Anwendung eines “elementen-methode” -programmes zur losung von temperaturverteilungsproblemen

'x'LCLF.~R .~NGIN}iERING t~ND DESIGN ~5 ~ 97t ¢ 5-~--64 NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY

.~.N~'~ENDI2~G EINES ~'£LE.%¢ENTEN-Y, t E I I I O D E " - P R O G R A M M E S ZUR L O S C N G VON T E M P E R A ' I U R V E R T E I L U N G S P R O B L E M E N ~1r

alep ,~'~m C IL~S'I"AN

5;,: ~Tv. ,. ~z,'~sc ~e f: ~'~~:r~z'~t~ts. u ~ d | 'eekehr~geselhchaft.

B a s e l S~c~tzer~and

Re~e~v~ 23 l~ly 1970 A ~,r:~:pz~er pregr~_,r: ha~ been de~ e~oped ah~ch can ~31ve 2-or J-dimensmnal structural pzobtems and general bc,~r,~ar? ;2.~e p r v b i ~ s ',:;r scaia: a_~.~".ector f:etds, based on ~he finite elemenl lechniques. a s an exampie vf ,:s a~phcat,cn :o ,~atar fields, heat conducl~on problems for isotropic and a n i ~ t ~ o p i c bodies ~;e ; : e a ~ e i l: ~ z~sc' &~c,~r, : i ~ ',he finite element method does not require the existence of a variational prir, ciple a~d :at. ~ zpg,;ie~ a zc ~c~-.,? .'= me~ric problem~ like temperature distributions in s!o~ly moving ,quids or to nonlinea~ Vr:.,~.!er,,, ii~:e -e~,peral~re ~.:_~r:b.~.~n~ m :- ~ I i d wi~h temperature dependent ~hermal conduclV,qt}

I £inleit ung Dur:L. den [i=_~azz ,'or~ G r o s ~ m p u t e r n und die ~.n, ~,~,~,;n~: ~o,s ieg~un~fS.higen Programmen k6nhen he'~ze ,:omp~ex, P,andwertauf~aben der Physik ur~d Ingenie~r~,'isser~sc~hzf~en numerisch gel~sst werden. .A~fcer r.: .... :,~.r~-: ~e.h~e (E..M.) basierende Pr%Tamme ~--zber~sich als ein interessantes Instrument er;~ iesen. ,&s :ic!": f~r die Auto~tisierung gut eignet . . . . . . . . . . . . . .,~,,, e~mneer~ng, _ vielSpielraumlgsst. g,:e a,r',e-.~u-,g der £iemenr.er~-Methode auf Statikpr~?51err.~e ~Elastiyi'-itstheorie) wird in vielen Publika~ignen behandel~ z.B. It, 21. Das enwickelte Programm kac,.n so~uhi zur L6sung yon Noblemen der Kor~tinuumseiasw~sta~f~:, als auch aHgemein zur gesung v,~r~ ~.andwertaufgaben verwendet werden. Als Be/spiel ktzterer im Falle skalarer Felder werden ;~,ar.me~e~tun'z,.prvbleme besprochen. Fiir die An~vendur.,g der £..~.~,. a af Progleme der Warmeleitung sei aach auf {I O] hingev,iesen.

2 Voraussetzungen der Methode Die E.M. ba~ert in i._hrerilblichen Darstellung auf dem~etben Prinzip wie das Ritz'sche Diskretisationsverfahren, wobei die Ba~isfunktionen nur in einem endiichen kteir~en Raum (Element.) yon Null ver-

schieden sind. Es wird im allgemeinen angenommen. class die Anwendung der E.M. die Formulierung des mathematischen Problems als Variationsau fgabe vorausse~zt. Im Abschnit~ 8 gehen wit auf diese Frage na~er ein und zeigen, dass die E.M. allgemein zur L6sung yon Randwertproblemen verwendet werden "kann, unabh~ngig yon der Existenz eines Variationsprinzips (dazu siehe auch [3] ). Ein diskretisienes System, das sich aus einer Variationsaufgabe ablei~en l~sst, ist aUerdings oft leichter 16sbar. da damit die Symmetrie und positive Def'mitheit der Matrix verkniipft ist. Wir behandeln deshalb in den folgenden Abschnitten zun~chst Randwertprobleme, die sich in Variationsprobleme umwandeln lassen, Viele Probleme der mathematischen Physik lassen sich direkt als Variationsprobleme darstellen, wot~ei es dann zur L6sung mit der E.M. nicht nStig ist, sie in Randwertaufgaben mit partiellen Differentialgleichungen ~iberzuftihren. Als Beispiel sei wieder die Elastizitfitstheorie erwghnt, in welcher als Variationsintegral die potentielle Energie des Systems genommen werden kann (Verschiebungsmethode). Umgekehrt k6nnen aber als Randwertaufgaben formulierte Probleme, wenn bestimmte Bedingungen erfiillt sind, in Variationsaufgaben umgewandelt werden. Bei linearen Differentialgleichungen gelingt dies, wie noch erl~iutert wird, wenn sie selbstadjungiert sind,

55

V. Crastan, L6mng yon Temperatur~'erteilungsproblemen

3. Beziehung zwischen Variationsproblem und Randwertproblem Im folgenden seien Variationsprobleme 2er Ordnung mit einer abh/ingigen Variablen betrachtet. Analoge UeberlegungeP lassen sich fiir eine h6here Ordnung und for mehrere Variablen anstellen. Unser Problem lautet: P

J = ] f ( x i , u , u i ) d V + ,.~g(x i, u) dS ~ Extr. v S

(l)

es in ein Variationsproblem umgewandelt werden. werm es gelingt-Funktionen f u n d g zu finden, die die Aequivalenz des Problems mit den Gin. (3~ und (4) nachweisen. Ftir lineare Differentialgleichungen k6nhen die Bedingungen for diese Aequivalenz ieicb.t pr/izisiert werden. Es l~isst sich n~imlich zeigen, dass selbstafljuogierte Probleme in die Form (3 L ( 4 gebracht werden k6nnen [6-8]. Die allgemeine Form eines selbstadjungierten Problems 2er Ordnung lautet:

2(

Lu=

Die notwendigen Stetigkeitsbedingungen seien ftir die im Gebiet V mit Rand S def'mierte Funktion u(xi) und ihre Ableitungen u i erfiillt. Man gem ausserdem davon aus, dass das Extremum existiert. Durch einige Umformungen [4, 5] kann die Variation des FunXtionals J folgendermassen geschrieben werden:

f[

a-ta.+gguj .ds=o.

aui

t2)

in I/ ,

u = .¢

•

aufS t

Ou + a/k ~ x k a~ = e

(6)

aufS 2.

Man kann GI. (5) swnbolisch folgendermas~n schreiben: - div (A • grad u) + ct/= h .

worin a i die Richtungskosinus der/iusseren Normalen des Randes darstellen. In GI. (2) und im folgenden wird die Summationskonventior. des cartesischen TensorkalkiJls bet ~tzt (kornmt ein Indizes in einem Term zweimal vor, wird i~ber diesen Indizes summiertL Aus GI. (2) folgen: (a) die dem Variationsproblem entsprechende Euler - Langrange'sche Differentialgleichung

8u i~u ~ ~ cu 2 f= ½a/k ax k ax] 2

=

0

in V:

(71

worin A die Matrix alk darstellt. Der Vergleich der Gin. (5), (6) mit den Gin. I3). (4) l~sst die Aequivalenz des Randwertproblems mit dem Variationsproblem (1) erkennen, wobei _ hu

=L~radu.A.~radu+~cu 2-hu -

(5)

mit a/k = ak/,L = linearer Differentialoperator. und den Randbedingungen

au

+

Ou)

v

~

*

(3)

g = l 2 at/2 _ el/. (b) die nati~r!ichen Randbedingungen af ai +au ag = 0 au--/

auf ~2 ,

Das Variationsintegral eines linearen selbstadiungierten Problems 2er Ordnung ist somit (4) J=

wobei S 2 jenen Tell des Randes darstedt, fiir den keine Zwangsbedingungen formuliert werden. FOr den restlichen Teil des Randes mit Zwangsbedingungen ist 8u = 0 und GI. (2) somit erfiillt. Ist das zu 16sende Problem nicht in der Form der GI. (I), sondern als Randwertaufgabe gegeben, kann

gradu 'A • gradu * ] cu 2 - hu] d|"

+ y[~ ml- - eu] clS. S

(8)

V. Crastan, L6sung yon Temperaturverteilungsproblemen

56

K}7)= f

4. Die Elementen-Methode

(grad~'i" A " grad ai + ° t i a f ) d V

V(e) Man teilt das Gebiet V in Elemente auf, z.B. in Tetraeder, und drtickt for jedea Element (e) die gesuchte Funktion u(x i) in Abh~ingigkeit der Knotenwerte uj des Elementes mit Hilfe von Funktionen o~}e) (xi) aus, nach dem Ansatz

u(e)(x) = (~.~)(x i) . u/ .

(9)

Die Funktionen a) e) sind nut im betreffenden Element verschieden yon Null. Die Approximation (9) ist umso besser, je kleiner die Elemente und je realistischer (komplexer) die Funkti~nen o~i gew~ihlt werden. Beide lrxfordernisse erh6hen anderseits den Rechenaufwand. Ueber Wahl und Berechnung yon a l, die bestimmten Konvergenz- und Kontinuit/itsbedingungen geniigen soil, wird im Anhang berichtet. Zur Losung eines selbstadjungierten Problems 2er Ordnung wird tier Ansatz (9) in GI. (8) eingesetzt. Das Funktional J wird eine Funktion der Knotenwerte u/, wobei jedes Element (e) dem Variationsintegral folgenden Anteii beisteuert:

s'~) :,,,~,j.

f

"

v(e)

s(e)

Durch Superposition der Elementenmatrizen [K~ )] zur Systemsmatrix, folgt aus den Gin. (I 1), (I 2) folgendes lineare Gleiehungssystem in Matrix-Form K . ~ .- P = O",

K = [Kii] = [£(e)K ii(e) I ;

~ = {,,.,~;

P={F) = {x(0)~°)}.

5. Stationfire Temperaturverteilung in isotropen K6rpern mit verteilten W/irmequellen Der W~irmequellenstrom sei yon u = k(:,:? [rq(X? - r l

(grad c~i -A .grad a/) d V

(14)

(is)

V (e)

ausgedrtickt, worin Tq = Quellentemperatur. Die Differentialgleichung f'tir den statiomiren Zustand lautet

+",~i-~ f ~;~.cdV-,,j f ~/,dV l,' (e)

V (e)

- div (X grad T)= k(Tq - T ) ,

+,,,~,j. } f a,,,~jas - ,. f e,~j0S. s~ )

(16)

(10) worin

s(2e)

X(xi) = W~irmeleit f'ahigkeit. Die Extremalisierung des Variationsintegrals fordert for aile nicht einer Zwangsbedingung unterworfenen Knotenpunkten

au i

t_=t(e) Ouj

"

(ll)

mit

K!e) u i II

F(ie)

T = ~0(xi),

(17)

w~ihrend auf der restlichen Randfl~iche S 2 folgende Randbedingungen gelten

Aus GI. (I O) folgt M re) ~lt . I

Auf der Randfl/iche S 1 sei die Temperatur vorgegeben (Zwangsbedingung)

(12)

0T aT+ ~, ~n = e . Wie der Vergleich yon GI. (16) mit G|. (7) zeigt,

(18)

V. Crastan,Ldsung von Temperaturverteilungsproblemen

57

_ i(e). grad ~ e ) . K~e) = ~" V (e) grad ¢x

handelt es sich um den Spezialfall A = ~," E, c = k, h = kTq. Aus GI. (8) folgt das Variationsintegral

~ e ) = O.

(22)

k(grad r ) 2 + } k r 2 - kTqTldV

s=

In letztem Fall hutet das Gleic~ungssystem (14)

v

+ f [½a r 2 -eTldS.

(19)

KiiTi = 0.

82 (i = l . . . . n); Die Koeffizienten des linearen Systems sind gem~ss GI. (13):

K~ ) = f [~ grad ¢~i-grad ~/+ v(e)

kotioti]dV

+ f a~eldff;

[j = 1 . . . . . (n - m)] ,

wobei n = Gesamtknotenzahl und m = Anzahl Randfl~ichenknoten mit vorgegebener Temperatur, Nennt man T k diese vorgegebenen Randtemperaturen, folgt sehliesslich

KOTi=C/,

[i,/= 1. . . . . (n - re)I,

s~o) rrfit

p~o= f./kr4,v ÷ f v(e)

(20)

s~e)

q - _%r

Die Randbedingungen (17) und (18) erlauben, folgende Oberfl/ichenverh/iltnisse zu berticksichtigen: (i) vorgegebene Temperaturverteilung, (ii) vorgegebene W/ifmestromdiehte -X(aTDn), (iii) W/irmetibergangsverh~iltnisse nach der Gleichung

-

3, aT ~n = ~ ( T - To),

wo z.B. T o = Temperatur des Kiihlmittels und /] = W/irmeiibergangskoeffizient. Betrachtet man den Spezialfall: (i) linearer E.M.Ansatz, (ii) vorgegebene Temperatur oder kein, W/irmeaustauch (aT/an = 0) auf dem ganzen Rande, folgen aus GI. (20) die einfacheren Formeln

K(i/e)= ~ ) r (e) grad u-(O i .grada~e)+

f

6. Station~re Temperaturverteihng in anisotropen K6rpern In einem lokalen Koordinatensystem (xi), mit Koordinatenachsen, die den Hauptrichtungen der Anisotropie entsprechen, lautet die Differentialgleichung - div (A' • grad T) = k(Tq - T),

~x'

0

l

(24)

I

0

worin X~) = mittlere Leitf/ihigkeit des Elementes. Die Integralterme von Gl. (21) vereinfachen sich, wenn die Quellen stabf'6rmig oder punktf6rmig konzentriert sind. Fiir den homogenen quellenfreien KSrper erh/ilt man schfiesslich

0

;~'t' 0,

k~/dV;

(21)

(23)

worin

A, = 0

v(e) Fj(O= f cllkTqdV, V(e)

k.

0

Xz,.~

den Leitf~igkeitstensor des anisotropen KOrpers darstellt. Der Uebergang zum allgemeinen Koordinatensystem mit der Koordinatentransformation x] = ti/x ~. welche wenn n6tig auch individuell pro Element festgelegt werden kann, liefert - div (A -grad T) = k(Tq - T).

(25)

V. Crastan, L6sung yon Temperaturverteilungsproblemen

58

Der Tensor A wird nicht mehr durch die Hauptrichtungen ausgedriickt, ist aber weiterhin syrnmetriseh. Der Vergleich mit GI. (17) zeigt die Aequivalenz A = A, c = k, h = kTq, womit Variationsintegral und Koeffizienten yon analogen Ausdrtieken zu den Gin. (8), (13) gegeben sind Man hat hier den allgemeinen Fall eines selbstadjungierten Problems 2er Ordnung.

(29) g(e) Analog zu G1. ( 1 4 ) erhfilt man sehliesslich d~ K'T +L " - ~ ' - P = 0 ; - (e) 1

L = [Lt/] = [ : ~ ( o ) " o ,

Die instation~ire Gleichung des W/irmeleitungsvorgangs lautet" (26)

mit c(xi) = thermische Kapazit/it. Betrachtet man im Zeitpunkt t die Ableitung aT[at als gegeben, so unterscheidet sich das Temperaturverteilungsproblem yon dem im Abschnitt 6 formulierten einzig dadurch, dass [kTq - c(aT/at)l an Stelle yon kTq tritt. Dementsprechend wird im Variationsintegral ein zus/itzlicher Term

Jt = f c --~. aT TdV

(30)

Das instationfire Problem ist damit aufjenes der l_.6sung emes Systems yon gewShnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zurtickgeffihrt.

7. lnstationfire Temperaturverteilung

aT = k t r q - r ) , - div (A • grad T) + c -~

•

(27/

8. Existenz des Variationsproblems und Anwendbarkeit tier Elementenmethode In den Abschnitten 5 bis 7 wurde stillschweigend angenommen, die Leitf/ihigkeit sei temperaturunabh/ingig. In vielen F/illen kann diese N/iherung zu grob sein. Wir schreiben nun die allgemeinere nicht-lineare Differentialgleichung: - div [X(T) • grad TI = q ( r ) ,

(31)

v erscheinen, dessen Diskretisierung mit dem E.M. Ansatz T : a/T/,

aT

dr,. (28)

-at = ~ at folgenden Ausdruck ergibt

dT .

r/-aT f iff/.d c V; v(e)

welche in strengerer Weise die station/ire Temperaturverteilung in einem isotropen, ruhenden Medium beschreibt, q (T) ist der pro Einheitsvolumen yon den Quellen generierte und - div [~(T) • grad T] der das Einheitsvolumen verlassende W/irmestrom. FOr GI. (31) kann kein entsprechendes Variationsproblem gefunden werden. Diese Tatsache ist aber kein Hindernis fiir die Anwendung der Elementenmethode, da, wie im folgenden gezeigt wird, diese keineswegs an die Selbstadjungiertheit des Problems oder allgemeiner an die Existenz eines Variatiori'sproblems gebunden zu sein braucht. Multipliziert man GI. (31 ) mit einer beliebigen kleinen Temperatur/inderung 8 T(Yi), folgt, da

daraus folgt (div ~ ) m -" div (ii • rn) - ~ • grad rn

•flt e)

dT i

aTi - dt

wobei

f #e)

dTi (e) caictjd V = d r " L iJ '

die Beziehung

59

E Crastan, L6sung von Temperaturverteilungsproblemen

div [X(T) • grad T" ~T]

-

-

+ ~(T). grad T" grad ~ i T - q ( T ) / i T = 0 .

~T an

X~"

= aT

-

e

aufS 2 ;

(32) ausserdem sei

Die Integration fiber das Volumen V liefert, da sieh das erste Integral in ein Randintegral umwandeln l~isst:

-

fX(T).anT/iTdS+ fx(r) S

grad T grad 6TdV

- J q ( T ) / i T d V = 0. V

(33)

Wenn GI. (:~3) ffir ein beliebiges 5T(xi) gilt, ist auch die Differer ~iaigleidhung(31) erfiillt. Kann andererseits GI. (33) als Variation 6J eines Funktionals J aufgefasst werden, erh~ilt man durch Einsetzen der Randbedingungen und Integration das zu G1. (31) aequivalente Variationsproblem. Aus der Struktur yon GI. (33) geht hervor, dass sie dann integrabel ist, wenn X temperaturunabh/ingig ist und igT/an sieh auf dem Rande als Funktion von T ausdriicken liisst. Fiir q = k(Tq - T), -X(1)T/On) = aT - e, erh/ilt man inbesondere das Variationsintegral (19). Allgemeiner for - ~ ( a T / a n ) = r'(T), q ( T ) = k ' ( T ) folgt:

-

× grad a/dV - / i T / f

- .;r,) 0v }= 0

v(e) (36) Man definiert K~7) und F~/e) entsprechend GI. (20) mit an Stelle yon ~. Ausserdem sei

B(e) ijk =

f

grad oti grad a i d V .

(371

v(e)

V

f,(r) d V ~

--(e) ~(e) [r,x~j + r iT kB (e) i/k

Min.

Die direkte Diskretisierung yon G1. (33) liefert, weqn mar~ fiar/i T de~selben Ansatz wie ffir T nimmt, formell genau dasselbe Resultat, wie die Diskretisierung des Variationsintegrals (34) mit naehfolgender Extremalisierung naeh G1. (11 ). GI. (33) kann aber immer geschrieben werden, unabh~gig davon, ob ein Minimum-Problem existiert oder nieht, und es ist naheliegend anzunehmen, dass ihre Diskretisierung aueh dman eine gute Approximation darstellt, wenn kein entsprechendes Variationsproblem gefunden werden kann. Wir fiihren zun/iehst diese Diskretisierung durch, mit den iiblichen Annahmen inV;

(38)

- F ] e) ] = 0 .

(34)

V

q = k(Tq - T)

+ T i ' / i T i f (l +~t~kTk)~ogradai v(e)

Bei Berficksichtigung, dass GI. (36) fiJr beliebige Werte yon/iT/gelten soil, foigt das Gleichungssystem

J= f r ( T ) a S + f½ X(grad T) 2 dV S2

Aus GI. (33) folgt

r,./irj f.., jdS-/iT/ fe /dS

V P

(35)

X = %0(1 +/3T).

Wir zeigen nun, dass die L~sung dieses Gleichungssystems tats/ichlich cine im Rahmen der E.M.Approximation "exakte" L6sung des nichtlinearen Problems (31) darstellt. Dazu kann man sich vorstellen, das Problem (31) iterativ zu 16sen, wobei X jeweils auf Grund der in der vorhergehenden Iteration ermittelten Temperaturverteilung berechnet wird. Jeder Schritt entspricht einem linearen selbstadjungierten Problem, das nach Abo,:hnitt 6 geltist werden kann. Wegen der Gin. (14) und (20) und bei Beriicksichtigung yon GI. (35) und GI. (37) folgt fi~r den n-ten Schritt das lineare Gleichunssystem:

( e ) ~ _ F ~ ) l"= Z(e)[ T(,) i (Ki/r e )+T k ( . - l ) n "i/kJ Bei Erreichen der LiSsungist T(kn - 1) =

Ttkn),

0 "

(39)

womit

V. Crastan, L6sung yon Temperaturverteilungsproblemen

60

GI. (39) identisch zu GI. (38) wird. Die L6sung yon G1. (38) ist somit die gesuchte ldSsung. Diese Ueberlegungen k6nnen fiir ein beliebiges nicht-selbstadjungiertes oder nichtlineares Problem verallgemeinert werden, lm n/ichsten Abschnitt wird dazu ein weiteres Beispiel gegeben.

erwfihnt, dass die Matrix Ki/symmetrisch und positiv definit ist, Eigefischaft, die an die Selbstadjungiertheit des entsprecaenden Randwertproblems gebunden ist. Die yon G1. (43) gegebene Matrix Aii ist hingegen vorwiegend anti~symmetrisch. Das erschwert die L6sung des Gleichungssystems (44).

9. Temperaturverteilung in einem flfissigen K 6 r p e r

10. B e m e r k u n g e n

Die W/irmeleitungsgesetze k6nnen in einem fliissigen K6rper infolge der Turbulenz sehr kompliziert sein. Wir beschr/inken uns kier auf den Fall der laminaren Bewegung. Infolge des W/irmetransportes durch die Fltissigkeit erscheint ein neuer Term in der Differentialgleichung

Axisymmetrische Probleme k6nnen in Zylinderkoordinaten 2-dimensional dargestellt und mit einem entsprechenden Programm gel6st werden. Das 3dimensionale Program erlaubt die Berechnung yon K6rpem beliebiger Form. Eine Unterteilung in Elemente bi,..~zu vielen Tausenden yon Knotenpunkten (praktisch nur durch wirtschaftliche Ueberlegungen begrenzt) ist mOglich. Die Programme bestehen im wesentlichen aus drei Teilen: (a) Unterteilung in Eh~mente, Knotenpunkt- und Elementennumerierung und Koordinatenberechnung; (b) Ermittlung der Koeffizienten nach der beschriebenen Methode; (c) L6sung des Gleichungssystems mit einem iteradven Verfahren. Bei der Anwendung auf W~rmeleitungsprobleme kSnnen zusammenfassend folgende F/ille berticksichtigt werden: - Inhomogenit/~t des Materials - Temperaturabh~ingige Leitf/ihigkeit - Anisotropes Verhalten des Materials - Beliebige W~irmequellenverteilung - Temperaturabh/ingiger W/irmequellenstrom - Fliissige Medien mit langsamer Bewegung - Randbedingungen: vorgegebene Temperaturverteilung, vorgegebene W/~rmestromverteilung, yon Randtemperatur abMngiger W/irmetibergang - Die Temperaturverteilung kann fiir station~ire und instationiire Verh~Itnisse berechnet werden. In letzterem Fall k6nnen sowohl die Randbedingungen als auch die QueUentemperature-: Zeitfunktionen sein.

-- div (;~ grad T) - q - c grad T. ~ = 0.

(40)

ist ein zur lokalen Geschwindigkeit proportionaler Vektor. Der Differentialausdruck (40) ist nicht selbstadjungiert und es existiert kein entsprechendes Variationsproblem. G1. (33) kann aber trotzdem geschrieben werden, wobei der Term

-

fc

grad

T" ~5TdV

(41)

V

tfinzuzuftigen ist. Die Diskretisierung dieses Terms ergibt

f ca/gradoti'~dl/.

- Ere)T/ST /

(42)

v(e) Gesetzt

(°' = f Aii

grad oti ' ~-dV

l,,(e)

(43)

lautet das Gleichungssystem, im Fall der temperaturunabh~ingigen Leit f'fihigkeit,

IT.(K!e) Z(e),;q

-

(e)

A U)

....

F~. e)] = 0.

(44)

Dasselbe Resultat erh~ilt man wiederum, wenn man GI. (40) als selbstadjungiertes Problem iterativ 16st, indem man c grad T. ~ jeweils aufgrund der zuletzt berechneten Temperaturverteilung einsetzt. Es sei

zu den Programmen

Anhang. Der Elementen-Methode-Ansatz

1. A llgemeines Die in Abschnitt 4 ermittelte aUgerneine Form des linearen Glei~:hungssystems zur L6sung einer selbst-

V. Crastan, Losung yon Temperaturverteilungsproblemen

adjungiertet~ Randwertaufgabe 2er Ordnung basiert auf dem Ansatz

61

tblgt a = i p .A .

5o)

r

u(e)(x,.y, z) =~l lOt)e)(x, y, z) "u i .

(45)

Die Matrix m

Die so definierte Approximation der Funktion u muss for die Kontinuit/it in den Knotenpunkten Pi des Elementes (j = 1 , . . . , r) fo!gende Bedingungen erf011en

~fiir i ~ 1.

(46)

Die Kontinuitiit des Gradienten yon u in den Knotenpunkten wird nicht gefordert. Bei der Diskretisierung yon Variationsproblemen 2er Ordnung ist sie keine notwendige Bedingung for die monotone Konvergenz der L6sung bei immer feinerer Unterteilung des Kontinuums. Zur Verbesserung der Genauigkeit k6nnen allerdings komplexere An~tze, die zu~tzliche Kontinuit~iten beriicksichtigen, und mit entsprechendem mathematischem Aufwand verbunden sind [1,9] ve~wendet werden. Wir gehen davon aus, dass die Funktion (45) durch die Vorgabe der Werte in den Knotenpunkten des Elementes bestimmt ist, und machen den weiteren Ansatz r

/

"

'

(47)

worin ah, zu bestimmende Konstanten des Elem-'ntes und ¢u voneinanger unabh/ingige, stetige Funktionen sind. Mit Einfiihrung der Zeilenvektoren ~ = {0~l,Ot 2 . . . . .

O~r},

(48) und der (r X r) Matrix A = Jail

(49)

~(P1 )

ist aber wegen GI. (46) eine Einheitsmatfix. Definiert man also eine weitere Matrix

C ' "

,

.

i

,

i

(51)

folgt aus GI. (50) A =C --I

(52)

Durch Festlegung der Funktionen,pv und Angabe der Knotenpunktkoordinaten k6nnen also dutch lo~version der (r X r) Matrix C die Koeffizienten a-vlte) und somit die Funktionen a) e) bestimmt werden. Es sei darauf hingewiesen, dass wit bis jetzt keine Bedingungen weaer in bezug attf die Form der Elemente noch auf die Art der Funktionen gestellt haben. Nun ist aber sicherzustellen, dass (a) die Approximation bei immer feinerer Unterteilung des Kontinuums gegen die exakte LOsung kon,ergiert und (b) die Kontinuit/it von u nicht nur in den Knotenpunkten, sondern auf allen Kontaktfl/ichen der Elemente gew~ihrleistet ist. Falls die Funktionswerte It/einen konstanten Gradienten yon u zulassen, ist bei Problemen 2er Ordnung hinreichende * Bedingung fiir die Konver* Der in [ 1 ] gegebene h,:uristische Beweis schliesst gewissc Singularit//ten aus.

~" Crastan, L6sung von Temperaturverteilungsproblemen

62

genz, dass dann grad u in allen Punkten des Elementes einen konstanten Weft annimmt. Dies heisst ÷ d)--

+d

+ by +

fiir:alle Werte yon a, b, c, d. Daraus folgt

zjaj

Fiir die Formulierung der zweiten Bedingung (Kontinuit~tsbedingung) nehmen wir an, die Grenzfl/iche zwisehen zwei b.enaehbarten Elementen sei dureh die Gleiehung z - z(x, y )

= 1,

:j, jxj =x, Z/otjy/= y , (53)

(55)

.[oder xO', z),y(z, x)] gegeben, Setzt man GI. (55) in GI. (54) ein, werden sich m6glieherweise einige der Funktionen ¢~, als lineare Kombination der iibrigen und yon x, y ausdriieken lassen, womit sicb die Anzahl der unabh/ingigen Terme yon GI. (54) auf s ~
Wenn man

2. Die Polynomapproximation lm folgenden beschriinken wir uns auf die for die Praxis vor allem wichtige Polynomapproximation. Der Ansatz lautet

~l=l, ~'2=X ,

~3 =Y '

tx](x, y, z) =al] + a2jx + a3/Y + a4/z + aSix 2 (56)

+ a6l xY + . . . ,

~P4 =g . setzt, folgt aus GI. (53) bei Beriicksichtigung yon GI. (47) die Bedingung

womit der Zeilenvektor ¢: folgende Form annimmt ={ 1, x , y , z, x2, xy . . . . }.

1

x1

Yl

Zl

1

0

0

0

1

x2

Y2

z2

0

1 0

0

1

x3

Y3

z3

0

0

1 0

I

x 1 Yl

Zl

x~

xlY 1 ..:

0

0

0

1

1 x 2 Y2

z2

x~

x2Y 2 . . .

0

0

0

0

,4.

Man erh/ilt

C_.

(s7) ! 1

1

xr

Yr

Zr

0

0

0

0

welche wegen GI. (52) sicher erfi~llt ist. Man erh/ilt somit den Ansatz

/,

(54)

Yr

zr

X2r

xP'r " " i r

Fiir ein vollst/indiges Polynom n-ten Grades im m-dimensionalen Raum ist die Anzahl Koeffizienten av/yon der Binomialformel

r= (n ~+nm )

~l.(x, y, z) = al/ + a2lx + a3/Y + a4/z

+ 5~z, av/~% (x, y, z).

xr

(58)

gegeben. Diese soil also auch die Anzahl Knotenpunkte des Elementes sein. Geht man davon aus, dass

63

V. C r a s t a n , L 6 s u n g y o n T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g s p r o b l e m e n

die "Grenzfl/iehen" tier Elemente linear sind, und setzt man deren Gleiehung, z.B. fiir m = 3 • z = ax + by + c , in GI. (54) ein, wird die Zahl der unabh/ingigen Terme s=

n +mm-1

1)

(59)

3. Verwendung yon Simple-Elementen Simplex-Elemente sind die einfachsten Elemente des Raumes. Sie sind dadurch charakterisiert, dass jeder Knotenpunkt mit jedem anderen Knotenpunkt verbunden ist (Dreieck fiir m ff 2, Tetraeder fiir m = 3 usw.). Die Knotenpunktzahl eines Simplex ist

r":(m:

,60,

Die Anzahl Knotenpunkte, die auf einer "Grenzebene", welche ein Simplex der Dimension (m - 1) ist, liegen, ist 1)"

(61)

Der Vergleich der Gin. (60), (61) mit den Gin. (58), (59) zeigt Uebereinstimmung for n = 1. Mit einem linearen Ansatz ist also die Kontinuit/itsbedingung ohne weiteres erfiillt. Will man sie mit einem rollst/indigen quadratischen Ansatz erfiillen, muss auf jeder Kante des Simplex ein zus/itzlicher Knotenpunkt gegeben werden. Die Anzahl Kanten pro Element bzw. pro "Grenzebene" ist (m21) so dass

s*

=(ram

I ) + ( r n 2 I ) = (rnm+ 2),

i)+(7)=(:_+

ll).

(62)

"

Um die Kontinuit/it zu gew/ihrleisten, mtissen atffjeder Grenzfl/iche s Knotenpunkte liegen. Es ist durchaus m6glich, auch Elemente mit gekriimmten "Grenzfl/ichen" zu definieren, welche eine bessere Anpassung an die Geometfie des zu studierenden K6rpers erlauben. Werden die "Grenzfl~ichen durch Polynome dargestellt, is es dann u.U. notwendig, auf GI. (54) zurtickzugreitbn, wobei die Funktionen ~pdann ebenfalls Polynome sind

s*=(mm

r* = ( m ;

bzw.

(7)'

Die Uebereinstimmung der Gi. (62) mit den Gin. (58), (59) fiir n = 2 beweist obige Aussage. Wenn aufjeder Kante des Simplex zus/itzlich k Knotenpunkte und aufjeder "Grenzebene" zus/itzlich h Knotenpunkte gew/ihlt werden, erh~ilt man

,, (m

(63)

In Tabelle 1 sind die Bedingungen ffir k und h bei Aequivalenz yon G1. (63) mit G1. (59) for ein 2-, 3und 4-dimensionales Kontinuum und ftir Polynome bis zum 4. Grad gegeben Tabelle 1 m = 2

k n=l n=2 n = 3 n=4

m -- 3

h

. 1 2 3

k

.

. -

m =4

h

. 1 2 4

.

k

It

1 2.5* 5

1 1

. 1 -

* 3 K a n t e n m i t 3 und 3 K a n t e n m i t 2 zus/itzlichen K n o t e n punkte pro Grenztetraeder.

F/ir n >i 3 kann die minimal notwendige Gesamtknotenpunktzahl r* =

(mm+,)+ k (m+,) 2 + h(m + 1)

(64)

kleiner als die Anzahl Terme des Polynoms sein. Tabelle 2 fasst die Werte yon r* und r zusammen. Tabelle 1 m = 2

n=l n = 2 n = 3 n = 4

m = 3

m =4

r*

r

r*

r

r*

r

3 6 9 12

3 6 10 15

4 10 20 28

4 10 20 35

5 15 35 60

5 15 35 7t)

64

V. Crastan,

L6sung yon

Temperaturverteilungsproblemen

Die KontinuR~it kann wenn n6tig durch Weglassen yon Termen hbchsten Grades des Polynomes oder Fest!egung zus~itzlicher K n o t e n p u n k t e innerhalb des Elementes immer gew/ihrleistet werden. Aehnliche Ueberlegungen k 6 n n e n for komplexere Elemente angestellt werden.

Bibliographie [ I I O.C.Zienkiewicz, The Finite Element Method (McGrawHill, 1967). {2 ! J.H.Argyris u.a., New elements for the matrix displacement methods, 2nd Conf. on Matrix Methods in Structural Mechanics (1968).

[3] V.Crastan, Eine Verallgemeinung der Elementenmethode, Nucl. Eng. Design (1971), to be published. [4 ] P.Funk, Variationsrechnung (Springer, 196 2). [5 ] P.N.Berg, Calculs of Variation - Handbook of Eng. Mech. (McGraw-Hill, 1962). [6] L.Collatz, Numerical treatment of differential equations (Springer, 1966). [7 ] L.Collatz, Funktionalanalysis (Springer, 1968). [81 H.R.Schwarz, H.Rutishauser und E.Stiefel, Matrizennumerik (Teubner, Stuttgart, 1968). [9] J.Go61, Basic Functions forNumerical Utilisation of Ritz's Method (Spes, Lausanne, 1969). [ 101 E.L.Wilson and R.E.Nickell, Application of the finite element method to heat conduction analysis, Nucl. Eng. Design 4 (1966) 276.