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Compléments à la démonstration de la conjecture de Baum-Connes pour certains groupes possédant la propriété (T)
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, SCrie I, p. 203-208, Analyse math6matiquelMatbematical Analysis (Topologie/Topology)
1999
Complhments h la dhmonstration de Baum-Connes pour certains la proprihth (T) Vincent
de la conjecture groupes posshdant
LAFFORGUE ,
DMI, Ecole normale supi%ieure, Courriel : [email protected]
45,
rue d’Ulm, 75005 Paris, France
(Requ le 26 octobre 1998, accept6 le 10 novemhre 1998)
R&urn&
Nous complCtons [3] et nous donnons une preuve purement I(-thCorique de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de Lie semi-simples. 0 Acadkmie des ScienceslElsevier, Paris Complements to the proof for some groups satisfying
of the Baum-Connes property (T)
conjecture
Abstract.
We complete [3] and we give a purely K-theoretic proof of the Cannes-Kasparov conjecture .for semi-simple Lie groups. 0 AcadCmie des ScienceslElsevier,Paris
Abridged
English
Version
We first sketch the proof of Proposition 4. I of [3]. Let (X, d) b e a weakly bolic weakly geodesic and uniformly locally finite metric space (see [I]) such that for any S > O and any 7‘ > 0 there exists R > 0 such that for any 1c, y, z, t in X satisfying d(z, y) + a(z,t) 5 7’ and d(z:, z) + d(y) t) 2 R, we have d(z, t) + d(y, z) 5 d(z, z) + cZ(y,t) + 2s. Let G be a locally compact group acting continuously properly and isometrically on (X. d). Let s E a;9; and fix 2 E X. We prove that y E KKG(C, C) (constructed by Skandalis and Kasparov in [ 11) has the same image as 1 in KKg%.< (C, C), where &(,y) = cscl(z.@‘). Let N E Iw+ be big enough and let n be the set of parts of X of diameter 5 N and P,,,,, = supsEa #(S) and a,, = {S E a; #(S) = P) f or any p E (0, . . , p,,,,,}. For any S E a - 0 set dave(2;S) = & CaES cZ(z;CL)and set clave(z,O) = 0. For any p E {O,. . . !prIlax } set E& the completion of C cAp) for the norm llzllE;,, = CsEa, I:z(S)l edve(z,S) and E;, the completion of 43cap) for the norm II
par Alain CONNES. 0 AcadCmie
des Sciences/Elseviet,
Paris
203
V.
Lafforgue
Z/2-graded
complex associated to the complex (El.,T & I& . . Epllldx+> belongs to E$,%9 (43, C) and 3. is homotopic to 1 (this uses the fact that the simplicial-homology complex is exact and G-equivariant). Then we deform the operators and the spaces from !I and CO spaces to &‘-spaces and we obtain y. We also prove the following theorem, with the de Rahm cohomology complex on X playing the same role as the simplicial homology complex above. THEOREM 0.1. - Let G a locally compact group and X a complete simply connected Riemannian manifold with non-positive and bounded below sectional curvature, equipped with a continuous isometric and proper action I$ G. Let y E KKc;(C, C) the element constructed by Kasparov in [2], 4.2, 5.1 and 5.4. Fix 1: E X and s E W; and set N,(g) = esd(.r.gz) for g E G. Then y and 1 have the same image in KK$‘!&x (C, C) for any h; > 0. Thanks to Corollary 3.4 of [3] (with d(G) equal to a variant of the Schwartz space of G) we prove the Connes-Kasparov conjecture for Lie groups with a semi-simple Lie algebra and such that the adjoint morphism has a finite kernel.
Cette Note fait suite B la note [3]. D’une part, nous esquissons la preuve de la proposition 4.1 de [3] et d’autre part, nous montrons un rCsultat analogue pour tous les groupes localement compacts agissant proprement contintiment et isomCtriquement sur une vari&tC riemannienne complbte simplement connexe et de courbure sectionnelie nkgative ou nulle et bornCe infkrieurement : si G est un tel groupe nous construisons une homotopie entre 1 et I’tlCment y de KKG(C, C) construit par Kasparov dans [2], dans certains groupes de K-thCorie banachique construits dans [3]. Ce rCsultat supplementaire nous permet de donner une dCmonstration purement K-th&orique de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de Lie semi-simples, plus prCcisCment pour les groupes de Lie dont l’algkbre de Lie est semi-simple et tels que le morphisme adjoint ait un noyau fini. Pour cela nous utilisons le corollaire 3.4 de [3] avec pour A(G) une variante de l’espace de Schwartz de G. La conjecture de Connes-Kasparov avait 6tC etablie par Wassermann dans [4] pour les groupes de Lie semi-simples lin6aires connexes en s’appuyant sur la connaissance explicite du dual temper6 de ces groupes, c’est-g-dire sur un immense travail.
1. Homotopie
entre y et 1 pour les groupes boliques
Nous esquissons la preuve de la proposition 4.1 de 131.Les notions utilisCes sont dCfinies dans [l] et [3]. TH~OR~ME 1. I. - Soient (X, d) un espace mktrique fuiblement g&od&ique, fortement bolique et uniformiment localement jini et G un groupe localement compact agissant continliment, proprement et par isom&ries sur (X, d). Fixons LCE X et d&inissons pour tout s E R; une nor-me tis sur G en posant Ma(g) = esd(z~9z). Soit y E Kh’~(63. C) I”1e e’ment construit par Kusparov et Skandulis dans [ 11. Alors, pour tout s E W;, y et 1 ant me^me imuge duns KK@irs (C, C). Soient (X, d) et G comme dans le thCori?me. Fixons s E W; et montrons que y E KKG(C; C) et 1 r A ont meme image dans h K$J,% cc, Cl. On choisit 1%’ E [w+ assez grand et on note A i’ensemble des parties de X dont le diambtre est inf&ieur ou 6gal B N, et pour S E A - 0, on pose U.7 = {z E X, {z} u S E A}. Comme (X, d) est uniformdment localement fini, supsEa #(S) est fini et on note p,,, = supsch on note Ap = {S E A, #(S) = p}. #(S). Pour tout y E (0,. . ,p,,,,} Dans [I], Kasparov et Skandalis construisent, pour :c E X et S E A - 0, une mesure $.s,~ positive de masse 1 et 51support dans I/s. On pose ‘Gli~.~= $I{~},~. On note $s,~ = 6, si hen que lJds,zll~~ = 1. On note Ccs) le C-espace vectoriel form6 des fonctions g support fini de X dans 43, dont la base canoniqueest notCe (ey)yE-y. Pour tout S E A-8 onnote es = zte,, A...A~,,~ si S = {zl,...;x,},
204
Conjecture
de Baum-Connes
et propriM
(1)
le choix du signe n’ayant aucune incidence dans la suite, et pour tout p E { 1; . . . ,p,,,,,} on note L, le sous-espacevectoriel de A(C(“)) engendrCpar les es quand S parcourt Ap. On note Cgalemente0 l’ttat du vide dans A(@-‘)) et Lo = Ceo. On note C” l’espace des fonctions de X dans C, qui est le dual algCbrique de Ccs). Pour tout p E (0,. . . ,pmax - l} on note i31,: I&+1 --) L, la contraction Bgauche par (. . . ! 1, 1, . .) E CAY.En d’autres LfPlllRX -1 termes, 8, : LI + Lo est d6fini par ;30(&,~~ nyeY) = CUES CL~et (LI % LZ ... L,,,Ia,) est le complexe d’homologie simpliciale. Enfin, on note L = @EyOx L, et 0 I’opCrateur de degr6 -1 de L dans lui-m&me constitut5 par les tip. Pour p E { 1,. . . ,p,,,, - 1) on dCfinit h, : L, -+ L,+I par h,(es) = $s,= A es. On d&nit ho : Lo + L1 par ho(~) = Go,.~et on note h 1’opCrateurde degrC 1 de L dans &m&me constituC par les h,. On a h2 = 0. Pour tout p E { 1, . . . ,plllaX} on note ?I, le sous-espacede Hilbert de A(e2(X)) engendrCpar les es quand S parcourt Ap, et on poseIFI = @i:; ‘I-& graduCpar p- 1 modulo 2. Pour p E { 1,. . . ,p,,,, - I} on note f, : FtH, --) ?&+I et gp : 7-&+x + ;Ft, les opkrateurs dCfinis par .&(cs) = as., A es et gp(es) = #)~,~.Jies. PROPOSITION 1.2 (extraite de [ 1I). - Le complexe Z/2-,yrudue’ ussocie’& (‘HI 2 3-12. . 7-I,,,,a,.) !?I appartient & EG (C: C). Kasparov et Skandalis dkfinissent y comme la classede ce complexe dans KKc:(C, C). Soit w E W;. Pour S E A on pose d,,,,y (x, 5’) = &q )&S d(z: 0,) si S # B et dn,uy(.z, B) = 0. = Pour tout p E {O! . . ,pmax} on note Ez,,, le complCt6 de L, pour la norme 11CSES, :I;(S)~SIJ~~>.,~ SEay Ix(S)leU’dmoy(zrS) et E&, le cornpI&& de L, pour la norme )I Cstn, <(S)e,~lj~z,,, = supsea, c I(( S) leewdmoy (z,s). Munie du crochet evident d&ini par (<:x) = CSEA, <(S)z:(S), (E&,. EL,,:) est une (G, NW)-C-paire, not6e EP,“. On note aussi E, = @Ez< EP+:. Toute la construction tchouerait si on avait choisi des normes de type C2 au lieu de Y’ et 1”. LEMME 1.3. - Soient w E iw; et T : L -+ L une application linkaire telle qu’il existe r E W+ avec, pour tout S E a, T(es) E Cw. Si supsEa IIT(es)llrl I +x, (?i”,T) c3 T
rel que d moy(z,T)ldmoy(Z.,S)+I.
d&nit un e’l&nent de L(E,), note’ T par abus. Si de plus IIT(es)lle~ tend vers 0 quand 5’ sort des parties finies de A, T appartient & Ic(E,). Par suite, pour tout w E W$, h et i3 sont des morphismesde C-paires de E, dans lui-msme et on montre que g H g(h) - h est une application continue de G dans K(E,). PROPOSITION 1.4. - I1 existe un morphismede C-paires J : E, + E, de degre’ 1 tel que : - g H ,9(J) - J est une application continue de G duns K(E,s). - on a Icl~~ = 3-J + Ji) et J*=U, - il existe r E R+ tel que pour tout S E a, on ait J(es) E CCT. CEI T Id qued”,OP(S.T)ld,,,,y(.r,S)+I. Or on a le resultat suivant, qui se dCmontregrsce 5 un argument de dLformation, qui m’a Ct6 sugg&6 par Jean-Benoit Bost. PROPOSITION 1.5. - Soient G un groupe loculement compact et N une norme sur G. Soient Eo: . . . : E,, des (G, N)-C-paires, E = @z=“=,Ei, f E L(E) de degre’ 1 et g E L(E) de de@ -1, tels que f2 = 0, g2 E K(E), (Id - gf - fg) = 0, et f = h(f) p our tout h E G et que h ++ g - h(g) soit une fl
application continue de G duns K(E). Alors le complexe Z/2-graduP associe*ci (Eo = El 91 appartient ci Ep;;( 63,C) et est homotope & 0.
. . ErL)
205
V. Lafforgue
Les propositions COROLLAIRE.
-
I .4 et 1.5 impliquent I
le corollaire
.6. - Le complexe Z/2-grad&
suivant.
associe’ci (El,, G!b Ez,+ . . EPmox,s) appartient b 81
Ek,qT (C, C) et est homotope & 1. DEFINITION 1.7. - Pour IU E R+ on dCfinit I’isomorphisme de C-paires IV,,,: ES+,,: --+ E, en posant : 6),3(es) = euTdmn~(s-S)~s et Q;(es) = ~~~‘~~oY(~~~)c~ pour S E a.
LEMME 1.8. - Pour w E R+ asset grand Id - (dh + hi3) E L(E,+,) est de rayon spectral strictement infe’rieur 131. Nous fixons dksormais w E R+ tel que la conclusion du lemme 1.8 soit vraie. On note alors H = h(i3h + ha)-’ = (ah + hi3)-‘h E L(E,+,) : 1’6galitC a lieu car (Dh + hf3)h = hi3h = h(ah + ha) puisque h 2 = 0. L’idCe d’introduire I’op&ateur H, qui joue un r61e essentiel, m’a CtC suggCr6epar Georges Skandalis. R,,.Hl(e,,)-’ PROPOSITION 1.9. - Le complexe Z/2-gradue’ associe’ri (EI,,~ ----+ +-.-.-. . Ep,,,,,S) appartient b B,,.i)l(B,,1-l EeiTq (C, C) et est homotope au complexe Z/2-gradue’ associtf 4?( El,,V 2 Ez,~ . . E,,,x +). a1 La proposition suivante acheve l’homotopie entre 1 et 7. %HI(@,,,)-’ PROPOSITION 1.10. - Les complexes Z/2-graduks associb ci (EI,,~ -,+-----E2,s . ’ Ep,,, fl eu.a,(&.)-’ sont homotopesdans E,$$;g (C, C). (Xl i= a2 . . R,,,,ax) On “montre
que le premier complexe est homotope au complexe Z/2-grad&
,s )
et ir
associC B
(E1.o & E2.0 . . %,,,x, “). On note que E,;” = (co(&), P1(Ap)). On termine alors I’homotopie Yl en introduisant les G-C-paires (@‘(A,), F’(A,)) pour y variant entre 1 et 2 et 9’ tel que i + $ = 1.
2. Homotopie entre y et 1 pour les groupes agissant proprement nkgative ou nulle
sur des variCtQ
de courbure
Soient G un groupe localement compact et X une variCt6 riemanniennecomplkte simplement connexe de courbure sectionnelle nCgative ou nulle et bornCeinfkrieurement munie d’une action de G continue isom&trique et propre. On note C,(X) I’alg&bre des sections continues tendant vers 0 A I’infini du fibr6 en algbbres de Clifford associC& l’espace cotangent complexif%?de X (voir [2], 4.1). Kasparov construit un ClCmentde Dirac [d] E KKG(C, (X), C) et un CICmentdual-Dirac 77E h’K~(43, C,(X)) et note y = v @c,(s) [d] E KKG(C, C) leur produit (voir [2], 4.2, 5.1 et 5.4). Pour :z, y E X on note al(z:, y) la distance g6odCsiquede z 5 y. Dans toute la suite on fixe un point x0 dans X et pour tout ?j E X on pose p(y) = d(:co, y). Pour tout y E G on note l(g) = &JO) = d(:c~,g~:~). I1 est immCdiat que la fonction I : G -+ R+ est continue et vCrifie I(g,g2) _<1(g1) + I(yp) quels que soient yl, yp E G. Par suite pour tout K E W+ on dkfinit une norme N, sur G en posant N,(y) = eKi(g). TH~OR~ME
2.1. - Pour tout IC E R;, y et 1 ont m&meimage dans KKgzT, (C, C).
On remarque que la suite de normes (N&)iE~* converge uniformkment vers 1 sur tout compact de G. Esquissonsla preuve du thCor&me.D’a6ord on rt5aliseexplicitement l’&ment y. On considere l’espace de Hilbert L2(X:A*(TEX)) des f ormes complexes L2 sur X, grad& par le degrCdes formes modulo 2. Pour tout champ B de l-formes sur X on note X0 la multiplication ext&rieure (5 gauche) par 0 sur les formes 5 support compact et A; 1’opCrateurde contraction formellement adjoint
206
Conjecture
de Baum-Connes
et proprii?tC
(T)
de X0. D’autre part, on note d la diffkrentielle extkrieure sur les formes C” B support compact, d* son adjoint formel et a = dd* + d’d = (d + d*)’ le laplacien. Enfin, on pose p’ = &?-?i et < = d(p’). On pose DDt= d + d* + t( Xc + AT) pour tout t E W+. PROPOSITION 2.2. - Lorsque t est assezgrand, KerVDt est de dimensionjinie et si on note ~~~~~~ le projecteur orthogonal sur KerVt, l’ope’rateur Vz + ~K~,.D~est inversible d’inverse borne’ et l’e’le’ment (L2(X, A*(TEX)),DO,(Dz + PK.+D~)-~) appartient k EG(C, C) et reprksente y.
2.1. Construction
prdliminaire
Nous construisons d’abord quelques espacesde Sobolev sur X. On note n la dimension de X. Pour tout z E X on note exp, : T,.X -+ X I’exponentielle. On identifie exp:(A*(TEX)) au fib& trivial sur T,X de fibre h*(Tt,, X). De plus, on choisit un systbme de coordonnkes orthonormk (t 1! . . i tn) sur T,X. Pour toute forme w de classeC” sur X, pour tout z E X et pour tout entier s E N, on note
Pour tout g E G et pour tout z E X on a Reg,,,(g*(w))
= Reg,9,,,T(w).
DEFINITION 2.3. - Pour tous p E [l, +co], s E N, 6 E R+ et k E {0, . . . .7~} on note Wz;i la complCtion de Cr (X, A” (TEX)) pour la norme
Pour tous p E]l,+w[, s E N, 6 E Iw+ et I; E (0,. . . ,7~} on note ~9:;: = ((Wk$)*,W~~~) la (G; Ns)-C-paire formke par Wg$ et son dual topologique. Darts la suite de ce paragrapie nous supposonsque p appartient 1311,+c)o[ et que S > z, oti C est une constante telle que z H e-cP(x) appar?ienneci L’(X). On pose de plus E_1 = (C,C). On note d’ : C + Eg’T” l’applicat’ion qui 2 X E a3 associe la fonction constante sur X tgale & X et d< sa transposte. De m&me, pour tout k E {0, . . ,rb - l} on note d> : Ei;;-k.>
-+ Eg;&{(“+‘)”
la
diffkrentielle extkrieure et d< sa transposke.Ainsi, (E-, -% “g$’ -% . . . Ei;z) est un complexe de morphismes de C-paires, d est exactement &quivariant et vCrifie d2 = 0. Construisons une homotopie pour ce complexe. I1 existe un opkrateur G-kquivariant Kloc sur Cy (X: A*(TEX)), diminuant le degrC des formes de 1 et vkrifiant les propriCtCssuivantes : Kloc est associk B un noyau k(z, y) (singulier le long de la diagonale) tel que k(z, y) = 0 si d(z, y) > 1, et pour tous p E] 1, +cQ[, k E { 1, . . . ! n}, S E W+ et s E thl, Kloc est continu de Wg,‘i vers Wf;;,“::, et dK’“” + K’““d - Id est G-Cquivariant et continu de Wz,‘i vers Wgli+“, pour k E (0, . , n} et les normes de ces deux optrateurs restent bomtes si p, b parcourent des compacts et k et s restent fixes, D’aprks le lemme de PoincarCle complexe (C -?-+ C”(X, C) --% . C”(X, h”(TEX))) est exact. Pour construire une homotopie on adopte la formule traditionnelle en moyennant sur le point base. Soit z E X. Pour f E C-(X), on pose Is(f) = f(z). Pour tout t E]O, l] on note 4.T,t : X -+ X la contraction de rapport t suivant les gBodCsiquesissues de z, et pour tout k > 1, pour tout w E C”(X,A”(TtX)), on pose
207
V. Lafforgue
Enlin on choisit une fonction $ : X + R+ de classe C”, pose I = ly $(x)lZdz. II est clair que 1tl + d I = Id. LEMME
a support compact et d’intkgrale
1, et on
2.4. - Pour tout .YE N, I est continu de Wf’I,“+l vers Wz;L et de IV’:” a,0 vers C.
Lorsque .Y = n - k: on pose K = Klvr + I(Id - (dK’“’ + K’OCd)), si bien que (‘K: K) est un morphisme de C-paires de degrC -1 de E-1 @ @rEO Ei;c-” dans lui-m&me et on note par abus K = (tK,K). On a Kd+dK = Id et 9 H g(K) - K est une application continue de G dans K(E-1 CB@;=~E;;;-' ). En effet. Id - (d X1’)’ + KICICd) est continu de Wg;;-” dans Wg$-“‘* et G-Cquivariant et 9 H ~(1) - I est une application continue de G dans Ic( Eg;l-k+2, E~;~~f+‘). Posons L = K d K. On a Ld + d L = Itl, L* = 0 et .QH g(L) - L est une application continue de G dans IC(E-1 CB@z=, Enq’Lek). PROPOSITION 2.5. - Le complexe Z/2-grudut; associe’au complexe (E&’ 3
’ . . Ei;7y) appartient ci
L
Egg6(C,C)
et est homotope ti 1.
Cela r&ulte de la proposition 1.5.
2.2. Description
de I’homotopie
Duns toute la suite on fixe ti > 0 et on construit une homotopie entre 1 et y dans KKgKTti (Cc,C). Cette homotopie est realis&een plusieurs &apes, en partant de 1 et en aboutissant & y. 11existe p, ~11, +co[ tel que h; > E. D’aprks la proposition 2.5, le complexe Z/2-grad& associCau complexe (E$j’” 3
. . . E[;,;‘)
appartient B EgjGk (C, C) et est homotope & 1.
Pour tous p E]1,L+33[, s E N, d E R,, a E R+ et k E (0,. . ,71.} on note O,, I’isomorphisme (non isom&rique) d’espacesde Banach de Wg’&x,k vers Wg,‘l d&ini par Qo(w)(x) = c+Q’(~)w(T). On note encore 0, le morphisme de C-paires de E,PI;So,,dans Eg’l, constitut de 0, dCfini ci-dessus et de I’opCrateur qui lui est transposC. Nous choisissons,fj E W; assez grand. Odd”;’ PROPOSITION 2.6. - Le complexe Z/2-grad&
6 Ep(C,
associe’au complexe (E$,’ 7 . . . E,“$) appartient Q,~LQJ C) et est homotope ti 1 duns E&‘ifi (C, C).eJdOJ,
Le complexe P/2-graduC associCau complexe (Ei:c (
. . . Ei$) ne fait plus intervenir que des
OJLCJ;’
espacesde Hilbert et il est homotope dans Ep(C, C) au complexe Z/2-gradut? associ&au complexe d+P+ + . . . Ei;:) (on a 8,+10,1 = d + PA<). Dans ce demier complexe on (E,“:,n < (d*+~X;)(~~+pK,,na)-’ remplace les op&ateurs de degrC 1 et -1 par des opkrateurs de degrk f et -t, t variant entre 0 et 1, avec pour espacesdes espacesde Sobolev non entiers. On aboutit enfin g y. Remerciements.Je remercieJean-BenoitBest, Alain Connes,et GeorgesSkandalispour leurs suggestions et pour leur aide.
RCfkences
hibliographiques
[I] Kasparov G., Skandalis G., Groupes boliques et conjecture de Novikov, C. R. Acad. Sci. Paris 319 SCrie I (1994) 815-820. [2] Kasparov G.G., Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture, Invent. Math. 91 (1988) 147-201. [3] Lafforgue V., Une demonstration de la conjecture de Baum-Connes pour les groupes rt?ductifs sur un corps p-adique et pour certains groupes discrets possedant la propriCt& (T), C. R. Acad. Sci. Paris 327 S&e I (1998) 439-444. [4] Wassermann A,, Une dCmonstration de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de Lie IinCaires connexes rCductifs, C. R. Acad. Sci. Paris 304 S&tie I (1987) 559-562.
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1999
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of the Baum-Connes property (T)
conjecture
Abstract.
We complete [3] and we give a purely K-theoretic proof of the Cannes-Kasparov conjecture .for semi-simple Lie groups. 0 AcadCmie des ScienceslElsevier,Paris
Abridged
English
Version
We first sketch the proof of Proposition 4. I of [3]. Let (X, d) b e a weakly bolic weakly geodesic and uniformly locally finite metric space (see [I]) such that for any S > O and any 7‘ > 0 there exists R > 0 such that for any 1c, y, z, t in X satisfying d(z, y) + a(z,t) 5 7’ and d(z:, z) + d(y) t) 2 R, we have d(z, t) + d(y, z) 5 d(z, z) + cZ(y,t) + 2s. Let G be a locally compact group acting continuously properly and isometrically on (X. d). Let s E a;9; and fix 2 E X. We prove that y E KKG(C, C) (constructed by Skandalis and Kasparov in [ 11) has the same image as 1 in KKg%.< (C, C), where &(,y) = cscl(z.@‘). Let N E Iw+ be big enough and let n be the set of parts of X of diameter 5 N and P,,,,, = supsEa #(S) and a,, = {S E a; #(S) = P) f or any p E (0, . . , p,,,,,}. For any S E a - 0 set dave(2;S) = & CaES cZ(z;CL)and set clave(z,O) = 0. For any p E {O,. . . !prIlax } set E& the completion of C cAp) for the norm llzllE;,, = CsEa, I:z(S)l edve(z,S) and E;, the completion of 43cap) for the norm II
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Z/2-graded
complex associated to the complex (El.,T & I& . . Epllldx+> belongs to E$,%9 (43, C) and 3. is homotopic to 1 (this uses the fact that the simplicial-homology complex is exact and G-equivariant). Then we deform the operators and the spaces from !I and CO spaces to &‘-spaces and we obtain y. We also prove the following theorem, with the de Rahm cohomology complex on X playing the same role as the simplicial homology complex above. THEOREM 0.1. - Let G a locally compact group and X a complete simply connected Riemannian manifold with non-positive and bounded below sectional curvature, equipped with a continuous isometric and proper action I$ G. Let y E KKc;(C, C) the element constructed by Kasparov in [2], 4.2, 5.1 and 5.4. Fix 1: E X and s E W; and set N,(g) = esd(.r.gz) for g E G. Then y and 1 have the same image in KK$‘!&x (C, C) for any h; > 0. Thanks to Corollary 3.4 of [3] (with d(G) equal to a variant of the Schwartz space of G) we prove the Connes-Kasparov conjecture for Lie groups with a semi-simple Lie algebra and such that the adjoint morphism has a finite kernel.
Cette Note fait suite B la note [3]. D’une part, nous esquissons la preuve de la proposition 4.1 de [3] et d’autre part, nous montrons un rCsultat analogue pour tous les groupes localement compacts agissant proprement contintiment et isomCtriquement sur une vari&tC riemannienne complbte simplement connexe et de courbure sectionnelie nkgative ou nulle et bornCe infkrieurement : si G est un tel groupe nous construisons une homotopie entre 1 et I’tlCment y de KKG(C, C) construit par Kasparov dans [2], dans certains groupes de K-thCorie banachique construits dans [3]. Ce rCsultat supplementaire nous permet de donner une dCmonstration purement K-th&orique de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de Lie semi-simples, plus prCcisCment pour les groupes de Lie dont l’algkbre de Lie est semi-simple et tels que le morphisme adjoint ait un noyau fini. Pour cela nous utilisons le corollaire 3.4 de [3] avec pour A(G) une variante de l’espace de Schwartz de G. La conjecture de Connes-Kasparov avait 6tC etablie par Wassermann dans [4] pour les groupes de Lie semi-simples lin6aires connexes en s’appuyant sur la connaissance explicite du dual temper6 de ces groupes, c’est-g-dire sur un immense travail.
1. Homotopie
entre y et 1 pour les groupes boliques
Nous esquissons la preuve de la proposition 4.1 de 131.Les notions utilisCes sont dCfinies dans [l] et [3]. TH~OR~ME 1. I. - Soient (X, d) un espace mktrique fuiblement g&od&ique, fortement bolique et uniformiment localement jini et G un groupe localement compact agissant continliment, proprement et par isom&ries sur (X, d). Fixons LCE X et d&inissons pour tout s E R; une nor-me tis sur G en posant Ma(g) = esd(z~9z). Soit y E Kh’~(63. C) I”1e e’ment construit par Kusparov et Skandulis dans [ 11. Alors, pour tout s E W;, y et 1 ant me^me imuge duns KK@irs (C, C). Soient (X, d) et G comme dans le thCori?me. Fixons s E W; et montrons que y E KKG(C; C) et 1 r A ont meme image dans h K$J,% cc, Cl. On choisit 1%’ E [w+ assez grand et on note A i’ensemble des parties de X dont le diambtre est inf&ieur ou 6gal B N, et pour S E A - 0, on pose U.7 = {z E X, {z} u S E A}. Comme (X, d) est uniformdment localement fini, supsEa #(S) est fini et on note p,,, = supsch on note Ap = {S E A, #(S) = p}. #(S). Pour tout y E (0,. . ,p,,,,} Dans [I], Kasparov et Skandalis construisent, pour :c E X et S E A - 0, une mesure $.s,~ positive de masse 1 et 51support dans I/s. On pose ‘Gli~.~= $I{~},~. On note $s,~ = 6, si hen que lJds,zll~~ = 1. On note Ccs) le C-espace vectoriel form6 des fonctions g support fini de X dans 43, dont la base canoniqueest notCe (ey)yE-y. Pour tout S E A-8 onnote es = zte,, A...A~,,~ si S = {zl,...;x,},
204
Conjecture
de Baum-Connes
et propriM
(1)
le choix du signe n’ayant aucune incidence dans la suite, et pour tout p E { 1; . . . ,p,,,,,} on note L, le sous-espacevectoriel de A(C(“)) engendrCpar les es quand S parcourt Ap. On note Cgalemente0 l’ttat du vide dans A(@-‘)) et Lo = Ceo. On note C” l’espace des fonctions de X dans C, qui est le dual algCbrique de Ccs). Pour tout p E (0,. . . ,pmax - l} on note i31,: I&+1 --) L, la contraction Bgauche par (. . . ! 1, 1, . .) E CAY.En d’autres LfPlllRX -1 termes, 8, : LI + Lo est d6fini par ;30(&,~~ nyeY) = CUES CL~et (LI % LZ ... L,,,Ia,) est le complexe d’homologie simpliciale. Enfin, on note L = @EyOx L, et 0 I’opCrateur de degr6 -1 de L dans lui-m&me constitut5 par les tip. Pour p E { 1,. . . ,p,,,, - 1) on dCfinit h, : L, -+ L,+I par h,(es) = $s,= A es. On d&nit ho : Lo + L1 par ho(~) = Go,.~et on note h 1’opCrateurde degrC 1 de L dans &m&me constituC par les h,. On a h2 = 0. Pour tout p E { 1, . . . ,plllaX} on note ?I, le sous-espacede Hilbert de A(e2(X)) engendrCpar les es quand S parcourt Ap, et on poseIFI = @i:; ‘I-& graduCpar p- 1 modulo 2. Pour p E { 1,. . . ,p,,,, - I} on note f, : FtH, --) ?&+I et gp : 7-&+x + ;Ft, les opkrateurs dCfinis par .&(cs) = as., A es et gp(es) = #)~,~.Jies. PROPOSITION 1.2 (extraite de [ 1I). - Le complexe Z/2-,yrudue’ ussocie’& (‘HI 2 3-12. . 7-I,,,,a,.) !?I appartient & EG (C: C). Kasparov et Skandalis dkfinissent y comme la classede ce complexe dans KKc:(C, C). Soit w E W;. Pour S E A on pose d,,,,y (x, 5’) = &q )&S d(z: 0,) si S # B et dn,uy(.z, B) = 0. = Pour tout p E {O! . . ,pmax} on note Ez,,, le complCt6 de L, pour la norme 11CSES, :I;(S)~SIJ~~>.,~ SEay Ix(S)leU’dmoy(zrS) et E&, le cornpI&& de L, pour la norme )I Cstn, <(S)e,~lj~z,,, = supsea, c I(( S) leewdmoy (z,s). Munie du crochet evident d&ini par (<:x) = CSEA, <(S)z:(S), (E&,. EL,,:) est une (G, NW)-C-paire, not6e EP,“. On note aussi E, = @Ez< EP+:. Toute la construction tchouerait si on avait choisi des normes de type C2 au lieu de Y’ et 1”. LEMME 1.3. - Soient w E iw; et T : L -+ L une application linkaire telle qu’il existe r E W+ avec, pour tout S E a, T(es) E Cw. Si supsEa IIT(es)llrl I +x, (?i”,T) c3 T
rel que d moy(z,T)ldmoy(Z.,S)+I.
d&nit un e’l&nent de L(E,), note’ T par abus. Si de plus IIT(es)lle~ tend vers 0 quand 5’ sort des parties finies de A, T appartient & Ic(E,). Par suite, pour tout w E W$, h et i3 sont des morphismesde C-paires de E, dans lui-msme et on montre que g H g(h) - h est une application continue de G dans K(E,). PROPOSITION 1.4. - I1 existe un morphismede C-paires J : E, + E, de degre’ 1 tel que : - g H ,9(J) - J est une application continue de G duns K(E,s). - on a Icl~~ = 3-J + Ji) et J*=U, - il existe r E R+ tel que pour tout S E a, on ait J(es) E CCT. CEI T Id qued”,OP(S.T)ld,,,,y(.r,S)+I. Or on a le resultat suivant, qui se dCmontregrsce 5 un argument de dLformation, qui m’a Ct6 sugg&6 par Jean-Benoit Bost. PROPOSITION 1.5. - Soient G un groupe loculement compact et N une norme sur G. Soient Eo: . . . : E,, des (G, N)-C-paires, E = @z=“=,Ei, f E L(E) de degre’ 1 et g E L(E) de de@ -1, tels que f2 = 0, g2 E K(E), (Id - gf - fg) = 0, et f = h(f) p our tout h E G et que h ++ g - h(g) soit une fl
application continue de G duns K(E). Alors le complexe Z/2-graduP associe*ci (Eo = El 91 appartient ci Ep;;( 63,C) et est homotope & 0.
. . ErL)
205
V. Lafforgue
Les propositions COROLLAIRE.
-
I .4 et 1.5 impliquent I
le corollaire
.6. - Le complexe Z/2-grad&
suivant.
associe’ci (El,, G!b Ez,+ . . EPmox,s) appartient b 81
Ek,qT (C, C) et est homotope & 1. DEFINITION 1.7. - Pour IU E R+ on dCfinit I’isomorphisme de C-paires IV,,,: ES+,,: --+ E, en posant : 6),3(es) = euTdmn~(s-S)~s et Q;(es) = ~~~‘~~oY(~~~)c~ pour S E a.
LEMME 1.8. - Pour w E R+ asset grand Id - (dh + hi3) E L(E,+,) est de rayon spectral strictement infe’rieur 131. Nous fixons dksormais w E R+ tel que la conclusion du lemme 1.8 soit vraie. On note alors H = h(i3h + ha)-’ = (ah + hi3)-‘h E L(E,+,) : 1’6galitC a lieu car (Dh + hf3)h = hi3h = h(ah + ha) puisque h 2 = 0. L’idCe d’introduire I’op&ateur H, qui joue un r61e essentiel, m’a CtC suggCr6epar Georges Skandalis. R,,.Hl(e,,)-’ PROPOSITION 1.9. - Le complexe Z/2-gradue’ associe’ri (EI,,~ ----+ +-.-.-. . Ep,,,,,S) appartient b B,,.i)l(B,,1-l EeiTq (C, C) et est homotope au complexe Z/2-gradue’ associtf 4?( El,,V 2 Ez,~ . . E,,,x +). a1 La proposition suivante acheve l’homotopie entre 1 et 7. %HI(@,,,)-’ PROPOSITION 1.10. - Les complexes Z/2-graduks associb ci (EI,,~ -,+-----E2,s . ’ Ep,,, fl eu.a,(&.)-’ sont homotopesdans E,$$;g (C, C). (Xl i= a2 . . R,,,,ax) On “montre
que le premier complexe est homotope au complexe Z/2-grad&
,s )
et ir
associC B
(E1.o & E2.0 . . %,,,x, “). On note que E,;” = (co(&), P1(Ap)). On termine alors I’homotopie Yl en introduisant les G-C-paires (@‘(A,), F’(A,)) pour y variant entre 1 et 2 et 9’ tel que i + $ = 1.
2. Homotopie entre y et 1 pour les groupes agissant proprement nkgative ou nulle
sur des variCtQ
de courbure
Soient G un groupe localement compact et X une variCt6 riemanniennecomplkte simplement connexe de courbure sectionnelle nCgative ou nulle et bornCeinfkrieurement munie d’une action de G continue isom&trique et propre. On note C,(X) I’alg&bre des sections continues tendant vers 0 A I’infini du fibr6 en algbbres de Clifford associC& l’espace cotangent complexif%?de X (voir [2], 4.1). Kasparov construit un ClCmentde Dirac [d] E KKG(C, (X), C) et un CICmentdual-Dirac 77E h’K~(43, C,(X)) et note y = v @c,(s) [d] E KKG(C, C) leur produit (voir [2], 4.2, 5.1 et 5.4). Pour :z, y E X on note al(z:, y) la distance g6odCsiquede z 5 y. Dans toute la suite on fixe un point x0 dans X et pour tout ?j E X on pose p(y) = d(:co, y). Pour tout y E G on note l(g) = &JO) = d(:c~,g~:~). I1 est immCdiat que la fonction I : G -+ R+ est continue et vCrifie I(g,g2) _<1(g1) + I(yp) quels que soient yl, yp E G. Par suite pour tout K E W+ on dkfinit une norme N, sur G en posant N,(y) = eKi(g). TH~OR~ME
2.1. - Pour tout IC E R;, y et 1 ont m&meimage dans KKgzT, (C, C).
On remarque que la suite de normes (N&)iE~* converge uniformkment vers 1 sur tout compact de G. Esquissonsla preuve du thCor&me.D’a6ord on rt5aliseexplicitement l’&ment y. On considere l’espace de Hilbert L2(X:A*(TEX)) des f ormes complexes L2 sur X, grad& par le degrCdes formes modulo 2. Pour tout champ B de l-formes sur X on note X0 la multiplication ext&rieure (5 gauche) par 0 sur les formes 5 support compact et A; 1’opCrateurde contraction formellement adjoint
206
Conjecture
de Baum-Connes
et proprii?tC
(T)
de X0. D’autre part, on note d la diffkrentielle extkrieure sur les formes C” B support compact, d* son adjoint formel et a = dd* + d’d = (d + d*)’ le laplacien. Enfin, on pose p’ = &?-?i et < = d(p’). On pose DDt= d + d* + t( Xc + AT) pour tout t E W+. PROPOSITION 2.2. - Lorsque t est assezgrand, KerVDt est de dimensionjinie et si on note ~~~~~~ le projecteur orthogonal sur KerVt, l’ope’rateur Vz + ~K~,.D~est inversible d’inverse borne’ et l’e’le’ment (L2(X, A*(TEX)),DO,(Dz + PK.+D~)-~) appartient k EG(C, C) et reprksente y.
2.1. Construction
prdliminaire
Nous construisons d’abord quelques espacesde Sobolev sur X. On note n la dimension de X. Pour tout z E X on note exp, : T,.X -+ X I’exponentielle. On identifie exp:(A*(TEX)) au fib& trivial sur T,X de fibre h*(Tt,, X). De plus, on choisit un systbme de coordonnkes orthonormk (t 1! . . i tn) sur T,X. Pour toute forme w de classeC” sur X, pour tout z E X et pour tout entier s E N, on note
Pour tout g E G et pour tout z E X on a Reg,,,(g*(w))
= Reg,9,,,T(w).
DEFINITION 2.3. - Pour tous p E [l, +co], s E N, 6 E R+ et k E {0, . . . .7~} on note Wz;i la complCtion de Cr (X, A” (TEX)) pour la norme
Pour tous p E]l,+w[, s E N, 6 E Iw+ et I; E (0,. . . ,7~} on note ~9:;: = ((Wk$)*,W~~~) la (G; Ns)-C-paire formke par Wg$ et son dual topologique. Darts la suite de ce paragrapie nous supposonsque p appartient 1311,+c)o[ et que S > z, oti C est une constante telle que z H e-cP(x) appar?ienneci L’(X). On pose de plus E_1 = (C,C). On note d’ : C + Eg’T” l’applicat’ion qui 2 X E a3 associe la fonction constante sur X tgale & X et d< sa transposte. De m&me, pour tout k E {0, . . ,rb - l} on note d> : Ei;;-k.>
-+ Eg;&{(“+‘)”
la
diffkrentielle extkrieure et d< sa transposke.Ainsi, (E-, -% “g$’ -% . . . Ei;z) est un complexe de morphismes de C-paires, d est exactement &quivariant et vCrifie d2 = 0. Construisons une homotopie pour ce complexe. I1 existe un opkrateur G-kquivariant Kloc sur Cy (X: A*(TEX)), diminuant le degrC des formes de 1 et vkrifiant les propriCtCssuivantes : Kloc est associk B un noyau k(z, y) (singulier le long de la diagonale) tel que k(z, y) = 0 si d(z, y) > 1, et pour tous p E] 1, +cQ[, k E { 1, . . . ! n}, S E W+ et s E thl, Kloc est continu de Wg,‘i vers Wf;;,“::, et dK’“” + K’““d - Id est G-Cquivariant et continu de Wz,‘i vers Wgli+“, pour k E (0, . , n} et les normes de ces deux optrateurs restent bomtes si p, b parcourent des compacts et k et s restent fixes, D’aprks le lemme de PoincarCle complexe (C -?-+ C”(X, C) --% . C”(X, h”(TEX))) est exact. Pour construire une homotopie on adopte la formule traditionnelle en moyennant sur le point base. Soit z E X. Pour f E C-(X), on pose Is(f) = f(z). Pour tout t E]O, l] on note 4.T,t : X -+ X la contraction de rapport t suivant les gBodCsiquesissues de z, et pour tout k > 1, pour tout w E C”(X,A”(TtX)), on pose
207
V. Lafforgue
Enlin on choisit une fonction $ : X + R+ de classe C”, pose I = ly $(x)lZdz. II est clair que 1tl + d I = Id. LEMME
a support compact et d’intkgrale
1, et on
2.4. - Pour tout .YE N, I est continu de Wf’I,“+l vers Wz;L et de IV’:” a,0 vers C.
Lorsque .Y = n - k: on pose K = Klvr + I(Id - (dK’“’ + K’OCd)), si bien que (‘K: K) est un morphisme de C-paires de degrC -1 de E-1 @ @rEO Ei;c-” dans lui-m&me et on note par abus K = (tK,K). On a Kd+dK = Id et 9 H g(K) - K est une application continue de G dans K(E-1 CB@;=~E;;;-' ). En effet. Id - (d X1’)’ + KICICd) est continu de Wg;;-” dans Wg$-“‘* et G-Cquivariant et 9 H ~(1) - I est une application continue de G dans Ic( Eg;l-k+2, E~;~~f+‘). Posons L = K d K. On a Ld + d L = Itl, L* = 0 et .QH g(L) - L est une application continue de G dans IC(E-1 CB@z=, Enq’Lek). PROPOSITION 2.5. - Le complexe Z/2-grudut; associe’au complexe (E&’ 3
’ . . Ei;7y) appartient ci
L
Egg6(C,C)
et est homotope ti 1.
Cela r&ulte de la proposition 1.5.
2.2. Description
de I’homotopie
Duns toute la suite on fixe ti > 0 et on construit une homotopie entre 1 et y dans KKgKTti (Cc,C). Cette homotopie est realis&een plusieurs &apes, en partant de 1 et en aboutissant & y. 11existe p, ~11, +co[ tel que h; > E. D’aprks la proposition 2.5, le complexe Z/2-grad& associCau complexe (E$j’” 3
. . . E[;,;‘)
appartient B EgjGk (C, C) et est homotope & 1.
Pour tous p E]1,L+33[, s E N, d E R,, a E R+ et k E (0,. . ,71.} on note O,, I’isomorphisme (non isom&rique) d’espacesde Banach de Wg’&x,k vers Wg,‘l d&ini par Qo(w)(x) = c+Q’(~)w(T). On note encore 0, le morphisme de C-paires de E,PI;So,,dans Eg’l, constitut de 0, dCfini ci-dessus et de I’opCrateur qui lui est transposC. Nous choisissons,fj E W; assez grand. Odd”;’ PROPOSITION 2.6. - Le complexe Z/2-grad&
6 Ep(C,
associe’au complexe (E$,’ 7 . . . E,“$) appartient Q,~LQJ C) et est homotope ti 1 duns E&‘ifi (C, C).eJdOJ,
Le complexe P/2-graduC associCau complexe (Ei:c (
. . . Ei$) ne fait plus intervenir que des
OJLCJ;’
espacesde Hilbert et il est homotope dans Ep(C, C) au complexe Z/2-gradut? associ&au complexe d+P+ + . . . Ei;:) (on a 8,+10,1 = d + PA<). Dans ce demier complexe on (E,“:,n < (d*+~X;)(~~+pK,,na)-’ remplace les op&ateurs de degrC 1 et -1 par des opkrateurs de degrk f et -t, t variant entre 0 et 1, avec pour espacesdes espacesde Sobolev non entiers. On aboutit enfin g y. Remerciements.Je remercieJean-BenoitBest, Alain Connes,et GeorgesSkandalispour leurs suggestions et pour leur aide.
RCfkences
hibliographiques
[I] Kasparov G., Skandalis G., Groupes boliques et conjecture de Novikov, C. R. Acad. Sci. Paris 319 SCrie I (1994) 815-820. [2] Kasparov G.G., Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture, Invent. Math. 91 (1988) 147-201. [3] Lafforgue V., Une demonstration de la conjecture de Baum-Connes pour les groupes rt?ductifs sur un corps p-adique et pour certains groupes discrets possedant la propriCt& (T), C. R. Acad. Sci. Paris 327 S&e I (1998) 439-444. [4] Wassermann A,, Une dCmonstration de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de Lie IinCaires connexes rCductifs, C. R. Acad. Sci. Paris 304 S&tie I (1987) 559-562.
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