Automorphismes d'ordre p des couronnes p-adiques ouvertes

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Serie I, p. 47-50, GomCtrie algCbriquelA/gebraic Geometry

Automorphismes ouvertes Yannick

1999

d’ordre

p des couronnes

HENRIO

Laboratoire de matbematiques pm-es de Bordeaux, UPRES-A cow-s de la Libkation, 33405 Talence cedex, France Courriel : [email protected] (Recu le 31 mars 1999, accept& le 26 avril

RCsumC.

5467 CNRS,

Universitk

Bordeaux

I, 351,

1999)

Soient k un corps algebriquement clos de caracteristique p > 0 et R un anneau de valuation discrete fini sur W(k) [ ‘$i]. N ous construisons des automorphismes d’ordre p et p2 de couronnes ouvertes sur Fr R, et nous en deduisons un theorbme de relevement de courbes semi-stables (Y, G) sur k munies d’un groupe fini d’automorphismes G dont les sous-groupes d’inertie sont cycliques d’ordre p”n, a 5 2 et (n,p) = 1. Nous decrivons enfin la geometric metrique des points fixes des automorphismes d’ordre p de couronnes ouvertes a petits conducteurs. 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris

Order Abstract.

p-adiques

automorphisms

p

of p-adic

open annuli

Let lc be an algebraicall? closedjeld of characteristic p > 0 and R a discrete valuation ring$nite over W(k) [ “Ji]. We construct order p and p2 automorphisms of open annuli over Fr R, and we deduce a theorem concerning lifings of semi-stable curves (Y, G) over k, together with a jinite group of automorphisms such that the inertia subgroups are cyclic of order pan, where a 5 2 and (n,p) = 1. We also give a description of the metric geometry of fixed points of order p automorphisms of open annuli with small conductors. 0 Academic des ScienceslElsevier, Paris

Dans tout ce qui suit, R est un anneau de valuation discrete complet, K := Fr R son corps des fractions est suppose de caracteristique nulle, et son corps residue1 k est algebriquement clos de caract&istique p > 0. On designerapar T une uniformisante de R et UK la valuation de K normalide par UK(T) = 1 ; on notera encore UK l’unique extension de cette valuation a une cloture algebrique Kalg de K. Soit 5’ := Spec R, si X est un S-schema, on note XK := X xs Spec K sa fibre gCnCrique et Xk := X xs Spec k sa fibre speciale.

1. Automorphismes

d’un disque ouvert ou d’une couronne

ouverte

Considerons le S-schema V := Spec R[[Z]], sa fibre speciale Z& = Spec k[[z]] est le get-me analytique d’un point lisse d’une courbe algebrique sur k. Les points fern& de la fibre generique Note prbsent6e par Michel 0764-4442/99/03290047

RAYNAUD.

0 Acadhie

des ScienceslElsevier,

Paris

47

Y. Henrio

VK s’identifient

aux points du disque ouvert

D := {wEKalg1UK(W) > O}, modulo l’action de Gal(K”‘g/K). Si F est un ensemble fini de points rationnels sur K de T)K, on notera M(D, F) le modkle minimal de D pour lequel les spkialisations des points de F sont lisses et distinctes (voir [2]). Sa fibre spkciale est constituCe d’un arbre de droites projectives relii B la transformke stricte du point gCn&ique de z)k. Soit e un entier strictement noethbrien,

intkgre,

positif,

on notera A(e)

normal, de dimension

spkciale C,,I, = Spec

~[[~l,

~211

(z1z2)

:=

-41 (2122- 9F)’ c’est N-G

3

2. Le schema C, := SpecA(e)

est le germe analytique

un anneau local,

est plat sur R, sa fibre

d’un point double ordinaire

d’une courbe

algCbrique sur k. Choisissons, par exemple, Z1 comme paramktre de C, (ce qui correspond au choix d’une orientation du point double). Les points fern& de la fibre gCnCrique Ce,~ s’identifient alors canoniquement aux points de la couronne ouverte (d’epaisseur e) :

C, := {w E Kalg IO < we

<

e}

modulo l’action de Gal(K”‘g/K). Si F est un ensemble fini de points rationnels sur K de Ce,~, on dksigne par M(C,, F) le modkle minimal de Ce,~ pour lequel les spkcialisations des points de F sont lisses et distinctes. 11 est construit de la faGon suivante : notons aj, 1 5 j < s, les diffkrentes valuations prises par les points de F ; on commence par &later les idCaux (+‘,Z,) de A(e). Dans le modkle ainsi obtenu, deux points w1 et w2 de F vkifiant uK(w1) = UK(Q) < VK(W~ - ~2) se sptkialisent en un mCme point de la fibre spkciale. On &late les fibres formelles contenant plusieurs points de F (ce sont des disques ouverts) jusqu’g ce que l’on obtienne le modble cherchk M(C,, F). Comme dans le cas du disque, sa fibre spkciale est constituke d’un arbre de droites projectives reliC aux transformkes strictes des deux points gCnCriques de Ce,+. Si CTest un S-automorphisme de C, (resp. 23), on notera 8 l’automorphisme induit sur la fibre spkiale. On dira que u permute les bords de la couronne C, si 5 permute les points gCnCriques On appellera point fixe gComCtrique de (T un point w de C, (resp. 0) tel que (21) et (22) de Ce,k. u(w) = w ; on notera F, l’ensemble des points fixes gComCtriques de 0.

2. Construction

d’automorphismes

d’ordre

p” de couronnes

Soit a 2 1, on fixe une racine primitive p”-i&me de 1’unitC < dans Kalg. On considkre deux Sautomorphismes g1 et c2 d’ordre p” de 2) fixant 0, on supposera les points de F,, (resp. F,,) rationnels sur K. Pour i = 1, 2, il existe un unique hi inversible dans (Z/p”Z) tel que g(O) = chll. Dans le modkle du disque M(D, F,%), la fibre formelle de 0 est un disque ouvert stable par CT~qui ne posskde qu’un .point fixe gComCtrique ; il existe alors un param&re Wi de ce disque tel que c;(Wi) = chT1 W ([2], remarque suivant la proposition 6.2.1). En utilisant l’action de Gal(K”‘g/Fr W(k)) sur les coefficients de la sCrie ~2( Z), on peut supposer que hl = - h2 (noter que cette action ne change pas 52). Pour i = 1, 2, on note Di une copie du disque D, la fibre formelle de wi dans M(Di, F,%) est alors le disque {w E Di 1 UK(w) > ni}, Oti 7~ := maX{vK(w’); W’ E F,%, W’ # O}. Notons Ci la couronne semi-ouverte (d’kpaisseur ei := 7~i + 1) obtenue en retirant 2 Di, pour i = 1, 2, le disque ouvert {w E Di 1 UK(w) > 1 -I- ni} ; il existe alors un paramktre I&‘, de la couronne d’kpaisseur nulle {w E Di 1 UK(w) = 1 i- ni} tel que l’action de gi soit don&e par Ui(Wi) = chzj wi. Soit

48

Automorphismes

Ca la couronne fermee d’epaisseur ea E N (i.e. l’affindide

d’ordre

JI des couronnes

p-adiques

wx d’algebre de Tate (WW/

ouvertes

W’l _ Tea) 1, munie

de l’automorphisme (~0 d’ordre p” defini par go(W) = ch;: W, cra(W’) = chz: W’ = <-hii W’. On peut recoiler de man&e Cquivariante Ci et C’s a CO en identifiant W a Wi et W’ a @‘a. On obtient ainsi une couronne ouverte (d’epaisseur eo + ei + es), munie d’un automorphisme d’ordre p”. 11 suit alors de [l] et [2] la : PROPOSITION 2.1. - (i) Pour tout entier a > 1, quitte a faire une extension jinie de K, il existe un entier e 2 1 et un automorphisme d’ordre p” de C, qui induit un automorphisme d’ordre pa de chaque branche de C+

(ii) Si 8 est un automorphisme de Spec

WZl,

z211 ne permutant pas Eesbranches du point double,

(ma)

’

qui induit un automorphisme d’ordre p” (1 5 a 5 2) de chaque branche, alors il existe un entier e 2 1 et un automorphisme o d’ordre pa de C, qui induit 5 sur Ce,k N Spec

k[[%, z211 (ZlZ2)

3. Application

au relkvement

de revctements

galoisiens

.

de courbes semi-stables

On considere une courbe algtbrique Y sur I?, propre, connexe, semi-stable, muni d’un sous-groupe fini G de AutkY, operant librement sur un ouvert dense. Soit y un point double de Y, de stabilisateur G, cyclique. Le sous-groupe Ht, de G, form6 des automorphismes ne permutant pas les branches analytiques du point double y et d’ordre premier a p est muni de deux cat-act&es x~,~, xy,a : Hy + Ic* correspondant a l’action de Hy sur l’espace tangent en y. Suivant [5], on dira que l’action de G sur Y est kummerienne si, pour tout point double y de Y, de stabilisateur cyclique, on a xy,i xy,2 = 1. THGORGME 3.1. - Si les groupes d’inertie de (Y, G) sont cycliques, de p-exposant infe’rieur ou &gal a 2, et si l’action de G sur Y est kumme’rienne,quitte a faire une extension jinie de K, il existe un S-schema y, propre, plat, de$bre speciale Y, de$bre genne’rique geome’triquementlisse sur K , muni d’une action de G relevant celle sur Y. Notons f : Y + X := Y/G le morphisme quotient, la courbe X est semi-stable et on peut recouvrir Y par une famille finie d’ouverts affines G-stables V, tels que f(Va) contienne au plus un point de ramification de f. On utilise alors les methodes de <
d’ordre

p d’une

couronne

ouverte & petits conducteurs

Soit a un S-automorphisme d’ordre p de C,, operant sans inertie sur les composantes irreducibles de C,,k. Pour i = 1, 2, on note rni + 1 le conducteur de Hasse de l’extension p-cyclique Ic((zi))/k((z;))” ([7], p. 234) ; on a card F, = ml + ma. Quitte a faire une extension finie de K, on supposera tous les points fixes de 0 rationnels sur K. On notera n1 (resp. 72) le point generique de la composante irr&luctible de C+ definie par z2 = 0 (resp. z1 = 0). On choisit Zi comme parametre de la couronne ; de man&e analogue a [2], en suivant la reduction du p,-torseur generique C, + C,/(F) le long des couronnes d’epaisseur nulle VK( 2,) = a, 0 < a < e, on obtient le resultat suivant : 49

Y. Henrio

THJ?ORI?ME 4.1. - Si ml < p et m2 < p, la fibre spe’ciale ikfk du modele M (C,, F,) est de l’un des trois types suivants : type I : si e > (& + $-)vK(< - l), A4 k est formee d’une chaine de deux droites projectives, chacune reliee a la transform&e stricte d’un point genne’rique de Ce,k ; de plus, ml (resp. ma) points&es se spe’cialisent sur la composante reliee a la transform&e stricte de ~1 (resp. 772)et sont de valuation & WK(( - 1) (resp. e - &- WK(C - 1)). type II : Si e = (& + $)WKK - l), A4k est formee d’une seule droite projective reliee aux transform&es strictes de ~1 et 72, sur laquelle se spe’cialisent tous les points de F,, qui sont equidistants et de meme valuation $vK(< - 1). typeII1: Sic< (&+&)vK(<-l),l es t ransformees strictes de ~1 et 772sont reliees h une meme droite projective Eo dans Mk. De plus, iVIk est constitue’e d’arbres (Aj)lljlr de droites relies a Eo avec 1 5 r 5 inf(mi, m2). Les points de F, sont de valuation &vK(< - 1) et se specialisent dans les bouts des arbres Aj. Si le nombre de points de F, se specialisant sur Aj est infe’rieur ou &gal h p, Aj est en fait constitue’ d’une seule droite (sur laquelle se specialisent au moins deux pointsfies).

Les automorphismes que l’on construit en section 2 sont du type I. A l’aide de revetements pcycliques de Pk ayant une reduction semi-stable convenable, formee de deux composantes se coupant suivant un unique point double ordinaire, on montre qu’il existe des automorphismes de couronne du type II ou III. Soient ml et rn2 des entiers superieurs a 1 et A un arbre de droites projectives sur k, se coupant suivant des points doubles ordinaires, marque en ml + m2 points lisses. On dira que A est du type (I, ml, mz) si A est form6 de deux droites marqueesrespectivement en ml et m2 points lisses.On dira que A est du type (II, ml, mz) si A est form6 d’une seule droite. On dira que A est du type (III’, ml, ma) si A est form6 de T + 1 droites (Ej)Olj17 (1 5 T 5 min(mi, ma)) telles que Eo ne possedepas de points marques et, pour tout j, 1 5 j 5 T, Ej est reliee a EO et le nombre Nj de points marques sur Ej verifie 2 5 Nj 5 p. Enfin, on dira qu’un arbre A de droites projectives marqueesprovient d’un automorphisme (T d’ordre p d’une couronne ouverte, a conducteurs ml + 1 et m2 + 1, si la fibre speciale de M (C,, F,), privee des transformees strictes de ql et r/a, est isomorphe a A. PROPOSITION 4.2. - Si ml < p et m2 < p, il n ‘existe qu ‘un nombrejini de classesd’isomorphismes d’arbres de droites projectives marquees du type (I, ml, mz), (II, ml, ma) ou (III’, ml, m2) qui proviennent d’un automorphisme d’ordre p d’une couronne ouverte.

Remarque 4.3. - Nous ne savons pas s’il existe des automorphismes CJd’ordre p d’une couronne ouverte, a conducteurs ml + 1 et m2 + 1 et du type III dont la fibre spCciaIe ne soit pas du type (III’, ml, m2>.

Rkfkrences [l] [2] [3] [4] [5]

bibliographiques

Green B., Matignon M., Lifting of Galois covers of smooth curves, Compos. Math. 113 (3) (1998) 237-272. Green B., Matignon M., Order p automorphisms of the open disc of a p-adic field, J. Amer. Sot. 12 (1) (1999) 269-303. Harbater D., Formal patching and adding branch points, Amer. J. Math. 115 (1993) 487-508. Harbater D., Stevenson K., Patching and thickening problems, J. of Alg. 212 (1999) 272-304. Saidi M., Revetements &ales abeliens, courants sur les graphes et reduction semi-stable des courbes, Manuscr. Math. 89 (1996) 245-265. [6] Sai’di M., Revetements modtres et groupe fondamental de graphe de groupes, Compos. Math. 107 (3) (1997) 319-338. [7] Serre J.-P., Corps locaux, Hermann, Paris, 1968.

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