Sur les champs de Beltrami linéaires dans des domaines tridimensionnels

C. R. Acad. Sci. Paris, Probkmes mathhmatiques

t. 325, S&ie I, p. 1235-1240, de la mCcanique/Mafhematica/

1997 Problems

in

Mechanics

Sur les champs de Beltrami li&aires dans des domaines tridimensionnels Tahar Zmnkne BOULMEZAOUD

R&urn&

Les champs de Beltrami (ou c Force-free )> lineaires sont des champs 3-D a divergence nulle veriliant I’equation rot B = tvB, ou o est un nombre reel. IIs ont re$u recemment beaucoup d’attention dans plusieurs domaines tels que la mecanique des fluides, I’astrophysique ou la physique des plasmas. Dans cette Note, nous presentons quelques resultats d’existence, d’unicite et de regularit des solutions h des problemes ;LLIX limites correspondant dans un domaine borne multiplement connexe et dans un dem-cylindre.

On the linear force-free and in a half-cylinder

fields of FL3

in a bounded

domain

Abstract.

Linear Be~trami,firids (or Fon,e7fi-ee,fic~ld.s) are threr-c.omponents diver-gence~free,field.s .soIutkm.s to the equation curl B = tvB, where CYis a real numhc~r. Ret,entlJ, they halve received eF1ormoLl.sattention in mcrn~ re.search ,jeld.s, e,specia//y ifi jluid mecharxic.s, rrstr-ol,l?,,.sic,.r,and pkona physics. In this Note, M’e shall gi1.e .some c,sistenc.e, Lmiquene.s.c, and regldarit\, results ,filr .somc c.orre.cpoF~ding boundary rulur prohlol~.s irl a :{-I> r?2L(ltipl~,-c.orlne~,tefl domain and in a ha@ylinder.

A bridged

English

Version

A three components field function B is called Forwfrw curl B

(1)

x

B = 0,

or Beltmtni

if B verifies the system:

div B = 0.

field B is said lirze~r force-free if curlB = trB, where CLis a real number. When IY # 0, such a field verifies automatically the system (I). The case I): = 0 corresponds to the well-known potential held. In this paper, we study existence. uniqueness,and regularity of linear force-free fields in a multiply connected 3-D bounded domain and in a half-cylinder. The

Note

prksentke

par Philippe

G. CIAHI.E.I..

0764.4442/97/0325 12.15 0 Ac;~iCmie des Sciences/Elawier. Paris

1235

T. Z. Boulmezaoud

In a bounded domain 0, two boundary value problems (3) and (4) are studied; in the first one, (v is assumed to be given, while in the second one, the helicity is given instead of (k which is itself unknown. Note that in both problems we have a boundary condition on the normal component of B and on the flow throughout rrt, cuts Cl, . . .. C,,, making 12 simply connected. Our results are the following: THEOREM

1. - Let 01be a given real number and (~((1)

r = -I(YI < 1. Then fiw any

(YU

a =

(~1,~. . . . . CL,,,)

E

> 0 be the constant dejined by (I 1) .swh thmt

R”’ und g E Hi (I’) sutkf~ing

(5), problem (3) admits

one and only one solution B E H’( f1)‘. Moreo~~rr, B taeri$e.s the energy estimate:

where E. is dejined by (12). Furthermore,

(f we assume

thut 12 is C”‘+‘.’

and

!J E

H”‘+? (rj,

then

B E H”‘+‘(0). 2. - Let g and a be given as in Theorem 1. und let cg be u real wmber such thut I(.0 I r = __ < 1. Then jkw any a = (~1, .... II,,,,) E R”’ and !J E H 3 (r) sutisj:ving (5). prohlrm (4) IY~E;f udmits one und only one solution ((ti, B) E R x Hl(f2)“. M orenver, B and (I’ vet@ the estimute THEOREM

Furthermore, ij’we as.wmethat $2is Crrr+l,’ and ,y E H”‘+;(r).

then B E H”‘+l(0).

In the case of a half-cylinder ;5, = (1~ 10,+x[, we look for B E H1(D) solution to (1.5). We have the following existence and uniqueness theorem: THEOREM 3. - Zf (x2 < X1, then ,for any !J E H:(ll). the problem (15) admits u unkpe solution. Furthermore, this solution cun be written in the ,form:

where the real numbers /jk and the ,jields bk., ,for k 2 1, ure de$ned by (16). Xk and ti6. ure the eigenvalues and the L2-orthonornal eigenfitnctions of the Lupluce operutor M’ith u hwnngenuous Dirichlet boundary condition.

1. Introduction Les champs de Beltrami (ou les champs (( force-free P) sont des champs tridimensionels vtritiant le systPme : div B = 0 et rot B x B = 0. Ces champs sont dits linkuires si rot B = rrB avec 01 un nombre r6el (connu ou inconnu). Le cas (Y = 0 correspond au cas classique d’un champ potentiel. Durant ces dernikres annkes beaucoup d’auteurs se sont indresses B l’ktude des propriMs mathimatiques et topologiques de ces champs

1236

Sur

les champs

de Beltrami

linbaires

dans

des domaines

tridimensionnels

(lwir [S] et [9]). Les recherches sur cette question sont particulittrement intenses en mkcanique des fluides, en physique des plasmas, en astrophysique et en mathkmatiques appliqutes. Dans la prCsente Note, on se propose d’ktudier quelques problkmes aux limites associks B ces champs dans un domaine born6 et dans un demi-cylindre. 2. Champ

de Beltrami

dans un domaine

born6

Soit 61 un ouvert born6 de R” de frontikre I? de classe C2. On dksignera par TO,..., rp les composantes connexes de r, 1‘0 Ctant la front&e de la composante non bornCe de R” \ i2. En outre, on suppose que 12 est connexe mais Cventuellement multiplemerzt-conrze,~e. Dans ce dernier cas. on suppose qu’il existe soit simplement ‘~1 surfaces disjointes XI,..., C,,, de classe C’ telles que l’ouvert 6 = R” \ Uy!lC~. connexe. En d’autres termes, Cl ,..., C,,, sont des coupures reliant les Ti et rendant 12 simplement connexe. Si 12 est simplement connexe, on prend ‘~1 = 0 par convention. On considkre maintenant les deux problkmes aux limites sur Sl : (P) : Pour (Y E R donnC, trouver B E Hl(11)”

PROBL~ME

l

rot B = trB:

(3)

B

n = g sur I?:

.I XT

B . n = CL,. i = 1. . . . . ~1..

(Q) : Soit co E R donnC. trouver (u. B) E R x Hl(12)”

PROBL~ME

l

divB = 0,

tel que :

tels que :

(4) rot

B = ruB,

divB = 0,

Dans les deux problkmes

B

n = g

sur r:

(~1, ~2, . . . . CL,,,) E R”

rot B B = co et .I $2 et g E H$ (r)

I gdo= 0,

(5)

.I c,

B n = CL;. %= 1, . .. . YII.

vCrifie la condition

de compatibilitk

:

i = 0, 1, . ..>I).

. r,

La donnCe cg dans le second problkme est appelke I’he’licite’. Intuitivement, I’hClicitC dCcrit la complexit de la topologie des lignes de champ de rot B qui sont ici les m&mes que ceux de B. On a les deux rksultats d’existence, d’unicitk et de regularit suivants : THEOREME 1. - IL existe une constunte qj( 12) > 0 ne dkpendunt que de f2 et dkjnie par (11) telle que, .si j(vI < cto(ll), le problkme (P) ndmet une et une seule solution B E Hl(11)” v&rijant :

02 E” est dtjnie par (12). Si de plus, 52 e.st de classe Crrtfl~’ B uppurtient ir H”‘+‘(II). TH~OREMB

et y E Hlrt+t (I’),

avec ‘~1 > 1, ulors

2. - Soit co un nombre re’el don& et ~0 et E. dPjnis comme dans le the’ordme prkcce’dent.

IQ I

On suppose que EU # 0 et on pose r = ~ Alors, si r < 1, le problPme (Q) udmet une et une tr(,E; seule solution (tr, B) E R x H1 (0)“. E n outre, on a les estimations :

Si de plus, 62 est de clusse Crr’+l.l

et ,q E

H”‘++(r),

u\‘ec VI. > 1, alors B uppurtient

ic

H”‘+l

(U).

1237

T. Z. Boulmezaoud Dl’rnonsrrrrtiorz C/U the’or~nze 1. - Dans toute la suite, on dksignera par (.. ‘) le produit scalaire aussi bien dans L’(12) que dans L2(f2)‘-‘. La clC de la preuve du thCor&me I est b&e sur I’Ctablissement d’une formulation variationnelle. Pour ce faire. on introduit I’espace : k’ = {v E L’(f2)“:

div v E L”(12). rot v t L”(iI)“,

v

n = 0 sur r}.

CquippC de la norme

IIvll~.~-= (ll~ll~.~~+ Ildivvll&2 + INrotvll&l)4.

(8)

D’aprks 141(wir aussi [61), cet espace co’incide topologiquement et algkbriquement avec l’espacc {v E H1(12)“. v n = 0 sur r}. On dkfinit aussi le sow-espace suivant de 1’ H = {v E 1--: div v = 0. rot v = O}. D’aprks 131,on sait que cet espace est de dimension finie et sa dimension est Cgale ?I wt.. En outre. il existe une base (qi),=l.. .,,,) de H telle que : q, . ndm = Ai,, b. ,i = I. .... 111. I x,

(9)

On note par PET I’opCrateur de projection orthogonale de V dans H associC$ la norme (8). Alors. on montre (voir encore [3]) que pour tout v t I’ tel que div v = 0. on a : ,,I

(10)

PHV

=

cli-1

n dfl)q;

v

( x‘,

Enfin, la semi-norme v H 1lv11,-= (lidivvlj~~,c., + (rot vili,r2 + j~P~v~j&,)~ est une norme sur If kquivalente % la norme (8). La constante ruo(l2) > 0 utiliske dans les thCor&mes&on&s sera alors dkfinie par :

On dkfinit maintenant le champ potentiel B,, associ:: g par B,, = V y E H’(O)“.

oh y E H”(12)/R

n

est solution du problkme de Neumann AQS= 0 et ilr, = g sur I ‘. On dkfinit aussi les nombres riels iA . i = 1. .... 711,et F:,, par :

,I) (13)

1238

(rotb

- trb.rotv)

+ (divb.divv)

+ (Pffb.PfIv)

= (trBo.rotv)

+ c/j,(q,,Pxv). I=1

Sur

les champs

de Beltrami

IinPaires

dans

des domaines

tridimensionnels

D&rzon.strution. - 1) D’abord il est clair que si B E H1(lI)’ est solution de (3). alors b = B-B,, E 1,’ est solution de (13). 2) Inversement, soit b E I/’ solution de (13) dans 1;. Si on prend danc un premier temps 0, ,,I c/j;q, E 11 dans (13), on en dCduit que : PHb = 1 jllqi. Ensuite, on prend v = G @ v=PHbi=l i=l &I, avec 4) solution du problkme de Neumann : A@ = div b et = 0 sur r. qui admet une et une dn seule solution dans H1(12)/R puisque bl est connexe et (div b. 1) = 0 par formule de Green. II en r&Ate que div b = 0 (presque partout) et done d’aprks (IO), on obtient :

I

b

n drr = /j,.

i = 1. . . 7~.

. r, II reste A prouver que rot b - trb - trB ~1= 0. En effet, d’aprks [6], Th. 3.4, p. 45, il existe A E H1(12)’ tel que rot A = w. div A = 0. A . n = 0. On remplace alors v par b - trA E 1’

dans (13) pour obtenir l’identitk souhaitCe. Maintenant, observons que la forme bilinkaire (!,I(.. .), definie sur V par : U(U.V) = (rotu

- tru.rotv)

+ (divu.divv)

by/ est continue et V-coercive car I~I,(v. v)i > (1 - -)ilvil$.

+ (Plfu.P~v).

Vv E V. De m&me,la forme IinCaire dons

(13) est continue. On conclut en utilisant le th$kme de Lax-Milgram. Le rksultat de rCgularitC s’obtient 2 partir d’une rkurrence sur I’identitC cuivante (~wir 141)valable au sens topologique et algebrique si IY est de classe C”‘+‘.’ : H ‘r’+1(i2)3 = {v E L’(I1)“:divv

E H”‘(II).rotv

E H”‘(12).v’

II E H”‘++(IT)}.

Quant aux deux estimations (6), elles s’obtiennent en utilisant la dkomposition de B sous la forme B = Bo + PHb + bl, puis en estimant chaque terme. D&nonstration du thior&w 2. - Considerons la suite (ry!“). B(“+l)) suivante : - B’“’ = B,, + CI”, i~i/li,

rot

La suite ((v(“). B(“)),,z,,

b(“+‘)

=

tr(“IB(“).

div

b!“+‘)

est bien dkfinie car Iru(“)l 5

tout r1 > () v(“+l) = B(“+l) - B(“)

=

() et

p,b(“f’)

IQ

IIBW,~,

=

(),

’ < >$ < tuo(ll). On pose pour

dIl

E k’. On montre alors aprks un petit calcul en s’appuyant

sur (6) et (I 1) I’inCgalitk

Puisque r < 1, il en rCsulteque (
1239

T. Z. Boulmezaoud

Quant aux encadrements par sa va]eur !d z 7 rq)

3. Champ

(7), ils s’obtiennent

ES;: wiiz

de Beltrami

j partir de (6) qui s’tcrit,

9ous la forme :r2 - .I’ - 7’ 5 0, oti

linkaire

3: =

aprks remplacement IlBlli 62 1 E;

de 7

dans un demi-cylindre

Soit 62 un domaine borne de R”, avec front&e r de classe Cl,‘. On note 2) le cylindre semi-infini fixlO +a[. Soit (I: un nombre rCel et g E H:,(G) donnCs. On considkre le problkme aux limites suivant : Trouver B E H1 (23) tel que : rot B = oB.

(15)

divB

= 0, Dz(z = 0) = g et B,z = 0 sur

iM~]lO.+x;[.

la suite des fonctions propres du laplacien dans l’espace H;(6) et la suite croissante et strictement positive des valeurs propres associkes. La famille {X,),=l,‘L.. .,+oo {wj}j=l,2,....+cc Peut &tre choisie comme base orthonormale de L”( ii) et base orthogonale de Ht,( fi). Alors on a le r&hat d’existence et d’unicitk suivant (voir 121 pour plus de d&ails) :

On note par {u~}~=Lz,...,+~

TH~OR~ME

3.

les cnejicients

-

Si

(I?

<

X1,

ulors pour toute ,fonction ,q E HA(G),

/jk et les champs bA. sent d$nis

Note remise et acceptke

le

10

octobre

T., Aly

a force

free

121 Boulmezaoud domains. finis,

141 Foias

ThPsr

field,

J. F., Boulmezaoud Solar

T., Maday

physics,

et

field

as

pur :

hibliographiques T. Z. et Mikic

2. Reconstructing

in press. T. On the

Y. et Amari linear Beltrami fields prkpration. J.-M., 1982. &de des Cquations de la MagGtohydrodynamique dr Docteur IngPnierrr. Univ. Pierre-et-Marie-Curie. Paris.

article

]3] Dominguez

J. J., Luciani

magnetic

~rne

1997.

Rbfkrences [I] Amari

Ie probl&w (IS) r!dtnPt +-.

the

solar

in bounded

and

stationnaires

et leur

coronal

unbounded

magnetic three-dimensional

en

C. et Temam

approximation

par @lCmcnts

R., 1978.

Remarques sur les equations de Navier-Stockes et phCnom5nes success& de bifurcation. S. 4, 15, No. I. p. 2943. [5] Friedrichs K. O., 1955. Differential forms on Riemannian manifolds, Comm. Prrw Appl. Mu/l.. X, p 55 1.1590. [h] Girault V. et Raviart P. A., 1986. Finite elrmwt mrthdr .for N~rier-Smkes equution.s. Springer-Verlag. 171 Grad H. et Ruhin H., 1958. Hydromagnetic equilibria and force force-free fields, in PKJC. 2nd Irltcrn. Cor$ on Pc~c$r/ C/w.\ c!f’ Aromk Energy. 3 I, Geneva, United Nations, p. 190-197. Ann.

SC. Norm.

Sup.

Piss.

[8] Kress R., 1978. The treatement Pmc~. Rex. kc. Edimhurgh,

[9J Laurence p. 1240-1253.

1240

P. et Avellaneda

of a Neumann boundary value p. 71-86. M., 1991. On Woltjer’s variational

problem

for force-free

tields

by an integral

equation

method,

EA.

principle

for

force-free

fields,

J. k!nth.

Phg.~.

32.

No.

5,