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Construction de triplets spectraux à partir de modules de Fredholm
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SCrie I, p. 1195.1199, Analyse fonctionnellelFunctiona/ Analysis (Physique math6matiquelMathernaticsl Physics)
1998
Construction de triplets spectraux ?I partir de modules de Fredholm Elmar
SCHROHE
” Institnt Courriel
fiir
” IIIES, Courriel
35,
’ Tnstitut Courriel
fiir
(Regu
‘, Markus
WALZE
b (I), Jan-Martin
Mathematik, UniversitCt : schroheQnlpg-ana.uni-potsdam.d~,
Potsdam,
route de Chartrrs., : [email protected]
Hures-sur-Yvette,
91440
14415
Physik, Jtrhannas Gutarh)erg-Univrrsjtat : warzecha8thep.plnysik.l~l~i-nlainx.tlt~
le 20 avril
R&urn&
1998,
arcapt+?
Potsdam,
’
Allemague
France Mainz:
55099
Mainz,
Allemagnr
19%)
Soit (&‘R,E‘) un module de Fredholm p-sommable,oh l’aIg&bre A = CI‘ est engendrkepar un groupediscretr d’C1Cments unitairesde C(‘H), qui estde croissance polynomialeT. On construit alorsun triplet spectral(A, 3-1,D) de sommabilidq pour tout 4 > p + ‘r + I avec F = sign11.Dansle casoti (A, 31,F) est (p. co)-sommable on obtient la ((1% oc,)-sommabilitkde (A, ‘H: U) pour tout q > p + T + 1. 0 Acad&nie des ScienceslElsevier,Paris Construction modules
Abstract.
le 27 avril
WARZECHA
of spectral
triples starting
from
Fredholm
Let (A, 7-t. F) be a p-,summuble Fredholm module where the algebra A = CT‘ is generated by u di.scrPte group of unituries in lZ( H), which is of pol~nomiul growth T. Then we construct (I spectral triple (d, X. I!) with F = signD which is q-,vummable ,for each q > p -I- r -i- I. in case (A: ‘Ft. F) is (1.1. I XI )-,summable n’e obtuin (q. ‘co)summability CI~(it, H. II) ,for eachQ> 1’+ 1’+ I. 0 AcadCmiedesScienceslEIsevier,
Paris
Abridged
English Version
In [2], thkorkme 3, A. Connes showed the following theorem which we quote as stated in 131, IV. Theorem 4: THEOREM. - Let A he u C* -algebra, (?HH,F) u Fredholm generated s&algebra .such that, ,fbr euch (I, E A, [F, (I,] E IJi1/2(xj. Note pdsentke
module
over A and A 5 A a countahl~
(1)
par Alain CONNISS.
0764-4442/98/03261195
0 AcadBmie des Sciences/Elseviw. Paris
1195
E. Schrohe
et al.
Then there exists a self-adjoint unbounded operator D in 7-t such that: (DI) sign D = Ii’, (DZ) [D, u] is bounded ,fbr uny n E A, (D3) trac:e(@‘) < c~x). Here, Lir” (3-1)is the ideal of all compact operators on ‘I? whose singular values {/a}~Z0 satisfy i&L = o((logn)--r’2) as n -3 IX). Similarly, Li(7f) is characterized by the property JL~,= O((logn)-“). The algebra B = {T E A : [F; T] E Li1j2(3_1)} ’IS s‘y mmetric and stable under hoiomorphic functional calculus so that one can enlarge A and assumethat it is generated by a countable discrete group of unitaries, I‘. For simplicity we shall start from this point of view. We supposethat A = CI‘, where r is a discrete group of unitaries in G(E) which is of polynomial growth T. Moreover, we assumethat (A, ?Y,F) is a p-summable (resp. (p, m)-summable) Fredholm module over A, i.e.,
[F, o] E C”( 31)
(resp. Lc”+)(X))
for all a E A.
(2)
We show that we can find an unbounded self-adjoint operator D satisfying (DI), (D2), and, for each (7 > p+r+l, (D3’) (1 + D2)-q/” E L’(3-I) or (D3”) (1 + D2)-‘I/” E ,c(‘s-j(E), The triple (A, H, D) IS called a q-summable spectral triple (and (Q,m)-summable in case (D3”)). Spectral triples are sometimes called unbounded Fredholm modules. Our proof essentially follows the original idea of Connes; additional ingredients are: l a characterization of those selfadjoint operators IDJ for which both [~UI,~J] and [F,a]IDI are bounded (Proposition 3). l a different function for the nonlinear transformation (see below), and l a theorem of Rotfel’d to estimate the singular values of D. If r is finitely generated, then boundednessof [D, o] will even hold for all CLE Cr(!Z) (see [2], definition 5).
Nous rappelons qu’une fonction longueur Z, sur un groupe discret I‘ est une application L : I- -+ [O.0~) qui verifie, pour tous CJ:h E I‘ : -q,9h)
5 L(g) + L(h).
L(p)
= L(y),
L(1) = 0.
Si, de plus, le cardinal de l’ensemble Bk, = (9 E I‘ : L(g) 5 k}, k E IBle, est 0(( 1 + k)‘), alors I‘ est dit de croissance polynomiale d’ordre 7’. Soit p > 1 un nombre reel. Un module de Fredholm I.‘-sommable (resp. (p, cub)-sommable)est un triplet (A, ?I, F), oti A est une algebre unit&e, ti est un espace de Hilbert avec une representation r : A -+ C(X), et F = F* E C(H) est un operateur satisfaisant F2 = I et, pour tout u, E A, [F. u] E C~‘(3-t) (resp. [F,a] E C(“+)(‘FI)). On parle d’un module de Fredholm H-sommablesi (3) est remplace par (I).
1196
(3)
Triplets
spectraux
h partir
de modules
de Fredholm
Un triplet spectral p-sommable (resp. (p, oc)-sommable) (A, 3-1,D) est constituk d’une algbbre unifere A, repr&entCe sur un espace de Hilbert X, et d’un opkrateur auto-adjoint 11 B ksolvante compacte tel que, pour tout tz E A,
[D. u] E L(3-I) et (1+ D2)- i’/2 E C1(X) Si la condition
(resp. (1 + D2)- P/2 E ~CL”)(yq).
(4)
(4) est remplacke par
on parle de 8-sommabilitt?. PR~FOSITION 1. - Soir (A? X. II) un triplet spectral et F = sign D. Alors (A, 3-1,F) est un module de Fredholm. Si (d, 3-1,D) est p-sommahle(resp. (11,co)-sommable, B-sommable)alors (A, 3-1,F) est p-sommable (resp. (p, cc)-sommable, H-sommable).
De’monstration. - Sans restreindre le cas gCnCra1 on peut supposer que D est inversible. En utilisant
la formule Y’-lj2
[F,4 = ; lrn 1
= + J;y X-1/2(X + T-l X-1’2D[(X+
cu
=-I’7r I 0
(
/‘12)-1.m]dX+
dX, on montre que [D,n]~lI~-’
id2(X + D2)-l[D> u](X + D2)--l - XX1’*D(X + D2)-‘[D,
a](X + D”)-ID)
dX.
Puisque tout Cltment de l’alg&bre symktrique A est la somme d’un ClCment auto-adjoint et d’un Clement anti-auto-adjoint on peut supposer que [D, (~1est auto-adjoint. En utilisant les inCgalit& -ll[D, ~1,111 < [D,a] 5 ll[D, ~111et I*d f ormule pour l’inverse de la racine, on obtient -II[D,u]IIIDl-’
5 [F.a] I II[D:c~]I/~D~-~.
De 18 dkoule la proposition. RCciproquement, Connes [l] et Voiculescu [7] ont montrk qu’ii existe des obstructions B l’existence de triplets spectraux (A, 3-t, D) de sommabilitk tinie associks 2 une alg&bre donnCe A. En particulier, si I‘ est un groupe discret non-moyennable, alors il n’existe pas de triplet spectral de sommabilitk finie associi: 2 une sous-algkbre dense de <>&,i( r). 11 y a mi5me des obstructions pour un groupe rksoluble de croissance exponentielle (done moyennable). D’autre part, si I’ est de type fini et de croissance polynomiale T, alors on peut trouver un triplet (A?%, D) pour A = Cr.‘,% = f*(r). En effet, 11 est l’opkrateur positif agissant par multiplication par la fonction longueur L, et l’on a (1 + D*)-J’/* E Ll(‘Ft) pour tout y > T + 1. Le rksultat principal de cette Note est le thkorkme suivant : THBOR~ME 2. - Soit I’ un groupe discret de crvissanc~epolynomiale r, repre’sentkpar des e’ltfments unitaires sur un espace de Nilbert 7-L Si (d,3-I, F) es‘t un module de Fredholm p-sommable (resp. (p, m)-sommable) aver A = C’I’, alors il existe un triplet spectral (A: T-f,D) de .sommabilite’y (resp. (q, M)) pour tout q > p + I’ -i- 1 tel que D = FIDI. Pour le cas oi* I‘ est le groupe ahPlier libre engendrP par T Gments ii est possible d’obtenir la .sommabilitPq (resp. ((I, ncj) pour tout q > p + I’.
1197
E. Schrohe
et al.
I1 est essentiel, ici, que II soit Ii6 A F par LI = FIDI, sinon on pourrait obtenir une meilleure sommabilitk selon les rkwltats mentionnCs ci-dessus. La dkmonstration suit 1’idCede Connes. On choisit des gknkrateurs 2~~~ 1~‘; . de I’ et l’on introduit la <
c;’= c Ck[E: uk]*[F,721 I,
(3
avec Ck E b!+ et Ck 5 2-“11[F. d]ll-* avec la norme dans .0(3-I) (resp. dans L(r’.“J(IFI)). On construira IDI B partir de G. En effet, on utilisera l’opkrateur O(G) = ,f-lMf(G) avec une moyennisation M et une transformation non 1inCaireS ; ensuite on posera D = FIDI. Pour v&ifier que le commutateur [II, (~1est born6 pour tout u E CIY, il est done suffisant que [IDI, u] et [F, a] IDI soient born&. Nous effectuons une observation importante : PROPOSITION 3. - Soit T un ope’ruteur uuto-adjoint inversihle (e’ventuellementnon borne’). Alors les conditions suivantes sent t?quivalente.s: (i) [T, a] et [F, a]T son1 hornkL7pour tout a E 431’, (ii) pour chaque ope’rufeur unituire 7~E I‘ il existe une constante C, > 0 telle qur 7’-l(l
- C,,T -1) 5 7L’r--11L*< T-1(1 + CJ-1);
de plus, il existe X > 0 tel que Tp2 2 XG. Dans un premier temps, on choisit une fonction f E Cm[O. e), E > 0, avec f(O) = 0, f strictement croissante et telle que l’inverse f-’ soit une fonction concave et croissante d’opkrateurs. Fixons aussila fonction de poids p : I‘ + ([),I) donnCepar P(U) = exp( -( 1 + L(U))) et l’opkrateur de moyennisation, dCfini par M(T) = CrhEr. TUTU* pour T E L(B). A l’aide de f et .A4 nous introduisons 1’opCrateur O(G) = ,f-‘Mf( G). 11est clair que Q(G) est compact et positif. Supposonsde plus que O(G) est injectif. Cela nous permet de poser
M,
IDI = 8(c)-l’*
+ FqG)-““F
et D = FlDl (notons que [F: III/] = 0). En utilisant la proposition 3 on peut montrer que D a les propriCtCsdCsir6espourvu que les trois conditions suivantes soient vkrifikes : (Tl) 8(G) 2 XG pour un X > 0; (T2) B(G)l/‘(1 - (Yl,0(G)1/2) 5 ,u@(G)~‘*u* < @(G)l/*(I + C,,,0(C:)1/2) ; (T3) 8(G) E Cq/*(‘H) (resp. O(G) E C(‘1/2’“)(7f)), (I > p + 1’+ 1. La propriCt6 (Tl) est aiskment dCmontrCe.En revanche, le choix de f est essentiel pour montrer que (T2) et (T3) sont vCrifiCes. Naturellement, on essaierad’atteindre une valeur de (I proche de p dans la relation (T3). D’aprks la proposition 1 on aura (1 > p. Cependant, il n’est pas Evident de diterminer la valeur minimale de 4, et il faut bien choisir J’ pour obtenir (1> T)+ T*+ 1. Nous utilisons la fonction dont l’inverse est donnC par
.I-‘@)= (ilrl.l~sl,f)-*= (hg(f(l - JI)))--*. On remarque que f--l N (I@)-‘.
1198
i > 0
petit.
(6)
Triplets
spectraux
?I partir
de modules
de Fredholm
les fonctions f-l et f sont croissantes p&s de z&o. Ensuite on utilise la caractdrisation de Lijwner [41 pour verifier que f-’ est une fonction croissante d’opkrateurs, c’estg-dire qu’on dkmontre que .f’-’ : [O, .c) -+ W s’Ctend B une fonction analytique dans le demi-plan {z E a3 : Imz > O}. La relation (6) et le fait que f-’ est une fonction croissante d’opkrateurs entrainent (T2). Finalement, on dCsigne par (11,~~ (7’1, /L] (7’), . . .} les valeurs singulikes d’un opkrateur compact 7‘. Selon un thbor&me de Rotfel’d I.51, la concavitk de 1-l implique l’inkgalitt
par condquent,
pour tout N E N. En utilisant la relation LI(,I~) = exp(-( 1 + I,(?/,))), la croissance polynomiale et le fait que f-‘(t) N (logtj-‘, on en dCduit que
de I’
-y,Llrl{c-,(C:))” < cc p,,,(G)“-+(“+? )?I ?I, De cette estimation dCcoule (T3) et done 1’tnoncC du thkorkme. I1 reste ?I considCrer le cas oh O(G) a un noyau non trivial d0 9 ker G. On pose : Tic, = k(>r(4(G) =
n k(:r( [I?+) ll.i,Cl’
= n ker([F,,tt,j). I,E.I-
Alors on peut Ccrire ?f = 3-10~337-1, oti 7& est invariant par A et F, oti F/x. commute avec tout CI,E A et oti 8(G) est injectil’ sur ‘ti I. La construction de 1) sur RHOsera facile : au lieu de G on choisira un ClCment arbitraire Go E C”/2(3.10) (resp. C (p/2.x)) qui est strictement positif, ensuite on appliquera la m&me considCration que sur 7fl. Hemurqw 4. - Une construction similaire peut &tre utilisCe dans le cas H-sommable. Krmarquc 5. - I1 est Cvident que [II, (~1 sera born6 pour tout (1.dans la complktion de CI’ pour la norme
Pour I’ de type fini, [n,h] sera born6 pour tout b E <:,(I’) (voir [2], definition 5), puisque, pour tout IL E Cl’, la norme II[II,cI,]/) peut &tre estimCe par cIIcLI(‘, oti II /I’ est la norme utilis&e dans la construction de C1 (I’) et c est une constante universelle. ( ’ ) SupportC
par la bourse
‘TMR
Marie
Curie
Research
Training
Grants’
contract
No. ERBFMBICT9615
18.
RCfkrences bibliographiques [l] Connes A., Compact metric spaces. Fredholm modules, and hyperfiniteness, Ergod. Th. and Dynam. Sys. 9 (1989) 121 Connes A., Caracttires de repr&,entations 0-sommables des groupes discrets, C. R. Acad. Sci. Paris 312 SCrie 66 l-666. [3] Connes A., Noncommutative Geometry, Academic Press, New York-London-Tokyo, 1994. [4] Lijwner K., ijber monotone Matrixfunktionen. Math. Z. 38 (1934) 177-216. [5] Rotfel’d. S.Yu., The singular values of the hum of completely continuous operators, In: Birman Sh. (Ed.), Spectra1 Topics in Mathematical Physics, Vol. .3, Consultams Bureau. New York--London 1963, pp. 73-78. 161 Schrohe E., Walze M., Warzecha J.-M., Lifting bounded Fredholm modules to spectral triples (en preparation). 171 Voiculescu D., On the existence of quasicentral approximate units relative to normed ideals. Part I, .I. Funct. ( 1990) I 36.
207-220. I (1991)
Theory.
Anal.
91
1199
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Construction de triplets spectraux ?I partir de modules de Fredholm Elmar
SCHROHE
” Institnt Courriel
fiir
” IIIES, Courriel
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(Regu
‘, Markus
WALZE
b (I), Jan-Martin
Mathematik, UniversitCt : schroheQnlpg-ana.uni-potsdam.d~,
Potsdam,
route de Chartrrs., : [email protected]
Hures-sur-Yvette,
91440
14415
Physik, Jtrhannas Gutarh)erg-Univrrsjtat : warzecha8thep.plnysik.l~l~i-nlainx.tlt~
le 20 avril
R&urn&
1998,
arcapt+?
Potsdam,
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Allemague
France Mainz:
55099
Mainz,
Allemagnr
19%)
Soit (&‘R,E‘) un module de Fredholm p-sommable,oh l’aIg&bre A = CI‘ est engendrkepar un groupediscretr d’C1Cments unitairesde C(‘H), qui estde croissance polynomialeT. On construit alorsun triplet spectral(A, 3-1,D) de sommabilidq pour tout 4 > p + ‘r + I avec F = sign11.Dansle casoti (A, 31,F) est (p. co)-sommable on obtient la ((1% oc,)-sommabilitkde (A, ‘H: U) pour tout q > p + T + 1. 0 Acad&nie des ScienceslElsevier,Paris Construction modules
Abstract.
le 27 avril
WARZECHA
of spectral
triples starting
from
Fredholm
Let (A, 7-t. F) be a p-,summuble Fredholm module where the algebra A = CT‘ is generated by u di.scrPte group of unituries in lZ( H), which is of pol~nomiul growth T. Then we construct (I spectral triple (d, X. I!) with F = signD which is q-,vummable ,for each q > p -I- r -i- I. in case (A: ‘Ft. F) is (1.1. I XI )-,summable n’e obtuin (q. ‘co)summability CI~(it, H. II) ,for eachQ> 1’+ 1’+ I. 0 AcadCmiedesScienceslEIsevier,
Paris
Abridged
English Version
In [2], thkorkme 3, A. Connes showed the following theorem which we quote as stated in 131, IV. Theorem 4: THEOREM. - Let A he u C* -algebra, (?HH,F) u Fredholm generated s&algebra .such that, ,fbr euch (I, E A, [F, (I,] E IJi1/2(xj. Note pdsentke
module
over A and A 5 A a countahl~
(1)
par Alain CONNISS.
0764-4442/98/03261195
0 AcadBmie des Sciences/Elseviw. Paris
1195
E. Schrohe
et al.
Then there exists a self-adjoint unbounded operator D in 7-t such that: (DI) sign D = Ii’, (DZ) [D, u] is bounded ,fbr uny n E A, (D3) trac:e(@‘) < c~x). Here, Lir” (3-1)is the ideal of all compact operators on ‘I? whose singular values {/a}~Z0 satisfy i&L = o((logn)--r’2) as n -3 IX). Similarly, Li(7f) is characterized by the property JL~,= O((logn)-“). The algebra B = {T E A : [F; T] E Li1j2(3_1)} ’IS s‘y mmetric and stable under hoiomorphic functional calculus so that one can enlarge A and assumethat it is generated by a countable discrete group of unitaries, I‘. For simplicity we shall start from this point of view. We supposethat A = CI‘, where r is a discrete group of unitaries in G(E) which is of polynomial growth T. Moreover, we assumethat (A, ?Y,F) is a p-summable (resp. (p, m)-summable) Fredholm module over A, i.e.,
[F, o] E C”( 31)
(resp. Lc”+)(X))
for all a E A.
(2)
We show that we can find an unbounded self-adjoint operator D satisfying (DI), (D2), and, for each (7 > p+r+l, (D3’) (1 + D2)-q/” E L’(3-I) or (D3”) (1 + D2)-‘I/” E ,c(‘s-j(E), The triple (A, H, D) IS called a q-summable spectral triple (and (Q,m)-summable in case (D3”)). Spectral triples are sometimes called unbounded Fredholm modules. Our proof essentially follows the original idea of Connes; additional ingredients are: l a characterization of those selfadjoint operators IDJ for which both [~UI,~J] and [F,a]IDI are bounded (Proposition 3). l a different function for the nonlinear transformation (see below), and l a theorem of Rotfel’d to estimate the singular values of D. If r is finitely generated, then boundednessof [D, o] will even hold for all CLE Cr(!Z) (see [2], definition 5).
Nous rappelons qu’une fonction longueur Z, sur un groupe discret I‘ est une application L : I- -+ [O.0~) qui verifie, pour tous CJ:h E I‘ : -q,9h)
5 L(g) + L(h).
L(p)
= L(y),
L(1) = 0.
Si, de plus, le cardinal de l’ensemble Bk, = (9 E I‘ : L(g) 5 k}, k E IBle, est 0(( 1 + k)‘), alors I‘ est dit de croissance polynomiale d’ordre 7’. Soit p > 1 un nombre reel. Un module de Fredholm I.‘-sommable (resp. (p, cub)-sommable)est un triplet (A, ?I, F), oti A est une algebre unit&e, ti est un espace de Hilbert avec une representation r : A -+ C(X), et F = F* E C(H) est un operateur satisfaisant F2 = I et, pour tout u, E A, [F. u] E C~‘(3-t) (resp. [F,a] E C(“+)(‘FI)). On parle d’un module de Fredholm H-sommablesi (3) est remplace par (I).
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(3)
Triplets
spectraux
h partir
de modules
de Fredholm
Un triplet spectral p-sommable (resp. (p, oc)-sommable) (A, 3-1,D) est constituk d’une algbbre unifere A, repr&entCe sur un espace de Hilbert X, et d’un opkrateur auto-adjoint 11 B ksolvante compacte tel que, pour tout tz E A,
[D. u] E L(3-I) et (1+ D2)- i’/2 E C1(X) Si la condition
(resp. (1 + D2)- P/2 E ~CL”)(yq).
(4)
(4) est remplacke par
on parle de 8-sommabilitt?. PR~FOSITION 1. - Soir (A? X. II) un triplet spectral et F = sign D. Alors (A, 3-1,F) est un module de Fredholm. Si (d, 3-1,D) est p-sommahle(resp. (11,co)-sommable, B-sommable)alors (A, 3-1,F) est p-sommable (resp. (p, cc)-sommable, H-sommable).
De’monstration. - Sans restreindre le cas gCnCra1 on peut supposer que D est inversible. En utilisant
la formule Y’-lj2
[F,4 = ; lrn 1
= + J;y X-1/2(X + T-l X-1’2D[(X+
cu
=-I’7r I 0
(
/‘12)-1.m]dX+
dX, on montre que [D,n]~lI~-’
id2(X + D2)-l[D> u](X + D2)--l - XX1’*D(X + D2)-‘[D,
a](X + D”)-ID)
dX.
Puisque tout Cltment de l’alg&bre symktrique A est la somme d’un ClCment auto-adjoint et d’un Clement anti-auto-adjoint on peut supposer que [D, (~1est auto-adjoint. En utilisant les inCgalit& -ll[D, ~1,111 < [D,a] 5 ll[D, ~111et I*d f ormule pour l’inverse de la racine, on obtient -II[D,u]IIIDl-’
5 [F.a] I II[D:c~]I/~D~-~.
De 18 dkoule la proposition. RCciproquement, Connes [l] et Voiculescu [7] ont montrk qu’ii existe des obstructions B l’existence de triplets spectraux (A, 3-t, D) de sommabilitk tinie associks 2 une alg&bre donnCe A. En particulier, si I‘ est un groupe discret non-moyennable, alors il n’existe pas de triplet spectral de sommabilitk finie associi: 2 une sous-algkbre dense de <>&,i( r). 11 y a mi5me des obstructions pour un groupe rksoluble de croissance exponentielle (done moyennable). D’autre part, si I’ est de type fini et de croissance polynomiale T, alors on peut trouver un triplet (A?%, D) pour A = Cr.‘,% = f*(r). En effet, 11 est l’opkrateur positif agissant par multiplication par la fonction longueur L, et l’on a (1 + D*)-J’/* E Ll(‘Ft) pour tout y > T + 1. Le rksultat principal de cette Note est le thkorkme suivant : THBOR~ME 2. - Soit I’ un groupe discret de crvissanc~epolynomiale r, repre’sentkpar des e’ltfments unitaires sur un espace de Nilbert 7-L Si (d,3-I, F) es‘t un module de Fredholm p-sommable (resp. (p, m)-sommable) aver A = C’I’, alors il existe un triplet spectral (A: T-f,D) de .sommabilite’y (resp. (q, M)) pour tout q > p + I’ -i- 1 tel que D = FIDI. Pour le cas oi* I‘ est le groupe ahPlier libre engendrP par T Gments ii est possible d’obtenir la .sommabilitPq (resp. ((I, ncj) pour tout q > p + I’.
1197
E. Schrohe
et al.
I1 est essentiel, ici, que II soit Ii6 A F par LI = FIDI, sinon on pourrait obtenir une meilleure sommabilitk selon les rkwltats mentionnCs ci-dessus. La dkmonstration suit 1’idCede Connes. On choisit des gknkrateurs 2~~~ 1~‘; . de I’ et l’on introduit la <
c;’= c Ck[E: uk]*[F,721 I,
(3
avec Ck E b!+ et Ck 5 2-“11[F. d]ll-* avec la norme dans .0(3-I) (resp. dans L(r’.“J(IFI)). On construira IDI B partir de G. En effet, on utilisera l’opkrateur O(G) = ,f-lMf(G) avec une moyennisation M et une transformation non 1inCaireS ; ensuite on posera D = FIDI. Pour v&ifier que le commutateur [II, (~1est born6 pour tout u E CIY, il est done suffisant que [IDI, u] et [F, a] IDI soient born&. Nous effectuons une observation importante : PROPOSITION 3. - Soit T un ope’ruteur uuto-adjoint inversihle (e’ventuellementnon borne’). Alors les conditions suivantes sent t?quivalente.s: (i) [T, a] et [F, a]T son1 hornkL7pour tout a E 431’, (ii) pour chaque ope’rufeur unituire 7~E I‘ il existe une constante C, > 0 telle qur 7’-l(l
- C,,T -1) 5 7L’r--11L*< T-1(1 + CJ-1);
de plus, il existe X > 0 tel que Tp2 2 XG. Dans un premier temps, on choisit une fonction f E Cm[O. e), E > 0, avec f(O) = 0, f strictement croissante et telle que l’inverse f-’ soit une fonction concave et croissante d’opkrateurs. Fixons aussila fonction de poids p : I‘ + ([),I) donnCepar P(U) = exp( -( 1 + L(U))) et l’opkrateur de moyennisation, dCfini par M(T) = CrhEr. TUTU* pour T E L(B). A l’aide de f et .A4 nous introduisons 1’opCrateur O(G) = ,f-‘Mf( G). 11est clair que Q(G) est compact et positif. Supposonsde plus que O(G) est injectif. Cela nous permet de poser
M,
IDI = 8(c)-l’*
+ FqG)-““F
et D = FlDl (notons que [F: III/] = 0). En utilisant la proposition 3 on peut montrer que D a les propriCtCsdCsir6espourvu que les trois conditions suivantes soient vkrifikes : (Tl) 8(G) 2 XG pour un X > 0; (T2) B(G)l/‘(1 - (Yl,0(G)1/2) 5 ,u@(G)~‘*u* < @(G)l/*(I + C,,,0(C:)1/2) ; (T3) 8(G) E Cq/*(‘H) (resp. O(G) E C(‘1/2’“)(7f)), (I > p + 1’+ 1. La propriCt6 (Tl) est aiskment dCmontrCe.En revanche, le choix de f est essentiel pour montrer que (T2) et (T3) sont vCrifiCes. Naturellement, on essaierad’atteindre une valeur de (I proche de p dans la relation (T3). D’aprks la proposition 1 on aura (1 > p. Cependant, il n’est pas Evident de diterminer la valeur minimale de 4, et il faut bien choisir J’ pour obtenir (1> T)+ T*+ 1. Nous utilisons la fonction dont l’inverse est donnC par
.I-‘@)= (ilrl.l~sl,f)-*= (hg(f(l - JI)))--*. On remarque que f--l N (I@)-‘.
1198
i > 0
petit.
(6)
Triplets
spectraux
?I partir
de modules
de Fredholm
les fonctions f-l et f sont croissantes p&s de z&o. Ensuite on utilise la caractdrisation de Lijwner [41 pour verifier que f-’ est une fonction croissante d’opkrateurs, c’estg-dire qu’on dkmontre que .f’-’ : [O, .c) -+ W s’Ctend B une fonction analytique dans le demi-plan {z E a3 : Imz > O}. La relation (6) et le fait que f-’ est une fonction croissante d’opkrateurs entrainent (T2). Finalement, on dCsigne par (11,~~ (7’1, /L] (7’), . . .} les valeurs singulikes d’un opkrateur compact 7‘. Selon un thbor&me de Rotfel’d I.51, la concavitk de 1-l implique l’inkgalitt
par condquent,
pour tout N E N. En utilisant la relation LI(,I~) = exp(-( 1 + I,(?/,))), la croissance polynomiale et le fait que f-‘(t) N (logtj-‘, on en dCduit que
de I’
-y,Llrl{c-,(C:))” < cc p,,,(G)“-+(“+? )?I ?I, De cette estimation dCcoule (T3) et done 1’tnoncC du thkorkme. I1 reste ?I considCrer le cas oh O(G) a un noyau non trivial d0 9 ker G. On pose : Tic, = k(>r(4(G) =
n k(:r( [I?+) ll.i,Cl’
= n ker([F,,tt,j). I,E.I-
Alors on peut Ccrire ?f = 3-10~337-1, oti 7& est invariant par A et F, oti F/x. commute avec tout CI,E A et oti 8(G) est injectil’ sur ‘ti I. La construction de 1) sur RHOsera facile : au lieu de G on choisira un ClCment arbitraire Go E C”/2(3.10) (resp. C (p/2.x)) qui est strictement positif, ensuite on appliquera la m&me considCration que sur 7fl. Hemurqw 4. - Une construction similaire peut &tre utilisCe dans le cas H-sommable. Krmarquc 5. - I1 est Cvident que [II, (~1 sera born6 pour tout (1.dans la complktion de CI’ pour la norme
Pour I’ de type fini, [n,h] sera born6 pour tout b E <:,(I’) (voir [2], definition 5), puisque, pour tout IL E Cl’, la norme II[II,cI,]/) peut &tre estimCe par cIIcLI(‘, oti II /I’ est la norme utilis&e dans la construction de C1 (I’) et c est une constante universelle. ( ’ ) SupportC
par la bourse
‘TMR
Marie
Curie
Research
Training
Grants’
contract
No. ERBFMBICT9615
18.
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Theory.
Anal.
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1199