- Email: [email protected]
Zum betriebsverhalten elektrodenloser MHD-wandler. Berücksichtigung der endbereiche in längsrichtung
Advanced Energy Conversion.
Vol. 5, pp. 147-159.
Pergamon Press 1965. Printed in Great Britain
ZUM BETRIEBSVERHALTEN ELEKTRODENLOSER
MHD-WANDLER. BERI3CKSICHTIGUNG DER ENDBEREICHE IN LANGSRICHTUNGt H. WEH und G. WALTKE~ Zusammenfassung--Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Berechnung der bei Wanderfeldanordnungen zus~itzlich auftretenden Oberwellenverluste, die durch die endliche Ausdehnung der Wicklung in Kanalrichtung verursacht werden. Die in diesem Bericht hergeleiteten Gleichungen beriicksichtigennicht die aus der Theorie der elektrischen Masehinen bekannten Wicklungsoberwellen. Es kann gezeigt werden, dass das Betriebsverhalten des Wandlers unter Beriicksichtigung der durch die Endeffekte bedingten Oberwellen identisch ist mit dern Betriebsverhalten einer Reihenschaltung mehrerer Wandler, bei denen das Wanderfeld als ideal anzusehen ist. Jeder Wandler in der erw~ihnten Reihenschaltung berficksiehtigt die Wirkung einer Oberwelle. Die Wandler befinden sich entsprechend der Ordnungszahl ihres Wanderfeldes im Generator-, Motor- oder motorischen Bremsbetrieb. Die Bilder vermitteln einen Oberblick iiber den Aufbau und die Betriebseigenschaften des Wandlers. (3BERSICHT EIN grundlegender Unterschied zwischen der linearen Wanderfeldwicklung und der in sich geschlossenen Drehfeldwicklung besteht in den Abweichungen des magnetischen Feldes innerhalb der Endbereiche von seiner idealen Form. Die Bemiihungen zu einer optimalen Wicklungsgestaltung bei Wanderfeldanordnungen sind darauf gerichtet, miSglichst im gesamten Wicklungsbereich ein "reines" Wanderfeld zu erreichen. Auf Grund physikalischer Gegebenheiten lassen sie sich nur teilweise verwirklichen. Unter der Annahme einer linearen Feldausbreitung im Str6mungskanal wurde der Zusammenhang zwischen Strombelag und magnetischem Feld bei der haupts~ichlich in Frage kommenden abgesetzten Wanderfeldwicklung nach Abb. 1 in [1] angegeben. Es steht jedoch die L6sung der Aufgabe noch aus, das Betriebsverhalten des Wandlers unter Einbezug der Wicklungsirregularit~iten der Endbereiche zu berechnen. In dieser Arbeit wird auf der Grundlage des ZweischichtWandlermodells, das in [2] angegeben wurde, die Wirkung der Endbereiche in die Rechnung einbezogen. DIE F O U R I E R D A R S T E L L U N G
DES S T R O M B E L A G E S DER W I C K L U N G
Die in Abb. 1 angegebene Wicklungsverteilung entspricht einer in der Weise aufgeschnittenen Drehstromwicklung, dass l~ings einer Polteilung die beiden (an den Enden des Bildes angeordneten) Wicklungsteile halbiert werden. So entstehen die Endbereiche (1) und (3) und der Mittelbereich (2). Der Feldbereich der Wanderfeldwicklung besteht aus einer ungeraden Zahl von Polteilungen. Die ~nderung der Str6me der Wanderfeldwicklung soil mit Hilfe des Strombelages beschrieben werden; dieser ist der auf die L~ingeneinheit in x-Richtung bezogene Strom. Beschr~inkt man sich wie im folgenden--auf die Beriicksichtigung der Grundwelle des yon der Wicklung gefiihrten Strombelages, so lassen sich t Performance Characteristics of Electrodeless MHD-Transducers With Regard to the Finite Length. $ Institut fiir elektrische Maschinen, Antriebe and Bahnen der Technischen Hochschule Braunschweig, Miihlenpfordtstrasse 23, Germany. 147
148
H. WEH und G. WALTKE
fiir die einzelnen Abschnitte reine Wanderwellen mit unterschiedlicher Amplitude angeben.
As(l)
(X, t) = ½ A s 1 • sin ( a x - w t )
As(2) (x, t) = A s 1 . sin ( a x - ~ot)
O)
As(3) (x, t) ---- ½ A s 1 • sin ( a x - oJt)
~
~
Abgestufte Zweischichtwicklung
I
I
/
I
i
I I I I
I
BERE/CH I
~
"~ BEREICH3
BEOEICH 2
Aaa. 1. Darstellung des Wanderfeldes mit zugeh6riger Wicklung
(Travelling field representation with winding). Der Faktor 1/2 in den Bereichen (1) und (3) beriicksichtigt die halbe Windungszahl der Wicklung in diesen Bereichen. Es l~sst sich zeigen [1], dass unter der Annahme eines flachen Kanals, bei dem das magnetische Feld nur abh~ngig v o n d e r x-Richtung angesetzt werden darf, diesem Strombelag folgende magnetische Induktionen zugeordnet werden kSnnen: B(1) (x, t) ---- - 1/2 B1 [cos ( a x -- cot) -- cos (oJt)] ] B(2) (x, t) = - B1 . cos ( a x - cot)
t
(2)
B(3) (x, t) = - 1/2 B1 [cos ( a x - cot) 4- cos (cot)] Hierbei ist vorausgesetzt, dass im StrSmungsmedium keine elektrischen Str6me fliessen. Wie die Gleichungen (2) und auch Abb. 1 erkennen lassen, ist die Verteilung der magnetischen Induktion in den Endbereichen kein reines Wanderfeld. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass die Induktion fiir jeden Augenblick an den Enden der Wicklung, also ffir x = 0 und x = 1, wo auch der Eisenbereich endet, verschwindet und dass ausserdem ein stetiger 13bergang zum Mittelbereich hin gegeben ist. Mathematisch findet diese Tatsache ihren Ausdruck in der Hinzunahme der Wechselfeld-Glieder in den Gleichungen (2). Hier handelt es sich offenbar um rechteckfSrmige Feldanteile, deren Zeitverhalten harmonisch ist, also um rechteckfSrmige Wechselfeldanteile. Im Bereich x < 0 und x > 1 wird ange-
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandler
149
nommen, dass das magnetische Feld verschwindend klein ist und gegeniiber den Feldst~irken innerhalb des Wicklungsbereiches vernachl~issigt werden kann. Diese Voraussetzung fiber den Feldverlauf ist eine gute N~iherung, wenn angenommen wird, dass ausserhalb des Wicklungsbereichs der Wandlerkanal nicht von hochpermeablem Eisen umgeben ist. Andernfalls ergeben sich die in [3, 4] untersuchten, auf den hier beschriebenen Wandleraufbau jedoch nicht fibertragbaren Ergebnisse, bei denen ein grt~sserer Einfluss des "Aussenfeldes" festgestellt wurde. Die erw~ihnte Arbeit geht ausserdem yon einer idealisierten nicht abgestuften Wicklung aus. Ffir die folgenden Untersuchungen wird vom Verlauf der Induktionen nach G1. (2) ausgegangen, ihnen wird ein Strombelag in Wellendarstellung so zugeordnet, dass er ohne besondere Hinzunahme der Randbedingungen den beschriebenen Besonderheiten des Feldverlaufs entspricht. Die in den Induktionsgleichungen (2) enthaltenen Wechselfeldanteile der Bereiche (1) und (3) k6nnen als Fourierreihe in der Form dargestellt werden n
B(1, 3)~ (x, t) :
~]
1
B1 [sin
1 nTr
(nax -- ~t) +
sin
(nax +
~ot)]
(3)
mit n=2v--
1; v = 1 , 2 , 3 . . .
Die Wechselfeldanteile werden durch die Reihe (3) zufiickgefiihrt auf Wanderfeldanteile, die mit (m) bzw. gegen (g) die Wanderfeldrichtung laufen. Die Phasengeschwindigkeit der Feldanteile h~ingt yon der Ordnungszahl n ab und betr~igt mit der Phasengeschwindigkeit des Grundfeldes Vs: U8
r~m,n:
/7
; vsg, n = - -
~S n
(4)
Hiermit l~isst sich der diesen Wellen eigene Schlupf berechnen:
Sm.n=l
-
l;
=1
n(1 - s )
(5)
L!Sm, 'a
s~,n=l
V
--1 + n ( 1 - s )
(6)
Usg, n
Zusammen mit den Wanderfeldanteilen der Gleichungen (2) ist nun das gesamte Feld ,der Endbereiche durch Wanderfeldanteile dargestellt. Geht man auf die komplexe Darstellung der Felder fiber, so entstehen mit der komplexen Feldamplitude 1}1 die Austrficke
BI1) (x' t) = -1/2 /}l {eJ(~t-az) - J 2 ~1 n1 [eJ(°'t-naz) + eJ('°t+naz)]} B(2) (x,
t) = B1 ej<~t-az)
B'z)(x't)=-l/2/}l{eS"°t-az)-J2-~l
(7)
[eJ'~t-naZ)+eJ"°t+naz)]}
Handelt es sich um ein eindimensionales Feld, so h~tngt ein Wanderfeldanteil mit der ihn erzeugenden Strombelagswelle in folgender Weise zusammen.
150
H. WE. und G. WALTKE A s (x, t) - y'
tz
OB(x, t)
(8)
Ox
Hier ist y' die magnetisch wirksame Feldlinienliinge.
-2 -2 ABB. 2. Stromortskurve unter Einbezug der Endbereiche (Current locus with regard to the finite length). Mit noch unbestimmter Amplitude l~isst sich dem Gleichungstripel (7)durch (8) eine komplexe Darstellung des Strombelages f'fir die beschriebenen Bereiche zuordnen
As°) (x' t) = l/2 Asl {ej~°'t-az) ÷ j 2- ~1 [ej~t-naz) + As(z) (x, t) : i s 1 • et(~t-az)
.'Is,z) (x, t)-----1/2 Asl {el(ot-az) + j27/.~1 [e"o'-naz)
(9)
+ e"°"+n"x)]}
151
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandler
.4sl ist aus den Feldbetrachtungen unter Einbezug der Spannungsbilanz zu bestimmen. Das Gleichungssystem (10) gilt nicht nur fiir Leerlauf, wofiir es angeschrieben wurde, es muss nach den bisherigen Voraussetzungen auch fiir alle anderen Betriebszustgnde gelten. Die in den Gleichungen (10) in den Summen gegebenen Strombelagsanteile tragen ersichtlich dem Umstand Rechnung, dass ein magnetisches Rechteckfeld nur durch gegen unendlich gehende Strombeliige an den Bereichsgrenzen erzeugt werden kann. Jede Einzelwelle dieses Strombelages ist jedoch innerhalb des gesamten Endbereiches definiert, in ihrer Summe erg~inzen sie sich innerhalb des Bereiches zu 0 und addieren sich an den Bereichsgrenzen zu sehr grossen Betr~igen. Die in den Gleichungen (10) gegebene Wellendarstellung weist gegeniiber den Gleichungen (1) den Vorzug auf, dass zur Feldberechnung keine Randbedingungen in x-Richtung beriicksichtigt zu werden brauchen.
HERLEITUNG
DER
GLEICHUNGEN Ff2R DAS DES WANDLERS
BETRIEBSVERHALTEN
Den Strombelagswellen kSnnen analog zu [2] Wellen des Vektorpotentials zugeordnet werden, die tiber die Randbedingungen anzupassen sind. Die Potentialgleichungen fiir das Wanderfeld des Bereiches (2) lassen sich wie folgt anschreiben AzI(Z) = [CI(2) . sinh (aly)
+
/)I(2)
• cosh
(aIy)] ei((ot-ax)
1
L
(10)
Azii(2) = [Vii(2) . sinh (aiiY) @ OII(2) . cosh (CtiL1,)] eJ ('°t-ax)
mit a'~ =
a ~ 4-jsco
.
? I ; a~ I = a2 + joJ . tLI~ PI
(11)
pII
Fiir die Bereiche (1) und (3) lassen sich analoge Potentialgleichungen zu den Gin. (10) finden. Da der Strombelag ffir beide Bereiche durch dieselbe Gleichung beschrieben wird, l~isst sich auch das Vektorpotential fiir beide Bereiche (1) und (3) durch den gleichen funktionellen Zusammenhang angeben. Einer mitlaufenden Strombelagswelle der Ordnungszahl n in den Endbereichen entsprechen folgende Potentialgleichungen: AzI
(1, 3) n =
[CI (1. a) n - sinh ( a l n , m . Y ) + b I (1, a) ~ • cosh
AzI: (:, 3) n = [C:I (1, 3) n • sinh (aIIn,
m •
(otin ' m • Y)]
ej((ot-nax)
Y)
+ b I i o, 3) n • cosh (all., m • Y)] 0 (`°t-""x) (12)
mit a~n, m = (ha) 2 4- j s m , n • co tzI pI afin, m =
(na) 2 + flo /~Ij pii
Fiir die gegenlaufenden Strombelagswellen lassen sich entsprechende Gleichungen finden, wenn in den Gleichungen (12) n - n gesetzt und Sm, n durch sg, n ersetzt wird. Die Ermittlung der Integrationskonstanten folgt dem in [2] beschriebenen Vorgang und 11
152
H. WEHund G. WALTKE
fiihrt bei Vernachl~issigung der Eisens~ittigung auf: C i (2) --- 0 ,
"l~I (2) =
sinh (arI Yl) [1 cosh ( a I Y l )
C i i (2) •
cot h (all Yl!] --
•
.is1 1 C I l (2) - -
/Zll
aII
sin
7r (aIIy2)
(
"
O l l (2) - -
C l l (2)
1 - e coth (auyz)'
•
mit tanh (ari YD
ai . UH tanh (ar ~II.
E l
O'I //'II t a n h a I I /.Zl
(13)
yl)
//'I
(a I yl)
• tanh
(aii
Ya)
Fiir die Bereiche (1) und (3) findet man fiir die Integrationskonstanten in Abh~ingigkeit yon der Ordnungszahl entsprechende Ausdfiicke: C I ( 1 , 3) n = 0 ,
O I (1, 3) n =
C I I (1, 3) n
sinh (aIInm, g • Y t ) cosh (aInm, g • yl) .[1
As1
CII (1, 3) n --
~ I I (1, 3 n) - -
/£Ii
aII.m, g
c o t h (aIInm, g g .
1
77-
enm, g
sinh (aII.m, g • y2)
1
-
enm,
g .
coth ( a u n m , g • y 2 )
(14)
C I I (1, 3) n Enmt g
mit: tanh ( a u n m ,
g
•
Yl)
aInm, g
•
/-/'II
.
tanh (arnm, g •
Yl)
ctIInm, g • //-I
enm, g = aI'nm, g • /,(,II t a n h a I I n m , g • IzI
(aInm, g • yl)
• t a n h ( a I I n m , g • Ya)
Der Index n m gilt fiir die mitlaufenden Wellen der Ordnungszahl n, der Index n g ffir die entsprechenden gegenlaufenden Wellen. Die Reaktion des Stromkreises auf die elektromagnetischen Wirkungen in den Bereichen I und II kann wieder durch eine der entspreehenden Welle zugeordneten Impedanz beschrieben werden, die mit Hilfe des Vektorpotentials bestimmt wird. Die Hauptfeldspannung des Wandlers l~isst sich als Summe der von den Einzelwellen induzierten Teilspannungen interpretieren. Ist p, die ganzzahlige Polpaarzahl der Ursprungswicklung, aus der die Wanderfeldwicklung hergeleitet wird, so gilt mit ~:81 dem Wicklungsfaktor der Grundwelle, fiir die induzierte Spannung des Mittelbereiches (2) OSh(2) = 2Sh(2) • IS----rio P(~) . Ws. ~s. •sa(2) P
(15)
Die komplexe Flussamplitude folgt aus der Amplitude des Vektorpotentials des
Zum Betriebsverhalten
Elektrodenloser
MHD-Wandler
153
entsprechenden Bereiches A
A
q~sn(2) : 2 . b . AII(2) (y2)
(16)
Ersetzt man in G1. (16) das Vektorpotential durch seine Abh~ingigkeit vom St~inderstrombelag As1, so liisst sich nach einigen Umformungen schreiben: A 2 . ~II • b (/)Sh(2) = O'IItanh ( a i ; - ~) A s 1 . fl
(17)
mit /zIIItanh (ari~) . tanh ( a i y l )
1 ÷ ar . aII• .
.
.
.
/zI .
1 q-
. .
.
.
.
.
(18)
.
ai • / ~ I I tanh (aIYl) a H . ~I " tanh (au3)
3 = Y2 -- yl Der innerhalb des Bereiches (2) wirksame Strombelag bestimmt sich gleich wie der Strombelag der Ursprungswicklung As1 -- m.
w..~s
(19)
is
p.~"
Die Impedanz des Mittelbereiches (2) ergibt sich aus den Gleichungen (15, 17, 19) durch Koeffizientenvergleich a2
Zsa(2) = j X s a
(S
"
an • tanh (aIi3)
(20)
• K(2) • fl
mit X s h = tzii . oJ . l . b . m .
-'\p.~r]
1
.
I
K(2) = p(2_) = 2 p - - 1 p 2p
(21)
J
K(2) gibt das Verh~iltnis der Impedanz des Bereiches (2) zur Impedanz der Gesamtanordnung an.
Zur Berechnung der durch die Oberwellen induzierten Spannung k6nnen die Endbereiche (1) und (3) zusammengefasst werden. FiJr die dutch die n-te mit- oder gegenlaufende Welle induzierte Spannung gilt mit ~sn, dem Wicklungsfaktor der n-ten Welle:
Osh (1,
3) n m , g -- - ~ S h
(1, 3) n, m , g - I S =
jtu
Ws • 2- • &n
• 4sh
(x, ~) . m ,
g
(22)
Es ist hierbei beriicksichtigt, dass innerhalb der Endbereiche die Windungszahl nur halb so gross ist wie im Hauptbereich. Die komplexe Flussamplitude folgt, analog zu G1. (16), aus dem Vektorpotential ~Sh (1, 3) n, mg :
2 . b . A I I (1, 3) nm, g
(23)
FiJr die weitere Rechnung ist es zweckm~issig, die in G1. (10) ffir die Endbereiche (1) und (3) angegebenen Strombelagswellen in AusdriJcke fiJr n ~ 1 und n > 1 b z w . n < 0
154
H. WEH und G. WALTKE
aufzuspalten. Die in der Weise erhaltenen Beziehungen lassen sich folgendermassen angeben: fiirn = 1: 1/2As1 {1 + j 2 }
A s (1, 8) ( x , t) =
A S 1 (1, 3) =
1/2
e j(~°t-ax) = f t s 1 (1, 3) . eHo~t-ax)
(24) (25)
AS1 1 + j ~
fiir n < 0 und n > 1: A s (1, 3) ( x , t) = j . 1~.
/ i S 1 (1, 3) n
=jl
As1 • {~' eJ(wt-nax) -~ ~1 eJ(°'t+nax)}
(26)
(27)
Asl
7"/"
Fiir die Berechnung der Amplitude der induzierten Spannung interessieren nur die Betr~ige der Strombelagswellen der Gin. (25) und (27); diese lassen sich angeben zu: ] Asl (1, 3) I = 1/2 . A~sl . ~/i + (2/rr) 2 ]dS1
(1, 3) n ]
(28)
= --1As:
(29)
7r
Analog GI. (17) kann weiterhin geschrieben werden /~II
~Sh (1, 3)
•
b
aII. tanh (ctIi8) ~ / i
-~
(2/.) 2 A~sl . fl
(30)
I~iI . b ~8h (1, 8) n = 2- . . A s 1 . I~nm, g rr aIInm, g • t a n h (aIInra, g • 8)
(31)
mit flnm, g ~-
1 + aInm, g • /xII . t a n h ( U i i n m , g . 8) t a n h (aInra, g • y l ) alInm' g " tzI 1 +
-aInm'
g " /zII
aIInra, g • /q
(32)
tanh (aInm, g . Y D tanh (aiinra, g • 3)
Aus den Gleichungen (19, 22, 30 bzw. 31) folgen die Impedanzen der mitlaufenden Grundwelle und der Oberwellen der Bereiche (1) und (3) durch Koeffizientenvergleich 2 S h (1, 3) l m =
.]XSh •
a2 . 3 aii.tanh(ait.8)
•
(33)
K(1,3) l m . fl
mit K O , a) ira = 1/4 p . " V / [ +
(2/rr) 2
(33a)
nz . az . 8
2sn (1, 3) nm, g = j X s n • alInm,
g •
tanh (amain, g • 3)
• K o , a) n .
flnm, g
(34)
mit ~sn
/((1, 3) n = 2 r r . p . ~ : s ,
n2
(34a)
Die Spannungsgleichung des Wandlers unter Beriicksichtigung der Endbereiche l~isst
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandler
%
x~
155
IRSj, ixs~
I A
,)
Zsh(2)
i
)
~lXr6(2)
Xsh(2)
R(z ) $
,A
Xsh(l~3)In
biz~h(pm, -,
].
xmq3)t
i
Rr~,, 5t 9
i
I
iXrdq3)2 Xshq3)#] 2Rrp)2 52m
ixr6q~)2
A
XshO,3}2
} R(p)2
Zsh(1,3)2g
%
I I i i i I I
(a)
o(,j), 51m
Zshq3)lg
I
Xr6q3)t
i (b)
ABB. 3(a). Ersatzschaltbild des Wandlers bei Beriicksichtigung der Endbereiche (Equivalent circuit of the transducer taking account of the finite length). ABB. 3(b). Ersatzschaltbild mit aufgel6sten Sekund~irmaschen (Equivalent circuit with[secondary meshes).
156
H. WEH u n d G. WALTKE
sich hiernach formulieren: n
Os = {Rs + jXs~ + 2sh (2) + 2sh (1, 3) l m + F_, 2s~ (~, 3) .m 3 n
"@Z 2Sh
(1, 3) n, g} • f ' S
(35)
1
mit n = (2v - I) Aus dieser Gleichung kann der Wandlerstrom i s berechnet werden. W~ihrend die Stromortskurve des reinen Grundwellen-Wandlers bei Vernachliissigung der Stromverdr~ingung ein Kreis in allgemeiner Lage ist, folgt die Stromortskurve unter Einbezug der Endbereiche einer Figur hSherer Ordnung (s. Abb. 2). Die Wirkung der inversen Felder drtickt sich insbesondere im Bereich s = 2 durch einer starke Abweichung yon der Kreisform aus. Die der Spannungsbilanz entsprechende graphische Darstellung zeigt Abb. 3(a). In Abb. 3(b) ist vonder MSglichkeit Gebrauch gemacht, fiir vernachl~issigte Stromverdriingung SekundS.rmaschen anzuordnen. Der Beitrag der Endbereiche l~isst sich dahingehend interpretieren, dass zus/itzlich zum Hauptwandler des Bereiches (2) ein die Hauptwirkung untersttitzender kleinerer Teilwandler und eine unendliche Zahl von Einphasenwandlern vorhanden sind. Die Einphasenwandler werden im Ersatzschaltbild von je einer Masche des mit- und gegenlaufenden Feldes gleicher Ordnungszahl repriisentiert. Ihre Bedeutung nimmt mit zunehmender Ordnungszahl rasch ab. Die resultierende Wanderfeldleistung kann aus der Summe der Wanderfeldleistungen der Einzelwellen berechnet werden co
-:~o
Pw = Pw (2) + Pw (1, 3) l + Y~ Pw (1, 3) n +
3
~
-1
(36)
Pw (1, 3) n oo
Pw
ms 2
iz
R e a l t . { 2 S h (2) _L Z,b'h (1, 3) lr~ ~@ Z Z S h (1, 3) n~.n " S " 3
cr~
-- Z ZSh
(1, 3) rt,g}
(37)
-1
Die Schubkraft des Wandlers folgt aus: Fw = Z Pwn_
(38)
Usn
Die entsprechenden Verluste der Einzelwellen im StrSmungsmedium ergeben sich durch Multiplikation der Luftspaltleistungen mit den zugehSrigen Schlupfwerten. Einen besonders grossen Beitrag zu den Gesamtverlusten liefert die gegenlaufende Grundwelle. Von besonderem Interesse fiir den Entwurf des Wandlers ist die Abhgngigkeit der Gesamtverluste und des Wirkungsgrades v o n d e r gew~ihlten Polzahl. Es leuchtet ein, dass der Einfluss der Endbereiche auf das gesamte Betriebsverhalten umso kleiner ist je grSsser die Polzahl des Wandlers gewghlt wird. Fiir p -+ oo sind die bekannten Werte des Wirkungsgrades eines reinen Wanderfeld-Wandlers zu erwarten, w~ihrend sich ftir p ----- 1 ein starker Einfluss der Endbereiche bemerkbar macht. Abb. 4 zeigt eine Auswertung, die fiir ein Beispiel eines Fliissigkeitswandlers mit einer magnetischen Reynoldszahl r1 = 17,5 und Rx = 0 ftir verschiedene Polpaarzahlen vorge-
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandle(
157
nommen wurde. In diesem Beispiel erweist sich dei Polpaarzahl p = 3 im Hinblick auf Verluste und Wirkungsgrad als gut ausffihrbar. Die sich ergebenden Wirkungsgrad-Kennlinien h~ingen stark von der elektrischen LeitfS.higkeit des Str/Smungsrnediums und damit yon r Iab. Abb. 5 zeigt den Wirkungsgrad fiir verschiedene Reynoldszahlen r I bei gegebener Polzahl 2p ~--6 in Abh~ingigkeit vom
~t '1
%
p=5.' ~ p=J. p=l~
~
-.
o,~!
½\
q2
-?
-q8
-q6
P=3
-0,4
-q2
0,2
0
0,4.
0,6
qe
.---.-.8
AraB. 4. Wirkungsgrad des Wandlers fiJr verschiedene Polpaarzahlen (Efficiency of the transducer for various number of pairs of poles).
i
I
§ =10 ...
,',--2~~
"~oA
1§=10 •-/irz = 2
,5 =qt
/ "qa
-q6
-q4
-q2
0
/
q2
",. 0,4
qa
0,8
t S
ABB. 5. Wirkungsgrad des Wandlers fiJr verschiedene magnetische Reynoldszahlen (Efficiency of the transducer for various magnetic Reynold's numbers).
158
H. WEH undG. WALTKE
Schlupfdes S t r r m u n g s m e d i u r n s gegentiber d e m Wanderfeld. Von der G r r s s e der magnetischen R e y n o l d s z a h l ist bei gegebenem Schlupf die Abd~impfung der inversen F e l d e r stark abh~ingig; eine grosse R e y n o l d s z a h l sorgt unter sonst gleichen Verh~iltnissen fiir kleine zus~itzliche Verluste.
kW 40
20
-2,5
-2
-/,5
-I
- 0,5
/
f
/
0,5
I
t,,~
2
2,5
m--5
-20
/,o ABB. 6. Wanderfeldleistung unter Einbezug der Endbereiche (Travelling wave power depending on the slip with regard to the finite length). In A b b . 6 ist die Wanderfeldleistung des W a n d l e r s bei Beriicksichtigung der Endbereiche dargestellt. I m hier interessierenden Bereich gleicht die Kennlinie d e r Drehfeldleistungskennlinie einer n o r m a l e n A s y n c h r o n m a s c h i n e . Erst im Bereich 1 < s < 3 m a c h t sich das inverse G r u n d w e l l e n f e l d d u r c h einen hier auftretenden " L e i s t u n g s s a t t e l " stark b e m e r k b a r . D a diese I r r e g u l a r i t a t a b e r irn m o t o r i s c h e n Bremsbetrieb des W a n d l e r s auftritt, ist sic ohne praktische Bedeutung. LITERATUR [1] K. H. BROMKAMP,Elektromagnetisehe Wanderfelder flacher Drehstrominduktoren und ihre elektrodynamischen Wirkungen. Diss. T. H. Aachen (1961). [2] H. WE., Zum Betriebsverhalten elektrodenloser MHD-Wandler, Heft 13, Seite 395--402. ETZ-A (1964). [3] W. PESCHKA,S. KELMund F. ENGELN,Penetration Effects at the MHD Induction Engine of Semi-Infinite Length, International Symposium on Magnetohydrodynamic Electrical Power Generation. Session 4(b), Paper 59. [4] R. N. SUDAN,Interaction of a Conducting Fluid Stream with a Traveling Wave of Magnetic Field of Finite Extension. J. App. Phys., 34, March (1963). Abstract--The finite length of exciting winding in travelling wave transducers causes harmonic waves. In this paper the additional losses resulting from these harmonics are calculated. The equations thus derived do not include the winding harmonics obtained from the conventional electrical machinery. The following result has been ascertained: With regard to the harmonics the working conditions of MHD-transducers are equal to those of several transducers joined in series, each having an ideal travelling wave field and, according to the ordinal number, each working as motor, generator or dynamic brake. The principal structure and the operating characteristics are shown in a few diagrams.
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandler
159
R6sum6--La longueur finie de l'enroulement excitateur, dans les transducteurs ~t ondes progressives, cause la pr6sence d'ondes harmoniques. On calcule les laertes suppl6mentaires dues/l ces harmoniques. Les 6.,quations ainsi obtenues ne tiennent pas compte des harmoniques de l'enroulement, r6sultant de l'6quipement 61ectrique conventionnel. On a v6rifi~ le r6sultant suivant: En ce qui concerne les harmoniques, les conditions de travail des transducteurs MHD sont les m~mes que celles de plusieurs transducteurs en sgrie, dont chacun a un champ d'ondes progressives id~ales ettravaille, selon son num6ro d'ordre, en moteur, en ggn6rateur ou en frein dynamique. L'essentiel de la structure et des caract6ristiques op6ratoires sont expos6s au moyen de quelques aliagrammes.
Vol. 5, pp. 147-159.
Pergamon Press 1965. Printed in Great Britain
ZUM BETRIEBSVERHALTEN ELEKTRODENLOSER
MHD-WANDLER. BERI3CKSICHTIGUNG DER ENDBEREICHE IN LANGSRICHTUNGt H. WEH und G. WALTKE~ Zusammenfassung--Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Berechnung der bei Wanderfeldanordnungen zus~itzlich auftretenden Oberwellenverluste, die durch die endliche Ausdehnung der Wicklung in Kanalrichtung verursacht werden. Die in diesem Bericht hergeleiteten Gleichungen beriicksichtigennicht die aus der Theorie der elektrischen Masehinen bekannten Wicklungsoberwellen. Es kann gezeigt werden, dass das Betriebsverhalten des Wandlers unter Beriicksichtigung der durch die Endeffekte bedingten Oberwellen identisch ist mit dern Betriebsverhalten einer Reihenschaltung mehrerer Wandler, bei denen das Wanderfeld als ideal anzusehen ist. Jeder Wandler in der erw~ihnten Reihenschaltung berficksiehtigt die Wirkung einer Oberwelle. Die Wandler befinden sich entsprechend der Ordnungszahl ihres Wanderfeldes im Generator-, Motor- oder motorischen Bremsbetrieb. Die Bilder vermitteln einen Oberblick iiber den Aufbau und die Betriebseigenschaften des Wandlers. (3BERSICHT EIN grundlegender Unterschied zwischen der linearen Wanderfeldwicklung und der in sich geschlossenen Drehfeldwicklung besteht in den Abweichungen des magnetischen Feldes innerhalb der Endbereiche von seiner idealen Form. Die Bemiihungen zu einer optimalen Wicklungsgestaltung bei Wanderfeldanordnungen sind darauf gerichtet, miSglichst im gesamten Wicklungsbereich ein "reines" Wanderfeld zu erreichen. Auf Grund physikalischer Gegebenheiten lassen sie sich nur teilweise verwirklichen. Unter der Annahme einer linearen Feldausbreitung im Str6mungskanal wurde der Zusammenhang zwischen Strombelag und magnetischem Feld bei der haupts~ichlich in Frage kommenden abgesetzten Wanderfeldwicklung nach Abb. 1 in [1] angegeben. Es steht jedoch die L6sung der Aufgabe noch aus, das Betriebsverhalten des Wandlers unter Einbezug der Wicklungsirregularit~iten der Endbereiche zu berechnen. In dieser Arbeit wird auf der Grundlage des ZweischichtWandlermodells, das in [2] angegeben wurde, die Wirkung der Endbereiche in die Rechnung einbezogen. DIE F O U R I E R D A R S T E L L U N G
DES S T R O M B E L A G E S DER W I C K L U N G
Die in Abb. 1 angegebene Wicklungsverteilung entspricht einer in der Weise aufgeschnittenen Drehstromwicklung, dass l~ings einer Polteilung die beiden (an den Enden des Bildes angeordneten) Wicklungsteile halbiert werden. So entstehen die Endbereiche (1) und (3) und der Mittelbereich (2). Der Feldbereich der Wanderfeldwicklung besteht aus einer ungeraden Zahl von Polteilungen. Die ~nderung der Str6me der Wanderfeldwicklung soil mit Hilfe des Strombelages beschrieben werden; dieser ist der auf die L~ingeneinheit in x-Richtung bezogene Strom. Beschr~inkt man sich wie im folgenden--auf die Beriicksichtigung der Grundwelle des yon der Wicklung gefiihrten Strombelages, so lassen sich t Performance Characteristics of Electrodeless MHD-Transducers With Regard to the Finite Length. $ Institut fiir elektrische Maschinen, Antriebe and Bahnen der Technischen Hochschule Braunschweig, Miihlenpfordtstrasse 23, Germany. 147
148
H. WEH und G. WALTKE
fiir die einzelnen Abschnitte reine Wanderwellen mit unterschiedlicher Amplitude angeben.
As(l)
(X, t) = ½ A s 1 • sin ( a x - w t )
As(2) (x, t) = A s 1 . sin ( a x - ~ot)
O)
As(3) (x, t) ---- ½ A s 1 • sin ( a x - oJt)
~
~
Abgestufte Zweischichtwicklung
I
I
/
I
i
I I I I
I
BERE/CH I
~
"~ BEREICH3
BEOEICH 2
Aaa. 1. Darstellung des Wanderfeldes mit zugeh6riger Wicklung
(Travelling field representation with winding). Der Faktor 1/2 in den Bereichen (1) und (3) beriicksichtigt die halbe Windungszahl der Wicklung in diesen Bereichen. Es l~sst sich zeigen [1], dass unter der Annahme eines flachen Kanals, bei dem das magnetische Feld nur abh~ngig v o n d e r x-Richtung angesetzt werden darf, diesem Strombelag folgende magnetische Induktionen zugeordnet werden kSnnen: B(1) (x, t) ---- - 1/2 B1 [cos ( a x -- cot) -- cos (oJt)] ] B(2) (x, t) = - B1 . cos ( a x - cot)
t
(2)
B(3) (x, t) = - 1/2 B1 [cos ( a x - cot) 4- cos (cot)] Hierbei ist vorausgesetzt, dass im StrSmungsmedium keine elektrischen Str6me fliessen. Wie die Gleichungen (2) und auch Abb. 1 erkennen lassen, ist die Verteilung der magnetischen Induktion in den Endbereichen kein reines Wanderfeld. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass die Induktion fiir jeden Augenblick an den Enden der Wicklung, also ffir x = 0 und x = 1, wo auch der Eisenbereich endet, verschwindet und dass ausserdem ein stetiger 13bergang zum Mittelbereich hin gegeben ist. Mathematisch findet diese Tatsache ihren Ausdruck in der Hinzunahme der Wechselfeld-Glieder in den Gleichungen (2). Hier handelt es sich offenbar um rechteckfSrmige Feldanteile, deren Zeitverhalten harmonisch ist, also um rechteckfSrmige Wechselfeldanteile. Im Bereich x < 0 und x > 1 wird ange-
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandler
149
nommen, dass das magnetische Feld verschwindend klein ist und gegeniiber den Feldst~irken innerhalb des Wicklungsbereiches vernachl~issigt werden kann. Diese Voraussetzung fiber den Feldverlauf ist eine gute N~iherung, wenn angenommen wird, dass ausserhalb des Wicklungsbereichs der Wandlerkanal nicht von hochpermeablem Eisen umgeben ist. Andernfalls ergeben sich die in [3, 4] untersuchten, auf den hier beschriebenen Wandleraufbau jedoch nicht fibertragbaren Ergebnisse, bei denen ein grt~sserer Einfluss des "Aussenfeldes" festgestellt wurde. Die erw~ihnte Arbeit geht ausserdem yon einer idealisierten nicht abgestuften Wicklung aus. Ffir die folgenden Untersuchungen wird vom Verlauf der Induktionen nach G1. (2) ausgegangen, ihnen wird ein Strombelag in Wellendarstellung so zugeordnet, dass er ohne besondere Hinzunahme der Randbedingungen den beschriebenen Besonderheiten des Feldverlaufs entspricht. Die in den Induktionsgleichungen (2) enthaltenen Wechselfeldanteile der Bereiche (1) und (3) k6nnen als Fourierreihe in der Form dargestellt werden n
B(1, 3)~ (x, t) :
~]
1
B1 [sin
1 nTr
(nax -- ~t) +
sin
(nax +
~ot)]
(3)
mit n=2v--
1; v = 1 , 2 , 3 . . .
Die Wechselfeldanteile werden durch die Reihe (3) zufiickgefiihrt auf Wanderfeldanteile, die mit (m) bzw. gegen (g) die Wanderfeldrichtung laufen. Die Phasengeschwindigkeit der Feldanteile h~ingt yon der Ordnungszahl n ab und betr~igt mit der Phasengeschwindigkeit des Grundfeldes Vs: U8
r~m,n:
/7
; vsg, n = - -
~S n
(4)
Hiermit l~isst sich der diesen Wellen eigene Schlupf berechnen:
Sm.n=l
-
l;
=1
n(1 - s )
(5)
L!Sm, 'a
s~,n=l
V
--1 + n ( 1 - s )
(6)
Usg, n
Zusammen mit den Wanderfeldanteilen der Gleichungen (2) ist nun das gesamte Feld ,der Endbereiche durch Wanderfeldanteile dargestellt. Geht man auf die komplexe Darstellung der Felder fiber, so entstehen mit der komplexen Feldamplitude 1}1 die Austrficke
BI1) (x' t) = -1/2 /}l {eJ(~t-az) - J 2 ~1 n1 [eJ(°'t-naz) + eJ('°t+naz)]} B(2) (x,
t) = B1 ej<~t-az)
B'z)(x't)=-l/2/}l{eS"°t-az)-J2-~l
(7)
[eJ'~t-naZ)+eJ"°t+naz)]}
Handelt es sich um ein eindimensionales Feld, so h~tngt ein Wanderfeldanteil mit der ihn erzeugenden Strombelagswelle in folgender Weise zusammen.
150
H. WE. und G. WALTKE A s (x, t) - y'
tz
OB(x, t)
(8)
Ox
Hier ist y' die magnetisch wirksame Feldlinienliinge.
-2 -2 ABB. 2. Stromortskurve unter Einbezug der Endbereiche (Current locus with regard to the finite length). Mit noch unbestimmter Amplitude l~isst sich dem Gleichungstripel (7)durch (8) eine komplexe Darstellung des Strombelages f'fir die beschriebenen Bereiche zuordnen
As°) (x' t) = l/2 Asl {ej~°'t-az) ÷ j 2- ~1 [ej~t-naz) + As(z) (x, t) : i s 1 • et(~t-az)
.'Is,z) (x, t)-----1/2 Asl {el(ot-az) + j27/.~1 [e"o'-naz)
(9)
+ e"°"+n"x)]}
151
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandler
.4sl ist aus den Feldbetrachtungen unter Einbezug der Spannungsbilanz zu bestimmen. Das Gleichungssystem (10) gilt nicht nur fiir Leerlauf, wofiir es angeschrieben wurde, es muss nach den bisherigen Voraussetzungen auch fiir alle anderen Betriebszustgnde gelten. Die in den Gleichungen (10) in den Summen gegebenen Strombelagsanteile tragen ersichtlich dem Umstand Rechnung, dass ein magnetisches Rechteckfeld nur durch gegen unendlich gehende Strombeliige an den Bereichsgrenzen erzeugt werden kann. Jede Einzelwelle dieses Strombelages ist jedoch innerhalb des gesamten Endbereiches definiert, in ihrer Summe erg~inzen sie sich innerhalb des Bereiches zu 0 und addieren sich an den Bereichsgrenzen zu sehr grossen Betr~igen. Die in den Gleichungen (10) gegebene Wellendarstellung weist gegeniiber den Gleichungen (1) den Vorzug auf, dass zur Feldberechnung keine Randbedingungen in x-Richtung beriicksichtigt zu werden brauchen.
HERLEITUNG
DER
GLEICHUNGEN Ff2R DAS DES WANDLERS
BETRIEBSVERHALTEN
Den Strombelagswellen kSnnen analog zu [2] Wellen des Vektorpotentials zugeordnet werden, die tiber die Randbedingungen anzupassen sind. Die Potentialgleichungen fiir das Wanderfeld des Bereiches (2) lassen sich wie folgt anschreiben AzI(Z) = [CI(2) . sinh (aly)
+
/)I(2)
• cosh
(aIy)] ei((ot-ax)
1
L
(10)
Azii(2) = [Vii(2) . sinh (aiiY) @ OII(2) . cosh (CtiL1,)] eJ ('°t-ax)
mit a'~ =
a ~ 4-jsco
.
? I ; a~ I = a2 + joJ . tLI~ PI
(11)
pII
Fiir die Bereiche (1) und (3) lassen sich analoge Potentialgleichungen zu den Gin. (10) finden. Da der Strombelag ffir beide Bereiche durch dieselbe Gleichung beschrieben wird, l~isst sich auch das Vektorpotential fiir beide Bereiche (1) und (3) durch den gleichen funktionellen Zusammenhang angeben. Einer mitlaufenden Strombelagswelle der Ordnungszahl n in den Endbereichen entsprechen folgende Potentialgleichungen: AzI
(1, 3) n =
[CI (1. a) n - sinh ( a l n , m . Y ) + b I (1, a) ~ • cosh
AzI: (:, 3) n = [C:I (1, 3) n • sinh (aIIn,
m •
(otin ' m • Y)]
ej((ot-nax)
Y)
+ b I i o, 3) n • cosh (all., m • Y)] 0 (`°t-""x) (12)
mit a~n, m = (ha) 2 4- j s m , n • co tzI pI afin, m =
(na) 2 + flo /~Ij pii
Fiir die gegenlaufenden Strombelagswellen lassen sich entsprechende Gleichungen finden, wenn in den Gleichungen (12) n - n gesetzt und Sm, n durch sg, n ersetzt wird. Die Ermittlung der Integrationskonstanten folgt dem in [2] beschriebenen Vorgang und 11
152
H. WEHund G. WALTKE
fiihrt bei Vernachl~issigung der Eisens~ittigung auf: C i (2) --- 0 ,
"l~I (2) =
sinh (arI Yl) [1 cosh ( a I Y l )
C i i (2) •
cot h (all Yl!] --
•
.is1 1 C I l (2) - -
/Zll
aII
sin
7r (aIIy2)
(
"
O l l (2) - -
C l l (2)
1 - e coth (auyz)'
•
mit tanh (ari YD
ai . UH tanh (ar ~II.
E l
O'I //'II t a n h a I I /.Zl
(13)
yl)
//'I
(a I yl)
• tanh
(aii
Ya)
Fiir die Bereiche (1) und (3) findet man fiir die Integrationskonstanten in Abh~ingigkeit yon der Ordnungszahl entsprechende Ausdfiicke: C I ( 1 , 3) n = 0 ,
O I (1, 3) n =
C I I (1, 3) n
sinh (aIInm, g • Y t ) cosh (aInm, g • yl) .[1
As1
CII (1, 3) n --
~ I I (1, 3 n) - -
/£Ii
aII.m, g
c o t h (aIInm, g g .
1
77-
enm, g
sinh (aII.m, g • y2)
1
-
enm,
g .
coth ( a u n m , g • y 2 )
(14)
C I I (1, 3) n Enmt g
mit: tanh ( a u n m ,
g
•
Yl)
aInm, g
•
/-/'II
.
tanh (arnm, g •
Yl)
ctIInm, g • //-I
enm, g = aI'nm, g • /,(,II t a n h a I I n m , g • IzI
(aInm, g • yl)
• t a n h ( a I I n m , g • Ya)
Der Index n m gilt fiir die mitlaufenden Wellen der Ordnungszahl n, der Index n g ffir die entsprechenden gegenlaufenden Wellen. Die Reaktion des Stromkreises auf die elektromagnetischen Wirkungen in den Bereichen I und II kann wieder durch eine der entspreehenden Welle zugeordneten Impedanz beschrieben werden, die mit Hilfe des Vektorpotentials bestimmt wird. Die Hauptfeldspannung des Wandlers l~isst sich als Summe der von den Einzelwellen induzierten Teilspannungen interpretieren. Ist p, die ganzzahlige Polpaarzahl der Ursprungswicklung, aus der die Wanderfeldwicklung hergeleitet wird, so gilt mit ~:81 dem Wicklungsfaktor der Grundwelle, fiir die induzierte Spannung des Mittelbereiches (2) OSh(2) = 2Sh(2) • IS----rio P(~) . Ws. ~s. •sa(2) P
(15)
Die komplexe Flussamplitude folgt aus der Amplitude des Vektorpotentials des
Zum Betriebsverhalten
Elektrodenloser
MHD-Wandler
153
entsprechenden Bereiches A
A
q~sn(2) : 2 . b . AII(2) (y2)
(16)
Ersetzt man in G1. (16) das Vektorpotential durch seine Abh~ingigkeit vom St~inderstrombelag As1, so liisst sich nach einigen Umformungen schreiben: A 2 . ~II • b (/)Sh(2) = O'IItanh ( a i ; - ~) A s 1 . fl
(17)
mit /zIIItanh (ari~) . tanh ( a i y l )
1 ÷ ar . aII• .
.
.
.
/zI .
1 q-
. .
.
.
.
.
(18)
.
ai • / ~ I I tanh (aIYl) a H . ~I " tanh (au3)
3 = Y2 -- yl Der innerhalb des Bereiches (2) wirksame Strombelag bestimmt sich gleich wie der Strombelag der Ursprungswicklung As1 -- m.
w..~s
(19)
is
p.~"
Die Impedanz des Mittelbereiches (2) ergibt sich aus den Gleichungen (15, 17, 19) durch Koeffizientenvergleich a2
Zsa(2) = j X s a
(S
"
an • tanh (aIi3)
(20)
• K(2) • fl
mit X s h = tzii . oJ . l . b . m .
-'\p.~r]
1
.
I
K(2) = p(2_) = 2 p - - 1 p 2p
(21)
J
K(2) gibt das Verh~iltnis der Impedanz des Bereiches (2) zur Impedanz der Gesamtanordnung an.
Zur Berechnung der durch die Oberwellen induzierten Spannung k6nnen die Endbereiche (1) und (3) zusammengefasst werden. FiJr die dutch die n-te mit- oder gegenlaufende Welle induzierte Spannung gilt mit ~sn, dem Wicklungsfaktor der n-ten Welle:
Osh (1,
3) n m , g -- - ~ S h
(1, 3) n, m , g - I S =
jtu
Ws • 2- • &n
• 4sh
(x, ~) . m ,
g
(22)
Es ist hierbei beriicksichtigt, dass innerhalb der Endbereiche die Windungszahl nur halb so gross ist wie im Hauptbereich. Die komplexe Flussamplitude folgt, analog zu G1. (16), aus dem Vektorpotential ~Sh (1, 3) n, mg :
2 . b . A I I (1, 3) nm, g
(23)
FiJr die weitere Rechnung ist es zweckm~issig, die in G1. (10) ffir die Endbereiche (1) und (3) angegebenen Strombelagswellen in AusdriJcke fiJr n ~ 1 und n > 1 b z w . n < 0
154
H. WEH und G. WALTKE
aufzuspalten. Die in der Weise erhaltenen Beziehungen lassen sich folgendermassen angeben: fiirn = 1: 1/2As1 {1 + j 2 }
A s (1, 8) ( x , t) =
A S 1 (1, 3) =
1/2
e j(~°t-ax) = f t s 1 (1, 3) . eHo~t-ax)
(24) (25)
AS1 1 + j ~
fiir n < 0 und n > 1: A s (1, 3) ( x , t) = j . 1~.
/ i S 1 (1, 3) n
=jl
As1 • {~' eJ(wt-nax) -~ ~1 eJ(°'t+nax)}
(26)
(27)
Asl
7"/"
Fiir die Berechnung der Amplitude der induzierten Spannung interessieren nur die Betr~ige der Strombelagswellen der Gin. (25) und (27); diese lassen sich angeben zu: ] Asl (1, 3) I = 1/2 . A~sl . ~/i + (2/rr) 2 ]dS1
(1, 3) n ]
(28)
= --1As:
(29)
7r
Analog GI. (17) kann weiterhin geschrieben werden /~II
~Sh (1, 3)
•
b
aII. tanh (ctIi8) ~ / i
-~
(2/.) 2 A~sl . fl
(30)
I~iI . b ~8h (1, 8) n = 2- . . A s 1 . I~nm, g rr aIInm, g • t a n h (aIInra, g • 8)
(31)
mit flnm, g ~-
1 + aInm, g • /xII . t a n h ( U i i n m , g . 8) t a n h (aInra, g • y l ) alInm' g " tzI 1 +
-aInm'
g " /zII
aIInra, g • /q
(32)
tanh (aInm, g . Y D tanh (aiinra, g • 3)
Aus den Gleichungen (19, 22, 30 bzw. 31) folgen die Impedanzen der mitlaufenden Grundwelle und der Oberwellen der Bereiche (1) und (3) durch Koeffizientenvergleich 2 S h (1, 3) l m =
.]XSh •
a2 . 3 aii.tanh(ait.8)
•
(33)
K(1,3) l m . fl
mit K O , a) ira = 1/4 p . " V / [ +
(2/rr) 2
(33a)
nz . az . 8
2sn (1, 3) nm, g = j X s n • alInm,
g •
tanh (amain, g • 3)
• K o , a) n .
flnm, g
(34)
mit ~sn
/((1, 3) n = 2 r r . p . ~ : s ,
n2
(34a)
Die Spannungsgleichung des Wandlers unter Beriicksichtigung der Endbereiche l~isst
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandler
%
x~
155
IRSj, ixs~
I A
,)
Zsh(2)
i
)
~lXr6(2)
Xsh(2)
R(z ) $
,A
Xsh(l~3)In
biz~h(pm, -,
].
xmq3)t
i
Rr~,, 5t 9
i
I
iXrdq3)2 Xshq3)#] 2Rrp)2 52m
ixr6q~)2
A
XshO,3}2
} R(p)2
Zsh(1,3)2g
%
I I i i i I I
(a)
o(,j), 51m
Zshq3)lg
I
Xr6q3)t
i (b)
ABB. 3(a). Ersatzschaltbild des Wandlers bei Beriicksichtigung der Endbereiche (Equivalent circuit of the transducer taking account of the finite length). ABB. 3(b). Ersatzschaltbild mit aufgel6sten Sekund~irmaschen (Equivalent circuit with[secondary meshes).
156
H. WEH u n d G. WALTKE
sich hiernach formulieren: n
Os = {Rs + jXs~ + 2sh (2) + 2sh (1, 3) l m + F_, 2s~ (~, 3) .m 3 n
"@Z 2Sh
(1, 3) n, g} • f ' S
(35)
1
mit n = (2v - I) Aus dieser Gleichung kann der Wandlerstrom i s berechnet werden. W~ihrend die Stromortskurve des reinen Grundwellen-Wandlers bei Vernachliissigung der Stromverdr~ingung ein Kreis in allgemeiner Lage ist, folgt die Stromortskurve unter Einbezug der Endbereiche einer Figur hSherer Ordnung (s. Abb. 2). Die Wirkung der inversen Felder drtickt sich insbesondere im Bereich s = 2 durch einer starke Abweichung yon der Kreisform aus. Die der Spannungsbilanz entsprechende graphische Darstellung zeigt Abb. 3(a). In Abb. 3(b) ist vonder MSglichkeit Gebrauch gemacht, fiir vernachl~issigte Stromverdriingung SekundS.rmaschen anzuordnen. Der Beitrag der Endbereiche l~isst sich dahingehend interpretieren, dass zus/itzlich zum Hauptwandler des Bereiches (2) ein die Hauptwirkung untersttitzender kleinerer Teilwandler und eine unendliche Zahl von Einphasenwandlern vorhanden sind. Die Einphasenwandler werden im Ersatzschaltbild von je einer Masche des mit- und gegenlaufenden Feldes gleicher Ordnungszahl repriisentiert. Ihre Bedeutung nimmt mit zunehmender Ordnungszahl rasch ab. Die resultierende Wanderfeldleistung kann aus der Summe der Wanderfeldleistungen der Einzelwellen berechnet werden co
-:~o
Pw = Pw (2) + Pw (1, 3) l + Y~ Pw (1, 3) n +
3
~
-1
(36)
Pw (1, 3) n oo
Pw
ms 2
iz
R e a l t . { 2 S h (2) _L Z,b'h (1, 3) lr~ ~@ Z Z S h (1, 3) n~.n " S " 3
cr~
-- Z ZSh
(1, 3) rt,g}
(37)
-1
Die Schubkraft des Wandlers folgt aus: Fw = Z Pwn_
(38)
Usn
Die entsprechenden Verluste der Einzelwellen im StrSmungsmedium ergeben sich durch Multiplikation der Luftspaltleistungen mit den zugehSrigen Schlupfwerten. Einen besonders grossen Beitrag zu den Gesamtverlusten liefert die gegenlaufende Grundwelle. Von besonderem Interesse fiir den Entwurf des Wandlers ist die Abhgngigkeit der Gesamtverluste und des Wirkungsgrades v o n d e r gew~ihlten Polzahl. Es leuchtet ein, dass der Einfluss der Endbereiche auf das gesamte Betriebsverhalten umso kleiner ist je grSsser die Polzahl des Wandlers gewghlt wird. Fiir p -+ oo sind die bekannten Werte des Wirkungsgrades eines reinen Wanderfeld-Wandlers zu erwarten, w~ihrend sich ftir p ----- 1 ein starker Einfluss der Endbereiche bemerkbar macht. Abb. 4 zeigt eine Auswertung, die fiir ein Beispiel eines Fliissigkeitswandlers mit einer magnetischen Reynoldszahl r1 = 17,5 und Rx = 0 ftir verschiedene Polpaarzahlen vorge-
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandle(
157
nommen wurde. In diesem Beispiel erweist sich dei Polpaarzahl p = 3 im Hinblick auf Verluste und Wirkungsgrad als gut ausffihrbar. Die sich ergebenden Wirkungsgrad-Kennlinien h~ingen stark von der elektrischen LeitfS.higkeit des Str/Smungsrnediums und damit yon r Iab. Abb. 5 zeigt den Wirkungsgrad fiir verschiedene Reynoldszahlen r I bei gegebener Polzahl 2p ~--6 in Abh~ingigkeit vom
~t '1
%
p=5.' ~ p=J. p=l~
~
-.
o,~!
½\
q2
-?
-q8
-q6
P=3
-0,4
-q2
0,2
0
0,4.
0,6
qe
.---.-.8
AraB. 4. Wirkungsgrad des Wandlers fiJr verschiedene Polpaarzahlen (Efficiency of the transducer for various number of pairs of poles).
i
I
§ =10 ...
,',--2~~
"~oA
1§=10 •-/irz = 2
,5 =qt
/ "qa
-q6
-q4
-q2
0
/
q2
",. 0,4
qa
0,8
t S
ABB. 5. Wirkungsgrad des Wandlers fiJr verschiedene magnetische Reynoldszahlen (Efficiency of the transducer for various magnetic Reynold's numbers).
158
H. WEH undG. WALTKE
Schlupfdes S t r r m u n g s m e d i u r n s gegentiber d e m Wanderfeld. Von der G r r s s e der magnetischen R e y n o l d s z a h l ist bei gegebenem Schlupf die Abd~impfung der inversen F e l d e r stark abh~ingig; eine grosse R e y n o l d s z a h l sorgt unter sonst gleichen Verh~iltnissen fiir kleine zus~itzliche Verluste.
kW 40
20
-2,5
-2
-/,5
-I
- 0,5
/
f
/
0,5
I
t,,~
2
2,5
m--5
-20
/,o ABB. 6. Wanderfeldleistung unter Einbezug der Endbereiche (Travelling wave power depending on the slip with regard to the finite length). In A b b . 6 ist die Wanderfeldleistung des W a n d l e r s bei Beriicksichtigung der Endbereiche dargestellt. I m hier interessierenden Bereich gleicht die Kennlinie d e r Drehfeldleistungskennlinie einer n o r m a l e n A s y n c h r o n m a s c h i n e . Erst im Bereich 1 < s < 3 m a c h t sich das inverse G r u n d w e l l e n f e l d d u r c h einen hier auftretenden " L e i s t u n g s s a t t e l " stark b e m e r k b a r . D a diese I r r e g u l a r i t a t a b e r irn m o t o r i s c h e n Bremsbetrieb des W a n d l e r s auftritt, ist sic ohne praktische Bedeutung. LITERATUR [1] K. H. BROMKAMP,Elektromagnetisehe Wanderfelder flacher Drehstrominduktoren und ihre elektrodynamischen Wirkungen. Diss. T. H. Aachen (1961). [2] H. WE., Zum Betriebsverhalten elektrodenloser MHD-Wandler, Heft 13, Seite 395--402. ETZ-A (1964). [3] W. PESCHKA,S. KELMund F. ENGELN,Penetration Effects at the MHD Induction Engine of Semi-Infinite Length, International Symposium on Magnetohydrodynamic Electrical Power Generation. Session 4(b), Paper 59. [4] R. N. SUDAN,Interaction of a Conducting Fluid Stream with a Traveling Wave of Magnetic Field of Finite Extension. J. App. Phys., 34, March (1963). Abstract--The finite length of exciting winding in travelling wave transducers causes harmonic waves. In this paper the additional losses resulting from these harmonics are calculated. The equations thus derived do not include the winding harmonics obtained from the conventional electrical machinery. The following result has been ascertained: With regard to the harmonics the working conditions of MHD-transducers are equal to those of several transducers joined in series, each having an ideal travelling wave field and, according to the ordinal number, each working as motor, generator or dynamic brake. The principal structure and the operating characteristics are shown in a few diagrams.
Zum Betriebsverhalten Elektrodenloser MHD-Wandler
159
R6sum6--La longueur finie de l'enroulement excitateur, dans les transducteurs ~t ondes progressives, cause la pr6sence d'ondes harmoniques. On calcule les laertes suppl6mentaires dues/l ces harmoniques. Les 6.,quations ainsi obtenues ne tiennent pas compte des harmoniques de l'enroulement, r6sultant de l'6quipement 61ectrique conventionnel. On a v6rifi~ le r6sultant suivant: En ce qui concerne les harmoniques, les conditions de travail des transducteurs MHD sont les m~mes que celles de plusieurs transducteurs en sgrie, dont chacun a un champ d'ondes progressives id~ales ettravaille, selon son num6ro d'ordre, en moteur, en ggn6rateur ou en frein dynamique. L'essentiel de la structure et des caract6ristiques op6ratoires sont expos6s au moyen de quelques aliagrammes.