Développement d'instabilités thermiques dans un écoulement horizontal en convection mixte: le point de vue de Lagrange

Rev Gin Therm (1997) 0 Elsevier, Paris

36,

815-825

Dkveloppement d’instabilit&s thermiques un koulement horizontal en convection le point de vue de Lagrange Chkifa lnstitut universite’

universitaire d’Aix-Marseille (Recu

Abid *, Franqois Papini

des syskmes thermiques I, 5, rue Enrico-Fermi le 27 janvier

Abridged

dans mixte:

English

1997

; accept&

version

at the

industriels, UMR CNRS 6595, 13453 Marseille cedex 13, France le 8 octobre end

of the

1997) text

Summary

- Thermal instabilities for a horizontal flow in mixed convection: a Lagrangian viewpoint. As part of the study of mixed convection in flow in a horizontal cylindrical duct uniformly heated at the wall, we show a thermal instability phenomenon. This manifests itself through large amplitude temporal fluctuations of the wall temperature which leads to an intermittent thermal behaviour of the system. Temperature fluctuations are characterized by variable stationary phases which succeed them. This paper provides, at first, a brief description of the experimental loop; then some numerical results corresponding to the stable state, and some experimental results related to the thermal instabilities are reported. Finally we propose a description of the properties of the phenomenon using a non-linear map. This map is defined by a characteristic function related to the thermohydrodynamic state of the flow. This approach based on a Lagrangian model allows us essentially to show the non-linear aspect of the system. mixed

convection

/ thermal

instability

/ non-linear

physics

/ heat

transfer

/ flow

/ laminar

state

R&urn@ -

Dans le cadre de I’itude de /a convection mixte dans un conduit horizontal, chauffi uniformiment ti /a paroi, on met en e’vidence un phenomkne d’instabilitds thermoconvectives se manifestant ti wavers des fluctuations de grande amplitude de la temperature de paroi. Le rkgime thermique correspondant est Au type intermittent, /es fluctuations Ltant se’pakes par des phases quasi stationnaires de dukes variables. Dans cet article, nous commenCons par une pre’sentation du dispositif expLrimental et un rappel de quelques r&/tats expkimentaux et numdriques nkessaires ti /a mise en ceuvre du mod6le re’duit faisanf /‘objet de cet expose’. Nous proposons alors une description du phLnomLne ti partir d’une application non lir@aire, de’finie par une fonction caracttristique lie’e d /a structure thermohydrodynamique de I’tcoulement, caracte’ristique du re’gime laminaire. Ainsi, I’analyse, basCe sur une approche lagrangienne, permet de mettre en e’vidence I’effet de cette non-line’arit8 sur un Lcoulement dont /es tranches fluides, se prkentant ci /‘entree, sont diffirenciies par un bruit de nature altatoire. On montre, de cette facon, que le comportement instable, de grande amplitude, est potentiellement contenu dans le kgime stable ; il est alors initit! ti partir d’une instabilite primaire de faible amplitude.

convection

mixte

/ instabilitC

thermique

/ physique

non

linkaire

Nomenclature i n Pi r Ra Re Th

de chaleur

/ kcoulement

/ regime

laminaire

temperature de paroi pour le bas dune section droite temperature seuil. . . . TS t temps........................... signal obtenu a partir du modele Y(i) lagrangien YS valeur seuil pour Y z coordonnee axiale le long du conduit.......................... vitesse moyenne du fluide. . . a b(r, 0) profil des vitesses longitudinales la tote t = 0 a V(r) z) profil des vitesses longitudinales la tote 2 2 partie adimensionnee (haute ou basse) du profil des vitesses longitudinales

Th

numero d’ordre ; assimile a un temps Cchantillonne nombre de phases quasistationnaires minimum dune fluctuation de temperature (pit) distance radiale dans une section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nombre de Rayleigh nombre de Reynolds temperature de paroi pour le haut dune section droite . . . . . . * Correspondance

/ transfert

et tires-a-part.

m

“C

“C “C S

m m.s-l

815

C Abid.

1I

INTRODUCTION

Dans le cadre de l’etude de la convection mixte dans un conduit horizontal, chauffe uniformement a la paroi, on met en evidence un phenomene d’instabilit& thermoconvectives de la temperature parietale de grande amplitude. Ces instabilites, de nature intermittente, sont associees h une modification de la situation thermohydrodynamique du fluide ; elles sont, par ailleurs, de nature convective, au sens ou une perturbation localisee est transportee et amplifiee a la vitesse moyenne du fluide. Ces perturbations correspondent a une chute brutale de la temperature de paroi, l’effet &ant d’autant plus important que les points de mesure se rapprochent du sommet dune section droite. Ce phenomene a Cte observe par certains auteurs (Nagendra, 1973 ; Petukhov et Polyakov, 1974 ; El-Hawari, 19801, mais l’analyse qui en a Bte faite etait relativement incomplete, au sens ou les auteurs attribuaient ce comportement a I’action de fluctuations de nature hydrodynamique, telles les bouffees turbulentes. Apres avoir rappel6 les aspects physiques preponderants regissant ce phenomene, initie par une instabilite primaire de nature hydrodynamique ou thermique, nous presenterons le principe dun modele non lineaire, se basant sur une approche lagrangienne et permettant de reconstruire un signal de sortie, Bgalement de nature intermittente. Si, dans le principe, cette simulation peut etre facilement definie, son application presente des difficult& qui nous conduiront h en adopter une formulation simplifiee ; en particulier, la coherence des phenomenes, entre le haut et le bas dune meme section droite, ne pourra pas Btre prise en compte directement. De ce fait, les resultats obtenus permettront de retrouver l’essentiel des proprietes de cette instabilite avec, toutefois, certaines limitations qui seront signalees. Ainsi, le propos de cette presentation est de montrer comment la structure thermohydrodynamique particuliere de cet Bcoulement, definie pour le regime stable, presente une potential&! d’instabilites de grande amplitude. Celleci est lice a l’existence dune non-linearite que l’on peut mettre en evidence dans l’evolution du champ des vitesses. 11 s’agit dune etude de comportement que l’on dissocie dune approche physique, decrivant plus precisement le mecanisme de cette instabilite, de facon a concentrer l’analyse sur un probleme specifique de dynamique non lineaire.

2I

DESCRIPTION EXPiRIMENTAL

DU DISPOSITIF

Nos experiences concernent l’btude dun ecoulement dun fluide (eaul monophasique, dans un conduit cylindrique horizontal chauffe uniformement a la 816

F Paoini

paroi (Abid, 1993). Le dispositif experimental est presente sur la figure 1. Le conduit est en inconel, de 0,2 mm d’epaisseur. Son diametre externe est de 1 cm et sa longueur totale de 2 m. La zone centrale, non isolee de l’environnement, dune longueur de 1 m, correspond a la zone d’etude ou zone d’essai. La premiere partie du conduit (precedent la zone d’essais) permet l’etablissement hydrodynamique du fluide pour que l’ecoulement soit du type ) a l’entree de cette zone. L’ecoulement est ouvert a la sortie. La circulation du fluide est assuree par une pompe centrifuge a plusieurs Stages (vitesse de rotation 2800 rpm). La vitesse moyenne d’ecoulement u est reglee par un debitmetre a bille et peut varier de 1 a 35 cm.s’. Le fluide passe par un echangeur de chaleur avant d’entrer dans le conduit, de facon a lui restituer une temperature d’entree constante. La paroi de la zone d’essai (dont la resistance electrique est de 0,16 Q2) est chauffee electriquement en injectant directement un courant continu entre ses bornes electriques (I’entree et la sortie). La borne #entree est maintenue a temperature constante par circulation de fluide externe. La densite de flux est uniforme tout le long de la zone d’essai et est de l’ordre de 20 kW.mp2 dans la plupart des experiences presentees ; compte tenu des niveaux de temperature atteints, les pertes thermiques externes du conduit sont d’environ 400 W.m-’ (ce qui les rend negligeables devant la densite de puissance apportee). L’entree de la zone d’essais est prise comme origine de la coordonnee axiale z (la tote z). La temperature de melange du fluide s’eleve alors d’environ 10 “C entre t = 0 et z = 80 cm.

Ther”,ocouplea

Pompe Ea”

q-e

Fig

1. Description

du dispositif

Fig

1. Description

of the

RCservo~r

exph%nental.

experimental

loop.

Nous n’utiliserons dans cette etude que les mesures de temperature de paroi externe. Ainsi, la distribution de temperature sur une section droite, a une tote don&e, est mesuree par thermographie infrarouge (la paroi externe du conduit est rendue fortement Cmissive). Cependant, dans le cas de mesures simultanees en differentes totes, nous

Developpement

d’instabilites

thermiques

dans

un ecoulement

avons utilise des couples thermoelectriques de type ccK>a,de 0,2 mm de diametre, appliques sur la paroi externe, en haut et en bas dune section droite (on s’est assure de la bonne concordance entre les mesures par sondes de contact et par detection infrarouge). Nous avons enregistre des experiences simultanees a differentes totes, et ceci sur des durees pouvant atteindre sept heures. Le pas temporel d’echantillonnage est de 0,02 s. Le nombre de couples thermoelectriques &ant limit& la perturbation thermique resultante est alors negligeable. La precision de la mesure est de 0,l “C.

3

n

RAPPELS SUR LE RtCIME LAMINAIRE

Les resultats experimentaux obtenus en regime laminaire montrent l’btablissement dun gradient de temperature entre le haut et le bas dune section droite. I1 est dQ a un effet de gravite, provoquant des Bcoulements secondaires transverses dans une section droite, qui se superposent a I’bcoulement principal axial. Ceci se traduit par l’existence de deux rouleaux convectifs contrarotatifs. La figure 2 montre l’evolution de la temperature de paroi, pour le haut (Th) et le bas (Tb) dune section droite, en fonction de Z/V ; ce rapport represente le temps passe par un element fluide dans la zone chauffee jusqu’a la tote z. Nous pouvons essentiellement relever l’existence de deux zones. La premiere, dite <‘, l’accroissement des dew temperatures (Th et Tb) est lineaire. Pour cette zone, les Bcoulements sont

horizontal

en convection

mixte

: le point

de vue

de Lagrange

etablis, et l’on tend vers l’etablissement thermique, qui se traduit par une variation qui reste lineaire tant que les pertes thermiques externes sont negligeables devant la puissance apportee a la Une modelisation numerique (Abid et al, 1994), utilisant le couplage des equations de NavierStokes et l’equation de l’energie, a ete effectuee ; les resultats des calculs ont BtC obtenus pour un rapport Z/V pouvant atteindre une valeur de 30. Ces calculs ont et6 valid& en comparant les distributions experimentales et numeriques de la temperature de paroi sur une section droite, et ceci pour differentes totes. La figure 3 represente le profil des vitesses longitudinales (ecoulement principal) dans un plan vertical passant par le centre du conduit, pour diverses valeurs du rapport zjv ; on constate l’evolution significative de ce profil, meme pour des valeurs de z/v relativement peu importantes (on se situe alors dans la zone A). En effet, quand cette valeur croit, on assiste dans cette zone a un tassement des rouleaux convectifs vers le bas des sections droites, associe a une stratification et une accumulation de chaleur dans la par-tie haute de ces sections. La conservation du bilan fluide impose done une deformation progressive du profil des vitesses longitudinales par rapport au profil de Poiseuille, au fur et a mesure que les ecoulements secondaires s’installent. Dans la zone B, le champ des vitesses, longitudinales et transverses, ne depend plus de zfv. 0.6

-2 y 0.0 L -0.2

-0 6

I

Fig 3. Profil des vitesses longitudinales totes (Re = 750). Fig 3. Longitudinal velocities profiles coordinates (Re = 750).

4I Fig 2. &olution expe’rimentale de /a tempirature paroi, pour le haut et le bas d’une section droite, re’gime stable (Re = 450, P = 16 kW.m-2). Fig 2. Evolution of the experimental wall temperature, the top and the bottom of a straight cross section, case of stable state (Re = 450, P = 16 kW.me2).

de en for in the

DESCRIPTION

pour diffirentes for

various

axial

DES INSTABILITtS

Un phenomene d’instabilites apparaissant sur la temperature de paroi a et6 observe (Abid et al, 1993 & 1995 ; Abid et Papini, 1997a). La figure 4 donne, pour deux totes differentes, les signaux correspondants a la temperature de paroi en haut et en bas dune section droite, pour la tote z = 80 cm, 817

C Abid,

F Papini

80

I

50

40 I 0

Fig 4. kolution expLrimenta/e de /a temptrature pour le haut et le bas d’une section droite instable (Re = 1 850). Fig 4. Evolution of the wall temperature for the bottom of a cross section (Re = 1 850).

en the

de paroi re’gime top

and

et uniquement en haut a la tote z = 30 cm ; la temperature du bas reste pratiquement constante, puisque l’on se situe dans la zone A. Dans ce cas, les mesures ont Bte effectuees pour une vitesse moyenne de 19 cm.s-‘, ce qui correspond a un nombre de Reynolds de 1900 (calcule a la temperature d’entree). Des fluctuations de grande amplitude se manifestent de facon sporadique, leur amplitude &ant variable ; elles sont separees par des phases temporelles que nous nommerons quasi stationnaires ou laminaires, de dukes Bgalement variables. Nous constatons un transport des fluctuations le long du conduit (voir encart de la figure 4) ; l’analyse des fonctions d’intercorrelation montre que leur vitesse de transport est Bgale a la vitesse moyenne du fluide. Une fluctuation demeure done dans le referentiel fluide, et son amplitude croit avec l’ecart de temperature (Th - Tb). Enfin, nous avons pu observer ce phenomene d’instabilite pour des valeurs du nombre de Reynolds aussi faibles que 450. Un diagramme de stabilite, dans le plan (Ra - Re) a ainsi pu &tre Btabli (Abid et Papini, Q paraitre). La figure 5 represente l’evolution de la temperature pour le haut et le bas dune section droite, lors dune fluctuation. 11 est a noter que, lorsque le minimum (que nous noterons pi) de la temperature est atteint pour le haut, la temperature du bas a pratiquement retrouve son niveau initial. En regle g&r&ale, le bas est le siege de fluctuations de faible amplitude correlees avec celles se produisant en haut de la section droite (Abid et Papini, 1997a). Nous pouvons egalement remarquer qu’il existe deux constantes de temps propres a ce phenomene, la premiere, correspondant au refroidissement de la paroi jusqu’au minimum Pi, de l’ordre de la seconde, et la deuxieme, correspondant au retour a l’etat stationnaire, de l’ordre de la dizaine de secondes. 818

Fig 5. &olution le haut et le z = 80 cm). Fig 5. Evolution for the top and

5

expdrimentale bas d‘une

IO T.mps(s)

d’une section

20

I5

fluctuation droite (Re

of a fluctuation on the wall the bottom of a cross section

pour

= 1 850,

temperature

(Re = 1 850).

Le signal correspondant a la variation temporelle de la temperature de paroi est alors confine entre deux limites, inferieure T,,,f et superieure T slLp (fig 6). Nous pro&dons, pour chaque valeur de la temperature seuil T,, telle que T, varie entre T,,, et TsUp, au comptage du nombre n des phases temporelles, dites laminaires, telles que la temperature de paroi soit superieure a Ts (les valeurs de n dependent de la longueur du signal enregistre). A titre d’illustration, la figure 7 presente les diagrammes n = f(T,) relatifs a diverses totes z, les signaux correspondants Qtant enregistres simultanement (dans ce cas, l’allure de ces courbes est independante de la longueur du signal trait& celle-ci &ant assez importante pour que la distribution soit statistiquement correcte). Dans ces conditions, nous observons, quand la tote z croit, la formation dun intervalle AT, de valeurs de T, tel que le nombre de phases laminaires n reste pratiquement constant. Ceci traduit le fait que, dans cet intervalle, il n’y a pas de minima Pi ; compte tenu du transport des fluctuations dans le conduit, ceci signifie que leur creation se situe au debut de la zone chauffee, dans un domaine oti les contraintes de cisaillement, entre elements fluides, ne sont pas suffisamment stabilisantes. Par ailleurs, si l’on considere que l’ensemble des minima pi constitue l’espace des solutions dun probleme instationnaire (a l’exclusion des phases de descente et de remontee de la temperature qui representent les liaisons entre ces solutions), l’intervalle AT, defini ci-dessus peut 8tre considere comme une e< bande interdite>>, par analogie avec la meme notion introduite en physique du solide pour les etats d’energie. En resumant la description physique (Abid et Papini, 1997b), on peut dire que les fluctuations sont initiees par une instabilite primaire d’origine thermique ou hydrodynamique ; cependant, elles sont regies par un mecanisme propre a la convection mixte faisant intervenir ses deux composantes,

Developpement

d’instabilites

thermiques

dans

un ecoulement

horizontal

en convection

mixte

: le point

de vue

Tsi + 4ATs

de Lagrange

---> n = I

Te+ATs--->n=7

63

Tsi ---> n = 4

61

20

0

40

60 Temps

Fig Fig

6. holution 6. Evolution

expirimentale d’un of a wall temperature

signal temperature signal showing

80

120

(s) the

de paroi locating

avec positionnement of the threshold

5

16ca

1zal

E

100

n

de /a temperature temperature T,.

seuil

T,.

SIMULATION DU PHtNOMENE PAR UN MODkLE NON LlNiAlRE : L’APPROCHE <,

8W

400

0 53

58

68

63 Ts (“Cl

Fig 7. Diagrammes diffe’rentes cores Fig 7. n = various axial

f(T,)

(Re

n = f(T,) = 1 900).

diagram coordinates

of

des the

tempe’ratures wall

temperature

pour for

(Re = 1 900).

forcee et naturelle. Ceci donne alors lieu coexistence de deux effets antagonistes :

a la

- un effet destabilisant, correspondant a une variation brusque du profil des vitesses longitudinales, qui tend a retrouver un profil de Poiseuille (solution imposee par la forme cylindrique du conduit), parallelement a une disparition des vitesses transverses ; - un effet stabilisant, correspondant aux ecoulements secondaires qui, sous l’effet de la chaleur apportee, tendent a conserver ou a retrouver leur structure initiale (reconstitution des vitesses transverses).

Nous savons, de par les resultats experimentaux, que les Btats thermiques instables ne surgissent pas aleatoirement a la tote z, mais resultent dun transport le long de l’ecoulement, ce qui montre que les fluctuations Bvoluent dans le referentiel du fluide. L’ecoulement principal peut done etre consider6 comme a l’origine de la construction de ces Btats, et ceci depuis l’entree du conduit. Ainsi, tout element de volume fluide y pen&rant se place dans le referentiel moyen de l’ecoulement et va evoluer avec le temps lagrangien, c’est-a-dire avec Yenergie fournie. Le probleme consiste alors a elaborer un modele reduit permettant de rendre compte du phenomene d’intermittence et de sa construction progressive lors du transfer-t des elements fluides dans le conduit; il s’agit done, au depart, dune approche lagrangienne. Nous allons, de plus, faire l’hypothese que la modification du profil des vitesses longitudinales, lorsque z augmente, est le resultat dune application non lineaire qu’il est necessaire de mettre en evidence. A une tote z, le profil obtenu est le resultat de la distorsion progressive du profil initial, c’est-a-dire du profil de Poiseuille a l’entree de la zone chauffee. Dans ces conditions, on definit une fonction caracteristique FC permettant de passer dune tote z a une tote (z + dz). En toute rigueur, 819

C Abid,

cette fonction depend des coordonnees r et 8 dans chaque section droite. On peut ainsi ecrire le profil B la tote z comme I’iteration sur un operateur ou une application FCrs~, definie pour chaque tote intermediaire z,, soit, pour une tote d’observation z : Profil(z)

= Profil(z

= 0) n

FC,.,,(z,) /

On presume alors que l’ensemble des fonctions caracteristiques peut s’appliquer aux autres grandeurs representatives du probleme, telle la temperature de paroi. Dans ces conditions, on est done capable d’effectuer une description des phenomenes thermiques et hydrodynamiques a toute tote z, ce qui permet de suivre leur evolution lors du deplacement dun element fluide le long du conduit. Pour conforter ce raisonnement, la puissance fournie a la paroi Btant uniforme et imposee, on peut dire, de facon simplifiee, que le profil des vitesses longitudinales est la seule autre grandeur caracteristique permettant d’acceder aux vitesses transverses, par la relation d’incompressibilite, et aux temperatures, par la conservation de l’energie.

5.1. CONSTRUCTION DVJNE FONCTION CARACTERISTIQUE FC(z) Tout se passe done comme si, dune tote z a une tote (z + dz), il existait une fonction caracteristique FC(z) qui contrble le phenomene. Pour Bvaluer cette fonction, il suffit done de tracer le profil des vitesses a la tote (z + dz) en fonction de celui obtenu a la tote z. En fait, le profil est fonction des coordonnees cylindriques 0 et r, ce qui conduit, en toute rigueur, a considerer le probleme tridimensionnel complet. A ce niveau, l’exploitation requiert done un certain nombre de simplifications : - tout d’abord, nous ne considererons que le profil passant par le haut et le bas dune section droite (c’est-a-dire dans le plan vertical principal ou les fluctuations ont respectivement la plus grande et la plus faible amplitude) ; ceci peut 8tre argumente car l’on sait, par ailleurs, que la connaissance des temperatures Th et Tb permet d’acceder a l’ensemble des temperatures de paroi sur une section, de par la forme gaussienne de leur distribution (Abid et Papini, 1997a) ; il y a done, a ce niveau, une notion de modele reduit a deux temperatures, qui peut &tre introduite et &endue a la grandeur vitesse longitudinale, pour laquelle on recherchera aussi deux valeurs caract&istiques ; - par ailleurs, nous envisageons la partie superieure de ce profil puis, de facon separee, la partie inferieure ; - enfin, les constantes de temps propres a une fluctuation ne seront pas prises en compte dans une telle approche ; de cette facon, les temperatures correspondant aux minimums des pits Pi et au regime quasi-stationnaire sont considerees comme les solutions dune application non lineaire operant progressivement depuis l’entree du conduit jusqu’a 820

F Papini

une tote d’observation z donnee. Le fait de ne pas prendre en compte ces constantes revient a ne plus disposer d’echelle de temps physique ; ceci conduira a exploiter le modele uniquement par des statistiques sur les evenements (solutions successives). Ainsi nous disposerons dun outil de comprehension au detriment des aspects purement quantitatifs. En particulier, comme nous l’avons signal6 dans l’introduction, il ne sera pas possible, avec cette analyse simplifiee, de rendre compte directement des interactions entre le haut et le bas dune section droite, puisque ces deux parties sont traitees separement. Pour mener a bien cette investigation, nous avons utilise les resultats de la modelisation numerique dont la validation a et6 effectuee par ailleurs (Abid et al, 1994). Pour illustration, la figure 8 donne la fonction permettant de passer de la tote amont (11 cm) a la tote aval (12 cm), pour la par-tie haute de la section droite. Pour etablir cette figure, la vitesse maximale du profil a ete normee a l’unite. Ainsi, on met en evidence un polynome du troisieme degre, defini a partir de la grandeur notee I, ainsi adimensionnee, que l’on nommera <(fonction caracteristique a la tote z >a,FC( 2). En toute rigueur, il aurait fallu faire cette recherche entre deux totes infiniment proches. Ceci n’aurait pas change l’allure de ces fonctions, ni le principe de I’analyse. Un tel polynome permet de traiter l’espace des valeurs de la vitesse longitudinale, a la tote z, pour obtenir le nouvel espace a la tote (z + dz). Dans la zone A, les coefficients a, b et c du polynome sont alors des fonctions de z (s’il n’y avait pas de deformation du profil avec z, toutes les courbes seraient confondues avec la premiere diagonale) et, de plus, leur somme est forcement egale a l’unite, la valeur z = 1 etant toujours solution du probleme (z = 0 &ant aussi solution ; il n’y a pas de terme constant). Les polynomes ainsi calcules presentent trois points d’intersection avec la premiere diagonale, en X0 = 0, XI = 1 et X:! = -1 ~ b/n. Ces intersections sont des points fixes qui peuvent Ctre stables ou instables ; la propriete de stabilite &ant acquise, ils sont alors points d’accumulation, au sens ou tout &art a la valeur correspondante sera annul& au tours des iterations suivantes. Dans ces

x(i+l)=

0.3011~(i)~-O.4618~~)2+

1.1508x(J)

0.8 I

0.6 !

x(i): wtesse (nomdm&3)~lacote z = I1 cm x(i+l) : vitesse (normah&) 2 la tote z = 12 cm 0

0.2

04

0.6

0.8

I

X0)

Fig

8. Ddtermination

de la fonction

Fig

8. Determination

of the

characteristic

caract&istique function

FC. FC.

DCveloppement

d’instabilitPs

thermiques

dans

un ecoulement

conditions, un point d’accumulation est reprksentatif du r&ime quasi stable. Notons que cette stabilit6 peut &re mise en Evidence de faGon analytique ou numkique, ce que nous verrons ultkieurement - pour le traitement analytique, il suffit que la pente de la courbe, exprim6e au point fixe, soit ou non supbrieure & l’unitk (Berg6 et al, 1988). La figure 9 donne un exemple de variation du point d’accumulation ~2, en fonction de Z, pour les parties haute et basse d’une section droite. Nous pouvons noter que, pour la partie haute, la valeur de ~2 croit avec z alors que pour le bas la valeur de X2 reste pratiquement constante (on constate une certaine similarit de comportement avec, respectivement, T,, et Tb lorsque z varie).

0.6 i

.

2 0.4

.

(

.

horizontal

en convection

mixte

: le point

de vue

de Lagrange

Huerre, 1987). Pour chaque valeur de i, nous avons done la suite des op6rations suivante :

S(1) = a T-(i)” + b r(i)” + c T(i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..t................... S(k) = a S(k - 1)3 + b S(k - 1)” + c S(k - 1) Y(i)

= S(k)

On peut ainsi construire un signal temporel Y(i) simulant 1’6volution de la tempkrature de paroi T(t), toute solution Y(i), y compris la condition initiale, &ant alors normke dans son espace de variation, soit entre 0 et 1. En utilisant la fonction caract&istique obtenue pour la partie supkrieure, la figure 10 montre 1’Bvolution du signal reconstruit pour divers polyn8mes relatifs B diverses totes 2, le nombre d’it6rations k &ant le m6me dans tous les cas. On retrouve ici la variation de l’amplitude du regime quasi-stable, selon le polyname consid&% ; cette variation est conforme B celle de la figure 9.

. 0.2

.

.

Fig 9. gvolution de la tote, pour

du point d’accumulation le haut er le bus d’une

Fig 9. Evolution of the accumulation axial coordinate for the upper straight cross-section.

and

X2 section

en fonction droite

point X2 versus lower part of

the the

5.2. PROPRI~T~S DE LA FONCTION CARACTkRISTIQUE Une premiere Btape dans la caractkrisation des propri6Ms consiste alors ?i effectuer k iSrations sur les poly&mes, indkpendamment les uns des autres, avec comme condition initiale un nombre aleatoire r(i) pris dans une suite reprkentative des diffkrents 61Bments fluides entrant successivement dans le conduit ; un accroissement d’une unit6 de la valeur de i correspond alors A une augmentation du temps At ; rappelons que la correspondance entre le pas de temps At et l’accroissement de la valeur de i n’est dkfinie que lorsque l’on discretise un phenomene instationnaire, correspondant h une constante de temps physique du problkme, ce qui n’est pas le cas ici. L’utilisation d’un nombre albatoire B l’entrke permet cependant de rendre compte de la disparitk des BlCments fluides entrant dans le conduit et de leur structuration progressive par l’kcoulement. Notons que la structuration d’un bruit & l’entr6e a CtB Btudi6e par ailleurs Q partir de l’bquation g&k-ique de Ginzburg-Landau (Deissler, 1989 ;

Fig 10. .!%olution de signaux obtenus avec diffirents polyn8mes, pour /a partie haute d’une section droite, relatifs aux totes : Q: : z = 1 et t = 2 cm ; ,L? : z = 4 et z= 5cm; x: Z= 11 et z= 12cm; S: Z= 16 et z= 17cm. Fig 10. Evolution of signals obtained by iteration on various characteristic functions, for the upper part of the cross-section, corresponding to the following axial coordinates: 01: z = 1 and z = 2 cm; p: z = 4 and z=Scm; x:z=ll and z=lZcm; 6:2=16 and z= 17cm.

La propri&C d’accumulation dBpend Bvidemment du nombre d’it6rations sur chaque polynSme, conformkment & la figure 11 oti nous avons construit plusieurs signaux Y(i) relatifs A diffkrentes itkrations k sur le meme polyn6me. Nous notons que la valeur quasi stationnaire est invariante, alors que le signal devient de plus en plus structurk lorsque k augmente, pour tendre ensuite vers un Btat quasi stationnaire ou laminaire. La m6me prockdure a Bt6 appliquke pour les polyn8mes relatifs B la partie basse de la section droite. Ainsi, la figure 12 reprkente plusieurs signaux construits pour divers polynbmes propres 821

C Abid,

Fig 11. Exemple d’&olution de diffirentes valeurs de k pour une (partie haute d’une section droite). Fig 11. Evolution of signals ations on the characteristic a cross section.

signaux fonction

obtained function

for

obtenus avec caracte’ristique for various the upper

I250

Fig 12. &olution polynbmes, pour relatifs aux totes 16cm;-y:z=ll

k iterpart of

1300

de signaux obtenus avec diff&ents la partie basse d’une section droite, : cy : z = 3 et 4 cm ; -p : z = 15 et etl2cm.

Fig 12. Evolution of signals obtained by iteration on various characteristic functions, for the lower part of the cross section, corresponding to the following axial coordinates: a: z = 3 and z = 4 cm; p: z = 15 and z= 16cm;r:z= 11 andz= 12cm.

B diverses totes z. Now remarquons d’une part que Y&at quasi stationnaire est situ6 autour de la valeur unite, ce qui montre que le point d’accumulation est dans ce cas X1 et non pas X2 ; de ce fait, le rkgime quasi-stationnaire est indbpendant de Z, car indkpendant du polyn6me consid&& Ceci est conforme au comportement, en regime non fluctuant, de Tb en fonction de z, dans la zone A. La notion d’intermittence, ou plus exactement de potentialit d’intermittence, est clairement mise en Evidence par l’effet de la nonlin6arit6. Aller plus loin dans notre investigation va entrainer quelques difficult& d’exploitation, comme nous allons le constater. En fait, chaque Bl6ment fluide entrant dans le conduit subit l’action de l’ensemble des polyn6mes successifs, en tenant compte des variations avec z des coefficients a, b et c. D’autre part, le nombre d’itkations k doit 6tre obligatoirement reli6 B la 822

F Papini

vitesse moyenne v du fluide et & la valeur de la tote d’observation Z. On atteint ainsi, B ce niveau, la limite d’exploitation du modtile, car la relation entre le nombre d’itkations, compte tenu de l’utilisation de l’ensemble des polynbmes, avec la vitesse et la tote, reste une inconnue. Ceci ne permettra d’effectuer qu’une Etude de comportement qualitative et, en aucun cas, une simulation quantitative. Ainsi, comme nous l’avons montrk, l’intermittence est structurbe pour un domaine de valeurs de k, au-dell duquel on tend & retrouver l’6tat stationnaire. Si l’on s’en r6fere B l’expkrience, au-de& de la zone A, les profils de vitesse longitudinale deviennent indbpendant de Z, ce qui correspond & des fonctions FC assimilables & la premike diagonale. Ainsi, lorsque z augmente, la structuration de l’intermittence peut ne pas atteindre l’6tat quasi-stationnaire, malgrk l’augmentation de k, les polyn8mes devenant inopkants. Par contre, si la vitesse du fluide diminue, le temps de sbjour d’un Blkment fluide augmente, ainsi que la valeur de k, pour une m6me tote z ; 1’6tat stationnaire est alors susceptible d’Ctre atteint, si cette valeur devient assez grande. Ce raisonnement permet de retrouver le fait que, lorsque la vitesse debitante dkroit, le nombre de fluctuations par unit6 de temps diminue et m&me s’annule. Par ailleurs, nous avons d6j& not.6 que, expkimentalement, il existe un intervalle de tempkature AT,, caract&i& par un nombre de phases laminaires constant que nous avons appelk c’ (fig 7). Les signaux obtenus par le modkle simplifik ne refletent pas cet aspect. Cette dbfaillance est comprkhensible puisque, non seulement nous nous sommes limit& au profil des vitesses longitudinales dans le plan vertical, mais, de plus, nous avons trait6 s6par6ment la partie haute et la partie basse des sections droites, saris interaction possible. Nous avons done essentiellement dkmontrk le fait qu’il existait pour le haut et pour le bas une potentialit d’intermittence qui, de fagon intrinskque, prksente des caractiristiques satisfaisantes. Comme nous l’avons annon&, c’est en fait l’ensemble du profil tridimensionnel des vitesses longitudinales qui devrait Btre consid&& ceci constituant la seule fagon rigoureuse d’introduire une coherence entre phknomknes locaux dans une section droite. On peut comprendre qu’une telle cohkrence conduit B une s6lection des solutions intermittentes, en particulier en Bliminant celles qui sont trop proches du regime quasi stable, l’action des koulements secondaires Btant, dans ces conditions, encore p&pond&ante. 11 est alors possible de rendre compte de cette action, de fagon simple mais plus artificielle, en introduisant une contrainte sur les solutions. Enfin, l’allure des signaux expkimentaux, pour le haut et le bas de la section droite, n’est pas la m&me d6s lors qu’ils sont rep&en% sur une Bchelle unique de temperature (fig 5). Le modele les dissocie, au moins au niveau de la reprbsentation, puisqu’il n’est pas possible de les construire simultankment et que chacun dispose de sa propre Bchelle adimensionnbe ; la comparaison, & travers la grandeur physique tempkrature, n’a ainsi plus

Developpement

d’instabilites

thermiques

dans

un ecoulement

de sens. C’est done le phenomene intermittent qui est traduit par le modele, a partir dune non-linearite contenue dans les caracteristiques du regime laminaire. La contrainte est simulee a l’aide dune condition supplementaire sur l’existence des solutions intermittentes, autour du point d’accumulation. Ainsi, pour chaque valeur de i, il s’agit, a chaque iteration sur k, d’imposer un retour a l’etat quasi stationnaire pour toute solution intermittente non suffisamment Bloignee de cet &at. Dans ce cas, on peut tier une distance minimale des solutions intermittentes par rapport au regime quasi stationnaire, distance que l’on notera E et qui peut etre aussi petite qu’on le souhaite. La figure 13 presente le diagramme 72= f(K) pour un signal modelise avec une contrainte, independante de la tote Z, telle que E = 0,001 (dans ce calcul i = 10000 et k = 150) ; comme on peut le constater, cette operation permet de restituer la notion de <
horizontal

en convection

mixte

: le point

de vue

de Lagrange

l’amplitude des pits est similaire pour le modele lagrangien et l’experience. Cependant d’autres proprietes ne sont pas explicitement retrouvees, comme la notion de bande interdite. En outre, un tel modele ne permet pas de mettre en evidence l’origine << microscopique >>des fluctuations, mais seulement une potentialite dintermittence. 11 n’a en effet nullement vocation a une description fine du phenomene d’instabilites thermoconvectives. Neanmoins, dune facon qualitative, on montre comment une non-lineairite, contenue dans le regime stable ou laminaire, entraine la structuration dun bruit a l’entree, ce dernier &ant inherent a la nature dun Bcoulement ouvert, par renouvellement des elements fluides. Le traitement de temperatures adimensionnees conduit alors a une simulation satisfaisante des comportements. Le passage a des grandeurs dimension&es ne fait intervenir que l’evolution, avec la tote, de l’ecart des temperatures entre le haut et le bas dune section droite, ce qui peut etre consider-6 comme une simple dilatation de l’espace des solutions. On peut ajouter pour terminer qu’une description selon le point de vue d’Euler a et6 developpee par ailleurs, le comportement dynamique &ant reconstruit a l’aide dune application de Henon modifiee (Abid et Papini, a paraitre). Ainsi, que ce soit dans le referentiel du laboratoire ou dans celui du fluide, les deux approches permettent de mettre en evidence l’effet dune non-linear&? a partir dune instabilite primaire.

t RfiFiRENCES

0.48

0.52

Fig with

TI = f(Y,) ou sans

13. 12 = f(YS) diagram and without constraint.

6I

of

d’un prise modelled

C (1993) La convection mixte dans horizontal. lnstabilites thermiques dans cc laminaire-turbulent )). These de doctorat, d’Aix-Marseille

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Abid

C, Papini F, Ropke A dans un conduit horizontal de convection mixte. lntj

0.56

YS

Fig 13. Diagramme mode’lisation avec contrainte.

Abid

signal obtenu en compte signals

par d’une

obtained

CONCLUSION

Le phenomene que nous venons de decrire est du type << instabilites convectives ‘a car ces dernieres croissent tout en Btant transportees le long du conduit (Huerre et Monkewitz, 1990 ; Maneville, 1991). On montre ainsi que l’existence dune nonlinear&e (a l’origine de la deformation du profil de vitesses longitudinales) permet de mettre en evidence un phenomene intrinsequement intermittent. De plus, qualitativement, la statistique sur

F (1997a) Potentialhe thermique comportant Int 1 Heat Mass Tran

d’instabilites dans deux temperatures 40, 1863-l 874

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: a Lagrangian

viewpoint

ABRIDGED ENGLISH VERSION

Thermal

instabilities

for a horizontal

flow in mixed

This paper deals with thermal instabilities in conditions of mixed conuection. This instability manifests itself through large amplitude temporal fluctuations of the wall temperature. We demonstrate that these fluctuations occur during the propagation of a fluid element due to a non-linearity in the laminar state. This non-linearity appears in the spatial evolution of the longitudinal velocity profile. A model based on a Lagrangian viewpoint allows us to recover the main characteristics of the experimental signal. We study a single phase fluid flow (water) in a cylindrical horizontal duct uniformly heated at the wall. The experimental results in the laminar state established that there was a temperature difference between the top and the bottom of the cross-section. At the bottom of a cross-section, the fluid in contact with the hot wall is heated and thus its density decreases, it then has a tendency to move upwards due to buoyancy effects while the heavier cold fluid moves downwards, This motion induces secondary flows which superpose on the main axial flow. We observe an instability phenomenon which manifests itself as large amplitude temporal fluctuations of the wall temperature. Figure 4 shows a signal which represents the temperature of the top and the bottom of a cross section for an axial coordinate .z = 80 cm and only the top for .z = 30 cm The amplitude of the peaks varies in time. Furthermore, the study of the temperature signals, corresponding to simultaneous records for different axial locations, shows an axial transport of the fluctuation. The experimental results show that at a given z coordinate the temporal signature of the temperature signal is a succession of stable and unstable solutions. Let us consider how a fluid element conveying through the duct causes at a given coordinate a stable solution (steady state) or an unstable one (fluctuation). One 824

convection

can imagine that fluid elements entering inside the duct are similar except for very small differences due to random noise. We make the assumption that when a fluid element is conveyed inside the duct, an iteration occurs on a non-linear function which models its passage from z to (z + dz). This characteristic function FC(z) can be obtained using the longitudinal velocity profiles. In order to identify this function we have to plot the velocity profile at (z + dz) versus the profile at z. At a given position in the tube, this profile is a function of the cylindrical coordinates (0,r and 2). If we consider the entire profile we obtain a threedimensional problem which is very difficult to solve. Such a complexity can be avoided if we focus on the profile in the vertical plane on the centreline. We will then examine separately the upper and the lower parts of it. Figure 8 displays, for the upper part the function which models the passage from the coordinate z = 11 cm to the coordinate z = 12 cm. It is a third order polynomial whose coefficients a, b and c are functions of z. One notices that each polynomial has three accumulation points which are located on : X0 = 0, X1 = 1 and Xz = 1 - b/a. Figure 9 shows the variation of XZ versus z for the upper and lower parts of the profile. We observe that for the upper part, the X2 value increases when z increases whereas for the bottom the X2 value remains

constant.

Using this characteristic function we can generate a signal at a z coordinate. For that, we make k iterations of this function on a sequence of i random numbers. This set corresponds to the random noise entry conditions. Now consider figure 11 where we investigate for the upper part the influence of the number of iterations k on the same polynomial. We notice that the value of the stationary state remains

Dkveloppement

d’instabilitks

thermiques

dans

constant and there is an accumulation stationary state when k increases.

un koulement

around

this

We can observe for both the upper and lower parts that the behaviour of signals is not random which denotes that a structure evolves during iteration on the polynomial. The Lagrangian model leads to results which are qualitatively similar to the experimental results. However, it could not exhibit the existence of a csforbidden gap )B. We have to point out that we only studied the longitudinal velocity profile in the vertical mid-plane and we treated the upper and the lower parts separately. Elsewhere, we have seen that when a fluctuation occurs there must be a correlation between the top and the bottom. So the whole three-dimensional profile of the longitudinal velocity

horizontal

en convection

mixte

: le point

de vue

de Lagrange

should be considered. Nevertheless, this simple procedure allows us to demonstrate that this system is able to be intermittent and that the characteristics of intermittency agree with experimental results. The Lagrangian viewpoint enables us to show that there is a non-linearity in the laminar state which is sufficient to provoke an intermittency phenomenon. It is also clear that the forbidden gap is the result of an internal selection of the solutions which makes the phenomenon coherent for the entire three-dimensional component of the profile. This property is difficult to implement directly, however we can introduce a constraint in the model so that the solutions which are not too far from the steady state return back to it.

825