Sur Les Équations Aux Variations

Inr. 1. Non-Lmeor

Yechwicr.

Vol. 2, pp. 97-124.

Pcr~amon Press Ltd. 1967. Prmtai

SUR LEE EQUATIONS

I” Great Bntam

A~X

VARIATIONS

M. JEAN* Miller Institute for Basic Research in Science, University of California, Berkeley, U.S.A.

R&nm&-On considtre I’tquation difftrentielle (E). Y = X(Y. t). 00 (Y. t) + X(Y. t) est une application d’un domaine gde W x R dans 5%91 est un espace de Banach. R est la droite rClle. le signe ’ denote la differentiation par rapport a la variable t. On suppose que les conditions assurant I’existence et I’unicite de solutions de (E) dam un certain domaine sont vbrif%es. Soit t + q(t, Y. 0) la solution de (E) telle que 4(f?, Y, 9) = Y. Y - q(t. Y, 6) e-st une application d’un sow-ensemble de W dam P. Si I’application Y -, X( Y, t) est differentiable on sait que I’application Y + &. Y. 6) est differentiable, (les solutions de(E) sent diffirentiables “par rapport aux conditions initiales”). On montrera que atte propriete reste come&e dans des cas ob I’apphcation Y + X(Y, t) n’est differentiable que dans certains domaines. les d&iv&es admettant des discontinuit&s de valeurs fin& sur les front&es. Pour ce faire on notera que la d&+&e de I’application Y + q(t, Y, 6) est tme solution de “l’iquation aux variations de(E)“. laquelle ne peut hre co&d&e au sens habitue1 lorsque I’application Y -) X(Y, t) n’est pas differentiable. De tels resultats sont utiles dam I’etude de la stabilite des solutions de (E).

INDEX voir (1.1) et prC&demment (1.6) (1.7.1) (1.7.2) . . . (1.7.6) (1.7.8) (2.1.1) (2.1.5) (2.1.7) (2.1.10) (2.1.16) (2.1.23) (2.1.26) voir H3 A la suite de (2.1.27) A. J(Y. t), (2.2.1) 9. (2.2.6) 8, (2.3) cp* voir H4 B la suite de (2.3) A, (2.4.1) Gft*, P,), G(t*, Yo, to). (2.5.5) &t*, PO). &t*, Yo. to). * Attache de recberche au C.N.R.S., Centre de Recberches Physiques, 31 Chemin Joseph Aiguier, Marseille (9). France G

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M. JEAN

j dbigne I’application identique d’un espace quelconque dans h&m&me. A?(@, q) dbigne l’espace des applications linktires continues d’un espace de Banach 9 dam lui-meme. HO se trouve en (1.1) Hl se trouve en (1.3) HZ se trouve a la suite de (1.7.9) H3 se trouve & la suite de (2.127) H4 se trouve a la suite de (2.3) H5 se trouve A la suite de (2.13) espace de phase. univers de phase, ant&dent, consequent, trajectoire, ligne d’univers. voir A la suite de (1.7.9) point de passage simple en 8, (2.2.2) epoque du sijour en d interrompu en P,, epoque du s6jour en d commenck en P,, (2.2.4) r&ion du skjour en d inte~ompu en P, r&ion du &jour en A conmexh en Pm (2.2.5) temps de passage simple en 9 sur la ligne d’univers passant par P, point de passage simple en B sur la ligne d’univers passant par P, (2.2.7) 1. INTRODUCTION IL ma question darts cet article des prop&t&a de “differentiabilitt des solutions d’une equation diff&entielle par rapport aux conditions initiales.” Considerons une equation diff~~ntieIle (El, P = X(Y, t), oh X : (Y, t) - X( Y, tf est une appkation dun domaine 58 de $8 x R dans dk W est un espace de Banach R est la droite reelle, le signe . dknote Ia diffkentiation par rapport a la variable r. Nous supposons que X satisfait des conditions suffkantes pour nous assurer, au moms dans certains domaines, de I’existence et de l’unicite de solutions de (E). Ces solutions sont des applications definies dans des intervalles de la droite rMle et prenant leurs valeurs dans 41. Ces solutions, en outre, dependent du choix des conditions initiales, c’est-adire des points de W que nous leur assignons pour valeurs, pour des points t don&s. Une solution de (5) peut done &re regardce comme une fonction de la variable r&she t mais aussi comme une fonction des conditions initiales, ce que nous traduisons en dksignant par t --+& Y, 0) la sofution de (I?) telle que &3, Y, 0) = Y. Y -, & Y, B) se prbente alors comme une transformation d’un certain sous-ensemble de A! dam 41. Nous traiterons de la diflerentiabilitt de cette transformation. On sait que si Y + X(Y, t) est une application diffbrentiable, Y + q(t, Y, 0) est une application diffkrentiable. Nous nous preoccuperons done du cas de certaines equations differentielles pour lesquelles I’application Y + X(Y, t) n’est pas differentiable. Parmi ces equations nous citerons Equation ditErentielle ordinaire suivante, que nous avons choisie volontairement simple, pour donner en exemple:

te),

*=

- h(x) + sin t,

oh h est une fonction de la variable rkelle x d&‘inie de la man&e suivante: h(x) = a,x e-lx1

pour tout

x 2 0,

h(x) = azx e-lx1

pour tout

x < 0,

oh at, a2 sont des constantes positives, avec a1 # a2. Le role important joue dans notre problkme par Equation aux variations de fE) tient a ce que la d&iv&e de l’application Y -, q(t. Y, @*estune solution de Equation aux variations de

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Sur les bquations aux variarions

(E). Expliquons-nous A l’aide de notre exemple. Soit (x,, to) un point quelconque de R x R. (e) posskde une solution et une seule, t + q(t, x0, to), dkfmie dans R, telle que q(to. x0, to) = xw L’kquation (e&, ti = - dh/dx(q(r, x0, to)) u, est l’tquation aux variations de l’kquation (e) pour la solution t -, q(t, x0, to). (e& est dkfinie pour t appartenant &des intervalles pour lesquels q(t, x0, to) est non nul. Si Dest une solution de (e&, dttinie dans un intervalle contenant to, t,, telle que u(t,) = 1, u(tl) est la d&iv& de la fonction x + q(tl, x, to) au point x0. La question se pose de savoir ce qu’il advient de l’kquation (e,,) et des proprittb de diffkrentiabilitk lorsque q(t, x0, to) prend des valeurs nulles au tours du temps. Nous montrerons que moyennant certaines conditions, on peut gCnCraliser la notion habituelle d’kquation aux variations lorsque l’application Y + X(Y, t) n’est pas dif&entiable partout, et dCfinir une Cquation qui joue le m5me r6le. Nous examinerons aussi comment cette nouvelle Cquation aux variations et ses solutions dkpendent des paramktres Y. 6. Ce sujet est Ctroitement 1%B 1’Ctude de la stabilitk des solutions d’une tquation diffkrentielle. Nous traiterons explicitement du probkme de la stabilitk dans un article ultkrieur. Dans la premi&e partie de cet article nous fixerons les notations et bnoncerons sous la forme la plus convenable pour notre propos, quelques thiorbmes classiques auxquels nous aurons besoin de nous rkfkrer.

Dkfinissons tout d’abord la claw d’tquations diffkrentielles dont nous traiterons. Soient 6%un espace de Banach r&A et R la droite rkelle, - co < t -c + co. Soit $3 un domaine, (ouvert, connexe), de 9 x R. Dkfinition (d’aprb Coddington et Levinson [l]) (1.1) Soit X : (Y, t) + X( Y, t) une application

de 9 dans W telle que :

HO-. Quelle que soit t + (g(t), t), application continue d’un I’ = ]a’, b’[t s R dans 93, t 4 X(g(t), t) est une fonction rkglkex. On appellera solution de l’kquation diffkrentielle (E), P = X( Y, t), une application cnntinue u : t + u(t) d’un Z = ]u, b[ c R dans 9% telle que pour tout t E I: -.

(u(t), t) E 9 ;

il existe un sous-ensemble J de Z avec Z - J vide, fmi ou dknombrable, t E J, -. u est diffkntiable, -. ii(t) = X@(t), t).

tel que pour tout

(on dksignera par zi(t) la d&iv&e de u au point t),

11rksulte de la dkfinition d’une primitive que : (1.2) Une condition nkcessaire et sufisante pour que u : t + u(t), application continue de Z = ]a, b[ d ans W, soit une solution de (E), est que pour tout to, t E I, u(t) = u(t,) + j X(u(s), S) ds. 10 t A moins de spkcifkations particulibres. a dans ]a, 81. ]a, /3] pourra Etre &galB - 03, B dans 1% S[. [a, B[ pourra &re &gal A + cc. 2 On dira que T : x -+ TX, application de ]a, fl darts I, espace de Banach, est une fonction rkgke si pour tout x0 E ]a /I[, TX posskde une limite B gauche lorsque x -+ x0 -, et une limite B droite lorsque x -) x0 + Si 7” est une fonction rCgk dtiinie dans ]a fl[. T possMe une primitive dans ]a. fl[. (voir Dieudonnt [2]).

M.

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JEAN

La relation precedeme montre que si X est une application continue et si u est une solution de (E) dtfinie dans ]a, b[, on aura I@) = X@(t), t) pour tout t E ]a, b[. On adoptera la notation suivante : a( Y, E) designera la boule ouverte de centre Y E W et de rayon e. 8(Y, E) dbignera la boule fermke. On posera f(t, E) = ]t - E, t + E[, f(t, E) = Ct - E, t + E].

Existence des solutions ThPorPme de Cauchy-Lipschitz

(d’apres Lefschetz [3] et Dieudonne [Z]) (1.3) Soit l’equation differentielle (E). Outre la condition HO, X satisfait la condition suivante : HI-. Pour tout P = (2, z) E .9 ii existe un voisinage ouvert de P, u(P) = a(Z.2a) f(z, 6), une constante L = L(v(P)) > 0 et une constante A4 = M(u(P)) > 0 tels que: IIX(Yl9t) - X(y,, 01) G LjI YI - Y2Ij

pour tout

(Y,, t), (Yz, t) E o(P),

pour tout

(Y, t) E u(P).

x

(condition de Lipschitz) I(WY, SII G M

Alors il existe un voisinage ouvert de P, w(P) = ~(2, 24 x Z(z, t), t < 6, tel que, Ctant donne P,, = (Yc, to) E o(Z, cc) x Z(z, r), il existe une solution f de (E) definie dans Z(z. 5). telle quej(t,) = Y,. De plus (f(t), t) E w(P) pour t E I(z, 7). Corollaire (1.4) Si HO et Hl sont satisfaites, quel que soit P, = (Y,, to) E 9 il existe une solution fde (0 definie dans un intervalle Qt,, t). telle quef(to) = Y& Unicitt des solutions

(1.5) Soit l’equation differentielle (E), X satisfaisant la condition Hl en plus de la condition HO. Si u est une solution de (E) defmie dam un intervalle ouvert I, contenant to, telle que u(t,J = YO, et si h est une solution de (E) ditinie dans un intervalle ouvert 1, contenant t,, telle que h(t,) = YO,alors 4t) = h(t) pour tout t c II n Iz, intervalle ouvert contenant to. Voir [3]. Solution h existence maximale (1.6) Soit P, = ( YO,to) E 9. 11existe un intervalle ouvert %(PO) = ,f(Y,, to) contenant t, et une solution 9 de (E) definie dans #‘(P,), telle que q(to) = YO;il n’existe pas de solution h de (E) dtfinie dans un intervalle I contenant strictement j(P,). telle que h(t,) = Y,. q peut itre dtfmie comme la solution d existence maximale au point PO. En effet :

Considerons (q9} ensemble des solutions q,, dttinies dans un intervalle I, telle que q&) = Y,. On vient de voir que (4.) est non vide, (1.4). Soit y(P,) = lJ I, la reunion de tous les I,. $(P,) est un intervalle ouvert. Soit t quelconque appartenant a f(PJ. I1 existe au moins un a tel que I, contienne t. Soit a(t) un tel a. Considtrons alors 4, application de j(P,) dans W, defmie de la maniere suivante : 40) = %(t,w

Sur les Pquarionsaus variarions

101

Soit t’ E %(P,). Montrons que : 4(t) = 40(1,,(t)

pour tout

En effet, soit t” E Zo(,?.t + q.(t..,(t) est une t,. t”. t + q.&t) est une solution de (E) dthie qoct&J = YO. Alors en vertu de (1.5), qO&c) ticulier qO&c”) = qo~,~~,(t”~. (1) montre que q est continue, que q(to) =

t E In,,,)

(1)

solution de (E) dtfinie dans Zcrfrs3contenant dans ZO(tC) contenant t,. t”. De plus qtict#,) = = qe&c) pour tout t E Ztir,) n Zo,,~~~ En parY,.

q(t’) = Yo + :i X(q(s),4 ds

que pour tout

t’ E $(PO),

fo

5 qui prouve que q est une solution de (E) dkfinie dans f(P,) telle que q(co) = Yo. Toute solution h, dCfinie dans un intervalle ouvert Z contenant to, telle que h(t,) = YO. fait partie de l’ensemble {q,,} et Z est done contenu dans /(PO), par dkfinition de d(P,), et ne peut contenir strictement f(P,). Enongons maintenant les principales prop&b dont jouissent les solutions B existence maximale. (1.7) Si h est une solution de (E), dtfinie dans f(P,), telle que h(t,) = Y,, on a h(t) = q(c) pour tout t E f(P,), (1.6) : (1.7.1) On dksignera par t -, q(t, PO) = q(t, Y,, co) la solution %(P,), telle que 4(t& YO,to) = Y,. On a d’apr+s (1.2) qk PO) = y0 + j X(q(s. P,), s) ds

pour tout

de (E), dkfinie dans

t E f(P,).

10

(1.7.2) On dkgnera par 9, sous-ensemble de R x W x R, l’ensemble des points (t. Y, 0) tels que (Y, 0) E 9 et t E /(Y, 0), ou encore, avec des notations plus condenskes, 9 est l’ensemble des points (t. P), tels que P E 9 et t E /(P); Y

= {(t, Y, e)

: (Y, e) E 9, t E #(Y, 6,).

11rQulte de la dthition que (t, Y, to) E 9 pour tout t E [to, tJ lorsque (tl, Y,, to) E Y. Disons encore que [to, tJ x Y0 x t, E 9 lorsque (tl, Y,, to) E 9. (1.7.3) (t, Y, 6) --) q(c, Y. 0) est utie application de 9’ dans 9. Plus exactement (t, Y, 0) + (q(; Fz)L;i)est une application de 9’ dans 9. = q(c. PO) est une solution de (E) dkfinie dans l’ouvert /(P,) contenant t, et telle que u(t,) = Y, = q(cl, PO). 11n’existe pas de solution h de (E) dkfinie dans un intervalle ouvert Z contenant strictement f(Po), telle que h(t,) = Y,, car h serait une solution de (E) dkfinie dans I, avec h(t,) = u(t,) = Yo, en vertu de (1.6), ce qui contredit le fait que t + q(c, PO) est la solution h existence maximale au point P,. On a done: (1.7.4) /(4(L

P,), Cl) = f(PcJ

q(c, q(c1, P,), cd = q(c. PO)

(1.7.5)

pour tout t1 E f(P,), pour tout t,, t E b(P,).

Si (tlF YO,t,)~ 9, alors (to, q(tl, Y,, co), c,)~ Y.

En effet, (q(cl. YO,to). cl) E 9 (1.7.6) Soient cl, t2 E %(P,).

et to E #(PO) = f(q(cl,

Y,, to), cl),

par (1.7.4).

M. JEAN

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On dbignera t o [Cl>t.21.

par [tl, P,, t2J = [cl, Y,, to, tzj l’ensemble des points (4(t, PO), t) tels que l[t*, Pot t23f = @I, y,, to, tz] = ((&PO), t) : t E [Cl, tJ>,

et d’une man&e semblable, BtI*p, t28: = ItI, Yo,to, t,[ = &At. PO), t) : t E ]t1, CJ}, at,9 pot tz] = ]tlv xl, to, qJ = ((dt, POX t) : t e ICI, f*]}, lpl, PO, t*[ = [h, yo, to, tz[ = ((40, PO), t) : t E [tt, t,[>.

(1.7.7)

E&T&,

PO)*t3,

t,ll

= [Cl, pot t*]

pour tout

t,, t2, t3 E #(PO).

Cette proposition

est une condquence de (1.7.4). Ou a des formules analogues avec ItI> PO, klk &I, PO, tz], et,, PO, ts[[. (1.7.8) On dksignera par &(tz, tr) le sous-ensemble de 9, ensemble des Y tels que (t2, Y, t,) o 9; m2, a

= {Y : @z, Y, tJ f 9).

(1.7.9) Si at&, Cl)est non vide, &cl, t2) est non vide et Y -+ &, Y, tI) est une bijection de lg(t,, Cl) sur &Cl, til), qui a pour application inverse Y + q&, Y, t2). En effet : si Yr f ,ip(t,, cl), on a par ddfmition (t2, Yr, cl) E Y qui implique

en vertu de (1.73, d’oh on tire q(t2, Y,, cl) E 4’(tl, tJ. Tl : Y --+q(tz, Y, cl) &ant une application de &(ftr, cl) dans &(t,, t2), de m&e T2 : Y + q(tl, Y, t2) est une application de &(tr, tz) dans &(t,, tJ De plus TI Q T2 = T2 O Tl = j, j apphcation identique. en vertu (1.7.4) ce qui dkmontre Ie thkorkne. En Mkcanique, la variable t est le temps. g est nomm& espace de phase, W x R ukers de phase. Les points de G? x R sont les points d’univers. Le point d’univers PO dans l’expression t 3 q(t, PO) at la condition initiale de la solution t --, 4(t, PO). Soit PO = (Y,, tO)E.9. On drt que PI = ( Yl, t J est un antPcPdent de PO si Cl f $wo), t, < to, YI = 401, PO). De m&ne P, = fY2, tt) est un cuns~quent de PO si tz E ,$(P,l, Posons $(P,f = ]c, d[,

t, > to, Yz = q(t,, PO).

]c, PO, to[ est I’ensemble des antecedents de PO, I]&,,PO, d[ est l’ensemble des consequents de PO. L’ensemble ]tl, PO, tz[ est nomme arc de ligne d’univers et sa projection dans W arc de trujectuire ou urc de courbe intPgrafe. Ces termes s’kendent aussi B [cl, P,, t2], ] t,, PO. t& [cl, PO, t2[, (voir Vogel [4])ContinuitP des solutions

On suppose maintenant qu’outre HO, X satisfait la condition Hl et la condition suivante : H2-.

X : (Y, t) -+ X( Y, t) est une application continue de 9 dans 3.

On peut alors demontrer les theortmes

suivants:

Sir ies Cquations QUX variations

103

ThPor&nes (1.8) Quel que soit P = (Z, z) E 9, (t, Y, 8) -+ q(t, Y, 0) est une application continue dam I(z, r) x a(Z, I%)x Z(z, r). (1.9) Y est ouvert et (t, Y, 8) + q(t, Y, 6) est une application continue dans Y. Pour ces deux theortfmes voir [37. (1.10) Quel que soit (t*, Y&to) E Y iI existe un ouvert I/(&f = -Jto - E, t* + E[ x o(Y*, Ef x I&), E)? contenu dam Y. Y est un domaine. La premiere partie de (1.10) apparait dam les demonstrations de (1.8), (1.9). Nous verifierons simplement que Y est connexe. Tout d’abord soit Y’ sous-ensemble de Y, ensemble des (0, Y, 0) tels que (Y, 0) E 9 ; Y’ = ((6, Y, 0) : (Y, 6) E B}. Montrons que Y’ est connexe. Rappelons-nous qu’une condition nkessaire et suffrsante pour qu’un ensemble soit connexe est que, &ant donnts un recouvrement ouvert de cet ensemble et deux points arbitraires de I’ensemble, ceux-ci soient relies par une chaine extraite du recouvrement. Soit o( Y, E) x I(& E) voisinage de (Y, f3), contenu dans 9. uo(Y, E) x I(& E), reunion de ces voisinages pour tout (Y, 0) E 9, est un recouvrement ouvert de 5% De mCme u1(6, E) x c(Y, E) x I(& E) est un recouvrement ouvert de $2’.Soit (8’. Y’, 0’1,(0”. Y”, 0”) E Y’. Puisque 3 est connexe, (Y’, sl), (Y“, 6”) sont relies par une chaine v(Y~, .e1) x I(@,, elf,. . . , a(Y, c;.f x I(@,,E,), ce qui montre que (@‘,Y’, 8’) et (O”, Y”, 8”) sont rkmis par la ch&ne w,,er)

x a(~,,e,)

x

48,,8d,...,w,a

x cr(~,~,) x w,d.

Maintenant soit (t’, Y’, 8’) E Y. Soit y’ l’image de f( Y’, 6’) dans I’application continue de R dans R x 4k x R, t -, (t, Y’, 0’). y’ est un ensemble connexe contenant (t’, Y’, 0’) et (e’, Y’, 8’). et contenu dam Y, (1.7.2). De m&me si (t”. Y”, 0”) E Y on peut definir un y” connexe contenant (t”, Y”, 6”) et (e”, Y”, 6”). et contenu dam Y. y’ uY’ WY”est un ensemble cormexe. (reunion d’ensembles connexes d’intersection non videf, qui contient (t’, Y’, 8’). (t”, Y”, @“I,et qui est contenu dam Sp. Ceci prouve que deux points arbitraires de Y sont connect&s dans 9, et implique que Sp est connexe. (1.11) (1.11-l) Si (t2, Y1, t,)~y, alors d’(t,, cl) est un voisinage ouvert de Y,. En effet, si (t2, YI, tr) E .44, t(t,, tr) contient YI comme l’indique la definition. dP(t,, tr) est ouvert car &‘(tz, t,) est I’image inverse de l’ouvert Y dans l’apphcation continue de B dans R x L@x R, Y + (t2, Y, t,). (1.11.2) Soit (t2, Y,, cl) E 9’. Y -+ q(t2, Y, cl) est un hom~omo~~sme de Q(tZ, tr) sur 01, fzlC’est une consequence de (1.7.9) et de (1.9).

Estimation des solutions Nous donnoffs les enon&

de deux lemmes qui nous seront utiles ulterieurement :

t V(E) s’icrit en fait Jr0 - e, t* + e[ X a(&, sf X Ift~, d si t* 2 rOet Jr* - 4 to + E[ x ci(Y& e) x IQ, E) si $0 2 t*. Afin d’alliger f’kcritureon rtdigera en adoptant la convention que t* 3 t,.

M.JEAN

104

Lemme de Gronwall (1.12) Soit T une application continue de Z = [a, ~91,(ou [/I, r~] si /I < a), dans un espace de Banach g. De plus T v&tie pour tout x E Z :

oh A, B, C, sont des constantes positives. Alors :

I/TX/I < (A + ~$3 - al)tilx-‘l (1.13)

pour tout

x E I.

Soit (t*, Y,, to) o Y. I1 existe un ouvert

w = ]&I -

E[ x a(Yo, E) x Z(t,, E) 5; 9

E, t* +

et une constante L’ > 0 tels que /I&. Y’, to) - q(t, yl’, to)/ G I(Y’ - Y”l( eL’lt-rol, pour tout

Y’, Y’ E a( Y,, E),

t E It0 - E,t* + E[.

pour tout

Ce lemme r&the de l’inegalite de Lips&k

de (1.9) et du lemme de Gronwall.

Equations dij2rentielles linduires (1.14) Soit P : t + P(t) une application de ]a, b[ c R dans le(g, 3?), espace des applications lineaires continues de % dans %, 9? espace de Banach. De plus P est une fonction riglee Quelle que soit t + g(t), application continue de ]a’, b’[ E ]a, b[ dans %&“, t + P(t) g(t), application de ]a’, b’[ dans X, est une fonction reglie. L’equation differentielle (LE), Iz = P(t) Y. est une equation differentielle 1inQire homogkne. Thkort?mes (1.15) Quel que soit P, = ( YO,to) E % x ]a. b[, il existe une solution q de (LEA dtfinie dans ]a, b[, telle que q(t,) = YO.Cette solution est unique (c’est a dire que (1.5) est virifree). (1.16) (1.16.1) q est la solution a existence maximale au point P,,. (1.16.2) Y = ]a, b[ x 62”x ]a, b[. Traitons maintenant le cas oh .!F = U(k’V,g), espace des applications lineaires continues de k.Ydans g, aYespace de Banach. U(g, +I) est bien un espace de Banach. Dksignons par j l’application identique de +I dans Liy. (1.16.3)

q(t, Y. 8) = q(t,j, 0) OY

40, Y, + r,, e) = 4(t. YI, 8) + 4(t, yz, 0) (1.16.4)

4(&j, tJ = s(r.j. r,) O&,j,

rl)

pour tout

(L. Y, 8) o Y,

pour tout pour tout

par (1.7.4) et (1.16.3). (1.16.5) Soit t,, t2 E]U, b[ :b(t,, cl) =&(tl, tJ = 3. morphisme lineaire de X sur %. C’est une consbquence de (1.7.9) et (1.16.3).

(r, Yl,8). (t, Y2,e) E 9 t, t,, t, ~]a, b[,

Y + q(t2, Y. tJ

est un homeo-

(fJ6.61 &,j, tlf est un homtomorphisme linbire de 9 sur 9 et a pour application inverse q(tl. j, tz). En effet, q(c2, j, tr) et q(tI, j, t3) sont des applications lineaires continues de C?/dans @ verifiant :

Dans cette deuxieme partie nous abordons le probleme de la diffirentiabilite de I’application Y 3 q(t, Y, 0). Reprenons I’tquation (e) que nous avons dorm&e en exemple dam notre introduction, et q:r + g(& x0, to) une de ses solutions. Lorsque q(t, x0, to) est positif ou negatif, la quantite d&ix (q(f% x0_ f,)) est ditkie. Nous ahons done etre ame& B examiner de queik fagon ta fonction q prend des valeurs nuXIes,positives ou negatives au cows du temps. Nous dkfinirons d’abord des notions et un vocabulaire qui nous permettront de situer la Iigne d’univers. image des (q(t, x0, to)* t) dans les domaines ou x est positif, 06 x est negatif, et comment elle traverse l’ensemble des points oh x = 0. On sera amene notamment a dttinir un “point de passage simple en 46”. Dans notre exemple, dire qu’un point est un point de passage simpie en B, c’est dire que 58 ligne d’univers coupe la surface d’kquation x = 0, en un point isole. On interdit a la ligne d’univers d’etre contenue dans la surface ou de s’y accumuler. Solt (E) comme dans (l.l), les conditions HO, Hl, H2, &ant satisfaites. L-e but poursuiyi dans le paragraphe suivant est d’introduire des notations qui nous permettront d’exprimer ais&ment et de plusiaurs faqons les conditions pour qu’un arc de ligne d’univers soit situ&dans un certain domaine de I’univers de phase.

~~~ifi~~sm ~r~~s~~io~ (2.1) Soit B un sous-ensemble non vide de 9 et P = (Z, z) E 9. (2.1.1) On designera par 9(P. Bt = j(Z, z, B), sous-ensemble de R, I’image inverse de B dans I’application continue de f(P) dans 9%t -+ (q(f, P), f). (21.2) Si PEB, #(P, B) est non vide, car il contient au moins l’element z. Si B est ouvert ou ferme, .f(P, B) est respectivement ouvert ou fermi. Si B c B’ E 9,46(P, B) g .F(P, B’). Si B et 8’ sent disjoints ,FB(P,B) et -IB(P?3’1 sont disjoints. Toutes fes awes prop&es dent jouissent leesimages inverses dans une application continue s’app~~qu~t egalement a ura(P,3). 11resulte des definitions que : pour tout t, o g(P, B). (4(k),0 to) E B Une condition nececessaireet suEsante pour que f~[,8-J ou ]Q+p[ ou 3s S[ ou [a,/?[ soient contenus dans 4;(P, Bf est que Es F, 81 ou ]CL,P, 91 uu ]a, P, $J ou [t-x,P, &f soient respectivement contenus dans B. (2.1.3)

(2.1.4)

Jb(q(icto, PI, to, BI = f(P, B)

pour tout

r* &$(P, B).

M. JEAN

106

Pour

cette demikre

relation

on remarque

que les applications

t + (q(r, P), t) et

t + (q(t, q(c,,, P). to). t) sent identiques en vertu de (1.7.4).

(2.1.5) 9dP, B) = S&Z, z, B) designera une composante connexe de 9(P, B). SAP, B) sera nommke Ppoque de sijour en B, comme le suggkre la propriitk (2.1.3). (2.1.6) Si 9(P, B) est ouvert, 9dP, B) est un intervaNe ouvert ; intervalle parce que sous-ensemble connexe de R, et ouvert parce que g(P, B) est un ouvert de R localement connexe. (2.1.7) Soit to E 9(P, B). On dbignera par Y&t,,, P, B) s #dt,,, Z, z, B) la composante connexe de t, dans 9(P, B). (2.1.8)

f*(t,, s&t

P, B) = YAP, B)

db, P), to, B) = 4fJ(z, P, B)

pour tout

t, E #dP,

pour tout

B),

to E Sdz, P, B).

Pour cette demikre relation an a 9(q(co, P), to, B) = g(P, B) par (2.1.4). Si to E:Sdz, P, B) composante connexe de z dans 4(P, B), la composante connexe de to dans 9(q(t,, P), to, B) ne peut 8tre que fn(z, P, B). (2.1.9) Soit BQ composante connexe de B. s&o,

PO, B,) =

-f&o,

Po, B)

pour tout

PO = ( Yo, to) E BP

En effet : remarquons tout d’abord que 9(Po, BR) E J(P,, B). 11s’ensuit que S&to, PO,Bn). composante connexe de to dans 3(Po, BJ, est contenue dans une composante connexe de 3(P,, B), et en fait est contenue dans la composante connexe de to dans 9(Po, B). On a done s&,, PO, Bn) E fn(to, PO, B). Ecrivons #Ato, PO, B) = ]y, S[. 17, PO, S[ est contenu dans B en vertu de (2.1.3). jr, PO, a([, image continue de 17, S[ dans l’application continue t + (q(t, PO). t), est connexe et se trouve done contenue dans une composante cormexe de B. Cette composante est Bn puisque PO Q BP On a done Yn(to, PO, Bn) 2 9&,, PO, B) qui, avec la relation #&to, PO, Bn) c 9dto, PO, B) Ctablie plus haut, prouve notre proposition. (2.1.10) On dksignera par Y(B) le sous-ensembb de Y ensemble des points (t, Y, 8) tels que (Y, 0) E B, t E 4n(B, Y. 8, B); Y(B) = {(t, Y, 0) : (Y, 0) E B, t E.Rn(t?, Y, 8, B)} (2.1.11) 11 risulte de la dkfinition que (t, Y, t,)E Y(B) pour tout t E [to, tl] lorsque (tl, Y,, to) E 9’(B). Disons encore que [to, tl] x Y. x to c Y(B) lorsque (cl, Yo,To)E .9’(B). (2.1.12) Une condition nkcessaire et sufisante pour que (tl, Yo, to) E 9(B) est que [to, X,, to, h] E B. En effet, [to, Y,, to, cl] c B est Cquivalent A (Y,, to) E B et [to, tl] c_ 4(Yo, to, B) par (2.1.3), ce qui est iquivalent A (Y,, to) E B et [to, tl] E 3dto, Y,, to, B), puisque [to. tl] est connexe et contient to. Une conkquence immtdiate de (2.1.12) est que : (2.1.13) Si B et B’ sont disjoints, Y(B) et 9T.B’) sont disjoints. Sinon, soit (tl, Yo, to) appartenant A Y(B) et B Y(F). [to, Yo,to, tlj est contenu dans B et dans B’ ce qui contredit l’hypothkse que B et B’ sont disjoints. (2.1.14) Si (tl, Yo,to) E Y(B), alors (to, dtl, Yo, toI, tl) E 9(B). En effet si (tl, Yo,to) E B. (q(tr, Yo, to), tl) E B par (2.1.12) et s&l, par (2.1.8) oh 9&,,

q(tl, Yo,to), t,. B) = s&o,

Y,, to, B) contient to.

X,, to, B)

Sur les &uations

(2.1.15)

aux vor~lions

Soit (go.) l’ensemble des composantes

107

cormexes de B : S@(B)= lJ 9’(Bn,).

En effet : Y(B) = ((t, Y, 6) : (Y, 0) E B,

t E-.@&?, Y, 0, B))

= v (0, Y, 0) : (Y, 0) E BQ,, t E X&t Y, 8, B)) = y

(@,Y, @I: (Y, 0)e kkz, t E S&6, Y, 8, Boo)) par (2.1.9)

= &WLJ. (2.1.16) On designera par C(B), sous-ensemble de Y, I’image inverse de B dans l’application continue de Y dans 9, (t, Y, 6) --, (&, Y, @, c). (2.1.17) Si B est ouvert ou fern&, Z(B) est respectivement ouvert ou ferme. Si B c 33’E, 53, X(B) c G(B‘J. Si B et B’ sont disjoints, C(B) et Z(F) sent disjoints. Si (tI, YO,to) E E(B), (q(tl, YO.to), tl)~ B, par definition. Toutes les autres proprietb dont jouissent les images inverses dans une application continue sont vraies Cgaiement. (2.1.18) Y(B) E t;(B). (2.1.19) Si (to, P) E C(B), alors (to, q(ti, P), tl)e C(B) pur tout tl E #(P), par (1.7.4). (2.1.20) Si B est ouvert et si (t*, YO,to) E Y(B), il existe un ouvert ?J(&)= -jt, - 4 t* + e[ x a(Y,, e) x we, s) contenu dans P’(B). En effet : si (t*, YO,to) E yip(B)c 9, [to, t*] x YOx t, c Y(B) c G(B), (2.1.11). (2.1.18). X(B) A Y est un voisinage ouvert du compact [co, t*J x Y0 x t, et contient done un ouvert V(E) = Jto - E, t* + s[ x a(YO, E) x Z(t,-,. E). Ainsi pour tout (Y, 6) E cr(Ye, E) x I(&,, s) c Byon a Ito - s, Y. 6, t* + E[ E B, ce qui prouve que ]to - E, t* + E[ est contenu dans $(Y, 8, B), par (2.1.3). En fait ]to - E, t* + E[ est contenu darts #o(& Y, 5, B) puisque fjE -Jto - E, t* + e[. Done (t, Y, 6))~ Y(B) pour tout (t. Y, 0)~ V(s), c’est z1 dire que V(E) 4 9’(B). (2.1.21) Si B est ouvert, Y(B) est ouvert. Si I3 est un domaine 9(B) est LXXX domaine. En e&t: si B est ouvert et si (r*, YO,to) E P’(B), V(s), pris comme dans (2.1.20), est un voisinag$ de (t*, Y,, to) contenu dans 9’(B). Y(B), voisinage de chacun de ses points, est ouvert. On montre que P(B) est connexe en reproduisant la demonstration de (1.10) en s’appuyant sur (2.1.10). (2.1.22) Supposons que B soit ouvert. Soit (BRJ i’ensemble de ses composantes connexes. Alors {Y(B&) est I’ensemble des composantes connexes de Y(B). En effet : tout d’abord S@(B)= ‘;( Y(B,), par (2.1.15). D’autre part 9 x R &ant localement connexe, B,, composante connexe de B, est ouverte et connexe. De ce fait Y(Bo.) est un domaine par (2.1.21), (B dans (2.1.21) est arbitraire). Rappelons nous qu’une condition necessaire et suffrsante pour que deux ouverts soient’ s&pares, est qu’ils soient disjoints. Si BD,,, et Bnaz sont deux composantes connexes de B, celles-ci sont separkes et done disjointes. On en dMuit que Y(Boal) et 9’(Bn,J sont disjointes, par (2.1.12), et sont done separees. Ces ensembles &ant connexes sont des composantes connexes de Y(B). (2.1.23) On dtsignera par &(t2, tl, B), sous-ensemble de b(ta, tI), I’ensemble des Y tels que (t2, Y, El) E y(B); &z, t,, B) =

( Y : (b,

Y, td E Y(B)).

M. JEAN

108

(2.1.24) Si (tz, Y1,tl) E Y(B) et si B est ouvert, !(t,, t,, B) est un voisinage ouvert de Y,. Pour dknontrer cette proposition, on utilise la preuve de (1.11.1) en s’appuyant sur (2.1.21). (2.1.25) d’(t,, t,, B) est l’image de J(t,, t,, B) &ns la bijection Y -, q(tz, Y, rl) de J(L tl) sur W, tz). En effet : posons T : Y .+ q(tz, Y, rl). Si (tz, Y, rl) E Y(B) on a (tl, q(rl, Y, r2),r2)E Y(B) par (2.1.14), d’oh T(b(t,, r,, B)) s 8(t,, rt, B). De m8me en raisonnant avec l’application T-’ on a T”(&‘(r,, r,, B)) E b(rz, r,, B), ou encore, 8(tl, r,, B) c T(8’(r2,tl, B)), qui, cornparke avec l’avant demi&re in&alit&, donne d(rl, r,, B) = T(B(r,, r,, B)). (2.1.26) On dksignera par 9(r,, B), sous-ensemble de W, l’ensemble des points Y tels que(Y,MEB; Y(t,, B) = {Y : (Y, to) E B} (2.1.27) Si (YO,r,,)E I3 et si B est ouvert, 9(to, B) est un voisinage ouvert de Y,. A partir de maintenant, owe les conditions HO, Hl, H2, on supposera que la condition suivante est vf%ifGe: H3-.

11existe un ensemble dknotk A, jouissant des proprikb

suivantes :

a) A est un sowensemble ouvert de 9, tel que pour tout s(t, A) non vide, Y + X(Y, t) application de 9?(r. A) dans B soit diffkrentiable. On dbignera par J(Y, r)e Y(41, W) l’application limkire continue de 92 dans W, derivke de Y + X(Y, r) au point Y. (Y, r) + J( Y, r) est une application de A dam L?(L@.$3). On supposera de plus que : b) (Y, t) + J(Y, r) est une application continue. 11 rbulte de (2.1.2) que 9(P, A) est ouvert. Toute composante connexe de J(P, A) est ouverte, (2.1.6). Puisque 91 x R est localement connexe, les composantes connexes de l’ouvert A sont ouvertes. D&ignons par {An.} l’ensemble des composantes connexes de A. Y(A) est ouvert et l’ensemble de ses composantes connexes est {Y(A&}, (2.1.22). Dans le paragraphe suivant nous introduisons des notions qui ont pour objet de d&nir certains types d’arcs de ligne d’univers. Ci paragraphe est une prkparation au paragraphe (2.5). Dt?finitionset propositions (2.2) (2.2.1) On posera = 9 - A. (2.2.2) Soit P, = (x, t,) E 8. On dira que P, est un point de passage simple en B s’il existe un 6 > 0 tel que :

lb - 6,h[ c W,, 4 et Its,

r, + S[ E 9(PJ, A).

(2.2.3) Si P, = (x, rJ est un point de passage simple en 9, il existe deux composantes connexes de $(Ps, A), un intervalle ouvert _fn(P,, A), ayant r, pour borne supkieure et un intervalle ouvert $n(P,, A), ayant r, pour borne inf&ieure. En effet: il existe 6 > 0 tel que ]rS - 6, rJ[ soit contenu dans S(P,, A). Comme ]rs - S, rS[est connexe, cet intervalle est contenu dans 9dP,, A),, une des composantes

connexes de Ja(Ps, d), et comme ts n’appartient pas a 9(P, d), 5 est la borne sup&ewe de SAP,, d),. On raisonne de meme avec ]tS, t, + S[. (2.2.4) $n(P,, d), sera appelke Ppoque du sbjour en A interrompu en P,, et 9#,, d), Ppoque du st;jour en A commenck en P,.

(2.2.5) Considerons .F,(Ps, d), = ]a tS[, epoque du sejour en d interrompu en P, et fnfPP & = ]a /3[? epoque du sejour en d commend en P,. Ia, P,, r,[ est un ensemble connexe contenu dans d, [2.1.3). 11se trouve done contenu dans une composante connexe de d, Aal. De mtme Its, P, fi[ est contenu dans une composante connexe doz. da1 sera appelke rkgion du &jour en A interrompu en P,, et Aa2 rkgion du skjour en A commenct en P,. 11se peut que d,, = Aaz. (2.2.6) On designera par 8, sous-ensemble de 8, I’ensemble des points de passage simple en 8. (2.2.7) On designera par temps de pessage simple en $9’sur la ligne d’univers passant par P, tout point de $(P, 8). Cette d~~nition est justifike par la propriete que P, = (q&, P). t,) appartient g @ quel que soit tf E §fP,.$). P, sera dbigne par point de passage s~rnp~een 9 sur la Iigne d’univers passant par P.

Soit 8’, sous-ensemble de 8. Soit B = A ~9’. (2.2.8) Si 9(P, 9’) est non vide, c’est un ensemble de points isoles. En effet: soit t E 9(P, gS’) et Y = q(t, P). Q = (Y, t) est un point de passage simple en 46. 11existe 6 > 0 tel que Jt - 6, t[ et Jt, t + 6[ soient contenus dans 9(P, A). Autrement dit ]t - 6, t + 6[ est un ouvert ne contenant pas de points de 9(P, zF) autres que le point t. Remarquons aussi que ]t - S, t + S[ est contenu dans f(P, B). (2.2.9) f(P. B) est ouvert. Si t E 9(P, d), .f(P, B) est un voisinage de t car .f(P, B) contient I’ouvert .,F(P, d). Si t E #(P, 9), il existe, comme on l’a prickdemment vu, 6 > 0 tel que ]t - 6. t + 6[ soit contenu dans f(P, B). f(P, B) est done voisinage de chacun de ses points et de ce fait est ouvert. (2.2.10) Soit (t*, YO.to) E S@(B) - >(A)_ L’ensemble des temps de passage. simple en 9 sur la ligne d’univers passant par P, = ( YO,t,J et contenus dans [to, t*J? est alors .F(PO, 9’) n [to, t*]. Cet ensemble est non vide et fini. En effet : soit (t,J WI tel ensemble. I1 est non vide car sinon on aurait (t*, Ywto) E Y(d). Montrons tout d’abord que {to> est compact. (to} = [to, t*] n y(P,,

9’) =

[toj

t*]

n @(PO, B) - 9(P0, A))

= [to, t*] n 41(P,, B) n C#(P,,

A) = [to, t*] n C9(P0, A),

puisque [to, r*] c .F(PO, B). (tJ, intersection des fermb [to, r*] et CJB(PO, A), est fern&. f&f est compact puisque sous-ensemble ferme de Et,,, t*] compact. Si t, f {t,>, il existe 6, > 0 tel que ft. i 6, t, + S,[ ne contienne pas de points de f(P,, 9’) autres que t@, (2.2.8). L’ensemble des ]ta - d,, t, + S,[ pour tout t, E {to] est un recouvrement ouvert de {t,} dont on ne peut extraire de sous-recouvrement. Notre recouvrement est done fmi puisque {t,> est compact, ce qui prouve que (to} est un ensemble fini. Demontrons maintenant un lemme dont nous aurons besoin ulttrieurement. Lemme (2.3)

Soit P, = (Y, t,) un point de passage simple en 8. Soit t’ un instant de l’kpoque du sejour en d interrompu en P,. Soit Y’ = q(t’, P,) et P’ = (Y’, t’) WI ant&&dent de P,, P’ appartenant a la region do, du sejour en A interrompu en P,. Alors il existe un To > 0 et

M. JEAN

110

une application de 19, &,[ dans [t’, t,[, cp: < + (p(r) = (~(5, P, P’) telle que (cp(l(rll), Y’ + MV t’) E Y(d) pour tout q avec 11 q/l c to et pour tout p avec 0 G p < 1. De plus (p(r) + C, lorsque 5 * 0. En effet : Remarquons tout d’abord que #(I”, d) = g(Ps, d) par (2.1.4). DQignons par ]y, tS[ l’bpoque du skjour en A interrompu en P,. ]y, tS[ est une composante connexe de g(Ps, d), done de .F(P’, d), et contient t’. Ainsi ]y, cs[ = Yn(r’, P’, A) = Sn(c’, P’, A,-,&, cette demikre CgalitC par (2.1.9). On aura done (c, Y’, t’) E 5“(dnI) pourvu que c E ]y, cs[ 2 [t’, cS[. En particuiier (t’ + (t, - Q/2, Y’, t’) E Y(dQI). En vertu de (2.1.20) il existe un ouvert It’ - 50, t’ + (c, - c’)/2 + r,[

x o(y:

&3) x I(c’, 50) G UP.

Soit maintenant 0 < 5 ,< &,_ Soit {r.(t)) l’ensemble des points de [t’. tJ tel que It’ - &,, z,({)[ x a(Y’, 5) x Qc’, 5) soit contenu dans Y(dnl). {r,(T)) n’est pas vide puisque t’ + (t, - t’)/2 + &, fait partie de l’ensemble. On a:

Posons It’ - 507 (P’(OC = y lc’ - <,,, r,(t)[. Les relations pr&dentes montrent que {r,(c)) = [c’, (p’(c)] c [c’? cJ. 5 -+ (p’(5) est une application de 10, &J dans [t’, c,[. Par construction on a cp’(<,) 2 (p’(eI) si rz G rI. Soit alors l’application de 10, &,[ dans [t’, t& 5 + V(r) = p’(5) - 0s - cp’(~)w(&J

- t’V2 (h - (P’(M).

Cette application satisfait bien la premihre partie de l’honci. I1 nous reste B montrer que rp(t) -+ t, lorsque 5 + 0. Comme cp’(<) croit lorsque < dhoit, (p’(5) tend vers la borne supkieure de {cp’(<):O< 5 . < to}, lorsque 5 + 0. Si cette borne n’est pas t, mais un t” E [c’, c,[, alors en vertu de (2.1.20) il existe un ouvert It’ - E, c” + E[ x a( Y’, E) x I(t’, E) contenu dans Y(d&, ce qui contredit la dkfinition de t”. p’(r) tendant vers t, lorsque < + 0, (p(4) + c, lorsque 5 + 0. A partir de maintenant on supposera qu’outre les conditions HO, Hl, H2, H3, la condition suivante est satisfaite : H4-. Soit A et B comme prk&demment, B vide ou non: A est contenu dans un ensemble d^ = A u 8, oh @ est un sous-ensemble vide ou non de 8; d^ poss&de la proprittk suivante : Pour tout P = (2, z) E d^ on peut trouver un voisinage ouvert de P, u(P) = ~$2, a) x I(z, a), une constante K = K(u(P)) et une constante M = M(v(P)) positives, tels que I/J(YI, 0 - w-2, Q/I G K/I YI - r,/( pour tout (Y,, c), (Y,, t) E u(P) n A et conneck% par A, (c’est ?I dire que (Y,, t), (Y,, r) appartiennent h une m&me composante cormexe de d), /)J(Y, t)lI G M

pour tout

(Y, t) E u(P) n A.

Sur les .+ations

aux

variations

111

11 resulte de (2.2.9) que 9(P, d) est ouvert. Toute composante connexe 4&P,& de Y(P, 2) est ouverte, (2.1.6). La condition H4 aura pour effet de nous assurer que, lorsque J(Y, t) presentera des discontinuitb aux points de passage simple en B, celles-ci sont de valeurs finies. Dans le paragraphe suivant nous examinerons le comportement de J(Y, t) lorsque le point d’univers (Y, t) se diplace sur un arc de ligne d’univers contenu dam 2. (2.4) (2.4.1) Soit P, = (Ye, to) E d^ et t* E y(Po) ou encore, ce qui est equivalent, soit (t*. Y,, to) E C(J). On posera G(r*, PO) = G(t*, Y,, to) = J(q(t*, P,), t*)

pour tout

(P, PO) E C(d),

G(r*, po) E G(t*, Y,, to) = 0

pour tout

(t*, PO) e Z(9).

Alors (6 Y, 8) + G(t, Y, 8) est une application de Z(L%)dans L$‘(R, 6%). (2.4.2) (t, Y, 0) -* G(t, Y, 0) est une application continue dans .Z(cfd). En effet, cette application est le produit des applications continues (t, Y, 8) + (tit, Y, 6) t) de ,X(d) dans d et de (Y. t) + J(Y, t) de A dans y(W, a). (2.4.3) Soit P E 9 et sS(P, A) non vide. t --) G(t, P) est une application continue de qb(P, d) dans Lzw, 9). C’est une consequence de (2.4.2). (2.44)

G(t,. &to, P), to) = G&, PI

pour tout

(tr, P) f &ii)

et pour tout t, E f(P).

Remarquons que puisque (tr, PI E S&, on a bien (tl, q(to, P), to) E Z(A) par (2.1.19). Si (tr, P) E C(d), il vient GL

P) = J(q(t,, P), t,) = J(q(tr, q(k,, P). to), tr) = G(t,, q(to, P), to),

I’avant dernihre tgaliti: par (1.7.4). Si(t,, P) E &3% (t,, q(ro, P), to) E Z(& par (2.1.19), et G(t,, P) = G@,, &to, P), to) = 0. (2.4.5) Soit P, = (Y, ts) E 8, fl I’kpoque du sejour en d interrompu en P, I, l’kpoque du &jour en A commence en P,. t --, G(t, P,) est une application definie dans I1 et I,. Alors G(t, P,) posslde une limite a gauche lorsque t -+ ts- et une limite a droite lorsque t + t,+. En effet : soit t’, t”~ II. (qO’,P,), t’) et (q(t”, p,), f”) appartiennent a doi, region du sejour en d interrompu en P,. Soit v(P,) voisinage du point P, choisi comme dans H4, et K E K(u(P,)). Puisque I’application t + (40, P,). t) de I, dans dQ1 est continue il existe un S > 0 tel que t’, f” E Jrs - 6, t,[ implique fq(t’. P,), tb (q(t”, P,), f‘) E o(P&. Ch3 peut alors Ccrire :

IlG(f’v PA - Git”,P,, 11=

IjJ(q(t’, P,), t’) - J(qW, p,), f’) 11< K]j q(t’, P,) - q(r”, P,) 11.

Si {{tN}}est une suite extraite de Its - 6, t,[ ayant pour limite t,. ({(q(tN,P,), r&j est une suite ayant pour limite P, et, comme toute suite convergente, est une suite de Cauchy. {(G(cN,P&jr est done une suite de Cauchy et, puisque u(B, W) est complet, posskde une limite G, lorsque t, -+ ts. Evidemment si ((rtN)) est une autre suite extraite de ]rs - 6, t&f convergeant vers t,, ((G(f’N,P&j) converge vers G,. Ainsi G(t, P,) posskle une limite a gauche lorsque t 3 ts- . On raisonne de m&me pour montrer que G(t, P,) posskle une Iimite a droite lorsque t -+ t,+ .

M. JEAN

112

(24.6) Soit P = (2, z) E $. t -+ G(t, P) = G(t, 2, zf est une apphcation de S&z, P,J) dans Z(W, 9). Cette application est une fonction regke. En effet : Soit to E 4&r, P, b), Y, = qfto, P) et PO = (Y,, to). On a &PO. & = f(P, 8), (2.1.4). Si POo d. on a to is Jb(Po, A) E .F(P,&. Plus exactement on a to E j&t,, P,, d) E Jf(P, if). Comme Y&, PO, d) est un ensemble connexe contenu dam 4(P, a), 40(t0, PO, A) est contenu dam une composante connexe de $(P, $1. laquelle n’est autre que S&z, P, b) puisque to o X&z, P, 3). t -c G(t, P) = G(t. PO)est une application continue de s&to, PO,df dans 9(.@, W) par (2.4.3).De ce fait Gk P) pm&de une limite i gauche et une Iimite & droite au point t,, iorsque t tend respectivement vers to - ou t,+. Si P, E 8, PO est un point de passage simple en 8. Remarquons que 9&, PO,if) = S&z, P, d), (2.1.8). et que -Id&,, PO, iif) contient I, et 12,Bpoques des sejours en d respectivement interrompus et commences en P,. Alors compte tenu de (2.4.5) G(t, P) = G(t, PO) pos&de tme hmite & gauche et une limite b droite lorsque t tend respectivement vers t,, - ou to + . Introduisons maintenant l’kquation aux variations de l’equation (E). (29 (2.5.1) soit P = (Z,z) Qa. t -, G(t, P) est uric application de S&z, P, ii? dans 9(@, Se). Cette apptication est une fonction r&I&e.Disons encore: t -, G(t, P) est une application de 4 &, P, A’,dans O(S(Se, a), 9(9& 8)) en considerant ies applications ha&aims M -+ G(t, Pf o M de .9’(@,5%)dans .%‘(B,a). On voit de plus que quel que soit t 1+ g(t), application continue de 4&z, P, d) dans Y(9i?,$8, t -+ G(t, Pj, g(t). application de ,lan(z9P, b) dans U[H, 90, est une fonction r&glee. On designera par (E,(P)) zz (E&Z, t)) l’tquation diff~reRtiel~eii&ire homogene: ni = G(t,P),M Cette equation est habltue~lem~t consider&e lorsque P = fZ, zf E 4 et pour P, A) et elle porte dans ce cas le nom d”&wtion aux variations de I’t;qwtion (Eh Nous emploierons la mbme expression pour d&signer~E~(~}~ (2.5.2) Quel que soit (M,. to) Q U($i?, 3) x 4&, P, b), il existe une solution Q de (E,(P)), definie dans 9&z, P, d), telle que Q(to) = MO.Cette solution est unique et est la solution &existence maximale au point (M,, to). (2.53) On designera cette solution par t -+ Q(t. M,, to, P) zz Q(t. Ido, to, 2, tl. Celle-ci pos&de les proprittb &non&es en (1,161.

t E 4&r,

pour tout to. ti, t f Y&r. P. $1. (25.4) Q(tqM,. to, 4(tt, P), ti) = Q% IWO,to, PI Fn effet. pour tout t, t, E 4&z, P, 2). G(t, q(t,, P). cl) = GO, P) par (2.4.4},ce qui entraine que Ies equations (am et ~~~(~(~~, P), tit) sont identiques. (2.5.5) Soit P, = ( Yo, to) E d et t* E S&r, F. bt, c’est h dire soit (t*, Yo, toI E sPC&. On posera : (j application identique de kg dans Sa). Q(t*, j? to, PO) = Aft*, PO) = Aft*. Yo, to) Les deux relations suivantes rksuhent de la definition de Q : -4t0, yo, to1 = j A@, PO) = j i- j G(s, Pof o A@, Pof ds 62

pour tout

t E 3dto,

PO, 43.

113

SW Ies fkpations au variations

(2.5.61 ft. Y. 0) -+ A@, Y, 0) est une application de Y(d) dans A?(&, a). (2.5.7)

A(& P,) = -w* 4(rrq Pcl), tr) 0 A@,. PO) pour tout P, = (Y,, x,) fz d^et t,, t E f&to, P,, 6). Fn effet : A@, PO1= Q&j, to. Yo, to) = Q(t,j. 1%.Yo, to) o Qftl,j, to, Yo, to) par (1.16.4) et.

Q&j. tl. Yo, toI = Q(tJ. t,, &,

PO), h)

par (2.5.4), soit encore,

Q&j, t,. yO+toI = 4t. dt,, PO)* h). (2.5.8) Soit (tl, Yo,to) E 9(d), c’est B dire soit PO = (Y,, to) E d et t1 E so(to, PO, 6). A(&,, Yo. to) est un homeomorphisme lineaire de Se dans z%!et a pour apphcation inverse : A@,, Yo. to)+

= 4to9 &I,

PO), 4.

Fn effet A@,, Y,, to) = Q(t,.j, to, Y,, to) est un homeomorphisme hn&aire par (1.166) et a pour application inverse Q(to,j, tt, Yo, to) = Q(to, j, t,, q(tl, PO), tl). Demontrons maintenant les lemmes suivants dont nous aurons besoin ultirieurement :

Lemmes (2.6) Soit (t*, Yo, to) E 9(&: II existe un ouvert V(S) = ]to - E, t* + a[ x a(yo, s) x W0,8)E 9, une constante AZ’> 0 et une constante M’ > 0 tels que: Il@r* PI) - G(r, P2)II d K’lf&

Pr) - q(t, PA/[

(t, Pi), (t, Pz) E Y(8)

pour tout

Pourvu we (q(t, Pr), r), (qk P2X t) soient connect&s par d,

11 w. Y, @Ii6 M’ abaft, Yr, tl)ljz< e”‘it-fli

pour tout pour tout

(t, Y. 8) f If(s) n Z&T), (t. Yr, tr) E:T/(E)n Y(i3).

Fn effet : Posons P(t) = (q(t, Y,, to), tf Puisque (t*, Y,, to) E 9(& P(t) c 2 pour tout t E [to, t*], (2.1.12). Soit u(P(t)) un voisinage du point P(t) choisi comme dans H4. w(t) = C(u(P(t))) est un voisinage ouvert de (t, Yo, to), et contient done un ouvert w’(t) = Z(t, s(t)) x a( Y,, s(t)) x I&, s(t)). L’ensemble des Ift, e(t)) pour tout t E [to, t*f constitue un r~ouvrement ouvert de [to, t*]. Cbmme [to, t*] est compact, de ce recouvrement on peut retirer un sous-recouvrement fini f(k,, &)), I&, W), . . - , l(t, tit,)). Soit E > 0 inferieur B e(ti), s&X _ . . , &,), tel que I(tr. s&f) w 1(t2, E(tZ))u . . . ulft,, &)) 2 Ito - E, r* + E[. 11 vient V(E) = et on peut choisir ]to - E. t* + E[ X alYo, El X &, E) E w’(tl) u w’(t2) u . . . uw’&) z suff~se~~t petit pour que V(E) soit contenu dans 9, (1.13). ~~nt~~t soit K la plus grande des quantites K(v(P(t,))), K(v(P(t,))), . . . * Wv(W,N Soit tt, pII, (4 Pz) E WE) tels que (qft, PI), t), (q(t, P2). t) soient connect&s par d. t appartient a un I(ti, &(ti)),(i = 1 ou 2, . * . I ou r) et (f, Pi). (t, P2) appartiennent a W‘(ti)e De ce fait (& PI), t), (q(t, P2), 1) appartierment a z+(P(t+) dam lequel on a la relation: /iJ(cl(tt p1)9 t, - J(q(t* p2)P

S// 6

~(~~(ti)))~~q(t,

soit encore IIG(t, PI) - Gft, PA11 s K’Ijq(t. Pd - q@. PdII.

p1)

-

4(& P2>/i3

114

M. JEAN

Soit maintenant M’ la pius grande des quantith Compte tenu de Ii4, on a bien : f/J{&. Y. 61, t)/ = (jG(t, Y, @iI < M’

M(ufP,)), M(v(P(t,))), . . . , ~(~~~~~~)).

pour tout

(t, Y, 191E Y(st n C(d>.

11 nous reste A montrer la dernikre relation de l’Cnonc& Soit (t, YI, tl) E 6/(s) n 9(A): (2.5.5) nous donne pour tout x E [to, t]

I/&, yt, MI/ 6 1 + j t[ M’II4s, r,, Ml/ dsl. et en vertu de fl.l2.),

11 A&, Y,, tl) // < e”‘fx+l

pour tout

x E [ti, t].

Fn particulier cette intgalitk est vraie pour x = t ce qui dkmontre la relation de l’honct. (2.7) Soit (t*, Y&to) E SP(&. Soit V(s) -= Ito - 8, t* + s[ x a(&, .E) x &, E) C Y et M’ > 0 comme dans (2.Q alors: /[A@,Y, to) - A& Y,, to)/[ G e2M’lr-‘otfjf 11G(s, Y, toI - G(s. Y,, toI 116 1 pour tout (t, Y, to) E If(&) n 9yLff. Fn effet : Soit (t, Y, to) et (t, Y,, to) B V(E) n Y(&. Pour tout x e [to, t] on a: ‘4(x, Y, t,f - A@. YQ.to) = j [G(s, Y. toI o A@, Y, cc-,)- G(s, Yo, to) o A@. X,. to)] ds Compte tenu de (2.6) on a aus: 11 G(y, Y, to) jj G M’ et 11 A& Y, to) 11< ewly-roi pour tout y E [to, t]. En s’appuyant sur ces in&galitPlset sur, G(y%Y, toI o A(y, Y, to) - G(y, Yo, to) i)A(y, r,, to) = Gdv, I’, to) o [A(Y, Y. to) Aly, Y,. to,] i- [WV, Y, to) - G(Y, r,. to)] o A(Y, r,. to), nous obtenons pour tout x E [t* t] :

f e”‘lt-roll i (IG(s, Y, toI - G(s, Y,, to))1 dsl,

Fn appliquant x E [to, cl.

(1.12) ri cette in6gaiitC on dbduit Ia relation suivante valable pour tout

jpw,Y, to) -

A@, Yo, to)11<

k11 c(s, Y>

ewtx-tQl [e”‘~t-roi1

to) -

Gts,L

tot/} klls

qui donne la formule de I’knonck pour x = t. (2.8) Soit P, = (Y, tS) une point de passage simple en 8. Soit t’ un instant de I’Cpoque du skjour en A interrompu en P,. Soit Y’ = q(t’, P,) et P’ = (Y’. t’) un ant~~dent de P,, P

dans larkgion da1 du s&jour en d interrompu en P,. Soit to > 0,~ : < -t p(t) = qp(<,P,, P’) comme dans (2.3). Soit q E &?avec l/q 11< lo. Alors il existe un E. Co & E > 0, une constante M1 r 0 et une constante M, > 0 tels que:

11 Aft, Y’ + FL%t’) - A(& Y’, t’)I/ S pj/~+llMl/t - t’j eMzkt-r’l ~0~~~~~~

avec ii? II

-c E,

pour tout p avec 0 % p < 1, pour tout t f [t’, rp(lj q II)].

Remarquons d’abord que (cp(Ijq I[), Y’ + pq. t’) E S@(LI,~)pour tout r E @ avec /Iv [/ c to et pour tout pavec0 < p < l,cequientraineaussipar(2.l.ll)que(t, Y’ + PQ, t’) e Y(L&) pour tout t c [t’, q$~~~~~)]. Soit Y(Q) = It’ - E,, t, + sl[ x ~(Y’,E~) x I(&‘, E,) et K’ comme dans (2.6). I1 vient: 11G(t, Y’ + ,ult, t’) - Gft. y.‘, t’) j/ g K’~~q(t, Y’ + M, t’) - q(t, Y’. t’)I[ pour tout y E B avec i/r, 11< lo et /jfj11c fzi, pour tout t E Et‘, r&l/q /I] et pour tout p avec 0 < p < 1, puisque dans ces conditions (t, Y’ + ,UV,t’). (L Y’, t’) E TV n 5@(dnl). D’autre part soit V(Q) = ]t’ - Ed, t, -t- Q[ x b(Y). Q) x I(t’, EJ et I: comme dans (1.131. 11vient : 1140,Y’ + ccrl,t’) - 40, Y’, t’)II < pllfll\ eL’lr+l pour tout q E L@avec 11 q 11< ~~,pour tout ,uavec 0 < p < 1, pour tout t E Jt’ - s2, ts + sZ[. Soit E > 0 Ie plus petit des nombres &,, cl, s2_Nous obtenons I’in&gaIiti: 11 G@, Y’ + M, 0 - G(t, Y’, t’)II < pilq/lK’ eL’li-r’l pour tout tl E 48 avec 11 ~11< E, pour tout p avec 0 < p < 1, pour tout t E [t’, 4p(jlqljfj. Enfm on a en vertu de (2.7) et compte tenu de la relation prkckiente : II44

Y’ + ~tl, 0 -

A@, Y’, t’) 11< $M’Ir-r’Il

S p)Iql[~‘e~IS-t’I dsf C’ < @‘I/q//

It -

f’l etzM’+~flf--I’l

pour tout q E 9 avec 11~11< E, pour tout p avec 0 < p < 1, pour tout t E [t’, ~~l~~l~)J. Cette demi&e inkgalitk prouve le iemme. Nous entamons maintenant I’ttude proprement dite de la diffirentiabilitb de I’application Y 4 q(t, Y. 6). Occupons nous d’abord du cas oti les points (t, Y, 6) sent contenus dans Y(d), c’est B dire des points (t, Y, 6) pour lesquels I’arc de ligne d’univers 10, Y. 6, &Iest contenu dans d.

(2.9) Soit (t*, YO,to) E .9(d): Y -t q(t*, Y, to), homComorpphisme de &(t*, to) sur cBB(tO, t*), est diffkrentiable au point Y, et a pour dtrivk en ce point, .4(t*, YO,to). En effet : Puisque (t*, YO,to) E 9’(d) et puisque Y(&,J, (voir H3), (t*, Y,, to) appartient un ouvert I+) = ]to - &,t* + E[ x contient la boufe a(YO,8). Soit q E R sft, yo + % to).

9(p(rhf) est la r&union de ses composantes connexes it l’une d’elles, 9(&J. En vertu de (2.1.20) il existe a(YO, &) x &, E) contenu dans 9(&). &‘(t*,tO) avec IJqj/ < E. Posons Y,(t) = 4(t, YO,to), Y2(t) =

M. JEAN

116

Soit r = [to, YO,to, &*I.Puisque rest compact et puisque Cdo est ferme, la distance entre T et Cdo est positive non nulle, d(r, Cd,) = 6 > 0. W = (P : d(P, f) c 6’ < S>, ensemble des points dont la distance g I’ est infkrieure a s’ c S, est un voisinage ouvert de r contenu dans Aa. Si t E [to, t*], I’ensemble des (Y, t) v&ifknt I/(Y, t) - (Y&k t)lf = I/Y - Y1(tfI/ c 8 est contenu dans W, et done dans do. Ceci montre que S(t, An) contient la bottle a( Yi(t), 8’) quel que soit t c [to, t*]. Soit I$$ = Ito - el, t* f .sl( x a(Y,, si) x Z(t,, eJ et C comme dans (1.13). On peut supposer que E a 6th choisi inferieur a ei. 11vient pour tout x E [to, t*] : 11Y,(xf -

w4{[

G lltl/l et”x-roi

(1)

On peut supposer aussi que s a ett6 choisi inferieur B 8’/eglr-rol ce qui nous assure que

Yz(x) E a(Y,(x), 6’) c Y(x, do) pour tout x E [to, t*]. Quel que soit t 6 [to, t*] on peut &wire: Y,(t) - Y&) = 11f / [X(Y,(s), s) - X(Y1(s), s)] ds, to

Posonsdt, PO,q) = Y2ft) - Y$(f) - 4,

PO) q. Compte tenu des relations prkckdentes

iI vient : tit, PO, tl) = i C-vdd,

4 - X(Y,(s), s) - J(Y&), s) 0A(s, PO) rfj ds

= f CiY*(r,. s) - -%(@t 20

S) - J(Y,(sf> s)(&b,

- Yds,) C J(Y,(s), s) 4s. PO, q,] ds.

Soit x E [to, t*]. Puisque Y + WY, t) est differentiable dans 9(x, do) contenant la bouIe a(YtW, XXcontenant elle-mi%ne Y2(x), on a d’apres la formule de Ia moyenne (voir C23): IIJw%x)9 x) - -X(Ydx), x) - J(y,(xL x)(Y,(x) - Y,(x))(( 6 I]G(x) - Y,w ,zw$ I IIJvl~~)+ o-AX)Soit //fez) = ft, -

82, t* +

&2[

X

a(Yo,~t)

x

i(to,~l), K'

On peut admettre que E a et6 choisi inferieur a Ed II

pw

vient :

et M’, comme dans (2.6).

= MY,(x) -t CCKW - Yl(x)), 4 - J(Y,(x), x)11 c sup

&4

OS6441

G

K’ IjY&c) -

Y&4),xf - J(Y,(x), x)11

K’j.4 11 YJX) -

Y,(x)lj,

Yl(X)(1. (On a de plus 11 J( Yl(x), x) 11g M’)

Avec la refation (1) on obtient done : ll-V3x),

x) - x(Y~(x), x) - J(Y,(x), x)(Y;(x) - Y,(x))}1 G K’/Iq(/Z eZL’fxwrol.

Ecrivons maintenant pour tout t E [to, t*] :

lIr(t,PO,

rl)((G

1 i M'lIr(s, PO, rl)(Ids 1 +

I i ~'Ijtl(('e2L'lr-toldsl

SW le.9Pquations c1u.xvariations

d’oit on tire en vertu de (1.12), IItit- PrJ,?) Ii 6 e”‘lr-rCJK’I/qll2 It* _ toI e2L’lr--101, relation qui montre que 11 r(t*. PO.Q)/l/l}q 11-3 0 lorsque 11 q 11-+ 0, ce qui prouve le theoreme. Remrque

Ce theoreme s’etabht dans $! = R” sans l’usage de H4. Corollaire

(2.10) Soit &‘(t,,t,, d) non vide: Y -J, q(t2. Y, tI), hom~omo~~isme de &‘(t,, tlf sur dP(t,,t,l, est di~~re~tiable dans &(t2,t,, df et a pour d&iv&eau point Y, A@,, Y, tl). Traitons mainten~t le cas des points ft. Y, 6) pour Iesquels [@,Y. 0. t] est contenu dans A, le point (q(t, Y, 0). t) &ant un point de passage simple en 9”. ThPOtb2

(2.11) Soit P, = (Y, ts) un point de passage simple en 8. Soit t’ un instant de I’epoque du sejour en d interrompu en P,. Soit Y‘ = s(t’, P,) et P’ = (Y’, t’) un ant&dent de P,, P” dans la region doI du sejour end interrompu en P,. Alors Y -+ q(rs, Y? r’).homeomorphisme de dRt,, t’) sur &t’, rS),est differentiable au point Y’et a pour d&Me en ee point, A@,, Y’, r’f. Fn effet : Soit E > 0 comme dans (2.8) et soit q E R avec flq 11< E.Ekxivons : f&,

q/2, r’) - q&, Y’, t’f - J-w, Y’, t’1v/2 = q((P(I/ ttj/t,Y’ -i- 0, t’) - q(fdJj& Y’. t’) - &t,, Y’, t’) rt/2 + &., Y’ + q/2. r’) - q(~(ll~~l~, Y’ + q/2, t’) - qk Y’, r’) + q@(jj q fl), Y’, r’). Y’ +

&dIIv}j)? t’, 4 contient a(Y’, jllrji)come I’indique (2.3). Puisque Y + q((io(jIy/), Y, r’) est une apportion differentiable dans &‘(t;o(//q I/),r’, d) en vertu de (2.10), on a d’apr&sla formule de la moyenne : ~lq(~ll~l~)~ Y’ + v/Z 4 - q~~~l]~l~~,y: f) - A@, Y’, t’hP][ s lltll//~ ,:;P,

ll4(o(llf7I/), y’ + PW? 0 - -4t,, y’, f)ll,

relation a laquehe nous adjoignons 1~~~9(~~~ iI),Y + PI/~, 0 - A@, Y’,0/j G ll~(9~l~~~l)~ Y + PI/~, r’) - ~~9~1~~~~), Y’,r’)i]-i- 1~~(9~1~~1~), JI, r’) - 4, rt, r’)if C ~111171//2~,Jcp((jtl~~) - r’l e”ziq(listl)-t’i-t IIA(cp(I}~l[), Y’,t’) - A(t, Y’, t’)(/, Ia

derniere inegalite par (2.8).D’autre part Ccrivons:

llqh Y’ + ai% r’) - q~9~1~~1~~, y* + d& r’) - q(t, Y’, 1’1-t q(9##,

Y’, tf)/

Y’ .f v/2, t’),S) - X(q(s, Y’, t’),s)lj dsl.

118

M. JEAN

Soit u(P,) voisinage du point P, choisi comme dans HI, et L = L(v(P& Remarquons qu’on petit trouver un 6 > 0 suffisemment petit pour que (q(t, Y’ + $2, t’). r) et (q(f. Y’, t’), t) appartiennent 4 VtP, ), pourvu que 11 tf I[ c 6 et 1r - rs 1 < 6. Puisque cpf11 q 11)+ fs lorsque 11q11 -, 0. il existe 6’< 6 tel que Its - ~lt~ll)l C.6 si l/lr[l c s’. On peut supposer que E a et& choisi inferieur a s’. X satisfaisant l’inigalitt de Lipschitz dans v(P,) it vient :

IJ,) IIXMSY’ + z/2,0,4 - X(q(s,Y’, 0, s)lldsl

4

t’ L f&, y’ + s/2, t’) - qfs, y’, t’)l/ dsl. tit f4) Ii

Soit I+‘) = ]t’ - E’,ts -I- E’[ x (Y’, E’) x I@‘,E’)et L’ comme dans (1.13). On peut supposer que E a 6tt choisi infkieur a E’.11vient pour tout x E It’ - E’,ts -+ E’[, II&, Y’ + V/2, t’) - &c, Y’, t’)(I G l/4/2 et’lx+‘, et en substituant cette in&alit4 dans I’inigalitt preckdente :

En rassemblant nos resultats nous obtenons done: II&

y’ + z/s 0 - 4(& Y’, t’) - A(&, Y’, 0 V/21/ G JJttlll2p,

avec

f lJ~(~(~l~l~),Y’, 0 - 44,

Y’, t’)ll + Its - ~([~~~~)~ L eL’it~-r’~.

Puisque l’application t -+ A@, Y’, t’) est continue dam 4cn(t’, Y’, t’,& 1 [t’, t,] et puisque cpCll~[l)+ t, lorsque l/q{/+ 0, on voit que p + 0 lorsque l/~/l + 0, ce qui demontre le t hCor&me. (2.12) ‘:Dans les m6mes conditions que (2.1 i), Y + q(t’! Y, t,), homkomorphisme de Qft’, t,) sur &(t, t’), est differentiable au point & et a pour derivke en ce point, A@‘,I& ts). En effet, A@, Y’, t’) est un hom~omo~hisme lineaire de 91 sur W et admet pour application inverse A@‘,q(t, Y’), tJ = A@, Y,,t,) qui est la d&iv&e de Y -+ q(f, Y, f,) au point q, Y -+ q(t’, Y, t,) Btant I’application inverse de Y + q(ts, Y, t’), (2X3), (1.7.9). Renmque On peut &-ire des Cnonces analogues a ceux de (2.3), (2. i 1), (2.12), lorsque t’ est choisi dam 1’6poque du skjour en A commence en P,. Nous arrivons m~nten~t au principal rksultat. Nous considerons le cas ou les points (t, Y, 0) appartiennent & g(d).

(2.13) Soit (t*, Y,, to) E 5~‘(d!i: Y -+ q(t*. Y, to), homeomorphisme de b(t*, to) sur (gb(t,,t*), est differentiable au point Y0et a pour derivke en ce point, A(t*, Y,, to).

119

Sur les @ations 411xvariafio~s

En effet : Si (t*, Y,, to) E Y(d) le theorkme rbulte de (2.9). Si (t*, YO,to)# Y(d), soit {tr, t,, . . . , t,>, co G t, < t, < . . . -c f, G t*, l’ensemble des temps de passage simple sur la ligne d’univers passant par P, = (Y,, to), et contenus dans [to. r*], (2.2.10). Soit Y, = q(t,, P,), Yz = q(t2, PO), . . . , Y, = q(t,, P,);Soit P, = (Yr, t,),P, = (&, t2), . . . , p, = (Y,. f,), I’ensemble des points de passage simple en B sur la ligne d’univers passant par P,. Soit r; E]f,, rz[* r; &,

lj[, * * * 3t: - 1 Elf, - It4 [*

y; = qv;, a,), r;

= 40;. PO), * * * 1 K - 1 = qe: - 1, PO)

a; = (Y;. Q,P;

= (Yi.ti), . . .,P;_r

et = (Y;_,,t;_,),

des consequents de P,, Soit ]y, tr[ l’epoque du sejour en d interrompu en Pt,]tr, t&. . . ,]tr-l. t,[, les epoques des sejours en A interrompus respectivement en P,, . . . , P,. Soit ]t” G[l’tpoque du sejour en A commence en P,,]tl, tz[, . . . , It,- 1, t, [, les tpoques des sejours en A commences respectivement en P,, . . . , P,_ 1.’ Considerons les bijections : TI : y + dbt

Y, GJ

T; : Y -* f&t;, Y, tr) 7-2 : Y --t qtt2, Y, t;) T; : Y + q(t;, Y, tz) ,***, T, : Y -, q&, Y, t:_ 1) T; : Y-+ q(t*, Y, c,)

de

WI,

de de de

&t;, tr) 4t2, t;) dP($, t2)

sur sur SuI: sur

&(t,, &tr, 4t;, 8(t,,

de de

&(t,, t;_ ,) &(t*, t,)

sur sur

&‘(t:_r, tr), &(t,, t*).

kJ

tI), 61, t2), t;),

(Si t, = E, on ne considerera pas T,, si r.* = t, on ne considerera pas T; ). En vertu de (2.11), (2.12) et de la remarque dam (2.121, Tr est differentiable au point YO, T; au point Yr, T2 au point Y;. T; au point Y,, . . . , T, au point Y:_ r, T; au point Y,, et ces applications ont respectivement pour dirivkes, A@,, YO,to), A&, Yr, cl), A(t2, Y; , t;), m;,

r,, b), . . . , m,

K-

1, C-d, at*,

Yr, &I.

Alors T: Y -* q(t*, Y, to), bijection de 6(t*, to) sur &(t,, t*). produit des applications T;.T,.... OT; OT,, est differentiable au point Y-, et a pour jr,, T;, . . . , T,,T;,T= d&iv&e

ContinuitP de l’application (t, Y, 13)+ A(t, Y, 8) Supposons que la condition suivante soit v6riGe en plus des conditions HO. Hl, H2, H3, H4 : H5-. d^est ouvert. Si dest ouvert, Y(;l) est ouvert (2.1.211, ainsi que &t,, tl,b), (2.1.23). (t, Y, 0) + A@, Y, 8) est une application de Y(df) dans .P’(&, w), (2.56). Dknontrons tout d’abord les lemmes suivants :

120

M. JEAN

Lemmes (2.14)

Soit (t*, YO,to) E Y(d). Soit

We) = Ircl - s, t* + E[ x a(Y,, E) x I(&,, E) c 9 : 1 j/IG(s, Y, to) - G(s, Y,, &,)I/ds( + 0 10 lorsque t -+ t* dans ]to - E, t* + E[ et lorsque Y + Y,,dans a(Y,, E). En effet : Puisque (t*, Y,, to) E 9(d), (t*, Y,,, to) appartient a I’une des composantes connexes de y(p(d), 9(&J. Soit V(E) = ]to - E. t* + E[ x a(Yo,d x I(t,,e) C Y(AJ (2.1.20). Soit V(si) et K’ comme dans (2.6). On peut admettre que E a ett6 choisi infkieur a sr. On a alors pour tout (x, I: to) E V(E): /tG(x,J',to) - W,

Yo, to,11< K' jdx, Y,t,) - &,

Wo)II.

Soit V(sZ)et L’ comme dans (1.13). Adniettons que E ait et6 choisi inferieur a Q. I1 vient : j/q@, Y, to) - 4(x, Yo, to))1 < 11Y - Y,l( eL’lxMtoi, d’oh on tire pour (t, Y, to) E V(E), I i /IG(s, Y, to) - Gls. Yo,to)11ds( < I ;‘aK’(I Y - Y,ll eL’lS+ dsl < K’II Y - Yo/ (It* - toI + 2s) eL’(lt’-*ol+zr), relation qui prouve le lemme. (2.15) Soit P, = (x, tS) un point de passage simple en 9. Soit t’ un instant de l’epoque du sejour en A interrompu en P,. Soit Y’ = q(t’, P,), P’ = (Y’, t’) un antecedent de P,, P dans la region AnI du sejour en A interrompu en P,: 11existe un E > 0 tel que 17 11G(s. Y, t’) - G(s, Y’. t’)IIdsl + 0 lorsque Y -+ Y’ dans a(Y’, E). En effet, soit E > 0 comme dans (2.8). La relation (1) dans (2.8) montre que : (1G(t, Y’ + 4, t’) - G(t, Y’, t’)I( < ll~lj K’ eL’lt-“l’ pour tout q E 4p avec [[~I/ < E, pour tout t E [t’, rp(IIvII)]. I1 vient done : 1“‘I”’ /IG(s, Y’ + 7, t’) - G(s, Y’, t’)l\ dsl < lI~lllcp(ll~ll)- t’l K’er~‘P(~~~~~)-t’l pour tout 9 E 9 avec llt~llc E. On voit aussi dans la demonstration (2.6), tel que:

de (2.8) qu’il existe un M’ > 0. choisi comme dans

IIG(t, y’ + ‘I, t’)I( < M’, pour tout v fzW avec //qll < E et pour tour t E It’ En s’appuyant sur ces inegalitis on obtient : ) .(i,,) )IG(s, Y’ + II, r’) - G(s, Y’, t’))Ids( <

IIG(t. Y’. t’)Jls M’ E, t,

+

E[.

2M’dsl= 2M’ It, - d((rl(()l,

121

Sur les Pquflrions am variations

d’oh on tire, 1i II@, Y’ + t130 - G(s. Y’. 011 dsl d I/VI!Jcp(ll~lf)- t’l K’ eL’)MIJ”ll)-t’)+ 2M’ It, - p(llqll)l

Puisque cp(11~ II)-+ t, lorsque q + 0. cette dernitre intgalitt prouve le lemme. Remarque

On peut Ccrire un enonce analogue a celui de (2.15) lorsque t’ est choisi dans l’epoque du sejour en A commence en P,. (2.16) V(E) =

Soit (t*. Y,. to) E Y(A). Soit

]to -

E, t* +

E[ x a(Yo, 4 x I (to, E) E 9$i) : 1j I)G(s, Y, to) - G(s, Y,, to)11 ds( + 0

lorsque t + t* dans Jto - E, t* + E[ et lorsque Y --) Y. dans a(Y,. E). En effet : Si (t*, Y,. to) E Y(A), le lemme resulte directement de (2.14). Si (t*, Y&to)9 Y(A), soit V(E) = ]to - 8. t* + E[ x o( Yo.E) x I&,, E) E, Y(A-), (2.1.20). Reprenons les notations de (2.13). Posons F(x) = I/G(x. Y, to) - G(x, Y,, to)/. Ecrivons:

11F(s) dsl <

1:jaF(s) dsl + I [ F(s) dsl + . . . + it;!,

Wdsl

+ /jT(s)ds/

+ /iWs[

(1)

Fxaminons la quantite

1i F(s)dsl= 1‘j))Gts, Y, to) - G(s,Yo,to)11dsl fl

ti

=

11l/W.qttiyY, to),ti) -

G(s,q(tipYo.to).ti)ll ds(,

la demiere igalitt resultant de (2.4.4). Comme (t, Y, 6’)+ q(t, Y, 6) est une application continue, q(ti, Y, to) tend vers q(ti, Yo, to) lorsque Y tend vers Yo,et en vertu de (2.15) on voit que @(s)dsl tend vers zero lorsque Y tend vers Y,. Compte tenu de la remarque qui suit (2.15), il en est de meme de chacun des termes de l’expression (1). except6 le terme @(s)dsl qu’il nous faut examiner A part. Soit V(sl) et M’ comme dans (2.6). On peut admettre que E a tte choisi inferieur a ar. Nous avons I)G(x, Y, to)II S M’. I/G@, YO,to)jI d M’

pourtout(x,Y, 4&(x, Yo,to)~ V(E).

122

An. JEAN

Nous obtenons done la relation $F(s)&l

G J~ZM’d4

= 2M’It - t*l,

qui montre que

I ti F(s)4 tend vets zero lorsque t tend vers t*. Fn rassemblant nos resultats nous voyons que le lemme est prouve. (2.17) Soit (t*, Y,, to) o Y(J). Soit V(E) = ]to - &,t* + Ef x a(Y,. E) x Z(t,, E) c Y(B): alors 11 A(& X to) - A(t, Y,, to)11-+ 0 lorsque (t, Y, to) + (t*, Yb, to) dans V(E). ,En effet soit V(s) c Y(J), (2.1.20). Soit TV et M’ comme dans (2.7). E ayant ite choisi inferieur a eI : [IA@,Y, toI - Aft, Yo, to)11Q e2M’r’-‘0f11 IIG(s, Y, to) - G(s. Yo, to)/ ds(. Cette ikgalitk, accompagnke de (2.16) demontrc notre iemme. TMorPme (2.18) (t, Y, 8) + A(t, Y, &est une application continue dsns Y(b), En effet : Soit (t*, Ye,to) E Y(J). Soit V(e) = ]to - E, t* + E[ x a(Yo, E) x I@,, E) E 9(&. (t, Y, e) E V(E). Ecrivons :

Soit

A(t, Y, 8) - A(& Yo, 4)) = Nt. q(to* I! 8). to) o A@,. Y. e) - Ak Y,, to) par (2.5.7) = [A@,4(&j. Y. 81.to) - Aft. Y,, t*)J o A&J. Y. 81 + A{t, Y,, to) O[A@,, Y, 81 - j 1. Puisque A(&,, Y, f3)est un homeomorphisme tion inverse (2.5.8), ii vient : j/Aft,, y, et - i I/ G //Ah,

lineaire ayant A(& dto, Y, e), to) pour applica-

y, ei/i /I i - 4% 4(to, Y. 81. tolli G l+qe.

4(to, Y, 6). to)l( (jj - .4(e, 4(to, Y, eh to)((

Or (13,q(to, Y, 81,to) J (to, Y,. to) lorsque (8. X to) -+ (to. Y,. toI ce qui montre que Ate. q(to, y, 81. to) + j lorsque (8, Y, t,l -, (to, Y,, to) en vertu de (2.17). De mCme p(t. 4(toq Y. e), to) - 4t. yo. to)/ -* 0 iorsque (r. Y, 6) --+(t*, Yb,ro) toujours en vertu de (2.17). Ainsi //A#, Y, 8) - A(t, Y,, &-,)I/--, 0 lorsque (t. r, ef + (t*. Yo, to). De plus /(A@,YO.t,) - A(t*, Y,. to)// --, 0 lorsque t -+ t* puisque I’application t -+ A@. Yo, to) est continue. On voit alors que //A@,Y. 8) - A@**Y,, toti/ G I/A@. Y, 81 - A& Y**tJj + j/m tend vers zero lorsque (t, Y, 8) tend vers ft*, YO,toI dans V(E).

[email protected]) - A(c** x3. to)//

Sur les Pquations au variations

123

Nous avons enlin en corollaire de (2.13) et de (2.18) Corollaire

de &(t2, tl) sur (2.19) Soit Qt2. c,, 8) non vide: Y --, q(t2. Y, tI) homkomorphisme &(t,, t2) est continuement diffkrentiable dans &(tz. t,,6) et a pour dirivte au point Y, A&, Y, t1).

Reprenons notre kquation diffkrentielle (e). Cette kquation jouit de la propriitk suivante : Y -+ q(t. Y. 0) est un homkomorphisme de R dans R continuement diffkrentiable dans R sauf pour un ensemble de points dknombrable et fermt Une classe assez vaste d’kquations difkentielles de la Mtcanique se comporte de cette facon, c’estkdire que l’application Y + q(t, Y, 0) est diffkrentiable presque partout dans l’espace de phase. Cette propriM est non seulement utile dans 1’Ctudede la stabilitk des solutions, mais aussi dans la recherche des solutions pkriodiques et de leurs domaines d’attraction [S].

Remerciemmts-Ce travail, qui reprend sous une forme difftrente une partie de notre tbbe de doctorat, a &t& r&dig&B l’Universit& de Califomie it Berkeley, avec une allocation de recherche du Miller Institute. auquel nous exprimons notre vive gratitude.

BIBLIOGRAPHIE [I] [2] [3] [4] [S]

E. CODDINGTON et N. LEVINSON, Theoryof Ordinury Diflerenrial Equarians. McGraw-Hill (1955). J. DIEUWNN~,Fondemenrs de I’Analyse Moakrne. Gauthier-Villars (196s). S. L-Z, Geometric Theory of Diflerential Equations. Interscience (1957). TH. Vooe~, Thkorie aks Sysrkmes Evolutif. Gauthiers-Villars (1965). M. JEAN,Sur les solutions p&iodiques des Cquations diffCrentielles de la mkcanique. Th&e SC.math. Marseille (1965). (Rep le 8 Ruin 1966)

Abstract-We consider the differential equation (El, y = X( Y.t), in which (Y, t) + X( Y, t) is a mapping of a domain D of R x R in W. 91 is a Banach space. R is the real line, the dot means the differentiation with respect to the variable t. We assume that the conditions for the existence and uniqueness of solutions of(E) in some domain are satisfied. Let t + q(t, Y, 0) be the solution of (E), such as q(6, Y, 8) = Y. Y -+ q(t. Y, 0) is a mapping of a subset of 9 in 5?. If the mapping Y + X(Y. t) is differentiable we know that the mapping Y + q(t, Y, 8) is differentiable (the solutions of(E) are differentiable “with respect to the initial conditions”). We shall show that this property is still true in cases when the mapping Y -) X( Y, 1) is differentiable only in some domains. the derivatives having finite discontinuities on the boundaries. For that purpose we shall point out that the derivative of the mapping Y -t q(t. Y. 6) is a solution of “the variational equation of (E)” which cannot be considered in the usual meaning when the mapping Y -, X( Y, t) is not differentiable. Such results are useful in the study of the stability of the solutions of(E).

ZBassung-Es wird die DilTerentialgleichung (E): I’ = X(Y, t) betrachtet. in welcher (Y. t) - X(Y. t) eine Abbildung des Gebietes D in 5I x R darstellt. Hierbei ist W ein Banach Raum und R die reelle Zahlengerade ; der Punkt kennxeichnet die Ableitung nach der Variablen c. Es ist vorausgesetzt. dass die Existenz und die Eindeutigkeit der Liisungen von (E) in einem gewissen Bereich gewihrleistet ist. Femer sei fiir t -+ q(t, Y, 0) als Ltiung von (E) q@, Y. 0) = Y. Y -+ q(t. Y. 8) ist eine Abbildung einer Untermenge von W in 91. Wenn die Abbildung Y -+ X(Y, I) differenzierbar ist. ist die Abbildung Y -) q(t, Y. 0) bekanntlich ebenfalls differenzierbar, d.h. die Liisungen von (E) sind differenxierbar “nach den Anfangsbedingungen”.

124

M. JEAN

Es wird nun gczeigt. dass dicsc Eigcnschaft crhahn bicibt, wcnn die Abbildung Y + X(x t) nur in gewisscn Bcrcichcn diffcrcnzicrbar ist und die Ablcitungcn am Randc zwar bcschr%nkt abcr unstctig sind Ftir dicscn Zwcck wird darauf hingcwicscn. dass die Ablcitung dcr Abbildung Y -+ q(t, l! 6) cinc LBsung dir “Variationsglcichung von (E)” ist. die man nach dcr iiblichcn Bctrachtungswcisc nicht bchandcln kana wcnn die Abbildung Y- X( Y. t) nicht diffcrcnzicrbar ist. Solchc Ergcbnissc sind niitzlich bci dcr Untcrsuchung dcr StabiliW dcr LBsungcn von (E).

A6eqmm-PaccnaTpHBaeTcK nK#epeHwa.nbHOe ypaBHeHH0 (E), f- X(Y, t), B ~owpux f) -. X(y, t) KnnneTcsinpeo6paaoBaHHeH obsami 9 ~8 d# X R. w m~~fmc~~.~~HI~XOBS~M npocTpaHcTuouR- ReitCTBHTeJlbHOft OCbYf,TOWa OdOaHa'laeT W@t&peHWpOBaHKe UO IlepeHeHHOB 1. npe~HOnaraeY, WV E HeKOTOpOii o6naCTK ~~OBJI~TBO~~TCK yCJ'lOBJtR CylQeCTBOBaHwfH emawrmmm peluetrd (E). llyCTbI + q(r, I’, ~)~anfwrcr! peuxem!eM(E),TaKm 4(6,Y,8) npeO6pa8OBam#eY IIOmYHOnwCTBa @ B d?. Ecm - Y. Torna Y -, q(r, Y, 6) ~JJWTUI npeo6pa8oeaHnflY + X( Y, t) IUr@epeHwspyeuo, TO npeo6paaosaRHe Y + q(r, Y, e) mfte n~@@epeau~pyexo (pememin(E) im++eperaHpyem no umomeHm0 K Kawxbnm ycnomtmra). IIoKaHtex ,womUceoitcmocnpaBemlrno TaxIHe~~Cny9810x~orA(LnpB06pPso~BBIIe Y+ X(Y,r) ~#@epeHQKpyeWO TOJlbKOB HeKOTOpUX ObnaCTRX, llpU'Eehl IlpOlraBoJWMe KOHe'lHXe paep&KBbl Ka rpaaiisax.c aToft senba, OTHeTHY, ST0 IlpOK8BO#lOeIlpeObpaaOBaHHeY+q(t, Y, 0) R&IIReTCRpeUleHHeM *ypaBHefIHKBapHalJHfi ypaBHeRHR (f+, KOTOpOe HeJTbMfpaCCMaTpHBMb B 06bI~HOn ItORHH8HHH WOOF0 MOBa KOrm npeo6paaoBaHHe Y + x(Y, ') Ke~#epeK~HpyeMo. %H PeQ’JIbTfrPbl llOJIe8KbI B &WCJIe~OBNfHH JWTOit’4HFjOCTH pelueHIf@ (E). (y,