Das verhaeltnis von dia- und paramagnetismus eines elektronengases ALS funktion der feldstaerke

DAS VERHAELTNIS VON DIA- UND PARAMAGNETISMUS EINES ELEKTRONENGASES ALS FUNKTION DER FELDSTAERKE yon K. F. NIESSEN Natuurkundig Laboratorium der N.V. Philips' Gloeilampenfabrieken Eindhoven-Holland

Zusammenfassung B e k a n n t l i c h t h a t L a n d a u 1) darauf hingewiesen, dass eine konseL q u e n t e Durchftihrung der Q u a n t e n m e c h a n i k das yon P a u 1 i aus den E l e k t r o n e n s p i n n e n berechnete P a r a m a g n e t i s m u s u m einen d i a m a g n e t i schen Betrag herabsetzt. A m besten 1Asst sich das R e s u l t a t folgendermaszen formulieren. W e n n ein Gas y o n N E l e k t r o n e n mit Spin in einem Magneffeld H ein m a g n e t i sches M o m e n t ~ in der F e l d r i c h t u n g aufweist, so wtirden, w e n n die Gr6sse des E l e k t r o n e n s p i n s l a n g s a m auf Null h e r u n t e r g e b r a c h t werden k 6 n n t e , das urspriingliche M o m e n t ~J~ e n t l a n g der F e l d r i c h t u n g sich schlieszlich in ein negatives M o m e n t ~ o geAndert haben, das also dem Felde entgegengerichtet ist u n d dessen Gr6sse die Hiflfte des ursprtinglichen Momentes hetrAgt:

Zweck der vorliegenden Arbeit ist, zu zeigen, dass dieser F a k t o r 9~°/gJq in s t a r k e n Magnetfeldern n i c h t --~, sondern (

9~ °

~ -

3 ~B' H~ 1

½,* + 2 0

~

}

(I)

betrAgt. Hier ist: eh [£B =

4~mc

(B o h r s Magneton)

{ ~ IJ h 2 (n = E l e k t r o n e n z a h l pro cm') 2m (e, m = E l e k t r o n e n l a d u n g , -masse)

Wo = ~8n]

Hieraus geht speziell hervor, dass das Verh~ltnis yon Dia- u n d P a r a m a g n e t i s m u s eines Elektronengases keinen essentiell k o n s t a n t e n V~ert hat, u n d dass der L a n d a u'sche diamagnetische Effekt bei gr6sseren Feldst~rken relativ zum P a u l i ' s c h e n par~magnetischen Effekt bevorzugt wird. 1) L. L a n d a u ,

ZS.f. Phys. 64,629, 1930.

784

K . F . NIESSEN

Wiihrend der diamagnetische Effekt bei gr6szerer Feldstiirke z u n i m m t , wie sich ftir E l e k t r o n e n ohne Spin zeigt i n : 2 ~H

1 + 10 W j

]

e

tri.te i m F a l l e yon S p i n - E l e k t r o n e n ein S~ttigungseffekt auf im zweiten T e r m yon :

9R = - T ~ oN~tBH ~ .( 1

ffO tZB T~**~H ~I

(N = Gesamtzahl der E l e k t r o n e n des Gases).

§ 1. Berechnung yon ~[It°/gR. Als S c h r 6 d i n g e r gleichung ffir ein E l e k t r o n ohne Spin in einem Magnetfeld entlang der z-Achse b e n u t z e n wir:

eh Hy ~* 2~mci ~x

8~2,n(

Aq + ~

E °+

e2H2Y2 ) 2mc2 + = 0 ,

wobei wir y o n der Anwesenheit der A t o m r e s t e n im Metall abgesehen haben. E ° steUt die Translationsenergie des E l e k t r o n s in seinem v o m H - F e l d abge~nderten Z u s t a n d dar. Das Metallstiick b a b e die Abmessungen A, B, C in der x, y, z R i c h t u n g , wobei wir sp/iter A u n d C unendlich n e h m e n werden. Deshalb wird (dem L a n d a u'schen Ansatz ganz analog) angesetzt: 2*ri (--ax + Tz) += e

v(y),

wo die zu f o r d e r n d e Periodizit/~t in x u n d z (mit den P e r i o d e n A, bzw. C) fiir ~. u n d y n u r die diskreten W e r t e zul~tsst: n~h

= -~-

n 3h

y = -~-

m i t den ganzen

- - oo < nl < + oo,

Zahlen nl, n~

- - oo < n~ < + oo.

Die ffir v(y) resultierende Differentialgleichung w u r d e von L a nd a u aufgefasst als die S c h r 6 d i n g e r gleichung eines Oszillatots, dessen Ruhe,,~0unkt" (oder A t t r a k t i o n s ,,zentrum") sich bei $'1,1hc

Y-

ellA

befand. (Ftir niiheres siehe L a n d a u 1.c.)

D A S VERH2iLTNIS V O N DIA- U N D P A R A M A G N E T I S M U S

785

Die Energie E ° - y2/2,m des Oszillators hing nur yon einem neuen .Oszillations"quantenzahl n=0,

1,2 .....

ab und somit die kinetische Energie E ° des Elektrons nur yon n3 und n: E°(n3, n) = n~ h2 2mC2 2r- (n + ½)2~. B H. Aus der Bedingung nl he 0
eHAB h ~ -fache

(1)

Mannigfaltigkeit dieser Energie E ° ( % , n). H~tte das Elektron keinen Spin, so w/irde E ° auch die Gesamtenergie des Elektrons gewesen sein. Ist es jedoch wie in Wirklichkeit, von einem Spin ,~B versehen, so kann letzterer dem Felde entweder parallel oder antiparallel stehen, in welchen F/illen die Gesamtenergie des Elektrons um ~BH verkleinert bezw. vermehrt wird, also"

Epa,(%, n) =

n~h2

2triG2 + ~ 2,~nH,

- - o o < n 3 < + oo

Ea,,,p.(n 3, n) -- 2mC2 n~h2 ~- (n -~ I) 2~BH.

n ---- 0, 1, 2 . . . . .

Die Mannigfaltigkeit dieser Energien bieibt bei gegebenem n3 und n dieselbe wie soeben (1). Wenn wir nun nach der F e r m i schen Statistik die Gesamtenergie von N Elektronen berechnen wollen, so mfissen wir, da wit uns den Fall spinloser Elektronen aus dem Fall yon Spin-Elektronen entstanden gedacht haben, in beiden F/illen dem Elektron zwei Einstellm6glichkeiten zuschreiben. Statt von spinlosen Elektronen k6nnte man (gerade wegen dem genannten 13bergang) auch yon Elektronen mit Nullspin sprechen. E i n oberer Index 0 deutet immer au/ diesen Fall yon Nullspinnen. Es ergibt sich also ffir ein Gas von N spinlosen Elektronen die Gesamtenergie ,,~=+. . . . oo eHAB 2 E~a,= Y. X E°(n3, t,) ,,,=--oo ,,=0 hc eU.[E°(n3, n) - - W; °] +1 1 Physica I

50

786

K. F. NIESSEN

A u / die Anwesenheit des Magnet/eldes wird bei den Parametern W durch einen I n d e x . hingewiesen. Die GrOsse W~° muss b e s t i m m t werden aus: ,,,=+oo ,,=co e H A B Z Z ,,,=-oo ,,=0 hc

N=

2 e~[E°(n3, n) - - W~.°]+ 1

Setzt m a n m i t L a n d a u

n3h C %/2m d a n n wird, d e m groszen C W e r t zufolge, h d E = - -

cv'Tm

klein, weshalb die S u m m a t i o n nach n3 d u r c h eine I n t e g r a t i o n n a c h E ersetzt werden kann, sodass m a n b e k o m m t :

E*~o, = K H Z F ° ( n + ½),

(2a)

~t=0 n~oo

N = K H Z /°(n +

½)

(2b)

~1.=0

mit:

K = 4eV__2-m,',/

( V = A B C = Metallvolumen)

O0

FO(x) = f

dE,

E2 + 2 ~ H x

o e~[E2 + 2 ~ B H x - W ;

(3)

°] + l

O0

/O(x)

=

f

1

o e~t[E2 + 2VtBH x -

W~ °] + 1

dE.

Bringen w i r aber den wirklichen E l e k t r o n e n s p i n in Rechnung, so wird die Gesamtenergie des Gases als F u n k t i o n der T e m p e r a t u r "

Ea,, = Ea,,, p,,. + Ec .... ,ao. =

+

eHAB 1 ~ Z Epa,.(na, n) - ,,,=---oo ,,=0 hc e~[Et, a,.(n3, n) - - W;] + 1

,,,= +oo ,,=oo

113=+120 t l m ~

Z

Z E,,.ap.(n3, n) e H A B 1 hc e~t[E~,,ap.(n3, n) - - WT] + 1

,,,=-oo ,=0

-

-

s

DAS VERHA.LTNIS

787

VON DIA= UND PARAMAGNETISMUS

wobei die Gr6sze W~. die sich im Gegensatz zu W~° auf den Fall von Spin-Elektronen besieht, zu b e s t i m m e n ist aus N=

,,,~oo ,,=co e H A B 1 + Z ,,,=. . . . o hc e~[Epa,.(n3, n) - - W;] + 1 + ' " ~ ° ° ,)=ooZ e H A B 1 ,,,= . . . . o hc e~[Ea,,iip.(n3, n) - - W*] + 1

Hier trat jedesmal als Z~hler 1 statt 2 auf, da die zwei EinstellmOglichkeiten jetzt einzeln zu behandeln waren. Wegen der Relation" E,,,,p.(n3, n) = Ep,,,(n 3, n + 1) k6nnen zwei neben einander v o r k o m m e n d e n S u m m a t i o n e n nach n jedesmal bis auf einen T e r m 1) als eine einzige Reihe nach n geschrieben werden. Bei Benutzung von derselben ~ wie soeben, k o m m t jetzt" n~oo

Ec~,= K H [ Z F ( n ) - - ½ F(0)],

(4a)

~)=0

N = K H [ Y. / ( n ) - - ½ / ( o ) ]

(4b)

~)~0

mit derselben K wie in (3) und mit : ~. ~2 + 2~B H x F(x) = J a~, 0 e[~[~2 -[- 2~B H x - - W*i] + 1 oo 1 /(x) = f . o e~ z [ ~ 2 + 2 ~ B H x - W i ] + l

.

a~.

F(x) und /(x) unterscheiden sich also van F°(x) und /°(x) durch W* start W~ °, welche P a r a m e t e r verschieden sind, weil sie aus verschiedenen Gleichungen (2b) bezw. (4b) b e s t i m m t werden miissen. Im Anhang beweisen wir die erweiterte E u 1 e r sche Formel: Z

G n+

n=tz

=

C(x)dx--~4

--~-6 x ~

1) D a n e b e n d e m T e r m m i t Epar. (ha, o) in d e r e r s t e n D o p p e l t s u m m e d e r z u g e h S r i g e mJt Eanti#. (ha, - - | ) in d e r z w e i t e n D o p p e l t s u m m e fehlte, w u r d e dieser y o n L a n d a u h i n z u g e f u g t u n d n a c h h e r w i e d e r a b g e z o g e n , w o d u r e h die T e r m e - - ½ F(o) u n d - - ~/(o) i n (4a) u n d (4b) e n t s t a n d e n .

788

~. F. NIESSEN

. u n d ein erweitertes Analogon:

ll~=e,

a

x=a

Aus der Definition der F u n k t i o n e n F°(x), F(x),/°(x) und/(x) geht sofort hervor, dass diese, sowie alle ihre Ableitungen bei x = oo verschwinden. A n w e n d u n g obenstehender Formeln mit a = 0, b = b - - - I = oo gibt also ftir ein Gas spinloser Elektronen (aus (2a)) :

E~,,,=KH [oo jo F°(x)dx + 241 dF°dx(o)

24.2407 daF° ] d x3 (o)

(7a)

und fiir ein Gas von Spin-Elektronen (aus (4a)) :

E~,,~=KH

[~o

ldF 8d3F] 12 dx (o) + 24.240 dx 3 (o)

F(x)dx

(Sa)

Analoge Gleichungen kSnnen aus (2b) und (41o) bei der A n w e n d u n g von (5) und (6) entstehen, n/imlich ftir das ~pinlose Gas :

N=KH

if(x) dx + N ~ - (o)

24.240 dx 3 (o)

(7b)

u n d im Falle von Spin-Elektronen: N=KH

1" /(x)dx o

1 d/ 8 d3/ 12 dx (o) + 24.240 dx 3 (o)

(Sb)

Dabei bedenke man, dass F°(x), F(x),/°(x),/(x) als F u n k t i o n e n yon = 2~BH statt yon x aufgefasst werden kSnnen, u n d alsdann definiert sind als:

F°(x) --- ~°(cs) = of ebt(~2 -{- ~ - - Wi ) + oo

1

" d~

l°(x) = ~° (0) = oJ e,~(~ 2 + ~ - . w ; °) + 1

und analoge Gleichungen ohne oberen Index O. Da nun

Hdx = ~

1

do

geschrieben werden kann, scheint der Einfluss yon H giinzlich zu

DAS VERH~.LTNIS

VON DIA- UND PARAMAGNETISMUS

789

verschwinden in den ersten Termen von (7a). (8a), (7b) u n d (8b), wie z.B. in" OO

K

K H f F°(x) dx = ~ o

OO

.

o

J • (c~)dcr, o

w~ihrend die zweiten u n d dritten Terme in diesen Gleichungen wegen d

d da da 2~teH da' dx a = (2/xnH)a ~ a3

:

mit H 2 bezw. H 4 proportional zu sein scheinen. Das ist jedoch nicht der Fall, :denn die Terme enthalten in O°, q0° den P a r a m e t e r W~° u n d in O, ~ den P a r a m e t e r W~, die beide von H abNingen (was am I n d e x .~ ersichtlich ist). Diese Abh~tngigkeit muss also zuerst u n t e r s u c h t werden z), d a m i t wir E~as=

Co -~- C] H 2 -~- c~ H 4,

Ea,s= Co + ct H 2 @ C2H4

schreiben k6nnen (jetzt m i t K o n s t a n t e n c, die wirklich von H unabh/ingig sind) u n d d a n n nach der allgemeinen Vorschrift: 92 0 =

0 E~,~, OH ' 9J~ =

0Ea,, OH

die Momente bestimmen k6nnen. Wir wollen fiir die Untersuchung der Feldst~irkeabh~ingigkeit yon 9)2°/9J~ in den Formeln die T e m p e r a t u r T = o setzen; sodann lassen sich die F u n k t i o n e n dP°(a), q~°(a), ag(G), q~(cr)leicht bereehnen. Ffir die darin enthaltenen P a r a m e t e r die alle, wiewohl schwach, v o n d e r T e m p e r a t u r abh~ingen, ,wollen wir d a n n bei T = 0 eine andere Schreibweise benutzen u n d zwar mit einem unteren I n d e x o an den Fall T = o erinneren 2). 1) N u r alles u m e i n e n G r a d g e n a u e r wie bei L a n d a u. 2) D e u t l i c h k e i t s h a l b e r w i e d e r h o l e n w i t h i e r n o c h e i n m a l die B e d e u t u n g d e r v e r s c h i e denen Indices: * ( i m m e r o b e n ) b e z i e h t sich a u f d e n F a l l H > 0 0 (oben) . . . . . . . . spinloser Elektr. 0 (unten) . . . . . . T = 0 i(immer unten) .......... T > 0 D e r Fall H = 0 ist a n g e d e u t e t d u r c h Fortlassung y o n *

790

K.F. NIESSEN

Wir h a b e n dann:

apo(~) =

*o-of w* oJ

W+a

dW

_

eOO(W + ¢y- - Wo°) + 1 2"V'gz ---- ½ (Wo° - (r)'/,+ a v/W; " - or, wenn ~ < Wo° ----0 , w e n n ~ r > Wo°

w ....

V°(~)=

1

dW

'fo " c o ( W + ~ - - W ; ' ) + 1 2 V W - = "X/Wo° - - ~

, wenn ~ < Wo° , w e n n a > Wo°,

=0

und analoge Gleichungen ohne oberen Index 0. Die Gleichungen (78), (7b) ftir die Gasenergie und die Elektronenzahl lauten dann fiir Elektronen mit Nullspinn:

3 NWo

([_'.o|~W*'s\ [ +

Wo#

5 ~2B~2 +

~ H*I

(9a)

7" lz~H41 1)

N = N { W ° ~ "~ 1 - - 1 ~ H 2 \W o ]

35

8 (Wo°)2 + 8.80 (W-~*]

(9b)

und die Gleichungen (88) und (8b) ffir den Fall von Spin-Elek,tronen werden: 3

Ea,,,= g N W o

W

--

5 iz~H 2

2 1

12 (Wo) 2

(

W o ~1 tx~ H 2 N -~ N Wo 1 + 4 (Wo) 2

v.~,H" I

5 18.8 (Wo)'q

(lOa)

H*]

(lOb)

1 ~$ 80 (Wo)*J

Die gesuchte Feldst~irkeabh~ingigkeit von Wo° und Wo b e s t i m m t sich aus (9b) und (10b), welche Gleichungen mittels suksessiver N~iherung fiihren zu:

(

Wo°_---Wo i

1

8 wg

+

61

8.240 W*o /

w ; = Wo 1 - 1 ~ H ~ - ~ 17 ~ m ) ' 4 ~ o ] -~ I + 2 4 o ~oo]

"

I) Die F a k t o r e n * / 5 N W o r e s p . N i m r e c h t e n Glied y o n (9a), resp. (9b) sind e n t s t a n d e n aus K/5g.B wo~ltresp. K/3g.B WoSl,bei B e n u t z u n g y o n (3) ffir K u n d d e n b e k a n n t e n W e r t e n y o n [zB u n d W0.

791

DAS VERHA.LTNIS VON DIA- UND PARA.MAGNETISMUS

Bei Substitution in (Da) resp. (I 0a) ergibt sich: E~.~ = A + p H 2 + q H4,, EGas = A --2!b H2--~ ff H 4

mit: 3

N t~

N i~

A = -~ N W o , P = 4 W-~o, q = ~ ~

und hieraus" E~.~_ aH

~°

N i x 2 H ( l + 1 ~B'__ H 2, 2 Wo lo J

EG., ~g

N~ --

H (I

1 bt~ H2 I

\

20 ~oo ]

Wo

(11)

Fiir das gesuchte Verhdltnis ergibt sich also der in der Zusammen]assung erw~hnte W e f t : ~o 1 [ 3 ~H~ ~J~ 2

\I-I-~

-

(~)

~ooJ"

Wird start rnit den Momenten ~ o ~ rnit den Suszeptibilit~iten X° und Z gerechnet, so k5nnen diese aus der Formel (I l) folgendermaszen bestirnmt werden. xo -

1 a9]~ °

VaH I a~

Z--Vail-

n I~2B (14- 3 tZ2BH2~ 2 Wo \ - 1 0 ~00/' "~$(i 3 ~$H~.

Wo ~

frO T~V~]

] (12)

J

Da Z° negativ und Z positivist, k5nnen wir in der Zerlegung

z=z°+z~z

°

schreiben: z--

z ° = -- I z~. I, z ° = z + I za,. I = zp.,.

~ l

(13)

~H2~

(II)

x

und finden dann: 2 Wo

10 W-~0 2'}

3n tZ2B 7.p...-- 2 Wo also :

Iz°l

1

=

/,--

3

lza,.l---Szp.,.k'±]-o

~

1"

Diese Z~*r.ist nach ihrer Definition (I 3) durch Vergleich der Suszep-

792

K.F. NIESSEN

tibilit~iten zwei verschiedener Gase entstanden. Man k a n n nicht die ~( eines Gases von Spin-Elektronen additiv in zwei Beitr/ige zerlegen, wovon der eine n u r vom Elektronenspin herrfihrt u n d der andere n u r v o m L a n d a u'schen Diaeffekt, d.h. v o n d e r Tatsache, dass in der Q u a n t e n m e c h a n i k das H-Feld Arbeit leisten k a n n durch eine ,,Bahn"/inderung des Elektrons. Beide Effekte geben Energie/inderungen, die zwar additiv in der Gesamtenergie des einzelnen Elektrons auftreten, aber wegen der A u f n a h m e dieser Gesamtenergie in die T e rm i sche Statistikfunktion nicht zu zwei gesonderten Beitr/igen im E n d r e s u l t a t ffihren k6nnen. Deshalb wurde ffir den L a n d a uschen Effekt dasjenige (X°) ffir ein spinloses Gas genommen u n d die Differenz Z - Z° als Zpar~ definiert. Beiseite erw/ihnen wir, dass dieser Wert dem P a u 1 i'schen W e r t ffir die Suszeptibilit~it eines Elektronengases gleich ist, die bei Vernachl~issigung sowohl der Feldst/irkeabh/ingigkeit wie des L a nd a u'schen Diaeffektes von Pauli abgeleitet wurde. Die Feldst/irkeabhiingigkeit k a n n in P a u 1 i's Ableitur~g leicht berticksichtigt werden. Man b r a u c h t die darin auftretenden Entwicklungen nur einige Terme in H weiter durchzfiffihren. W e n n der P a r a m e t e r bier W~ g e n a n n t wird, so ist dieser bes t i m m t durch : N=

h~

2 e° o

+~ - - P-BH - - W ~

+ 1

e° ° ,2m + ~B H - -

WP + 1

Die Integrale, die sich auf parallel u n d antiparallel gerichtete Spinnen beziehen, erstrecken sich fiber den I m p u l s r a u m (g = Impuls), w~ihrend T = 0 genommen ist, was die E r r e c h n u n g erleichtert. Mit g2/2m = W u n d ' b e i B e n u t z u n g der W0-Formel zur Einffihrung von N k o m m t :

u n d bei Entwicklung bis einschliesslich H 2 liefern sie aus der Formel ffir N :

wg=(1 4

/w°"

Dieser Wert muss b e n u t z t werden bei der Momentenberechnung (wo noeh Terme mit H 3 m i t z u n e h m e n sind)

DAS VERHALTNIS VON DIA= UND PARAMAGNETISMUS

~=

3 N~H(

tZBIp - - tZB I ,

1

793

1 ~z2H21 I

woraus fiir die Suszeptibilit~tt eines Elektronengases (mit Spin aber ohne die L a n d a u'sche quantenmechanische Energieleistnug) 1 ~9~ 3 nv.~(1 z°P=v 8H =2 Wo .

1 ~2BH2/ 2 ~o]"

Diese wird also kleiner bei grSszerer Feldst~trke, w~ihrend die friiher definierte Zp,,, = Z - - 7.° konstant blieb. Dagegen nimmt die St~irke des diamagnetischen Effektes (d.h. [ Z° ] ) nach (1 4) mit H zu. Gleichviel also welche paramagnetische' Suszeptibilit~t zum Vergleich herangezogen wird (d.h. Zpara ~--'Z--Z °. oder 7.per,) immer stellt sich das VerNiltnis der dia- und paramagnetischen Effekte bei st~irkeren Feldern zu gunsten des Diaeffektes ein; was stimmt nicht nur mit (II) aber auch mit :

:Iz > -°l- - - - ~ Iz~,ol ---~-

1( 1 + 4~H~/

(III)

Am einfachsten scheint mir jedoch die Formulierung wie in der Zusammenfassung: 93t° - - I - R [ 9J~ -93~

1 -

(

3 ~ H 2]

2 I+20

-

~

]"

(I)

Noch besser wfire es gewesen nicht auf tier gebr~inchlichen Weise nach dem Verh~iltim von Za~,,und 7..p,r, zu fragen sondern nur die Feldst~irkeabh~ingigkeit der Gesamtsuszeptibilit~it zu erw~ihnen, n~imlich nach (12): n~x~ (1 3 ~ H21

Z=~o~

20 r,T~)

Anh'ang A. Beweis der erweiterten E u 1 e r schen Formel:

-=~-' x

G (n + -1.,.)=

_/.~G(x)

I

7 G'"(~)

d x - - ~4 G'(x) - - 7£6

(5)

Die Summe im linken Glied und das Integral im rechten ist in Fig. 1 durch die v o n d e r Treppenkurve bezw. glatten Kurve begrenzte Fl~iche angegeben. Sie unterscheiden sich dadurch, dass es einige kleine Fl~ichenpaare

794

K.F. NIESSEN

gibt, wie in Fig. 2, deren eine H~lfte nur zur Summe und deren anderen Hfi.lfte nur zum Integral gehSrt (beim gezeichneten Verlauf der G-funktion sind es hier die linken bezw. die rechten H~lfte die zur Summe, bezw. zum Integral gehSren). Das rechte Stfick hat (in der Bezeichnung von Fig. 2) den angen~iherten Inhalt: /-o~d~

/IG'(x)

G"(x) ~2+ ~

~a+

das-zugeh6rige linke Stiick dagegen

J~I~l a¢= 0/ c,(~) ¢ - ½ c,,(,) ¢ + -st-,

4~

0

sodass der Unterschied betr/igt:

de=

/[]~hi--'~t]

0

2174G'(x)

1 24 • ~ GI4)(x),

wenn die Stiicke, jedes v o n d e r Breite ½~bei x Zusammenh~ngen. ~L

X+E

x 'x ~ ~

÷1~x+~

t

o

a,~

b-r+~,

7+~

Fig.

b

1.

Fig.

2.

Der ganze Unterschied zwischen Summe und Integral wird nunmehr x=b--l+t

Summe--Integral =

Z zfa+~

1 1 (--~ O''('0 24 80G(4' (x)" 05)

Zur Herleitung der gewShnlichen E u 1 e r schen Formel kann der

DAS VERH~.LTNIS VON DIA- UND PARAMAGNETISMUS

795

T e r m mit dem vierten Differentialquotienten fortgelassen werden und weiter: t

x=b--l+½

X

C"(x)=

x~a+{

n=b--I

b

X C"(n+½) = f G"(x) dx = G'(x) l.=# ,=b

*;=a

(16)

a

gesetztwerden, sodass: nfb--1

b

|

Z G(n+½)= fG(x) dx--~4G'(x)

75~a

a

x=b

I (Euler).

x~a

(17)

Will man alles u m einen Grad genauer berechnen, so muss der vierte Dif/erentialquotient in (15) beibehalten und die S u m m e (16) besser, d.h. nun nach der E u i e r schen Formel (17) selber bes t l m m t werden: • =b--,+, ~=b 1 ~[----b G"(x) = G'(x) [ - G'"(x) (18) x~a+~

x=a

x--a

w~hrend die S u m m e fiber den vierten Differentialquotienten gibt : x=b--l+~

Z

b

x=b

G(4)(x)= f G(4)(x) dx=G"'(x) [

x=a+~f

a

(19)

x=a

Substitution yon (18) und (19) in (15) liefert dann sofort die Formel (5). B. Beweis einer zweiten erweiterten Formel:

Y~ G(n) = ~l~a

G(x)dx+{G(a) +{G(b) + a

EG'(x)---ffoG'"(x)].x ~ a (6)

Der Unterschied zwischen S u m m e im linken und Integral im rechten Glied wird nach Fig. 3 gebildet von zwei halben Rechtecken an den iiuszeren Seiten und v o m Inhalt: { G(a) und { G(b)und yon kleinen F1/ichenparen wie in Fig. 4, deren linke Teil dem Integral und deren rechte Teil der S u m m e AngehSrt (wenigstens beim gezeichneten Verlauf der G-Funktion). In Fig. 4 ist in genfigender Genauigkeit 1)

= G'(x) (½-1)

G" (x) + --5- (¼-

+

G'" (x) (g 3 ! '°--

u n d bei B e n u t z u n g y o n :

G"(x)

lh~I = c'(z) ½ + 7 lh,l =

(½)'+ u.s.w.

G"(x)(½)'+ u.s.w. G'(x)½---~-.

G (4)(x) + - W - . (:6

~4),

796

K. F. NIE'SSEN, D I A - U N D P A R A M A G N E T I S M U S

,,, I'q21=G'(x) (½--E.) G"(x)(¼__42)+ ~ ( ~ _ _ ~ 3 )

GI41(x)

4! (~__~4),

2

Und der Unterschied zweier ldeinen Fl~chen, jedes von der Breite ½, und bei x zusammenh~ngend, betr~gt also: 1

1

1

J {~--I'~2 I} d ~ = V2 G"(x) + ~ . ~ G(4)(x).

o

I[

Jf

~:

(

,

I

|• / "--

[

I

.t I

I

J

I I

/r

= I i I I I I

lrTZ

I I! i I _ _ .1 . . . . .

x-~/2

I i

x-~,

X

X+~

I I I I J

X+g2

I

I . - . J _ _ L _ L _ I _ . __L_.J . / a

~,

~

b-1

b

x

F i g . 3.

Fig.

4.

Der ganze Unterschied zwischen Summe und Integral wird also: x=l,--½

Summe--Int.:½G(a)+½G(b)+

|

X ~o[G"(x)+

G{41(x)], (20)

x=a+½ Lz-

wo wir jetzt direkt in der gewtinschten Genauigkeit summieren wollen und zwar nach (17) (E u 1 e r) X

G"(x)=

Z

G"(n+½):G'(x)-

G'"(x)

(21)

und x=b--½

b

b

Y~ G(4)(x)= ] G(4)(x) dx = C'"(x) I " • =a+~

a

(22)

a

Substitution von (21) und (22) in (20) liefert dann sofort die FormeI (6). Eindhoven, 7 April 1934.