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Contrôlabilité d'un corps piézoélectrique
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 267–270, 2001 Problèmes mathématiques de la mécanique/Mathematical Problems in Mechanics
Contrôlabilité d’un corps piézoélectrique Bernadette MIARA Laboratoire de modélisation et simulation numérique, École supérieure d’ingénieurs en électrotechnique et électronique, 2, boulevard Blaise-Pascal, 93160 Noisy-le-Grand, France Courriel : [email protected] (Reçu le 9 mars 2001, accepté le 5 juin 2001)
Résumé.
Nous étudions la contrôlabilité exacte d’un corps tridimensionnel dont la loi de comportement fait intervenir un couplage élastique–électrique. Nous établissons un premier résultat d’existence avec un contrôle agissant sur la totalité de la frontière. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abstract.
We study the exact controllability of a three-dimensional body whose constitutive law introduces the coupling elasticity–electricity. We establish a first result of existence with a control acting on the whole boundary. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Les indices ou exposants prennent leurs valeurs dans l’ensemble {1, 2, 3}, nous appliquons la convention de la sommation des indices et exposants répétés. Les vecteurs de R3 sont représentés en caractères gras, le produit scalaire des deux vecteurs u, v de R3 est représenté par u · v. Soit Ω un domaine de R3 à frontière Γ de classe C2 et T > 0, on note Q = Ω × (0, T ) et Σ = Γ × (0, T ). On considère le système suivant qui modélise l’évolution temporelle du vecteur déplacement élastique y = (yi ) : Q → R3 et du potentiel scalaire électrique θ : Q → R d’un corps piézoélectrique tri-dimensionnel isolant parfait : y − div A(y, θ) = 0 dans Q, (1) − div B(y, θ) = 0 dans Q, avec les conditions initiales (y 0 , y 1 ), y (0) = y 1
y(0) = y 0 ,
dans Ω,
où ∂2 y(x, t), y(0) = y(x, 0), ∂t2 et les conditions aux limites de Dirichlet (w, ω) y = y (x, t) =
y = w, ij
θ=ω
y (0) =
∂ y(x, 0), ∂t
x ∈ Ω, 0 t T,
sur Σ.
i
Les opérateurs vectoriels A = (A ) et B = (B ) définissant la loi de comportement sont donnés par : Aij (y, θ) = cijkl skl (y) + ekij ∂k θ B (y, θ) = −e i
ikl
ij
skl (y) + d ∂j θ
dans Q, dans Q,
Note présentée par Philippe G. C IARLET. S0764-4442(01)02032-8/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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B. Miara
avec (divA)j = ∂i Aij , div B = ∂i B i , ∂i = ∂/∂xi , x = (xi ) ∈ Ω. Le tenseur des déformations linéarisées est donné par skl (y) = 12 (∂k yl + ∂l yk ). Le matériau est déterminé par trois tenseurs indépendants du temps qui sont le tenseur (cijkl ) symétrique et défini positif de l’élasticité tridimensionnelle, cijkl = cjikl = cklij , le tenseur (e positif
ijk
∃αc > 0 : cijkl Xij Xkl αc Xij Xij ,
) symétrique de couplage, e dij = dji ,
ijk
=e
ikj
∀Xij = Xji ∈ R,
, et le tenseur diélectrique (dij ) symétrique et défini
∃αd > 0 : dij Xi Xj αd Xi Xi ,
∀Xi ∈ R.
On étudie, en utilisant HUM (Hilbert Uniqueness Method) [2], la question de la contrôlabilité exacte de ce système, i.e., existe-il un espace de conditions initiales (y 0 , y 1 ) et un temps T > 0 tels qu’on puisse trouver un contrôle frontière (w, ω) qui permette d’atteindre un état d’équilibre : y(T ) = y (T ) = 0
dans Ω.
Rappelons d’abord que le problème stationnaire −div A(u, φ) = f dans Ω, − div B(u, φ) = 0 dans Ω, sous la condition aux limites d’encastrement partiel u = 0 sur une partie Γ0 de la frontière Γ, aire Γ0 > 0 et φ = 0 sur Γ a été étudié par Haenel [1] qui a montré que pour tout f ∈ L2 (Ω) il existe une solution faible unique (u, φ) ∈ {v ∈ H1 (Ω), v = 0 sur Γ0 } × H01 (Ω) qui est un point-selle de la fonctionnelle 1 (v, ψ) → f · v dx, c(v, v) + 2e(v, ψ) − d(ψ, ψ) dx − 2 Ω Ω où on a noté c(u, v) = cijkl sij (u)skl (v), e(v, ψ) = eikl skl (v)∂i ψ, d(φ, ψ) = dij ∂i φ∂j ψ. On supposera dans la suite, uniquement pour simplifier l’écriture, que les trois tenseurs d’élasticité, de couplage et diélectrique sont constants dans Ω. 1. Quelques propriétés du problème d’évolution homogène Le système homogène associé au problème (1) qui s’écrit u − div A(u, φ) = 0 − div B(u, φ) = 0
dans Q,
(2)
dans Q,
avec les conditions initiales u(0) = u0 , u (0) = u1 dans Ω, et les conditions aux limites u = 0, φ = 0 sur Σ a les propriétés suivantes : L EMME. – (i) Pour (u0 , u1 ) ∈ H2 (Ω) ∩ H10 (Ω) × H10 (Ω) le système (2) admet une solution forte unique : u, u ∈ C 0, T ; H2(Ω) ∩ H10 (Ω) × H10 (Ω) , φ ∈ C 0, T ; H2(Ω) ∩ H10 (Ω) . (ii) Pour (u0 , u1 ) ∈ H10 (Ω) × L2 (Ω) le système (2) admet une solution faible unique : u, u ∈ C 0, T ; H10(Ω) × L2 (Ω) , φ ∈ C 0, T ; H10 (Ω) . (iii) L’énergie naturelle associée à la solution faible, E(t) = 12 Ω (|u |2 + c(u, u) + d(φ, φ)) dx, est conservée le long d’une trajectoire : 1 1 2 u + c u0 , u0 + d φ0 , φ0 dx, ∀t ∈ [0, T ], E(t) = E 0 = 2 Ω
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où φ0 ∈ H10 (Ω) est l’unique solution faible du problème variationnel : 0 d φ , ψ dx = e u0 , ψ dx, ∀ψ ∈ H10 (Ω). Ω
Ω
(iv) La solution faible vérifie le principe de Maupertuis : 2 u − c(u, u) − d(φ, φ) dx dt = u (T ) · u(T ) − u1 · u0 dx. Q
Ω
(v) Pour tout champ q ∈ C (Ω) la solution faible vérifie l’identité : 2 1 1 c(u, u) + 2e(u, φ) − d(φ, φ) q · n dΣ = ∂m qm u − c(u, u) − 2e(u, φ) + d(φ, φ) dx dt 2 Σ 2 Q ijkl + qm u (T ) · ∂m u(T ) dx − qm u1 · ∂m u0 dx + c sij (u) + eikl ∂i φ gkl (q, u) dx dt 1
Ω
+
Ω
Q
kij e sij (u) − dik ∂i φ ∂k qm ∂m φ dx dt,
Q
où gkl (q, u) = 12 (∂k qm ∂m ul + ∂l qm ∂m uk ) et n est la normale unitaire dirigée vers l’extérieur de Ω. (vi) En particulier, pour x0 ∈ R3 et p(x) = x − x0 , la solution faible vérifie l’identité 1 c(u, u) + 2e(u, φ) − d(φ, φ) p · n dΣ = T E 0 + u (T ) · pm ∂m u(T ) + u(T ) dx 2 Σ Ω 1 u · pm ∂m u0 + u0 dx. − Ω
(vii) Si Ω est étoilé par rapport à x , (i.e. si l’ensemble des points de Γ vérifient la condition p · n 0) alors pour T > T 0 = 2 maxx∈Ω |x − x0 | il existe une constante α > 0 telle que la solution forte vérifie l’inégalité 1 c(u, u) + 2e(u, φ) − d(φ, φ) p · n dΣ α c(u, u) + d(φ, φ) dΣ. E0 T − T 0 2 Σ Σ 0
Les démonstrations sont complètement détaillées dans [3]. Remarque 1. – De (v) on peut seulement déduire que la solution faible du problème homogène vérifie c(u, u) + 2e(u, φ) − d(φ, φ) ∈ L1 (Σ) et non la régularité cachée classique de l’équation des ondes ∂n u ∈ L2 (Σ). 2. Le problème adjoint A des conditions initiales régulières (u0 , u1 ) du problème homogène (2) on associe le problème adjoint rétrograde et non homogène : v − div A(v, ψ) = 0 dans Q, − div B(v, ψ) = 0 dans Q, avec les conditions finales v(T ) = 0,
v (T ) = 0
dans Ω,
v = v(u),
ψ = ψ(φ)
sur Σ,
et les conditions de Dirichlet
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B. Miara
les expressions de v(u), et ψ(φ) sont précisées ci-dessous. On reprend la notation de [2] pour introduire l’opérateur Λ : (u0 , u1 ) ∈ D(Ω) × D(Ω) → Λ(u0 , u1 ) = (v (0), −v(0)). Si (z, ζ) est la solution du problème homogène associé aux conditions initiales (z 0 , z 1 ) ∈ D(Ω) × D(Ω) on a formellement : Λ u0 , u1 · z 0 , z 1 dx = cijkl skl (z)v j (u)ni dΣ + eikl skl (z)ψ(φ)ni dΣ Ω Σ Σ ekij ∂k ζv j (u)ni dΣ − dij ∂j ζψ(φ)ni dΣ. + Σ 0
Σ
1
On note que si Σ et Σ sont deux parties quelconques de Σ et si on pose v(u) = ∂n u sur Σ0 ,
v(u) = 0 sur Σ \ Σ0 ,
et ψ(φ) = −∂n φ sur Σ1 ,
le membre de droite de la relation précédente prend la forme c(u, z) dΣ − e(z, φ) dΣ + e(u, ζ) dΣ + Σ0 1
Σ1
Σ0
ψ(φ) = 0 sur Σ \ Σ1 ,
d(ζ, φ) dΣ.
Σ1
Si de plus Σ0 = Σ = Σ, cette expression se simplifie et permet d’introduire, d’après (vii) du lemme, la norme définie pour tout (u0 , u1 ) ∈ D(Ω) × D(Ω) (alors c(u, u) ∈ L1 (Σ), d(φ, φ) ∈ L1 (Σ)) 0 1 2 0 1 0 1 u ,u = c(u, u) + d(φ, φ) dΣ. Λ u , u · u , u dx = Ω
Σ
3. Contrôlabilité exacte Soit F l’espace de Hilbert complété de D(Ω) × D(Ω) pour cette norme et F son dual, on a l’encadrement pour s > 1/2 H1+s (Ω) ∩ H10 (Ω) × Hs (Ω) ⊂ F ⊂ H10 (Ω) × L2 (Ω), H−1 (Ω) × L2 (Ω) ⊂ F ⊂ H1+s (Ω) ∩ H10 (Ω) × Hs (Ω) . On montre, par dualité, que pour toute condition initiale telle que (y 1 , −y0 ) ∈ F et toute condition aux limites w ∈ L2 (Ω), ω ∈ L2 (Ω) le problème d’évolution (1) admet une solution faible unique, d’où le résultat de contrôlabilité. T HÉORÈME. – Si Ω est étoilé par rapport à x0 , pour tout couple de données initiales (y 1 , −y0 ) ∈ F il existe une unique solution (u, φ) du problème (2) associée à la solution unique (u0 , u1 ) ∈ F de l’équation Λ(u0 , u1 ) = (y 1 , −y0 ) et donc un contrôle frontière (w, ω) ∈ L2 (Σ) × L2 (Σ) défini par w = ∂n u, ω = −∂n φ sur Σ tel que le système (1) est exactement contrôlable à l’instant T > T 0 . Remarque 2. – Ce résultat montre que pour contrôler le système (1) on agit sur toute la frontière Σ. L’approche présentée ici ne permet pas en effet d’effectuer un contrôle par une action sur seulement une partie de la frontière. Remarque 3. – Dans [4] on propose un modèle d’évolution bi-dimensionnel de structures minces piézoélectriques et on donne un résultat de contrôlabilité exacte, du même type que celui-ci, pour une plaque et pour une coque « peu profonde ». Remerciements. L’auteur remercie vivement Vilmos Komornik pour les suggestions qu’il lui a faites sur une première version de ce travail.
Références bibliographiques [1] Haenel Ch., Modélisation, analyse et simulation numérique de coques piézoélectriques, Thèse de l’Université Pierre et Marie Curie, 2000. [2] Lions J.-L., Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de systèmes distribués, Tome 1, Masson, 1988. [3] Miara B., Contrôlabilité exacte d’un corps piézoélectrique tridimensionnel, en préparation. [4] Miara B., Contrôlabilité exacte de structures minces piézoélectriques, en préparation.
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Contrôlabilité d’un corps piézoélectrique Bernadette MIARA Laboratoire de modélisation et simulation numérique, École supérieure d’ingénieurs en électrotechnique et électronique, 2, boulevard Blaise-Pascal, 93160 Noisy-le-Grand, France Courriel : [email protected] (Reçu le 9 mars 2001, accepté le 5 juin 2001)
Résumé.
Nous étudions la contrôlabilité exacte d’un corps tridimensionnel dont la loi de comportement fait intervenir un couplage élastique–électrique. Nous établissons un premier résultat d’existence avec un contrôle agissant sur la totalité de la frontière. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Abstract.
We study the exact controllability of a three-dimensional body whose constitutive law introduces the coupling elasticity–electricity. We establish a first result of existence with a control acting on the whole boundary. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Les indices ou exposants prennent leurs valeurs dans l’ensemble {1, 2, 3}, nous appliquons la convention de la sommation des indices et exposants répétés. Les vecteurs de R3 sont représentés en caractères gras, le produit scalaire des deux vecteurs u, v de R3 est représenté par u · v. Soit Ω un domaine de R3 à frontière Γ de classe C2 et T > 0, on note Q = Ω × (0, T ) et Σ = Γ × (0, T ). On considère le système suivant qui modélise l’évolution temporelle du vecteur déplacement élastique y = (yi ) : Q → R3 et du potentiel scalaire électrique θ : Q → R d’un corps piézoélectrique tri-dimensionnel isolant parfait : y − div A(y, θ) = 0 dans Q, (1) − div B(y, θ) = 0 dans Q, avec les conditions initiales (y 0 , y 1 ), y (0) = y 1
y(0) = y 0 ,
dans Ω,
où ∂2 y(x, t), y(0) = y(x, 0), ∂t2 et les conditions aux limites de Dirichlet (w, ω) y = y (x, t) =
y = w, ij
θ=ω
y (0) =
∂ y(x, 0), ∂t
x ∈ Ω, 0 t T,
sur Σ.
i
Les opérateurs vectoriels A = (A ) et B = (B ) définissant la loi de comportement sont donnés par : Aij (y, θ) = cijkl skl (y) + ekij ∂k θ B (y, θ) = −e i
ikl
ij
skl (y) + d ∂j θ
dans Q, dans Q,
Note présentée par Philippe G. C IARLET. S0764-4442(01)02032-8/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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avec (divA)j = ∂i Aij , div B = ∂i B i , ∂i = ∂/∂xi , x = (xi ) ∈ Ω. Le tenseur des déformations linéarisées est donné par skl (y) = 12 (∂k yl + ∂l yk ). Le matériau est déterminé par trois tenseurs indépendants du temps qui sont le tenseur (cijkl ) symétrique et défini positif de l’élasticité tridimensionnelle, cijkl = cjikl = cklij , le tenseur (e positif
ijk
∃αc > 0 : cijkl Xij Xkl αc Xij Xij ,
) symétrique de couplage, e dij = dji ,
ijk
=e
ikj
∀Xij = Xji ∈ R,
, et le tenseur diélectrique (dij ) symétrique et défini
∃αd > 0 : dij Xi Xj αd Xi Xi ,
∀Xi ∈ R.
On étudie, en utilisant HUM (Hilbert Uniqueness Method) [2], la question de la contrôlabilité exacte de ce système, i.e., existe-il un espace de conditions initiales (y 0 , y 1 ) et un temps T > 0 tels qu’on puisse trouver un contrôle frontière (w, ω) qui permette d’atteindre un état d’équilibre : y(T ) = y (T ) = 0
dans Ω.
Rappelons d’abord que le problème stationnaire −div A(u, φ) = f dans Ω, − div B(u, φ) = 0 dans Ω, sous la condition aux limites d’encastrement partiel u = 0 sur une partie Γ0 de la frontière Γ, aire Γ0 > 0 et φ = 0 sur Γ a été étudié par Haenel [1] qui a montré que pour tout f ∈ L2 (Ω) il existe une solution faible unique (u, φ) ∈ {v ∈ H1 (Ω), v = 0 sur Γ0 } × H01 (Ω) qui est un point-selle de la fonctionnelle 1 (v, ψ) → f · v dx, c(v, v) + 2e(v, ψ) − d(ψ, ψ) dx − 2 Ω Ω où on a noté c(u, v) = cijkl sij (u)skl (v), e(v, ψ) = eikl skl (v)∂i ψ, d(φ, ψ) = dij ∂i φ∂j ψ. On supposera dans la suite, uniquement pour simplifier l’écriture, que les trois tenseurs d’élasticité, de couplage et diélectrique sont constants dans Ω. 1. Quelques propriétés du problème d’évolution homogène Le système homogène associé au problème (1) qui s’écrit u − div A(u, φ) = 0 − div B(u, φ) = 0
dans Q,
(2)
dans Q,
avec les conditions initiales u(0) = u0 , u (0) = u1 dans Ω, et les conditions aux limites u = 0, φ = 0 sur Σ a les propriétés suivantes : L EMME. – (i) Pour (u0 , u1 ) ∈ H2 (Ω) ∩ H10 (Ω) × H10 (Ω) le système (2) admet une solution forte unique : u, u ∈ C 0, T ; H2(Ω) ∩ H10 (Ω) × H10 (Ω) , φ ∈ C 0, T ; H2(Ω) ∩ H10 (Ω) . (ii) Pour (u0 , u1 ) ∈ H10 (Ω) × L2 (Ω) le système (2) admet une solution faible unique : u, u ∈ C 0, T ; H10(Ω) × L2 (Ω) , φ ∈ C 0, T ; H10 (Ω) . (iii) L’énergie naturelle associée à la solution faible, E(t) = 12 Ω (|u |2 + c(u, u) + d(φ, φ)) dx, est conservée le long d’une trajectoire : 1 1 2 u + c u0 , u0 + d φ0 , φ0 dx, ∀t ∈ [0, T ], E(t) = E 0 = 2 Ω
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où φ0 ∈ H10 (Ω) est l’unique solution faible du problème variationnel : 0 d φ , ψ dx = e u0 , ψ dx, ∀ψ ∈ H10 (Ω). Ω
Ω
(iv) La solution faible vérifie le principe de Maupertuis : 2 u − c(u, u) − d(φ, φ) dx dt = u (T ) · u(T ) − u1 · u0 dx. Q
Ω
(v) Pour tout champ q ∈ C (Ω) la solution faible vérifie l’identité : 2 1 1 c(u, u) + 2e(u, φ) − d(φ, φ) q · n dΣ = ∂m qm u − c(u, u) − 2e(u, φ) + d(φ, φ) dx dt 2 Σ 2 Q ijkl + qm u (T ) · ∂m u(T ) dx − qm u1 · ∂m u0 dx + c sij (u) + eikl ∂i φ gkl (q, u) dx dt 1
Ω
+
Ω
Q
kij e sij (u) − dik ∂i φ ∂k qm ∂m φ dx dt,
Q
où gkl (q, u) = 12 (∂k qm ∂m ul + ∂l qm ∂m uk ) et n est la normale unitaire dirigée vers l’extérieur de Ω. (vi) En particulier, pour x0 ∈ R3 et p(x) = x − x0 , la solution faible vérifie l’identité 1 c(u, u) + 2e(u, φ) − d(φ, φ) p · n dΣ = T E 0 + u (T ) · pm ∂m u(T ) + u(T ) dx 2 Σ Ω 1 u · pm ∂m u0 + u0 dx. − Ω
(vii) Si Ω est étoilé par rapport à x , (i.e. si l’ensemble des points de Γ vérifient la condition p · n 0) alors pour T > T 0 = 2 maxx∈Ω |x − x0 | il existe une constante α > 0 telle que la solution forte vérifie l’inégalité 1 c(u, u) + 2e(u, φ) − d(φ, φ) p · n dΣ α c(u, u) + d(φ, φ) dΣ. E0 T − T 0 2 Σ Σ 0
Les démonstrations sont complètement détaillées dans [3]. Remarque 1. – De (v) on peut seulement déduire que la solution faible du problème homogène vérifie c(u, u) + 2e(u, φ) − d(φ, φ) ∈ L1 (Σ) et non la régularité cachée classique de l’équation des ondes ∂n u ∈ L2 (Σ). 2. Le problème adjoint A des conditions initiales régulières (u0 , u1 ) du problème homogène (2) on associe le problème adjoint rétrograde et non homogène : v − div A(v, ψ) = 0 dans Q, − div B(v, ψ) = 0 dans Q, avec les conditions finales v(T ) = 0,
v (T ) = 0
dans Ω,
v = v(u),
ψ = ψ(φ)
sur Σ,
et les conditions de Dirichlet
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les expressions de v(u), et ψ(φ) sont précisées ci-dessous. On reprend la notation de [2] pour introduire l’opérateur Λ : (u0 , u1 ) ∈ D(Ω) × D(Ω) → Λ(u0 , u1 ) = (v (0), −v(0)). Si (z, ζ) est la solution du problème homogène associé aux conditions initiales (z 0 , z 1 ) ∈ D(Ω) × D(Ω) on a formellement : Λ u0 , u1 · z 0 , z 1 dx = cijkl skl (z)v j (u)ni dΣ + eikl skl (z)ψ(φ)ni dΣ Ω Σ Σ ekij ∂k ζv j (u)ni dΣ − dij ∂j ζψ(φ)ni dΣ. + Σ 0
Σ
1
On note que si Σ et Σ sont deux parties quelconques de Σ et si on pose v(u) = ∂n u sur Σ0 ,
v(u) = 0 sur Σ \ Σ0 ,
et ψ(φ) = −∂n φ sur Σ1 ,
le membre de droite de la relation précédente prend la forme c(u, z) dΣ − e(z, φ) dΣ + e(u, ζ) dΣ + Σ0 1
Σ1
Σ0
ψ(φ) = 0 sur Σ \ Σ1 ,
d(ζ, φ) dΣ.
Σ1
Si de plus Σ0 = Σ = Σ, cette expression se simplifie et permet d’introduire, d’après (vii) du lemme, la norme définie pour tout (u0 , u1 ) ∈ D(Ω) × D(Ω) (alors c(u, u) ∈ L1 (Σ), d(φ, φ) ∈ L1 (Σ)) 0 1 2 0 1 0 1 u ,u = c(u, u) + d(φ, φ) dΣ. Λ u , u · u , u dx = Ω
Σ
3. Contrôlabilité exacte Soit F l’espace de Hilbert complété de D(Ω) × D(Ω) pour cette norme et F son dual, on a l’encadrement pour s > 1/2 H1+s (Ω) ∩ H10 (Ω) × Hs (Ω) ⊂ F ⊂ H10 (Ω) × L2 (Ω), H−1 (Ω) × L2 (Ω) ⊂ F ⊂ H1+s (Ω) ∩ H10 (Ω) × Hs (Ω) . On montre, par dualité, que pour toute condition initiale telle que (y 1 , −y0 ) ∈ F et toute condition aux limites w ∈ L2 (Ω), ω ∈ L2 (Ω) le problème d’évolution (1) admet une solution faible unique, d’où le résultat de contrôlabilité. T HÉORÈME. – Si Ω est étoilé par rapport à x0 , pour tout couple de données initiales (y 1 , −y0 ) ∈ F il existe une unique solution (u, φ) du problème (2) associée à la solution unique (u0 , u1 ) ∈ F de l’équation Λ(u0 , u1 ) = (y 1 , −y0 ) et donc un contrôle frontière (w, ω) ∈ L2 (Σ) × L2 (Σ) défini par w = ∂n u, ω = −∂n φ sur Σ tel que le système (1) est exactement contrôlable à l’instant T > T 0 . Remarque 2. – Ce résultat montre que pour contrôler le système (1) on agit sur toute la frontière Σ. L’approche présentée ici ne permet pas en effet d’effectuer un contrôle par une action sur seulement une partie de la frontière. Remarque 3. – Dans [4] on propose un modèle d’évolution bi-dimensionnel de structures minces piézoélectriques et on donne un résultat de contrôlabilité exacte, du même type que celui-ci, pour une plaque et pour une coque « peu profonde ». Remerciements. L’auteur remercie vivement Vilmos Komornik pour les suggestions qu’il lui a faites sur une première version de ce travail.
Références bibliographiques [1] Haenel Ch., Modélisation, analyse et simulation numérique de coques piézoélectriques, Thèse de l’Université Pierre et Marie Curie, 2000. [2] Lions J.-L., Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de systèmes distribués, Tome 1, Masson, 1988. [3] Miara B., Contrôlabilité exacte d’un corps piézoélectrique tridimensionnel, en préparation. [4] Miara B., Contrôlabilité exacte de structures minces piézoélectriques, en préparation.
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