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Description explicite de la frontière de Poisson pour certains groupes de Lie résolubles connexes
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 741–744, 2001 Analyse harmonique/Harmonic Analysis (Probabilités/Probability Theory)
Description explicite de la frontière de Poisson pour certains groupes de Lie résolubles connexes Christophe CUNY Irmar, Université Rennes-1, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France Courriel : [email protected] (Reçu le 9 mars 2001, accepté le 10 septembre 2001)
Résumé.
Soient G un groupe de Lie résoluble connexe de groupe dérivé abélien et µ une mesure de probabilité étalée sur les boréliens de G. Nous donnons une description explicite de la frontière de Poisson du couple (G, µ) (en terme de convergence presque-sûre de la marche aléatoire droite de loi µ sur G). Et, dans le cas particulier de certains groupes matriciels, nous caractérisons la frontière de Poisson par des conditions intégrales sur µ. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
An explicit description of the Poisson boundary for certain connected solvable Lie groups Abstract.
Let G be a connected solvable Lie group with abelian derived group and µ be a spread out probability measure on G. We give an explicit description of the Poisson boundary in terms of almost sure convergence of the right random walk of law µ. We characterize the Poisson boundary by an integral criterion for some matricial groups. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
1. Introduction et notations Soient G un groupe de Lie connexe et µ une mesure de probabilité sur la tribu B(G) des boréliens de G. ∗ Nous notons (Ω, F, P) l’espace de probabilité produit (G, B(G), µ)⊗N . Nous désignons par (Yn )n1 les ∗ applications coordonnées de Ω = GN et par θ le décalage sur Ω (i.e. Yn ◦ θ = Yn+1 , pour tout n 1). La marche aléatoire droite de loi µ sur G est donnée par Xn = Y1 · · · Yn . Nous appelons fonction µ-harmonique bornée toute solution borélienne bornée h de l’équation fonctionnelle : h(g) = h(gg )µ(dg ), ∀ g ∈ G. G
Jusqu’aux travaux de W. Jaworski [6,7], la description des fonctions µ-harmoniques bornées pour une mesure µ étalée (i.e. telle qu’il existe un entier n pour lequel la convolée d’ordre n de µ soit non étrangère à une mesure de Haar sur G) a fait l’objet de nombreux travaux sous l’hypothèse supplémentaire de l’existence d’un moment d’ordre 1 pour µ. En s’inspirant de [1] et [3], A. Raugi [8] montre que les fonctions harmoniques bornées sont données par une formule de Poisson : il existe un sous-groupe fermé H de G et Note présentée par Jean-Pierre K AHANE. S0764-4442(01)02121-8/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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C. Cuny
une mesure de probabilité ν sur les boréliens de G/H, tels que toute fonction harmonique bornée h est donnée par ˆ · x)ν(dx), ∀ g ∈ G, h(g) = h(g G/H
ˆ sur G/H. pour une fonction borélienne bornée h De plus, l’espace de Poisson G/H est entièrement déterminé par les signes de certaines intégrales portant sur µ ; ces signes caractérisant aussi le comportement asymptotique de la marche aléatoire (Xn )n1 . Dans [6], W. Jaworski montre qu’une telle représentation (à l’aide d’un espace homogène G/H) reste valable sans hypothèse de moment. La preuve repose sur la notion générale de SAT et ne permet pas de donner une description explicite de l’espace de Poisson. En évitant le recours à la notion de SAT et en nous basant sur l’étude du comportement asymptotique de la marche aléatoire, nous obtenons une nouvelle preuve du résultat de W. Jaworski. La frontière de Poisson est alors explicitement décrite à l’aide d’intégrales généralisant celles de [8]. 2. Description de la frontière de Poisson 2.1. Cas particulier des groupes Gd d ∗ Soient Gd le groupe R+ ∗ × R , d ∈ N , muni du produit (a1 , n1 )(a2 , n2 ) = (a1 a2 , a1 n2 + n1 ) et µ une mesure de probabilité étalée sur Gd . Si g ∈ G, nous noterons g = (a(g), n(g)). Nous définissons une fonction ϕµ , continue sur R+ par :
x (log a(g) ∧ x) µ(dg) Gd
ϕµ (x) =
1 . si x > 0 et ϕµ (0) = − µ {g : log a(g) > 0}
−
Nous disons que µ vérifie l’hypothèse(H) si l’une des deux conditions (C1 ) ou (C2 ) suivantes est vérifiée : | log a(g)| µ(dg) < +∞ et
(C1 ) Gd (C2 ) Gd
log− a(g) µ(dg) = +∞ et
log a(g) µ(dg) < 0 ; Gd
Nous obtenons le théorème suivant.
ϕµ (log+ a(g)) µ(dg) < +∞. Gd
T HÉORÈME 1. – Soit µ une mesure de probabilité étalée sur les boréliens du groupe Gd . Soit Fd le sous-espace du dual (Rd )∗ de Rd , défini par : Fd = f ∈ (Rd )∗ :
ϕµ log+ f n(g) µ(dg) < +∞ .
Gd
Notons Ed l’orthogonal de Fd , Hd le sous-groupe fermé R+ ∗ × Ed , de Gd et πd l’application naturelle de Gd sur Gd /Hd . Alors nous avons : (i) si µ ne vérifie pas l’hypothèse (H), alors les fonctions µ-harmoniques bornées sont les constantes ; (ii) si µ vérifie l’hypothèse (H), alors la suite (πd (Xn ))n1 converge P-p.s. vers une variable aléatoire de loi ν telle que toute fonction µ-harmonique bornée h s’écrive ˆh(g · x) ν(dx)
h(g) = Gd /Hd
ˆ sur Gd /Hd . pour une fonction borélienne bornée h
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Description explicite de la frontière de Poisson. . .
Soient (di )1in , n entiers naturels non nuls et G le produit direct des groupes (Gdi )1in . Pour 1 i n, nous notons pdi l’application naturelle de G sur Gdi . Appelons Hdi le groupe associé au couple (Gdi , pdi (µ)) par le théorème 1. Nous avons T HÉORÈME 2. – Soit µ une mesure de probabilité étalée sur le groupe G défini ci-dessus. Alors, si H est le produit direct des groupes (Hdi )1in , la frontière de Poisson du couple (G, µ) est G/H. Remarque 1. – Lorsque la mesure de probabilité µ sur Gd admet un moment d’ordre 1 (c’est-à-dire lorsque log a(g) + log+ n(g) µ(dg) < +∞, G
où · désigne une norme sur Rd ) nous voyons facilement que Fd = (Rd )∗ . Les seules frontières possibles sont donc Gd /(R+ ∗ × {0}) ou Gd /Gd . Sans hypothèse de moment, il n’est pas difficile de voir que, pour tout sous-espace vectoriel V de Rd , il existe une mesure de probabilité µ sur Gd telle que la frontière du couple (Gd , µ) soit Gd /(R+ ∗ × V ). 2.2. Frontière de Poisson des groupes de type (D) Nous disons qu’un groupe G est de type (D) si c’est un groupe de Lie résoluble connexe de groupe dérivé abélien. Pour les groupes de type (D), nous obtenons une nouvelle preuve du résultat de W. Jaworski cité précédemment. Cette preuve est plus constructive et repose entièrement sur l’étude du comportement asymptotique de la marche aléatoire. Si G est un groupe de type (D) il existe un sous-groupe abélien N de G, distingué dans G et simplement connexe, tel que G soit le produit semi-direct de N et P , pour tout sous-groupe de Cartan P de G (cf. [2]). Appelons M le plus petit sous-groupe fermé de N , distingué dans G, tel que l’image de (Xn )n1 sur le quotient G/M P converge P-p.s. et désignons par ν la loi de la variable aléatoire limite. Alors : toute fonction µ-harmonique bornée h s’écrit : ˆh(g · x) ν(dx),
h(g) =
∀ g ∈ G,
(1)
G/MP
ˆ sur G/M P . pour une fonction borélienne bornée h Dans le cas du groupe Gd , d 1, le groupe N précédemment défini, est le groupe {1} × Rd et nous choisissons R+ ∗ × {0} comme sous-groupe de Cartan. Le groupe M intervenant dans la formule de Poisson (1) s’identifie au plus petit sous-espace vectoriel V de Rd tel que l’image de (Xn )n1 sur Gd /(R+ ∗ × V ) converge P-p.s. D’après des résultats obtenus indépendamment par C.M. Goldie et R.A. Maller [5] et C. Cuny [2] nous pouvons alors caractériser le groupe M grâce aux conditions (Ci ) (cette caractérisation restant valable sans hypothèse d’étalement sur µ). Notons que les résultats de [5] et [2] permettent de caractériser la frontière de Poisson pour d’autres groupes de type (D), ainsi que l’existence (et l’unicité) d’une mesure de probabilité invariante pour ces mêmes groupes. Signalons enfin que la méthode utilisée pour établir la formule de Poisson (1) permet d’obtenir une représentation de l’espace des fonctions µ-harmoniques bornées uniformément continues à droite sur les groupes de type (D), quand la mesure µ, non nécessairement étalée, est adaptée (µ est adaptée si le groupe fermé engendré par son support est G). La méthode utilisée par W. Jaworski ne s’applique pas dans ce cadre.
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C. Cuny
Références bibliographiques [1] Azencott R., Espaces de Poisson des groupes localement compacts, in: Lect. Notes in Math., Vol. 148, SpringerVerlag, Berlin, 1970. [2] Cuny C., Fonctions harmoniques bornées sur les groupes de Lie, marches aléatoires et problèmes connexes, Thèse de doctorat de l’université de Rennes, 2000. [3] Elie L., Raugi A., Fonctions harmoniques sur certains groupes résolubles, C. R. Acad. Sci. Paris, Série A 280 (1975) 377–379. [4] Erickson K.B., The strong law of large numbers when the mean is undefined, Trans. Amer. Math. Soc. 185 (1973) 371–381. [5] Goldie C.M., Maller R.A., Stability of perpetuities, Ann. Probab. 28 (3) (2000) 195–218. [6] Jaworski W., A formula for solvable Lie groups, J. d’Anal. Math. 68 (1996) 183–208. [7] Jaworski W., Random walk on almost connected locally compact groups: boundary and convergence, J. d’Anal. Math. 74 (1998) 235–273. [8] Raugi A., Fonctions harmoniques et théorèmes limites pour les marches aléatoires sur les groupes, Bull. Soc. Math. France 54 (1977) 5–118.
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Description explicite de la frontière de Poisson pour certains groupes de Lie résolubles connexes Christophe CUNY Irmar, Université Rennes-1, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France Courriel : [email protected] (Reçu le 9 mars 2001, accepté le 10 septembre 2001)
Résumé.
Soient G un groupe de Lie résoluble connexe de groupe dérivé abélien et µ une mesure de probabilité étalée sur les boréliens de G. Nous donnons une description explicite de la frontière de Poisson du couple (G, µ) (en terme de convergence presque-sûre de la marche aléatoire droite de loi µ sur G). Et, dans le cas particulier de certains groupes matriciels, nous caractérisons la frontière de Poisson par des conditions intégrales sur µ. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
An explicit description of the Poisson boundary for certain connected solvable Lie groups Abstract.
Let G be a connected solvable Lie group with abelian derived group and µ be a spread out probability measure on G. We give an explicit description of the Poisson boundary in terms of almost sure convergence of the right random walk of law µ. We characterize the Poisson boundary by an integral criterion for some matricial groups. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
1. Introduction et notations Soient G un groupe de Lie connexe et µ une mesure de probabilité sur la tribu B(G) des boréliens de G. ∗ Nous notons (Ω, F, P) l’espace de probabilité produit (G, B(G), µ)⊗N . Nous désignons par (Yn )n1 les ∗ applications coordonnées de Ω = GN et par θ le décalage sur Ω (i.e. Yn ◦ θ = Yn+1 , pour tout n 1). La marche aléatoire droite de loi µ sur G est donnée par Xn = Y1 · · · Yn . Nous appelons fonction µ-harmonique bornée toute solution borélienne bornée h de l’équation fonctionnelle : h(g) = h(gg )µ(dg ), ∀ g ∈ G. G
Jusqu’aux travaux de W. Jaworski [6,7], la description des fonctions µ-harmoniques bornées pour une mesure µ étalée (i.e. telle qu’il existe un entier n pour lequel la convolée d’ordre n de µ soit non étrangère à une mesure de Haar sur G) a fait l’objet de nombreux travaux sous l’hypothèse supplémentaire de l’existence d’un moment d’ordre 1 pour µ. En s’inspirant de [1] et [3], A. Raugi [8] montre que les fonctions harmoniques bornées sont données par une formule de Poisson : il existe un sous-groupe fermé H de G et Note présentée par Jean-Pierre K AHANE. S0764-4442(01)02121-8/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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une mesure de probabilité ν sur les boréliens de G/H, tels que toute fonction harmonique bornée h est donnée par ˆ · x)ν(dx), ∀ g ∈ G, h(g) = h(g G/H
ˆ sur G/H. pour une fonction borélienne bornée h De plus, l’espace de Poisson G/H est entièrement déterminé par les signes de certaines intégrales portant sur µ ; ces signes caractérisant aussi le comportement asymptotique de la marche aléatoire (Xn )n1 . Dans [6], W. Jaworski montre qu’une telle représentation (à l’aide d’un espace homogène G/H) reste valable sans hypothèse de moment. La preuve repose sur la notion générale de SAT et ne permet pas de donner une description explicite de l’espace de Poisson. En évitant le recours à la notion de SAT et en nous basant sur l’étude du comportement asymptotique de la marche aléatoire, nous obtenons une nouvelle preuve du résultat de W. Jaworski. La frontière de Poisson est alors explicitement décrite à l’aide d’intégrales généralisant celles de [8]. 2. Description de la frontière de Poisson 2.1. Cas particulier des groupes Gd d ∗ Soient Gd le groupe R+ ∗ × R , d ∈ N , muni du produit (a1 , n1 )(a2 , n2 ) = (a1 a2 , a1 n2 + n1 ) et µ une mesure de probabilité étalée sur Gd . Si g ∈ G, nous noterons g = (a(g), n(g)). Nous définissons une fonction ϕµ , continue sur R+ par :
x (log a(g) ∧ x) µ(dg) Gd
ϕµ (x) =
1 . si x > 0 et ϕµ (0) = − µ {g : log a(g) > 0}
−
Nous disons que µ vérifie l’hypothèse(H) si l’une des deux conditions (C1 ) ou (C2 ) suivantes est vérifiée : | log a(g)| µ(dg) < +∞ et
(C1 ) Gd (C2 ) Gd
log− a(g) µ(dg) = +∞ et
log a(g) µ(dg) < 0 ; Gd
Nous obtenons le théorème suivant.
ϕµ (log+ a(g)) µ(dg) < +∞. Gd
T HÉORÈME 1. – Soit µ une mesure de probabilité étalée sur les boréliens du groupe Gd . Soit Fd le sous-espace du dual (Rd )∗ de Rd , défini par : Fd = f ∈ (Rd )∗ :
ϕµ log+ f n(g) µ(dg) < +∞ .
Gd
Notons Ed l’orthogonal de Fd , Hd le sous-groupe fermé R+ ∗ × Ed , de Gd et πd l’application naturelle de Gd sur Gd /Hd . Alors nous avons : (i) si µ ne vérifie pas l’hypothèse (H), alors les fonctions µ-harmoniques bornées sont les constantes ; (ii) si µ vérifie l’hypothèse (H), alors la suite (πd (Xn ))n1 converge P-p.s. vers une variable aléatoire de loi ν telle que toute fonction µ-harmonique bornée h s’écrive ˆh(g · x) ν(dx)
h(g) = Gd /Hd
ˆ sur Gd /Hd . pour une fonction borélienne bornée h
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Description explicite de la frontière de Poisson. . .
Soient (di )1in , n entiers naturels non nuls et G le produit direct des groupes (Gdi )1in . Pour 1 i n, nous notons pdi l’application naturelle de G sur Gdi . Appelons Hdi le groupe associé au couple (Gdi , pdi (µ)) par le théorème 1. Nous avons T HÉORÈME 2. – Soit µ une mesure de probabilité étalée sur le groupe G défini ci-dessus. Alors, si H est le produit direct des groupes (Hdi )1in , la frontière de Poisson du couple (G, µ) est G/H. Remarque 1. – Lorsque la mesure de probabilité µ sur Gd admet un moment d’ordre 1 (c’est-à-dire lorsque log a(g) + log+ n(g) µ(dg) < +∞, G
où · désigne une norme sur Rd ) nous voyons facilement que Fd = (Rd )∗ . Les seules frontières possibles sont donc Gd /(R+ ∗ × {0}) ou Gd /Gd . Sans hypothèse de moment, il n’est pas difficile de voir que, pour tout sous-espace vectoriel V de Rd , il existe une mesure de probabilité µ sur Gd telle que la frontière du couple (Gd , µ) soit Gd /(R+ ∗ × V ). 2.2. Frontière de Poisson des groupes de type (D) Nous disons qu’un groupe G est de type (D) si c’est un groupe de Lie résoluble connexe de groupe dérivé abélien. Pour les groupes de type (D), nous obtenons une nouvelle preuve du résultat de W. Jaworski cité précédemment. Cette preuve est plus constructive et repose entièrement sur l’étude du comportement asymptotique de la marche aléatoire. Si G est un groupe de type (D) il existe un sous-groupe abélien N de G, distingué dans G et simplement connexe, tel que G soit le produit semi-direct de N et P , pour tout sous-groupe de Cartan P de G (cf. [2]). Appelons M le plus petit sous-groupe fermé de N , distingué dans G, tel que l’image de (Xn )n1 sur le quotient G/M P converge P-p.s. et désignons par ν la loi de la variable aléatoire limite. Alors : toute fonction µ-harmonique bornée h s’écrit : ˆh(g · x) ν(dx),
h(g) =
∀ g ∈ G,
(1)
G/MP
ˆ sur G/M P . pour une fonction borélienne bornée h Dans le cas du groupe Gd , d 1, le groupe N précédemment défini, est le groupe {1} × Rd et nous choisissons R+ ∗ × {0} comme sous-groupe de Cartan. Le groupe M intervenant dans la formule de Poisson (1) s’identifie au plus petit sous-espace vectoriel V de Rd tel que l’image de (Xn )n1 sur Gd /(R+ ∗ × V ) converge P-p.s. D’après des résultats obtenus indépendamment par C.M. Goldie et R.A. Maller [5] et C. Cuny [2] nous pouvons alors caractériser le groupe M grâce aux conditions (Ci ) (cette caractérisation restant valable sans hypothèse d’étalement sur µ). Notons que les résultats de [5] et [2] permettent de caractériser la frontière de Poisson pour d’autres groupes de type (D), ainsi que l’existence (et l’unicité) d’une mesure de probabilité invariante pour ces mêmes groupes. Signalons enfin que la méthode utilisée pour établir la formule de Poisson (1) permet d’obtenir une représentation de l’espace des fonctions µ-harmoniques bornées uniformément continues à droite sur les groupes de type (D), quand la mesure µ, non nécessairement étalée, est adaptée (µ est adaptée si le groupe fermé engendré par son support est G). La méthode utilisée par W. Jaworski ne s’applique pas dans ce cadre.
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Références bibliographiques [1] Azencott R., Espaces de Poisson des groupes localement compacts, in: Lect. Notes in Math., Vol. 148, SpringerVerlag, Berlin, 1970. [2] Cuny C., Fonctions harmoniques bornées sur les groupes de Lie, marches aléatoires et problèmes connexes, Thèse de doctorat de l’université de Rennes, 2000. [3] Elie L., Raugi A., Fonctions harmoniques sur certains groupes résolubles, C. R. Acad. Sci. Paris, Série A 280 (1975) 377–379. [4] Erickson K.B., The strong law of large numbers when the mean is undefined, Trans. Amer. Math. Soc. 185 (1973) 371–381. [5] Goldie C.M., Maller R.A., Stability of perpetuities, Ann. Probab. 28 (3) (2000) 195–218. [6] Jaworski W., A formula for solvable Lie groups, J. d’Anal. Math. 68 (1996) 183–208. [7] Jaworski W., Random walk on almost connected locally compact groups: boundary and convergence, J. d’Anal. Math. 74 (1998) 235–273. [8] Raugi A., Fonctions harmoniques et théorèmes limites pour les marches aléatoires sur les groupes, Bull. Soc. Math. France 54 (1977) 5–118.
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