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Développement simultané hydrodynamique et thermique d'un écoulement laminaire dans un tube incliné en régime de convection mixte
Rev Gdn Therm (1997) 0 Elsevier, Paris
36,
83-92
Dkveloppement simultank hydrodynamique et thermique d’un kcoulement laminaire dans un tube incline en rbgime de convection mixte Jamel Orfi I, Nicolas Calanis l*, Cong Tam Nguyen 2 ’ DLpartement
de gCnie 2 &o/e
mdcanique, de gt!nie,
(Recu
le 2 aotit
Abridged
Summary
-
Simultaneous
universitt? universite’ 1996
English
development
de Sherbrooke,
de Moncron, ; accept&
version
of a laminar
flow
NB,
Sherbrooke ElA
le 7 janvier
at the
end
inside
3E9, 1997)
of the
text
an inclined
tube
work, we study numerically the heat transfer and fluid flow inside a circular inclined is that of a constant and uniform (axially and circumferentially) heat flux on the used to solve, in dimensionless form, the parabolic equations of mixed convection. different combinations of the Crashof number and the tube inclination, show that and the wall shear stress is increased compared to those of pure forced flow. mixed
convection
/ simultaneous
development
/ inclined
tube
/ high
heating
/I K 2R I, Canada
Canada
/ numerical
with mixed convection. In this tube. The thermal boundary condition tube wall. A finite volume method is The results, obtained for water with the average heat transfer is improved study
R&urn6
- Dans ce travail, on &die numCriquement le transfert de chaleur et I’lcoulement d’un fluide incompressible dans un tube circulaire incline par rapport ti I’horizontale et soumis d un flux de chaleur constant er uniforme sur sa circonfe’rence et sur sa longueur. Une me’thode aux volumes finis est utilise’e pour risoudre, sous forme adimensionnelle, /es t?quarions paraboliques de /a convection mixre. Les r&u/tats, obtenus pour de I’eau et pour diffirentes combinaisons du nombre de Crashof et de l’inclinaison du tuyau, montrent une amtlioration du transfert de chaleur moyen et une augmentation de la contrainte de cisaillement parietale par rapport b un e’coulement for& pur.
convection
mixte
/ dkveloppement
simultank
/ tube
incline
/ chauffage
klev6
/ Ctude
numkrique
Nomenclature
p: CP D Gr
Ko L Nu.f NUZ N% P’ pi P’r,@
chaleur specifique du fluide . diametre du tube. . nombre de Grashof (gpoqD4/K&) conductivit6 thermique du fluide &al&e & TO . . . longueur de d&eloppement nombre de Nusselt asymptotique nombre de Nusselt moyen a une section donnee (fonction de z) nombre de Nusselt local (fonction de z et 8) pression du fluide .. . composante moyenne de P’ dans une section . .. . composante variable de P’ dans une section . ..
* Correspondance
et tires B part.
J.kg-‘.K-l m W.m-l.K-l PI et P2 Pe PI4 r’ r Pa Pa
Re T’ T
Pa To Tb
pression modifiee variable dans une section Pi,, + por’g cos a cos e pression modifi6e moyenne dans une section . .. PL + p&g sin cy pressions adimensionnelles correspondant B Pi et Pi nombre de Peclet = Re Pr nombre de Prandtl (vo/ao) densit. de flux de chaleur impos6 B la paroi . . . . . coordonn6e radiale . . coordonn6e radiale adimensionnelle nombre de Reynolds (VOD/UO) tempbrature du fluide . . temperature adimensionnelle du fluide temperature de r6f6rence temperature de melange adimensionnelle
Pa
Pa
W.m-” m
K K
83
J Orfi, N Galanis, CT Nguyen
temperature locale adimensionnelle de la paroi temperature moyenne (a une TZ section donnee) adimensionnelle de la paroi V,‘, V,’ et Vi composantes de vitesse selon r, z et 0. V,: V, et V, composantes de vitesse adimensionnelles selon r, 2 et B vitesse axiale a l’entree . Vo 2’ coordonnee axiale . z coordonnee axiale adimensionnelle TR
Symboles
m.s-’ m
grecs inclinaison du tuyau par rapport a l’horizontale diffusivite thermique du fluide evaluee a To coefficient de dilatation volumique du fluide coordonnee angulaire viscosite dynamique du fluide viscosite cinematique du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . masse volumique du fluide contrainte de cisaillement moyenne (a une section donnee) adimensionnelle contrainte de cisaillement locale adimensionnelle
1I
m.s’
m2.s1 K-’ kg.m-l.ss’ m2.sP1 kg.m-”
INTRODUCTlON
La convection mixte dans les ecoulements internes a suscite ces dernieres decennies un interet considerable qui s’est traduit par la production dune bibliographie abondante, en raison de nombreuses applications qui concernent par exemple les Bchangeurs de chaleur compacts, les collecteurs solaires, le refroidissement des composantes electroniques. D’un autre cot& la comprehension des phenomenes physiques inherents a l’interaction de la convection for&e et naturelle constitue en soi un objectif de taille. Une revue de la litterature revele que la grande majorite des etudes theoriques sur la convection mixte interne se limite a des situations particulieres. En effet le probleme dun ecoulement completement developpe a Bte souvent consider+ (Mori et al, 1966 ; Siegwarth et al, 1969 ; Orfi et al, 1993). Cheng et al (1972) et Hwang et Lai (19941, en vue devaluer l’influence des forces d’Archimede sur le developpement thermique dun Bcoulement interne, ont neglige les termes d’inertie dans les equations du mouvement en adoptant l’hypothese d’un fluide caloporteur tres visqueux (un fluide a grand nombre de Prandtl). Les travaux experimentaux ont ete effect&s afin de quantifier les effets de la convection naturelle sur
84
les coefficients d’echange thermique et la chute de pression et d’analyser la distorsion sur les profils de temperature et de vitesse axiale (Petukhov et Polyakov, 1967 ; Barozzi et al, 1985 ; Rustum et Soliman, 1988). Les etudes theoriques relatives au developpement simultane (thermique et hydrodynamique) de l’ecoulement sont peu nombreuses a cause de son caractere tridimensionnel et de la forte nonlinearite des termes convectifs des equations du mouvement. Hishida et al (1992) ont tente de resoudre l’ensemble des equations elliptiques caracterisant l’ecoulement en developpement simultane dans un tube horizontal isotherme. Leurs resultats restent cependant limit& a trois faibles nombres de Grashof (zero, 5 x 10" et 104). La forme parabolique des equations differentielles a et.6 largement utilisee en vue de comprendre l’effet dune distribution uniforme et non uniforme du chauffage parietal sur le comportement d’un ecoulement en regime de convection mixte dans des conduites horizontales a section rectangulaire (Incropera et Schutt, 1985 ; Mahaney et al, 1988 et 1989). La convection mixte dans des tuyaux inclines a Bte consideree par Choudhury et Patankar (1988) pour le cas dun tube isotherme et par Orfi et al (1994a et b) pour un tube avec flux uniforme axialement et circonferentiellement. Cet article analyse le comportement dun ecoulement d’eau en developpement simultane en resolvant numeriquement les equations parabolisees seulement dans la direction axiale. En particulier, l’influence de l’inclinaison du tuyau et celle dun taux de chauffage par&al eleve sur les distributions de temperature, de vitesses et sur les coefficients moyens d’echange de chaleur et de frottement sont &al&es.
2
n
FORMULATION THiORlQUE DU PROBLkME
Nous considerons l’ecoulement dans un tuyau circulaire incline dun angle (Ypar rapport au plan horizontal. Le tuyau est soumis a un flux de chaleur q constant et uniforme (figure 1). Le fluide entre dans le tuyau a une vitesse debitante VO et une temperature uniforme TO. Le mode de convection mixte, for&e et libre, est consider& Les hypotheses suivantes forment la base de l’etude (voir Kakac et al. [16]) : - Uecoulement est permanent et laminaire. - Le fluide est newtonien et incompressible. Ses proprietes sont constantes sauf pour la densite dans les termes generateurs de la convection libre ou une variation lineaire avec la temperature est adoptee. - La dissipation visqueuse due a la friction dans le fluide ainsi que le rayonnement sont negligeables.
koulement
laminaire
dans un tube inclink en regime de convection
mixte
Les Equations fondamentales 19 faGon suivante sous forme Equation de continuit6 :
s’kcrivent alors de adimensionnelle :
(3) Plan horizontal
gquations
du mouvement
:
Selon r : r
vr~+~~+vz2!-+$ / Direction
+GrPr2
de I’Ccoulement
cos 0 cos a
(4)
Section A-A 070
Selon 19: Diambtre horizontal
-Gr
Pr2T
cos a sin 0
(5) Plan de symktrie Fig Fig
1. 1.
Selon z :
Configuration giome’trique Geometry of the problem.
du probkme
conside’rt?.
Le processus de transport dans l’&oulement consid&+ est caract&i& par la pr&ence d’une direction prhdominante (direction axiale). La pression du fluide est traitbe comme &ant la somme d’une pression moyenne qui depend de la coordonnbe axiale et d’une pression variable dans la section (Incropera et Schutt, 1985 ; Choudhury et Patankar, 1988) : P’ = Pi + PL,*
(1)
Les termes de diffusion axiale de quantit6 de mouvement et d’6nergie sont n6glig6s. Cette hypoth&se est valide lorsque le nombre de Peclet est sup&ieur & 100 (Kakac et al, 1987 ; Ravi Sankar et 81, 1993). A ce stade, nous introduisons les variables saris dimension suivantes : I 2’ r=K D’
Z=m
V, z ‘/:D, a0
*=
Vs = $I,
(f-3 equation
d’6nergie : (7)
Ce systeme d’kquations est parabolique dans la direction axiale et elliptique dans les deux autres directions. 11 est soumis aux conditions aux limites suivantes : - Sur la paroi de la conduite (& T = 0.5) : vz = VT= vs = 0
- Sur le plan de symetrie 0 = [0, n] incluant l’axe du tube : v-0 = 0
ax ax aT .-&=-@=-@=O
V, zz $
@b)
QO
T/-To -ko,
qD
P; D2 PI = -
POa; ’
pz = APOv,2
(2)
11 faut noter que la vitesse de r6f6rence dans les directions T et 0 n’est pas la meme que celle pour la direction axiale ; ce choix, qui a aussi Bt6 retenu par Choudhury et Patankar (1988) entre autres, d&oule du fait que les vitesses selon T et 0 sont beaucoup plus faibles que celle selon z et qu’on souhaite, pour des raisons numbriques, avoir des valeurs non- dimensionnelles d’ordre 1 dans la mesure du possible.
- A l’entr6e de la conduite (A z = 0) : ve = VT = 0 v, = 1 T=O
(8~)
En plus & chaque section de la conduite, l’kquation de conservation de masse globale exige : 0,5
JJ 0
?I
V,rdOdr
= :
0
85
J Orfi,
N Galanis,
Les coefficients adimensionnels qui apparaissent dans les equations de conservation sont les nombres de Reynolds Re, de Grashof Gr, et de Prandtl Pr. 11s sont definis dans la nomenclature. 11 est important de noter que le parametre de couplage entre les convections for&e et libre, soit la combinaison Gr Pr/Re de l’equation 6, n’est pas dans la forme standard (Gr/Re’). Ceci decoule du choix de deux vitesses de reference differentes justifie precedemment. Mais, le nombre de Prandtl peut etre interpret6 comme l’inverse dun nombre de Reynolds Bvalue avec la vitesse de reference au/D
: (8e)
Done, selon la formulation adoptee ici, le parametre du couplage est le rapport entre le nombre de Grashof et le produit de deux nombres de Reynolds evalues avec les deux vitesses de reference. Pour Bviter toute confusion par rapport a d’autres formulations et puisque les resultats ont ete calcules pour un seul nombre de Prandtl et un seul nombre de Reynolds, ils sont present&s en fonction du nombre de Grashof Le taux d’echange de chaleur convectif et le frottement a la paroi sont des quantites physiques d’inter& pratique considerable. 11s sont exprimes a l’aide des nombres de Nusselt et des contraintes de cisaillement par-i&al. - Nombre de Nusselt local (fonction de z et Q) :
- Nombre de Nusselt donnee (fonction de z) :
moyen
a une
section
Ou Tb est la temperature de melange du fluide a la section consideree. TO et T, designent respectivement la temperature locale de la paroi du tuyau et sa moyenne circonferentielle a une position axiale donnee. T, est defini comme suit :
(Yc) De meme, la contrainte de cisaillement sa moyenne circonferentielle sont :
locale et
(9e)
3
n
METHODE NUMiRlQUE
Le modele numerique est base sur la procedure proposee par Patankar et Spalding (1978) appro86
CT Nguyen
price aux ecoulements tridimensionnels paraboliques dans une direction et elliptiques dans les deux autres. Elle consiste en premier lieu, a l’integration des equations differentielles sur des volumes de controle finis pour l’obtention d’equations algebriques correspondantes ; pour ceci, on utilise un schema implicite dans la direction axiale selon laquelle les equations sont paraboliques et le schema de type puissance de Patankar (1980) dans le plan R - 0 ou les equations sont elliptiques. Ensuite, a partir dun estime initial des valeurs dans la section d’interet et des valeurs connues dans la section precedente, on procede a la resolution de ces equations algebriques dans la section dint&et en suivant les &apes suivantes : l On calcule les valeurs de V, et % en resolvant les equations du mouvement selon r et 6’a l’aide dun algorithme standard TDMA (Tridiagonal Matrix Algorithm) ; l On se sert de l’equation de correction de la pression - obtenue en combinant l’equation de conservation de la masse aux equations du mouvement selon r et 8, voir Patankar (1980) pour obtenir une nouvelle estimation de PI (r, O), et de l’algorithme Simplec de Van Doormal et Raithby (1984) pour corriger les vitesses V,. et VH ; l On calcule la vitesse axiale a partir de l’equation algebrique du mouvement selon la direction axiale et on corrige le gradient de pression dPz/dz ainsi que la vitesse axiale a l’aide de la procedure de Raithby et Schneider (1979) qui tient compte de l’equation de conservation de la masse totale (Eq 8d) ; l Finalement, on r&out l’equation algebrique de l’energie pour obtenir la distribution de la temperature selon r et 8. Ces quatre &apes de calcul sont rep&es jusqu’a la convergence et sont ensuite reprises pour la section suivante en appliquant la technique de marche dans la direction axiale (Orfi, 1995). Afin de suivre avec precision toute variation des champs thermique et hydrodynamique, particulierement dans la region proche de la paroi et egalement dans la zone immediate a l’entree du tuyau, nous avons utilise un maillage qui possede des increments uniformes circonferentiellement mais non uniformes radialement et axialement. Apres une serie de tests sur le maillage, nous avons choisi une grille de 36 x 32 selon 8 et r respectivement. Suivant la direction axiale l’increment a pour valeurs lo-~“, lo-“, lo-‘“, 5 x 10e4, lo-” et 2 x lo-” respectivement pour les pas no 1 a 10, 11 a 20, 21 B 80, 81 ti 120, 121 B 150, et 150 et plus. En ce qui concerne les criteres de convergence, on se base essentiellement sur la masse residuelle resultant de l’integration de l’equation de conservation de la masse (Eq 3) sur un volume de controle. Cette masse residuelle ne depasse, en aucun des cas present&, 10e7 a travers tout le domaine. On verifie egalement l’equation de conservation de la masse totale (Eq 8d) en exigeant notamment que la vitesse debitante pour toute section axiale soit l’unite a lop3 pres.
icoulement
laminaire
dans
un tube
incline
Le programme de calcul a Bte systematiquement teste et verifie (voir OrI?, 1995). La figure 2 illustre l’bvolution axiale du nombre de Nusselt NuZ pour le cas dun Bcoulement d’eau dans un tube vertical soumis a des flux de chaleur correspondant a Gr = 104, lo5 et 106. On observe une t&s bonne concordance pour z 3 10~~ avec les resultats experimentaux de Petukhov et al (1969). La leg&e difference dans la region d’entree (Z < 10e3) est due au fait que les resultats de Pethukhov et al (1969) concernent un Bcoulement en developpement thermique seulement tandis que les notres correspondent a un dcoulement en developpement simultane des champs thermique et hydrodynamique.
en regime
de convection
mixte
Plusieurs simulations numeriques ont Bte effect&es. Elles couvrent des situations ou le tuyau est horizontal, vertical, incline ti 30” et a 60” et ou le chauffage par&al impose correspond a des nombres de Grashof de 104, lo5 et 106. Le nombre de Reynolds est de 500. Le fluide caloporteur est de l’eau (PT = 7). Done le parametre de couplage entre les convections libre et for&e se situe entre 140 et 14 000 tandis que le nombre de Richardson (Gr/ Re2) est compris entre 0,04 et 4. Ces dernieres valeurs indiquent que la plage Btudiee couvre bien la region ou les deux types de convection sont d’importance a peu pres Bgale et justifient le choix des valeurs du nombre de Grashof. Pour la presentation des resultats, nous avons retenu les sept positions longitudinales indiquees dans le tableau 1.
NUz
4.1. STRUCTURE DE L~~OULEMENT SECONDAIRE ET DU CHAMP THERMIQUE Petukhov etcd.(l96!
11 convient de dire tout d’abord qu’en absence de convection naturelle, l’ecoulement secondaire est purement radial et est associe uniquement au developpement de la couche limite hydrodynamique : a cause de l’adherence de l’eau sur la paroi, le fluide avoisinant doit decelerer et se trouve rejete loin de celle-ci vers le centre de la conduite. La situation change lorsque l’on tient compte des variations de densite au sein du fluide. L’ecoulement secondaire est induit par un effet combine des forces d’Archim&de, de viscosite et d’inertie. L’influence relative de chacune de ces forces peut Btre clarifiee a partir de la figure 3, montrant l’evolution de la structure de l’ecoulement secondaire pour Gr = 106, Pr = 7 et a: = 300. A partir de la position A (z = 5,1 x 10p4), les effets de la convection naturelle commencent a apparaitre surtout sur une couche mince a proximite de la paroi. Dans cette couche, le mouvement est ascendant tandis que dans la partie centrale du tuyau, il est descendant creant ainsi un tourbillon dans le sens anti-horaire. A la position B, on observe une intensification remarquable des courants secondaires qui se traduit par un mouvement ascendant t&s fort occupant une couche plus large que dans le cas de la section A. Le centre de circulation se deplace done vers l’interieur. Plus loin le long du tuyau, l’ecoulement secondaire diminue nettement en intensite aussi bien pres de la paroi que dans la region centrale. Le centre de circulation descend legerement en bas du diametre horizontal tout en s’approchant de la paroi.
0; 10'
lo“
lo"
Z
Fig 2. holution axiale du nombre de Nusselt pour d’un koulement d’eau en d&eloppement simultant rCgime de convection mixte duns un tuyau vertical. Fig 2. Axial evolution a vertical tube.
4
n
of the
RkULTATS
Nusselt
number
for
le cas en
water
in
ET DISCUSSION
Dans cette section, nous presentons une analyse sur le comportement dun Bcoulement d’eau en developpement simultane a l’interieur dun tuyau incline. Nous nous interessons particulierement a l’influence de l’inclinaison et du nombre de Grashof sur les champs thermique et hydrodynamique ainsi que sur la distribution axiale des valeurs moyennes de l’echange de chaleur et de la contrainte circonferentielle.
Emplacement Axial
Section Position
A axiale,
des position
TABLEAU sections retenues of cross-sections
B
z 5,11 x 1O-4 3,11 x lop3
I / TABLE I pour la prkentation where results are
C 6,11
x
des re’sultats presented
D 10e3 3,11
x
E 10e2 6,Ol
x
lo-’
F
G
0,16
0,22
87
J Orfi,
Position
A
Position B
N Calanis,
Position C
CT Nguyen
4 3
0.05 0.04
Pcsilm A
Pmltion B
POSiIlOnc
0. I 8 0.14 0.10 0.06 0.02
4
6 5
Position D
Position
E
0.31 0.26
Pmmon F
POSIIIO~E
0 42 0 38
Position F
Fig 4. DLveloppement I’eau avec N = 30”
du champ et Gr = 106.
Fig with
=
4. Development cy = 30’ et Gr
4.2. Fig 3. D&eloppement du champ de vitesse transversale pour le cas de I’eau avec o = 30’ et Gr = lo6 (Le chiffre 200 et la longeur du vecteur associe identifient l’e’chelle des vitesses). Fig 3. Development of the secondary flow field for water with cy = 30’ et Gr = lo6 (the value of 200 and the length of the corresponding vector identify the velocity scale).
L’koulement devient entierement Btabli & partir de la position D, soit & z = 3,ll x lo-‘. Quant au champ thermique (figure 4), on observe que les courants secondaires commencent & perturber le champ de tempkature & partir de la position B. Dans la partie centrale supkieure de la section, les isothermes sont essentiellement horizontales et le transfert de chaleur se fait par conduction. La stratification augmente et occupe un espace de plus en plus (mportant & mesure que l’on se dkplace axialement. A la section D, 1’6coulement est presque 6tabli thermiquement. L’eau froide se trouve confm6e dans un espace rkduit dans la partie centrale inf&ieure de la section. La stratification influence grandement la partie supkieure et y r6duit par consbquent le mouvement du fluide tel qu’observk sur la figure 3.
88
Position D
of the 106.
D~ELOPPEMENT VITESSE AXIALE
thermique
temperature
DES PROFILS
pour field
le cas for
de
water
DE LA
La figure 5 illustre les effets de la convection naturelle sur l’6volution des profils de vitesse axiale suivant le diametre vertical pour le cas de l’eau avec Gr = 10”. Ces effets dependent fortement de l’inclinaison de la conduite et de la position axiale. M6me trks prks de l’entke, ils engendrent une acc&ration du fluide sur la partie centrale infirieure du diam8tre. La valeur de la vitesse axiale maximale diminue quand ai croit et son emplacement se deplace Ng&rement vers le centre du tuyau. A la position C, les deformations des profils de V, s’amplifient davantage. L’accroissement de a, dans ce cas, se traduit par un dbplacement graduel de l’endroit de la vitesse axiale maximale vers le haut quand cy passe de 0” 21 60" pour revenir ensuite au centre du tuyau dans le cas d’un tuyau vertical. Loin de la r&ion cent&e, on note une acc&ration t&i prononcke dans la partie supkrieure de la section pour a: = 30' et surtout pour cy = 60". 11 importe aussi de bien suivre le dt%eloppement des profils de V, pour CY= 90”. Le fluide acc&re dans la partie centrale de la section immkdiatement apr&s l’entr6e (section B). Par la suite, on observe un ralentissement graduel du fluide dans la m6me
koulement
laminaire
dans
un tube
inclin6
en regime
de convection
mixte
(section E), la vitesse axiale au centre du tuyau est d’environ 0,16. Cette valeur peut s’annuler et devenir negative, donnant ainsi naissance a un Bcoulement inverse autour du centre pour des taux de chauffage plus Blew%. Nous n’avons pas Btudie ce phenomene d’inversion compte tenu des hypotheses adoptees pour l’approche parabolique.
r 0.25
4.3. SOLUTION
AxIALE DU NOMBRE DE NUSSELT MOYEN ET DE LA CONTRAINTE DE CISAILLEMENT MOYENNE
-0.25
0.25
-
. CD
Les deformations induites par l’bcoulement secondaire sur le developpement du champ de vitesse axiale entrainent une augmentation de la contrainte de cisaillement moyenne sur le perimetre, T=, par rapport B celle de l’ecoulement force pur (ecoulement de Poiseuille) tel que montre sur la figure 6. On note qu’un accroissement de l’inclinaison provoque un frottement parietal accru, particulierement pres de la region etablie. 11 est interessant de noter que, pour une inclinaison nulle, le decrochage de la courbe qui correspond a la convection for&e pure se passe plus loin de l’entree que pour les autres inclinaisons. La distribution de TV,pour les quatre inclinaisons, passe par un maximum relatif dont l’emplacement axial se deplace loin de l’entree a mesure que o augmente.
Pr=7
0.0
0.5
1.0
2.0 '.5
vz
0
r 0.25
o.oa
-0.25
lo-$
lo‘*
lo-'
Z L II -0.50 a 0.0
Fig 6. Effet contrainte 0.5
1.0
1.5
2.0
2.5 VZ
Fig 5. Effet
de I’inclinaison de la vitesse axiale suivant I’eau avec Gr = 106.
Fig 5. Effects profile
along
SW la distribution des profils le diamttre t? = 0, IT pour de
of the tube inclination on the axial velocity the vertical diameter for water with Gr = 106.
region au fur et Ce ralentissement chauffage parietal avoisinant la paroi.
a mesure que z augmente. est provoque par l’important qui a&l&e le fluide chaud Notons qu’en regime developpe
Fig 6. shear
de I’inclinaison sur /a distribution de cisaillement moyenne avec Gr Effects of the tube inclination on the stress for Gr = 106.
axiale = 106. average
de /a wall
L’acceleration rapide du fluide occupant le noyau dun tuyau vertical associee au developpement de la couche limite hydrodynamique provoque une importante reduction de rz dans la region proche de l’entree. Plus loin, les particules au centre ralentissent alors que celles pres de la paroi accelerent (voir figure 5). Ce qui constitue la cause directe de l’augmentation du coefficient de friction telle qu’illustree sur la figure 6. 89
J Orfi,
N Galanis,
L’evolution axiale du nombre de Nusselt moyen en fonction du nombre de Grashof et de l’inclinaison est illustree sur les figures 7u et 7b. L’accroissement de I’apport de chaleur externe entraine une agitation plus importante au sein du fluide. L’echange de chaleur se trouve done grandement ameliore, en particuher tres loin de la region dent&e. Par exemple, la valeur du nombre de Nusselt moyen asymptotique pour Gr = 10" et 10” est respectivement environ 2 fois et 3.5 fois celle correspondant a l’ecoulement force pur. Pour le cas de Gr = 106, on constate que le decrochage de la courbe qui correspond a Gr = 0, se situe p&s de l’entree, indiquant l’effet du developpement rapide et intense des courants secondaires. L’emplacement longitudinal de 20
w 15
10
5
Fig 7a. holution un tuyau incline’ Fig 7a. Axial for N = 30”.
axiale d 30”.
evolution
du nombre
de Nusselt
of the average
local
moyen
Nusselt
pour
CT Nguyen
ce decrochage s’eloigne de l’entree a mesure que Gr diminue. Immediatement apres ce decrochage, le nombre de Nusselt atteint une valeur minimale avant que l’ecoulement ne soit entierement Btabli. L’emplacement axial de cette valeur minimale s’approche de l’entree lorsque le nombre de Grashof augmente. 11 correspond approximativement a celui oh l’intensite de l’ecoulement secondaire est maximale. En ce qui concerne l’influence de l’inclinaison du tube sur le nombre de Nusselt moyen (figure 7b), on remarque une evolution differente pour les deux inclinaisons extremes (tube horizontal et vertical) de celle qui correspond aux inclinaisons intermediaires : en effet, avant d’atteindre sa valeur assymptotique, NIL, passe par un minimum pour 0 = 30" et a = 60” tandis que dans les deux autres cas, sa diminution est essentiellement monotone. 11 est important de noter que ces valeurs minimales de Nuz se produisent a l’endroit ou l’intensite du mouvement secondaire est la plus elevee et oh la contrainte de cisaillement passe par un maximum local (figure 6). Par ailleurs, les valeurs asymptotiques indiquent l’existence dune inclinaison optimale d’h peu pres 30” qui maximise le nombre de Nusselt ; cette observation confirme les resultats correspondants de Orfi-Galanis-Nguyen [31 obtenus avec un modele plus simple qui ne considerait que l’ecoulement developpe. En somme, l’ecoulement d’eau en regime de convection mixte dans une conduite circulaire inclinee se caracterise par la presence de trois zones distinctes (voir figures 7). Dans la premiere zone, pres de l’entree, l’ecoulement est force pur. Le nombre de Nusselt moyen decroit rapidement suivant la correlation suivante :
number
20
NUZ 15
10
Cette zone se termine a un endroit particulier, zc, qui depend fortement du nombre de Grashof Pour Gr = 104, 105 et lo’, Z~ vaut respectivement approximativement IO-', 4 x lo-” et 9 x lo-“. Dans la deuxieme zone, les courants secondaires induits par la convection naturelle sont en developpement rapide et favorisent par consequent l’echange thermique a l’interieur du fluide. D’autre part, les couches limites thermique et hydrodynamique continuent a se developper. Cette situation peut aboutir a un nombre de Nusselt legerement moindre que celui correspondant a l’ecoulement etabli. La derniere zone correspond a la region oh l’ecoulement est entierement developpe. Les coefficients d’echange de chaleur et de friction atteignent ici des valeurs asymptotiques. En se basant sur la distribution axiale du nombre de Nusselt et en considerant que l’ecoulement devient Btabli lorsque : Nu,
Fig 7b. Effet de I’inclinaison du tuyau sur la distribution axiale du nombre de Nusselt moyen pour Gr = 106. Fig 7b. Effects of the tube inclination on the average local Nusselt number for Gr = 106.
90
- Nus
= ?tO,O2
Nuj
(12)
ou Nu~lf designe le coefficient d’echange de chaleur asymptotique, nous avons pu Cvaluer la position axiale qui correspond a la region developpee. Le
!%oulement
laminaire
dans
un tube
comportement de cette position (ou longueur de dkveloppement, L) en fonction de (Y et de Gr pour l’eau est illustrb dans le tableau II. TABLEAU II / TABLE II Effet de I’inclinaison du tuyau et du nombre de Grashof sur la longueur de dLveloppement d’un tkoulement d’eau en rtZgime de convection mixte Effects of tube inclination and Crashof number on the thermal development length
incline
en regime
de convection
mixte
contrainte de cisaillement. Ces valeurs augmentent avec le nombre de Grashof et dependent de l’inclinaison du tuyau.
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On remarque que, pour de faibles taux de chauffage (Gr = 104), la longueur de dkeloppement, L est proche de celle de l’kcoulement force pur. Pour l’eau, cette dernikre a BtB estimbe A 0,06. Pour des nombres de Grashof mod&& ou Blevks, on constate cependant que la convection naturelle diminue la longueur de dkveloppement. L’influence de l’inclinaison sur la valeur de L depend du nombre de Grashof. Pour un tuyau horizontal, la longueur de dkveloppement passe par un minimum A Gr = lo5 lorsque le nombre de Grashof augmente de lo4 A 106.
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n
CONCLUSION
Dans cet article, nous avons p&sent6 une etude num&ique sur le comportement d’un Bcoulement laminaire ti l’int&ieur d’un tuyau incline en rhgime de convection mixte. La forme parabolisee des Equations de conservation a Btt5 utilike. Les rkultats ont permis d’kvaluer l’influence de l’inclinaison et du taux de chauffage par&al sur le dkveloppement de l’koulement et les distributions des coefficients de friction et de transfert thermique. En particulier pour un tuyau incline & 30”, les courants secondaires associk A la convection naturelle naissent tout pr&s de l’entrke et se d&eloppent tr&s rapidement. 11sinduisent des dkformations consid&ables sur les profils de vitesse axiale. L’Ccoulement confine en regime de convection mixte suit trois r&ions le long de la conduite. Dans la premik-e, l’kcoulement est essentiellement for& pur. Dans la de&&me, les courants naturels engendrent un brassage important du fluide favorisant davantage 1’6change thermique et augmentent le frottement pari&al. Finalement, loin de l’entrke, et mGme $ des taux de chauffage relativement BlevBs, l’koulement s’btablit entikement. La convection naturelle arrive A maintenir dans la section un Btat asymptotique, caract&isC par des valeurs constantes du nombre de Nusselt et de la
Transfer
and of an 110,
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Kakac
5
Forced Region
of of 8,
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ABRIDGED ENGLISH VERSION Simultaneous development of a laminar flow inside an inclined tube with mixed convection
The three-dimensional laminar flow of a Newtonian incompressible flow in the entrance region of a uniformly heated inclined circular tube (fig 1) has been modeled using the Boussinesq approximation The fundamental equations expressing conservation of mass, momentum and energy have been parabolized by neglecting axial diffusion and by separating the pressure into two terms. The resulting non-dimensional partial differential equations have been discretized using the control volume approach (Patankar et Spalding, 1972) and solved using the SIMPLEC algorithm (Van Doormal et Raithby, 1984). The calculations procedure has been tested for grid independence and validated by comparing the results with experimental values (fig 2). It was
92
then used to study the effect of tube inclination at high Grashof numbers on the hydrodynamic and temperature fields in the entrance region of the tube. The results show that the secondary flow reaches a maximum intensity before setting into its fully developed pattern. The shape of the isotherms indicate a high degree of stratification on the upper part of nearly horizontal tubes. The axial velocity profile is very different from the one for pure forced flow (fig 5) and depends on both Grashof number and tube inclination; the profiles for vertical tubes indicate a strongpossibility of flow reversal. Circumferentially averaged shear stresses and Nusselt number also show a strong dependence on Grashof number and tube inclination with asymptotic values in the fully developed region several times higher than those for pure forced flow.
36,
83-92
Dkveloppement simultank hydrodynamique et thermique d’un kcoulement laminaire dans un tube incline en rbgime de convection mixte Jamel Orfi I, Nicolas Calanis l*, Cong Tam Nguyen 2 ’ DLpartement
de gCnie 2 &o/e
mdcanique, de gt!nie,
(Recu
le 2 aotit
Abridged
Summary
-
Simultaneous
universitt? universite’ 1996
English
development
de Sherbrooke,
de Moncron, ; accept&
version
of a laminar
flow
NB,
Sherbrooke ElA
le 7 janvier
at the
end
inside
3E9, 1997)
of the
text
an inclined
tube
work, we study numerically the heat transfer and fluid flow inside a circular inclined is that of a constant and uniform (axially and circumferentially) heat flux on the used to solve, in dimensionless form, the parabolic equations of mixed convection. different combinations of the Crashof number and the tube inclination, show that and the wall shear stress is increased compared to those of pure forced flow. mixed
convection
/ simultaneous
development
/ inclined
tube
/ high
heating
/I K 2R I, Canada
Canada
/ numerical
with mixed convection. In this tube. The thermal boundary condition tube wall. A finite volume method is The results, obtained for water with the average heat transfer is improved study
R&urn6
- Dans ce travail, on &die numCriquement le transfert de chaleur et I’lcoulement d’un fluide incompressible dans un tube circulaire incline par rapport ti I’horizontale et soumis d un flux de chaleur constant er uniforme sur sa circonfe’rence et sur sa longueur. Une me’thode aux volumes finis est utilise’e pour risoudre, sous forme adimensionnelle, /es t?quarions paraboliques de /a convection mixre. Les r&u/tats, obtenus pour de I’eau et pour diffirentes combinaisons du nombre de Crashof et de l’inclinaison du tuyau, montrent une amtlioration du transfert de chaleur moyen et une augmentation de la contrainte de cisaillement parietale par rapport b un e’coulement for& pur.
convection
mixte
/ dkveloppement
simultank
/ tube
incline
/ chauffage
klev6
/ Ctude
numkrique
Nomenclature
p: CP D Gr
Ko L Nu.f NUZ N% P’ pi P’r,@
chaleur specifique du fluide . diametre du tube. . nombre de Grashof (gpoqD4/K&) conductivit6 thermique du fluide &al&e & TO . . . longueur de d&eloppement nombre de Nusselt asymptotique nombre de Nusselt moyen a une section donnee (fonction de z) nombre de Nusselt local (fonction de z et 8) pression du fluide .. . composante moyenne de P’ dans une section . .. . composante variable de P’ dans une section . ..
* Correspondance
et tires B part.
J.kg-‘.K-l m W.m-l.K-l PI et P2 Pe PI4 r’ r Pa Pa
Re T’ T
Pa To Tb
pression modifiee variable dans une section Pi,, + por’g cos a cos e pression modifi6e moyenne dans une section . .. PL + p&g sin cy pressions adimensionnelles correspondant B Pi et Pi nombre de Peclet = Re Pr nombre de Prandtl (vo/ao) densit. de flux de chaleur impos6 B la paroi . . . . . coordonn6e radiale . . coordonn6e radiale adimensionnelle nombre de Reynolds (VOD/UO) tempbrature du fluide . . temperature adimensionnelle du fluide temperature de r6f6rence temperature de melange adimensionnelle
Pa
Pa
W.m-” m
K K
83
J Orfi, N Galanis, CT Nguyen
temperature locale adimensionnelle de la paroi temperature moyenne (a une TZ section donnee) adimensionnelle de la paroi V,‘, V,’ et Vi composantes de vitesse selon r, z et 0. V,: V, et V, composantes de vitesse adimensionnelles selon r, 2 et B vitesse axiale a l’entree . Vo 2’ coordonnee axiale . z coordonnee axiale adimensionnelle TR
Symboles
m.s-’ m
grecs inclinaison du tuyau par rapport a l’horizontale diffusivite thermique du fluide evaluee a To coefficient de dilatation volumique du fluide coordonnee angulaire viscosite dynamique du fluide viscosite cinematique du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . masse volumique du fluide contrainte de cisaillement moyenne (a une section donnee) adimensionnelle contrainte de cisaillement locale adimensionnelle
1I
m.s’
m2.s1 K-’ kg.m-l.ss’ m2.sP1 kg.m-”
INTRODUCTlON
La convection mixte dans les ecoulements internes a suscite ces dernieres decennies un interet considerable qui s’est traduit par la production dune bibliographie abondante, en raison de nombreuses applications qui concernent par exemple les Bchangeurs de chaleur compacts, les collecteurs solaires, le refroidissement des composantes electroniques. D’un autre cot& la comprehension des phenomenes physiques inherents a l’interaction de la convection for&e et naturelle constitue en soi un objectif de taille. Une revue de la litterature revele que la grande majorite des etudes theoriques sur la convection mixte interne se limite a des situations particulieres. En effet le probleme dun ecoulement completement developpe a Bte souvent consider+ (Mori et al, 1966 ; Siegwarth et al, 1969 ; Orfi et al, 1993). Cheng et al (1972) et Hwang et Lai (19941, en vue devaluer l’influence des forces d’Archimede sur le developpement thermique dun Bcoulement interne, ont neglige les termes d’inertie dans les equations du mouvement en adoptant l’hypothese d’un fluide caloporteur tres visqueux (un fluide a grand nombre de Prandtl). Les travaux experimentaux ont ete effect&s afin de quantifier les effets de la convection naturelle sur
84
les coefficients d’echange thermique et la chute de pression et d’analyser la distorsion sur les profils de temperature et de vitesse axiale (Petukhov et Polyakov, 1967 ; Barozzi et al, 1985 ; Rustum et Soliman, 1988). Les etudes theoriques relatives au developpement simultane (thermique et hydrodynamique) de l’ecoulement sont peu nombreuses a cause de son caractere tridimensionnel et de la forte nonlinearite des termes convectifs des equations du mouvement. Hishida et al (1992) ont tente de resoudre l’ensemble des equations elliptiques caracterisant l’ecoulement en developpement simultane dans un tube horizontal isotherme. Leurs resultats restent cependant limit& a trois faibles nombres de Grashof (zero, 5 x 10" et 104). La forme parabolique des equations differentielles a et.6 largement utilisee en vue de comprendre l’effet dune distribution uniforme et non uniforme du chauffage parietal sur le comportement d’un ecoulement en regime de convection mixte dans des conduites horizontales a section rectangulaire (Incropera et Schutt, 1985 ; Mahaney et al, 1988 et 1989). La convection mixte dans des tuyaux inclines a Bte consideree par Choudhury et Patankar (1988) pour le cas dun tube isotherme et par Orfi et al (1994a et b) pour un tube avec flux uniforme axialement et circonferentiellement. Cet article analyse le comportement dun ecoulement d’eau en developpement simultane en resolvant numeriquement les equations parabolisees seulement dans la direction axiale. En particulier, l’influence de l’inclinaison du tuyau et celle dun taux de chauffage par&al eleve sur les distributions de temperature, de vitesses et sur les coefficients moyens d’echange de chaleur et de frottement sont &al&es.
2
n
FORMULATION THiORlQUE DU PROBLkME
Nous considerons l’ecoulement dans un tuyau circulaire incline dun angle (Ypar rapport au plan horizontal. Le tuyau est soumis a un flux de chaleur q constant et uniforme (figure 1). Le fluide entre dans le tuyau a une vitesse debitante VO et une temperature uniforme TO. Le mode de convection mixte, for&e et libre, est consider& Les hypotheses suivantes forment la base de l’etude (voir Kakac et al. [16]) : - Uecoulement est permanent et laminaire. - Le fluide est newtonien et incompressible. Ses proprietes sont constantes sauf pour la densite dans les termes generateurs de la convection libre ou une variation lineaire avec la temperature est adoptee. - La dissipation visqueuse due a la friction dans le fluide ainsi que le rayonnement sont negligeables.
koulement
laminaire
dans un tube inclink en regime de convection
mixte
Les Equations fondamentales 19 faGon suivante sous forme Equation de continuit6 :
s’kcrivent alors de adimensionnelle :
(3) Plan horizontal
gquations
du mouvement
:
Selon r : r
vr~+~~+vz2!-+$ / Direction
+GrPr2
de I’Ccoulement
cos 0 cos a
(4)
Section A-A 070
Selon 19: Diambtre horizontal
-Gr
Pr2T
cos a sin 0
(5) Plan de symktrie Fig Fig
1. 1.
Selon z :
Configuration giome’trique Geometry of the problem.
du probkme
conside’rt?.
Le processus de transport dans l’&oulement consid&+ est caract&i& par la pr&ence d’une direction prhdominante (direction axiale). La pression du fluide est traitbe comme &ant la somme d’une pression moyenne qui depend de la coordonnbe axiale et d’une pression variable dans la section (Incropera et Schutt, 1985 ; Choudhury et Patankar, 1988) : P’ = Pi + PL,*
(1)
Les termes de diffusion axiale de quantit6 de mouvement et d’6nergie sont n6glig6s. Cette hypoth&se est valide lorsque le nombre de Peclet est sup&ieur & 100 (Kakac et al, 1987 ; Ravi Sankar et 81, 1993). A ce stade, nous introduisons les variables saris dimension suivantes : I 2’ r=K D’
Z=m
V, z ‘/:D, a0
*=
Vs = $I,
(f-3 equation
d’6nergie : (7)
Ce systeme d’kquations est parabolique dans la direction axiale et elliptique dans les deux autres directions. 11 est soumis aux conditions aux limites suivantes : - Sur la paroi de la conduite (& T = 0.5) : vz = VT= vs = 0
- Sur le plan de symetrie 0 = [0, n] incluant l’axe du tube : v-0 = 0
ax ax aT .-&=-@=-@=O
V, zz $
@b)
QO
T/-To -ko,
qD
P; D2 PI = -
POa; ’
pz = APOv,2
(2)
11 faut noter que la vitesse de r6f6rence dans les directions T et 0 n’est pas la meme que celle pour la direction axiale ; ce choix, qui a aussi Bt6 retenu par Choudhury et Patankar (1988) entre autres, d&oule du fait que les vitesses selon T et 0 sont beaucoup plus faibles que celle selon z et qu’on souhaite, pour des raisons numbriques, avoir des valeurs non- dimensionnelles d’ordre 1 dans la mesure du possible.
- A l’entr6e de la conduite (A z = 0) : ve = VT = 0 v, = 1 T=O
(8~)
En plus & chaque section de la conduite, l’kquation de conservation de masse globale exige : 0,5
JJ 0
?I
V,rdOdr
= :
0
85
J Orfi,
N Galanis,
Les coefficients adimensionnels qui apparaissent dans les equations de conservation sont les nombres de Reynolds Re, de Grashof Gr, et de Prandtl Pr. 11s sont definis dans la nomenclature. 11 est important de noter que le parametre de couplage entre les convections for&e et libre, soit la combinaison Gr Pr/Re de l’equation 6, n’est pas dans la forme standard (Gr/Re’). Ceci decoule du choix de deux vitesses de reference differentes justifie precedemment. Mais, le nombre de Prandtl peut etre interpret6 comme l’inverse dun nombre de Reynolds Bvalue avec la vitesse de reference au/D
: (8e)
Done, selon la formulation adoptee ici, le parametre du couplage est le rapport entre le nombre de Grashof et le produit de deux nombres de Reynolds evalues avec les deux vitesses de reference. Pour Bviter toute confusion par rapport a d’autres formulations et puisque les resultats ont ete calcules pour un seul nombre de Prandtl et un seul nombre de Reynolds, ils sont present&s en fonction du nombre de Grashof Le taux d’echange de chaleur convectif et le frottement a la paroi sont des quantites physiques d’inter& pratique considerable. 11s sont exprimes a l’aide des nombres de Nusselt et des contraintes de cisaillement par-i&al. - Nombre de Nusselt local (fonction de z et Q) :
- Nombre de Nusselt donnee (fonction de z) :
moyen
a une
section
Ou Tb est la temperature de melange du fluide a la section consideree. TO et T, designent respectivement la temperature locale de la paroi du tuyau et sa moyenne circonferentielle a une position axiale donnee. T, est defini comme suit :
(Yc) De meme, la contrainte de cisaillement sa moyenne circonferentielle sont :
locale et
(9e)
3
n
METHODE NUMiRlQUE
Le modele numerique est base sur la procedure proposee par Patankar et Spalding (1978) appro86
CT Nguyen
price aux ecoulements tridimensionnels paraboliques dans une direction et elliptiques dans les deux autres. Elle consiste en premier lieu, a l’integration des equations differentielles sur des volumes de controle finis pour l’obtention d’equations algebriques correspondantes ; pour ceci, on utilise un schema implicite dans la direction axiale selon laquelle les equations sont paraboliques et le schema de type puissance de Patankar (1980) dans le plan R - 0 ou les equations sont elliptiques. Ensuite, a partir dun estime initial des valeurs dans la section d’interet et des valeurs connues dans la section precedente, on procede a la resolution de ces equations algebriques dans la section dint&et en suivant les &apes suivantes : l On calcule les valeurs de V, et % en resolvant les equations du mouvement selon r et 6’a l’aide dun algorithme standard TDMA (Tridiagonal Matrix Algorithm) ; l On se sert de l’equation de correction de la pression - obtenue en combinant l’equation de conservation de la masse aux equations du mouvement selon r et 8, voir Patankar (1980) pour obtenir une nouvelle estimation de PI (r, O), et de l’algorithme Simplec de Van Doormal et Raithby (1984) pour corriger les vitesses V,. et VH ; l On calcule la vitesse axiale a partir de l’equation algebrique du mouvement selon la direction axiale et on corrige le gradient de pression dPz/dz ainsi que la vitesse axiale a l’aide de la procedure de Raithby et Schneider (1979) qui tient compte de l’equation de conservation de la masse totale (Eq 8d) ; l Finalement, on r&out l’equation algebrique de l’energie pour obtenir la distribution de la temperature selon r et 8. Ces quatre &apes de calcul sont rep&es jusqu’a la convergence et sont ensuite reprises pour la section suivante en appliquant la technique de marche dans la direction axiale (Orfi, 1995). Afin de suivre avec precision toute variation des champs thermique et hydrodynamique, particulierement dans la region proche de la paroi et egalement dans la zone immediate a l’entree du tuyau, nous avons utilise un maillage qui possede des increments uniformes circonferentiellement mais non uniformes radialement et axialement. Apres une serie de tests sur le maillage, nous avons choisi une grille de 36 x 32 selon 8 et r respectivement. Suivant la direction axiale l’increment a pour valeurs lo-~“, lo-“, lo-‘“, 5 x 10e4, lo-” et 2 x lo-” respectivement pour les pas no 1 a 10, 11 a 20, 21 B 80, 81 ti 120, 121 B 150, et 150 et plus. En ce qui concerne les criteres de convergence, on se base essentiellement sur la masse residuelle resultant de l’integration de l’equation de conservation de la masse (Eq 3) sur un volume de controle. Cette masse residuelle ne depasse, en aucun des cas present&, 10e7 a travers tout le domaine. On verifie egalement l’equation de conservation de la masse totale (Eq 8d) en exigeant notamment que la vitesse debitante pour toute section axiale soit l’unite a lop3 pres.
icoulement
laminaire
dans
un tube
incline
Le programme de calcul a Bte systematiquement teste et verifie (voir OrI?, 1995). La figure 2 illustre l’bvolution axiale du nombre de Nusselt NuZ pour le cas dun Bcoulement d’eau dans un tube vertical soumis a des flux de chaleur correspondant a Gr = 104, lo5 et 106. On observe une t&s bonne concordance pour z 3 10~~ avec les resultats experimentaux de Petukhov et al (1969). La leg&e difference dans la region d’entree (Z < 10e3) est due au fait que les resultats de Pethukhov et al (1969) concernent un Bcoulement en developpement thermique seulement tandis que les notres correspondent a un dcoulement en developpement simultane des champs thermique et hydrodynamique.
en regime
de convection
mixte
Plusieurs simulations numeriques ont Bte effect&es. Elles couvrent des situations ou le tuyau est horizontal, vertical, incline ti 30” et a 60” et ou le chauffage par&al impose correspond a des nombres de Grashof de 104, lo5 et 106. Le nombre de Reynolds est de 500. Le fluide caloporteur est de l’eau (PT = 7). Done le parametre de couplage entre les convections libre et for&e se situe entre 140 et 14 000 tandis que le nombre de Richardson (Gr/ Re2) est compris entre 0,04 et 4. Ces dernieres valeurs indiquent que la plage Btudiee couvre bien la region ou les deux types de convection sont d’importance a peu pres Bgale et justifient le choix des valeurs du nombre de Grashof. Pour la presentation des resultats, nous avons retenu les sept positions longitudinales indiquees dans le tableau 1.
NUz
4.1. STRUCTURE DE L~~OULEMENT SECONDAIRE ET DU CHAMP THERMIQUE Petukhov etcd.(l96!
11 convient de dire tout d’abord qu’en absence de convection naturelle, l’ecoulement secondaire est purement radial et est associe uniquement au developpement de la couche limite hydrodynamique : a cause de l’adherence de l’eau sur la paroi, le fluide avoisinant doit decelerer et se trouve rejete loin de celle-ci vers le centre de la conduite. La situation change lorsque l’on tient compte des variations de densite au sein du fluide. L’ecoulement secondaire est induit par un effet combine des forces d’Archim&de, de viscosite et d’inertie. L’influence relative de chacune de ces forces peut Btre clarifiee a partir de la figure 3, montrant l’evolution de la structure de l’ecoulement secondaire pour Gr = 106, Pr = 7 et a: = 300. A partir de la position A (z = 5,1 x 10p4), les effets de la convection naturelle commencent a apparaitre surtout sur une couche mince a proximite de la paroi. Dans cette couche, le mouvement est ascendant tandis que dans la partie centrale du tuyau, il est descendant creant ainsi un tourbillon dans le sens anti-horaire. A la position B, on observe une intensification remarquable des courants secondaires qui se traduit par un mouvement ascendant t&s fort occupant une couche plus large que dans le cas de la section A. Le centre de circulation se deplace done vers l’interieur. Plus loin le long du tuyau, l’ecoulement secondaire diminue nettement en intensite aussi bien pres de la paroi que dans la region centrale. Le centre de circulation descend legerement en bas du diametre horizontal tout en s’approchant de la paroi.
0; 10'
lo“
lo"
Z
Fig 2. holution axiale du nombre de Nusselt pour d’un koulement d’eau en d&eloppement simultant rCgime de convection mixte duns un tuyau vertical. Fig 2. Axial evolution a vertical tube.
4
n
of the
RkULTATS
Nusselt
number
for
le cas en
water
in
ET DISCUSSION
Dans cette section, nous presentons une analyse sur le comportement dun Bcoulement d’eau en developpement simultane a l’interieur dun tuyau incline. Nous nous interessons particulierement a l’influence de l’inclinaison et du nombre de Grashof sur les champs thermique et hydrodynamique ainsi que sur la distribution axiale des valeurs moyennes de l’echange de chaleur et de la contrainte circonferentielle.
Emplacement Axial
Section Position
A axiale,
des position
TABLEAU sections retenues of cross-sections
B
z 5,11 x 1O-4 3,11 x lop3
I / TABLE I pour la prkentation where results are
C 6,11
x
des re’sultats presented
D 10e3 3,11
x
E 10e2 6,Ol
x
lo-’
F
G
0,16
0,22
87
J Orfi,
Position
A
Position B
N Calanis,
Position C
CT Nguyen
4 3
0.05 0.04
Pcsilm A
Pmltion B
POSiIlOnc
0. I 8 0.14 0.10 0.06 0.02
4
6 5
Position D
Position
E
0.31 0.26
Pmmon F
POSIIIO~E
0 42 0 38
Position F
Fig 4. DLveloppement I’eau avec N = 30”
du champ et Gr = 106.
Fig with
=
4. Development cy = 30’ et Gr
4.2. Fig 3. D&eloppement du champ de vitesse transversale pour le cas de I’eau avec o = 30’ et Gr = lo6 (Le chiffre 200 et la longeur du vecteur associe identifient l’e’chelle des vitesses). Fig 3. Development of the secondary flow field for water with cy = 30’ et Gr = lo6 (the value of 200 and the length of the corresponding vector identify the velocity scale).
L’koulement devient entierement Btabli & partir de la position D, soit & z = 3,ll x lo-‘. Quant au champ thermique (figure 4), on observe que les courants secondaires commencent & perturber le champ de tempkature & partir de la position B. Dans la partie centrale supkieure de la section, les isothermes sont essentiellement horizontales et le transfert de chaleur se fait par conduction. La stratification augmente et occupe un espace de plus en plus (mportant & mesure que l’on se dkplace axialement. A la section D, 1’6coulement est presque 6tabli thermiquement. L’eau froide se trouve confm6e dans un espace rkduit dans la partie centrale inf&ieure de la section. La stratification influence grandement la partie supkieure et y r6duit par consbquent le mouvement du fluide tel qu’observk sur la figure 3.
88
Position D
of the 106.
D~ELOPPEMENT VITESSE AXIALE
thermique
temperature
DES PROFILS
pour field
le cas for
de
water
DE LA
La figure 5 illustre les effets de la convection naturelle sur l’6volution des profils de vitesse axiale suivant le diametre vertical pour le cas de l’eau avec Gr = 10”. Ces effets dependent fortement de l’inclinaison de la conduite et de la position axiale. M6me trks prks de l’entke, ils engendrent une acc&ration du fluide sur la partie centrale infirieure du diam8tre. La valeur de la vitesse axiale maximale diminue quand ai croit et son emplacement se deplace Ng&rement vers le centre du tuyau. A la position C, les deformations des profils de V, s’amplifient davantage. L’accroissement de a, dans ce cas, se traduit par un dbplacement graduel de l’endroit de la vitesse axiale maximale vers le haut quand cy passe de 0” 21 60" pour revenir ensuite au centre du tuyau dans le cas d’un tuyau vertical. Loin de la r&ion cent&e, on note une acc&ration t&i prononcke dans la partie supkrieure de la section pour a: = 30' et surtout pour cy = 60". 11 importe aussi de bien suivre le dt%eloppement des profils de V, pour CY= 90”. Le fluide acc&re dans la partie centrale de la section immkdiatement apr&s l’entr6e (section B). Par la suite, on observe un ralentissement graduel du fluide dans la m6me
koulement
laminaire
dans
un tube
inclin6
en regime
de convection
mixte
(section E), la vitesse axiale au centre du tuyau est d’environ 0,16. Cette valeur peut s’annuler et devenir negative, donnant ainsi naissance a un Bcoulement inverse autour du centre pour des taux de chauffage plus Blew%. Nous n’avons pas Btudie ce phenomene d’inversion compte tenu des hypotheses adoptees pour l’approche parabolique.
r 0.25
4.3. SOLUTION
AxIALE DU NOMBRE DE NUSSELT MOYEN ET DE LA CONTRAINTE DE CISAILLEMENT MOYENNE
-0.25
0.25
-
. CD
Les deformations induites par l’bcoulement secondaire sur le developpement du champ de vitesse axiale entrainent une augmentation de la contrainte de cisaillement moyenne sur le perimetre, T=, par rapport B celle de l’ecoulement force pur (ecoulement de Poiseuille) tel que montre sur la figure 6. On note qu’un accroissement de l’inclinaison provoque un frottement parietal accru, particulierement pres de la region etablie. 11 est interessant de noter que, pour une inclinaison nulle, le decrochage de la courbe qui correspond a la convection for&e pure se passe plus loin de l’entree que pour les autres inclinaisons. La distribution de TV,pour les quatre inclinaisons, passe par un maximum relatif dont l’emplacement axial se deplace loin de l’entree a mesure que o augmente.
Pr=7
0.0
0.5
1.0
2.0 '.5
vz
0
r 0.25
o.oa
-0.25
lo-$
lo‘*
lo-'
Z L II -0.50 a 0.0
Fig 6. Effet contrainte 0.5
1.0
1.5
2.0
2.5 VZ
Fig 5. Effet
de I’inclinaison de la vitesse axiale suivant I’eau avec Gr = 106.
Fig 5. Effects profile
along
SW la distribution des profils le diamttre t? = 0, IT pour de
of the tube inclination on the axial velocity the vertical diameter for water with Gr = 106.
region au fur et Ce ralentissement chauffage parietal avoisinant la paroi.
a mesure que z augmente. est provoque par l’important qui a&l&e le fluide chaud Notons qu’en regime developpe
Fig 6. shear
de I’inclinaison sur /a distribution de cisaillement moyenne avec Gr Effects of the tube inclination on the stress for Gr = 106.
axiale = 106. average
de /a wall
L’acceleration rapide du fluide occupant le noyau dun tuyau vertical associee au developpement de la couche limite hydrodynamique provoque une importante reduction de rz dans la region proche de l’entree. Plus loin, les particules au centre ralentissent alors que celles pres de la paroi accelerent (voir figure 5). Ce qui constitue la cause directe de l’augmentation du coefficient de friction telle qu’illustree sur la figure 6. 89
J Orfi,
N Galanis,
L’evolution axiale du nombre de Nusselt moyen en fonction du nombre de Grashof et de l’inclinaison est illustree sur les figures 7u et 7b. L’accroissement de I’apport de chaleur externe entraine une agitation plus importante au sein du fluide. L’echange de chaleur se trouve done grandement ameliore, en particuher tres loin de la region dent&e. Par exemple, la valeur du nombre de Nusselt moyen asymptotique pour Gr = 10" et 10” est respectivement environ 2 fois et 3.5 fois celle correspondant a l’ecoulement force pur. Pour le cas de Gr = 106, on constate que le decrochage de la courbe qui correspond a Gr = 0, se situe p&s de l’entree, indiquant l’effet du developpement rapide et intense des courants secondaires. L’emplacement longitudinal de 20
w 15
10
5
Fig 7a. holution un tuyau incline’ Fig 7a. Axial for N = 30”.
axiale d 30”.
evolution
du nombre
de Nusselt
of the average
local
moyen
Nusselt
pour
CT Nguyen
ce decrochage s’eloigne de l’entree a mesure que Gr diminue. Immediatement apres ce decrochage, le nombre de Nusselt atteint une valeur minimale avant que l’ecoulement ne soit entierement Btabli. L’emplacement axial de cette valeur minimale s’approche de l’entree lorsque le nombre de Grashof augmente. 11 correspond approximativement a celui oh l’intensite de l’ecoulement secondaire est maximale. En ce qui concerne l’influence de l’inclinaison du tube sur le nombre de Nusselt moyen (figure 7b), on remarque une evolution differente pour les deux inclinaisons extremes (tube horizontal et vertical) de celle qui correspond aux inclinaisons intermediaires : en effet, avant d’atteindre sa valeur assymptotique, NIL, passe par un minimum pour 0 = 30" et a = 60” tandis que dans les deux autres cas, sa diminution est essentiellement monotone. 11 est important de noter que ces valeurs minimales de Nuz se produisent a l’endroit ou l’intensite du mouvement secondaire est la plus elevee et oh la contrainte de cisaillement passe par un maximum local (figure 6). Par ailleurs, les valeurs asymptotiques indiquent l’existence dune inclinaison optimale d’h peu pres 30” qui maximise le nombre de Nusselt ; cette observation confirme les resultats correspondants de Orfi-Galanis-Nguyen [31 obtenus avec un modele plus simple qui ne considerait que l’ecoulement developpe. En somme, l’ecoulement d’eau en regime de convection mixte dans une conduite circulaire inclinee se caracterise par la presence de trois zones distinctes (voir figures 7). Dans la premiere zone, pres de l’entree, l’ecoulement est force pur. Le nombre de Nusselt moyen decroit rapidement suivant la correlation suivante :
number
20
NUZ 15
10
Cette zone se termine a un endroit particulier, zc, qui depend fortement du nombre de Grashof Pour Gr = 104, 105 et lo’, Z~ vaut respectivement approximativement IO-', 4 x lo-” et 9 x lo-“. Dans la deuxieme zone, les courants secondaires induits par la convection naturelle sont en developpement rapide et favorisent par consequent l’echange thermique a l’interieur du fluide. D’autre part, les couches limites thermique et hydrodynamique continuent a se developper. Cette situation peut aboutir a un nombre de Nusselt legerement moindre que celui correspondant a l’ecoulement etabli. La derniere zone correspond a la region oh l’ecoulement est entierement developpe. Les coefficients d’echange de chaleur et de friction atteignent ici des valeurs asymptotiques. En se basant sur la distribution axiale du nombre de Nusselt et en considerant que l’ecoulement devient Btabli lorsque : Nu,
Fig 7b. Effet de I’inclinaison du tuyau sur la distribution axiale du nombre de Nusselt moyen pour Gr = 106. Fig 7b. Effects of the tube inclination on the average local Nusselt number for Gr = 106.
90
- Nus
= ?tO,O2
Nuj
(12)
ou Nu~lf designe le coefficient d’echange de chaleur asymptotique, nous avons pu Cvaluer la position axiale qui correspond a la region developpee. Le
!%oulement
laminaire
dans
un tube
comportement de cette position (ou longueur de dkveloppement, L) en fonction de (Y et de Gr pour l’eau est illustrb dans le tableau II. TABLEAU II / TABLE II Effet de I’inclinaison du tuyau et du nombre de Grashof sur la longueur de dLveloppement d’un tkoulement d’eau en rtZgime de convection mixte Effects of tube inclination and Crashof number on the thermal development length
incline
en regime
de convection
mixte
contrainte de cisaillement. Ces valeurs augmentent avec le nombre de Grashof et dependent de l’inclinaison du tuyau.
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On remarque que, pour de faibles taux de chauffage (Gr = 104), la longueur de dkeloppement, L est proche de celle de l’kcoulement force pur. Pour l’eau, cette dernikre a BtB estimbe A 0,06. Pour des nombres de Grashof mod&& ou Blevks, on constate cependant que la convection naturelle diminue la longueur de dkveloppement. L’influence de l’inclinaison sur la valeur de L depend du nombre de Grashof. Pour un tuyau horizontal, la longueur de dkveloppement passe par un minimum A Gr = lo5 lorsque le nombre de Grashof augmente de lo4 A 106.
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n
CONCLUSION
Dans cet article, nous avons p&sent6 une etude num&ique sur le comportement d’un Bcoulement laminaire ti l’int&ieur d’un tuyau incline en rhgime de convection mixte. La forme parabolisee des Equations de conservation a Btt5 utilike. Les rkultats ont permis d’kvaluer l’influence de l’inclinaison et du taux de chauffage par&al sur le dkveloppement de l’koulement et les distributions des coefficients de friction et de transfert thermique. En particulier pour un tuyau incline & 30”, les courants secondaires associk A la convection naturelle naissent tout pr&s de l’entrke et se d&eloppent tr&s rapidement. 11sinduisent des dkformations consid&ables sur les profils de vitesse axiale. L’Ccoulement confine en regime de convection mixte suit trois r&ions le long de la conduite. Dans la premik-e, l’kcoulement est essentiellement for& pur. Dans la de&&me, les courants naturels engendrent un brassage important du fluide favorisant davantage 1’6change thermique et augmentent le frottement pari&al. Finalement, loin de l’entrke, et mGme $ des taux de chauffage relativement BlevBs, l’koulement s’btablit entikement. La convection naturelle arrive A maintenir dans la section un Btat asymptotique, caract&isC par des valeurs constantes du nombre de Nusselt et de la
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of Fluid
ABRIDGED ENGLISH VERSION Simultaneous development of a laminar flow inside an inclined tube with mixed convection
The three-dimensional laminar flow of a Newtonian incompressible flow in the entrance region of a uniformly heated inclined circular tube (fig 1) has been modeled using the Boussinesq approximation The fundamental equations expressing conservation of mass, momentum and energy have been parabolized by neglecting axial diffusion and by separating the pressure into two terms. The resulting non-dimensional partial differential equations have been discretized using the control volume approach (Patankar et Spalding, 1972) and solved using the SIMPLEC algorithm (Van Doormal et Raithby, 1984). The calculations procedure has been tested for grid independence and validated by comparing the results with experimental values (fig 2). It was
92
then used to study the effect of tube inclination at high Grashof numbers on the hydrodynamic and temperature fields in the entrance region of the tube. The results show that the secondary flow reaches a maximum intensity before setting into its fully developed pattern. The shape of the isotherms indicate a high degree of stratification on the upper part of nearly horizontal tubes. The axial velocity profile is very different from the one for pure forced flow (fig 5) and depends on both Grashof number and tube inclination; the profiles for vertical tubes indicate a strongpossibility of flow reversal. Circumferentially averaged shear stresses and Nusselt number also show a strong dependence on Grashof number and tube inclination with asymptotic values in the fully developed region several times higher than those for pure forced flow.