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Au sujet des defauts de symetrie dans les mesures de polarisation 1. Discussion générale des méthodes de mesure usuelles de la polarisation
NUCLEAR
INSTRUMENTS
AND METHODS
41 0 9 6 6 ) 348-354; © N O R T H - H O L L A N D
AU SUJET DES DEFAUTS DE SYMETRIE DANS LES MESURES
PUBLISHING
CO.
DE POLARISAT1ON
1. Discussion g6n6rale des m6thodes de mesure usuelles de la polarisation J. L I B E R T
lnstitut lnteruniversitaire des Sciences Nucl~aires, Centre de la Facultd Polytechnique de Mons, Belgique
Re~;u le 9 D6cembre 1965 The result of a polarization determination depends on the possible influence of symmetry defects due to an imperfect experimental set-up. This problem is presented here in a general
way. The usual methods of measurement are discussed and their properties, appearing in the literature in an unprecise and incomplete manner, are established rigorously.
I. Introduction
nucl6aire est caract6risde p a r un vecteur perpendiculaire au p l a n de la r6action, p l a n d6fini p a r les vecteurs de p r o p a g a t i o n des particules incidentes: k o et des particules 6raises : k 1 (fig. 1). La g r a n d e u r de ce vecteur est donn6e p a r
L a p o l a r i s a t i o n des nucl6ons 6mis lors d ' u n e r6action nucl6aire est mise en 6vidence dans une seconde r~action dite d'analyse, p a r l ' a s y m 6 t r i e de l'6mission dans deux directions sym6triques p a r r a p p o r t /~ l'axe du faisceau d o n t la p o l a r i s a t i o n est /~ mesurer*. D u fait des d6fauts de sym6trie que la r6alisation p r a t i q u e de ce principe p e u t faire a p p a r a l t r e , un p r o b l 6 m e expdrim e n t a l i m p o r t a n t se p o s e : extraire de l ' a s y m d t r i e mesur6e la c o n t r i b u t i o n due ~ la p o l a r i s a t i o n . A cet effet, on mesure certaines asym6tries syst6matiques t a n d i s q u ' o n 61imine l'influence d ' a u t r e s d6fauts de sym6trie en c o m b i n a n t d ' u n e mani6re ad6quate les rdsultats de diffdrentes mesures. S'il y a a c c o r d dans la litt6rature sur les mdthodes g utiliser: mesure de l'asym6trie de l ' a p p a r e i l l a g e lorsque la polarisation des nucldons ou le p o u v o i r d ' a n a l y s e de la r6action est nul, r o t a t i o n d u d i s p o s i t i f a n a l y s e u r a u t o u r de l'axe secondaire c o r r e s p o n d a n t a u faisceau /t analyser, d 6 p l a c e m e n t d u d i s p o s i t i f analyseur sym6t r i q u e m e n t de p a r t et d ' a u t r e de l'axe p r i m a i r e corresp o n d a n t au faisceau incident, la n a t u r e des d6fauts de sym6trie d o n t il est t e n u c o m p t e et la mani6re de c o m b i n e r les r6sultats des diff6rentes mesures effectu6es n ' a p p a r a i t pas t o u j o u r s c l a i r e m e n t ni mSme correctement. D a n s la premi6re p a r t i e de cet article, nous introduisons, en t o u t e gdndralit6, l'influence des d & a u t s de sym6trie sur le rdsultat d ' u n e d 6 t e r m i n a t i o n de polaris a t i o n et discutons les m 6 t h o d e s de mesure habituellement utilisdes. L ' e x a m e n d6taill6 des causes de disym6trie syst6matique et de leur influence nous perm e t t r a ult6rieurement, p a r c o m p a r a i s o n avec les relations gdndrales 6tablies ici, de pr6ciser d ' u n e mani6re certaine, si oui ou n o n le r6sultat o b t e n u p a r l'une ou l ' a u t r e m d t h o d e est i n d 6 p e n d a n t d ' u n ddfaut de sym6trie particulier.
2. Prineipe d'une mesure de polarisation L a p o l a r i s a t i o n des nucl6ons 6mis lors d ' u n e r~action 348
P1 = (N+ -N_)/(N+ +N_),
(1)
* Nous ne consid6rons pas ici la technique de mesure utilisant un champ magn6tique de pr~cession.
\
0L
Fig. 1. Schema de principe relatif ~t la mise en 6vidence de la polarisation des nucleons 6mis lors d'une r6action nucl6aire par l'asym6trie de l'6mission d'une seconde r6action dlte d'analyse; figure spatiale montrant notamment le plan de la premiere reaction et les demi-plans coplanaires d'analyse pour deux valeurs diff6rentes de l'angle azimutal ~, l'une quelconque et l'autre particuli&e (~b= 0).
DEFAUTS
DE S Y M E T R I E D A N S LES M E S U R E S D E P O L A R I S A T I O N ,
relation dans laquelle N+ et N_ ddsignent les n o m b r e s de nucl6ons correspondant respectivement 5` chacune des deux orientations possibles du spin; on convient de prendre c o m m e sens positif le sens indiqu6 par le produit vectoriel k o ^ k 1 (convention de B~tle). La polarisation ddpend de l'6nergie des particules incidentes (Eo) et de la direction d'6mission par r a p p o r t au faisceau primaire (01). Pour mesurer la grandeur de la polarisation 5` une 6nergie et 5` un angle d6terminds, on 6tudie au m o y e n des nucl6ons correspondants une deuxi6me r6action dite d'analyse. Si les nucl6ons sont polaris6s, la distribution angulaire (02) de la nouvelle particule 6mise d6pend de l'orientation du demi-plan dans lequel on l'6tudie, par r a p p o r t au plan de la premi6re r6action; si 4 est l'angle compris entre le plan de r6action et le demi-plan d'analyse, angle compt6 5. partir de la direction du vecteur (ko ^ k , ) ^ k 1, la section efficace diff6rentielle 0-2 est exprim6e par la relation suivante: 0-2(02,4) = 0-20(02) [1 +P,(Eo,O1)a(El,O2)cos 4 ] ;
(2)
0-2o d6signe la valeur de la section efficace en l'absence de polarisation; la grandeur A caract6rise la deuxi~me r6action et est appel6e pouvoir d'analyse. Pour le taux de c o m p t a g e correspondant dans un d6tecteur, taux de c o m p t a g e r6sultant de la cascade des deux r6actions, nous 6crivons la relation
U(01,02,4) = C'K,o0-,o(O1)'K2o0-2(02,4)
(3)
faisant apparaitre une constante c o m m u n e aux deux r6actions et deux facteurs propres 5` chacune des r6actions. Pour deux d6tecteurs occupant, dans deux demiplans coplanaires, la m~me position angulaire par rapport 5` l'axe du faisceau 5` analyser, les taux de comptage, N(Ox, 02, 4) et N(O,, 02, 4 "{-~), ne sont pas identiques. Cette asym6trie due 5` la polarisation est traduite dans la litt6rature de deux mani6res diff6rentes, e(0t,02,4) = ( N(01,02,4)
-
-
N(01,02,4 + n) } /
{N(O1,02,4)+N(01,02,4+70}
(4)
ou
R(01,02,4) = { N(01,02,4) ) / { N(0~,02,4 + ~z) ). (4a) La premiere de ces grandeurs, dont la valeur absolue est comprise entre 0 et l, repr6sente rdellement un taux d'asym6trie tandis que la seconde, simple r a p p o r t des taux de comptage, facilite l'6criture de certaines relations. Taux d'asym6trie et r a p p o r t des taux de c o m p tage sont reli6s p a r
e = (R--1)/(R + 1)
(5)
vo;,d
349
I
\
(a{
VoleJJ/
---R/
{+". Vo ;e £
tbl Fig. 2. Sch6ma de principe, pour les conditions exp6rimentales usuelles (¢ = 0), d'une mesure de polarisation par d6tection simultan6e des deux termes d'une asym6trie; les figures a et b montrent respectivement les deux positions de mesure sym6triques par rapport ~ l'axe correspondant au faisceau primaire; le sens positif pour la polarisation (convention de B~.le) diff6re d'une figure ~_l'autre et est indiqu6, selon le cas, par un point ou une croix; l'ordre scion lequel les deux voies de d6tection doivent ~tre consid6r6es pour le calcul de l'asym6trie est, d'apr6s notre convention, l'ordre num6rique apparaissant sur chacune des figures. et permettent, l'un et l'autre, la d6termination de la polarisation inconnue 5` partir du pouvoir d'analyse:
e = P1A cos 4 R = (I+PtAcos4)/(1-P1Acos4).
(6) (6a)
La diffusion 61astique sur n o y a u 5` spin nul est la r6action d'analyse la plus souvent utilis6e; son pouvoir d'analyse est identique 5` la polarisation qu'aurait apr~s diffusion 61astique, un faisceau de nucl6ons initialement non polaris6 et est donc not6 P2. Pour augmenter l'asym6trie 5` mettre en 6vidence et par cons6quent la pr6cision de la mesure, on 6tudie la r6action d'analyse dans le plan m~me de la premi6re r6action (fig. 2a) et pour des conditions telles que le pouvoir
350
J. L I B E R T
d'analyse soit maximum; ~ cet effet, on choisit 02 et parfois 6galement l'6nergie b. laquelle les particules diffuseront par un ralentissement ad6quat de celles-ci entre la cible et le diffuseur. Malgr6 l'identit6 pratique habituelle des plans des deux r6actions, l'introduction de l'angle azimutal ~b garde tout son int6r& car il permet de d6finir l'asym6trie 5. mesurer comme existant entre les d6tecteurs "0" et " n " , d'une mani6re ind6pendante de la position qu'occupe le dispositif analyseur par rapport ~t l'axe du faisceau primaire (fig. 2a et b). La notion, plus fr6quente dans la litt6rature, d'asym6trie gauche-droite, kl donnant la direction d'observation, n'est valable que d'un c6t6 de l'axe primaire (fig. 2a); de l'autre c6t6 de cet axe, c'est l'asym6trie droite-gauche qui est en accord avec la convention adopt& pour le signe de la polarisation (fig. 2b). Dans ce qui suit, les indices 1 et 2 caract6riseront chacune des deux voies de d6tection et seront attribu6s, ainsi qu'il est indiqu6 aux fig. 2, dans l'ordre selon lequel les voies de d6tection doivent &re consid6r6es pour le calcul de l'asym6trie. 3. Asym~trie mesur~e en presence de d~fauts de sym~trie 3.1. EXPRESSIONSGI~NERALES Pour traduire, en toute g6n6ralit6, l'influence des d6fauts de sym6trie sur le r6sultat d'une mesure de polarisation, nous introduisons dans l'expression (2) de la section efficace th6orique, un second terme d6pendant de la polarisation et nous consid6rons que la relation de proportionnalit6 entre un terme quelconque de cette expression et le taux de comptage partiel correspondant d6pend, d'une mani~re qui lui est propre, de la r6alisation exp6rimentale des conditions id6ales de mesure. Nous 6crivons donc pour le taux de comptage total enregistr6 par le d6tecteur en prgsence de d6fauts de sym6trie, l'expression g6n6rale suivante:
G O = C ' K l o t r l O "K2oo'2o • k O.
(8)
Ainsi le taux d'asym6trie mesur6 /3m s'exprime en fonction du taux d'asym6trie b. d6terminer 5 = PI(OI~)A(Oza) cos ¢~a,
(9)
par la relation 5m = {5r-~-//~-'~-(1 --]./*)5" ) /
{ 1 + (1 -- v)e + [-er - (1 - v*)]e* }, (10) moyennant les d6finitions suppl6mentaires suivantes: e* = P~(OIa)A(02~) sin qSa, 5, = (Oo.,
-
Co.
)l(Oo., +
# = (Go.lkx+Go.zk2)/(Go.,+Go.z),
(11)
v = 1 - ( G o . l k I - G o . z k z ) / ( G o . 1 + Go.2) , ,u* = ( G o . l k ~ + Go.zk*)/(Go.~ + Go.2),
v* = 1 -(Go.xk* - Go.zk*)/(Go. 1 + Go.z). Les indices 1 et 2 caract6risent respectivement chacune des deux voies de dgtection. Lorsque la polarisation des nucl6ons ou le pouvoir d'analyse de la r6action est nul, le taux d'asym6trie mesur6 se r6duit b. 5r, quantit6 que nous appellerons taux d'asym6trie r6siduelle; les autres facteurs exp6rimentaux introduits ont h nouveau l'unit6 comme valeur id6ale. La relation, correspondant ~t(10), entre le rapport mesur6 des taux de comptage Rm et le rapport cherch6 R = { 1 + P, (01 a)A(02a) COS (~a) / {1-Pl(Ox~)A(O2a)COSC~a},
(12)
s'6crit
gm=gr l+k gTi-+
N m ( Ola,O 2a,ft~a) ~- C . KloO-lo(01a) " K 200"20( O2a) "ko •
• [1 + k.Pl(Ola)A(O2a)COS q~a+ +(1-k*)'el(O~,)A(O2a)sincka].
d6fauts de sym6trie. Nous simplifierons l'6criture de la relation ci-dessus en posant:
(7)
Dans cette relation, les valeurs angulaires caract6ris6es par l'indice " a " sont les valeurs apparentes, suppos6es r6alis6es dans le dispositif exp6rimental tandis que les nouvelles grandeurs introduites, notges ko, k et k*, sont des facteurs exp6rimentaux dont la valeur id6ale est l'unit6. Alors que les grandeurs C et Klo sont ind6pendantes de la voie de d6tection particuli6re consid6r6e, la grandeur K2o de m~me que les facteurs exp6rimentaux k o, k et k* peuvent en d6pendre du fait des
R- 1 1-kz R+I
(1 -- k*) R * - 1 t (10a) R ~ - _1 J "
Les d6finitions suivantes ont 6t6 pos6es: R* = { 1 + PI(Ola)A(O2a) sin q~a} / { 1 - Px(Ola)A(O2a) sin q5a }, Rr = Go.1/Go.2. (lla)
3.2. EXPRESSIONS GI~NI~RALESUSUELLES Pour les conditions usuelles d'exp6rimentation (~ba-0), les expressions g6n6rales de l'asym6trie mesurde sont
351
D E F A U T S DE SYMETRIE DANS LES MESURES DE P O L A R I S A T I O N , I
plus simples et le nombre de facteurs exp6rimentaux/~ consid6rer est r6duit de deux unit6s: (13)
g m = {/3r"~/e}/ { l + ( 1 - - V ) e }
R--1 Rm=Rr{l+kl~}/{l-k2~().
R-1
(13a)
3.3. CAS PARTICULIER
En l'absence de tout d6faut de sym6trie ag~ssant sur le terme de la section efficace d6pendant de la polarisation, c'est-~-dire lorsque les facteurs k r6alisent leur valeur id6ale, l'unit6, il vient plus simplement encore em= (er+e)/(1 + e~e), Rm = R f R
(14) (14a)
OH /3 = @m--/~r)/(1--/~rEm),
R = R m R r 1.
(15)
(15a)
Enfin, lorsque le taux d'asym6trie r6siduelle est faible e ~- e m - e r.
(16)
4. Discussion g~n~rale des possibilit~s d'~limination de l'influenee des d~fauts de sym~trie Au lieu d'effectuer une seule mesure de la polarisation inconnue, mesure compl6t6e ou non d'une d6termination de l'asym6trie r6siduelle du dispositif exp6rimental, on peut r6aliser plusieurs mesures effectives de la m~me polarisation dans des conditions exp6rimentales diff6rentes. I1 est possible ainsi, par combinaison des mesures effectu6es, d'61iminer l'influence de certains d6fauts de sym6trie sur le r6sultat de la d6termination de polarisation. Si deux mesures de la m~me asym6trie sont effectu6es, les taux d'asym6tries obtenus sont donn6s respectivement par e'~ = { e ' f + # ' e ) / { l + ( 1 - v ' ) e }
(17)
e~ = { e ~ ' + # " e } / { l + ( 1 - v " ) e } ,
(18)
1. Lorsque les asymdtries mesur6es ne d6pendent que de l'asym6trie inconnue et des asym4tries r4siduelles, on peut s'affranchir de l'influence de ces derni6res, /l condition que celles-ci vdrifient une certaine relation. 2. Lorsque les taux d'asym6trie r6siduelle sont nuls ou ddtermin6s par des mesures distinctes, on peut s'affranchir de l'influence des facteurs exp4rimentaux/~ et v ~. condition qu'une certaine relation entre les facteurs relatifs /~ une m4me mesure et qu'une autre entre les facteurs homologues des deux mesures soient v4rifides. Ces deux possibilitds correspondent respectivement aux deux techniques de mesure double cit6es dans la litt6rature, soit 1. La rotation du dispositif analyseur autour de l'axe secondaire. 2. Le d6placement sym6trique du dispositifanalyseur de part et d'autre de l'axe primaire (fig. 2a et b). Pour chacune des mdthodes de mesure, simples et doubles, nous allons donner la relation permettant le calcul de l'asym6trie inconnue b. partir des asym6tries mesur6es et pr6ciser les conditions auxquelles doivent satisfaire les d6fauts de symdtrie pour que la valeur de la polarisation ainsi obtenue ne d6pende pas de l'existence de ces d&auts. Lorsque ces conditions ne sont pas v6rifi6es, une erreur syst6matique affecte le r6sultat obtenu; sie cest le taux d'asym6trie admis/t partir des mesures effectu6es, l'erreur syst4matique absolue due aux d&auts de symdtrie est 6gale/l
5. Diseussian g6n6rale des m6thudes de mesure simple 5.1. ASYMI6TRIE RI~SIDUELLE NON MESURI~E
L'asymdtrie mesur6e, donn6e par les relations g6n6rales (13) ou (13a), n'est 6gale 5. l'asym6trie inconnue qu'en l'absence de tout d6faut de sym6trie, c'est-gdire si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites:
ko, i 1 ki= 1
et
i = 1, 2,
=
les facteurs exp6rimentaux et les taux d'asym6trie r6siduelle 6tant g6n6ralement diff6rents d'une mesure/~ l'autre. Les asym6tries r6siduelles peuvent toujours &re d6termin6es par deux mesures compl6mentaires telles que, toute autre condition exp6rimentale inchang6e, l'asym6trie principale est maintenant nulle. L'61imination au moyen des deux mesures h asym6trie principale effective de l'influence des d6fauts de sym6trie sur la d6termination de cette asym6trie principale n'est possible que dans des cas bien particuliers:
(19)
Ae = e c - e .
(2o)
i= 1,2,
K2o,i = K2o,j
i ¢ j = 1, 2.
Lorsque, malgr6 l'existence de d&auts de sym6trie, on se contente d'une seule mesure, le r6sultat obtenu en 6galant ec ~t emest entach6 d'une erreur systdmatique qui, compte tenu de la relation g6n6rale (13) et des d6finitions (11), s'exprime, en valeur relative, par Ae
1 /Go.,(l+kxe )
1]/tGo.l(l+kxe)
J/tCo. (1-k T)
}
-1. (21)
352
J. LIBERT
En l'absence de tout d6faut de sym6trie agissant sur le terme de la section efficace d6pendant de la polarisation, c'est-5.-dire lorsque la deuxi~me condition (20) est v6rif6e, l'expression pr6c6dente se r6duit 5-
A/31/3 = (1//3) (/3,+/3)/(1 +/3~e)- 1
(22)
Ae//3 "~ /3,1e
(23)
et ~.
La relation permettant de combiner les r6sultats des deux mesures effectu6es s'6tablit le plus ais6ment 5partir des rapports des taux de comptage. La relation particuli~re (14a) est applicable et donne successivement Rm = RrR, '
lorsque, en outre, l'asym6trie r6siduelle est faible. 5.2. ASYM~TRm R~SIDUELLEMESUR~E En l'absence de tout d&aut de sym6trie agissant sur le terme de la section efficace d6pendant de la polarisation, c'est-&-dire si et seulement si la condition suivante est satisfaite:
k i=l
i=1,2,
(24)
l'asym6trie mesur6e est donn6e par les relations particuli~res (14) ou (14a). Si on combine une mesure de l'asym6trie effective et une mesure de l'asym6trie r6siduelle en 6galant /3~ au second membre de (15) alors que les d6fauts de sym6trie ne v6rifient pas la condition (24), le r6sultat obtenu est entach6 d'une erreur syst6matique qui, compte tenu de la relation g6n6rale (13) et des d6finitions (11), s'exprime, en valeur relative, par
A/31/3 = { ( k , + k z ) } / { 2 + / 3 ( k , - k 2 ) }
- 1.
(25)
6. D i s c u s s i o n g~n~rale des m~thodes de mesure double
Rm , , = R r,,R , .
( 28 )
compte tenu de la condition (27b), on voit que le rapport inconnu est la moyenne g6om6trique des rapports mesur6s:
R 2 = ninny.
(29a)
La relation 6quivalente entre les taux d'asym6trie s'obtient ensuite au moyen des relations de correspondance entre les deux formulations telles que (5): e = [(1 +e~)(1 +em)] ~ - [(1 -era)(1 - e " ) ] ~ ," (29) [(1 + e~,) (1 + e")]~ + [(1 -/3")(1 -/3")]~ elle ne prend une forme simple que si la relation approch6e (16) est applicable; dans ce cas, elle se r6duit 5' . . . . . "~-/3m)" . /3 ~ ~[/3m
(30)
Les conditions (26) et (27), conditions suffisantes h la validit6 des relations (29) ou (29a), sont aussi n6cessaires. En effet, lorsque dans (29a), on remplace les rapports mesur6s par leur expression g6n6rale (13a) et qu'on groupe les termes de m~me puissance en R, il vient:
6.1. ROTATION DU DISPOSITIF ANALYSEUR AUTOUR DE
(1-k'2)(1-k'~)R4 +
L'AXE SECONDAIRE
Soit une r6alisation exp6rimentale telle que les facteurs exp6rimentaux k valent l'unit6, k, = 1
i = 1, 2,
(26)
et telle que, pour les deux positions de mesure obtenues par rotation de 180 ° du dispositif analyseur autour de l'axe secondaire correspondant au faisceau 5- analyser, les conditions suivantes soient satisfaites:
G'o.i
=
G'~.j
i ~ j = 1, 2.
(27)
Ces deux derni~res conditions s'6crivent, compte tenu de (8),
K'2,o,k~,, = K iodkod
i ~ j = 1, 2;
(27a)
elles sont encore 6quivalentes 5. une condition unique reliant les asym6tries r6siduelles (11) ou (I la) /3~+/3~' = 0 OU
R;R~' = 1.
(27b)
+ [(1 - k~) (1 + k~) + (1 - k~) (I + k'2).jR 3 + + [(1 + k~) (1 + k ~ ) - R~R"(I + k'~) (1 + k~)]R 2 + + [(1 + k'l) (1 - k~) + (1 + k~) (1 - k'l)] (R~R")R +
+(1--k'l)(1-k~)(R~R~')
= O.
(31)
Cette relation ne peut avoir lieu, quel que soit R, que si ses diff6rents coefficients sont 6gaux 5. z6ro. On volt ais6ment que les seules valeurs possibles des grandeurs k et Rr assurant l'6galit6 5. z6ro de t o u s l e s coefficients sont telles que les relations pos6es au d6but du paragraphe soient v6rifi6es. Si on combine les deux mesures faites de l'asym6trie effective en 6galant/3c au second membre de (29) alors que les d6fauts de sym6trie ne v6rifient pas les conditions (26) et (27), le r6sultat obtenu est entach6 d'une erreur syst6matique qui, compte tenu des relations g6n6rales (17) et (18) et des d6finitions (11), s'exprime, en valeur relative, par
D E F A U T S DE S Y M E T R I E D A N S LES M E S U R E S DE P O L A R I S A T I O N ,
[G~.I G~.a(1 + kle) (1 4- k/e)] ¢ - - - ,,, "] - 1 A~ = 1_. I-G~.zGo.z(1-k'2e)(l-~2e) - 1. e [G;AGoA(I + k'le) (i + k/~)l
L
.26d.2(l-
(32)
k e)J' + I
353
I
relations de combinaison des asym&ries mesur6es sont diff6rentes selon la m&hode de mesure double adopt6e. La relation entre les rapports des taux de comptage, 6quivalente it (39) s'obtient ensuite par simple correspondance
Cette expression se r6duit it (21) lorsque les d&auts de sym6trie affectant les deux mesures sont identiques.
R = [ { R ' o / ( I - R ~ ) } + {R'~'/(1-R~)}] / [{I/(1--R')}+{1/0--R")}];
6.2. DISPLACEMENT SYMI~TRIQUE DU DISPOSIT1F
nous avons pos6
ANALYSEUR DE PART ET D'AUTRE DE L'AXE PRIMAIRE
Soit une r6alisation exp6rimentale telle que les 6carts Ak des facteurs exp6rimentaux k par rapport ~t l'unit6: k~=l+Ak~
i=1,2,
(33)
i :# j = 1, 2
(34)
soient reli6s par A kl = - A kj
et telle que, pour les deux positions de mesure obtenues par d6placement sym6trique du dispositif analyseur de part et d'autre de l'axe primaire correspondant au faisceau incident (fig. 2a et b), les conditions suivantes soient satisfaites: Ak~ = A k j
i # j = 1, 2.
(35)
t
t
t -- 1
Re = RmR r
tt
,
t!
tt -
R e = RmR r
1
(39a)
(41)
.
Les conditions (34) et (35), conditions suffisantes la validit6 des relations (39) ou (39a), sont aussi n&essaires. Si nous rempla¢ons clans (38) les taux d'asym&ries mesur6s par leurs expressions g6n6rales (17) ou (18) et que nous groupons les termes de m~me puissance en e, il vient: (kl k~- klk~)e + [(k', + kl) (k'~ + k ~ ) - (k'~ + k2)- (k'~ + k'~)] = 0.
(42)
L'6quivalence du syst~me form6 par l'6quation ~t z6ro des coefficients de cette relation et du syst~me des conditions pos6es au d6but du paragraphe n'est pas 6vidente. Pour la d6montrer, nous devons en premier lieu faire apparaitre les 6carts Ak:
La relation permettant de combiner les r6sultats des deux mesures effectu6es s'6tablit le plus ais6ment ~t partir des taux d'asym6trie. Les facteurs exp6rimentaux Ak'x + A k / + Ak~Ak~ = Ak'2 + Ak'~ + Ak'2dk~, de la relation g6n6rale (17) s'6crivent (Ak'~ + Ak'z)(Ak'~ + Ak'~)+(Ak't + Ak'2)+(Ak'£ + Ak~)=O, (43) #' = 1 + e~Ak'l, poser ensuite les d6finitions suivantes: 1 - v ' = e; + Ak'l (36) A k~ = FuA k j i # j = 1, 2, et ceux de la relation g6n6rale (18) p " = 1-e~'Ak',, 1 - v " = e'[- Ak'l.
A k~' = Fu Ak~ (37)
L'61imination de Ak'l entre les deux relations exprimant l'asym6trie mesur6e conduit ~t la relation cherch6e: 1/e = ½[(1 - e;e;~)/(e" - ~;) + (1 - 4'~m) / (d -- ~7)], (38)
relation qu'on peut 6crire 1/* = 1[(1/<) + ( 1/<)] ;
(39)
chaque terme de la parenth6se est, en effet, l'inverse de l'asym6trie (15) qui serait admise dans chacune des exp6riences suppos6es seules. Lorsque les taux d'asym6trie r6siduelle sont nuls, la relation pr6c6dente se r6duit ~t
11~ = ½[(i/eL) + (11e~.)] ;
(40)
cette forme particuli~re met en 6vidence le fait que les
i = 1, 2
(44)
et transformer encore le syst~me d'6quations: Ak'l[Fll - r22r213 '~ + [(1 + r 11)- r~ 1(14- F22)] = 0,
Ak'1[ l +F~,] [F,1 + r J ' ~ , ] + +[(l+G1)+r;l(1+r22)]
= 0.
(43a)
Ces deux derni~res relations ne peuvent &re v6rifi6es ind6pendamment de l'importance des d6fauts de sym6trie, c'est-5.-dire pour une valeur quelconque de Ak'l, que si les coefficients de Ak'~ et les termes ind6pendants sont nuls. La r6solution de cet ultime syst6me de quatre 6quations donne immgdiatement Fu = - 1
i,j = 1, 2.
(45)
Les conditions (34) et (35) sont donc bien n6cessaires. Si on combine les deux mesures faites de l'asym&rie effective et les deux valeurs prises par l'asym6trie
354
J. LIBERT
r6siduelle en 6galant l'inverse de e~ au second membre de (38) alors que les d6fauts de sym6trie ne v6rifient pas les conditions (34) et (35), le r6sultat obtenu est entach6 d'une erreur syst6matique qui, compte tenu des relations g6n6rales (17) et (18) et des d6finitions (11), s'exprime, en valeur relative, par zl~ _
(kl + k;) (k; + k~)
- 1. (46)
[(ki +kl)+(k'~ +k'~)]+e[klkl-klk'~] Cette expression se r6duit ~ (25) lorsque les d6fauts de sym6trie affectant les deux mesures sont identiques. 7. Conclusions De la discussion g6n6rale que nous venons de pr6senter, nous tirons les quelques conclusions suivantes: 1. Les m6thodes de mesure usuelles ne permettent d'affranchir le r6sultat d'une d6termination de polarisation, de l'erreur syst6matique due aux d6fauts de sym6trie que sous certaines conditions. 2. Les conditions auxquelles doivent satisfaire les d6fauts de sym6trie lorsqu'on utilise la seconde m6thode de mesure double, soit le d6placement sym6trique du dispositif analyseur de part et d'autre de l'axe correspondant au faisceau primaire, sont moins restrictives que celles se rapportant fi la premi6re m6thode de mesure double, soit la rotation du dispositif analyseur autour de l'axe correspondant au faisceau fi analyser; par cons6quent, la premi6re m6thode est, en principe tout au moins, d'application plus limit6e-c'6tait cependant la m6thode la plus fr6quemment utilis6e jusqu'fi pr6sent parce qu'elle est plus facile h mettre en oeuvre lorsque le dispositif exp6rimental est encorebrant (mesure de la polarisation de neutrons, mesure de la polarisation de protons avant l'apparition des d6tecteurs s e m i c o n d u c t e u r s ) - . D e m~me, les conditions relatives fi la m6thode de mesure simple comprenant une seule mesure de l'asym6trie effective et une d6termination de l'asym6trie r6siduelle sont moins restric-
tives que celles relatives ~ la premi6re m6thode de mesure double, mais, dans le premier cas, deux exp&iences bien distinctes sont n6cessaires. D'autre part, c'est seulement l'examen d6taill6 de la nature des d6fauts de sym6trie possibles et de leur influence particuli~re qui nous permettra de pr6ciser si l'avantage tMorique d'une m6thode de mesure sur les autres subsiste r6ellement en pratique. 3. Les d6fauts de sym6trie dont on tient compte par l'une ou l'autre m6thode de mesure ont 6t6 caract6ris6 d'une mani~re g6n6rale, permettant une discussion ult6rieure ais6e de l'influence d'une disym6trie quelconque, et compl6te puisque les conditions que ces d6fauts doivent v6rifier sont n6cessaires et suffisantes l'existence de la relation donnant l'asym6trie inconnue ou, ce qui est 6quivalent, fi l'annulation de l'erreur syst6matique; cette derni~re proposition n'6tait pas 6vidente tout au moins dans le cas des mesures doubles. 4. La relation permettant de combiner les r6sultats des mesures doubles diff6re d'une m6thode ~ l'autre; si la relation (29a) correspondant au cas de la premiere m6thode, la plus usuelle, est bien connue des exp6rimentateurs, il ne semble pas qu'il en soit de m~me de la relation (38) correspondant au cas de la seconde m6thode; la m~me relation (29a) a parfois 6t6 utilis~e pour l'une ou l'autre m6thode de mesure double. 5. Les expressions des erreurs syst6matiques montrent enfin la correspondance existant entre chacune des m6thodes de mesure double et chacune des m6thodes de mesure simple. L'avantage, de principe, du d6placement sym6trique du dispositif analyseur de part et d'autre de l'axe primaire sur la rotation de ce m~me dispositif autour de l'axe secondaire, lorsque les conditions d'61imination ne sont pas v6rifi6es, apparait ainsi comme 6tant la prise en consid6ration de l'asym6trie r6siduelle. Par suite de cette correspondance 6galement, les expressions simples (21) ou (25) permettent de calculer, m~me dans le cas des mesures doubles, l'erreur syst6matique m a x i m u m que les d6fauts de sym6trie sont susceptibles d'introduire.
INSTRUMENTS
AND METHODS
41 0 9 6 6 ) 348-354; © N O R T H - H O L L A N D
AU SUJET DES DEFAUTS DE SYMETRIE DANS LES MESURES
PUBLISHING
CO.
DE POLARISAT1ON
1. Discussion g6n6rale des m6thodes de mesure usuelles de la polarisation J. L I B E R T
lnstitut lnteruniversitaire des Sciences Nucl~aires, Centre de la Facultd Polytechnique de Mons, Belgique
Re~;u le 9 D6cembre 1965 The result of a polarization determination depends on the possible influence of symmetry defects due to an imperfect experimental set-up. This problem is presented here in a general
way. The usual methods of measurement are discussed and their properties, appearing in the literature in an unprecise and incomplete manner, are established rigorously.
I. Introduction
nucl6aire est caract6risde p a r un vecteur perpendiculaire au p l a n de la r6action, p l a n d6fini p a r les vecteurs de p r o p a g a t i o n des particules incidentes: k o et des particules 6raises : k 1 (fig. 1). La g r a n d e u r de ce vecteur est donn6e p a r
L a p o l a r i s a t i o n des nucl6ons 6mis lors d ' u n e r6action nucl6aire est mise en 6vidence dans une seconde r~action dite d'analyse, p a r l ' a s y m 6 t r i e de l'6mission dans deux directions sym6triques p a r r a p p o r t /~ l'axe du faisceau d o n t la p o l a r i s a t i o n est /~ mesurer*. D u fait des d6fauts de sym6trie que la r6alisation p r a t i q u e de ce principe p e u t faire a p p a r a l t r e , un p r o b l 6 m e expdrim e n t a l i m p o r t a n t se p o s e : extraire de l ' a s y m d t r i e mesur6e la c o n t r i b u t i o n due ~ la p o l a r i s a t i o n . A cet effet, on mesure certaines asym6tries syst6matiques t a n d i s q u ' o n 61imine l'influence d ' a u t r e s d6fauts de sym6trie en c o m b i n a n t d ' u n e mani6re ad6quate les rdsultats de diffdrentes mesures. S'il y a a c c o r d dans la litt6rature sur les mdthodes g utiliser: mesure de l'asym6trie de l ' a p p a r e i l l a g e lorsque la polarisation des nucldons ou le p o u v o i r d ' a n a l y s e de la r6action est nul, r o t a t i o n d u d i s p o s i t i f a n a l y s e u r a u t o u r de l'axe secondaire c o r r e s p o n d a n t a u faisceau /t analyser, d 6 p l a c e m e n t d u d i s p o s i t i f analyseur sym6t r i q u e m e n t de p a r t et d ' a u t r e de l'axe p r i m a i r e corresp o n d a n t au faisceau incident, la n a t u r e des d6fauts de sym6trie d o n t il est t e n u c o m p t e et la mani6re de c o m b i n e r les r6sultats des diff6rentes mesures effectu6es n ' a p p a r a i t pas t o u j o u r s c l a i r e m e n t ni mSme correctement. D a n s la premi6re p a r t i e de cet article, nous introduisons, en t o u t e gdndralit6, l'influence des d & a u t s de sym6trie sur le rdsultat d ' u n e d 6 t e r m i n a t i o n de polaris a t i o n et discutons les m 6 t h o d e s de mesure habituellement utilisdes. L ' e x a m e n d6taill6 des causes de disym6trie syst6matique et de leur influence nous perm e t t r a ult6rieurement, p a r c o m p a r a i s o n avec les relations gdndrales 6tablies ici, de pr6ciser d ' u n e mani6re certaine, si oui ou n o n le r6sultat o b t e n u p a r l'une ou l ' a u t r e m d t h o d e est i n d 6 p e n d a n t d ' u n ddfaut de sym6trie particulier.
2. Prineipe d'une mesure de polarisation L a p o l a r i s a t i o n des nucl6ons 6mis lors d ' u n e r~action 348
P1 = (N+ -N_)/(N+ +N_),
(1)
* Nous ne consid6rons pas ici la technique de mesure utilisant un champ magn6tique de pr~cession.
\
0L
Fig. 1. Schema de principe relatif ~t la mise en 6vidence de la polarisation des nucleons 6mis lors d'une r6action nucl6aire par l'asym6trie de l'6mission d'une seconde r6action dlte d'analyse; figure spatiale montrant notamment le plan de la premiere reaction et les demi-plans coplanaires d'analyse pour deux valeurs diff6rentes de l'angle azimutal ~, l'une quelconque et l'autre particuli&e (~b= 0).
DEFAUTS
DE S Y M E T R I E D A N S LES M E S U R E S D E P O L A R I S A T I O N ,
relation dans laquelle N+ et N_ ddsignent les n o m b r e s de nucl6ons correspondant respectivement 5` chacune des deux orientations possibles du spin; on convient de prendre c o m m e sens positif le sens indiqu6 par le produit vectoriel k o ^ k 1 (convention de B~tle). La polarisation ddpend de l'6nergie des particules incidentes (Eo) et de la direction d'6mission par r a p p o r t au faisceau primaire (01). Pour mesurer la grandeur de la polarisation 5` une 6nergie et 5` un angle d6terminds, on 6tudie au m o y e n des nucl6ons correspondants une deuxi6me r6action dite d'analyse. Si les nucl6ons sont polaris6s, la distribution angulaire (02) de la nouvelle particule 6mise d6pend de l'orientation du demi-plan dans lequel on l'6tudie, par r a p p o r t au plan de la premi6re r6action; si 4 est l'angle compris entre le plan de r6action et le demi-plan d'analyse, angle compt6 5. partir de la direction du vecteur (ko ^ k , ) ^ k 1, la section efficace diff6rentielle 0-2 est exprim6e par la relation suivante: 0-2(02,4) = 0-20(02) [1 +P,(Eo,O1)a(El,O2)cos 4 ] ;
(2)
0-2o d6signe la valeur de la section efficace en l'absence de polarisation; la grandeur A caract6rise la deuxi~me r6action et est appel6e pouvoir d'analyse. Pour le taux de c o m p t a g e correspondant dans un d6tecteur, taux de c o m p t a g e r6sultant de la cascade des deux r6actions, nous 6crivons la relation
U(01,02,4) = C'K,o0-,o(O1)'K2o0-2(02,4)
(3)
faisant apparaitre une constante c o m m u n e aux deux r6actions et deux facteurs propres 5` chacune des r6actions. Pour deux d6tecteurs occupant, dans deux demiplans coplanaires, la m~me position angulaire par rapport 5` l'axe du faisceau 5` analyser, les taux de comptage, N(Ox, 02, 4) et N(O,, 02, 4 "{-~), ne sont pas identiques. Cette asym6trie due 5` la polarisation est traduite dans la litt6rature de deux mani6res diff6rentes, e(0t,02,4) = ( N(01,02,4)
-
-
N(01,02,4 + n) } /
{N(O1,02,4)+N(01,02,4+70}
(4)
ou
R(01,02,4) = { N(01,02,4) ) / { N(0~,02,4 + ~z) ). (4a) La premiere de ces grandeurs, dont la valeur absolue est comprise entre 0 et l, repr6sente rdellement un taux d'asym6trie tandis que la seconde, simple r a p p o r t des taux de comptage, facilite l'6criture de certaines relations. Taux d'asym6trie et r a p p o r t des taux de c o m p tage sont reli6s p a r
e = (R--1)/(R + 1)
(5)
vo;,d
349
I
\
(a{
VoleJJ/
---R/
{+". Vo ;e £
tbl Fig. 2. Sch6ma de principe, pour les conditions exp6rimentales usuelles (¢ = 0), d'une mesure de polarisation par d6tection simultan6e des deux termes d'une asym6trie; les figures a et b montrent respectivement les deux positions de mesure sym6triques par rapport ~ l'axe correspondant au faisceau primaire; le sens positif pour la polarisation (convention de B~.le) diff6re d'une figure ~_l'autre et est indiqu6, selon le cas, par un point ou une croix; l'ordre scion lequel les deux voies de d6tection doivent ~tre consid6r6es pour le calcul de l'asym6trie est, d'apr6s notre convention, l'ordre num6rique apparaissant sur chacune des figures. et permettent, l'un et l'autre, la d6termination de la polarisation inconnue 5` partir du pouvoir d'analyse:
e = P1A cos 4 R = (I+PtAcos4)/(1-P1Acos4).
(6) (6a)
La diffusion 61astique sur n o y a u 5` spin nul est la r6action d'analyse la plus souvent utilis6e; son pouvoir d'analyse est identique 5` la polarisation qu'aurait apr~s diffusion 61astique, un faisceau de nucl6ons initialement non polaris6 et est donc not6 P2. Pour augmenter l'asym6trie 5` mettre en 6vidence et par cons6quent la pr6cision de la mesure, on 6tudie la r6action d'analyse dans le plan m~me de la premi6re r6action (fig. 2a) et pour des conditions telles que le pouvoir
350
J. L I B E R T
d'analyse soit maximum; ~ cet effet, on choisit 02 et parfois 6galement l'6nergie b. laquelle les particules diffuseront par un ralentissement ad6quat de celles-ci entre la cible et le diffuseur. Malgr6 l'identit6 pratique habituelle des plans des deux r6actions, l'introduction de l'angle azimutal ~b garde tout son int6r& car il permet de d6finir l'asym6trie 5. mesurer comme existant entre les d6tecteurs "0" et " n " , d'une mani6re ind6pendante de la position qu'occupe le dispositif analyseur par rapport ~t l'axe du faisceau primaire (fig. 2a et b). La notion, plus fr6quente dans la litt6rature, d'asym6trie gauche-droite, kl donnant la direction d'observation, n'est valable que d'un c6t6 de l'axe primaire (fig. 2a); de l'autre c6t6 de cet axe, c'est l'asym6trie droite-gauche qui est en accord avec la convention adopt& pour le signe de la polarisation (fig. 2b). Dans ce qui suit, les indices 1 et 2 caract6riseront chacune des deux voies de d6tection et seront attribu6s, ainsi qu'il est indiqu6 aux fig. 2, dans l'ordre selon lequel les voies de d6tection doivent &re consid6r6es pour le calcul de l'asym6trie. 3. Asym~trie mesur~e en presence de d~fauts de sym~trie 3.1. EXPRESSIONSGI~NERALES Pour traduire, en toute g6n6ralit6, l'influence des d6fauts de sym6trie sur le r6sultat d'une mesure de polarisation, nous introduisons dans l'expression (2) de la section efficace th6orique, un second terme d6pendant de la polarisation et nous consid6rons que la relation de proportionnalit6 entre un terme quelconque de cette expression et le taux de comptage partiel correspondant d6pend, d'une mani~re qui lui est propre, de la r6alisation exp6rimentale des conditions id6ales de mesure. Nous 6crivons donc pour le taux de comptage total enregistr6 par le d6tecteur en prgsence de d6fauts de sym6trie, l'expression g6n6rale suivante:
G O = C ' K l o t r l O "K2oo'2o • k O.
(8)
Ainsi le taux d'asym6trie mesur6 /3m s'exprime en fonction du taux d'asym6trie b. d6terminer 5 = PI(OI~)A(Oza) cos ¢~a,
(9)
par la relation 5m = {5r-~-//~-'~-(1 --]./*)5" ) /
{ 1 + (1 -- v)e + [-er - (1 - v*)]e* }, (10) moyennant les d6finitions suppl6mentaires suivantes: e* = P~(OIa)A(02~) sin qSa, 5, = (Oo.,
-
Co.
)l(Oo., +
# = (Go.lkx+Go.zk2)/(Go.,+Go.z),
(11)
v = 1 - ( G o . l k I - G o . z k z ) / ( G o . 1 + Go.2) , ,u* = ( G o . l k ~ + Go.zk*)/(Go.~ + Go.2),
v* = 1 -(Go.xk* - Go.zk*)/(Go. 1 + Go.z). Les indices 1 et 2 caract6risent respectivement chacune des deux voies de dgtection. Lorsque la polarisation des nucl6ons ou le pouvoir d'analyse de la r6action est nul, le taux d'asym6trie mesur6 se r6duit b. 5r, quantit6 que nous appellerons taux d'asym6trie r6siduelle; les autres facteurs exp6rimentaux introduits ont h nouveau l'unit6 comme valeur id6ale. La relation, correspondant ~t(10), entre le rapport mesur6 des taux de comptage Rm et le rapport cherch6 R = { 1 + P, (01 a)A(02a) COS (~a) / {1-Pl(Ox~)A(O2a)COSC~a},
(12)
s'6crit
gm=gr l+k gTi-+
N m ( Ola,O 2a,ft~a) ~- C . KloO-lo(01a) " K 200"20( O2a) "ko •
• [1 + k.Pl(Ola)A(O2a)COS q~a+ +(1-k*)'el(O~,)A(O2a)sincka].
d6fauts de sym6trie. Nous simplifierons l'6criture de la relation ci-dessus en posant:
(7)
Dans cette relation, les valeurs angulaires caract6ris6es par l'indice " a " sont les valeurs apparentes, suppos6es r6alis6es dans le dispositif exp6rimental tandis que les nouvelles grandeurs introduites, notges ko, k et k*, sont des facteurs exp6rimentaux dont la valeur id6ale est l'unit6. Alors que les grandeurs C et Klo sont ind6pendantes de la voie de d6tection particuli6re consid6r6e, la grandeur K2o de m~me que les facteurs exp6rimentaux k o, k et k* peuvent en d6pendre du fait des
R- 1 1-kz R+I
(1 -- k*) R * - 1 t (10a) R ~ - _1 J "
Les d6finitions suivantes ont 6t6 pos6es: R* = { 1 + PI(Ola)A(O2a) sin q~a} / { 1 - Px(Ola)A(O2a) sin q5a }, Rr = Go.1/Go.2. (lla)
3.2. EXPRESSIONS GI~NI~RALESUSUELLES Pour les conditions usuelles d'exp6rimentation (~ba-0), les expressions g6n6rales de l'asym6trie mesurde sont
351
D E F A U T S DE SYMETRIE DANS LES MESURES DE P O L A R I S A T I O N , I
plus simples et le nombre de facteurs exp6rimentaux/~ consid6rer est r6duit de deux unit6s: (13)
g m = {/3r"~/e}/ { l + ( 1 - - V ) e }
R--1 Rm=Rr{l+kl~}/{l-k2~().
R-1
(13a)
3.3. CAS PARTICULIER
En l'absence de tout d6faut de sym6trie ag~ssant sur le terme de la section efficace d6pendant de la polarisation, c'est-~-dire lorsque les facteurs k r6alisent leur valeur id6ale, l'unit6, il vient plus simplement encore em= (er+e)/(1 + e~e), Rm = R f R
(14) (14a)
OH /3 = @m--/~r)/(1--/~rEm),
R = R m R r 1.
(15)
(15a)
Enfin, lorsque le taux d'asym6trie r6siduelle est faible e ~- e m - e r.
(16)
4. Discussion g~n~rale des possibilit~s d'~limination de l'influenee des d~fauts de sym~trie Au lieu d'effectuer une seule mesure de la polarisation inconnue, mesure compl6t6e ou non d'une d6termination de l'asym6trie r6siduelle du dispositif exp6rimental, on peut r6aliser plusieurs mesures effectives de la m~me polarisation dans des conditions exp6rimentales diff6rentes. I1 est possible ainsi, par combinaison des mesures effectu6es, d'61iminer l'influence de certains d6fauts de sym6trie sur le r6sultat de la d6termination de polarisation. Si deux mesures de la m~me asym6trie sont effectu6es, les taux d'asym6tries obtenus sont donn6s respectivement par e'~ = { e ' f + # ' e ) / { l + ( 1 - v ' ) e }
(17)
e~ = { e ~ ' + # " e } / { l + ( 1 - v " ) e } ,
(18)
1. Lorsque les asymdtries mesur6es ne d6pendent que de l'asym6trie inconnue et des asym4tries r4siduelles, on peut s'affranchir de l'influence de ces derni6res, /l condition que celles-ci vdrifient une certaine relation. 2. Lorsque les taux d'asym6trie r6siduelle sont nuls ou ddtermin6s par des mesures distinctes, on peut s'affranchir de l'influence des facteurs exp4rimentaux/~ et v ~. condition qu'une certaine relation entre les facteurs relatifs /~ une m4me mesure et qu'une autre entre les facteurs homologues des deux mesures soient v4rifides. Ces deux possibilitds correspondent respectivement aux deux techniques de mesure double cit6es dans la litt6rature, soit 1. La rotation du dispositif analyseur autour de l'axe secondaire. 2. Le d6placement sym6trique du dispositifanalyseur de part et d'autre de l'axe primaire (fig. 2a et b). Pour chacune des mdthodes de mesure, simples et doubles, nous allons donner la relation permettant le calcul de l'asym6trie inconnue b. partir des asym6tries mesur6es et pr6ciser les conditions auxquelles doivent satisfaire les d6fauts de symdtrie pour que la valeur de la polarisation ainsi obtenue ne d6pende pas de l'existence de ces d&auts. Lorsque ces conditions ne sont pas v6rifi6es, une erreur syst6matique affecte le r6sultat obtenu; sie cest le taux d'asym6trie admis/t partir des mesures effectu6es, l'erreur syst4matique absolue due aux d&auts de symdtrie est 6gale/l
5. Diseussian g6n6rale des m6thudes de mesure simple 5.1. ASYMI6TRIE RI~SIDUELLE NON MESURI~E
L'asymdtrie mesur6e, donn6e par les relations g6n6rales (13) ou (13a), n'est 6gale 5. l'asym6trie inconnue qu'en l'absence de tout d6faut de sym6trie, c'est-gdire si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites:
ko, i 1 ki= 1
et
i = 1, 2,
=
les facteurs exp6rimentaux et les taux d'asym6trie r6siduelle 6tant g6n6ralement diff6rents d'une mesure/~ l'autre. Les asym6tries r6siduelles peuvent toujours &re d6termin6es par deux mesures compl6mentaires telles que, toute autre condition exp6rimentale inchang6e, l'asym6trie principale est maintenant nulle. L'61imination au moyen des deux mesures h asym6trie principale effective de l'influence des d6fauts de sym6trie sur la d6termination de cette asym6trie principale n'est possible que dans des cas bien particuliers:
(19)
Ae = e c - e .
(2o)
i= 1,2,
K2o,i = K2o,j
i ¢ j = 1, 2.
Lorsque, malgr6 l'existence de d&auts de sym6trie, on se contente d'une seule mesure, le r6sultat obtenu en 6galant ec ~t emest entach6 d'une erreur systdmatique qui, compte tenu de la relation g6n6rale (13) et des d6finitions (11), s'exprime, en valeur relative, par Ae
1 /Go.,(l+kxe )
1]/tGo.l(l+kxe)
J/tCo. (1-k T)
}
-1. (21)
352
J. LIBERT
En l'absence de tout d6faut de sym6trie agissant sur le terme de la section efficace d6pendant de la polarisation, c'est-5.-dire lorsque la deuxi~me condition (20) est v6rif6e, l'expression pr6c6dente se r6duit 5-
A/31/3 = (1//3) (/3,+/3)/(1 +/3~e)- 1
(22)
Ae//3 "~ /3,1e
(23)
et ~.
La relation permettant de combiner les r6sultats des deux mesures effectu6es s'6tablit le plus ais6ment 5partir des rapports des taux de comptage. La relation particuli~re (14a) est applicable et donne successivement Rm = RrR, '
lorsque, en outre, l'asym6trie r6siduelle est faible. 5.2. ASYM~TRm R~SIDUELLEMESUR~E En l'absence de tout d&aut de sym6trie agissant sur le terme de la section efficace d6pendant de la polarisation, c'est-&-dire si et seulement si la condition suivante est satisfaite:
k i=l
i=1,2,
(24)
l'asym6trie mesur6e est donn6e par les relations particuli~res (14) ou (14a). Si on combine une mesure de l'asym6trie effective et une mesure de l'asym6trie r6siduelle en 6galant /3~ au second membre de (15) alors que les d6fauts de sym6trie ne v6rifient pas la condition (24), le r6sultat obtenu est entach6 d'une erreur syst6matique qui, compte tenu de la relation g6n6rale (13) et des d6finitions (11), s'exprime, en valeur relative, par
A/31/3 = { ( k , + k z ) } / { 2 + / 3 ( k , - k 2 ) }
- 1.
(25)
6. D i s c u s s i o n g~n~rale des m~thodes de mesure double
Rm , , = R r,,R , .
( 28 )
compte tenu de la condition (27b), on voit que le rapport inconnu est la moyenne g6om6trique des rapports mesur6s:
R 2 = ninny.
(29a)
La relation 6quivalente entre les taux d'asym6trie s'obtient ensuite au moyen des relations de correspondance entre les deux formulations telles que (5): e = [(1 +e~)(1 +em)] ~ - [(1 -era)(1 - e " ) ] ~ ," (29) [(1 + e~,) (1 + e")]~ + [(1 -/3")(1 -/3")]~ elle ne prend une forme simple que si la relation approch6e (16) est applicable; dans ce cas, elle se r6duit 5' . . . . . "~-/3m)" . /3 ~ ~[/3m
(30)
Les conditions (26) et (27), conditions suffisantes h la validit6 des relations (29) ou (29a), sont aussi n6cessaires. En effet, lorsque dans (29a), on remplace les rapports mesur6s par leur expression g6n6rale (13a) et qu'on groupe les termes de m~me puissance en R, il vient:
6.1. ROTATION DU DISPOSITIF ANALYSEUR AUTOUR DE
(1-k'2)(1-k'~)R4 +
L'AXE SECONDAIRE
Soit une r6alisation exp6rimentale telle que les facteurs exp6rimentaux k valent l'unit6, k, = 1
i = 1, 2,
(26)
et telle que, pour les deux positions de mesure obtenues par rotation de 180 ° du dispositif analyseur autour de l'axe secondaire correspondant au faisceau 5- analyser, les conditions suivantes soient satisfaites:
G'o.i
=
G'~.j
i ~ j = 1, 2.
(27)
Ces deux derni~res conditions s'6crivent, compte tenu de (8),
K'2,o,k~,, = K iodkod
i ~ j = 1, 2;
(27a)
elles sont encore 6quivalentes 5. une condition unique reliant les asym6tries r6siduelles (11) ou (I la) /3~+/3~' = 0 OU
R;R~' = 1.
(27b)
+ [(1 - k~) (1 + k~) + (1 - k~) (I + k'2).jR 3 + + [(1 + k~) (1 + k ~ ) - R~R"(I + k'~) (1 + k~)]R 2 + + [(1 + k'l) (1 - k~) + (1 + k~) (1 - k'l)] (R~R")R +
+(1--k'l)(1-k~)(R~R~')
= O.
(31)
Cette relation ne peut avoir lieu, quel que soit R, que si ses diff6rents coefficients sont 6gaux 5. z6ro. On volt ais6ment que les seules valeurs possibles des grandeurs k et Rr assurant l'6galit6 5. z6ro de t o u s l e s coefficients sont telles que les relations pos6es au d6but du paragraphe soient v6rifi6es. Si on combine les deux mesures faites de l'asym6trie effective en 6galant/3c au second membre de (29) alors que les d6fauts de sym6trie ne v6rifient pas les conditions (26) et (27), le r6sultat obtenu est entach6 d'une erreur syst6matique qui, compte tenu des relations g6n6rales (17) et (18) et des d6finitions (11), s'exprime, en valeur relative, par
D E F A U T S DE S Y M E T R I E D A N S LES M E S U R E S DE P O L A R I S A T I O N ,
[G~.I G~.a(1 + kle) (1 4- k/e)] ¢ - - - ,,, "] - 1 A~ = 1_. I-G~.zGo.z(1-k'2e)(l-~2e) - 1. e [G;AGoA(I + k'le) (i + k/~)l
L
.26d.2(l-
(32)
k e)J' + I
353
I
relations de combinaison des asym&ries mesur6es sont diff6rentes selon la m&hode de mesure double adopt6e. La relation entre les rapports des taux de comptage, 6quivalente it (39) s'obtient ensuite par simple correspondance
Cette expression se r6duit it (21) lorsque les d&auts de sym6trie affectant les deux mesures sont identiques.
R = [ { R ' o / ( I - R ~ ) } + {R'~'/(1-R~)}] / [{I/(1--R')}+{1/0--R")}];
6.2. DISPLACEMENT SYMI~TRIQUE DU DISPOSIT1F
nous avons pos6
ANALYSEUR DE PART ET D'AUTRE DE L'AXE PRIMAIRE
Soit une r6alisation exp6rimentale telle que les 6carts Ak des facteurs exp6rimentaux k par rapport ~t l'unit6: k~=l+Ak~
i=1,2,
(33)
i :# j = 1, 2
(34)
soient reli6s par A kl = - A kj
et telle que, pour les deux positions de mesure obtenues par d6placement sym6trique du dispositif analyseur de part et d'autre de l'axe primaire correspondant au faisceau incident (fig. 2a et b), les conditions suivantes soient satisfaites: Ak~ = A k j
i # j = 1, 2.
(35)
t
t
t -- 1
Re = RmR r
tt
,
t!
tt -
R e = RmR r
1
(39a)
(41)
.
Les conditions (34) et (35), conditions suffisantes la validit6 des relations (39) ou (39a), sont aussi n&essaires. Si nous rempla¢ons clans (38) les taux d'asym&ries mesur6s par leurs expressions g6n6rales (17) ou (18) et que nous groupons les termes de m~me puissance en e, il vient: (kl k~- klk~)e + [(k', + kl) (k'~ + k ~ ) - (k'~ + k2)- (k'~ + k'~)] = 0.
(42)
L'6quivalence du syst~me form6 par l'6quation ~t z6ro des coefficients de cette relation et du syst~me des conditions pos6es au d6but du paragraphe n'est pas 6vidente. Pour la d6montrer, nous devons en premier lieu faire apparaitre les 6carts Ak:
La relation permettant de combiner les r6sultats des deux mesures effectu6es s'6tablit le plus ais6ment ~t partir des taux d'asym6trie. Les facteurs exp6rimentaux Ak'x + A k / + Ak~Ak~ = Ak'2 + Ak'~ + Ak'2dk~, de la relation g6n6rale (17) s'6crivent (Ak'~ + Ak'z)(Ak'~ + Ak'~)+(Ak't + Ak'2)+(Ak'£ + Ak~)=O, (43) #' = 1 + e~Ak'l, poser ensuite les d6finitions suivantes: 1 - v ' = e; + Ak'l (36) A k~ = FuA k j i # j = 1, 2, et ceux de la relation g6n6rale (18) p " = 1-e~'Ak',, 1 - v " = e'[- Ak'l.
A k~' = Fu Ak~ (37)
L'61imination de Ak'l entre les deux relations exprimant l'asym6trie mesur6e conduit ~t la relation cherch6e: 1/e = ½[(1 - e;e;~)/(e" - ~;) + (1 - 4'~m) / (d -- ~7)], (38)
relation qu'on peut 6crire 1/* = 1[(1/<) + ( 1/<)] ;
(39)
chaque terme de la parenth6se est, en effet, l'inverse de l'asym6trie (15) qui serait admise dans chacune des exp6riences suppos6es seules. Lorsque les taux d'asym6trie r6siduelle sont nuls, la relation pr6c6dente se r6duit ~t
11~ = ½[(i/eL) + (11e~.)] ;
(40)
cette forme particuli~re met en 6vidence le fait que les
i = 1, 2
(44)
et transformer encore le syst~me d'6quations: Ak'l[Fll - r22r213 '~ + [(1 + r 11)- r~ 1(14- F22)] = 0,
Ak'1[ l +F~,] [F,1 + r J ' ~ , ] + +[(l+G1)+r;l(1+r22)]
= 0.
(43a)
Ces deux derni~res relations ne peuvent &re v6rifi6es ind6pendamment de l'importance des d6fauts de sym6trie, c'est-5.-dire pour une valeur quelconque de Ak'l, que si les coefficients de Ak'~ et les termes ind6pendants sont nuls. La r6solution de cet ultime syst6me de quatre 6quations donne immgdiatement Fu = - 1
i,j = 1, 2.
(45)
Les conditions (34) et (35) sont donc bien n6cessaires. Si on combine les deux mesures faites de l'asym&rie effective et les deux valeurs prises par l'asym6trie
354
J. LIBERT
r6siduelle en 6galant l'inverse de e~ au second membre de (38) alors que les d6fauts de sym6trie ne v6rifient pas les conditions (34) et (35), le r6sultat obtenu est entach6 d'une erreur syst6matique qui, compte tenu des relations g6n6rales (17) et (18) et des d6finitions (11), s'exprime, en valeur relative, par zl~ _
(kl + k;) (k; + k~)
- 1. (46)
[(ki +kl)+(k'~ +k'~)]+e[klkl-klk'~] Cette expression se r6duit ~ (25) lorsque les d6fauts de sym6trie affectant les deux mesures sont identiques. 7. Conclusions De la discussion g6n6rale que nous venons de pr6senter, nous tirons les quelques conclusions suivantes: 1. Les m6thodes de mesure usuelles ne permettent d'affranchir le r6sultat d'une d6termination de polarisation, de l'erreur syst6matique due aux d6fauts de sym6trie que sous certaines conditions. 2. Les conditions auxquelles doivent satisfaire les d6fauts de sym6trie lorsqu'on utilise la seconde m6thode de mesure double, soit le d6placement sym6trique du dispositif analyseur de part et d'autre de l'axe correspondant au faisceau primaire, sont moins restrictives que celles se rapportant fi la premi6re m6thode de mesure double, soit la rotation du dispositif analyseur autour de l'axe correspondant au faisceau fi analyser; par cons6quent, la premi6re m6thode est, en principe tout au moins, d'application plus limit6e-c'6tait cependant la m6thode la plus fr6quemment utilis6e jusqu'fi pr6sent parce qu'elle est plus facile h mettre en oeuvre lorsque le dispositif exp6rimental est encorebrant (mesure de la polarisation de neutrons, mesure de la polarisation de protons avant l'apparition des d6tecteurs s e m i c o n d u c t e u r s ) - . D e m~me, les conditions relatives fi la m6thode de mesure simple comprenant une seule mesure de l'asym6trie effective et une d6termination de l'asym6trie r6siduelle sont moins restric-
tives que celles relatives ~ la premi6re m6thode de mesure double, mais, dans le premier cas, deux exp&iences bien distinctes sont n6cessaires. D'autre part, c'est seulement l'examen d6taill6 de la nature des d6fauts de sym6trie possibles et de leur influence particuli~re qui nous permettra de pr6ciser si l'avantage tMorique d'une m6thode de mesure sur les autres subsiste r6ellement en pratique. 3. Les d6fauts de sym6trie dont on tient compte par l'une ou l'autre m6thode de mesure ont 6t6 caract6ris6 d'une mani~re g6n6rale, permettant une discussion ult6rieure ais6e de l'influence d'une disym6trie quelconque, et compl6te puisque les conditions que ces d6fauts doivent v6rifier sont n6cessaires et suffisantes l'existence de la relation donnant l'asym6trie inconnue ou, ce qui est 6quivalent, fi l'annulation de l'erreur syst6matique; cette derni~re proposition n'6tait pas 6vidente tout au moins dans le cas des mesures doubles. 4. La relation permettant de combiner les r6sultats des mesures doubles diff6re d'une m6thode ~ l'autre; si la relation (29a) correspondant au cas de la premiere m6thode, la plus usuelle, est bien connue des exp6rimentateurs, il ne semble pas qu'il en soit de m~me de la relation (38) correspondant au cas de la seconde m6thode; la m~me relation (29a) a parfois 6t6 utilis~e pour l'une ou l'autre m6thode de mesure double. 5. Les expressions des erreurs syst6matiques montrent enfin la correspondance existant entre chacune des m6thodes de mesure double et chacune des m6thodes de mesure simple. L'avantage, de principe, du d6placement sym6trique du dispositif analyseur de part et d'autre de l'axe primaire sur la rotation de ce m~me dispositif autour de l'axe secondaire, lorsque les conditions d'61imination ne sont pas v6rifi6es, apparait ainsi comme 6tant la prise en consid6ration de l'asym6trie r6siduelle. Par suite de cette correspondance 6galement, les expressions simples (21) ou (25) permettent de calculer, m~me dans le cas des mesures doubles, l'erreur syst6matique m a x i m u m que les d6fauts de sym6trie sont susceptibles d'introduire.