Analyse par la série de Fourier du signal donné par un maximètre lors du contrôle de couches minces multidiélectriques

Thin Solid Films, 52 (1978) 137-151 © Elsevier Sequoia S.A., Lausanne

Printed in the Netherlands

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A N A L Y S E PAR LA SI~RIE DE F O U R I E R DU S I G N A L DONNI~ PAR U N MAXIMI~TRE LORS D U C O N T R O L E DE C O U C H E S MINCES MULTIDII~LECTRIQUES J. M. SAUREL Laboratoire d'Optique Physique, Universit( des Sciences et Techniques du Languedoc, 34060 Montpellier C~dex (France) (Requ le 23 janvier 1978 ; accept6 le 14 f+vrier 1978)

Le contr61e par maxim6tre chromatique des 6paisseurs d'un empilement de couches minces multidi61ectriques rep6re les z6ros de la d6riv6e de la transmission en fonction de la longueur d'onde. L'analyse plus fine du signal d61ivr6 par le montage permet de voir que le crit6re d'arr6t n'est pas dT/d2 -- 0 mais le terme fondamental d'un dbveloppement en s6rie de Fourier qui doit ~tre nul. L'application fi un empilement du type double P6rot-Fabry met en 6vidence une diff6rence notable entre les 6paisseurs obtenues par les proc6d6s de calcul et de simulation sur ordinateur lorsqu'on utilise les diff6rents crit6res d'arr&.

Summary A method of control of thin multidielectric layer stacks using a "chromatic maximeter" consists of locating the zeros of the transmission derivative in terms of the wavelength. A more precise analysis of the signal given by the device shows that the stopping criterion is not that dT/d2 -- 0 but that the fundamental term of a Fourier series development be zero. The application to a stack of the Fabry-Pbrot type shows a noticeable difference between the thicknesses obtained by calculation and simulation on the computer when the various stopping criteria are used.

1. INTRODUCTION Pour r6aliser des filtres interf6rentiels ou des miroirs fi, haut pouvoir r6flecteur, avec des couches minces multidi61ectriques, on utilise comme appareil de contr61e le maxim&re, dont le principe et les proc6d6s d'utilisation ont 6t6 d6crits dans divers articles 1, 2. Les utilisateurs d'un tel appareii ont pu constater qu'il leur 6tait parfois difficile de contr61er, en cours d'+vaporation, l'bpaisseur de certaines couches d'un empilement; dans certains cas, ils obtenaient des r6sultats assez +loign6s de ceux qu'ils souhaitaient. Jusqu'fi pr6sent, on avait admis que le maxim&re d61ivrait un signal proportionnel ~i la d+riv6e, par rapport ~ la longueur d'onde, du pouvoir de transmission de l'empilement en cours de formation. Cependant la simulation,

138

J.M. SAUREL

l'ordinateur, de l'amplitude de ce signal ne correspondait pas toujours ~i celle observ6e exp&imentalement. D ' a u t r e part, lorsque nous c o m m e t t o n s certaines erreurs de reglage, ou lorsque nous rdalisons des filtres a bande passante &roite, le signal T().) n'est pas n&essairement symetrique autour de '~o, longueur d ' o n d e m o y e n n e de contr61e. Dans ce cas, on pouvait se d e m a n d e r quelle etait l'influence de la dissymdtrie de T(;t) sur le contr61e et la raalisation des couches minces. Dans cet article nous proposons un procad~ de calcul qui tiendra mieux compte de la raalit6 exp6rimentale et permettra de simuler plus exactement la raalisation d ' u n filtre interferentiel ou d ' u n miroir fi haut pouvoir raflecteur. 2. ANALYSE D'UN SIGNAL DONNE PAR UN MAXIMETRE CHROMATIQUE

2.1. Expression math~matique de l'amplitude du signal Le maxim6tre est un appareil qui permet de rep6rer les extrema du pouvoir de transmission d ' u n empilement de couches minces multidi6lectriques au cours de la formation des couches• Rappelons tr& rapidement son principe, propos6 par G i a c o m o et Jacquinot 1. La partie optique du m o n t a g e a pour r61e d'&lairer l'empilement par un faisceau de lumiare dont la longueur d ' o n d e 2 est modulae sinusoidalement en fonction du temps suivant la loi ,~ = 5.0 + A2 o sin

2~Nt

A,~o ~ 2 o

La partie 61ectronique est composee d ' u n recepteur, d'un amplificateur selectif el d ' u n oscilloscope qui permet de suivre un signal i(2, ei) qui d6pend du flux de lumiere requ par le r&epteur, de la longueur d ' o n d e et de l'6paisseur des couches. Soit 1(2) l'intensit6 du courant d6bit6 par le photomultiplicateur: si 2 = '~o + A2o sin 2rtNt, 1(2) sera de la forme

2rtNt)

I()~) = I(2 o + A2 o sin

N o u s c o m p a r e r o n s le developpement en serie de Taylor et le developpement en sOrie de Fourier en utilisant le calcul de Bousquet et Roche 3. Si nous supposons que A). o est petit devant )~o, nous p o u v o n s dOvelopper I()3 sous la forme d'une serie de Taylor, soit dl A2o z . , d2I 1(2) = I(2o) + A2 o sin(2rtNt)d-). + ~..2! smq2nNt)wT~oz+ • A,go"

+. • • + - -

n!

.

sm

......

d"l oZ

{Zl~Nt)~7,~

+

"•

Notre m o n t a g e electronique c o m p o r t e un amplificateur s61ectif r6gle sur la fr6quence fondamentale du signal. A la sortie de cet amplificateur, nous aurons, tous calculs fairs, pour le signal blectrique i(2) filtr6 par l'amplificateur s61ectif { o dl 1 3d3I i(2) = k A , % ~ + ~ A 2 o af3-+'..+~zp+lA.~o2P

+1 }d2V+'l d ~ . 2. p+... +

sin2rtNt

off k est le coefficient d'amplification de notre appareil. II s'agit du signal filtr6 par l'amplificateur s61ectif, c o m p o s a n t e en sin 2uNt : la c o m p o s a n t e en cosinus est nulle.

139

ANALYSE DU SIGNAL DONNI~ PAR UN MAXIMI~TRE

Nous savons que le maxim6tre sert, dans la plus part des cas, ~irep6rer les zeros du signal i0.). i(2) peut &re nul si dI/d2, d3I/d23,..., sont nuls en m6me temps; ceci a lieu lorsque la courbe 1(2) est sym6trique par rapport fi la droite 2 = 2 o. Dans ces conditions seulement, i(2) et dI/d2 sont nuls en m~me temps. Lorsque la courbe 1(2) n'est pas sym6trique, cette hypoth6se n'est plus rigoureuse: le signal i(2) correspond ~ la somme de t o u s l e s termes en sin 2rtNt donnes par le d6veloppement de la serie de Taylor; l'analyse de i(2) devient alors plus difficile. Une autre possibilit6 d'analyse de i(2) consiste fi d6velopper 1(2) sous la forme d'une s6rie de Fourier puisque 1(2) est une fonction p6riodique du temps. Nous avons vu que l'amplificateur s61ectif d61ivre une intensit6 proportionnelle au signal fondamental, soit i(2) = ka I sin 2nNt + kb I cos 2rtNt avec al

1(20 + A).o sin 21rNt) sin 2nNt dt

= ~-

' f; I(2 o + A2o cos 2nNt)cos 2rrNt dt

b1 = ~

Nous pourrions d6montrer qu'avec une modulation de la forme A2 o sin o t le terme b 1 est nul; le signal vu fi l'oscilloscope est alors proportionnel fi a 1. En comparant les termes de la s6rie de Taylor et ceux de la s~rie de Fourier, nous avons pour le fondamental A

al=

dl

m2o 3 d3i

2o~+

d2V+ 1/

"~ d23 {-'"+O~2p+lA2o2p+ld22p+l

Si nous n6gligeons tousles termes d'ordre trois et sup~rieur fi trois, nous voyons que a I e t A2odI/d2 sont des quantit6s 6gales. C'&ait avec ces hypotheses de travail que tousles calculs sur le contr61e des 6paisseurs des couches minces avaient 6t6 faits. Nous allons voir que, si ces hypotheses sont g6n6ralement justifi6es, il est des cas off il faut tenir compte des termes d'ordre sup6rieur.

2.2. Etude du signal 1(2) recu par le r#cepteur Nous savons que le signal 1(2) donn6 par la source, le monochromateur, le r6cepteur et le filtre multidi61ectrique est de la forme 2

1(2) = A(2)T(2) avec A()O fonction d'appareil du montage et T(2) transmission du filtre en cours de formation. Avec ces hypothdses, le terme fondamental i(2) donn6 par l'amplificateur est de la forme ka I sin 27rNt, avec (aT

dA)

a, = A ~ £ + r ~

. A203/ d3T

d2TdA

d2AdT

A2o + 8 - - 1 A d~-+ 3 d ~ - ~ - + 3 d ~ - ~ - +

Td3A, d~-3]+...

Si nous supposons que A(2) est sym&rique par rapport & 2 = 2 o nous aurons dA/d2, d3A/d23 . . . . . nuls en m6me temps. Sur notre montage ces hypoth6ses de

140

J.M. SAUREL

calcul sur A(2) sont justifi/aes quel que soit le type de couteau utilise, et nous avons montre, par des calculs faits sur ordinateur, q u ' u n e lagare dissymetrie de A(,i) n'avait pas une tr~s grande influence sur le contr61e des ~paisseurs des couches des empilements que nous avons choisis. Dans ces conditions

al=IAA)~o+3A.a,,3dRAt 8-"

tdT d3T d22+"]d;+'/d23

.dep+IT

+ " + a d22p~, +...

,' et d sonl des coefficients qui d~pendent des derivees successives dc A(2) ct de facteurs numeriques aisdment calculables lorsqu'on explicite lc ddveloppement de T(2) en s•rie de T a y l o r ' par cxemple ;; = ~A2o3A. Si T(2) est symdtrique par rapport fi ,;.=20` dT'd,;,, d 3 T / d ) . 3 . . . . . d 2p÷ ~T,,d,;.~v- ~ seront nuls en mdme temps, et Iorsque les parametres de Ttef ou 21 varient a~ et dT/d2 s'annuleront pour les mdmes valeurs de ces parambtrcs. Dans le cas ou T(2) n'est pas symdtrique, a~ n'est pas rigoureusement proportionnel 'a dT/d2 et les valeurs de 2 ou e~ calculees pour obtenir d T d ) . nul ne sont pas les mdmes que les valeurs 2' ou e i' calculdes pour avoir a~ = 0. Nous venons de voir que theoriquement le maximetre de G i a c o m o el Jacquinot repdre en route rigueur un signal proportionnel ti (l 1 (donne par un ddveloppement en sdrie de Fourier) et non un signal proportionnel 5. d T/d,;. qui avait etd utilise dans tousles calculs de simulation des contr61es de filtres interfbrentiels. C e s rdsultats dh.jfi donnes par Bousquet et Roche 3 leur avaient permis d'analyser avec plus de precision le fonctionncment des maximetrcs a coutcau mecanique et ~i couteau optique. De mgeme, dans un article rdcent Candille a a dtudie par la serie de Fourier le signal donna par un maximetre m o n o c h r o m a t i q u e avant ddp6t de couches minces. Dans notre travail, nous allons appliquer ces rdsultats au calcul des 6paisseurs des couches de didlectriques rdellement contr61~3es lorsqu'on utilise un maximetre chromatique. 3. SIMUL.AI'ION DU CONTROLE DE FIL'FRES MULTIDIELECIRIQUES Pour chiffrer l'importance des erreurs commises lorsqu~on contrdle un empilemcnt de couches minces par maximetre chromatique, en utilisant c o m m c crit~re d'arret dT/d2 = 0 ou a 1 = 0, nous avons fait une simulation thaoriquc de l'exparience. Pour cela nous consid/:rerons quc les termes dA/d2, d 3 A / d 2 3 . . . . . s o n t nuls en meme temps, c'est-fi-dire que A(2) est sym~trique autour de 2 o. Nous supposerons aussi que le terme en A2o 3 d2A/.d22 est negligeable devant A A2o. Ces hypotheses sont justifides sur notre m o n t a g e : l'introduction de A dans les calculs par la serie de Fourier ne change pas les rdsultats sur les epaisseurs optiques des couches calculees. Dans tous nos calculs nous avons pris pour valeurs d'indice celles donnde par Schroeder s qui tiennent compte de la dispersion des indices et d'une ires 16ghre absorption des produits. Pour la c o m m o d i t a de l'analyse des resultats, les apaisseurs optiques des couches sont exprim~?es en unitas ,io/4. A partir du modele mathematique de calcul de la propagation des ondes dlectromagndtiques dans un milieu stratifie, que nous avons adapt6 pour etre utilise par un ordinateur 6, nous avons fait calculer les dpaisseurs optiques de couches

ANALYSE DU SIGNAL DONNI~ PAR UN MAXIMI~TRE

141

minces r6ellement d6pos~es lorsqu'on a dT/d2 = 0 ou lorsque a~ = 0, ceci pour n'importe quel type d'empilement el avec toutes les radiations de contr61e possibles. Soil el, e 2 e~ les 6paisseurs indiqu6es par le p r o g r a m m e de calcul qui utilise c o m m e crit6re d'arr6t dT/d2 = 0 e t soit e~',e2', . . . . e l les 6paisseurs optiques donn6es par le p r o g r a m m e de calcul utilisanl le crit6re a 1 = 0. Darts un premier temps nous avons montr~ que ces deux types de simulation donnent des r6sultats diff6rents pour un certain type de filtre. N o u s avons pris c o m m e exemple un filtre double-onde r6alis6 pour une radiation du visible. Afin de voir plus nettement la diff6rence entre les r~sultats des deux proc6d6s de calcul, nous avons introduit des erreurs sur toutes les couches de bas indice; cetle erreur ( + 2 '~/o)est assez justifi6e par l'expbrience car, g6ne-ralement, nous d6posons toujours de la cryolithe par exc6s. Le Tableau I indique les 6paisseurs rbellement dbpos6es pour un filtre du type M 5 8B M 5 B M 5 8B M 5 r6alis6 s u r 2 = 5461 ,~. Rappelons que la notation M 5 8B M 5 repr6sente un filtre interf6renliel compos6 de deux miroirs 5. cinq couches altern6es de produit 5. haul indice (ZnS) et de produit 5. bas indice (cryolithe) d'bpaisseur optique 2o/4.8B d6signe l'6paisseur optique de la couche m~diane: huit fois 2o/4. L'6paisseur e~ + Ae i de chacune des couches est calcul6e en tenant compte de routes les 6paisseurs des couches pr6c6dentes d&ermin6es par le calcul et de routes les erreurs qui y ont ~t6 introduites. N o u s avons indiqu6 sur ce tableau quatre colonnes qui correspondent aux erreurs calcul6es (1) par le crit6re d T/d2 = 0 en fin de d6p6t de chacune des couches (quatri6me colonne) et (2) par le crit6re ax = 0, 6galement en fin de d6p6t de chacune des couches, mais lorsque A2 o prend les valeurs 5 A (cinquibme colonnej, 10 A (sixi6me colonnej et 50 ,~ (septibme colonne). '

.

.

.

.

.

4. ANALYSE DES RI~SULTATS: INFLUENCE DES PARAMETRES AMPLITUDE DE BALAYAGE ET DISSYMI~TRIE DE T(,~)

4. I. Etude du signal a I enJonction de I'amplitude N o u s avons vu sur le Tableau I que les +paisseurs e i' &aient pour certaines couches de l'empilement tr6s diff6rentes selon l'amplitude de balayage A2 o de la modulation en longueur d'onde. Cette diff6rence peut 6tre de plusieurs dizaines de pour cent, 50 ~o pour les couches voisines de la couche 18 (6paisseur optique 82o/4). Cetle erreur peut passer d'une valeur positive a une valeur n6gative en fonction de l'6volution de A2 o. Pour la couche 18, l'6paisseur e i' varie de 7,732o/4 fi 8,49)~o/4, en passant pour une certaine valeur de A2 o tr6s voisine de 18/~ fi 82o/4. N o u s remarquons 6galement que les 6paisseurs e i' tendent v e r s e i lorsque A2 o diminue ; pour un balayage de 5 ~ les +paisseurs e / e t e¢ sont tr+s voisines pour toules les couches de l'empilement. Si nous reprenons pour exemple la couche 18 (deuxieme couche m6diane du double P6rot-Fabry), l'6paisseur varie de 7,732o/4 (A2 o = 50 A) 8,492o/4 pour A2 o = 5 /~ et 10,412o/4 pour A20 = 0. Dans ce dernier cas, cela revient ~ fitiliser le calcul en dT/d2 = 0. II existe donc une valeur de l'amplitude de balayage A2 o pour laquelle e / = 9)~o/4 (A2 o ~ 3 A): nous obtenons alors un filtre type simple P+rot F a b r y constitu6 d ' u n miroir A cinq couches d'un c6t6 et d ' u n miroir fi dix-sept couches de

142

,1. lVl. S A U R E I .

TABLEAU I

NumOro de couche

Erreurs

S&'ie de Fourier

Ui

~dT,'d,:. = o)

optique eo~ de,s couche.~

~'+

c+

,'A).<> = 5A

(A,% = 1¢,~-I

(A/u = s( .t

m u

I 2 3 4 5

0 2'!. 0 2 ",, 0

IH 1B 1H 1B 1H

1,086 0,960 1,029 0,974 1,017

1.087 0,962 1,025 0,977 1,015

1,088 0,962 1,025 0,977 1.015

I,(188 ('1,963 1,025 0,977 1,015

6

2"+,

8B

7,988

7,990

7,990

7,989

0 2"., 0 0

H B H B H

0,954 1,024 0.926 1,049 0,890

0,952 1,025 0,927 1,049 0,887

0.952 1,025 0,925 1,050 0,886

0,952 1,025 0.925 1.051 0.884

2"

B

1,076

1,079

1,081

1,084

13 14 15 16 17

0 2o 0 2".

H H B H

0,851 1,107 0,806 1,145 0,737

0,847 1,109 0,803 1,146 0.735

0,842 1.112 0,797 I.I 51) 0.718

0,835 1.135 0,715 1.498 J 1,227

l8

2 ",,

8B

10,413

8,490

8,285

7.730

19

0

20 21 22 23

2 ",, 0 2 ?,, 0

I H 1B

0.415 1.380

0,324 1.420

0.661 1,219

0.913 1.051

IH IB 1H

0,518 1,348 0,528

0,494 1,367 0,491

0,665 1,248 0.619

0,890 1,078 0,858

M v

7 8

9 10 I1

2 ",,

12 M x

0

B

My

Les 6paisseurs optiques eo., e iet e[ sont exprimees en unites 20/4 avec 2o = 5461 /~. Filtre type M s 8B M s B M s 8B M 5.

"Pour la couche 16,1orsque A),o = 50 • nous avons une perte du contr61e, a~ = 0 ne peut 6tre obtenu el on s'arr4le lorsque a Iest minimum.

l ' a u t r e ; a v e c ce filtre le m a x i m u m

de transmission

p o u r 20 est I r e s f a i b l e ( q u e l q u e s

pour cent). E n c o n c l u s i o n n o u s p o u v o n s d i r c q u c l ' a m p l i t u d e d e b a l a y a g c a uric l r 6 s f o r t e i n f l u e n c e s u r le c o n t r 6 1 e d e s e p a i s s e u r s d e s c o u c h e s m i n c e s l o r s q u ' o n v e u t r ~ a l i s c r u n certain type d'empilement.

4.2.

I n f l u e n c e d e la d i s s y m d t r i e a v o n s dit d a n s le p a r a g r a p h e

Nous

2 que

si la c o u r b e

T(5,) n ' e t a i t

pas

ANALYSE DU SIGNAL DONNE PAR UN MAXIMIkTRE

143

sym6trique par rapport fi 2 = 2 o les signaux a t et dT/d2 n'etaient pas nuls en m6me temps. Afin de v6rifier cette hypoth6se, et d'obtenir des r6sultats quantitatifs, nous avons fait calculer T(2, e i) en fonction de l'6paisseur de produit d6pos6e pour une couche de rang i et ceci pour diverses longueurs d'onde au voisinage de 2 o. Rappelons que T(2, e 3 est le pouvoir de transmission de l'empilement en cours de formation q u a n d l'epaisseur de chacune des couches est egale/t e/, indiqu& dans le Tableau I pour A2 o = 10 A. Sur le Tableau II nous voyons que pour 2 tr& voisin de 2 o nous avons T ( 2 o - e ) = T ( 2 o + e ) avec e ~ 10 A lorsque e i' = 0,720/4. Darts la mesure off la fonction T(2, el) est continue dans le domaine de 2 et ei', nous pouvons consid6rer que, pour e / = 0,7, ?T(2, ei')/~2 = 0 pour 2 = 5460 A. En examinant les valeurs de T p o u r la ligne du tableau correspondant/~ 2 = 2 o, nous voyons que ?T(2 o, e/)/i~e~ sera nul pour e / ~ 0,7 (plus pr6cisdment 0,715). Ceci est normal puisque ?T/?ei s'annule pratiquement en meme temps que ?T/~:). car le r61e de la dispersion des indices des produits dn/d2 est n6gligeable pour ces couches. Nous venons de voir que ?T/~2 est nul pour e/ = 0,715 mais, pour cette valeur, T(2) n'est pas sym&rique par rapport fi 2 o pour toutes les longueurs d'ondes comprises entre + A2 o e t - A 2 o. II faut une 6paisseur voisine de 1,12o/4 pour que T(,;t) soit le plus sym&rique sur les bords du balayage, c'est-~i-dire pour 2 o = 5410, 5420, 5430 A et 5490, 5500, 5510 A respectivement. L'influence de la dissym&rie est d ' a u t a n t plus importante qu'elle a lieu pour les longueurs d ' o n d e 2 les plus 61oigndes de 2 o mais toujours comprises fi l'intdrieur de l'intervalle de balayage. Ceci est dfi au calcul de a I qui est proportionnel fi

f f T(2 o + A2 o sin 21rNt) sin 2~zNt dt En effet sur une p6riode, si s i n 2 ~ N t est voisin de zdro, la quantit6 T(2 o + A2 o sin 27rNt) sin 2~Nt sera trbs petite et m6me nulle si sin 27rNt = 0. Par contre, le terme T(2 o + A2 o) c o r r e s p o n d a n t / l sin 2~zNt = 1 a une valeur m a x i m u m et son rdle dans le calcul de l'integrale est ainsi major6. Si nous supposons que le rayon de courbure de la courbe repr&entant la fonction d'appareil A(2) est tr& grand nous avons vu que dT

a1 =

1

3d3T

.d2p+lT

AA2o~2+8AA2od~3-+"'+6~+'"

Dire qu'il y a une dissym6trie dans T(2) revient fi dire que d3T/d23 ainsi que t o u s l e s termes sup6rieurs d'ordre impair d2p+IT/d2ZP~ ne sont pas nuls. Aussi petites que soient leurs valeurs, ils ont une influence sur le contr61e par maxim&re chromatique de certaines couches d'un empilement. Le crit6re a~ = 0 ne coincide pas alors avec le crit6re dT/d2 = O. N o u s venons donc de voir l'importance des param&res de balayage A2 o et de dissym6trie d3T/d2 3 lorsqu'on simule le contr61e d ' u n empilement de couches di61ectriques par maxim&re. La diff&ence entre les 6paisseurs obtenues par les deux proc6d6s de calcul peut &re tr& grande mais il est impossible de savoir apriori quel sera le param&re A2 o ou d 3 T/d23 qui aurait la plus grande influence. Cependant les calculs que nous avons faits nous ont permis de tirer quelques conclusions g6n6rales.

11

203x10

399x10

913x10

1520x10

862x10

390x

207x10

126x10

85x10

5420

5430

5440

5450

5460

5470

5480

5490

5500

5510

5,, - 5 4 6 1 A

78×10

120xl0

5410

O,3

ei ( )-o 4

10

4

~

"*

"*

"*

a

4

4

"*

a

"*

62x10

92x10

153x10

290x10

650x10

1143×10

a

a

4

a

~

"*

4

"~

292x10

670x10

~

~

4

149xl0

88x10

58xl0

(L5

53x

80x10

134x10

256x

579×

1007x10

581x10

254xl0

131x10

78x10

51xlO

O. 7

I0

10

10

"*

a

a

4

"*

"*

"~

"*

4

4

"*

54×

82x10

137x10

265×

10

10

603x10"*

1036x10

591x10

260x10

135×10

81x10

53×10

fL 9

VALEURS THEORIQUES DE T(.;.) EN F O N ( T I O N DE L'f2PAISSE[ R I ) t I A ( OL ('HE 17 (( ()t ( HE l)k Z n S )

TABLEAU

"*

4

a

4

4

"*

"*

"*

4

4

66*10

a

4

4

1 0 0 x 10 6 6 x 10

"*

4

"~

~

4

"*

"*

"*

1 6 6 x 10

3 2 3 x 10

7 3 7 × 10

1245 x i 0

7 2 7 x 10

3 1 9 x 10

1 6 5 × 10

1 0 0 × 10

l.l

10

"~

a

10 '"

10

10

4

"*

"~

4

,z

~

93.

10

4

1 4 2 x 10 4

240x

469x

1067x

1 7 5 9 x 10

I000x10

454×10

242x10

148x10

100x

1.3

IO

10

I0

10

15"x

~

"~

"~

"

"*

'"

4

a

10

4

4

10 '* 242×10

410x

8 0 1 x 10

1790×

2 8 4 7 x 10

1658x

7 7 5 x IO

420×

259x10

176x

1.5

ANALYSE DU SIGNAL DONNE PAR UN MAXIMETRE

145

5. REsuLTATS GENERAUX DES CALCULS PAR LA SERIE DE FOURIER

Nous considerons en premier lieu les miroirs fi haut pouvoir reflecteur a bande rdflechissante large et tres large, ensuite les empilements qui permettent d'obtenir des filtres interferentiels ~, bande passante etroite. Nous d o n n o n s les resultats obtenus par des calculs fi l'ordinateur.

5.1. Miroir 71haut pouvoir r~ltecteur Quel que soit le type des miroirs utilises, constilues par des couches d'epaisseurs optiques 6gales (quart onde pour une longueur d ' o n d e 2 o donnee) ou des couches d'epaisseurs optiques inegales et alternees, une erreur relativement importante, 20 o~; par exemple sur les epaisseurs e~, ne donne par les deux procedes de calcul pratiquement pas de differences sur les couches i + 1. . . . . p. ll en est de meme si nous commettons des erreurs sur les longueurs d ' o n d e de contr61e A i qui permeltent de reperer en fin de dep6t soit dT(ei, Ai)/d). = 0, soit al = 0; les epaisseurs sont egalement tres voisines quel que soit le procede de simulation employe. 5.2. Filtres inter[?rentiels gt bande passante Otroite N o u s considerons le cas des filtres types P e r o t - F a b r y ou double Perot Fabry M u 2KB M,. B M x 2K'B M~. off M u represente un miroir fi u couches et Ket K' sont les hombres entiers de fois l'epaisseur optique 20/4. N o u s utiliserons le Tableau I pour illustrer les resultats generaux que nous avons obtenus ~ partir de plusieurs calculs sur des filtres doubles P e r o t - F a b r y pour lesquels nous avons fait verier les valeurs de u, v, x, y e t de K ou K'. Pour la premiere pattie du filtre constituee par un miroir ~ haut pouvoir reflecteur, nous n ' a v o n s pas de differences entre les deux procedes de simulation, c o m m e nous venons de le voir dans le paragraphe precedent. Pour la deuxieme partie du filtre (miroir M,,). lorsque les valeurs de v e t de K sont superieures ~t celles qui sont portees dans le Tableau I les differences entre e iet e i' sont peu importantes pour les premieres couches mais s'accroissent lorsque le h o m b r e de couches augmente. Cette difference est d ' a u t a n t plus importante que la valeur de K est elevee, c'est-a-dire que la bande passante du filtre P e r o t - F a b r y est etroite. Pour la troisieme pattie du double Perot Fabry, la difference ej - e g ne fait que cro]tre et dans certain cas, si nous cherchons pour differentes valeurs de e~ ou de e~' la quantite dT/d2 = 0 ou a I = 0, il est impossible de la trouver : il y a perte de contr61e avec ces criteres d'arret. C'est ce qui se passe pour la couche 16 du filtre M 5 8B M 5 I B M 5 8B M 5 (Tableau I) lorsque l'amplitude du balayage A20 est de 50 A. Nous verrons ulterieurement que nous pouvons q u a n d meme continuer a realiser le filtre condi.tion de changer de critere d'arret. Enfin pour la derniere partie du filtre, les differences tendent fi diminuer tout en restant relativement importantes. N o u s avons etudie plusieurs types de filtres double P e r o t - F a b r y avec des valeurs de u, v, x, y, K et K' differentes, mais nous retrouvons, quelque soit le type d'erreurs introduites, des resultats semblables quant fi l'evolution de la quantite e i -- ei""

146

J.M. SAUREI.

5.3. Chan gement de criN, re d'arrdt. d 77d/,, m i n i m u m el a 1 minimum N o u s a v o n s vu q u e d a n s la troisi6me partie d u filtre il 6tait i m p o s s i b l e de t r o u v c r p o u r A.,:,o = 50 /~ u n e v a l e u r de e, ou e[ telle que d T d , ~ ou a 1 soienl nuls. Si n o u s a r r E t o n s le d e p 6 t l o r s q u e d T / d 2 ou a 1 s o n t r e s p e c t i v e m e n t m i n i m u m , n o u s n ' a v o n s plus u n e perte de contr61e et n o u s p o u v o n s c o n t i n u e r ~'~raaliser le filtre. Le proced+3 d ' u t i l i s a t i o n du m a x i m ~ t r e c h a n g c : ce n'est plus un zero qui sera rcpbr~ mais un m i n i m u m , ce qui c o r r e s p o n d t't une lk>nction de T(). o, ei) t o u j o u r s c r o i s s a n t e ou d,Scroissante. D a n s ces c o n d i t i o n s n o u s n ' a v o n s j a m a i s rencontp5 des cas o0 il est irnpossiblc dc finir ie filtre fi cause d ' u n e perte dc c o n t r 6 1 c la l o n g u e u r d ' o n d e )-o c o r r e s p o n d a n t au m a x i m u m de T().) q u a n d le filtrc est fini est assez voisine de ";~o p o u r laquelle le filtre avait ere pr6vu, ke cas le m o i n s i n t e r e s s a n t est o b t e n u t o r s q u e l ' e r r e u r sur la d e u x i 6 m e t o u c h e m 6 d i a n e d u d o u b l c Parot F a b r y d o n n c un m u l t i p l e i m p a i r de ) . . ' 4 : d a n s ce cas T(.,:) d i r n i n u e c o n s i d a r a b l e m c n t . D ' a u t r e s r c m a r q u e s p e u v e n t Otre failes sur toutes les calculs ex6cutcs p a r o r d i n a t e u r . 5.4. R61e de la dLv)ersion N o u s r e t r o u v o n s en c a l c u l a n t a 1 0 F i n f l u e n c e de la d i s p e r s i o n des indiccs~ l o r s q u ' o n d(?pose Its premid~rcs c o u c h e s d ' u n miroir. La dissym~tric de T(,; t, e,) es! i n t r o d u i t e par le factcur n i qui est de la l\)rme n, -- .d~ + B,,,;~: + ('i/'.'* a~.ec ;. = ).,, + k). 0 sin2r~Nt. Les v a l e u r s de .41 . B 1 et ('1 p o u r le Z n S sont cclles d o n n c e s par Schroedcr5 : .41 = 2.2105

B 1 - 3,8708 × 10 ~'

('l - 1.5361 × 101"~

La v a l e u r dc e~ trouv&e c o r r e s p o n d bien ~'t celles calcul,Ses par la m o t h o d c en dT:d,;. = 0. Si n o u s d o n n o n s des v a l c u r s r e l a t i v e m e n t g r a n d e s ;t A). o de l ' o r d r e de 200 o u 300 ~ . les ei et e,' calcules r e s p e c t i v e m e n t avec d T/d,;. - 0 el a~ = 0 difl'Orenl de q u e l q u e s milli6mes. C c p e n d a n t . l o r s q u e n o u s faisons Ic calcul avcc d T d , : . = 0, la d i s p e r s i o n i n t c r v i e n t Iors de la r~3alisation des p r e m i e r e s c o u c h e s mats n ' i n t e r v i c n t plus p o u r t o u t e s les a u t r e s c o u c h e s du fittre. L o r s q u c n o u s faisons le calcul avec la s6rie de F o u r i e r ct les coefficients a 1, n o u s a v o n s p o u r les c o u c h c s du d e u x i b m e et s u r t o u t t r o i s i a m e m i r o i r d u d o u b l e P6rot F a b r y des ,Spaisseurs o p t i q u e s qui sont diff6rentes de celles trouv~cs avcc d T d,;. - 0: d a n s cc d c r n i e r cas. les 6paisseurs o p t i q u e s sont tras voisines de ;.o/4. Le T a b l e a u III diff6re du T a b l e a u I car n o u s n ' a v o n s pas i n t r o d u i t ici une e r r c u r s y s t a m a t i q u e sur les c o u c h e s de bas i n d i t e . I1 d o n n e les 6paisseurs o p t i q u c s c, ct ~,~ cn u n i t 6 s ) . o / 4 p o u r les c o u c h e s 10 "a 18 d u filtre M s 8B Ms B M s 8B M 5 l o r s q u e n o u s u t i l i s o n s les crit,Sres d'arr~St d T/d), = 0 et a~ = 0 avec plusieurs v a l e u r s de A) o. P o u r u n e a m p l i t u d e de b a l a y a g e de 10 ~. le calcul par la s6ric de F o u r i c r d o n n e le m 6 m e resultat que lc calcul avcc dT/d)., mats les bpaisseurs e~' d e p e n d e n t ~t n o u v e a u de la d i s p e r s i o n des indices p o u r des a m p l i t u d e s plus ~51evces (50/~ ou 150 A). l1 est i m p o s s i b l e de pr~-voir d ' u n e fac.'on gand~ralc l'influcncc de la d i s p e r s i o n des indices mats le calcul m o n t r e q u e c c i t t influence n'est pas nagligeable. Enfin s i g n a l o n s un rcsultat quc n o u s a v o n s v,Srifib 5_ c h a q u c calcul. L o r s q u e la l\mction H = ?ei 1d22 L.,

147

ANALYSE DU SIGNAL DONNI~ PAR UN MAXIMI~TRE

TABLEAU III EPAISSEURSCONTRt~LI~ESPOUR LES COUCHES l 0-18 PAR LES DEUXCRITI~RESD'ARRETS NurnOro de couche

10 11 12 13 14 15 16 17 18

dT/d2 = 0 ou s~rie de Fourier avec A2o = I O A

Sdrie de Fourier

A2o = 5 0 A

A20 ~ 150

0,996 1,002 0,997 1,002 0,998 1,001 0,999 0,999 8,008

0,998 1,004 0,999 1,002 1,004 0,980 1,055 1,073 7,960

1,009 1,002 1,026 0,950 0,951 1,055 0,977 1,042 7,976

Filtre du type M 5 8B M s B M 5 8B M 5.

prenait des valeurs importantes, les erreurs Ae~ = eoi-e~ et Aei' = eoi-ei' 6talent tr6s 61ev6es avec, g6n6ralement, Ae i tr6s diffbrent de Aei'. 6.

AMPLITUDE RI~ELLF DU SIGNAL DONNE PAR UN MAXIMI~TRE CHROMAT1QUE

Cette 6tude consiste fi d6terminer l'amplitude du signal donn6 par notre appareil de mesure lorsque nous contr61ons un empilement de couches minces. Pour chacune des couches nous comparons les valeurs de ces amplitudes obtenues avec les deux proc6d6s de simulation qui utilisent respectivement le critbre dT/d2 = 0 e t a I = 0. Sur le Tableau IV nous avons port6 les valeurs maximales des amplitudes du signal donn6 par chacun des proc6d~s de calcul, ceci pour un filtre type double P6rot-Fabry fi 23 couches: M5 8B M 5 B M 5 8B M 5. Nous indiquons 6galemen't pour chaque couche de rang i l'6paisseur eM~qui correspond au maximum du signal. Nous avons aussi compar6 les amplitudes du signal lorsque l'6paisseur de la couche est tr6s voisine de l'6paisseur e0i souhait6e pour laquelle le signal est nul. Cette 6tude a 6t6 faite pour diff~rents types de filtres, ce qui nous a permis d'en tirer quelques conclusions g6n6rales.

6.1. Etude comparative des maxima du signal Sur le Tableau IV nous avons port6 les valeurs des signaux al/A et dT/d2 maximum, ainsi que les 6paisseurs e i et e/correspondantes lorsque nous donnons au balayage A2 deux valeurs diffb.rentes, soit A21 = 50 A et A)~2 = 10 A. A partir de ces r6sultats nous avons d6termin6 le rapport ali(A21) kMi - -

aa/(A22)

ou all(A21) est proportionnel/t l'amplitude thOorique du signal donn6 par la sOrie de Fourier lorsque le balayage est de 50 A et ali(A22) est proportionnel ~ l'amplitude theorique du signal lorsque l'amplitude du balayage en longueur d'onde est de 10 A.

148

J.M. SAUREL Sur le Tableau 1V nous avons egalemenl calcuK" la valeur kM, avec ~1 l i ( A ) ~ 1 )

kM,'=

AX27(-dT::d2L,

Rappelons que dans tous cos calculs nous avons pris pour .4 l|'onclion d a p p a r c i l du monlage) une font(ion inddpendanle de .;.. N o u s constatons quc pour un miroir les (:paisseurs eMe pour lesquelles le signal i du maximetrc est m a x i m u m son( pratiquement les m~?mes quelque soit lc proc~?dc dc calcul, k M i e s t voisin de 5 si nous prenons A,;. I = 50/~ e t A } . 2 = 10 ~. e l kM," ~. 1, Lorsquc nous realisons les filtres interfdrentiels, nous oblenons tes me-rues r~?sultats quc prdct}demment pour le premier miroir, mais pour Its aulres parties du double Pdrot Fabry les valeurs A2/~dT d). et a~ 4 nc sont plus Its mdmcs pour une mdme amplitude de balayage. T A B L E A U IV A M P L I T U D E DU SIGNAL MAXIMUM ET EPA1SSEUR 1)I~POSF~t" ( O R R E S P O N D A N l k

Num&'o de

d T:d,:.

S&'ie de Fourier

kM,

kw

touche

eM,

A~;,0 = 50 A

('Mi"

A). I -- 5 0 4

fMi

A), 2 -- 10 A

2

0.63 0.69

0.61 × 10 ~ 0,38 x 10 2

3 4 5

0,29 0,65 0,19

0,24 x 10 0,43 x 10 0.22x10

0,59 0,65 0.29 0,65 0,19

0,61 0.39 0,24 0,43 0,22

0,59 0,67 0.29 0,65 0.19

0 . 1 2 × 10 0,85 x 10 0,49 x 10 0,84×10 0 , 4 5 x I(I

e ~ : ~ 2

5,08 4,59 4.90 5.12 4.90

6

7.35

0.18 x 10

7,35

0,18 × 10

7,35

0 . 3 5 × 10 e

5.15

0,82 0,37 0.75

0.25 0,14 (I,13 x 10 l

(t,21 0.11 0.57 0,20 0,56

0.80 0.37 (I,75 0,42 0,55

0,49 × 10 0 , 3 0 x 10 0,25 0,12 0.45

4,2tl 3.93 2,28 1,60 0,84

0,84 0,79 t),44 0.30 0,20

0,52

0.16

0,38

0,06

M u 1

x × x x x

10 z 10 a 10 10 10

M v

10

0,42

0,65

II

0,60

0,27 x 10 ~

0,77 0.39 0,57 0,52 0,29

12

0,52

0,11 x l 0 ~

0,60

0,66 × I 0

13

0,32

0,24 x 10 ~

14 15 16 17

0.60 0,22 0,62 0,17

0.45 0,85 0,72 x 10 0,13

0,19 0,65 0.19 0,77 0.10

0,90 x 10 0,12 x 10 0,81 x 10 0,20x10 0,54 x 10

-" : z 3

0.29 0.60 0,19 0,65 0,17

0,30 0A9 × 10 0,89 x 10 0,72x10 0 , 1 0 x 10

0.30 0,24 0,10 0.28 0.05

0.37 0,03 0.01 0,03 0.04

18

7,46

0 , 1 3 x 10 2

7,33

0 , 1 4 x 10 2

7,35

0 . 1 0 x 10 :

1,36

I

My 19 20 21 22 23

0,82 0,37 0,77 0,39 0,67

0 . 5 0 x 10 0,30 x 10 0,38 0,2(I 0,10 x 10

0,80 0,37 0,77 0,47 0,42

0,14x10 0,10xl0 0,61 x 10 0,28 x 10 0,72x10

0,82 0,36 0,80 0,39 0,67

0,14xl0 ~ 0,88x10 2 0,11 0 , 6 2 x 10 ~ 0,37

I 1.14 {).55 0,45 0,19

0,28 0,33 0,16 0,14 0,07

7 8 9

M x

~ t ~ 1 ~

ANALYSE DU SIGNAL DONNI~ PAR UN MAXIMI~TRE

149

Pour la deuxitme partie du double Ptrot-Fabry, le signal i(2, e i) augmente lorsque le hombre de couches augmente mais la valeur du signal donnd par la strie de Fourier est moins importante que celle donn6 par le calcul avec A2odT/d2. Cette diff6rence s'accentue lorsque le nombre de couches augmente; elle devient tr6s importante pour les couches des troisitme et quatri6me parties du double Pdrot-Fabry. Mais le rtsultat le plus important est donnb par l'6volution de i Men fonction de Famplitude A2 o de balayage. kMi diminue fortement et passe de 5 pour les couches du premier miroir fi des valeurs inftrieures a 0,05 pour les couches du troisi6me miroir. Sur le Tableau IV nous voyons que le rapport des amplitudes des signaux simul~s par la s6rie de Fourier est trts voisin du rapport des amplitude de balayage: A21/AX2 = 5 pour la premiare partie du filtre, c'est-fi-dire lorsque nous rtalisons un miroir ~ haut pouvoir r6flecteur. Ce rapporl ne se conserve pas pour les couches des autres parties des filtres doubles Perot-Fabry. Ce calcul montre aussi que pour contr61er certaines couches d'un filtre fi bande passante ttroite il faut utiliser une amplitude de balayage A2 faible, ce qui est contraire au resultat 6vident du calcul en A2odT/d2 puisque le signal i est proportionnel h A).o. Par exemple, la couche 17 est une des couches pour laquelle nous avons lorsque A2 o = 10 ~ une amplitude du signal 18 fois plus importante que pour A2 o - 50 A. Quelques explications permettent de comprendre ce resultat lit au mode de calcul de al. Lorsqu'on contr61e des couches appartenant au deuxidme miroir du Pbrot-Fabry ou au troisieme et quatrieme miroir du double Parot-Fabry, la bande passante 62 de l'empilement a dtjfi une valeur assez faible puisque le filtre est en cours de formation; cette bande passante diminue pour les dernitres couches des miroirs. Dans le calcul du terme fondamental de la serie de Fourier, l'inttgrale du produit T(2 o + A2o sin 2reNt)sin 2~Nt sur une ptriode dapend principalement des valeurs de T(2 o + A 2 o sin 2~Nt) au voisinage de 2 = 2o + A 2 o. Par contre cette int6grale ne d6pend que trbs peu de T(2 o + A2o sin 2gNt} lorsque 2gNt est voisin de K~. Pour un filtre ~ bande passante 62 6troite, si A2 o est suptrieur h 52, T(2 o-+A2 o) aura une valeur trbs faible et l'int6grale a 1 correspondant au signal observ6 sera tr6s faible. Par contre, si A2o < 6)., T0,o -+ A).o) ne sera pas ntgligeable et le signal al donn6 au maximbtre sera beaucoup plus important que celui donn6 pour A2 o > 62. Afin d'illustrer ces rtsultats, nous avons tract sur une m6me figure (Fig. 1) les courbes donnant les amplitudes th~oriques des signaux calcults par les deux proctdts de contr61e, ceci lorsque nous d6posons la neuvi6me couche d'un empilement Ptrot Fabry. Le crit+re dT/d2 = 0 simule donc un meilleur signal, puisque les ordonntes correspondantes sont plus grandes; le crittre a I = 0 simule une sensibilitt moindre; mais l'exptrience donne le signal nul pour al = 0. En conclusion nous pouvons montrer que certaines couches d'un empilement sonl beaucoup plus difficiles a contr61er que ne laissait prtvoir une simple simulation avec le critbre A2odT/d2, car Famplitude du signal donn6 par un maximttre est trts faible comme le montrent nos exptriences. Cependant, si nous voulons obtenir pour toutes les couches du filtre fi rtaliser une tr6s bonne amplitude du signal donn6 par le maximbtre, nous devons contr61er

150

J. M. S A U R E I .

les premieres couches de l ' e m p i l e m e n t (le p r e m i e r miroir) avec unc a m p l i t u d e dc b a l a y a g e en l o n g u e u r d ' o n d e A)~ assez grande, de 50/~, ~. 100 ~,. Le signal simule par la serie de F o u r i e r est alors egal au signal simule avec d T / d 2 ; dens ce cas l ' a m p l i t u d e du signal est p r o p o r t i o n n e l l e "a A), o. P o u r les autres miroirs du d o u b l e Perot F a b r y . le calcul m o n t r e que nous avons un bien meilleur resultat si A20 est faible. 11 est d o n c s o u h a i t a b l e , p o u r c o n t r e l e r un filtre d a n s les meilleures c o n d i t i o n s possibles, de faire varier l ' a m p l i t u d e A),o du b a l a y a g e sur le m a x i m e t r e et d'utiliser celle qui convient p o u r chacune des parties de l'empilement b r6aliser. i (e i ) 14

en v,,,,~e arb~tr~bre

c o u c h e

n° 9

dT ,,

,

d ; "A+'0

10

'

v' cz~

I ""\

//

I \ xI

\ ! 02

04

06

C O L~r [3 e

08

ei

. ~ / '}. 4

I1°- 1

Fig. 1. Amplitude du signal simule par la serie de Fourier en trait interrompu el amplitude du signal simule par le calcul de k2 o d T/'d). en trait plein pour la neuvieme couche d'un empilement type M ~8B M B M s 8B M s lorsque A,:.o = 50 A. 7.

CON('LUSION

Jusqu'fi present le calcul p e r m e t t a n t de d e t e r m i n e r le signal d o n n a p a r un m a x i m e t r e (et plus generalement tout p r o c e d e de s i m u l a t i o n de contr61e dc couches minces multidielectriques) se faisait fi partir de l'+tude de la q u a n t i t e d T,,d,~.. Celte m e t h o d e est generalement valable p o u r la realisation de miroirs fi haul p o u v o i r reflecteur mais ne c o r r e s p o n d pas a une realite e x p e r i m c n t a l e lorsquc nous contr61ons des filtres interferentiels a b a n d e passante tres etroite. Lors de la realisation de ces filtres, l ' a m p l i t u d e du signal i()~, ei) c o r r e s p o n d d a v a n t a g e ~i une valeur p r o p o r t i o n n e l l e ft. a~ d o n n e e p a r le d e v e l o p p e m e n t du terme f o n d a m e n t a l d ' u n e serie de Fourier. Si le m o d e l e p r o p o s e avec le calcul de a 1 n'est pas encore parfait, il cst de loin une bien meilleure a p p r o c h e de la realite e x p e r i m e n t a l e que ne peut l'~tre le calcul avec dT/d;*..

ANALYSE DU SIGNAL DONNI~ PAR UN MAXIMETRE

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N o u s avons pu ainsi voir qu'il 6tait tres difficile de contr61er un filtre avec un n o m b r e de couches tr6s i m p o r t a n t car les signaux vus au m a x i m a t r e deviennent tr6s faibles, c o n t r a i r e m e n t fi ce que p r e v o y a i t l'6tude de dT/d2. C e p e n d a n t un b o n choix de I ' a m p l i t u d e A2 o du b a l a y a g e anaeliore c o n s i d e r a b l e m e n t Futilisation du maximbtre. D ' a u t r e part, nous avons pu voir que, quelque soit le type des erreurs c o m m i s e s en cours de m a n i p u l a t i o n , le filtre peut 6tre generalement fini d a n s de bonnes c o n d i t i o n s si nous p r e n o n s c o m m e critere d ' a r r e t non pas dT/d), ou a 1 = 0 mais dT/d2 ou a~ minimum. I1 est aussi trbs interessant d ' a v o i r pu chiffrer l'influence sur le c o n t r e l e des couches de la dissymetrie de T().) et de voir "a quel niveau elle intervenait. I1 est c e p e n d a n t ditficile de generaliser rigoureusement t o u s l e s resultats o b t e n u s : il faut faire une etude p o u r chacun des types de filtre 'a preparer. Enfin ce travail m o n t r e que, si nous v o u l o n s faire une simulation prbcise de l'exparience p o u r contr61er certain filtre interferentiel, l'etude de d T / d 2 ne suffit plus et une analyse p a r la sarie de F o u r i e r devient indispensable, car si une 16gere erreur de realisation des filtres interfarentiels ou marne l'influence de la dispersion des indices i n t r o d u i s e n t une dissymetrie de T(2) les quantit6s dT(2, ei)/d2 e t a 1 ne s ' a n n u l e r o n t pas p o u r les mames valeurs des p a r a m e t r e s 2 ou e r T o u t e experience qui serait basee sur un calcul s i m u l a n t la f o r m a t i o n du filtre en s u p p o s a n t que le critere d ' a r r a t est d T / d 2 = 0 serait tres difficile a realiser avec un m a x i m 6 t r e chromatique. REFERENCES 1 2 3 4 5 6 7

P. Giacomo et P. Jacquinot, J. Phys. (Paris), 13 (1959) 59. M. CandilleetJ. M. Saurel, Nouv. Rev. Opt.,4(5)(1973)287 295. P. Bousquet et P. Roche, Nouv. Rev. Opt., 2 (1) (1971) 35-42. M. Candille, Thin Solid Films, 51 (1978) 219. D.J. Schroeder, J. Opt. Soc. Am., 52 (1963) 1380. J.M. Saurel, ThOsed'Etat, Montpellier, 1975. F. Abeles, J. Phys. (Paris), 19 (1951) 327-334.