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Convection mixte en régime transitoire de couche limite laminaire sur une plaque verticale
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Série II b, p. 627–631, 2001
Convection mixte en régime transitoire de couche limite laminaire sur une plaque verticale Ton Hoang MAI, Ryad ZEBIRI, Thierry de LORENZO Laboratoire de thermomécanique, UTAP, EA 2061, Faculté des sciences, BP 1039, 51687 Reims, France Courriel : [email protected] (Reçu le 21 février 2001, accepté après révision le 10 juillet 2001)
Résumé.
Nous proposons dans cet article l’étude du comportement en régime transitoire de couche limite laminaire se développant sur une surface verticale et nous résolvons le système d’équations grâce à une méthode numérique aux différences finies, avec schéma implicite. Nous montrons alors que la nature de la plaque influe sur les épaisseurs des couches limites dynamique et thermique ainsi que sur la vitesse de l’écoulement. De plus nous observons qu’une faible perturbation de vitesse engendre une instabilité de l’écoulement. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS transferts thermiques / milieux réactifs / combustion / convection mixte transitoire / couche limite / instabilité laminaire / méthode des différences finies
Transient mixed convection of laminar boundary layer past a vertical plate Abstract.
This work deals with transient laminar boundary layer along a vertical surface and system of equations is solved using finite difference implicite scheme. We show that the nature of the plate influence thermal and dynamical boundary layer thicknesses as well as the flow velocity. Moreover, we observe that a small perturbation of the velocity implies to flow laminar instabilities. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS heat transfer / reactive media / combustion / transient mixed convection / boundary layer / laminar instability / finite-difference method
Abridged English version Recent developments in engineering have led to an increasing interest in transient mixed convection flows. These flows arise in many technological applications such as nuclear plants, heat exchangers and other apparatuses, etc. The transient phases come, either occasionally as in starting processes and accidental transients, or when the boundary conditions are normally changing with time. Concerning more specifically the laminar boundary layer flows along a vertical plate, it can be mentioned that most of recent investigations [1–3] deals with the stationary regime. In the present paper we investigate the transient mixed convection of laminar boundary layer past a vertical plate. The effect of the perturbation of the laminar boundary layer by forced flow, and of the wallto-fluid heat capacity ratio on the nature of the transient flow behaviour proved to be of special interest. The governing equations are simplified using the boundary layer and Boussinesq approximations. The system is then nondimensionalised as show in equations (1)–(3) for the uniform flux input condition flows Note présentée par Sébastien C ANDEL. S1620-7742(01)01377-0/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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using the procedure given by [4]. The corresponding boundary and initial conditions are defined in (4)–(7), where equation (6) is the result of an energy balance on the plate, and a∗ is the wall-to-fluid heat capacity ratio defined in (8). To compute the numerical solutions of the problem, we solved the dimensionless system (1)–(3) associated with the boundary conditions (4)–(7) using a finite-difference procedure. A fully implicit numerical scheme was employed, in which upwind differences are used for the axial convective term, central differences for the radial and diffusional terms, and backward differences for the temporal term. Moreover, we used a non uniform grid, according to the Tchebytchev method with variable steps in the horizontal direction y + and uniform steps in the axial direction x+ . After discretisation a set of linear equations with algebraic coefficients is obtained which can be solved efficiently using the Thomas algorithm [5]. This investigation covers a range of buoyancy force from RiRe = −50 to 50, velocity step from ∆U + = −0.4 to 0.4, heat capacity ratio a∗ = 0 to 5 (a∗ = 0 corresponding to the thin wall), and Pr = 1. The choice of velocity step values depends on the buoyancy force. Velocity and temperature profiles in the case of ∆U + = 0 and a∗ = 0 are illustrated on figure 1. During the transient phase, the velocity profile represents a maximum near the wall and decreases until the dynamical boundary layer thickness is reached. Both the velocity and temperature reach the steady-state solution as the time increases. In the case where a∗ = 5 ( figure 2), the wall heat capacity effect leads to an oscillatory flow near the wall. The temperature profile represents a strong gradient in comparison with previous case. Figure 3 shows the temporal evolution of velocity profile when a small velocity perturbation (∆U + = −0.4) is done. Under the effect of transient mixed convection, we observe a decreasing velocity of the flow at the dynamical boundary layer thickness and an oscillatory flow near the wall. This result shows that a weak perturbation of the flow could be led to laminar flow instabilities. In the case of opposing flow ( figure 4), the flow decreases near the wall which leads to recirculating flow. Moreover whatever the studied problem velocity profiles ( figures 1–4) keep the same shape at the first times. The whole of results shows the effects of both parameters (a∗ , ∆U + ) on the nature of the transient flow behaviour with the possibility of recirculating and unstable flows near the wall.
1. Introduction La convection mixte en régime transitoire joue un rôle important dans de nombreuses applications industrielles concernant aussi bien la sécurité des centrales nucléaires que la régulation des équipements du bâtiment. En ce qui concerne plus particulièrement les écoulements de couche limite laminaire sur une plaque verticale, on peut citer comme investigations récentes celles de Pop et al. [1], de Vighnesam et al. [2], et de Ali et al. [3]. Dans le premier cas les auteurs ont étudié l’influence du sens de circulation de l’écoulement, dans le deuxième cas une température variable est imposée à la paroi et dans le dernier cas Ali et al. ont considéré une paroi mobile. Dans tous ces travaux les auteurs s’intéressent généralement au problème de couche limite en régime permanent. Dans notre cas, nous proposons une étude numérique du comportement thermohydraulique en convection mixte transitoire de couche limite laminaire se développant sur une paroi verticale, lorsque le fluide est perturbé par un échelon de vitesse positif ou négatif. Il s’agit d’un phénomène de perturbation de couche limite laminaire par un écoulement forcé. L’effet de la paroi sur le comportement des écoulements aidés et contrariés sera présenté. 2. Formulation et résolution du problème On considère un écoulement de couche limite laminaire en convection mixte se développant sur une plaque verticale avec un flux imposé à sa surface externe. Initialement (à t = 0), l’écoulement est à une
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température uniforme T0 et la vitesse U0 . Puis, à t > 0, l’écoulement est brusquement perturbé par un échelon de vitesse (∆U + ) positif ou négatif. Les propriétés thermophysiques du fluide sont supposées indépendantes de la température sauf dans le terme de gravitation (approximation de Boussinesq). Dans ces conditions le système d’équations adimensionnées s’écrit : ∂U + ∂V + + =0 ∂x+ ∂y +
(1)
+ + ∂U + ∂2U + + ∂U + ∂U + U + V = + RiRe · T + ∂t+ ∂x+ ∂y + ∂y +2
(2)
+ + ∂T + 1 ∂2T + + ∂T + ∂T + U + V = ∂t+ ∂x+ ∂y + Pr ∂y +2 où les groupements sans dimension dans le cas de flux imposé à la paroi sont définis par [4] :
x+ =
ν x x = , U0 L L Re L
y+ =
y , L
U+ =
U , U0
V+=
VL , ν
T+ =
T − T0 , qL/α
t+ =
(3)
νt L2
gβ(Tp − T0 )L ν , Pr = U02 a Les conditions aux limites et initiales sont les suivantes : RiRe =
t+ = 0 :
U + = 1, V + = 0, T + = 0 (4) + + + = 1 + ∆U , ∆U ∈ [−1, 1] U + + t >0: x =0 (5) T+ = 0 + U =0 + + + y = 0 ∂T = 1 − a∗ Pr ∂T (6) + + ∂y ∂t + + (7) y + → ∞ U + = 1 + ∆U T =0 L’équation (6) est le résultat du bilan d’énergie sur la plaque, et a∗ représente le rapport des capacités thermiques paroi (indice p)–fluide (indice f ) dont l’expression est la suivante : a∗ =
ρp Cp Sp ρf Cf Sf
(8)
où ρi , Ci , et Si sont respectivement la masse volumique, la capacité calorifique et la section transversale. Nous avons ensuite résolu le système d’équations (1)–(3) associé aux conditions aux limites (4)–(7) par la méthode des différences finies avec un schéma purement implicite, dans lequel les différences amonts sont utilisées pour le terme de convection verticale, les différences centrées pour les termes de convection horizontale et de diffusion, et les différences avales pour le terme temporel. De plus, le domaine est discrétisé en utilisant un maillage irrégulier de type Tchebytchev avec un pas variable selon la direction y + et un pas régulier selon la direction x+ . Après la discrétisation, les équations (2) et (3) forment un système tridiagonal qui est résolu par l’algorithme de Thomas [5]. La composante de la vitesse horizontale a été obtenue en intégrant l’équation de continuité (1). Le calcul commence au bord d’attaque de la plaque et avance selon le sens de l’écoulement du fluide. Le critère de convergence adopté est l’écart relatif de la vitesse et de la température entre deux itérations successives. Lorsque celui-ci est inférieur à 10−5 en tout point du maillage, l’écoulement est supposé établi. 3. Résultats Les calculs sont effectués pour Pr = 1, et en considérant que le coefficient de poussée thermique (RiRe) varie de −50 à 50, et que le rapport des capacités thermiques a∗ varie de 0 à 5 (a∗ = 0 correspondant au cas
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de la paroi très mince). Les conditions précédentes impliquent alors que le terme de perturbation de vitesse ∆U + varie de −0,4 à 0,4. Tout d’abord, nous étudions l’influence de la paroi sur le comportement thermohydraulique de l’écoulement en considérant le cas de convection mixte sans perturbation de l’écoulement (∆U + = 0). Lorsque a∗ = 0 ( figure 1), l’effet de la convection mixte montre qu’à chaque instant l’écoulement accélère au voisinage de la paroi et le profil de vitesse représente un maximum puis décroît vers la frontière de la couche limite dynamique. Les profils de vitesse et de température tendent de manière asymptotique vers la solution obtenue en régime permanent quand le temps t+ devient grand. La figure 2 montre l’évolution temporelle du profil de vitesse pour a∗ = 5. Durant les premiers instants, nous constatons une décélération de l’écoulement au voisinage de la paroi puis une accélération lorsque le temps croît. Sous l’effet de la paroi, les épaisseurs de couches limites dynamique et thermique augmentent alors que la vitesse de l’écoulement au sein de la couche limite dynamique décroît par rapport au cas où l’inertie thermique de la paroi est négligeable (a∗ = 0). Par conséquent lorsque la capacité thermique de la paroi est non négligeable l’écoulement devient oscillatoire donc instable. Le profil de température présente un gradient important par rapport au cas précédent.
Figure 1. Profils de vitesse et de température pour Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 0, ∆U + = 0. Figure 1. Velocity and temperature profiles for Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 0, ∆U + = 0.
Figure 2. Profils de vitesse et de température pour Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 5, ∆U + = 0. Figure 2. Velocity and temperature profiles for Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 5, ∆U + = 0.
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Figure 3. Profils de vitesse pour Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 5, ∆U + = −0,4.
Figure 4. Profils de vitesse pour Pr = 1, RiRe = −50, a∗ = 5, ∆U + = +0,4.
Figure 3. Velocity profiles for Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 5, ∆U + = −0.4.
Figure 4. Velocity profiles for Pr = 1, RiRe = −50, a∗ = 5, ∆U + = +0.4.
Nous avons ensuite traité le même cas que précédemment (a∗ = 5, RiRe = 50) en imposant maintenant une perturbation ∆U + négative au sein de l’écoulement. La figure 3 montre une diminution du profil de vitesse vers la frontière de la couche limite dynamique correspondant à une faible perturbation de la vitesse du fluide. Au voisinage de la paroi, le profil de vitesse varie de façon oscillatoire puis tend progressivement vers son profil après un échelon. Ce résultat montre bien qu’une faible perturbation de la vitesse du fluide peut entraîner des instabilités de l’écoulement laminaire. Dans le cas de l’écoulement contrarié ( figure 4), on note sous les effets de la poussée thermique et de la capacité thermique paroi–fluide que l’écoulement est freiné près de la paroi. Le freinage amorce un phénomène de recirculation donc l’écoulement devient instable. La disparition des maxima correspond à la transition de la convection forcée à la convection mixte. Nous constatons de plus que quelque soit le problème étudié les profils de vitesse sont identiques aux premiers instants sur les figures 1–3 et 4. 4. Conclusion Nous avons modélisé un écoulement de convection mixte en régime transitoire le long d’une surface verticale. Nous avons montré que les épaisseurs de couches limites dynamique et thermique augmentent alors que la vitesse de l’écoulement diminue lorsque le rapport des capacités thermiques a∗ croît. De plus nous avons vu qu’une faible perturbation (positive ou négative) de la vitesse de l’écoulement entraîne une instabilité de l’écoulement. Enfin nous avons remarqué que les profils de vitesse sont identiques aux premiers instants et cela quelque soit la valeur de la poussée thermique, du rapport des capacités thermiques ainsi que de la perturbation de vitesse. Références bibliographiques [1] Pop I., Ingham D.B., Yuan Y., Mixed convective conjugate heat transfer from a vertical flat plate, Z. Angew. Math. Mech. 76 (5) (1996) 281–289. [2] Vighnesam N.V., Soundalgekar V.M., Combined free and forced convection flow of water at 4 ◦ C from a vertical plate with variable temperature, Indian J. Engrg. & Materials Sci. 5 (1998) 124–126. [3] Ali M., Al-Yousef F., Laminar mixed convection from a continously moving vertical surface with suction or injection, Heat and Mass Transfer 33 (1998) 301–306. [4] Yan W.M., Transient mixed convection heat transfer in vertical pipe flows, Int. Comm. Heat Mass Transfer 19 (1992) 89–101. [5] Patankar S.V., Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere, New York, 1987.
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Convection mixte en régime transitoire de couche limite laminaire sur une plaque verticale Ton Hoang MAI, Ryad ZEBIRI, Thierry de LORENZO Laboratoire de thermomécanique, UTAP, EA 2061, Faculté des sciences, BP 1039, 51687 Reims, France Courriel : [email protected] (Reçu le 21 février 2001, accepté après révision le 10 juillet 2001)
Résumé.
Nous proposons dans cet article l’étude du comportement en régime transitoire de couche limite laminaire se développant sur une surface verticale et nous résolvons le système d’équations grâce à une méthode numérique aux différences finies, avec schéma implicite. Nous montrons alors que la nature de la plaque influe sur les épaisseurs des couches limites dynamique et thermique ainsi que sur la vitesse de l’écoulement. De plus nous observons qu’une faible perturbation de vitesse engendre une instabilité de l’écoulement. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS transferts thermiques / milieux réactifs / combustion / convection mixte transitoire / couche limite / instabilité laminaire / méthode des différences finies
Transient mixed convection of laminar boundary layer past a vertical plate Abstract.
This work deals with transient laminar boundary layer along a vertical surface and system of equations is solved using finite difference implicite scheme. We show that the nature of the plate influence thermal and dynamical boundary layer thicknesses as well as the flow velocity. Moreover, we observe that a small perturbation of the velocity implies to flow laminar instabilities. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS heat transfer / reactive media / combustion / transient mixed convection / boundary layer / laminar instability / finite-difference method
Abridged English version Recent developments in engineering have led to an increasing interest in transient mixed convection flows. These flows arise in many technological applications such as nuclear plants, heat exchangers and other apparatuses, etc. The transient phases come, either occasionally as in starting processes and accidental transients, or when the boundary conditions are normally changing with time. Concerning more specifically the laminar boundary layer flows along a vertical plate, it can be mentioned that most of recent investigations [1–3] deals with the stationary regime. In the present paper we investigate the transient mixed convection of laminar boundary layer past a vertical plate. The effect of the perturbation of the laminar boundary layer by forced flow, and of the wallto-fluid heat capacity ratio on the nature of the transient flow behaviour proved to be of special interest. The governing equations are simplified using the boundary layer and Boussinesq approximations. The system is then nondimensionalised as show in equations (1)–(3) for the uniform flux input condition flows Note présentée par Sébastien C ANDEL. S1620-7742(01)01377-0/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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using the procedure given by [4]. The corresponding boundary and initial conditions are defined in (4)–(7), where equation (6) is the result of an energy balance on the plate, and a∗ is the wall-to-fluid heat capacity ratio defined in (8). To compute the numerical solutions of the problem, we solved the dimensionless system (1)–(3) associated with the boundary conditions (4)–(7) using a finite-difference procedure. A fully implicit numerical scheme was employed, in which upwind differences are used for the axial convective term, central differences for the radial and diffusional terms, and backward differences for the temporal term. Moreover, we used a non uniform grid, according to the Tchebytchev method with variable steps in the horizontal direction y + and uniform steps in the axial direction x+ . After discretisation a set of linear equations with algebraic coefficients is obtained which can be solved efficiently using the Thomas algorithm [5]. This investigation covers a range of buoyancy force from RiRe = −50 to 50, velocity step from ∆U + = −0.4 to 0.4, heat capacity ratio a∗ = 0 to 5 (a∗ = 0 corresponding to the thin wall), and Pr = 1. The choice of velocity step values depends on the buoyancy force. Velocity and temperature profiles in the case of ∆U + = 0 and a∗ = 0 are illustrated on figure 1. During the transient phase, the velocity profile represents a maximum near the wall and decreases until the dynamical boundary layer thickness is reached. Both the velocity and temperature reach the steady-state solution as the time increases. In the case where a∗ = 5 ( figure 2), the wall heat capacity effect leads to an oscillatory flow near the wall. The temperature profile represents a strong gradient in comparison with previous case. Figure 3 shows the temporal evolution of velocity profile when a small velocity perturbation (∆U + = −0.4) is done. Under the effect of transient mixed convection, we observe a decreasing velocity of the flow at the dynamical boundary layer thickness and an oscillatory flow near the wall. This result shows that a weak perturbation of the flow could be led to laminar flow instabilities. In the case of opposing flow ( figure 4), the flow decreases near the wall which leads to recirculating flow. Moreover whatever the studied problem velocity profiles ( figures 1–4) keep the same shape at the first times. The whole of results shows the effects of both parameters (a∗ , ∆U + ) on the nature of the transient flow behaviour with the possibility of recirculating and unstable flows near the wall.
1. Introduction La convection mixte en régime transitoire joue un rôle important dans de nombreuses applications industrielles concernant aussi bien la sécurité des centrales nucléaires que la régulation des équipements du bâtiment. En ce qui concerne plus particulièrement les écoulements de couche limite laminaire sur une plaque verticale, on peut citer comme investigations récentes celles de Pop et al. [1], de Vighnesam et al. [2], et de Ali et al. [3]. Dans le premier cas les auteurs ont étudié l’influence du sens de circulation de l’écoulement, dans le deuxième cas une température variable est imposée à la paroi et dans le dernier cas Ali et al. ont considéré une paroi mobile. Dans tous ces travaux les auteurs s’intéressent généralement au problème de couche limite en régime permanent. Dans notre cas, nous proposons une étude numérique du comportement thermohydraulique en convection mixte transitoire de couche limite laminaire se développant sur une paroi verticale, lorsque le fluide est perturbé par un échelon de vitesse positif ou négatif. Il s’agit d’un phénomène de perturbation de couche limite laminaire par un écoulement forcé. L’effet de la paroi sur le comportement des écoulements aidés et contrariés sera présenté. 2. Formulation et résolution du problème On considère un écoulement de couche limite laminaire en convection mixte se développant sur une plaque verticale avec un flux imposé à sa surface externe. Initialement (à t = 0), l’écoulement est à une
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température uniforme T0 et la vitesse U0 . Puis, à t > 0, l’écoulement est brusquement perturbé par un échelon de vitesse (∆U + ) positif ou négatif. Les propriétés thermophysiques du fluide sont supposées indépendantes de la température sauf dans le terme de gravitation (approximation de Boussinesq). Dans ces conditions le système d’équations adimensionnées s’écrit : ∂U + ∂V + + =0 ∂x+ ∂y +
(1)
+ + ∂U + ∂2U + + ∂U + ∂U + U + V = + RiRe · T + ∂t+ ∂x+ ∂y + ∂y +2
(2)
+ + ∂T + 1 ∂2T + + ∂T + ∂T + U + V = ∂t+ ∂x+ ∂y + Pr ∂y +2 où les groupements sans dimension dans le cas de flux imposé à la paroi sont définis par [4] :
x+ =
ν x x = , U0 L L Re L
y+ =
y , L
U+ =
U , U0
V+=
VL , ν
T+ =
T − T0 , qL/α
t+ =
(3)
νt L2
gβ(Tp − T0 )L ν , Pr = U02 a Les conditions aux limites et initiales sont les suivantes : RiRe =
t+ = 0 :
U + = 1, V + = 0, T + = 0 (4) + + + = 1 + ∆U , ∆U ∈ [−1, 1] U + + t >0: x =0 (5) T+ = 0 + U =0 + + + y = 0 ∂T = 1 − a∗ Pr ∂T (6) + + ∂y ∂t + + (7) y + → ∞ U + = 1 + ∆U T =0 L’équation (6) est le résultat du bilan d’énergie sur la plaque, et a∗ représente le rapport des capacités thermiques paroi (indice p)–fluide (indice f ) dont l’expression est la suivante : a∗ =
ρp Cp Sp ρf Cf Sf
(8)
où ρi , Ci , et Si sont respectivement la masse volumique, la capacité calorifique et la section transversale. Nous avons ensuite résolu le système d’équations (1)–(3) associé aux conditions aux limites (4)–(7) par la méthode des différences finies avec un schéma purement implicite, dans lequel les différences amonts sont utilisées pour le terme de convection verticale, les différences centrées pour les termes de convection horizontale et de diffusion, et les différences avales pour le terme temporel. De plus, le domaine est discrétisé en utilisant un maillage irrégulier de type Tchebytchev avec un pas variable selon la direction y + et un pas régulier selon la direction x+ . Après la discrétisation, les équations (2) et (3) forment un système tridiagonal qui est résolu par l’algorithme de Thomas [5]. La composante de la vitesse horizontale a été obtenue en intégrant l’équation de continuité (1). Le calcul commence au bord d’attaque de la plaque et avance selon le sens de l’écoulement du fluide. Le critère de convergence adopté est l’écart relatif de la vitesse et de la température entre deux itérations successives. Lorsque celui-ci est inférieur à 10−5 en tout point du maillage, l’écoulement est supposé établi. 3. Résultats Les calculs sont effectués pour Pr = 1, et en considérant que le coefficient de poussée thermique (RiRe) varie de −50 à 50, et que le rapport des capacités thermiques a∗ varie de 0 à 5 (a∗ = 0 correspondant au cas
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de la paroi très mince). Les conditions précédentes impliquent alors que le terme de perturbation de vitesse ∆U + varie de −0,4 à 0,4. Tout d’abord, nous étudions l’influence de la paroi sur le comportement thermohydraulique de l’écoulement en considérant le cas de convection mixte sans perturbation de l’écoulement (∆U + = 0). Lorsque a∗ = 0 ( figure 1), l’effet de la convection mixte montre qu’à chaque instant l’écoulement accélère au voisinage de la paroi et le profil de vitesse représente un maximum puis décroît vers la frontière de la couche limite dynamique. Les profils de vitesse et de température tendent de manière asymptotique vers la solution obtenue en régime permanent quand le temps t+ devient grand. La figure 2 montre l’évolution temporelle du profil de vitesse pour a∗ = 5. Durant les premiers instants, nous constatons une décélération de l’écoulement au voisinage de la paroi puis une accélération lorsque le temps croît. Sous l’effet de la paroi, les épaisseurs de couches limites dynamique et thermique augmentent alors que la vitesse de l’écoulement au sein de la couche limite dynamique décroît par rapport au cas où l’inertie thermique de la paroi est négligeable (a∗ = 0). Par conséquent lorsque la capacité thermique de la paroi est non négligeable l’écoulement devient oscillatoire donc instable. Le profil de température présente un gradient important par rapport au cas précédent.
Figure 1. Profils de vitesse et de température pour Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 0, ∆U + = 0. Figure 1. Velocity and temperature profiles for Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 0, ∆U + = 0.
Figure 2. Profils de vitesse et de température pour Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 5, ∆U + = 0. Figure 2. Velocity and temperature profiles for Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 5, ∆U + = 0.
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Figure 3. Profils de vitesse pour Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 5, ∆U + = −0,4.
Figure 4. Profils de vitesse pour Pr = 1, RiRe = −50, a∗ = 5, ∆U + = +0,4.
Figure 3. Velocity profiles for Pr = 1, RiRe = 50, a∗ = 5, ∆U + = −0.4.
Figure 4. Velocity profiles for Pr = 1, RiRe = −50, a∗ = 5, ∆U + = +0.4.
Nous avons ensuite traité le même cas que précédemment (a∗ = 5, RiRe = 50) en imposant maintenant une perturbation ∆U + négative au sein de l’écoulement. La figure 3 montre une diminution du profil de vitesse vers la frontière de la couche limite dynamique correspondant à une faible perturbation de la vitesse du fluide. Au voisinage de la paroi, le profil de vitesse varie de façon oscillatoire puis tend progressivement vers son profil après un échelon. Ce résultat montre bien qu’une faible perturbation de la vitesse du fluide peut entraîner des instabilités de l’écoulement laminaire. Dans le cas de l’écoulement contrarié ( figure 4), on note sous les effets de la poussée thermique et de la capacité thermique paroi–fluide que l’écoulement est freiné près de la paroi. Le freinage amorce un phénomène de recirculation donc l’écoulement devient instable. La disparition des maxima correspond à la transition de la convection forcée à la convection mixte. Nous constatons de plus que quelque soit le problème étudié les profils de vitesse sont identiques aux premiers instants sur les figures 1–3 et 4. 4. Conclusion Nous avons modélisé un écoulement de convection mixte en régime transitoire le long d’une surface verticale. Nous avons montré que les épaisseurs de couches limites dynamique et thermique augmentent alors que la vitesse de l’écoulement diminue lorsque le rapport des capacités thermiques a∗ croît. De plus nous avons vu qu’une faible perturbation (positive ou négative) de la vitesse de l’écoulement entraîne une instabilité de l’écoulement. Enfin nous avons remarqué que les profils de vitesse sont identiques aux premiers instants et cela quelque soit la valeur de la poussée thermique, du rapport des capacités thermiques ainsi que de la perturbation de vitesse. Références bibliographiques [1] Pop I., Ingham D.B., Yuan Y., Mixed convective conjugate heat transfer from a vertical flat plate, Z. Angew. Math. Mech. 76 (5) (1996) 281–289. [2] Vighnesam N.V., Soundalgekar V.M., Combined free and forced convection flow of water at 4 ◦ C from a vertical plate with variable temperature, Indian J. Engrg. & Materials Sci. 5 (1998) 124–126. [3] Ali M., Al-Yousef F., Laminar mixed convection from a continously moving vertical surface with suction or injection, Heat and Mass Transfer 33 (1998) 301–306. [4] Yan W.M., Transient mixed convection heat transfer in vertical pipe flows, Int. Comm. Heat Mass Transfer 19 (1992) 89–101. [5] Patankar S.V., Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere, New York, 1987.
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