, =M M
Hormis
2,
on trouve 3,
{T”}E r&epteur
9 d
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tel que dp e
&P’={P$}E
par le p.o.m.
j pi tr ( p?nT” ) soit minimum
9’~
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Pour
2 E 9,
et oti
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tr (fif$O)}.
dp, est precisbment p:d,Idld-},
1’o.d.o.
la c.n.s. d’avoir
{q*}
= {q’}n
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Pour est qut 669
C. Bendjaballah
pour
M
et al.
&at;
purs
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o=P~=l-~& L’existence L’o.d.o.3, 4. Condition
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1’o.d.o.
sous la condition
est connu
pi20,k~
[3]
6’ = &?‘fik’,
J, telle que tr(fi?‘)>
1.
de 6’ = )2$)( ty 1 es: assuree par la condition 3 EE Jr, ZJ~f 0, telle que tr ($? ’ ) = 1. ensemble de projecteurs de rang 1, est alors unique et est tel que 1 5 rang ( q * ) I M [7]. d’Cquivalence
entre o.d.o. et O.C.O.
Soient Zp et d, obtenus a partir de P, et supposons connus R(d) et d, alors 3 P* E @‘* tel que Zp*( dp*) 2 R(d) * Zp( dp) 2 Zp*( dp) 2 R(d). Pour qu’il y ait equivalence entre o.d.o. et o.c.o., dp* doit verifier dp* = min dp, ce qui implique que, pour differents canaux d’informap= ~(O
(IprR(d))
On peut done conclure que la minimisation de l’information mutuelle, pour un coot moyen donne, est Cquivalente a la minimisation du cot% moyen, pour une information mutuelle donnee. La relation recherchee entre detection et distorsion est ainsi Ctablie dans l’intervalle 9 = [ 0, d,,] . Pour d > d,,,, parce que R( d > d,, ) = 0, r et p deviennent independants, cette relation disparait. A defaut d’une reciproque stricte, on propose quelques indications pour bomer la solution troude. La condition 1 = &p-r est d’abord necessaire afin d’avoir T$* de rang 1 comme l’est q”. Le second point vient du fait que 1’o.d.o est unique alors que 1’o.c.o. depend de d. On peut rtsoudre cette difficult6 en bomant ?? a n-avers la capacite utilisee comme critere complementaire. En effet, d’apres le theoreme fondamental, la valeur d* pour laquelle R( d” ) = C est la valeur minimale de l’erreur en detection. Aussi, &ant don& 2, R(d) et C, notons R( d,i,) = try;xh C = C, et = min. C = C, et designons par Eli” et I%,, correspondant 21CM et CA respectivement. {qle z7 Pour d* tel que dminI d* I d,, et a partir de R( d* ) = C, d,i, 5 dp I d* 5 dmax,car le canal opere sous c,. Des lors, on a necessairement ?ti, c ?? G ?? !z zmax, inclusions qui constituent les bomes recherchees.
R( d,,,)
RCfkences [l] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
bibliographiques
Berger T., Rate Distortion Theory: A Mathematical Basis for Data Compression, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971, ch. 2, pp. 13-64. Cover T.M., Thomas J.A., Elements of Information Theory, John Wiley & Sons Inc., New York, 1991, ch. 13, pp. 336-373. Helstrom C.W., Quantum Detection and Estimation Theory, Academic Press, New York, 1976, ch. IV, pp. 88-118. Davies E.B., Information and quantum measurement, IEEE Trans. Inform. Theory IT-24 (1978) 596599. Holevo A., Information-Theoretical Aspects of Quantum Measurement, traduit de Probl. Pered. Inf. 9 (1973) 31-42 Bendjaballah C., Charbit M., Quantum communication with coherent states, IEEE Trans. Inform. Theory IT-35 (1989) 1114-1123. Belavkin VP, Optimal multiple quantum statistical hypothesis testing, Stochastics 1 (1975) 315-345.
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