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Sur la contraction des graphes orientes en K∗3
Discrete Mathematics 65 (1987) 95-98 North-Holland
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NOTE
SUR LA CONTRACTION DES GRAPHES ORIENTES EN K~3 P. D U C H E T and V. KANETI E.R. 175 Combinatoire, U.E.R. 48, Universit~ Paris 6, 75005Paris, France Received 30 August 1984 Revised 13 August 1986 We prove the "following fact, conjectured by H. Meyniel: If d+(x)>>-2 and d-(x)>~ 2 for every vertex x of a digraph D, then D is subcentractible onto K~.
Au cours d'une s6ance du groupe P.G.C.D., H. Meyniel faisait la conjecture suivante [2]: Si un graphe orient~ connexe a tous ses demi-degr~s au moins ~gaux 2, alors il est contractible en K~, le graphe complet sym~trique ~ 3 sommets. Nous prouvons ici cette conjecture ainsi qu'un r~sultat un peu plus fort.
1. Les resultats Les graphes orient6s consid6r6s ici sont simples [1]: pas de boucle ou d'arcs multiples. Darts un graphe G = (X, U) deux sommets x, y • X sont voisins (respectivement fortement voisins) si l'un des arcs ( x , y ) ou 0,,x) existe (respectivement sices deux arcs existent). Si (x, y) • U, x est un prdddcesseur de y y un successeur de x. Les notations d+(x) et d - ( x ) d6signent les demi-degrds, externe et interne respectivement. Par voisinage d'un ensemble A c X, on entend l'ensemble des sommets de X \ A (le symbole \ note la suppression) qui ont au moins un voisin dans A. Une sous-contraction d'un graphe orient6 G = (X, U) correspond exactement ~ la notion de sous-contraction du graphe non orient6 sous-jacent: c'est une application f : S c X--->X ' telle que les pr6images f - l ( x ' ) soient connexes, pour chaque x' • f ( S ) . Le graphe contract~ de G par f e s t , par d6fmition, tout graphe isomorphe au graphe G ' = (f(S), U'), oil (x', y ' ) • U' si et settlement si (x, y) • U pour un x • f - l ( x ' ) et un y • f - l ( y , ) . Le contract6 est eompl~tement d6termin6 par la partition de X en pr6images et par abus de langage on dit que G' est obtenu par contraction de S relativement ~ cette partition. Lorsque S = X, on parle de contraction. On voit facilement qu'un graphe orient6 connexe est sous-contraetible en K~ (graphe ~ p sommets oil tous les arcs possibles sont pr6sents) si et settlement s'il est contractible en K~. 0012-365X/87/$3.50 (~ 1987, Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland)
P. Duchet, V. Kaneti
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T h ~ r ~ m e A. Soit G un graphe orient~ non vide. Si d+(x) >I 2 et d - ( x ) >t 2 pour tout sommet x de G, alors G est sous-contractible en K~. Appelons sommet ddficient.de G un sommet x tel que d+(x)~< 1 ou tel que d - ( x ) ~< 1. Une forme plus g6n6rale du th6or6me pr6c6dent est Th£mr~me B. Soit G u n graphe orienM avec au moins 3 sommets qui n'est pas contractible en K~. Alors G a au moins deux sommets d~ficients qui ne sont pas fortement voisins.
2. Un resultat auxffiaire
Th6or~me 2.1. Soit G un graphe oft les sommets d~ficients induisent un sous-graphe connexe. Si G contient un circuit form~ de sommets non d#ficients, il est contractible en K~. D6monstration. Supposons que G = ( X , U) satisfasse les hypotheses du th6or~me sans ~tre contractible en K~'. D6signons par D c X l'ensemble des sommets d6ficients. Appelons partie cyclique de G toute partie de X qui est l'ensemble des sommets d'un circuit (de longueur t>2) du sous-graphe induit par X \ D . On dit qu'une partie A c X s#pare une partie B c X dans G lorsque A e t B sont disjoints, non vides, et qu'aucun ensemble connexe C de G, disjoint de A, ne contient B. Lemme 2.2. Toute partie cyclique de G, minimale (pour l'inclusion) s~pare son voisinage dans G.
Preuve. Supposons qu'au contraire il existe une pattie cyclique A minimale et une partie C connexe disjointe de A qui contienne tous les voisins de A. Tout 616ment de A a un successeur et un pr6d6cesseur dans C, puisque A est form6 de sommets non d6ficients et qu'aucune partie propre de A n'est cyclique. Ainsi, pour a e A, la contraction de A U C relative ~ la partition {a}, A \a, C produit
KL
[]
Parmi toutes les composantes connexes des sous-graphes de la forme G \ A , ofa A d6crit l'ensemble (non vide!) des parties cycliques minimales de G, consid6rons en une, soit Co qui soit disjointe de D et qui soit minimale (par inclusion) pour ces propri6t6s; l'existence de Co r6sulte de la connexit6 de D et du Lemme 2.2. Soit Ao la partie cyclique minimale de G qui correspond a Co. Lemme 2.3. Le sous-graphe induit par Co est sans circuit.
Contraction des graphes orient,s
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Preuve. Sinon, Co contiendrait une partie cyclique minimale B0. Le voisinage de B0 est contenu dans A0 U (Co\Bo)= C'. Par le Lemme 2.2, l'ensemble C' n'est pas connexe et une de ses composantes connexes est disjointe de A0, donc strictement contenue dans Co, ce qui contredit le choix de Co. [] I1 existe donc dans Co un sommet p (resp. s) dont tousles successeurs (resp. les pr6d6cesseurs) sont dans A0. Le circuit A0 contient un chemin dont l'ensemble des sommets P comprend exactement un successeur de p e t un pr6d6cesseur de s. On a Ao :/: P puisque p (resp. s) a deux successeurs (resp. pr6d6cesseurs) darts Ao. La contraction de Ao U Co relative tt la partition P, A o \ P , Co produit K~. Ceci ach~ve la d6monstration du Th6or~me 2.1.
3. Justification des Th6or~mes A et B Les Th6or~mes A et B sont des corollaires du Th6or~me 2.1. C'est trivial pour le Th6or~me A; pour obtenir le Th6or~me B il suttit d'6tablir le r6sultat suivant: Lemme 3.1. Soit G u n graphe (ayant au moins 3 sommets), noncontractible en K~ et oft les sommets d~ficients sont mutuellement fortement adjacents, alors G contient un circuit form~ de sommets non d~ficients. Preuve. Posons G = (X, U) et soit D l'ensemble des sommets d6ficients de G. Par hypoth~se on a ID I ~<2. Soit A une composante connexe du graphe G \ D. Si la pattie A est sans circuit, elle contient un sommet p (resp. s) dont tous les successeurs (resp. pr6d6cesseurs) sont dans D. Comme d+(p), d-(s)>12, on a IDI = 2 et la contraction de A U D suivant la partie connexe A produit K~'. [] On peut remarquer que les hypotheses faites sur les demi-degr6s dans les Th6or~mes A et B ne peuvent 8tre trop affaiblies: soit H le graphe t~ n t> 4 sommets, num6rot6s de 1 ~t n, ayant pour arcs (k, k + 1) et (k + 1, k) pour l < ~ k < n , ( k , k + 2 ) pour l ~ k ~ n - 3 et l'arc ( n , n - 2 ) . Le graphe H a exactement deux sommets d6ficients (1 et n) et n'est pas contractible en K~'. Remarquons 6galement que la conclusion de contractibilit6 en K~ darts les Th~or~me A et B ne peut pas ~tre am~lior6e en la propri6t~ de contenir un hom6omorphe de K~: un circuit de longueur I>4 compos6 d'arcs dans les deux sens v6rifie d+(x) et d-(x)~>2 pour tout sommet mais ne contient aucun hom6omorphe de K~. Conjecture. Si un graphe orient~ vdrifie d+(x) >>-3 et d - ( x ) >I 3 pour tout sommet x, il est sous-contractible en K~.
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P. Duchet, V. Kaneti
R~rences [1] C. Berge, Graphes (Gauthier-Villars, Paris, 1983). [2] H. Meyniel, S6ance P.G.C.D. No 12, Paris, Octobre (1983).
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SUR LA CONTRACTION DES GRAPHES ORIENTES EN K~3 P. D U C H E T and V. KANETI E.R. 175 Combinatoire, U.E.R. 48, Universit~ Paris 6, 75005Paris, France Received 30 August 1984 Revised 13 August 1986 We prove the "following fact, conjectured by H. Meyniel: If d+(x)>>-2 and d-(x)>~ 2 for every vertex x of a digraph D, then D is subcentractible onto K~.
Au cours d'une s6ance du groupe P.G.C.D., H. Meyniel faisait la conjecture suivante [2]: Si un graphe orient~ connexe a tous ses demi-degr~s au moins ~gaux 2, alors il est contractible en K~, le graphe complet sym~trique ~ 3 sommets. Nous prouvons ici cette conjecture ainsi qu'un r~sultat un peu plus fort.
1. Les resultats Les graphes orient6s consid6r6s ici sont simples [1]: pas de boucle ou d'arcs multiples. Darts un graphe G = (X, U) deux sommets x, y • X sont voisins (respectivement fortement voisins) si l'un des arcs ( x , y ) ou 0,,x) existe (respectivement sices deux arcs existent). Si (x, y) • U, x est un prdddcesseur de y y un successeur de x. Les notations d+(x) et d - ( x ) d6signent les demi-degrds, externe et interne respectivement. Par voisinage d'un ensemble A c X, on entend l'ensemble des sommets de X \ A (le symbole \ note la suppression) qui ont au moins un voisin dans A. Une sous-contraction d'un graphe orient6 G = (X, U) correspond exactement ~ la notion de sous-contraction du graphe non orient6 sous-jacent: c'est une application f : S c X--->X ' telle que les pr6images f - l ( x ' ) soient connexes, pour chaque x' • f ( S ) . Le graphe contract~ de G par f e s t , par d6fmition, tout graphe isomorphe au graphe G ' = (f(S), U'), oil (x', y ' ) • U' si et settlement si (x, y) • U pour un x • f - l ( x ' ) et un y • f - l ( y , ) . Le contract6 est eompl~tement d6termin6 par la partition de X en pr6images et par abus de langage on dit que G' est obtenu par contraction de S relativement ~ cette partition. Lorsque S = X, on parle de contraction. On voit facilement qu'un graphe orient6 connexe est sous-contraetible en K~ (graphe ~ p sommets oil tous les arcs possibles sont pr6sents) si et settlement s'il est contractible en K~. 0012-365X/87/$3.50 (~ 1987, Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland)
P. Duchet, V. Kaneti
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T h ~ r ~ m e A. Soit G un graphe orient~ non vide. Si d+(x) >I 2 et d - ( x ) >t 2 pour tout sommet x de G, alors G est sous-contractible en K~. Appelons sommet ddficient.de G un sommet x tel que d+(x)~< 1 ou tel que d - ( x ) ~< 1. Une forme plus g6n6rale du th6or6me pr6c6dent est Th£mr~me B. Soit G u n graphe orienM avec au moins 3 sommets qui n'est pas contractible en K~. Alors G a au moins deux sommets d~ficients qui ne sont pas fortement voisins.
2. Un resultat auxffiaire
Th6or~me 2.1. Soit G un graphe oft les sommets d~ficients induisent un sous-graphe connexe. Si G contient un circuit form~ de sommets non d#ficients, il est contractible en K~. D6monstration. Supposons que G = ( X , U) satisfasse les hypotheses du th6or~me sans ~tre contractible en K~'. D6signons par D c X l'ensemble des sommets d6ficients. Appelons partie cyclique de G toute partie de X qui est l'ensemble des sommets d'un circuit (de longueur t>2) du sous-graphe induit par X \ D . On dit qu'une partie A c X s#pare une partie B c X dans G lorsque A e t B sont disjoints, non vides, et qu'aucun ensemble connexe C de G, disjoint de A, ne contient B. Lemme 2.2. Toute partie cyclique de G, minimale (pour l'inclusion) s~pare son voisinage dans G.
Preuve. Supposons qu'au contraire il existe une pattie cyclique A minimale et une partie C connexe disjointe de A qui contienne tous les voisins de A. Tout 616ment de A a un successeur et un pr6d6cesseur dans C, puisque A est form6 de sommets non d6ficients et qu'aucune partie propre de A n'est cyclique. Ainsi, pour a e A, la contraction de A U C relative ~ la partition {a}, A \a, C produit
KL
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Parmi toutes les composantes connexes des sous-graphes de la forme G \ A , ofa A d6crit l'ensemble (non vide!) des parties cycliques minimales de G, consid6rons en une, soit Co qui soit disjointe de D et qui soit minimale (par inclusion) pour ces propri6t6s; l'existence de Co r6sulte de la connexit6 de D et du Lemme 2.2. Soit Ao la partie cyclique minimale de G qui correspond a Co. Lemme 2.3. Le sous-graphe induit par Co est sans circuit.
Contraction des graphes orient,s
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Preuve. Sinon, Co contiendrait une partie cyclique minimale B0. Le voisinage de B0 est contenu dans A0 U (Co\Bo)= C'. Par le Lemme 2.2, l'ensemble C' n'est pas connexe et une de ses composantes connexes est disjointe de A0, donc strictement contenue dans Co, ce qui contredit le choix de Co. [] I1 existe donc dans Co un sommet p (resp. s) dont tousles successeurs (resp. les pr6d6cesseurs) sont dans A0. Le circuit A0 contient un chemin dont l'ensemble des sommets P comprend exactement un successeur de p e t un pr6d6cesseur de s. On a Ao :/: P puisque p (resp. s) a deux successeurs (resp. pr6d6cesseurs) darts Ao. La contraction de Ao U Co relative tt la partition P, A o \ P , Co produit K~. Ceci ach~ve la d6monstration du Th6or~me 2.1.
3. Justification des Th6or~mes A et B Les Th6or~mes A et B sont des corollaires du Th6or~me 2.1. C'est trivial pour le Th6or~me A; pour obtenir le Th6or~me B il suttit d'6tablir le r6sultat suivant: Lemme 3.1. Soit G u n graphe (ayant au moins 3 sommets), noncontractible en K~ et oft les sommets d~ficients sont mutuellement fortement adjacents, alors G contient un circuit form~ de sommets non d~ficients. Preuve. Posons G = (X, U) et soit D l'ensemble des sommets d6ficients de G. Par hypoth~se on a ID I ~<2. Soit A une composante connexe du graphe G \ D. Si la pattie A est sans circuit, elle contient un sommet p (resp. s) dont tous les successeurs (resp. pr6d6cesseurs) sont dans D. Comme d+(p), d-(s)>12, on a IDI = 2 et la contraction de A U D suivant la partie connexe A produit K~'. [] On peut remarquer que les hypotheses faites sur les demi-degr6s dans les Th6or~mes A et B ne peuvent 8tre trop affaiblies: soit H le graphe t~ n t> 4 sommets, num6rot6s de 1 ~t n, ayant pour arcs (k, k + 1) et (k + 1, k) pour l < ~ k < n , ( k , k + 2 ) pour l ~ k ~ n - 3 et l'arc ( n , n - 2 ) . Le graphe H a exactement deux sommets d6ficients (1 et n) et n'est pas contractible en K~'. Remarquons 6galement que la conclusion de contractibilit6 en K~ darts les Th~or~me A et B ne peut pas ~tre am~lior6e en la propri6t~ de contenir un hom6omorphe de K~: un circuit de longueur I>4 compos6 d'arcs dans les deux sens v6rifie d+(x) et d-(x)~>2 pour tout sommet mais ne contient aucun hom6omorphe de K~. Conjecture. Si un graphe orient~ vdrifie d+(x) >>-3 et d - ( x ) >I 3 pour tout sommet x, il est sous-contractible en K~.
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P. Duchet, V. Kaneti
R~rences [1] C. Berge, Graphes (Gauthier-Villars, Paris, 1983). [2] H. Meyniel, S6ance P.G.C.D. No 12, Paris, Octobre (1983).