Convection naturelle dans une cavité carrée avec des parois verticales soumises à des températures périodiques

Rev. Gin. 0 Elsevier.

Therm. Paris

(1998)

37, 788-800

Convection naturelle dans une cavitk carrke avec des parois verticales soumises ides temphatures pkriodiques Btissam Abourida, DtTpartement

de physique,

Mohammed

LMFE, faculte

(Recu

des sciences

Semlalia,

le 15 septembre Abridged

French

Hasnaoui”,

1997, version

Samira Douamna

UniversitP

accept6

Cadi-Ayyad,

le 5 f6vrier

BP S- 15, Marrakech,

Maroc

1998)

at the end of the text

Abstract-Natural convection in a square cavity with vertical boundaries submitted to periodic temperatures. The laminar natural convection in a square cavity submitted to different heating modes on its vertical wails, is investigated numerically. The temperature of the heated wall is varied sinusoidally with time while the temperature of the opposite vertical wall is either maintained constant or varied sinusoidally with time. The parameters of the study are the amplitude of the variable temperature(s) (0
convection

/ numerical

study

/ square

R&urn& - On etudie numeriquement la de chauffage par les &es. La temperature la paroi opposee est maintenue constante adimensionnelle de la (des) temperature(s) Rayleigh (lo4 5 Ra 5 106) et le nombre de des deux temperatures imposees offre la 6? Elsevier, Paris convection chaleur

naturelle

/ etude

numerique

cavity

/ variable

a

H’ L’ Pr Q

Ra t

T

/ periodic

/ caviti

carree

/ chauffage

variable

AT’

rapport de forme de la cavite L’/H’ = 1 amplitude adimensionnelle de la (des) temperature(s) variable(s) [a’/(TL - FL)] hauteur de la cavite.. largeur de la cavite nombre de Prandtl (= U/Q) quantite de chaleur adimensionnelle nombre de Rayleigh (= g/? AT’H’3/u~) temps adimensionnel (t’/(H’2/a)) temperature adimensionnelle (= (T’ - T;)/AT’)

(%W) (X,Y) m 111

Symholes cr

a P u P

P 9

* Correspondance 788

et tires-a-part.

temperatures

/ dephasing

/ heat

transfer

convection naturelle laminaire dans une enceinte carree soumise h differents modes de la paroi chauffee varie de facon sinuso’idale dans le temps, alors que celle de ou varie sinuso’idalement dans le temps. Les parametres de I’etude sont I’amplitude variable(s) imposee(s) (0 5 a 5 0,8) et sa (leur) periode 7 (0,001 < r 5 l), le nombre de Prandtl (Pr = 0,7). Pour des combinaisons adequates de ces parametres, la variation possibilite de controler le transfert thermique a travers la paroi froide de la cavite.

Nomenclature A

heating

/ temperatures

periodiques

difference de temperature (= T; -Tb) vitesses adimensionnelles axes (x,y) (= (u’,d)/(cr/H’)) coordonnees Cartesiennes nelles (= (x’,y’)/H’)

/ dephasage

suivant

/ transfert

de

les

adimension-

grws

diffusivite thermique coefficient d’expansion thermique fluide viscositd dynamique. viscosite cinematique. densite volumique. dephasage entre les deux temperatures iniposdes cp = 0 ou 7t fonction de courant adimensionnelle (= P/cl)

lT12.S-1

du K-l kgn-r.ss’

m2 .s-

kg.rn3

1

Convection

naturelle

Te

Exposants variables dimensionnelles grandeurs moyennes

ill, Indices C

k r max min

une

cavitk

carrke

dune maniere continue dans le temps, sont beaucoup moins nombreuses. Ainsi, Vasseur et Robillard [6] ont etudie la convection naturelle transitoire dans une cavite soumise & une diminution continue de la temperature & des taux constants. 11sont montre qu’apres un temps suffisamment long la solution devient quasi stationnaire, caracterisee par un champ de vitesse independant du temps et une difference de temperature constante entre le fluide et la paroi. De leur cot& Schladow et al. [7] ont etudik le cas d’une cavite soumise a une temperature qui augmente linkairement & chaque pas de temps. Les deux simulations considkrees (numerique et experimentale) montrent que l’ecoulement et le champ de temperature sont t&s peu affect& par ces conditions aux limites variables. Les problemes considerant des conditions de chauffage periodiques dans le temps n’ont BtB trait& que t&s recemment. Ainsi, Kazmierczak et Chinoda [8]

vorticitk adimensionnelle (= Q’W2/a) pkriode adimensionnelle de la (des) tempkrature(s) variable(s) (= T’/(IP/cx)) pkriode adimensionnelle de l’bcoulement

R

T

dam

paroi chaude Ccoulement paroi froide resonance valeur maximale valeur minimale

ont

Btudie

numeriquement

l’effet

dune

temperature

Durant les dernieres decennies, de nombreuses equipes de recherche se sont interessees a l’etude de la convection naturelle dans des milieux confines. Cet inter&t resulte de l’importance de ce mode de transfert de chaleur dans divers domaines de l’ingknierie, tels que le design thermique de l’habitat, le stockage de l’energie thermique, les collecteurs solaires et, plus recemment, le refroidissement des composants electroniques. Une partie importante des etudes publiees dans ce domaine sont resumees par Bejan [l] et Yang [2]. Malgre leur diversites, on remarquera qu’elles considerent pour la plupart des conditions aux limites thermiques constantes (temperature ou flux de chaleur constants). Pourtant, dans de nombreuses situations pratiques, les conditions aux limites thermiques sont variables dans le temps. C’est le cas des composants electroniques qui dissipent des puissances d’une man&e intermittente lors d’un fonctionnement en mode on/off. Par consequent, la connaissance des mecanismes de transfert de chaleur par convection naturelle transitoire s’avere necessaire, d’autant plus qu’il est impossible de predire le comportement d’un fluide soumis a des conditions de chauffage variables a partir des resultats obtenus avec des conditions de temperature ou de flux imposes constants. Malgrk ces etats de fait, tres peu de travaux ont et6 consacres a l’etude des cavites

variant sinuso’idalement dans le temps sur l’ecoulement du fluide et le transfert de chaleur dans une cavite car&e. Leur etude s’est restreinte a un nombre de Prandtl Pr = 7 (eau) et un nombre de Rayleigh Ra = 1.4.105. En considerant quelques valeurs de l’amplitude et de la periode, ils ont montre que le transfert de chaleur moyen dans le temps est pratiquement insensible au changement periodique de la temperature parietale. En ce qui concerne le cas dune cellule chauffee par le has de facon transitoire, on citera l’etude experimentale realisee par Mantle-Miller et al. [9]. Ces auteurs ont montre que le taux de transfert thermique ne varie de maniere significative, par rapport au cas du chauffage constant, que pour des amplitudes de la temperature chauffante dkpassant de 30 % la difference de temperature moyenne. De plus, ils ont rapport& que le transfert thermique est faiblement influence par la periode de la temperature excitatrice dans la gamme de periodes considerees (43 min 5 T 5 93 min). Pour une gamme plus large de periodes, Lage et Bejan [lo] ont entrepris une investigation numerique et analytique de la convection naturelle dans une cavite car&e refroidie isothermiquement par un tote vertical et chauffee a l’aide d’un flux de chaleur pulsatoire par le cot6 oppose. Cette etude a vise principalement la determination des combinaisons particulieres des parametres de base qui engendrent un phenomene de resonance au sein de la cavitk. 11s ont montre que ce phenomene est lie a une frkquence critique du flux de chaleur impose et que cette derniere depend fortement des nombres de Rayleigh et de Prandtl. Plus recemment, une etude comparative de la reponse dune enceinte soumise a deux types d’excitations thermiques variables (sinuso’idale et pulsatoire) a 6te me&e par Lakhal et al. [ll]. Ces

soumises

auteurs

1. INTRODUCTION

a des

conditions

aux

limites

thermiques

variables dans le temps. Dans ces quelques travaux, on considere

le cas d’une cavite dont l’une des parois est

soumise a une temperature qui varie de facon brusque dans le temps (Patterson and Imberger [3], Nicolette et al. [4] et Hall et al. [5]). En revanche, les etudes s’interessant aux conditions aux limites thermiques plus realistes,

comme

le cas dune

temperature

variant

ont montre

que le chauffage

pulsatoire

est plus

favorable au transfert thermique et que la periode de resonance est independante de la nature de l’excitation. Signalons enfin que tous ces travaux relatifs a la convection naturelle transitoire due a des conditions aux limites thermiques variables dans le temps ont consider6 des enceintes dont la temperature de la paroi froide est maintenue constante. 789

B. Abourida

Le but de la presente etude consiste done a faire ressortir les differences engendrees par la variation simultanee des deux temperatures imposees (chaude et froide) par rapport au cas d’une seule temperature variable et a celui du chauffage constant (deux temperatures constantes). Les evolutions sinusoidales de ces deux temperatures donnent lieu a plusieurs combinaisons possibles entre elles. Ainsi, dans le but de reduire le nombre 61ev6 de parametres, on se limitera aux cas oti ces deux temperatures, ayant memes amplitudes et memes periodes, evoluent en phase ou en opposition de phase l’une par rapport & l’autre. On ktudiera ainsi l’influence des parambtres lies aux temperatures excitatrices (amplitude, periode et dephasage) et celle du nombre de Rayleigh sur les comportements dynamiques et thermiques du fluide caloporteur (air).

2. FORMULATION

et al.

~~////////N//////////i//N

g=o7

///I////

A . . . .

iH .

Tc

TF

*

IY,V

. . L. x,u. . . . . L. . . . . . . . . . 1 Paroi adiabatique

MATHEMATIQUE

La configuration etudiee et les allures des temperatures imposees sont reprbentees respectivement par les figures la et 1 b. 11 s’agit dune cavite carree dont les parois horizontales sont adiabatiques. La temperature TC de la paroi verticale gauche (paroi chaude) varie de faoon sinuso’idale dans le temps, alors que la paroi opposee (paroi froide) est maintenue a une temperature TF, qui peut etre constante ou bien varier de la meme man&e que Tc. Ces deux temperatures peuvent evoluer en phase ou en opposition de phase l’une par rapport & l’autre. Le modele mathkmatique utilise est base sur l’hypothese d’un Bcoulement bidimensionnel. On suppose egalement que le fluide ktudie est incompressible et obeit & l’approximation de Boussinesq. Moyennant ces hypotheses simplificatrices et d’autres generalement admises, les equations adimensionnelles regissant le probleme, &rites en utilisant les variables P (fonction de courant), R (vorticite) et T (temperature), sont :

A

‘Kc= 1 + a sin(2n t/z)

TF=a sin(2nt /z+q) TemDs Figure ques.

I. a) Configuration

Figure tions.

1. a) Geometry

6tudike of the

et

problem

b) excitations

thermi-

and

excita-

b) thermal

avec T,, = asin(27tt/r) et T,,, = 0 si on fait varier la temperature chaude uniquement ; T,,, = T,, si les deux temperatures imposees Bvoluent en phase, ou bier1 T exl - a sin(2Rt/r + 7c) si elles evoluent en opposition de phase.

!?Z+“““=-fl

(3)

dY2

dP ~=---;‘u=-d!P (4) 8X dY Sur les parois de la cavite, les conditions aux limites hydrodynamiques s’expriment par u = v = !P = 0 (absence de glissement sur les parois et impermeabilite de celles-ci). Les conditions aux limites thermiques sont : T = 1 + T,, T = T-a,

790

pourz=O pourz=l

et O
>

(5)

3. TRANSFERT

THERMIQUE

A chaque instant, la quantite de chaleur moyenne, evacuee a travers la paroi froide de la cavite, est definie par :

En regime periodique etabli, la quantite de chaleur moyenne quittant la paroi froide est Bvaluee sur une

Convection

periode de l’kcoulement, suivante : QF = $

naturelle

au moyen de l’expression re QF(~) dt I

(7)

0

avec TV designant la periode de l’ecoulement. Elle est identique a r pour la gamme de parametres consider& dans cette etude.

4. MkTHODE

DE RtSOLUTION

Les equations de transport de vorticite et d’energie (equations (1) et (2)) sont disc&i&es par un schema aux differences finies, cent& et p&is au second ordre. Ces equations sont ensuite resolues par la methode implicite aux directions alternees (ADI). Cette mkthode classique est bien adaptke a ce genre de problemes et permet d’obtenir des systkmes d’equations dont les matrices sont tridiagonales et faciles a inverser par une methode de recurrence. Du fait de sa nature elliptique, l’equation de Poisson (3)) reliant la fonction de courant au rotationnel, est traitee par la methode iterative de sur-relaxation par point SOR (successive over relaxation) (121. A chaque pas de temps, on estime que l’equation de continuite est satisfaite lorsque les variations de 9 sur tous les nceuds du domaine sont inferieures a lop4 entre deux iterations successives. Les tests preliminaires concernant l’influence du maillage nous ont permis de retenir un maillage uniforme de 41 x 41 comme un bon compromis pour Bviter des temps de calcul excessifs en raison de la nature transitoire du probleme. Dans le tableau I on presente, a titre indicatif, la sensibilite des resultats au maillage, en considerant un chauffage constant et une autre variable avec un dephasage de 7~.Ce dernier mode de chauffage a Cte selection& pour le test du maillage, car il entraine d’importantes modifications dans la structure de l’ecoulement, particulierement pour T = 0,Ol et a eleve. Les differences maximales enregistrkes en passant d’un maillage de 41 x 41 a un autre plus fin de 51 x 51 restent en deca de 1,9 % et 1,5 % respectivement pour 9 et QF. Les pas de temps utilises sont compris entre lop6 et 5.10e5.

TABLEAU I / TABLE I Effet du maillage pour Pr = 0,7 et Grid size effect for Pr = 0.7 and

dans

une

cavite

carree

Le present code numerique est valid6 a partir des resultats de Kazmierczak et Chinoda [8], qui ont consider8 une geometric similaire avec une paroi froide maintenue a une temperature constante. Ainsi, pour Pr = 7, Ra = 1,4.105 et differentes valeurs de a et r, les differences maximales en&e les&sultats obtenus par les deux codes en termes de QF et p’,,, sont respectivement de l’ordre de 1,6 % et 1,3 %, comme on peut le voir sur le tableau II. D’autre part, on a pro&de a un bilan energetique dans le systitme etudie en comparant, a chaque cycle d’ecoulement, la chaleur moyenne fournie au fluide et celle perdue par le systeme a travers sa paroi froide. L’ecart maximum observe ne depasse pas 2 %. A noter que toutes les simulations numeriques sont initialisees en considerant un &at conductif et des conditions de chauffage constantes. Une fois le regime stationnaire Btabli, on introduit l’excitation thermique et on attend l’instauration d’un regime periodique. TABLEAU II / TABLE II Validation des resultats du present code avec ceux de Kazmierczak et Chinoda (1992) pour Pr = 7 et Ra = 1,4.105. Validation of the results of the present code with those of Kazmierczak and Chinoda (1992) for Pr = 7 and Ra = 1.4.105. a

0,2 0,4 0,8 0,4

7

0,Ol 0,Ol 0,Ol 0,005

5. RtSULTATS

Kazmierczak et Chinoda (1992) a, %,X 5,35 15,02 5,41 17,08 5,58 21,82 5,36 14,13

de la quantitd

0, 5,43 5,48 5,67 5,43

%nax 15,l 17,12 22,l 14,14

ET DISCUSSION

Dans cette section, on pdriode, de l’amplitude et les evolutions temporelles des fonctions de courant et

PrCsente Etude

presente les effets de la du mode de chauffage sur et les valeurs moyennes extremales (pm,,, IYmin),

de chaleur

evacuee

a travers

la

paroi froide de la cavite (QF). Des lignes de courant et des isothermes seront Bgalement produites au tours d’un cycle d’ecoulement pour chaque type de chauffage afin d’illustrer le comportement du fluide vis-a-vis de l’excitation thermique imposee. Les

Ra = 106. Ra = 106.

Chauffage variable (‘p = 7~) Chauffage constant Ra = lo6 Ra = 106, a = 0,6, r = 0,Ol !Pmax,max ~rnax Q~,max 0, Psimax QF 31 x 31 18.1 9,75 61,8 28,3 23,5 10.98 Maillage

41 x 41

17,4

9s

62.38

28,44

23,6

lo,57

51 x 51

17,l

9,37

62,6

27,89

23,4

10,55

solutions numeriques sont obtenues pour lo4 5 Ra < 106, 0 5 a < 0,8, 0,001 5 r 5 1, ‘p = 0 et 7c et Pr = 0,7 (air).

5.1. Influence

de la pbiode

Afin d’illustrer l’effet du parametre T, on presente les evolutions temporelles des fonctions G&,X, FFminet QF

791

B. Abourida

pour differents modes de chauffage, a = 0,8 et Ra = 10”. Ainsi, les figures 2a a 2c montrent les evolutions temporelles respectives de ces fonctions obtenues dans le cas de la temperature froide constante, pour 0,2 5 7 5 0,5. Les resultats present& mettent en evidence un effet evident de T sur les amplitudes des oscillations et montrent que toutes les solutions presentees sont periodiques, de periodes egales a celles de la temperature excitatrice. On remarquera que la nature sinusdidale des oscillations est conservee dans l’evolution de QF, mais pas dans celles de max et @min.En effet l’introduction de l’excitation fazrise la creation de l’koulement secondaire (@mi” # 0) durant une partie du cycle et complique la structure de l’ecoulement global par l’effet evident de sa periode sur les fluctuations des fonctions !&ax et @min. Dans la gamme 0,2 5 7 5 0,5, les amplitudes d’oscillation de J!&,, et @minsubissent des diminutions notables lorsque r croit, alors que celles de QF augmentent legerement avec T. Notons cependant que ces tendances ne sont pas T=OO %=0.2

32 c 28 1 b

g&r&ales, comme on le verra plus loin dans la discussion des valeurs moyennes. Pour les memes conditions que precedemment, on examine l’effet de la periode lorsque les deux temperatures imposees (Tc et TF) evoluent en opposition de phase. Qualitativement, les figures 3a a 3c montrent que les solutions obtenues sont periodiques, de periodes identiques a celles imposees aux temperatures excitatrices, et que, meme pour ce mode de chauffage, la fonct,ion QF conserve des oscillations de nature sinusofdale. Contrairement au cas d’une seule temperature variable, les amplitudes des fonctions presentkes restent tres proches pour les trois periodes considerkes quand les deux temperatures varient en opposition de phase. Une meilleure competitivite entre les cellules positives et negatives est observee dans ce cas et conduit k l’annulation de &,,, durant une partie du cycle. Pendant cet intervalle de temps, on assiste d l’instauration

40

‘t =OJ ‘5=o.s

-

et al

-..-..---

z ZOO ,.,...... ‘ts0.J _.._,._ t-0.2 ‘t =o.s - - -

30 2]

24 b

20

20 10

16

0

12

(al

-10 ,.,.‘.,.., -

%=OO z =0.2

2

‘L =()J z=o.s

z =oO

-..-..---

t -0.2

. . . . . . . 0 =0,3 'I;=03

- .--.

s-00

.

-..-.._

0 B

-9 -10 -20 (4

(b)

30 -

.,......,, -

z=OO 'L =0.2

't -0.3 ~ZO.5

-..-,.---

40

z co.2

. ..

‘t

-

=(-yJ

T=O.S

---

20 c* 2o

c* u

0

10

0 0

-20 I.

0.2 Figure 2. Effet de la temperature

*

0.4

0.6

*.

0.8

.

1

.

.

1.2

.

a.

1.4

I

de T pour a = 0,8 et Ra = lo6 dans le cas chaude variable : a) Pm,,,,(t), b) !Pmin(t) et

0.6

0.8

a) 9,,,(t),

Figure 2. Effect case of variable and d QF(~).

Figure 3. Effect two temperatures

792

T hot

for a = 0.8 temperature:

and Ra a) Pm,,(t),

= lo6 in b) Eli,

the

1.2

1.4

1.6

Figure 3. Effet de T pour a = 0,8 et Ra = lo6 des deux temperatures variant en opposition

C) QF(~). of

1

i-9 pmirr(t)

b) emin

1.8

2

dans le cas de phase :

et C) OF.

of T for a = 0.8 and Ra = lo6 in the case varying in opposition of phase: a) Pm,,(t),

and C) QF(~).

of

Convection

naturelle

d’un mode d’ecoulement unicellulaire caracterise par la presence d’une cellule negative. Notons enfin que la variation des deux temperatures imposkes avec un dephasage de 71 induit des valeurs negatives de la fonction QF durant une partie du cycle. Ceci s’explique par le fait que la valeur consideree de l’amplitude a est superieure a 0,5, ce qui permet, pendant une partie du cycle, a la temperature froide, d’avoir des valeurs plus Blevees que celles de la temperature chaude. Le transfert de chaleur s’effectue ainsi de la paroi froide vers l’interieur de la cavite dbs que cette paroi devient plus chaude que le fluide avoisinant. Le dernier mode de chauffage consider6 consiste a faire evoluer en phase les temperatures des deux parois actives (figures 4a et 4~). Les variations temporelles de pm,,, @min et QF pour Ra = 106, a = 0,8 et 0,2 5 r SO,5 montrent que, dans ce cas aussi, seul QF conserve l’allure sinusdidale et la periode imposees aux temperatures excitatrices, alors que !&,, et @min varient pdriodiquement avec une periode moitie de celle imposee. Pour toutes ces fonctions, les amplitudes des oscillations diminuent lorsque r augmente dans la marge des periodes considerees. 11 est interessant de signaler que, pour ces trois modes de chauffage, les effets les plus importants de la periode T ont 6te enregistrb pour des valeurs faibles de ce parametre (T < 10-l). Cependant, c’est par commoditk que T E [0,2 ; 0,5] a kte choisi pour illustrer les evolutions temporelles des fonctions etudiees ; on montre que, meme pour cette gamme de periodes, d’importantes differences qualitatives et quantitatives sont encore observees.

5.2. Lignes

de cow-ant

et isothermes

Afin de mieux comprendre les details de l’kcoulement et des transferts thermiques au sein de la cavite, on produit des lignes de courant et des isothermes, relatives a chacun des modes de chauffage, au tours d’un cycle d’ecoulement pour Ra = 106, a = 0,8 et T = 0,5. Dans le cas du chauffage constant (a = 0), l’ecoulement au sein de la cavite est form6 d’une seule cellule, tournant dans le sens horaire et prbentant une symetrie par rapport au centre de la cavite (figure 5). C’est un ecoulement caracteristique d’une cavitk differentiellement chauffee, dont les differents rksultats sont intensivement discutes dans la solution bench-mark de De Vahl Davis [13]. La structure des isothermes affiche une stratification de la temperature dans la region centrale de la cavite et d’importants gradients thermiques horizontaux dans les regions avoisinant les parois actives. En faisant varier la temperature chaude uniquement, on assiste a l’apparition d’une petite cellule de recirculation negative durant une partie du cycle d’ecoulement (resultats non present& ici). Cette derniere s’intensifie mais reste toujours secondaire devant la cellule positive. Un comportement similaire a et& rapport6 par Kazmierczak et Chinoda [8] en Btudiant la convection naturelle transitoire au sein d’une cavite carree remplie d’eau (Pr = 7)

dans

une

cavitk

carr6e

30 26 ba

E 22 B(

18 14 2 0 f

-2

b

-4 -6 (b:

30 20

%=Qo ...... ...

r=OJ-,.-..-

c =0.2 -

c =o.s - - -

k 10 u 0 -10 03

t 0.7

0.9

1.1

Figure 4. Effet de T pour a = 0,8 et deux temperatures variant en phase

13

Ra = lo6 dans : a) !&,,(t),

tc: 1.6 le cas des b) Pmi,(t)

et C) QF(~). Figure 4. Effect of -r for a = 0.8 and Ra = lo6 of two temperatures varying in phase: a) Pm,,(t), and c) QF(~).

in the case b) !Pmin(t)

et chauffee differentiellement avec une temperature variant de maniere sinusdidale dans le temps. Comme ces auteurs l’ont explique, la formation de la cellule de recirculation est attribuke B l’existence d’une quantite de fluide, au voisinage de la paroi chaude, de temperature superieure a celle de cette paroi, ce qui provoque un transfert de chaleur vers l’exterieur de la cavite via la paroi chaude. Ce phenomene de transfert de chaleur inverse (back heat flow) est rencontre aussi dans le cas de l’air (cas present) pour les grandes amplitudes, et s’accentue avec l’augmentation de a. 11est mis en evidence

793

B. Abourida

Figure 5. Lignes de courant cas du regime permanent. Figure 5. Streamlines and state solution.

et isothermes isotherms

for

pour Ra

Ra

= 106:

=

lo6

:

steady-

par les valeurs nkgatives qui apparaissent sur une partie du cycle dans la prksentation des variations temporelles de la quantitk de chaleur QC relative & la paroi chaude. Dans le cas oti les deux tempkratures varient en opposition de phase. on prksente sur les figures 6a & 6f les lignes de courant (& gauche) et les isothermes (2 droite) aux instants correspondant aux lettres (a)% (b) et (f) sur la figure 3. Dans un premier temps. l’koulement est monocellulaire et centro-symktrique. 11 est caractkrisk par une grande cellule tournant dans le sens horaire et occupant la totalitk de l’espace disponible au sein de la cavitk (figure 6a). En &oluant dans le cycle, l’intensitk de cette cellule s’affaiblit en raison de l’apparition de deux cellules nkgatives. l’une au niveau du coin supkrieur gauche et l’autre dans le coin opposk (figure 6b). L’apparition de ces cellules s’accompagne d’un espacement des isothermes au voisinage des parois actives et engendre une rkduction des transferts thermiques & ce niveau. L’affaiblissement de la cellule positive se poursuit en faveur de celles nkgatives (figure SC) et finit par se briser en deux cellules secondaires pour permettre la fusion des deux cellules nkgatives en une seule cellule dominante (figure 64. L’affaiblissement des cellules positives se poursuit

et al.

(figure 6e) jusqu’& leur disparition (figure 6f) en faveur d’un kcoulement monocellulaire animB d’une rotation dans le sens trigonomktrique. La distribution des isothermes caractkristiques de ce regime d’kcoulement apparait & nouveau. Dans la partie restante du cycle. la cellule positive va jouer un rGle similaire & celui jouk par celle nkgative durant la premikre partie du cycle. Dans ce cas, les cellules de recirculation apparaissent au niveau du coin sup&ieur droit et infkrieur gauche, puis vont s’unir ensuite, pour constituer A nouveau une cellule positive dominante. Notons enfin que la centrosymktrie, observke dans le cas du chauffage constant, se maintient B tout instant du cycle lorsque les deux temperatures impodes Cvoluent en opposition de phase. Les champs dynamique et thermique obtenus lorsque les deux tempkratures imposkes Cvoluent en phase, sont illustrks par les figures 7u & 71 correspondant aux instants indiques sur la figure 4. Dans ce cas, la symktrie par rapport au centre de la cavit6 est dktruite, et une cellule de recirculation apparait au tours de la premiere moitik du cycle d’kcoulement dans le coin supkrieur

(4

-\ ---+ .--__ ---_. I--. P---I(a),.-----L (k)

Figure 6. Lignes de courant et isothermes au tours d’un demi-cycle d’kcoulement pour Ra = 106, a = 0,8 et 7 = 0,5 : cas des deux temperatures variant en opposition de phase. Figure 6. Streamlines and isotherms over a half cycle for Ra = 106, a = 0.8 and 7 = 0.5: case of two temperatures varying in opposition of phase.

794

Figure 7. Lignes de courant et isothermes d’kcoulement pour Ra = 106, a = 0,8 deux temperatures variant en phase. Figure 7. Streamlines and isotherms Ra = 106, a = 0.8 and T = 0.5: case varying in phase.

au tours

d’un

cycle

et T = 0.5 : cas des over one cycle of two temperatures

for

Convection

naturelle

gauche de la cavitC (figure 7c), le maximum de la fonction de courant (pmaX) &ant localis dans le voisinage du coin infkrieur opposk. La cellule de recirculation augmente d’intensite (figure 74, puis s’affaiblit (figure 7e), pour disparaitre & la fin de ce demi-cycle d’kcoulement (figure 74. La figure 7g reprksente un &at d’kcoulement qualitativement identique & celui de la figure 7u, mais qui en differe du point de vue quantitatif, comme le montrent visiblement les variations temporelles de QF (figure 4~). En continuant B Qvoluer dans le cycle, le maximum de la fonction de courant se dkplace vers le coin supkrieur gauche (figure 7h), favorisant ainsi la crCation d’une cellule de recirculation dans le coin oppos6 (figures 7i & 7k). Par la suite, la structure de l’koulement devient monocellulaire (figure 7l) et un nouveau cycle commence (figure 7u). On notera enfin que l’kvolution de l’koulement durant la seconde moiti6 du cycle peut 6tre reproduite & partir de la premiere moiti6, en faisant tourner la cavit6 dans son plan d’un angle de 180”. Une telle rotation influence les champs d’kcoulement sans affecter les intensitks des cellules positive et nkgative. Dans le but de mettre en dvidence l’effet de la pkriode sur la structure de l’kcoulement, on produit des lignes de courant et des isothermes au tours d’un cycle pour les mBmes paramktres que pr&Sdemment (Ra = lo6

dans

une

cavitk

carrke

et a = 0,8), mais en considerant une pkriode plus faible (T = O,Ol), pour laquelle de grandes transformations sont observkes dans les structures de l’kcoulement. Dans le cas d’une seule temphrature variable, les figures 8, & 8j montrent une grande diffkrence par rapport au cas oti T = 0,5. En effet on remarquera que la cellule de recirculation, qui restait secondaire et de faible intensit4 durant tout le cycle, joue un r61e plus important dans ce cas. On assistera 6galement & l’apparition d’une autre cellule nkgative au voisinage de la paroi infkrieure de la cavit6. Ces deux cellules finissent par fusionner, en provoquant la brisure de la cellule positive en deux cellules de recirculation avoisinant les parois actives. Ainsi, l’kcoulement s’effectue principalement dans le sens trigonomktrique sur une partie du cycle, sans faire disparaitre totalement les cellules positives. Les figures 9a & 9j reprksentent les champs dynamiques et thermiques obtenus pour T = 0,Ol lorsque les deux temperatures imposkes kvoluent en opposition de phase. Ces figures montrent que la cellule nkgative devient dominante sur une partie du cycle, mais les cellules positives restent toujours prksentes, contrairement au cas oti 7 = 0,5 (figure 6). Par la suite, la cellule nkgative disparait en faveur d’un koulement monocellulaire tournant dans le sens horaire qui persiste durant le reste du cycle. On remarquera que la centro-symktrie

(a)

(4

Figure 8. Lignes de courant et isothermes au tours d’un cycle d’kcoulement pour Ra = 106, a = 0,8 et T = 0,Ol : cas de la temperature chaude variable. Figure

8. Streamlines 106, a = 0.8 temperature.

Ra =

and isotherms over one cycle and T = 0.01: case of variable

for hot

Figure 9. Lignes de courant et isothermes au tours d’un cycle d’koulement pour Ra = 106, a = 0,8 et T = 0,Ol : cas des deux temperatures variant en opposition de phase. Figure 9. Streamlines and isotherms over one cycle for Ra = 106, a = 0.8 and T = 0.01: case of two temperatures varying in opposition of phase.

795

6. Abourida

et al.

de l’ecoulement reste toujours conservee pour ce mode de chauffage lorsque T = 0,Ol. Dans le cas des deux temperatures evoluant en phase, la cellule negative prend plus d’importance pour T = 0,Ol (figures 10~ B Ioh). Elle provoque ainsi la brisure de la cellule positive en deux cellules. Malgre cela, l’ecoulement principal au sein de la cavite s’effectue dans le sens horaire durant tout le cycle. On peut done conclure que l’ecoulement au sein de la caviti: depend fortement de la periode imposee pour chacun des modes de chauffage.

t 0 5.3. Valeurs

0.4

(a: 0.6

0.8

11

variable

Dans un premier temps, on maintient la temperature de la paroi froide constante, afin de clarifier l’effet dune seule temperature variable sur l’ecoulement du fluide et le transfert de chaleur. Ainsi, les &uresJla a Z>c montrent les variations respectives de P,,,, Gmin et QF en fonction de l’amplitude pour T = 0,3 et differentes valeurs de Ra. La figure 1 la montre que la fonction pour les ~nmx reste tres proche de sa valeur permanente faibles amplitudes, et croit ensuite avec l’augmentation de a. Cet accroissement est d’autantplus important que Ra est eleve. Les variations de Pmin (figure lib) traduisent l’absence de la cellule negative (S’min = 0) pour les faibles amplitudes (ecoulement monocellulaire). Lorsque a depasse 0,35, on assiste a l’apparition et a l’intensification de cette cellule en fonction de a et

-i -l-

Ra=104---

I* -2 -

&=105 Ra=106

-30

0.2

Figure 10. Lignes de courant et isothermes au tours d’un cycle d’ecoulement pour Ra = 106, a = 0,8 et T = 0,Ol : cas des deux temperatures variant en phase. Figure 10. Streamlines and isotherms over one cycle for Ra = 106, a = 0.8 and 7 = 0.01: case of two temperatures varying in phase.

- - - ~.~.~...

a 0.4

‘..

&I 0.6

0.8

a=O . . . . . . Ra=106 7----,~--~-----------~--------------~ -------

t

(0

a=0 ../ -. 1.:_y-~._ _ -._.-..._ - - -. '. '. -. -_ '. .. . .'. ‘..,

0

OO

796

0.2

moyennes

5.3.1. Cas d’une seule temperature

Q)

Ra=104 .----. a

5

a 0.2

0.4

(cl 0.6

0.8

Figure 11. Effet de a pour 7 = 0,3 et differentes valeurs de Ra dans le cas de la temperature chaude variable : a) F,,,, b) $min et C) 0,. Figure 11. Effect of a for T- = 0.3 and various Ra in the case of variable hot temperature: a) F,,,, b) Zmin and c) ?&.

Ra. Cependant, les valeurs de Iimin, comparees a celles de Pm,,: restent faibles en raison de la dominance de la cellulepositive. En ce qui concerne le transfert de chaleur, QF ne s’ecarte de sa valeur permanente qu’a partir d’une valeur de a qui diminue quand Ra augmente. Cette valeur passe de 0,4 a 0,28, puis a 0,2, resEectivement pour Ra = 104, lo5 et 106. Par la suite, QF augmente continuellement, en fonction de l’amplitude, pour atteindre son maximum en a = 1 et un &art des resultats du chauffage constant d’autant plus important que Ra augmente.

Convection

naturelle

Les valeurs moyennes de 9 et de Qs, obtenues pour differentes periodes, laissent supposer l’existence du phenomene de resonance en convection naturelle transitoire au sein de la cavite. Ce phenombne correspond a des fluctuations maximales de la reponse du systeme a la suite d’une excitation de periode bien definie. Cet effet a Cte Btudie dans le passe par Lage et Bejan [lo] dans le cas d’une cellule carree soumise & un flux de chaleur pulsatoire par un cot& Comme ces auteurs, il a fallu couvrir la gamme de periodes en question, en choisissant des valeurs t&s rapprochees de r afin d’identifier le plus correctement possible d’eventuelles periodes de resonance. Tous ces resultats sont represent& sur les figures 12a & 12c, correspondant aux variations respectives de 9,,,, k,i, et Q, en fonction de r, pour Ra = lo6 et pour differentes valeurs de l’amplitude. On remarquera que les fonctions presentees restent t&s proches de leurs valeurs permanentes respectives dans le cas des faibles periodes. Ceci traduit une insensibilite du systeme @s-avis_de l’excitation thermique imposee. Par la suite, P,,, et @min augmentent (en valeur absolue) avec T jusqu’a atteindre un pit, puis diminuent ensuite pour rejoindre leurs valeurs correspondant au regime permanent lorsque r tend vers 1. Ce pit correspond au phenomene de resonance qui se declenche pour une valeur de r t&s voisine de O,Ol, et ce independamment de l’amplitude considerke. 11 devient toutefois de plus en plus important lorsque a augmente. La figure 12~ relative & ?J, montre que ce dernier atteint un maximum egalement pour r = O,Ol, puis diminue legerement pour tendre asymptotiquement vers des valeurs constantes qui augmentent avec a. L’ecart entre les valeurs maximales de QF et celle correspondant au regime permanent (a = 0) diminue avec a. Pour les faibles amplitudes, le transfert de chaleur reste t&s proche de sa valeur permanente. Nkanmoins, il augmente, de manibre significative lorsque l’amplitude augmente. A titre indicatif, l’accroissement maximal par rapport au regime stationnaire, observe pour r = r,. (periode de resonance), atteint 2,5 %, 6,2 % et 10,5 % respectivement lorsque a est kgal a 0,4, 0,6 et

0,8. 5.3.2. Cas de plusieurs

modes

de chauffage

L’effet conjugue du mode de chauffage et d_e la periode sur les intensites moyennes d’ecoulement (pm,, et F,i,) et sur le transfert de chaleur moyen QF est presente sur les figures 13a & 13c pour a = 0,4 et differentes valeurs de Ra. Ainsk pour Ra = 104, la figure 13a montre que la fonction pzi,,, reste identique a sa valeur permanente jusqu’a une pkriode T > 0,02 qui depend du mode de chauffage. Cette insensibilite vis-a-vis de l’excitation thermique persiste de F,,, davantage lorsqu’on fait varier la temperature chaude uniquement. On notera que, pour cette valeur de Ra, seul le cas des deux temperatures variant en phase permet l’intensification de l’ecoulement principal (particules tournant dans le sens horaire). Ce dernier mode de chauffage favorise Bgalement l’apparition et l’intensification de l’ecoulement secondaire, comme on peut

dans

une

cavitk

carrke

a=0 30 -

a=0.07 a=0.2 a=0.4 azO.6 azO.8

,"\

~~-------.- -----------

IS 20 B

z

15 1 10-3

10-z

(a)_ 1

10-l

a=O0-P

“-~‘~;-.-

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r _ -.,;y--

___..._........

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.9 4 AI

lBE

-4 F -6 F

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- _-.-.

\I ’\ ,_-- /- *\(\,I \ I- *i

\

/J

( \I I ,' \ I t I' \5II

-8 10-3

/’

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a0.07 a=0.2 a=OA azO.6 azO.8

z 10-2

10-l

10-z

10-l

**

,-

I

--~-----_ _-.-.--------O-41 1

1o.5 /]

10 9.5 10-3

1

Figure 12. Effet de T pour Ra = lo6 et diffkrentes valeurs de a dans le cas de la temperature chaude variable : a) P,,,, b) $min et C) ?&. Figure 12. Effect of 7 for of variable hot temperature:

Ra = lo6 and various a) g,,,,

b) gmin

a in the case and c) g,.

le voir sur la figure relative a %,in. Toutefois, les valeurs de cette fonction restent negligeables devant celles de F,,,, traduisant de ce fait un mode d’ecoulement domine par la cellule positive et ce, quelle que soit la nature des conditions aux limites thermiques variables. Le transfert de chaleur moyen ?& est genkralement superieur a sa valeur permanente, si on excepte le cas des deux temperatures variant en phase et r < 0,025. En augmentant Ra & 105, la figure 13b montre que, pour tous les modes de chauffage present& l’ecoulement moyen G,,, commence a croitre de man&e notable 797

B. Abourida

et al.

(4

ON 13 lzB 11 Im@ 10; 9-

I

\ ’ \ I \

\

._. . . . . . ..__.-----

0 ,_-:8 ,* : II ::

= -0.2 d 2.45 2.4 235 -

104

-0.6 5 4.9 k 4.8 I cy 4.7 4.6

.’,------------,‘-- - _ ’ ‘. _

10 -*

.

10 -1

-0.4 -

1

(4 Chauffige constant Tempkature chaude variable -----2 Temptkatures variables fP = 0 ) ._______.__ 2 Temperatures variables d =R)

Figure a) Ra

13. =

Effet de T sur v,,,, Tmin b) Ra = lo5 et c) Ra =

lo*,

Figure 13. Effect of T on T,,,, and c) Ra = 106.

798

$min

et ?&

pour

a =

0,4,

diffbrentes

Ra et diffkrents

valeurs

de

various

heating

modes

de chauffage

:

106. and

QF

for

a = 0.4,

various

Ra

and

modes

: a) Ra

=

lo*,

b) Ra

=

10"

Convection

naturelle

a partir d’une valeur don&e de la periode imposee, qui depend du mode de chauffage, jusqu’a atteindre un pit pour r voisine de 0,03, puis diminue ensuite. Le cas des deux temperatures variant en phase donne les valeurs les plus klevees de $,,,,, alors qu’un dephasage de n-favorise l’ecoulement de recirculation represent6 par *min. Les evolutions du transfert de chaleur moyen QF sont generalement similaires a celles rencontrees pour Ra = 104, sauf que les maximums absolus sont atteints pour des valeurs plus faibles de r. En augmentant davantage Ra jusqu’a 106, on distingue une nette amelioration de l’ecoulement moyen et une diminution de la valeur de r a partir de laquelle grnin et ~IIICCX different de leurs valeurs permanentes respectives. On notera Bgalement une augmentation du transfert de chaleur moyen a travers la paroi froide de la cavite en fonction de Ra. De plus, le chauffage variable engendre une nette amelioration de QF par rapport au cas du chauffage constant, surtout lorsque la temperature froide varie egalement. L’ecart par rapport au regime permanent atteint done un maximum de 3,3 %, 6,7 % et 7 %, respectivement pour les cas d’une seule temperature variable et ceux des deux temperatures variant en phase et en opposition de phase. Pour toutes les valeurs considerees de Ra, le cas des deux temperatures variant en opposition de phase est le plus favorable a l’kvacuation de la chaleur a travers la paroi froide de la cavite. En considerant une amplitude a egale a 0,6, la representation des valeurs moyennes de !Pmax, @minet Qs en fonction de r pour differents Ra et differents modes de chauffage (resultats non present& ici) a montre des evolutions globalement semblables a celles obtenues pour a = 0,4. Toutefois, l’augmentation de l’amplitude entraine une nette intensification de l’ecoulement de recirculation au sein de la cavite.

6. CONCLUSION L’etude numerique de la convection naturelle dans une cavite carree soumise A des temperatures periodiques a permis de degager les conclusions suivantes : - le chauffage variable favorise l’apparition d’un Bcoulement secondaire dont l’intensification depend fortement du mode de chauffage et aussi de la periode de la (des) temperature(s) variable(s) impode ; ~ la symetrie de l’ecoulement par rapport au centre de la cavite, observee dans le cas du chauffage constant, se maintient en convection transitoire du fait des conditions aux limites thermiques variables lorsque les deux temperatures Cvoluent en opposition de phase ; - lorsque la temperature froide est maintenue constante, le transfert de chaleur moyen augmente avec l’amplitude et le nombre de Rayleigh ; de plus, le systeme Btudie entre en resonance avec la temperature chauffante pour r, = 0,Ol lorsque Ra = lo6 ; cette valeur de 7, independante de l’amplitude consideree, engendre des fluctuations maximales des gradients de temperature du fluide au voisinage de la paroi froide ;

dans

une

cavite

carree

- le chauffage variable ameliore en general le transfert de chaleur par comparaison avec le cas du chauffage constant, si on excepte le cas du chauffage oti les deux temperatures varient en phase, Ra 5 lo5 et les valeurs faibles de la periode ; - la variation en opposition de phase des deux temperatures imposees constitue en general le meilleur moyen pour ameliorer les pertes de chaleur vers le milieu ambiant ; - la variation des deux temperatures imposees engendre des differences fondamentales en termes d’kcoulement et de transfert thermique par rapport au cas d’une seule temperature variable et a celui du chauffage constant ; ces differences peuvent etre exploitees selon le but recherche par l’utilisateur.

RkFtRENCES [l] Bejan A., Convection heat transfer, John Wiley and Sons, New York, 1984. [2] Yang K.T., Natural convection in enclosures, in: KaKac S.. Shah R.. Auna W. (eds). Handbook of sinalephase convective heat tr&sfer,‘Chap. 13, Wiley, New Y&k, 1987, pp. 1-51. [3] Patterson J., lmberger J., Unsteady natural convection in a rectangular cavity, J. Fluid. Mech. 100 (1980) 65-86. [4] Nicolette V.F., Yang K.T., Lloyd J.R., Transient cooling by natural convection in a two-dimensional square enclosure, Int. J. Heat Mass Tran. 28 (1985) 1721-l 732. [5] Hall J.D., Bejan A., Chaddock J.B., Transient natural convection in a rectangular enclosure with one heated side wall, Int. J. Heat Fluid FI. 9 (1988) 396-404. [6] Vasseur P., Robillard L., Natural convection in a rectangular cavity with wall temperature decreasing at a uniform rate, Warme Stoffubertrag. 16 (1982) 199-207. [7] Schladow SC., Patterson J.C., Street R.L., Transient flow in a side-heated cavity at high Rayleigh number: a numerical study, J. Fluid Mech. 200 (1989) 12 l-l 48. [8] Kazmierczak M., Chinoda Z., Buoyancy-driven flow in an enclosure with time periodic boundary conditions, Int. J. Heat Mass Tran. 35 (1992) 1507-l 518. [9] Mantle-Miller W.J., Kazmierczak M., Hiawy B., Natural convection in a horizontal enclosure with periodically changing bottom wall temperature, in: HTD 198, Natural convection in enclosures, ASME 28th National Heat transfer Conference, 1992, pp. 49-56. The resonance of natural [lo] Lage J.I., Bejan A., convection in an enclosure heated periodically from the side, Int. J. Heat Mass Tran. 36 (1993) 2027-2038. [l l] Lakhal E.K., Hasnaoui M., Vasseur P., Etude numerique de la convection naturelle transitoire au sein dune cavite chauffee periodiquement avec differents types d’excitations, Int. J. Heat Mass Tran. (1996) (sous presse). [12] Roache P., Computational fluid dynamics, Hermosa, Albuquerque, New Mexico, 1982. convection of air in [13] De Vahl Davis C., Natural a square cavity a Bench-Mark numerical solution, Int. J. Numer. Meth. FI. 3 (1983) 249-264.

799

B. Abourida

with

vertical

Abrigded English Version Natural convection in a square cavity boundaries submitted to periodic temperatures

Natural convection in enclosures is of interest in several practical problems, such as the thermal design of buildings, solar collectors, energy storage systems and more recently cooling of electronic equipments. Previously many investigators have extensively studied theoretically and experimentally free convection in rectangular two-dimensional enclosures. The majority of the published works consider the steady-state phenomenon: the driving walls of the enclosure are customarily held at constant temperatures or heat fluxes. However, thermal boundary conditions can vary with time in many situations. Particularly, the intermittent energizing and acting of the electronic components generate heat in an unsteady manner. A good understanding of free convective flows within enclosures is necessary to avoid overheating of the electronic elements in the absence of forced cooling. In spite of these facts, limited number of studies have considered transient natural convection in enclosures due to variable boundary conditions (variable hot temperature). The main objective of this study is to contribute to the enrichment of this kind of problems by examining the effect of the imposed sinusoidal temperatures parameters (amplitude, period and dephasing) and the thermophysical ones on the fluid flow and heat transfer within the cavity. The conservation equations, written in R-9 formulation, are solved numerically using a finite difference discretization procedure. The obtained results are compared to those of constant imposed temperatures and also to those for which only the hot temperature is variable. They show that all the obtained solutions concerning the fluid flow are periodic, with a period identical to that imposed to the variable temperature(s). However: the shape of the oscillations can be very different from the sinusoidal form of the variable temperature(s).

800

et al

Also, it was found that the variable heating favourises the appearance of a ‘secondary flow’ in the cavity. The size and the intensity of the negative cells characterizing the secondary flow are strongly dependent on the heating mode and also on the parameters related to the variable temperature(s) (amplitude and period). Thus, they compete seriously with the main flow when the two imposed temperatures vary in opposition of phase, the secondary negative cell becoming dominant during a part of the cycle. The negative cells remains always secondary in the case of the two temperatures varying in phase for the considered periods. The centro-symmetry of the flow and the temperature distribution, observed in the case of constant temperatures, is maintained in transient natural convection due to variable heating, only when the two temperatures vary in opposition of phase. It is also found that the heat transfer increases with the Rayleigh number and with the amplitude when the cold temperature is maintained constant. In this case. the buoyancy driven flow has the tendency to resonate to the periodic heating for rr = 0,Ol when Ra = 106. This phenomenon is associated with the critical period r, which is independent on the amplitude a. Note that the resonance is not encountered when the two imposed temperatures are varying simultaneously. Generally, the transient heat transfer is higher than the one corresponding to the steady-state heat transfer, except when the two temperatures vary in phase, for Ra 5 lo5 and low values of the period. Finally, when the main concern is to favour the heat transfer through the cold wall, this study shows that the case of the two temperatures varying in opposition of phase must be considered in most cases. The variation of the two imposed temperatures presents fundamental differences in comparison with the case of constant heating temperatures and that of variable hot temperature. The consequences of these finding to engineering problems depend on the application in mind.