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Remarques sur les cycles de petite dimension de certaines intersections complètes
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, SCrie I, p. 141-146, CComCtrie algCbrique/A/gebraic Geometry
Remarques de certaines Anna
sur les cycles intersections
1999
de petite dimension compl&tes
OTWINOWSKA
Institut 75252
de Paris
(ReGu
et
mathkmatiques cedex 05, accept6
RCsumC.
le
1”’
de France
Jussieu,
mars
1999)
UMR
7586,
Universite
Pierre-et-Marie-Curie,
4,
place
Jussieu,
On montre que la conjecture de Bloch-Beilinson pour les hypersurfaces implique la conjecture de Bloch-Beilinson pour certaines intersections completes. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris The Bloch-Be&son states
conjecture
for
complete
intersections
Abstract.
We prove that the Bloch-Beilinson conjecture for hypersurfaces implies the Bloch-Beilinson conjecture for some complete intersections 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier,Paris
A bridged
English
Version
The Bloch-Beilinson
conjecture for complete intersections states:
- Let X c PF be a smooth complete intersection of multidegree (dl, . . . , d,). Then if n - CL=‘=, di 2 k . max(di, i E (1,. . . ,r}), we have CHk(X),,, @ Q = 0, where CHk(X),,, is the subgroup of CHI,(X) of cycles homologically equivalent to 0. The above conjecture can be extended to singular complete intersections in the following way: CONJECTURE.
- Let X c Pz be a complete intersection of multidegree (dl, . . . , d,). Then @ Q = 0. > k . max(di, i E {l,.. . , r}), we have CHk(X - SingX),,;, d,) denote the stronger conjecture for complete intersections of multidegree Let 7-l,(dl,..., (dl, . . . ,d,) in Pz. We show: STRONGER
CONJECTURE.
if n - CIzldi
THEOREM 1. - Let dl, . . . , dTeI, d be non-zero integers such that d 2 di for all i E { 1, . . . , r - 1). We have : 1. 7-&(dl,... ,d,-l,d) * X,(6 ,..., A--1,44;
2 IFtn(dl,...,d,-l,d-1) . X+1(&, ‘. . ,h-l,4 Note prbsentbe par 0764-4442/99/03290141
Jean-Pierre
0 Acadkmie
+ %,(dl,...,
d,-l,d-
1,d);
SERRE.
des SciencesElsevier,
Paris
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A. Otwinowska
3. let (dl,... , d,) be a multidegree such that for any i E { 1,. . . , r} any complete intersection @ Q = 0. Then any X c Pp of multidegree (dl, . . . , d,-1) satisfies CH ,+1(X - SingX),,;, complete intersection Y c Pz of multidegree (di, . . . , dt), with d: 5 di for any i E { 1,. . . , r}, satis$es CHk(Y - SingY),,i, @ Q = 0. The stronger conjecture is clearly true for quadtics, and proved for 2-, 3- and 4-cycles in cubits of respective dimensions 8, 11 and 14 (see [6]). Thus the theorem implies the following: COROLLARY1. - The stronger conjecture is true for any complete intersection of quadrics, and for a complete intersection of cubits in Pz for n 5 15.
1. Introduction On commence par rappeler un theoreme classique, qui a Cte montre par Mumford [5] pour les O-cycles sur les surfaces, Roitman [8] pour les O-cycles, et enfin Paranjape [7] dans le cas general, en utilisant des methodes de decomposition de la diagonale developpees par Bloch et Srinivas [2]. THBORI~ME 1. - Suit X une variete’ projective lisse de dimension N. Si l’application classe C&(X) @ Q --+ H 2N-2t(X , Q) est injective pour tout 1 < - k, alors on a H’J(X, W) = 0 pour P # qj q I k. La reciproque de ce theorbme a CtC conjecturee par Bloch et Beilinson. Or darts le cas des intersections completes on a : TH~OR#~ME 2. - Suit X c PE une intersection complete lisse de multidegre’ (dl, . . . , d,). Alors on a H’(X, W) = 0 pour p # q, q < k, si et seulement si n - CL=‘=,di 2 k . max(di, i E (1,. . . , r}). (Vbir par exemple [3].) Ainsi la conjecture de Bloch-Beilinson devient : CONJECTURE1. - Suit X c PE une intersection complete lisse de multidegre (dl, . . . , d,). Alors si n - cI=, di 2 k . max(d;, i E (1,. . . ,r}), on a CHI,(X)~~~ designe le sous-groupe de CHI,(X) constime’ par les cycles homologiquement equivalents a 0. + CHk(X)). Notons que cette definition est aussi On pose CHk(X)prim := Coker(CHh+T(P”) valable lorsque X est remplace par n’importe quelle variete quasi-projective. Dans le cas d’une intersection complete cette notion generalise a torsion p&s et en petite dimension celle de CHI,(X),,,. En effet, le theoreme de Lefschetz montre que si X est une intersection complete lisse, pour k < (n - r)/2, l’application naturelle CHk(X),,, + CHk(X)nrim est un isomorphisme a torsion p&s. On s’interessera d’ailleurs dans la suite uniquement aux cycles a coefficients rationnels. Cela permet de formuler un &once legerement plus general. CONJECTURE1 RENFORC~E.- Suit X c P; une intersection complete de multidegre’ (d,, . . . , d,). Alors si n - XI=‘=, d; > k . max(di, i E (1,. . . , r}), on a CHI,(X - SingX),,i, @ Q = 0. Cet &once est equivalent au premier lorsque X est non singuliere. Pour une intersection complete singuliere X telle que dim(SingX) < k, il entraine que CHI,(X)~~~~ @I Q = 0 si n - Cl=‘=, di 2 k . max(di,i E (1,. . . ,r}). On note 7-& ( dl, . . . , d,) la conjecture 1 renforcee pour les intersections completes de multidegre (dl,...,d,) dans $2. Le but de cette Note est de montrer le TH~ORI?ME3. - Soient dl, . . .,d,-l,ddesentiersnonnulstelsqued On a : 1. %(dl,...,d,-l,d) * X(4 ,..., &-1,&d);
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2 dipourtouti
E {l,...,r-1).
Remarques
2
sur les cycles de petite dimension
de certaines
intersections
compktes
%@l,...,~T-l,~-q * .
3-In+l(~l,...,~T-l,~)
?&(dl,
. . . ,A-l,d
-
l,d);
I
3. on se donne un multid;gre’ (dl , . . . , d,). On suppose que pour tout i E (1,. . . , r} tome intersection complete X C Pz de multidegre’ (d,, . . . , d,-i) ve’rifie CHk+i(X - SingX),,;, @ Q = 0. Alors tome intersection complete Y c PE de multidegre’ (d:, . . , dt), avec dz 5 di pour tout i E {l,... , T}, ve’rifie CHI,(Y - SingY),,;, @ Q = 0. La conjecture 1 renforcee Ctant triviale pour les quadriques, et demontree pour les 2-, 3- et 4-cycles pour les cubiques de dimensions respectives 8, 11 et 14 (voir [6]), on a en particulier le corollaire suivant : COROLLAIRE1. - La conjecture 1 renforcee est vraie pour une intersection complete quelconque de quadriques, et pour une intersection complete de cubiques dans $“,, avec n 5 15.
2. Demonstration
du thCo&me
3.1
Soit Y une intersection complete de multidegre (dl , . . . , d,-1, d, d) dans $“. Alors Y est l’intersection : - d’une intersection complete X de multidegre (d, , . . . , dVdI), - de deux hypersurfaces Xi et X2 de degre d. Soit P 21 Pk le pinceau engendre par Xi et X2 dans $(H” (0x (d))). A un Clement Q: de P correspond une hypersurface X, de X qui est une intersection complete de multidegre dans pn. On a alors Y = ncvEPXa. On pose (4,. . . ,d,-l,d) x := ((5,Q)
E x x P; z E X,}.
On note T la projection de X sur X, et p la projection de X sur P. On via T a l’eclate de X le long de Y. On pose Uy := Y - SingY et Ux On a Uy = U, II Y ; en particulier, Uy est un ferme dans U X. On obtenu comme &late de Ux le long de U y. On a done 24 = r-l (Ux). du groupe de Chow d’un &late on a
remarque que X s’indentifie := X - (SingX U SingY). note U l’ouvert lisse de X Par la description classique
C&+1(U) p CHk+l(Ux) @CHI,(UY), oti l’application ZHZXP.
CHk ( I!&)
---t CHk+l(U)
(1)
est definie sur les sous-varietes fermees de Uy par
1. - La jibres U, := p-‘(a) de p : U + P sont g&ne’riquement lisses, et si n - (Czit di + d) 2 kd, la propriete ‘HFl,(dl, . . . , d,-1, d) &ant supposee vraie, CHk+i(U),,i, @Q est engendre’ par les cycles a support dans les jibres de p. Ici CHk+l(U)p,i, est defini comme le quotient C.H~+~(U)/T*(CH~+,(P”)). LEMME
Demonstration. - La lissite generique des fibres resulte, par le theorbme de Bertini, de ce que U et P sont lisses. On en deduit que pour a E P generique l’application T identifie U, B un ouvert @ Q = 0, car U, de Zariski de X, - SingX,. Par FIFl,(dl, . . . , d,-1, d), cela implique CHI,(U,),,;, est un ouvert de Zariski de X, - SingX,. Soit maintenant 2 E CHk+l(U). Comme CHk(U,) 8 Q est engendre par une puissance de la classe d’une section hyperplane H := ~~*ci(Ox(l)), il existe N E N* et m E N tels que la restriction de NZ - mr*Hn--lc--r a une fibre generique U, s’annule dans CHk(Ua) ; par un argument classique dQ a Bloch et Srinivas [2], cela implique qu’un multiple cl de NZ - mr*Hm--lc--r est a support dans les fibres de p. Demonstration du theoreme 3.1. - On suppose dtsormais que n - (~~~~ di td) done par %(dl, . . . , d,-1, d) que pour tout Q: E P, on a CH k+l (X, - SingX,),,i,
2 (k + 1)d. On sait @ Q = 0. D’apres 143
A. Otwinowska
le lemme 1, on sait aussi que CHk+r(U),,i, @IQ est engendrt? par des cycles a support dans les fibre de p : mais comme CHk+r (X, - SingX,),,i, @Q = 0, un cycle support6 sur U, est rationnellemer equivalent, a torsion pres, a la somme d’un cycle supporte sur SingU, et d’un multiple de HnekPT Or l’application surjective f : C&+1(u) C&(h), donne par la seconde projection dans la decomposition (l), consiste, au signe p&s, a intersecter le cycles avec le diviseur exceptionnel Uy x Pr et a projeter le resultat sur Uy. Si I’on applique ceci un cycle support6 sur U,, cela revient simplement a l’intersecter avec Uy C U,. Or, pour tout Q, 0 a Y n SingX, c Singy, et done SingU, ne rencontre pas Uy ; il resulte alors de ce qui precede qu l’image de f est engendre par la restriction a Y de Hnmrcer et par l’image par f de 7r*Hn-lc-‘, qt est nulle. Done CHk(UY)prim @ Q = 0 et ?f,(dr, . . . , d,-1, d, d) est prouvee. 3. DCmonstration
du thCori?me 3.2.
Soit Y une intersection complete intersection complete : - d’une intersection complete X - d’une hypersurface 5’ de degre - d’une hypersur-face T de degre Soit I”; c PE+l defini par X,+,
de multidegre
(dl , . . . , dFoI, d - 1, d) dans Pp. Alors Y e:
de multidegre (dl, , . . , d,-I) ; d - 1 definie par un polynome F(Xa, . . . , X,) d dtfinie par un polynome G(Xa, . . . , Xn).
;
= 0 et soit
7T: q+l - 0 ---+ PZ, n(Xo, . . . ,Xn,Xn+1) =(X0,..-,%&), la projection de centre 0 := (0,. . . , 0,l). On note X’ le cone de sommet 0 et de base X dar P z+l, et 2 l’hypersurface de X’ definie par X n+lF + G = 0. C’est une intersection complete d multidegre (dl , . . . , d,-r, d) dans PE+l. Soient $l, F les Cclatements respectifs de iF’F+r, X’ en 0, et soit ,??le transform6 strict d 2 dans X’. LEMME 2. - Soit r : z + Z l’application d’&Iatement. On a r-l(O)
N X II S.
Dkmonstration. - % est l’adherence dans X’ x P” de l’ensemble ((2, w) E (X’ - 0) x F’” T(Z) = w}. Comme n(X’) = X, 5 est done certainement contenu dans l’ensemble ((2, w) (X’ - 0) x x ; 7r(z) = w}. c omme ils ont la m&me dimension, on doit en fait avoir l’egalite, et o a done une identification naturelle du diviseur exceptionnel de F avec X. Soient d’autre part ( yor . . . , yJn) les coordonnees locales naturelles sur Pntl au voisinage de (obtenues en faisant X,+r = 1). L’equation dCshomogCntisCe f (ya, . . . , yn) + g( yo, . . . , yn) dont 1 restriction a X’ fl .?I definit 2, a pour terme homogbne de plus bas degre l’tquation f(yo, . . . , yn’ Un calcul local montre alors que le diviseur exceptionnel de l’eclatement de 2 en 0 s’identifie a diviseur exceptionnel de l’eclatement de 2’ en 0, oii 2’ c X’ est defini par F = 0, c’est-a-dire est 1 cone sur X n S. Done, par ce qui precede, ce diviseur exceptionnel s’identifie a X n S. [
-
LEMME 3. - On note encore z- : Pz+’ -+ P; la projection induite par T. Soit K le long de Y. Alors T(E ..2----+x s’identifie & l’kclatement z
144
--+ X de Y dans X.
l’tklate’ de J
Remarques
sur les cycles de petite dimension
de certaines
intersections
compktes
D&monstration. - Comme 2 C X’, on a ~(2 - 0) c X. Comme l’equation X,+lF + G = 0 s’annule a l’ordre d - 1 en 0, une droite generique incluse dans X’ et passant par 0 rencontre 2 - 0 en exactement un point. Done ~lz-0 : 2 - 0 ---t X est dominant gCnCriquement fini de degre 1. De plus, par le m&me argument, les fibres de dimension positive de T sont exactement les droites du cone X’, au-dessus d’un point de Y. Le lieu exceptionnel E de K est done un diviseur fibre en P’l au-dessus de Y. 11 n’est enfin pas difficile de voir que E est de degre -1 sur chacun de ces PI. Done q TIE : 5 + X est bien l’eclatement g -+ X de Y dans X. Dkmonstration du the’or2me 3.2. - On suppose dtsormais que TZ- (Cl:: di + d + d - 1) 2 (k - 1)d. On a done aussi n + 1 - (CIzl di + d) 2. kd et n - (xi:; di + d - 1) 2 kd, ce qui permet d’appliquer les hypotheses tiFl,+l(dl,. . . , d,-1, d) et &(dl, . . . , d,-1, d - 1). D’apres le lemme 2, on a la suite exacte :
CHI,((X
n S),,) A Cl&(%) -
CJh(-G) -
o,
ou l’indice inferieur 0 designe la partie lisse de la variete consideree. Or, par ‘F&+r (dl , . . . , d,-1, d) on aCHk(Za)prim@Q = Oetpar’Fl,(dr,...,d,-r,d-1) onaCHk((XrlS)a)nrim@Q = O.OnendCduit que CHI,(~) @ Q est engendre par le pull-back de Hn+lArerc par T et par l’image de Hnprerc par j. Par le lemme 3, on en deduit que CHI, ( (K)o) @ Q est aussi engendre par ces deux classes ainsi que CHl,((ri-;)oo) @ Q, ou (x,)00 C (%)c est l’ouvert rrwl(Xo - SingY n X0). Or, par la description classique du groupe de CHOW d’un &late, CH~,((g)aa)
= CHk(Xa - SingY n X0) $ CHk-i(Y
- SingY).
Si f est la projection sur le second terme, le Q-espace vectoriel CHk-r(Y - SingY) est done engendre par f(~*H~+l-~-~) et par f(j*HndrsL). 11 est immediat de vCrifier que ces deux classes sont des multiples de Hn--T--k E CHk-r(Y - SingY). Done CHk-i(Y - SingY),,i, = 0. 4. DCmonstration
du thCor&me 3.3.
On raisonne par recurrence sur T. Pour T = 0 l’enonce est vide. On suppose le resultat vrai pour T - 1. 11 suffit alors de montrer l’enonce pour une intersection complete Y c PE de multidegre Cdl,..., dipl, di - 1, di+l, . . . , d,). Soit H C PF une section hyperplane. Soit L l’intersection complete de multidegre (6,. . . , di-l,l, &+I,. . . , d,) obtenue a partir de Y en remplacant la i-&me equation par la forme lineaire definissant H. On a Y n H = Y n L. D’autre part, Y U L a une structure naturelle d’intersection complete de multidegre ( dl , . . . , d,) et verifie done CHk((Y U L) - Sing(Y U L))prim @ Q = 0. Comme Y n L c Y U L est singulier, Y - ((Y n H) U SingY) est une composante connexe de (Y U L) - Sing(Y U L), et done CHk(Y - ((Y n H) U SingY),,i, 8 Q = 0. Par la suite exacte de localisation, cela est equivalent a la surjectivite du morphisme C&((Y
- SingY) n H)prim @ Q -+
CHk(Y - SingY)),,i,
@IQ.
Done tout k-cycle de Y est support6 sur une section hyperplane gentrique de Y. Or on a lemme suivant : LEMME 4. - Soit Y c PE une sous-vari&+ quasi-projective lisse. Soit 2 E CHI,(Y) tel que, pour l’hyperplan g&&ique a E PF”, Z est rationnellement kquivalent duns Y & un cycle w E CHI,(Y n CV)@IQ. Alors, il existe W E CHk+r(Y) @JQ tel que Z = h . W, 02 h = cr(c3y (1)).
145
A. Otwinowska Dkmonstration.
L’hypothbse
- On pose
nous dit qu’il
Z = j,Wo n (Y
x
existe un cycle Wo E CH,+k(JJ)
& Q tel que pour cy E PF‘
{a}).
Or la restriction j* : CHk+,+l(Y
x P;“)
-
C&+,(Y)
est surjective car y et Y x IP;” sont des fib& projectifs sur Y. Done il exlste WI E CHk+n+l (Y x P;“) 8 Q tel que W0 = j* WI. Mais Y est un diviseur d classe h i- g dans Y x P;“, 06 g = &cl(Opn (1)). Done j,Wo = (h + g) WI. En restreignant cett CgalitC A Y x {a}, on obtient alors Z = h ’ W, avec W = WI n X x {a}, du fait que g est nul su C x x {a}. Donnons-nous maintenant Z E CH k+l(Y - SingY),,;, @ Q. Soit X c Pp l’intersection complbt de multidegrk (dl,. . . , di-l, di - 1, d;+l,. . . , d,-,) obtenue en enlevant la demikre kquation de degr [4: d, dkfinissant Y. On a Y n SingX c SingY. Soit i : Y it X l’immersion fermke. D’apk Chap. 6, car. 6.3, p. 102, on a : d,(Z
. H) = Z . q(N(X,Y))
= i*&(Z).
Or, par hypoth&se de rCcurrence, on a CHk+l(X - SingX),,i, @ Q = 0, et, comme la restriction de i*&(Z) 2 Y - SingY se factorise a travers CHk+l(X),,,, @ Q, on a Z . H = 0. Par le lemmt 4 cela implique CH,+(Y - SingY),,;, @ Q = 0. Remerciements. Je remercie
Claire
Voisin pour avoir patiemment
relu et corrigC les versions preliminaire
de cette Note.
R6fkences
bibliograpbiques
[ll Beauville A., Donagi R., Sur les groupes de Chow de certaines hypersurfaces, C. R. Acad. Sci. Paris 301 Strie 1 (1985) 73-76 [Zl Bloch S., Srinivas V., Remarks on-correspondences and algebraic cycles, Amer. J. Math. 105 (1980) 1235-1253. [31 Esnault H., Levine M., Viehweg E., Chow groups of projective varieties of very small degree, Duke Math. J. 87 (1 (1992) 29-58. [41 Fulton W., Intersection Theory, Ergeb der Math. und ihrer Grenzg., Springer-Verlag, 1984. [5] Mumford D., Ratinal equivalence of zero-cycles on surfaces, J. Math. Kyoto Univ. 9 (1969). [6] Otwinowska A., Remarques sur les groupes de Chow des hypersurfaces de petit degr6, C. R. Acad. Sci. Paris 328 SCrie ( 1999) (a paraitre). [71 Paranjape K., Cohomological and cycle-theoretic connectivity, Ann. Math. 139 Strie 2 (1994) 641-660. [S] Roitman A.A., Rational equivalence of zero-cycles, Math. USSR Sbomik 18 (1971) 571-588.
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sur les cycles intersections
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On montre que la conjecture de Bloch-Beilinson pour les hypersurfaces implique la conjecture de Bloch-Beilinson pour certaines intersections completes. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris The Bloch-Be&son states
conjecture
for
complete
intersections
Abstract.
We prove that the Bloch-Beilinson conjecture for hypersurfaces implies the Bloch-Beilinson conjecture for some complete intersections 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier,Paris
A bridged
English
Version
The Bloch-Beilinson
conjecture for complete intersections states:
- Let X c PF be a smooth complete intersection of multidegree (dl, . . . , d,). Then if n - CL=‘=, di 2 k . max(di, i E (1,. . . ,r}), we have CHk(X),,, @ Q = 0, where CHk(X),,, is the subgroup of CHI,(X) of cycles homologically equivalent to 0. The above conjecture can be extended to singular complete intersections in the following way: CONJECTURE.
- Let X c Pz be a complete intersection of multidegree (dl, . . . , d,). Then @ Q = 0. > k . max(di, i E {l,.. . , r}), we have CHk(X - SingX),,;, d,) denote the stronger conjecture for complete intersections of multidegree Let 7-l,(dl,..., (dl, . . . ,d,) in Pz. We show: STRONGER
CONJECTURE.
if n - CIzldi
THEOREM 1. - Let dl, . . . , dTeI, d be non-zero integers such that d 2 di for all i E { 1, . . . , r - 1). We have : 1. 7-&(dl,... ,d,-l,d) * X,(6 ,..., A--1,44;
2 IFtn(dl,...,d,-l,d-1) . X+1(&, ‘. . ,h-l,4 Note prbsentbe par 0764-4442/99/03290141
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3. let (dl,... , d,) be a multidegree such that for any i E { 1,. . . , r} any complete intersection @ Q = 0. Then any X c Pp of multidegree (dl, . . . , d,-1) satisfies CH ,+1(X - SingX),,;, complete intersection Y c Pz of multidegree (di, . . . , dt), with d: 5 di for any i E { 1,. . . , r}, satis$es CHk(Y - SingY),,i, @ Q = 0. The stronger conjecture is clearly true for quadtics, and proved for 2-, 3- and 4-cycles in cubits of respective dimensions 8, 11 and 14 (see [6]). Thus the theorem implies the following: COROLLARY1. - The stronger conjecture is true for any complete intersection of quadrics, and for a complete intersection of cubits in Pz for n 5 15.
1. Introduction On commence par rappeler un theoreme classique, qui a Cte montre par Mumford [5] pour les O-cycles sur les surfaces, Roitman [8] pour les O-cycles, et enfin Paranjape [7] dans le cas general, en utilisant des methodes de decomposition de la diagonale developpees par Bloch et Srinivas [2]. THBORI~ME 1. - Suit X une variete’ projective lisse de dimension N. Si l’application classe C&(X) @ Q --+ H 2N-2t(X , Q) est injective pour tout 1 < - k, alors on a H’J(X, W) = 0 pour P # qj q I k. La reciproque de ce theorbme a CtC conjecturee par Bloch et Beilinson. Or darts le cas des intersections completes on a : TH~OR#~ME 2. - Suit X c PE une intersection complete lisse de multidegre’ (dl, . . . , d,). Alors on a H’(X, W) = 0 pour p # q, q < k, si et seulement si n - CL=‘=,di 2 k . max(di, i E (1,. . . , r}). (Vbir par exemple [3].) Ainsi la conjecture de Bloch-Beilinson devient : CONJECTURE1. - Suit X c PE une intersection complete lisse de multidegre (dl, . . . , d,). Alors si n - cI=, di 2 k . max(d;, i E (1,. . . ,r}), on a CHI,(X)~~~ designe le sous-groupe de CHI,(X) constime’ par les cycles homologiquement equivalents a 0. + CHk(X)). Notons que cette definition est aussi On pose CHk(X)prim := Coker(CHh+T(P”) valable lorsque X est remplace par n’importe quelle variete quasi-projective. Dans le cas d’une intersection complete cette notion generalise a torsion p&s et en petite dimension celle de CHI,(X),,,. En effet, le theoreme de Lefschetz montre que si X est une intersection complete lisse, pour k < (n - r)/2, l’application naturelle CHk(X),,, + CHk(X)nrim est un isomorphisme a torsion p&s. On s’interessera d’ailleurs dans la suite uniquement aux cycles a coefficients rationnels. Cela permet de formuler un &once legerement plus general. CONJECTURE1 RENFORC~E.- Suit X c P; une intersection complete de multidegre’ (d,, . . . , d,). Alors si n - XI=‘=, d; > k . max(di, i E (1,. . . , r}), on a CHI,(X - SingX),,i, @ Q = 0. Cet &once est equivalent au premier lorsque X est non singuliere. Pour une intersection complete singuliere X telle que dim(SingX) < k, il entraine que CHI,(X)~~~~ @I Q = 0 si n - Cl=‘=, di 2 k . max(di,i E (1,. . . ,r}). On note 7-& ( dl, . . . , d,) la conjecture 1 renforcee pour les intersections completes de multidegre (dl,...,d,) dans $2. Le but de cette Note est de montrer le TH~ORI?ME3. - Soient dl, . . .,d,-l,ddesentiersnonnulstelsqued On a : 1. %(dl,...,d,-l,d) * X(4 ,..., &-1,&d);
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2 dipourtouti
E {l,...,r-1).
Remarques
2
sur les cycles de petite dimension
de certaines
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l,d);
I
3. on se donne un multid;gre’ (dl , . . . , d,). On suppose que pour tout i E (1,. . . , r} tome intersection complete X C Pz de multidegre’ (d,, . . . , d,-i) ve’rifie CHk+i(X - SingX),,;, @ Q = 0. Alors tome intersection complete Y c PE de multidegre’ (d:, . . , dt), avec dz 5 di pour tout i E {l,... , T}, ve’rifie CHI,(Y - SingY),,;, @ Q = 0. La conjecture 1 renforcee Ctant triviale pour les quadriques, et demontree pour les 2-, 3- et 4-cycles pour les cubiques de dimensions respectives 8, 11 et 14 (voir [6]), on a en particulier le corollaire suivant : COROLLAIRE1. - La conjecture 1 renforcee est vraie pour une intersection complete quelconque de quadriques, et pour une intersection complete de cubiques dans $“,, avec n 5 15.
2. Demonstration
du thCo&me
3.1
Soit Y une intersection complete de multidegre (dl , . . . , d,-1, d, d) dans $“. Alors Y est l’intersection : - d’une intersection complete X de multidegre (d, , . . . , dVdI), - de deux hypersurfaces Xi et X2 de degre d. Soit P 21 Pk le pinceau engendre par Xi et X2 dans $(H” (0x (d))). A un Clement Q: de P correspond une hypersurface X, de X qui est une intersection complete de multidegre dans pn. On a alors Y = ncvEPXa. On pose (4,. . . ,d,-l,d) x := ((5,Q)
E x x P; z E X,}.
On note T la projection de X sur X, et p la projection de X sur P. On via T a l’eclate de X le long de Y. On pose Uy := Y - SingY et Ux On a Uy = U, II Y ; en particulier, Uy est un ferme dans U X. On obtenu comme &late de Ux le long de U y. On a done 24 = r-l (Ux). du groupe de Chow d’un &late on a
remarque que X s’indentifie := X - (SingX U SingY). note U l’ouvert lisse de X Par la description classique
C&+1(U) p CHk+l(Ux) @CHI,(UY), oti l’application ZHZXP.
CHk ( I!&)
---t CHk+l(U)
(1)
est definie sur les sous-varietes fermees de Uy par
1. - La jibres U, := p-‘(a) de p : U + P sont g&ne’riquement lisses, et si n - (Czit di + d) 2 kd, la propriete ‘HFl,(dl, . . . , d,-1, d) &ant supposee vraie, CHk+i(U),,i, @Q est engendre’ par les cycles a support dans les jibres de p. Ici CHk+l(U)p,i, est defini comme le quotient C.H~+~(U)/T*(CH~+,(P”)). LEMME
Demonstration. - La lissite generique des fibres resulte, par le theorbme de Bertini, de ce que U et P sont lisses. On en deduit que pour a E P generique l’application T identifie U, B un ouvert @ Q = 0, car U, de Zariski de X, - SingX,. Par FIFl,(dl, . . . , d,-1, d), cela implique CHI,(U,),,;, est un ouvert de Zariski de X, - SingX,. Soit maintenant 2 E CHk+l(U). Comme CHk(U,) 8 Q est engendre par une puissance de la classe d’une section hyperplane H := ~~*ci(Ox(l)), il existe N E N* et m E N tels que la restriction de NZ - mr*Hn--lc--r a une fibre generique U, s’annule dans CHk(Ua) ; par un argument classique dQ a Bloch et Srinivas [2], cela implique qu’un multiple cl de NZ - mr*Hm--lc--r est a support dans les fibres de p. Demonstration du theoreme 3.1. - On suppose dtsormais que n - (~~~~ di td) done par %(dl, . . . , d,-1, d) que pour tout Q: E P, on a CH k+l (X, - SingX,),,i,
2 (k + 1)d. On sait @ Q = 0. D’apres 143
A. Otwinowska
le lemme 1, on sait aussi que CHk+r(U),,i, @IQ est engendrt? par des cycles a support dans les fibre de p : mais comme CHk+r (X, - SingX,),,i, @Q = 0, un cycle support6 sur U, est rationnellemer equivalent, a torsion pres, a la somme d’un cycle supporte sur SingU, et d’un multiple de HnekPT Or l’application surjective f : C&+1(u) C&(h), donne par la seconde projection dans la decomposition (l), consiste, au signe p&s, a intersecter le cycles avec le diviseur exceptionnel Uy x Pr et a projeter le resultat sur Uy. Si I’on applique ceci un cycle support6 sur U,, cela revient simplement a l’intersecter avec Uy C U,. Or, pour tout Q, 0 a Y n SingX, c Singy, et done SingU, ne rencontre pas Uy ; il resulte alors de ce qui precede qu l’image de f est engendre par la restriction a Y de Hnmrcer et par l’image par f de 7r*Hn-lc-‘, qt est nulle. Done CHk(UY)prim @ Q = 0 et ?f,(dr, . . . , d,-1, d, d) est prouvee. 3. DCmonstration
du thCori?me 3.2.
Soit Y une intersection complete intersection complete : - d’une intersection complete X - d’une hypersurface 5’ de degre - d’une hypersur-face T de degre Soit I”; c PE+l defini par X,+,
de multidegre
(dl , . . . , dFoI, d - 1, d) dans Pp. Alors Y e:
de multidegre (dl, , . . , d,-I) ; d - 1 definie par un polynome F(Xa, . . . , X,) d dtfinie par un polynome G(Xa, . . . , Xn).
;
= 0 et soit
7T: q+l - 0 ---+ PZ, n(Xo, . . . ,Xn,Xn+1) =(X0,..-,%&), la projection de centre 0 := (0,. . . , 0,l). On note X’ le cone de sommet 0 et de base X dar P z+l, et 2 l’hypersurface de X’ definie par X n+lF + G = 0. C’est une intersection complete d multidegre (dl , . . . , d,-r, d) dans PE+l. Soient $l, F les Cclatements respectifs de iF’F+r, X’ en 0, et soit ,??le transform6 strict d 2 dans X’. LEMME 2. - Soit r : z + Z l’application d’&Iatement. On a r-l(O)
N X II S.
Dkmonstration. - % est l’adherence dans X’ x P” de l’ensemble ((2, w) E (X’ - 0) x F’” T(Z) = w}. Comme n(X’) = X, 5 est done certainement contenu dans l’ensemble ((2, w) (X’ - 0) x x ; 7r(z) = w}. c omme ils ont la m&me dimension, on doit en fait avoir l’egalite, et o a done une identification naturelle du diviseur exceptionnel de F avec X. Soient d’autre part ( yor . . . , yJn) les coordonnees locales naturelles sur Pntl au voisinage de (obtenues en faisant X,+r = 1). L’equation dCshomogCntisCe f (ya, . . . , yn) + g( yo, . . . , yn) dont 1 restriction a X’ fl .?I definit 2, a pour terme homogbne de plus bas degre l’tquation f(yo, . . . , yn’ Un calcul local montre alors que le diviseur exceptionnel de l’eclatement de 2 en 0 s’identifie a diviseur exceptionnel de l’eclatement de 2’ en 0, oii 2’ c X’ est defini par F = 0, c’est-a-dire est 1 cone sur X n S. Done, par ce qui precede, ce diviseur exceptionnel s’identifie a X n S. [
-
LEMME 3. - On note encore z- : Pz+’ -+ P; la projection induite par T. Soit K le long de Y. Alors T(E ..2----+x s’identifie & l’kclatement z
144
--+ X de Y dans X.
l’tklate’ de J
Remarques
sur les cycles de petite dimension
de certaines
intersections
compktes
D&monstration. - Comme 2 C X’, on a ~(2 - 0) c X. Comme l’equation X,+lF + G = 0 s’annule a l’ordre d - 1 en 0, une droite generique incluse dans X’ et passant par 0 rencontre 2 - 0 en exactement un point. Done ~lz-0 : 2 - 0 ---t X est dominant gCnCriquement fini de degre 1. De plus, par le m&me argument, les fibres de dimension positive de T sont exactement les droites du cone X’, au-dessus d’un point de Y. Le lieu exceptionnel E de K est done un diviseur fibre en P’l au-dessus de Y. 11 n’est enfin pas difficile de voir que E est de degre -1 sur chacun de ces PI. Done q TIE : 5 + X est bien l’eclatement g -+ X de Y dans X. Dkmonstration du the’or2me 3.2. - On suppose dtsormais que TZ- (Cl:: di + d + d - 1) 2 (k - 1)d. On a done aussi n + 1 - (CIzl di + d) 2. kd et n - (xi:; di + d - 1) 2 kd, ce qui permet d’appliquer les hypotheses tiFl,+l(dl,. . . , d,-1, d) et &(dl, . . . , d,-1, d - 1). D’apres le lemme 2, on a la suite exacte :
CHI,((X
n S),,) A Cl&(%) -
CJh(-G) -
o,
ou l’indice inferieur 0 designe la partie lisse de la variete consideree. Or, par ‘F&+r (dl , . . . , d,-1, d) on aCHk(Za)prim@Q = Oetpar’Fl,(dr,...,d,-r,d-1) onaCHk((XrlS)a)nrim@Q = O.OnendCduit que CHI,(~) @ Q est engendre par le pull-back de Hn+lArerc par T et par l’image de Hnprerc par j. Par le lemme 3, on en deduit que CHI, ( (K)o) @ Q est aussi engendre par ces deux classes ainsi que CHl,((ri-;)oo) @ Q, ou (x,)00 C (%)c est l’ouvert rrwl(Xo - SingY n X0). Or, par la description classique du groupe de CHOW d’un &late, CH~,((g)aa)
= CHk(Xa - SingY n X0) $ CHk-i(Y
- SingY).
Si f est la projection sur le second terme, le Q-espace vectoriel CHk-r(Y - SingY) est done engendre par f(~*H~+l-~-~) et par f(j*HndrsL). 11 est immediat de vCrifier que ces deux classes sont des multiples de Hn--T--k E CHk-r(Y - SingY). Done CHk-i(Y - SingY),,i, = 0. 4. DCmonstration
du thCor&me 3.3.
On raisonne par recurrence sur T. Pour T = 0 l’enonce est vide. On suppose le resultat vrai pour T - 1. 11 suffit alors de montrer l’enonce pour une intersection complete Y c PE de multidegre Cdl,..., dipl, di - 1, di+l, . . . , d,). Soit H C PF une section hyperplane. Soit L l’intersection complete de multidegre (6,. . . , di-l,l, &+I,. . . , d,) obtenue a partir de Y en remplacant la i-&me equation par la forme lineaire definissant H. On a Y n H = Y n L. D’autre part, Y U L a une structure naturelle d’intersection complete de multidegre ( dl , . . . , d,) et verifie done CHk((Y U L) - Sing(Y U L))prim @ Q = 0. Comme Y n L c Y U L est singulier, Y - ((Y n H) U SingY) est une composante connexe de (Y U L) - Sing(Y U L), et done CHk(Y - ((Y n H) U SingY),,i, 8 Q = 0. Par la suite exacte de localisation, cela est equivalent a la surjectivite du morphisme C&((Y
- SingY) n H)prim @ Q -+
CHk(Y - SingY)),,i,
@IQ.
Done tout k-cycle de Y est support6 sur une section hyperplane gentrique de Y. Or on a lemme suivant : LEMME 4. - Soit Y c PE une sous-vari&+ quasi-projective lisse. Soit 2 E CHI,(Y) tel que, pour l’hyperplan g&&ique a E PF”, Z est rationnellement kquivalent duns Y & un cycle w E CHI,(Y n CV)@IQ. Alors, il existe W E CHk+r(Y) @JQ tel que Z = h . W, 02 h = cr(c3y (1)).
145
A. Otwinowska Dkmonstration.
L’hypothbse
- On pose
nous dit qu’il
Z = j,Wo n (Y
x
existe un cycle Wo E CH,+k(JJ)
& Q tel que pour cy E PF‘
{a}).
Or la restriction j* : CHk+,+l(Y
x P;“)
-
C&+,(Y)
est surjective car y et Y x IP;” sont des fib& projectifs sur Y. Done il exlste WI E CHk+n+l (Y x P;“) 8 Q tel que W0 = j* WI. Mais Y est un diviseur d classe h i- g dans Y x P;“, 06 g = &cl(Opn (1)). Done j,Wo = (h + g) WI. En restreignant cett CgalitC A Y x {a}, on obtient alors Z = h ’ W, avec W = WI n X x {a}, du fait que g est nul su C x x {a}. Donnons-nous maintenant Z E CH k+l(Y - SingY),,;, @ Q. Soit X c Pp l’intersection complbt de multidegrk (dl,. . . , di-l, di - 1, d;+l,. . . , d,-,) obtenue en enlevant la demikre kquation de degr [4: d, dkfinissant Y. On a Y n SingX c SingY. Soit i : Y it X l’immersion fermke. D’apk Chap. 6, car. 6.3, p. 102, on a : d,(Z
. H) = Z . q(N(X,Y))
= i*&(Z).
Or, par hypoth&se de rCcurrence, on a CHk+l(X - SingX),,i, @ Q = 0, et, comme la restriction de i*&(Z) 2 Y - SingY se factorise a travers CHk+l(X),,,, @ Q, on a Z . H = 0. Par le lemmt 4 cela implique CH,+(Y - SingY),,;, @ Q = 0. Remerciements. Je remercie
Claire
Voisin pour avoir patiemment
relu et corrigC les versions preliminaire
de cette Note.
R6fkences
bibliograpbiques
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