Zum betriebsverhalten des wanderfeld-mhd-wandlers mit berückischtigung der randströmung

Advanced Energy Conversion. Vol, 5, pp. 57-69. Pergamon Press, 1965. Printed in Great Britain

ZUM BETRIEBSVERHALTEN DES WANDERFELD-MHDWANDLERS MIT BERIJCKSICHTIGUNG DER RANDSTR6MUNG~ H. WEH und P. v. GRUMBKOW~ (Received 2 November 1964)

Zusammenfassuag--Unter vereinfachten Voraussetzungen (trapezf6rmiges Str6mungsprofil, keine Stromverdr~ingung, teilweise vernachl~issigte Streuung) werden durch Erweiterung und Auswertung vorliegender Gleichungen die durch die langsamer fliessende Randschicht verursachten zus~itzlichenVerluste berechnet. Insbesondere bei kleinen KanalNShen, bei denen die Dicke der Randzone st/irker ins Gewicht f[illt, und kleinen Schlupfwerten k~Snnen diese Zusatzverluste ein Mehrfaches der unter Voraussetzung tiberall konstanter Str6mungsgeschwindigkeit berechneten Verluste betragen. Zur m~Sglichstgenauen Vorausberechnung ist eine gute Absch~itzung der Randsehichtdicke erforderlich, die aus dem Zusammenwirken der StriSmungswiderst~tnde und den elektromagnetisch auf das Str6mungsmedium ausgeiibten Kr~iftenresultiert. EINLEITUNG ZAHLREICHE Versuchsprojekte befassen sich Imit der M~glichkeit der elektromechanischen Energieumformung in Einrichtungen ohne bewegte Maschinenteile. Dabei werden die ftir die Umwandlung notwendigen Kr~ifte durch Zusammenwirkung der in einem elektrisch leitf~ihigen Str~Smungsmedium fliessenden Str6me mit magnetischen Feldern erzeugt. Erfolgversprechend sind Arbeiten auf dem Gebiet der elektrodenlosen MHD-Wandler, bei denen das Magnetfeld dutch eine fortschreitende Feldwelle konstanter Amplitude (Wanderfeld) gebildet wird, so dass die im StriSmungsmedium ffir die Kraftwirkung notwendigen Str6me als fast gleichphasige Stromwelle induktiv erzeugt werden k6nnen. Der Wandler arbeitet als Motor bzw. Pumpe, wenn die Geschwindigkeit der Feldwellen gr~Ssser als die mittlere Strt~mungsgeschwindigkeit ist, andernfalls als Generator. Bei den bisher durchgefiihrten Betrachtungen zur Beschreibung des Betriebsverhaltens elektrodenloser MHD-Wandler wurde davon ausgegangen, dass die Geschwindigkeitsverteilung des in einem Kanal eingeschlossenen striSmenden Mediums fiber dem Kanalquerschnitt konstant ist. Infolge der Reibung an der Kanalwand und infolge innerer Reibung bewegen sich die Randschichten des Str6mungsmediums mit kleinerer Geschwindigkeit als die Mittelschicht, wodurch zusatzliche Verluste in Rechnung zu stellen sind. Die Abschatzung dieser Zusatzverluste ist Ziel der vorliegenden Arbeit. M O D E L L UND V O R A U S S E T Z U N G E N Fiir die Berechnung der Felder und Leistungen wird das in Abb. 1 skizzierte Modell verwendet. Aus Symmetriegrfinden ist es ausreichend, nut mit dem halben Kanal zu rechnen. Zwischen den elektromagnetisch auf das Str6mungsmedium ausgeiibten Kr~iften und den Reibungskr~iften wird ein Gleichgewichtszustand in der Form vorausgesetzt, dass-t Operating performance of the Travelling-Wave-MHD-Generator with regard to the boundary layer of the fluid. :~ Institut f'fir elektrische Maschinen, Antriebe und Bahnen der Technischen Hochschule, Miihlenpfordtstr. 23, 33 Braunschweig, Germany. 57

58

H. WEH und P. v. GRUMBKOW

wie in Abb. 2 angedeutet--die Geschwindigkeitsverteilung in Abh~ingigkeit vonder Kanalh6he in erster Niiherung trapezf6rmig angesetzt und eine Einteilung in 2 Bereiche vorgenommen werden kann:

f ABB. 1. Str6mungskanal (Fluid channel). Im Innern der Str6mung (Bereich I) herrscht die Geschwindigkeit vl; sie ist gr6sser als die mittlere Str6mungsgeschwindigkeit v. In der Randzone (Bereich II) wird die lineare Geschwindigkeitsverteilung durch eine mittlere Geschwindigkeit v2 ersetzt, die kleiner als v ist. Die Aufteilung in 2 Bereiche l~isst die Deutung des Rechenmodells als Parallelschaltung zweier einzelner Maschinen unterschiedlichen Schlupfes zu, wobei bei Motorbetrieb die Maschine fiJr den Randbereich die dem Mittelbereich entsprechende Hauptmaschine unterstiitzt, bei Generatorbetrieb ihr jedoch entgegenwirkt. As(x,t)

/~F@ = O0

y2 ~

y

V 2 v ~ " - ' ~ - ~ - - ~ r _~

-

-

_

'l V

~--'-V

ABB.2. Str6mungsprofil (Shape of the fluid velocity). Randeffekte infolge unterschiedlicher Geschwindigkeitsverteilung in z-Richtung werden vernachl~issigt. Weiterhin wird der Strombelag As (x, t) der Wanderfeldwicklung direkt an das Str6mungsmedium angrenzend angesetzt, so dass die entkoppelnde Wirkung einer Kanalwandung entf/illt. Zur Untersuchung eines derartigen "Zwei-Schichtmodells" k6nnen die in [1] abgeleiteten Gleichungen verwendet werden, die f'tir den vorliegenden Fall dahingehend abge~indert werden miissen, dass der Bereich II statt der elektrisch nicht leitenden, feststehenden Kanalwand das mit der Geschwindigkeit vz bewegte, leitfiihige Str6mungsmedium enthiilt.

Zum Betriebsverhalten des Wanderfeld-MI-ID-Wandlers mit Beriicksichtigung der RandstrSmung GESCHWINDIGKEIT

UND

59

SCHLUPF

Bei trapezfiSrmigem Str6mungsprofil gelten ftir die Geschwindigkeiten die Gleichungen V . Y2 =

(1)

V2 • $ -]- V l y l

vl

v2-- 2

(2)

Damit lassen sich die Geschwindigkeitsverh~iltnisse angeben: vl_ v

2y2 y2 + yl

v2 v

Y2 y2 + yl

_2(I+d)

(3)

2 q- d 1+ d

(4)

2 + d'

wobei d - 3/yl das Verh~iltnis der Breite der Randschicht zur Breite der ungest6rten Str6mung ist. 1,0

0,6 d--O o,~

.

~ ~

A

~

d--o;3~

."~

-0,4

"" 6 --0, [ ~d =0,3

- 0,8

I -I,0 -0,8

-0.6

-0,4

-02

0

0,2

S

0,4

0,6

0,8

1,0

Aim. 3. Schlupf der Bereiche I u n d II in Abh~ingigkeit vom mittleren Schlupf (Slip in the field sections I and II depending on the resulting slip).

Mit der synchronen Wanderfeldgeschwindigkeit vo l~isst sich, der mittleren Str~Smungsgeschwindigkeit v entsprechend, ein rnittlerer Schlupf s definieren: s =

1 -.-

l) vo

(~)

60

H. WEH und P. v. GRUMBKOW

Fiir die zu den Geschwindigkeiten vl und vz gehOrigen Schlupfwerte erh~ilt man analog zu (5) mit (3) und (4): Sl= 1 vl_2s(1 +d)-d vo 2 + d (6) s2= 1

v2__s(1 + d ) + vo 2+ d

1 (7)

Abbildung 3 zeigt die Abhiingigkeit der Schlupfe st und sz vom mittleren Schlupf s mit d als Parameter. Der mittlere Schlupf s, ausgedriickt durch sa und s2, ergibt sich aus (1) und (5) bis (7) zu :

s l y l + s23 s

-

FELDGLEICHUNGEN

yl+8

FOR

sl + d . s2 -

(8)

l+d

DAS

2-SCHICHT-MODELL

Die Beschreibung der Felder kann am giJnstigsten mit Hilfe von Vektorpotentialen erfolgen, fiir die in den Bereichen I u n d II ebenso wie in [1] folgende aUgemeine L6sungen gelten: Azt = (G sinh aly -~- D I cosh aty ) exp (j(oJt - ax)) (9) Azi I = (CII sinh aliY -j- DII cosh a n y ) exp (j(cot -- ax))

(lo)

mit den Abkiirzungen: a~ = a~(1 + j r s l ) ; a~t~= ae(1 + jrs2) Dabei

ist:

die Kreisfrequenz der StrSme der Wanderfeldwicklung,

oJ = 2 ~ - f 2~

r

a

die Wellenzahl,

r = a/2

die Polteilung,

A =- Vo/f

die Wellenl~inge,

r

(11)

~

vo . tz . . . a.p

.

die magnetische Reynoldszahl (ffir beide Bereiche gleich),

Vo : - to/a

die synchrone Wanderfeldgeschwindigkeit und

tz b z w p

die Permeabilit~it bzw. der spez. Widerstand des StrSmungsmediums.

Die Integrationskonstanten der Vektorpotentiale werden aus Randbedingungen ffir das magnetische Feld bestimmt. Es ergeben sich die gleichen Beziehungen wie in [1], von denen sie sich nur dadurch unterscheiden, dass hier auch die in den Argumenten der Hyperbelfunktionen auftretende GrSsse % schlupfabhiingig ist (G1. (11)). In allgemeiner Form lauten die Konstanten:

Zum Betriebsverhalten des Wanderfeld-MHD-Wandlers mit Beriicksichtigungder RandstrOmung

Ci I m

1 ] E tanh aiiYl

Di=cn.sinhanYl[1 cosh alYl

q=o /zH

AS • sinh aliY2

aii

61

E 1 - E coth aiiY2

DI I

__

CII

(12)

mit tanh auy:

al ~II

tanh aly:

a i I ~ti

E=

I

al ~I: tanh a f t : tanh auyl aII ~I

Fiir den Sonderfall vernachl~issigbarer Stromverddingung (ay ~ 1) k6nnen bei kleinen KanalhShen (y2/, ~ 1) die Hyperbelfunktionen durch das jeweils erste Glied der entsprechenden Reihenentwicklung ersetzt werden: sinh ay = ay ÷ (ay)a/3! + . . . ~ a y cosh ay :

1 + (ay)~/2! + . . .

tanh ay = sinh ay/cosh ay

~ ay

t

(13)

Damit ergibt sich unter Berticksichtigung, dass/,~ = IzH = / * ist:

CI

=

0

D t =

(

/z-4S .

1 +

-

4)

+ 48 (14)

^ anY1 1 + a2it] CxI = - tzAs " a~yl + a~i8

^ 1 DIi = tzAs " a~y: + o¢2iia

Somit gilt fiir die Vektorpotentiale: AzI

:

tzATs . 1 +a~y: y~ (a2i -- a~i ) . exp (j(oJt -- ax)) + a~i8

AzlI = tzAs .

1+

Y~yY:+ a~i8

a~i) . exp (j(cot

-- ax))

(15) (16)

Ftir die komplexen Amplituden flkzi und /~kziI ergibt sich unter Berficksichtigung von (8) und (11): A

~kzi_ aZy2 ~As

1 +jrv 1 + jrs

(17)

1 +jrv AzIt

a2y2 "

Y-yl 1 ÷ jrs

Dabei bedeutet die Abkfirzung v = (ay:) 2 (s: - s2)

(19)

Die in den Gleichungen f'tir die Vektorpotentiale noch unbekannte Gr6sse des Strombelages As kann aus dem Ersatzschaltbild bzw. aus der Spannungsgleichung bestimmt werden.

62

H. WEI-Iund P. v. GRUMBKOW SPANNUNGSGLEICHUNG

UND

ERSATZSCHALTBILD

In [1] wurde folgende allgemeine Spannungsgleichung fiir das 2-Schicht-Modell abgeleitet: (20)

O s = ( R s -k j X s ~ + Z s n ) i s

(21)

Z s n = j X ' s n . fl X'sn = X s n •

\~

X s n = ~otz . l . b . ms

3 =

(22)

aZ3

~I • tanh a~18

7 g

1-ktanh z a u S . ai /*u t a n h a l y l (~II ~I " tanh all3 1 q- aI /*n tanh ~rYl aII ~I " tanh an3

(24)

R,W~ R$

i

'b

Xs¢

s('~

x~: ~

i

O.

[

I

"

I

I

x(:~

~s I

Xs~ I

[

Is

Us

Zsh

ABB. 4. Ersatzschaltbild (Equivalent circuit).

Mit der Spezialisierung der Hyperbelfunktionen ftir einen Wandler ohne Stromverdriingung erh~ilt man fiir die Hauptimpedanz: (25)

Z s n = j X s h . a23 • 1 + a~y13

Nach Einsetzen der Abkiirzungen ftir a I und a u, entsprechend G1. (11), ergibt sich nach einigen Umformungen: 1 Z s ~ = j X s n . 8(1 q-aZy18) yl + 3

q- j s l

aZy18

r 1 q-aZy18 1 , . ~'lyl -~ 828

r

~-j

(26)

yl + 8

Aus dem Ersattschaltbild der konventionellen Asynchronmaschine (Abb. 4) wirdeine

Zum Betriebsverhalten des Wanderfeld-MHD-Wandlers mit Beriicksichtigtmg der RandstrSmtmg

63

Impedanz bestimmt zu: jXsn ZSh(ASM)

-4- jxr,~

X s ~ + jar • s

--

--

(27)

jXsn •

Rr + j ( X s h + Xr~,) s

Rr X s h + j ( 1 + Or) • s

mit Xs~

Ein Vergleich der Gln. (26) und (27) zeigt, dass fiir den MHD-Wandler das gleiche Ersattschaltbild (mit gesternten GrSssen) wie fiir die Asynchron maschine verwendet werden kann, wenn folgende Beziehungen erfiillt sind: X*sn :

Xsn

• 3 . 1 +

a2y13

(28)

Yl + 3 Ysh

r* . s* =

%

(29)

Rr sl

.

a2y13 1 + aZyl8

(30)

(1 + a*) . s* -- Sly1 q- S23 -- S

(31)

yl+3

Ftir den Induktorstreukoeffizienten %* erhiilt man aus (30) und (31) ,

1

% :

i7

a2y13, i - + d [ $2/81 a2y18 1 q- a

i

(32)

Fiir den Fall, dass aZyl3 = (ayl) ~ d sehr klein wird, d.h. fiir vernachliissigbare Stromverdriingung bei kleinen KanalhShen, verschwindet %, . Analog zu G1. (21) kann fiir den MHD-Wandler geschrieben werden: Z s n = J•X s*n

. 13"

(33)

Ein Vergleich mit (26) und (28) liefert den Schlupfparameter/3*: /3, =

1 + ira*r . s* = 1 + j(a* :_S* 1 + j r ( 1 + or*) . s* 1 +jrs

(34)

Die Zerlegung von/3* in Real- und lmaginiirteil, entsprechend/3* ---- fix - j f l r , ergibt /3~ = 1 + ~*(1 + C)(rs*)~, 1 + (rs)2

/3r --

rs* 1 + (rs) 2

(35)

Aus der Spannungsgleichung (20) kann jetzt der Strom der Wanderfeldwicklung is berechnet werden: ^ Os _ Os/X*sn I s = R s -b j X s ~ + Z s h R s / X ~ n +/3r +J(~s " * +/3~)

Dabei wurde der St[inderstreukoeffizient a~ = Xs¢/X~h eingefiihrt.

(36)

64

H. W,~-t und P. v. GaUMaKOW

Mit der allgemeinen Beziehung fiir den Standerstrombelag A S -- m s w s ~ s . i s

pr

erh~ilt man schliesslich fiir vernachRissigbar kleinen St~inderwiderstand Rs: ~'[s -- m s w s ¢ s 1Qs/X~n p • ~ " f i r + ' J(as* + fix)

(37)

Damit kSnnen die Vektorpotentiale nach G1. (17) und (18) bestimmt werden. WANDERFELDLEISTUNG

DER

GESAMTEN

ANORDNUNG

Analog zu [1] ergibt sich die gesamte Wanderfeldleistung aus: _ms Pw ges -- 2

O§ fir ms O~ . f ( f l ) " X~n " (fir + Rs/X~h)2 q- (fix q- a~)2 -- 2 " X ~

Die die Schlupfabh~ingigkeit zum Ausdruck bringende Funktionf(fl) wird ffir sehr kleinen St~inderwiderstand: fir (38) '~(~) - t~ + (f~ + (,~)2 Mit der gesamten Streuziffer 1 O'* ~

1

.

.

.

.

.

(1 + a~)(1 + a*)

erh~ilt man unter Beriicksichtigung von (35) ffirf(fl) nach einigen Umformungen: rs* r(fl) = (1 + ~)z [1 ÷ (a*rs) z]

(39)

Kiirzt man ab Po = ms

o~

2 x~n

1 (1 -t- a~)2,

(40)

so ergibt sich ffir die gesamte Wanderfeldleistung: Pw aes = Po •

WANDERFELDLEISTUNG

rs*

(41)

1 + (~*rs) z

DER

BEREICHE

I UND

II

Zur Berechnung der Wanderfeldleistung der einzelnen Bereiche gibt es folgende M/Sglichkeiten: (a) tiber die Schubkraft (Lorentzkraft), (b) tiber den Poyntingschen Vektor oder (c) aus dem Ersatzschaltbild. Im folgenden wird der erste Weg gew~ihlt.

Zum Betriebsverhalten des Wanderfeld-MHD-Wandlersmit Berticksichtigung der RandstrSmung

65

Bereich I:

Fiir die Wanderfeldleistung im Bereich I gilt: Vx

P w I ~- vo f F v x m t I d V

(42)

0

Fvxm~ I ist die mittlere, in Richtung des Kanals wirkende Volumenkraft; ffir das Volumenelement d V kann gesetzt werden: d V = 1 . b . dy, wobei 1 und b Liinge und Breite des

StrSmungskanals sind, so dass als Integrationsgrenzen 0 und yl zu w~ihlen sind. F v x m i I errechnet sich aus:

(43)

Fvxmt I =- ½ R e [Gzl • Bul ~* I

Die Stromdichte 1~i und die Induktion l~yi (i3" bedeutet konjugiert komplex zu 13) sind fiber das Vektorpotential mit Hilfe folgender Gleichungen bestimmbar:

()

G--E-p B=

(

dx)

1 0A 1 aA 0A p 3t ,,b,= ~; ~ t + ax " d7

0A:

(44) (45)

-- rot A - - > B y -- Ox

Zur Bildung von G muss das absolute Differential des Vektorpotentials gebildet werden; dabei ist d x / d t = vl die Geschwindigkeit des strSmenden Mediums. Im vorliegenden Fall reduzieren sich die Gleichungen (44) und (45) auf: GzI = 1 . AzI(joJ - j a y 1 ) P

fiyI

=

j o z l . AzI P

.~zI

-- j a

Ffir die Schubkraft Fvxml I ergibt sich damit: Fvxm*I

1 [

~ Re

asl~

p

]

",

.

2~zi . Azi

asl~o --

2p

.

-~zI • i^* zI

(46)

Mit/~zI aus G1. (17) wird daraus: ^

i t z A s ] Z 1 + (rv)2

asloJ Fvxm~I --

2p

" \a~y2/

(47)

1 + (rsp

Im Bereich I ist die Schubkraft unabhiingig v o n d e r Ortskoordinate y und proportional dem Schlupf sl. Die Integration von Fvxml I, entsprechend G1. (42), liefert: A

ewI--

vo . asloJ { ~ A s ] 2 1 + (rv)z 2p " \a~] " 1 + (rs) 2 " Y l " l . b

(48)

Nach Einfiihren der magnetischen Reynoldszahl und des Strombelages wird daraus: Pwi=

sloJr Y l (msws~s] 2 (Os/X~n)z l + ( r v ) 2 Ib 2a ~ " y~ " tz " \ p rr ! " f12r + (fiz + (r~,)9' " 1 + (rs) ~ "

(49)

Weiterhin wird eine Potenz von X~h durch G1. (28) und (23) ersetzt, so dass unter Beriick-

66

H. WEH und P. v. GRUMBKOW

sichtigung yon 1

f(fl)

_

fl2r + (fix + ~)9.

1 + (rs) 2

_

(~*rs) 21

(1 + a~) 2 [1 +

fir

fiir die Wanderfeldleistung im Bereich I geschrieben werden kann: Pwl = -- Po •

r st 1 +(e*rs) 2 1 +d"

1 + (rv) 2 l+a2yl$

(50)

Bereich H :

Die Wanderfeldleistung in Bereich II wird ebenso berechnet wie die des Bereiches I: Y2 P w n = volb f

(51)

Fwm~n dy

Yl

Mit

GzII =

joJs~

i~II und Byn ---- - j a A~II

P erhiilt man fiir Fvz,n, n u n t e r Beriicksichtigung von G1. (18): 1 Fvxm~ II = 2 R e [(~zlI • ByII] A,

as2co -

1+

A

__

as~o

2p

-

.

AzlI. AAz*l i

Yf

(52)

(tzAa~ e

2p

" [a2y2]

"

1 + (rs) 2

Bemerkenswert ist, dass Fvxm n in geringem Masse yon der Ortskoordinate y abhiingig ist. Ebenso wie die Schubkraft im Bereich I proportional dem Schlupf Sl ist, ist Fvxm~ n proportional s~; d.h., in der langsamer fliessenden Randschicht ist die Schubkraft grSsser als im Mittelbereich, so dass eine Vergleichmiissigung des StrSmungsprofils zu erwarten ist und nur mit einer relativ kleinen Randschichtdicke gerechnet zu werden braucht. Die Integration von F v x n a n nach G1. (51) liefert nach analogen Umformungen wie bei Fvxm~ I die Wanderfeldleistung im Bereich II: r

1 +(rv)2(1 +d+~

ds2

P w n = - Po • i + (a*~rs) 2 " 1 + d "

1 + a2y[~

2) •

(53)

FiJr den Fall vernachl~issigbarer Stromverdr~ingung wurde gesetzt ay ~ 1, so dass in weiterer N~iherung (ayl) z gegeniJber 1 vernaehl~issigt werden kann. Nach G1. (32) verschwindet dafiir die Induktorstreuung e~, es wird s* = s (G1. (31)), und ftir die einzelnen Leistungen kann dann gesehrieben werden: r Pw ges = Po • 1 +

(a*rs) 2 " r

Pw I

=

- -

(54)

S $1

Po • 1 + (a*rs) z " 1 + d

(55)

r s2d • I + (cr*rs) e " 1 + d

(56)

Pwn = -Po

Zum Betriebsverhaltendes Wanderfeld-MHD-Wandlersmit Befiicksichtigungder Randstr/Smung

67

Eine Kontrolle dieser Gleichungen ist dadurch gegeben, dass die Summe der Leistungen in den Bereichen I und II die Gesamtleistung ergeben muss: P w ges = P w I -[- P w I I

(57)

r r sl + s2d Po . 1 ÷ (a*rs) " S = P° " 1-+ (a*rs) " 1 + d

Wie GI. (8) zeigt, ist diese Bedingung erfiillt. Wie die Gin. (54) bis (57) weiterhin erkennen lassen, ist die gesamte Wanderfeldleistung unabh~tngig v o n d e r Dicke der Randzone, wohingegen die Einzelleistungen proportional der jeweiligen Bereichsbreite und dem jeweils dort herrschenden Schlupf sind. 1,0

-d= 1,0 d=05

/

-

//

0.3

o,, o

V - I~) - 0 ~

- 0,6

-0,4

-0,2

0 S

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

AaB. 5. Verluste im StriSmungsmediumin Abh~ingigkeitvom Schlupf(Fluid-lossesdepending on the slip). VERLUSTE UND WIRKUNGSGRAD Die im str6menden Medium auftretenden Verluste Pv mtissen fiir die Bereiche I und II getrennt ermittelt werden; sie ergeben sich aus dem Produkt des jeweiligen Schlupfes und der Wanderfeldleistung: P v = s l . P w I q- s2 . P w I r

r

= P o . 1 q- ( a * r s ) z "

]

4 + d4 1 + d

I

(58)

j

Leicht iiberschaubare Verh~iltnisse erh~tlt man bei nicht allzu grosser Reynoldszahl und kleiner Streuung, so dass der Ausdruck Or*rs) 2 ~ 1 ist. Fiir diesen Fall sind im Abb. 5 fiir verschieden dicke Randstr6mungen die Verluste, bezogen auf die (konstante) Leistung P o r ,

68

H. WEH und P. v. GRUMBKOW

aufgetragen: ev

_

~

Por

+ d:~

(59)

1 + d

Ausserdem ist in Abb. 5 die Gerade fiir die aufP0r bezogene gesamte Wanderfeldleistung mit eingetragen (GI. (54)). Die zu den Schnittpunkten im Motorbereich mit den Verlustkurven geh6renden Schlupfwerte geben die jeweilige Gr6sse des Leerlaufschlupfes an. In dem schraffierten Gebiet ist die Schubleistung des Wandlers kleiner als die Verlustleistung, d.h., um einen Betriebspunkt in diesem Gebiet realisieren zu k~nnen, muss dem Str~Smungsmedium zusiitzlich mechanische Energie zugefiihrt werden. Im konventionellen Elektromaschinenbau entspricht dieser Bereich dem Gebiet zwischen der Leerlauf- und Synchrondrehzahl einer Asynchronmaschine.

,

'/'/Mot,=

~Gen'=P*,~=+ Pv

o.o

,:'~-;

d 0,3.~ d =0 , 5 . ~

,

/

\\~/d ~

=O,I d=O 5

'I//// o,,

O-I/O

IIII/i

I

-0,8

-0,6

Ppges-P* - * oN

-0,4

-0,2

0 S

0,2

' 0~4

0,6

\

0,8

I,O

ABB. 6. Wirkungsgrad unter Beriicksichtigung der Randstr6mung (Efficiency with regard to

the slowlymoving boundary layer). Die Definition eines Wirkungsgrades, d e r n u r die Verluste im Str6rnungsmedium erfasst, muss fiir Motor- und Generatorbetrieb unterschiedlich erfolgen: Pw oes VG

Pw aes + P v Pw a,s -- P v

~m --

Pw aes

1 1 + PwP ~ges

-- 1

1

-

Pv Pw ae*

~ + a~

(60)

1 ~-s(1S~-~

-- 1

s~ + ds~

s(1 + d)

(61)

Bei s = 0 ist Pw ges ~ 0, so dass ~o verschwindet. Fiir Motorbetrieb wird der Wirkungsgrad

Zum Betriebsverhalten des Wanderfeld-MHD-Wandlers mit Beriicksichtigung der RandstriSmung

69

Null, wenn Pw go8 ----Pv ist; das ist bei dem oben erw~ihnten Leerlaufschlupf der Fall. Zwischen diesen beiden Werten ist der Wirkungsgrad nicht definiert. Bei unendlich dtinner Randstr~mung (d = 0) wird Sl ----s, und die Gleichungen ftir den Wirkungsgrad gehen in die fiir die Asynchronmaschine bekannten Beziehungen tiber: 1 ~ G -.-. . . .1 - s ;

~M~

1 -s

(62)

D i e A u f t r a g u n g d e r Verl/iufe ~/----f(s) in A b b . 6 fiir v e r s c h i e d e n e R a n d s c h i c h t d i c k e n ist n i c h t a n die B e d i n g u n g 1 >~ (e*rs) 2 g e b u n d e n . LITERATUR [1] H. WEB, Zum Betriebsverhalten elektrodenloser MHD-Wandler ETZ-A, Heft 13, 1964. Abstract--Due to friction, the fluid near the channel wall of electrodeless M H D generators moves more slowly than in the middle of the channel. Thus, additional losses are caused in the fluid. Under simplified conditions (as trapezium-shaped fluid velocity, no current displacement and partly neglected leakage coefficient) these losses were ascertained. Especially with small channel heights having a relatively thick boundary layer, and with small slips losses can amount to much more than those calculated for constant velocity in the whole channel. In order to get a realistic performance calculation the thickness of the layer has to be well estimated. The thickness results out of the balance between the frictional resistance and the electromagnetic force. R6sum6--A cause de la friction, le fluide proche du mur du canal, darts un g6n6rateur M H D sans 61eetrode, se d6place plus lentement qu'au milieu du canal. Ceci cause des pertes suppl6mentaires darts le fluide. On a 6valu6 ces pertes sous des conditions simplificatrices (vitesse du fluide en forme de trap6ze, pas de d6placement de courant, et coefficient de fuite partiellement n6glig6). Surtout avec de petites hauteurs de canal ayant une couche-fronti6re relativement 6paisse, et avec de petits glissements, les pertes peuvent se r6v61er bien sup6rieures/t celles qu'on calcule pour une vitesse constante darts tout le canal. Pour obtenir un calcul r6aliste, on doit estimer/t sa juste valeur l'6paisseur de la couche. Celle-ci r6sulte d'un 6quilibre entre la r6sistance de friction et la force 61ectromagn6tique.