- Email: [email protected]
Densité de niveaux d'un système de nucléons en interaction dans une couche
Nuclear Physics 13 (1959) 594--620; ( ~ North-Holland Publishing Co., Amsterdam Not to be reproduced by photoprint or microfilm without written permission from the publisher
DENSIT]~ DE NIVEAUX D ' U N S Y S T ~ M E DE NUCL]~ONS EN I N T E R A C T I O N D A N S UNE COUCHE R O G E R BALIAN
Centre d'~tudes Nuddaires de Saday, Gi/-sur-Yvette (S. et 0.) Re~u le 29 juin 1959 Using perturbation theory, the grand partition function is calculated for the completely degenerate system of interacting nucleons inside a shell. T h e level density is then derived by the Darwin-Fowler method. The purpose is to compare these results to exact levels known for a p-shell. The method gives fairly good results, even for a small number of particles, provided t h a t the self-consistent field is taken into .account, and t h e calculation is carried out in a coherent way; there is no advantage in performing the saddle point method after integration of the level density.
Abstract:
1. Introduction La densit~ de niveaux d'un syst~me compos6 d'un grand hombre de particules peut se d6duire de la grande fonction de partition par des m6thodes statistiques 1). Ce probl~me se traite en toute g6n6ralit6 pour des nucl6ons (ou des ,,excitations 616mentaires") ind6pendants 2), ou interagissant dans l'approximation de longue port6e 3). L'emploi de la m6thode des perturbations pour le calcul de la grande fonction de partition 4) permet de tirer, par la m6thode du col, la densit6 de niveaux d'un syst~me de nucl6ons en interaction. On se propose ici de tester la validit6 des approximations faites, en comparant, dans un module particulier, les r6sultats de cette th6orie approch6e aux niveaux exacts. Darts le module utilis6, les nucl6ons sont dans un puits moyen A sym6trie sph6rique; toutes les couches sont completes, A l'exception de l'une d'entre elles, de moment angulaire l, comprenant N particules et ~ " ---- 4 (2l+1) 6tats individuels; on n6glige la pattie de l'interaction entre les particules qui induit des transitions entre ces 6tats et ceux des autres couches; A l'int6rieur de la couche, l'interaction est ind6pendante du spin et du spin isobarique, et est invariante par rotation. Dans ces conditions, on est ramen6 au probl&me de N particules dont l'hamiltonien est l'interaction V ~ l'int6rieur de la couche, l'hamfltonien non perturb6 6tant nul. On est A l'oppos6 du module particules ind~pendantes: le syst~me non perturb6 est compl~tement d6g6n6r6; c'est l'interaction qui s6pare les niveaux. Darts la section 2, nous rappellerons la solution exacte du probl~me pour une couche p. Darts la section 3, nous calculerons la grande fonction de partition Z(~,/5) et nous en d~duirons la densit6 de niveaux par la m6thode 594
DENSITY- DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
595
de Darwin-Fowler. Pour obtenir cette densit4 de niveaux A une grande 4nergie d'excitation, nous serons amen4s A introduire des valeurs de fl n4gatives. En effet, le nombre de niveaux est fini, contrairement Ace qui se passe usueUement en thermodynamique, oh l'4nergie des niveaux excit6s n'est pas born4e sup4rieurement; le syst~me, de matrice densit4 p = e-an~ tr e -an, est dans un 4tat put non seulement lorsque fl -+ + oo (l'4tat fondamental), mais aussi lorsque fl--~--oo (l'4tat d'6nergie maximum). Les valeurs positives et n4gatives de fl jouent donc des r61es sym4triques. La section 4 sera consacr4e aux r4sultats.
2. Diagonalisation
Exacte de l'Hamiltonien
dans une Couche p s,6)
L'interaction est caract4ris4e p a r ses valeurs moyennes Vr. dans des 4tats A deux particules de moment orbital total L (L = 0, 1, 2 darts la couche p). Les 4tats A N particules qui diagonalisent V sont ceux pour lesquels le moment angulaire orbital total L, et le type de sym4trie de la fonction d'onde d'espace sont bien d4finis. La valeur de V dans ces 6tats est
V = { ( V x + V a ) - ~ N ( N - - 1)+{(V0--V,)[N--½L ( L + 1)]--{(2V0--3VI+V,)S;
(1) S ---- nA--n s ne d4pend que du type de sym4trie de la fonction d'onde d'espace. C'est la diff4rence entre le nombre de liaisons antisym4triques et le hombre de liaisons sym4triques du diagramme d'Young de la foncfion d'espace. Lorsque la force est du type Wigner, les fonctions d'onde individueUes dans la couche p sont des combinaisons lin4aires de xR (r), yR(r) et zR(r); t o u s l e s 414ments de matrice de V s'expriment en fonction des deux param~tres .W = f x x ' x , ' l R (rx)l'lR(r,)]'V(rx,)dr~dr,,
= f xxx,y xyi[R (rx) l*[ R (r,) [*V (rxz)drx d r y et l'interaction s'~crit
V = (~e--2X)½N(N--1)+~[N--½r.(L+I)--2_=]. Une variation de .~a introduit simplement une translation d'ensemble des niveaux; une variation de J d une homoth4tie. Cette propri4t6 permet de rapporter les courbes de densit4s de niveaux approch4es correspondant A diverses valeurs de .W et de J~d A la m~me courbe exacte. Pour un m41ange Wigner-Majorana, en introduisant de m~me les param~tres .ga, et 3¢", on a
506
ROGER
BALIAN
V o = ( . Z ' + 2 9 U ) + ( . ~ a ' + 2 9 U ') V 1 = (~--33U)--(o~q°'--39~'), v, =
et les d e u x t e r m e s d 6 p e n d a n t de L e t ~ ne sont plus proportionnels. Les positions exactes des n i v e a u x se d6duisent i m m 6 d i a t e m e n t de la classification des fonctions d ' o n d e A N particules s u i v a n t le t y p e de s y m 6 t r i e = L, le spin total S, et le spin isobarique T, que nous rappelons d a n s le t a b l e a u 1. TABLEAU
1
Classification des fonctions d'onde de N particules dans une couche p m
N
m
Type de symdtrie d'espace
(S, T)
L
Ddg~n6rescence pour chaque valeur de L
2
(2) (1, 1)
--1 +1
0,2 1
(o, 1) (1, o) (o, o) (1, 1)
6,30 30
3
(3) (2, 1)
--3 0 3
1,3 1,2 0
(½, ½) (½, ½) (½, t) (~, ½~ (½, ½) (t, t)
12, 28 60, 100 20
(4) (3, 1) (~, 2) (2, 1, 1)
--6
0,2,4
--i
1,2,3 0,2 1
(o, o) (o, 1) (1, o) (1, 1) (o, o) (1, 1) (0, 2) (2, o) (o, 1) (1, o) (1, 1) (1, 2) (2, 1)
1,5,9 45, 75, 105 20, 100 135
(4, 1)
--5
1,2,3,4
--i
1,2,3 0,2 1
(½, ½) (½, ½) (½, t) (J, ½) (½, ½) (½, t) (0, ½) (t, t) (½, ½) (½, t) (], ½) (t, t) (½, t) (t, ½)
12, 20,28,36 60, 100,140 36,180 180
(o, 1) (o, o) (o, o) (o, 1) (2, o) (o, 1) (3, o)
6,30,30,42,54 30,70 30, 70 192,320
(1, 1, 1) 4
(3, 2)
(3, 1, 1) (~, 2, 1) (4, 2)
(4, 1, 1) (3, 3) (3,2, 1)
--]00'33-2-'i2'3'41'31'21'3
(2, 2, 2)
(1, o) (1, 1) (1, i) (1, o) (1, 1) (1, 1) (0, 2) (1, 2) (2, 1) (1, o) (1, 2) (2, 1) (0, 3)
50
L o r s q u e le n o m b r e N est sup~rieur h ½~/" (pour une couche quelconque), on p e u t former la fonction d ' o n d e h ./t/'--N particules, ~o(JV'--N) = fd(N)~o* (N)~(Mz), ~2(Mz) 6tant la fonction d ' o n d e de la couche complete. Soit, dans le formalisme de la seconde q u a n t i f i c a t i o n , Iq,(N))=
2~
C,j...~,+~..[O),
t > t > ... = • t>J> ...
DENSIT]~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
597
Le potentiel s'dcrit, avec les notations de la troisi~me partie,
V = -} ~,#,,+#,+#,,,#,,,
(2)
la|mn
ou encore v = ¼ X#,.~:,,#~,+~:,+-l-½E X [,~,+~:,,--#,,#~,+]. k/n~n
g,n
(3)
l
Si It(N)> est Ionction propre de V (dcrit sous la forme (2)) on voitimmddiatement que <~0(~--N) l est aussi fonction propre du premier terme de V (dcrit sous la forme (3)) avec la m~me valeur propre; le second terme ne ddpend que du nombre de particules, puisque (dquation (20))
~, = el~k,. l
I1 donne la contribution suppldmentaire el(½,#'--N ) ~ l'rnergie. Par suite, les dtats h N particules et ceux AJV'--N particules se correspondent un A un, et leurs dnergies sont lides par
Ew-n = EN-t-e~(}J~/'--N).
(4)
3. Calcul de la G r a n d e F o n c t i o n de P a r t i t i o n et de la D e n s i t 6 de Niveaux 3.1. M J ~ T H O D E D E D A R W I N - F O W L E R
1)
La densitd de niveaux /t N particules et d'dnergie E dtant p (E, N), la grande fonction de partition s'dcrit
Z(~, r) = e~(*',P~ =
f dEdNp(F_.,N)e-PE+~
(5)
et la densitd des niveaux s'obtient par la transformde de Laplace inverse
p(E, N) -- (2hi)'
dfld~e÷+Ps-~'
(6)
l'intdgrale sur ~ et fl dtant prise sur des parall~les ~t l'axe des imaginaires, d'abscisses ~o et rio. Le calcul de cette intdgrale par la mdthode du col permet de ddduire de la densitd des niveaux. Les valeurs de a et fl au col sont ddtermindes par les dquations
a._~---_ N, ao¢ a~ a# _
(7a) E.
(75)
Une expression approchde pour p s'en dddttit en prenant % et 80 au col, et en ddveloppant au voisinage de ao et rio:
598
ROGER BALIAN
es
1
p(E, N) ~ 2--~V D ' O ~
S -----[¢+15E--~]oot, ¢'~;
~b~'a
(8)
les q u a n t i t & S e t D 6tant prises pour les valeurs de ,c et fl tir&s des 6quations
(7). Nombre de niveaux De la m~me fagon, on peut tirer de ~ l'int~grale de p, c'est-A-dire le nombre v(E, N) ou v'(E, N) de niveaux d'6nergie inf6rieure ~ E, ou sup&ieure A E:
v'(E, N) = v(+oo, N)--v(E, N); comme 9v
9---E(E, N) = #(E, N), on a F 1 v(E, N) -- (2rd)~ |.d15d~ I
v'(E, Y ) =
/'
(2zd)~
Jd15d
e@+#g--~dv
15
pour
150 > O, (9)
eo+pE-~v
--15
pour
L'application de la m6thode du col pour v o u 6quations
15o < O.
v' conduit aux nouvelles
9¢
9-~ = N,
9¢ 915
(10a)
1 15
. . . . .
E.
(10b)
P o u r une racine 15o positive de ces 6quations, on peut ci~lculer
v(E,N)
1
es
2~
d~p
¢'5 D z ~-
"l
IflolVDx'
,,
+
(11)
1
P o u r une racine 15o ndgative, on obtient v' (E, N) par la mgme formule.
Rdsolution des dquations du col Si on consid6re t5 et N comme variables ind6pendantes, l'6quation (7a) ou (10a), N = a¢/a~, ddtermine ~ au col comme fonction de 15 et de N; les 6quations (7b) ou (10b) donnent, apr6s remplacement de x par l'expression obtenue, l'dnergie E en fonction de 15 et de N; de mgme les 6quations (8) et
DENSIT~ DE NIVEAUX D'UN SYSTEM~ DE NUCL]~ONS
599
(11) donnent p ou ven fonction de f e t de N. Les diverses fonctions de f e t de N. qui s'introduisent ainsi ne sont pas inddpendantes; eUes sont lides par les relations remarquables suivantes (analogues A celles qui s'introduisent en thermodynamique) : as
aE
as
ag
as
aE : f~-~--,¢,
~-= fin
=
1
(calculde p),
(12a)
(calcul de v);
(12b)
(13)
aE
~--~;
(14)
OE/O~
(calcul de p),
(15a)
aE / a~¢
(calcul de v).
(15b)
Ces relations facilitent la r6solution des dquations du col. En effet, au lieu de tirer des dquations du col (7) ou (10) ~ et f e n fonction de E et N, puis de reporter dans les expressions (8) ou (11) pour avoir la densitd des niveaux en fonction de E pour N fixd, il est plus commode d'dliminer seulement ~. Les courbes de densitds de niveaux en fonction de rdnergie, pour N fixd, sont alors donndes par leur representation paramdtrique de param~tre f, et on peut s'aider des relations (12) A (15) pour 61iminer ~. 3.2. C A L C U L D E L A G R A N D E F O N C T I O N D E P A R T I T I O N P E R T U R B A T I O N S 4)
]PAR L A M ] ~ T H O D E D E S
Darts le formalisme de la seconde quantification, la grande fonction de partition s'dcrit, en introduisant un champ self-consistant H 0, Z(,¢, fl) ~ tr e -pnrp(v-no)+=v, (16) oh N = ~ ~,+~,, '
v = ¼Y
(17a)
~+ est l'opdrateur de crdation dans l'dtat Hi> A une particule, caractdrisd par les projections m~, s~, t~ du m o m e n t orbital, du spin et du spin isobarique; lij> ddsigne l'6tat antisymdtrisd A deux particules dans les dtats i e t i, de bra conjugud (]'if. L'61dment de matrice vaut
600
ROGER BALIAN
(ijIV[kl) = X (llmjm,lLM)(llmkm~[LM)VL[~,,,~,,,,~*~*~,,t,-- (-- )L~,,,,~*f,~t,t~*,*,~ ( = X (llm~m,lLM) (llmkmz[LM) (½ ½sjs,lSMS)(½ ½s~s,[SMS) LM SMS (½½tjt,]TMT)(1½tkt~[TMr)[1--(--)L+S+TJVL (17C) TM T
E t a n t donn6 la sym6trie du probl~me, le champ self-consistant H 0 est simplement proportionnel ~t N: H o = Noa. La m~thode des perturbations conduit au ddveloppement $ = log Z = Z l o g ( I + e ~ - P g ) + Z,ffil°~(--)" pfl-7( ( V - - H 0 ) ' ) e ,
(18)
le dernier terme 6tant ~t prendre sur tousles diagrammes connexes d'ordre p. On tracera les diagrammes A la Hugenholtz; chaque interaction est alors repr~sent6e soit par (ij]V[kl), soit par - - 8 , et fl faut attribuer le poids ½ chaque double ligne. Aux lignes descendantes et montantes sont attach6s les facteurs /_-
1 l+e_~+/t,
1 /+ = l + e ~ - ~ ~ .
(19)
Ces facteurs 6tant ind6pendants de l'indice de ligne, car t o u s l e s 6tats non perturb6s ont m~me 6nergie o~, les sommations sur les 6tats ne portent que sur les 616ments de matrice et se font ind6pendamment de l'ordre des vertex dans le temps. En raison des propri~t6s de conservation de V, l'6tat correspondant A la ligne entrante est le m~me que celui de la ligne sortante pour une pattie irr6ductible de diagramme. On peut effectuer les sommations d'616ments de matrice correspondant ~t certaines de ces parties diagonales. Pour une sous-6chelle d'ordre n (fig. la), compte non tenu du signe et des facteurs 21- des doubles lignes, on pose
d
(~)
(d)
(c)
(d)
Fig. 1. Exemples de parties diagonales: a) b) c) d)
Sous-~chelle Polarisation Une boucle passive Plusieurs boucles passives.
601
DENSITI~ DE NIVEAUX D'UN SYSTI~ME DE NUCLI~ONS 2 n--1 £n
= ~,,... J
m.
(20)
=2--1~ ¢
=
2n+1
--
~ [4-- (__)L] ( 2 L +
dV" L
1)VL".
Pour une partie diagonale de type polarisation d'ordre n (fig. lb), on pose
p~ = ~.... t l*i mtt
~q
= ~(~)A
{[~L [ 4 - ( - ) L ] ( 2 L + I )
Ill '~1VLI'+15 [-- ~L ( 2 L + l ) ( Ill tllL, l l L '~IVLI"} '
Dans ce calcul, on a transform6 chaque 616ment de matrice 6crit sous la forme (17c) A l'aide de la relation
~. "
= (-)J(2J+l)
~ (-)~,+~,
{iiiiL4} @-mamllX/~>@-mzm~I~/~ >.
On a utilis6 les relations d'orthogonalitd des coefficients de Clebsch-Gordan, et on a effectual les sommations sur les variables de spin grace anx formules de sommation sur les coefficients de Racah. En particulier, une boucle passive (fig. lc) donne la contribution e1 = --Px, et une partie diagonale formde de n boucles passives (fig. ld) donne el~, queue que soit la disposition de ces boucles. Si on prend un champ self-consistant au premier ordre, les boucles passives et les interactions --d ~ s'dliminent, ~ condition de prendre
= X /_, J
soit
Ho = ell_N,
6' = el/_.
(22)
Le facteur/_ est donc donn6 par l'dquation 1
]_ = lq_e_=+e,,,_,
(23)
qui admet une solution unique pour fie, > --4. On dolt alors prendre pour ff tousles diagrammes connexes sans boucle passive ni interaction H o, sauf en ce qui concerne les diagrammes d'ordre 1, qui ne s'~liminent pas, ~t cause du facteur } de la double ligne. Le calcul a fit{ pouss6 jusqu'~ l'ordre 4; on ddcompose chaque diagramme en parties diagonales du type precedent; la sommation sur l'indice de la
602
ROGXR BALIAN
ligne t r a v e r s a n t les parties diagonales donne un f a c t e u r ~ . I1 reste ensuite d 6 n o m b r e r les diagrammes diff6rant entre eux p a r l'ordre des vertex, en associant A chacun d ' e u x le poids dfi a u x doubles lignes, le signe et le p r o d u i t des facteurs [+ ou ]_. On t r o u v e ainsi les contributions suivantes A $ / j f r (fig. 2):
0 ¢.I) ® 0.-.....
Fig. 2. Les d i a g r a m m e s c o n t r i b u a n t ~ l'expression (24) de ~ (avec c h a m p self-consistant) (b) ordre 1 (c) ordre 2 (d) et (g) ~chelles d ' o r d r e 3 et 4 (e) et (h) polarisation d ' o r d r e 3 et 4 (f) ordre 4: d e u x sous-dchelles d ' o r d r e 2 (i) et (j) les a u t r e s d i a g r a m m e s d ' o r d r e 4.
ordre 0: - - l o g / + , 1 e1/-- 2+ f i e 1 / - - 2, ordre 1: --~fl ordre 2: ~-fl2ez/_~/+s, ordre 3:
(24a) (24b) (24c)
~ ~ts+ 2if - - i -a~ aa " easv - 2 + tt+ ~t
(24d)
_{flapj
(24e)
a/+a,
ordre 4: ~%V_V+=Sf_~-4/_/++/+ ~]
(240
+~4p4/_4/+'
(24h)
+~fl, q/_a/+a~f_,_/_/+ + /+,] + 2~-~fl4r/_a/+a[/_2--4/_/++ /+z].
(24j)
(24i)
Dans les d e u x derniers t y p e s de d i a g r a m m e s la s o m m a t i o n sur les dl~ments de m a t r i c e de V i n t r o d u i t d e u x coefficients n o u v e a u x q et r, qui se calculent e x a c t e m e n t c o m m e les coefficients e. et Pn. On t r o u v e
1
q = - Z 2 / + 1 LItLtLs
(2LI+ I) (2Ls+ I) (2La+ I) [4-- (--)L'+L'+%][4-- (--)Lt-- (_)G_ (_)z, x
fLlz z
Iz
L,z ~ v,_v,,v L,
tl
l L 81
(2~
DENSIT~ DE NIVEAUX D'UN SYST/~ME DE NUCL]~ONS
60~
expression qui ne diff~re de P8 que par le remplacement de VL8 par V~s, et r
_
~., (2L+l)(2L'+l)(2L"+l)(2L'"+l)(2X+l) 2 l 1+ 1 L,L'L"L"A
t" /Izz tllLHllL"Hl l l!
{ ( 4 - - ( - - ) " ) ( 4 - - ( - - ) " ) ( 1 + ( - - ? + ~ ' ) ( 1 + (--)~'+~")--15(--)~'+~"}V,.V,,V,.,,V,.,,,. Si on n'introduit pas de champ self-consistant on a simplement 1
1
l+e-"
l--
1+ =
l+e"
(27)
Mais il faut prendre pour ¢ tous les diagrammes connexes, qui s'obtiennent en ajoutant de toutes les mani~res possibles des boucles passives aux diagrammes pr6c6demment introduits. Le r6sultat peut s'6crire imm6diatement en remarquant que, dans ce cas particulier, le d6veloppement en puissances de la perturbation est un d6veloppement en puissances de 8. On aura donc les contributions de tous les diagrammes jusqu'~ l'ordre 4 en d~veloppant en s~rie l'expression (24) jusqu'A l'ordre 4 en 8. Les deux premiers termes de cette expression fournissent les contributions des diagrammes constitu6s uniquement de boucles passives. On trouve (A l'ordre 3) l'expression suivante: ¢ ~V
log/+--~v
1/-
T~e
~/--
/+
--~
1 ~-
~+
-~8%1,~1+~(1+'+1_ ~)-{8~p~1_~12
(28)
~ ~e~~ (1_~1+-~/_ ~1+~)+ 1 ~8 ~ e~ed/_ ~t+ ~-t_ ~1+a)+ ... +~8 3.3. CALCUL DE LA DENSIT]~ DE N I V E A U X
Dans la r6solution des 6quations du col, en partant de l'expression de $ avec champ self-consistant, on utilise les relations
a/__
a/+_
a~
a~
a/_
a/+
as-
as-
/+l1+SeJ+l- '
a/_
(29)
ed_ ~ .
On d6signe par A = N/./V le nombre relatif de particules dans la couche, et par T = (MZ--N)/JF" = 1--A nombre relatif de trous dans la couche. Les expressions E, S et D sont calcul6es par des d6veloppements en puissances des 8VL, limit6s au m~me ordre que celui qui provient de la m6thode des perturbations pour ~. O.n obtient ainsi les m~mes r6sultats que si on avait utilis6 l'expression (28) pouss6e jusqu'& l'ordre 4, mais avec moins de calculs, l'introduction du champ self-consistant A l'ordre 1 6tant bien adapt~e & la sym6trie trous-particules du probl~me.
(26)
604
ROGER
BALIAN
Les 6quations d u col s ' & r i v e n t A =
(/+--[-) 1_+ l+fle:/+/_ E
e~/_a¢
-- ~
ao~
r l m e ~ ~ 2 l m e ~ 2~ 2/~ ~ : : + ~ 2~ lm~, ~ a~ a + .], L~" ~ + ~- - - ~ e s~+ s- v+ --~+~- ~- ~--~" ras+ ~•• l e
2
~ e
2 11- --~-D
~ 2e 2 2 ~ 2 ~ 2 31+2 f-- 2 "-F'~'~ 3I+ t-- (1+ -{-/-- )-']-'~'~ Pal+
~
1- -[- • • •
L a r6solution donne (ces r6sultats sont encore valables si l'on ne suppose pas f l e l A T p e t i t d e v a n t l'unit6)
A
= log T +fle~A - - ½ f l 2 e z A T ( T - - A ) + f l a F { e 3 A T ( T - - A ) ( A 2 - - A T + T 2)
+ ½ P a A ~ T ~ ( T - - A ) ] + .. ,; E=
1 2- - f l ~ + ~ 1f l 2-~--gfl 1 3(#~---~¢'e, 1 2A 8 T 3) + . . . ~,#'e~A
(calcul de O),
(~ (3
1
E =-fi+½,W'etA*--fl~+½flL~--{fl3(~--½We**A3Ta)+...
(calcul de v o u
v');
oh on a pos6
9~--_½vV'e2A 2T 2, .~= .AZA 2T2F½#(A 3+ T 2) + p s A T], (31d) ~ = ~ A 2 T ~ [ ~ e 4 ( A 4 + 4 A ~ T 2 + T4)+ ~-z~ A 2 T 2 2l"4 + 2 q A T ( A 2 - - A T + T 2 ) + ½ r A T ( A 2 - - 4 A T + T2)]. On tire de ces expressions p e t
v par
s --- 4 , + B E - - ~ V
,Ar.,¢ = log NN(,A/.N).Ar_N
- - ~ vx m
~ + ~1 m .~_¼fl,(~_½,AZe22Aa T a) + aE
h -
a~ aN
OE OE
-
I+
(32)
a~
/
aft /
0-N'
(33a)
1 [I+fle~AT--½fl~e2AT(A2--4AT+T2)+ .#'AT
~_~a+~2(~_~/-~22A~T~
• • •
.
.
.
1
- - O~ ---- t~ -~ + ~ - - t L * + t ~ 2 ( ~ - - ½ " g e ~ 2 A ~ r ~ / +
....
. . .];
(33b)
(calcul de p),
(33c)
(caJcul de v).
(33d)
Dans le calcul de p, l'6nergie E (donn6e p a r la formule (31b)) est une fonction m o n o t o n e de/3 p o u r fl assez petit. Dans le calcul de v o u v', l'6nergie est donn6e p a r la formule (31c); A chaque valeur de E c o r r e s p o n d e n t d e u x
(~
DENSITI~- DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
605
valeurs de ~ de signes contraires (fig. 3) dont l'une fournit v(E, N ) et l'autre v'(E, N ) .
~p
Fig. 3. Variation de E en fonction de fl, dans le calcul (par la m 6 t h o d e du col) de p, de ~ et de ~'. 3.4. DENSITI~ D E N I V E A U K
AYANT
UN MOMENT
ANGULAIRE
DONN~
D'une mani~re analogue, on introduit
-~(~, D, #) = tr e -pn+~N+au,
(34)
oh M est le m o m e n t angulaire orbital total du niveau. La m6thode des perturbations donne (sans introduction, d'un potentiel self-consistant) = log .~*(oq 3, P) = X, l o g ( l + e = + ~ ' ) + ,-I ~ (--) "3~' ~
(35)
et les facteurs attaches aux ligues d~pendent maintenant de l'indice de la ligne. E n conservant les notations (27), on a
/_,
-
1+,
--
1 1 + e-~-~'~' 1
l+e~+m ~,
-
,-/+/_(/_-/÷)~1
_/_+/÷/_~
I+-/+/_~ ,+I+/-(/_-/+)~ m
1
2~
..
3 ~ z, +
"'
(36)
2
, +
.
.
.
.
E n se limitant aux termes en /,2, on trouve pour ~ le d6veloppement jfr - - = --log t + + ~1 31 ~Z(Z+l)l+/_ 1 e xl- 3 + ~ 1 311 x 2f + (2eJ - - g J + ) --~D ~ (I + 1)TP.t-
(37)
__kl~3e ,, 3~ 3+1.21l(l.q_1~1~3~ nt 3r(f t ~3,, M ~ e 1 ~1." 31+ I ~1" T ~ /gAl." ! + . , - i,~ + - - . ' - I 6 3 - - . ' + ; - 3.J 1 2 gl ~/-- 8 / + J F ]i[ A31- ~ l ( ~ A l - 1 ) } p 3 / - 8 / + [ ( f + - - / - ) 2 e 1 2 - - 2 / + / - g 1 9 1 J I - } / + 2 9 1 3 1 2 V "AVID
....
On a pos6
~, (m,+,n,)3--w{l(z+ gJ
1)gl=~X[4-L
( - - ) L ] (2L--~
1)L ( L + 1)VL, (38a)
606
ROG~.R B A L I A N
Z(m,+m,)* = 2Mf~/(l+l)g~ : ~-~ [ 4 - - ( - - ) L ] ( 2 L + I ) L ( L + I ) V L 2.
o~,
(38b)
L
Les 6quations du col sont maintenant a# N ---- a-~'
(39a)
a# M = ~-~,
(39b)
a# 0fl'
E --
(39c)
que r o n r6soud en fonction de/5, N e t M, par des d6veloppements limit6s: 3M # -- l(l+ 1)M/'A T (1 --fl (el--}gl)A T + . . . ) ,
(40a)
1 1 + e -~ --A (1 +~e 1A T+½fl~A 2T (T--A)el~--½/~ 2½A T ~( T - - A ) e 2 + . . . )
3M 2
(T--A) - [I+~exA(T--A)+ ...]+ .... 2/(/+ 1) .W'2AT E = M f ½ e l A ~ - - ~ + . .. 3M 2 2/(/+ 1)Jr" [(ex--½gl)+~(T--A)*½g~--fl(A2+T2)e~'" "j"
(40b)
(40c)
La densit6 de niveaux ayant une valeur de M fix6e, est donn6e par la formule du col:
qui fournit, ~ l'ordre le plus bas en fl et ell M,
p(E, N, M)
{
3M 2 gV-~+t exp -- 2I(I+I).AfAT
I
~-~
[
E _ ½ . A f elAS +
3M 2 e 1 2/(/+l)M f (1--~gl)
1"}
NN+t (JV'--N)"C-N+½ ( 2 ~ ) } % / ½ ~ l (l+ 1)A T La densit6 de niveaux ayant un L donn6 est alors a p(E, N, L) ~ -- -~--~p(E, N, M = L + { ) .4f~¢+½ e x p (L+{)
I
3L (L + 1) 21(,.I,.A/'AT NN+½(.Af _N)jV._N+I(2zr)I%/~({.Afl(I+ I )A T ) t
s
}
DENSIT]~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
607
4. Comparaison des R~sultats et Discussion La m6thode approch6e introduit trois types d'erreurs: ceUes qui proviennent de la m6thode du col, de la m6thode des perturbations et de la r~solution des 6quations par des d6veloppements limit6s A l'ordre correspondant. 4.1. SYM]~TRIE TROUS-PARTICULES
Les expressions de p(N, fl)ou de v(N,/~) sont sym4triques dans l'4change de A et T, le seul terme dissym~trique est le terme 1,W'elA2 dans l'expression (31) de l'6nergie. Ce r6sultat est d'ailleurs valable A tousles ordres, le seul diagramme dissym6trique en ]+ e t / _ 6tant celui d'ordre 1. La densit6 de niveaux approch6e pour , g ' - - N particules se d6duit donc simplement de celle pour N particules par la translation e1
2--Mz[(MZ--N)'--N 2] = ex({uV'--N). Ce r6sultat 6tant le m~me que celui de la th6orie exacte (formule (4)). il suffit donc d'effectuer la comparaison des r6sultats pour N ~ 6. 4.2. I N F L U E N C E DU NOMBRE DE PARTICULES
Les comparaisons ont 6t~ effectu6es pour un nombre N de particules compris entre 2 et 6, pour p ou v, pour diverses valeurs des param~tres V o, V 1, V 2 et ~ divers ordres de la m4thode des perturbations. Dans tousles cas la precision de la m~thode statistique et la convergence des d~veloppements est ind$pendante de N, m~me si ce nombre est petit (fig. 4). D'ailleurs le succ6s de la m4thode du col est li4 ~ la grandeur de ~4z et non de N, et d'autre part N/,/~ n'est jamais assez petit pour que la contribution des 4chelles soit pr~pond6rante dans la m~thode des perturbations. On peut donc appliquer les m6thodes statistiques m~me pour un nombre de particules faible. 4.3. DENSITIES A. L ' O R D R E 2: R~SULTATS GLOBAUX
Si on se limite dans S e t D ~ rordre le plus bas correspondant ~ ~ arr~t6 l'ordre 2, on a pour p la gaussienne dV'uV+~ e-(E-½JV°ta') ' p(E, N) = V,~_~NN+I(.A/. N).Z._N+ i "V'2~-~
(42)
Nombre total de niveaux L'int~gration de p sur toutes les valeurs de E donne ~.~+~ NN+½(W--N)W-N+I '
qui n'est autre que l'approximation de Stirling pour le nombre exact de
608
ROGER
BALIAN
niveaux A N particules ~ !IN! ( j f r _ N ) !. Ceci est dfi au fait que la m6thode du col s'applique ind6pendamment sur ,t et sur/5, que ceUe qui porte sur/5 n'introduit pas d'erreur ($ est du second degr6 en/~) et que celle sur ~ ne d~pend que du terme d'ordre z6ro de $, et se r6duit A l'approximation de ¥ I~
__!
f
.
.
.
.
.
.
.
.
"
.
.
.
.
ZOO
...........
~, . . . .
~ ....
~o
4O0O
JO0 $00
y/ till
. . . . . .
F i g . 4. Courbes de v e t v" pour diverses valeurs de N (force d e W i g n e r ~ = 1, . ~ = 2; $ a r r 6 t ~ l'ordre 2 a v e c c h a m p s e l f - c o n s i s t a n t ) . L a c o u r b e e n escalier repr6sente l ' i n t 6 g r a l e e x a c t e d e l a densit6 de n i v e a u x , l a c o u r b e e n trait plein v ( E ) ; e n c e q u i c o n c e r n e v'(E), o n a f a c f l i t 6 l a comparaison en portant (en p o i n t i l l 6 ) e n o r d o n n 6 e s l a d i f f 6 r e n c e e n t r e le h o m b r e t o t a l e x a c t de n i v e a u x e t v'(E). O n a i n s c r i t e n quelques points les valeurs de/~ correspondantes.
Stirling. Des erreurs suppl6mentaires s'introduisent si l'on prend A la place du premier terme de D le d6veloppement de O~/ON,ou si l'on pousse A un ordre plus 61ev6 dans la perturbation, car $ n'est alors plus quadratique en/~.
DENSIT~ DE NIVEAUX D ' U N SYSTEM ~- DE NUCLEONS
609
Centre de la distribution Le centre de la gaussienne est le point
E = {.AfelA2
= ~(Vo+SVI-~-SV2)N
2
alors que le centre de la distribution exacte des niveaux est E ~- ~-a(6VI+6V2)N(N-- 1).
Ces valeurs sont voisines A condition que le nombre de particules ne soit pas trop faible (N << N2), et que V o, V x e t V 2 ne soient pas trop diff~rents. De la m~me fa$on, la position exacte des niveaux ayant un L donn6 est, dans le cas otx V x = {E2Vo+V2], E = {(V~+V2) i N ( N - - 1)+{(V0--V2)[N--½L (L+ 1)], alors que le centre de la gaussienne g (E, N, L) (formule 41c) est le point
E = ½Mfe~A 2 - 2l(z+l) 3L(L+I) r (e
-½a) =
eIA2--&(2Vo+SV1--sV2)iL(L+I) ½
1 2 l 5 = y./ffelA --T(Vo--$V2)½L(L+I).
L'accord est grossi~rement bon darts les m~mes conditions que pour
p (E, N). I1 6tait 6vident, 6tant donn~ que r o n s'6tait limit6 aux termes el1 /,2 darts $, que 1'on trouverait une d6pendance ell ½L(L+I), mais il est remarquable que le coefficient de ce terme soit ind~pendant de N.
Nombre de niveaux ayant un L donnd En int6grant p(E, N, L) sur l'6nergie, on trouve que le nombre total des niveaux ayant un L donn6 est 6gal, pour un N fix6, exp
V,~NN+½(,W._N).,C._N.~ (L +½) ~
l_ /
aL(L+I) /
2l (l + ~ T] [½l(l+ 1)~/'AT]t. "
On a port6 (fig. 5) les valeurs exactes et les valeurs approch~es du nombre total de niveaux ayant un L donn~. L'accord est qualitativement bon: le facteur (L +½) correspond ~ la croissance de la d~g~n~rescence pour L faible, le facteur exponentiel ~ la d~croissance du nombre de niveaux de L 61ev& La statistique donne donc de bons r~sultats, compte tenu de la faible valeur de L.
l~talement de la distribution Pour les densit6s de niveaux p(E, N) et p(E, N, L), la largeur de la gaussienne est %/~. Ce r&sultat correspond assez mal au v6ritable 6talement des niveaux. Par exemple, cette largeur %/~ n'est nulle que si V o = V 1 = V2=O, alors que tous les niveaux sont confondus si V 0 ~- V 1 ---- V2, et t o u s l e s niveaux ayant un L donn~ sont confondus si V 1 = {[2V0+V9 ]. Pour une force
610
ROGER
BALIAN
de Wigner avec ~K -- 1 et 0~ variable, ~ / ~ varie alors que les niveaux ne subissent qu'une translation (derni~re ligne du tableau 2); mais cette variation n'est pas consid4rable. I
b
I
I
4OO
\\
\ \
\ x
dro
\
\\
\
\
X \\ x
Ol
\
\
\
\
\
\
\
'\\
J
Fig. 5. N o m b r e de n i v e a u x ayan¢ une valeur de L domage, pour N --- 6. Les lignes reprdsentent le hombre e x a c t de n i v e a u x (apr~s division par le teeteur 2 L + I ) , el: la courbe en pointill4 la valeur approeh4e.
Le fait de se limiter k une gaussienne donne donc un accord assez satisfaisant en ce qui concerne le centre de la distribution et le nombre total de niveaux; mais on n'obtient ni la dissym4trie de la v4ritable distribution ni l'4talement exact. 4.4.
M]~THODE D U COL S U R LE N O M B R E
DE NIVEAUX
Il semble naturel que l'application de la m4thode du col sur le nombre de niveaux ~, dont |a courbe exacte est en escalier, donne de meilleurs
DENSIT]~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCLI~ONS
611
r~sultats que sur la densit~ de niveaux p, dont la courbe exacte est plus singuli~re. Pour faciliter la comparaison, on a int~gr~ p calcul6 par la m~thode du col. En partant de ~ arr~t~ ~ l'ordre 2, et en prenant pour D le d~veloppeI
I
I
I
I
•-'T
I
........
L
/
A
/
/
/
I/ S i
I
I I !
/
/
/
400.
/ ..=.~--.- a,.''~
r
l
o
Fig. 6. Int6grale de p pour N ~ 6 (force de Wigner o f ~ 1, ~ ~ 2; ~ arr~t6 k l'ordre 2 avec c h a m p self-consistant). La constante d'int~gration a d t 6 choisie de mani~re que la courbe (en pointill~), aft le m~me ~cart avec la courbe exacte (en escalier) pour E ~ ~- co et pour E------CO.
ment limit~ correspondant, on voit (fig. 4 et 6) que les r6sultats sont bien meilleurs en calculant directement ~ ou ~'. I1 en est de m~me ~ l'ordre 4 pour lequel, dans le calcul de p (33),
--½e,AT(A'+SAT+T')I + .} (4aa)
612
BALIAN
ROGER
peut devenir n6gatif, alors que dans le calcul de • ou ~' la quantit6
D I = .A/'AT~[1-- . . .] .A/"A T + ~ [1--flelAT+flSexSA2TS+½~Se2AT(AS--4AT+T~)+
...]
(43b)
est partout positive (fig. 7).
o. 4t.."
yQ.85.
//
-0,25
.t
I/
/
.~
~./~-3
¢'/
~
,
0
$
'
'
fr~ ~ '
,
-PO
E
b
4ooa
soo
400.
Fig. 7. Comparaison au 4e ordre en ~ de ~, ~'(eourbes a) et de l'int6grale de p (eourbe b), pour N = 6, avec une force de Wigner J r ' = I, Sa = 2.
Cependant, la m6thode du col sur ~ ou ~' introduit des erreurs syst6matiques suppl6mentaires. Par exemple, le hombre total de niveaux devrait ~tre ~gal ~t ~(E = + o o , N), ou ~t ~'(E = --og, N) ou ~ ~,(E, N ) + ~ ' ( E , N ) .
DENSIT]~ DE
NIVEAUX
D'UN
SYSTI~-ME D E
613
NUCL]~ONS
Or
.Ar~+i
v(E ~- +oo, N) -~ v'(E = --oo, N) = V,~NN+½(.W. ~,(E-~ ~-,W'exA',N).-b~'(E-~ ½,W'e,A',N) ~
e
N).,C_N+i ~¢/~..~,
.A/'~+i
lie.
L'erreur introduite, e/~¢/2~ = 1.085 ou ~/e/z~ ---- 0.930, est faible; elle n'est t
[
I
i
I Fig. 8. C o u r b e s de p a u x or(Ires 2, 3 et 4 p o u r N ~ 6 (force de W i g n e r ~ ~ 1, . ~ ~ 4. O n a i n d i q u 6 la p o s i t i o n d e s n i v e a u x exacts, ainsi q u e leur d~g6n6rescence.
due qu'~ l'emploi de la m~thode du col, le r~sultat ne d~pendant q u e du terme d'ordre z~ro dans 4. D'autre part, si l'on calcule le terme suivant de la m~thode du col, soit par un d~veloppement en s~rie de l'int~grant au voisinage du col, soit en suivant la ligne de plus grande pente, on trouve que son rapport au terme principal est 3
1
Ce terme correctif n'est donc n6gligeable que lorsqu'il en est de m~me du terme compl~mentaire de D 1, de sorte que la difficult~ du signe de D 1 n'est pas r6solue. D'aiUeurs, le domaine d'~nergie dans lequel fl est n~gligeable
ROGER B A L I A N
614
( - - E grand pour v, + E grand pour v') ne couvre pas enti~rement la r6gion o/l se trouvent les niveaux exacts (fig. 9). Malgr6 ces r6sultats meilleurs l'ordre 2 et 4, l'application de la m6thode du col sur v est donc suspecte. 4.5. C O N V E R G E N C E
Le d6veloppement (28) ~tant le d6veloppement en puissances de fl de la fonction analytique log ~ s , Ne -ag+~, converge & l'int6rieur d'un cercle de
a,~ ,,}"
//
l/ 7! 1 - 0.46~ I
/ ! / / /
/
I
i
A
/
/
!
I
o
Fig. 9. Courbes de ~ et v' R l'ordre 3 p o u r N = 6 (force de Wigner~f" = I, . ~ = 2). L s convergence est mauvaise pour [8[ grand, slors que le ler terme correctif & la m6thode du col est sup6rieur R ~ du terme principal lorsque [jSI < 0.22.
rayon non nul. La convergence est doric r/goureuse dans une petite r~gion autour du point E = ~,t"elA ~. D'ailleurs, les r~sultats pour p dans cette r~gion s'am~l/orent lorsqu'on prend des termes suppl~menta/res (fig. 8). Mais cette convergence n'est pas bonne. Le tableau 2 montre par exemple pour N = 6 pour diverses forces de Wigner ou de Majorana, les
DENSIT]~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
615
coefficients des d6veloppements en puissances de ft. On voit donc qu'on peut esp&er de bons r&ultats seulement au centre de la distribution des niveaux. Le fait que la convergence ne soit pas bonne entratne en particulier que, si l'on s'arr~te ~ l'ordre 3, la fonction E(fl) (fig. 3), au lieu d'etre d&roissante partout, ne l'est que dans une r~gion limit& autour du centre de la distribution, par le point E = ½ ~ e l A ~ - (~2/2.~). C'est pourquoi, m~me qualitativement, l'ordre 3 donne de tr~s mauvais r~sultats loin du centre de la distribution (fig. 8) surtout pour le hombre v ou v' de niveaux dans la branche correspondant au signe de .~ (fig. 9). TABLEAU 2 Valeurs n u m & i q u e s des coefficients des d~veloppements en puissances de 8 introduits dans la repr6sentation param~trique p(2V, fl), E ( N , fl) hour diverses valeurs de l'interaction
(1)
~/~
~--½~'e2ZASTS (3)
]
exAT
(4)~sAT(A'-I-4AT-I-T ~) (5)
8m*x
(6)
2V'~
AE
~" = 1 = 0
~ = 1 .~ 2
--1.9
2.5
22
2.5
3t" = 1 .~ 4 8.3 56
6.5
~f'i= 1 .~a = 0
3¢"=0.1 . ~ ' = 1.2
--1.9
0.8
4.4
--1.4
0
--3.4
--1.3
1.2 11
--4.5
I
--3.4
--1.6
0.4
0.7
0.25
0.45
0.73
0.45
1.8
2.5
1.4
2
2
1.5
--5.4
3
3¢"= 1 ~'= 1
3.2
--1.8
Le t e r m e i n d 6 p e n d a n t de 8 ~tant ramen6/L l'unit~ p a r raise en facteur, (1) et (3) s o n t les coefficients des termes en 8, (2) et (4) ceux des termes en 8 s. A E 6rant la distance e n t r e le niveau f o n d a m e n t a l et le niveau excit~ le plus haut, la ligne (5) d o n n e une id6e de la valeur m a x i m u m 8msx= AE/2~ prise p a r 8 aux limites de la r6gion des niveaux. La ligne (6) c o m p a r e la largeur de cette r6gion a l'6cart q u a d r a t i q u e ~ / ~ donn6 p a r la th~orie statistique/L l'ordre 2.
Le fait que les courbes de v o u v' donnent des r~sultats meiUeurs/~ l'ordre 2 qu'/~ l'ordre 4 (fig. 4, 7, 9) ne peut ~tre qu'une coincidence. La convergence limite ]fl] sup&ieurement, alors que la m&hode du col sur v le limite inf~rieurement (~f12 >> 1) (fig. 9). I1 est donc ~tabli que la m~thode du col sur v ne pr6sente aucun avantage. 4.6. C O H ] ~ R E N C E D E S D ~ V E L O P P E M E N T S
LIMITI~S
I1 existe deux mani~res, apr~s avoir r~solu les ~quations du col, de calculer D par des d~veloppements en puissances de l'interaction (c'est-A-dire de fl) arr~t~s au m~me degr~ que celui de la m~thode des perturbations. Celle que
616
ROGER
BALIAN
nous avons employ6e jusqu'A pr6sent consistait A prendre dans le d6veloppement de D a u t a n t de termes que l'ordre de ¢ le permettait. On avait ainsi A l'ordre 2 D = MZAT ~ ce qui donnait une gaussienne, et A l'ordre 4 l'expression (43a).
£
./o¢ -
J
./
;o
'
.~,
£
Fig. 10. Courbes de p pour N = 6, ag" = 1, .W = 2, en conservant dans D l e s d~veloppements en puissances de l'interaction de --~E/afl et de a0t/~N. La courbe a) correspond A l'ordre 2 et la courbc b) A l'ordre 4. Les r~sultats sont encore meiUeurs apr~s intdgration.
On peut proc6der autrement en utilisant la relation exacte
OE / D=--a--~/
~
et en prenant dans les ddveloppements de
aE/afl
et
~/~N,
sdpardment,
DENSIT~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCLI~ONS
617
autant de termes que la mdthode des perturbations le permet. A l'ordre 2, on a alors ,#'A T ~ D---[1 + f e l A T--~-f2e2A T(A~--4A T + T2)] et ~ l'ordre 4 ~4rA T ~
D __
[1-- f'~
[ I + f e l A T - - ½ f 2 e 2 A T ( A 2 - - 4 A T + T ~) + termes en f3 et f4 l
Cette mdthode est bien meilleure que la premiere. A l'ordre 2 on trouve en effet une courbe ayant la dissymdtrie cherch~e (fig. 10a). A l'ordre 4, le d&erminant est positif dans route la r~gion des niveaux; la difficult~ essentieUe dans le calcul de p, le changement de signe de D (fig. 7b), disparalt ainsi. De plus la forme de la courbe est amdlior& dans la r~gion oh D &ait positif (fig. 10b). Les r~sultats des deux m&hodes sont tr~s diff~rents parce que --OE/Of et Oo~/ON n'ont pas le m~me nombre de termes et que les d~veloppements convergent mal; leur rapport est donc different de ce qu'on obtient en effectuant une division de d~veloppements limitds. Par exemple, ( 1 - - f ) / ( l + f ) est positif pour --1 < f < 1, alors que la premiere m&hode conduirait 1--2f qui est positif pour f < 0.5 seulement. Le succ~s de la deuxi~me m&hode tient ~ ce qu'elle introduit le minimum d'erreurs dans le maniement des d~veloppements limit,s. En effet, on a ddduit de l'expression E(N, f) la densit~ de niveaux par les formules exactes
(14), (15a) et (12a): ----
~ aft,
D = -- O--fl/ ON'
S =
f ~-~ aft.
La seule approximation est (en dehors de la m~thode du col) l'utilisation d'un d~veloppement limitd de E(N, f). Au contraire, dans la premiere mdthode, on ajoute ~ cette erreur celle de prendre D sous forme d'un d~veloppement limit& Le calcul direct de D est d'ailleurs plus long que celui qui est bas~ sur l'emploi de la formule (15a). 4.7. R O L E D U C H A M P S E L F - C O N S I S T A N T
Jusqu'~ present, nous avons introduit settlement des ddveloppements en puissances de l'interaction; l'introduction du champ self-consistant ne nous a servi qu'~ simplifier les calculs. Pour en tenir compte exactement, il Iaut rfisoudre les ~quations du col en supposant fiex de l'ordre de grandeur de l'unit~, et en d~veloppant en puissances de l'interaction en ce qui concerne les autres param&res. L'expression que l'on obtient ainsi k l'ordre 4 pour E(N, f) est alors pr&is~ment l'expression (31b), au terme en e** pros qui
618
RO~ER BALIAN
d6pend maintenant de fie1 (mais on peut n6gliger cette petite correction). Nous trouvons ainsi la raison principale du succ~s de la deuxi~me m6thode pour le calcul de D: elle tient exactement compte du champ self-consistant, puisqu'elle n'introduit pas d'autre erreur que celle sur E(N, fl). Au contraire le d6veloppement de D en puissances de $ n'en tient pas compte. L'examen du tableau 2 montre d'ailleurs que lorsque le champ selfconsistant, donn6 dans la ligne (3), est faible (2~me et 5&me colonnes), les coefficients des termes en f12 (lignes (2) et (4)) sont petits. La convergence du d6veloppement E(N, fl) est donc meiUeure lorsque le champ self-consistant est faible. Le r61e fondamental du champ self-consistant est confirm6 par l'6tude de la convergence des ddveloppements (24) et (28) de ~b(~, fl) (fig. 11). Le d6veloppement (28) en puissances de la perturbation, bien qu'fl converge rigou4 1
,
i
,/
75"
/'~"
I ~-o.s I
#5.
//./~..~=-
o
ao
.. /
.~
~o
i~.\.
Fig. ll. La surface ~ (~,8) pour une force de Majorana ~ ' = l, =~' = 0, repr~sent6e par des coupes & fl constant, clansla r6gion utilepour les calculsde densit~ de niveaux. La courbe en trait plein repr6sente la valeur exacte de 4, les courbes en pointilIAscorrespondent ~ l'expression (24) tenant compte du champ self-consis~nt, et les courbes en pointiIMs mixtes au d 6 v e l o p p e m e n t (28) en p u i s s a n c e de l ' i n t e r a c t i o n . Les n o m b r e s 2, 3 et 4 se r~f~rent ~ l ' o r d r e a u q u e l ces d ~ v e l o p p e m e n t s s o n t arr~t~s.
DRNSITI~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCLEONS I
i
I
i
7S
BO
• 40-
[ °"sI/ (~ :"
4
~" / i o
J J
Fig. 11 (suit, e)
S.~.¢~
6]9
620
ROGER
BALIAN
reusement pour x et fl assez petits, donne de tr~s mauvais r6sultats, soit que le rayon de convergence soit tr~s faible, soit que la convergence soit trop lente. Au contraire, le d6veloppement (24) (tenant compte du champ selfconsistant A l'ordre 1) donne d6jA au second ordre une courbe voisine de la courbe exacte, et les courbes des ordres suivants montrent qu'il converge rapidement. Cette conclusion est infirm~e dans la r~gion oh l+flel[+[_ < 0, car le champ self-consistant, et par suite $, y ont trois d6terminations. Aucune de celles-ci ne donne le r6sultat exact avec une bonne approximation. En conclusion, la m~thode statistique donne de bons r6sultats, m~me pour un nombre tr~s faible de particules, si on applique la m6thode du col pour la densit6 de niveaux. L'emploi de la m6thode du col pour l'int6grale de la densit6 de niveaux introduit des erreurs suppl6mentaires, et ne pr6sente aucun avantage. L'emploi, dans la r6solution des 6quations du col, de formules exactes reliant les expressions en fonction de N e t de/5, de l'6nergie, de ~, de ,,l'entropie" S, et du d6terminant des d6riv6es secondes, permet de r~duire l'erreur au minimum en ramenant tout ~ une seule expression approch6e. Enfin, la convergence est bien meilleure si l'on tient compte exactement du champ self-consistant, tout au moins lorsque celui-ci a une seule d6termination. I1 est vraisemblable que les r6sultats seraient encore meilleurs si on prenait un champ self-consistant A un ordre plus 61ev6 que le premier. Plut6t que de pousser aux ordres sup6rieurs de la m6thode des perturbations, il vaut donc mieux utiliser la m6thode avec champ selfconsistant. L'auteur tient A remercier tout particuli~rement le Professeur C. Bloch qui l'a constamment guid6 durant ce travail, et Monsieur V. GiLlet qui a coUabor6 la 2~me et A la 3~me pattie.
Bibliographie 1) 2) 3) 4) 5) 6)
R. H. Fowler, Statistical Mechanics (Macmillan, New-York, 1936) T. Ericson, Nuclear Physics 6 (1958) 62; 8 (1958) 265 C. Bloch, Phys. Rev. 93 (1954) 1094 C. Bloch et C. De Dominicis, Nuclear Physics 7 (1958) 459 E. P. Wigner, Phys. Rev. 51 (1939) 947 Eliott et Lane, Handbuch der Physik, vol. 39, p. 323
DENSIT]~ DE NIVEAUX D ' U N S Y S T ~ M E DE NUCL]~ONS EN I N T E R A C T I O N D A N S UNE COUCHE R O G E R BALIAN
Centre d'~tudes Nuddaires de Saday, Gi/-sur-Yvette (S. et 0.) Re~u le 29 juin 1959 Using perturbation theory, the grand partition function is calculated for the completely degenerate system of interacting nucleons inside a shell. T h e level density is then derived by the Darwin-Fowler method. The purpose is to compare these results to exact levels known for a p-shell. The method gives fairly good results, even for a small number of particles, provided t h a t the self-consistent field is taken into .account, and t h e calculation is carried out in a coherent way; there is no advantage in performing the saddle point method after integration of the level density.
Abstract:
1. Introduction La densit~ de niveaux d'un syst~me compos6 d'un grand hombre de particules peut se d6duire de la grande fonction de partition par des m6thodes statistiques 1). Ce probl~me se traite en toute g6n6ralit6 pour des nucl6ons (ou des ,,excitations 616mentaires") ind6pendants 2), ou interagissant dans l'approximation de longue port6e 3). L'emploi de la m6thode des perturbations pour le calcul de la grande fonction de partition 4) permet de tirer, par la m6thode du col, la densit6 de niveaux d'un syst~me de nucl6ons en interaction. On se propose ici de tester la validit6 des approximations faites, en comparant, dans un module particulier, les r6sultats de cette th6orie approch6e aux niveaux exacts. Darts le module utilis6, les nucl6ons sont dans un puits moyen A sym6trie sph6rique; toutes les couches sont completes, A l'exception de l'une d'entre elles, de moment angulaire l, comprenant N particules et ~ " ---- 4 (2l+1) 6tats individuels; on n6glige la pattie de l'interaction entre les particules qui induit des transitions entre ces 6tats et ceux des autres couches; A l'int6rieur de la couche, l'interaction est ind6pendante du spin et du spin isobarique, et est invariante par rotation. Dans ces conditions, on est ramen6 au probl&me de N particules dont l'hamiltonien est l'interaction V ~ l'int6rieur de la couche, l'hamfltonien non perturb6 6tant nul. On est A l'oppos6 du module particules ind~pendantes: le syst~me non perturb6 est compl~tement d6g6n6r6; c'est l'interaction qui s6pare les niveaux. Darts la section 2, nous rappellerons la solution exacte du probl~me pour une couche p. Darts la section 3, nous calculerons la grande fonction de partition Z(~,/5) et nous en d~duirons la densit6 de niveaux par la m6thode 594
DENSITY- DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
595
de Darwin-Fowler. Pour obtenir cette densit4 de niveaux A une grande 4nergie d'excitation, nous serons amen4s A introduire des valeurs de fl n4gatives. En effet, le nombre de niveaux est fini, contrairement Ace qui se passe usueUement en thermodynamique, oh l'4nergie des niveaux excit6s n'est pas born4e sup4rieurement; le syst~me, de matrice densit4 p = e-an~ tr e -an, est dans un 4tat put non seulement lorsque fl -+ + oo (l'4tat fondamental), mais aussi lorsque fl--~--oo (l'4tat d'6nergie maximum). Les valeurs positives et n4gatives de fl jouent donc des r61es sym4triques. La section 4 sera consacr4e aux r4sultats.
2. Diagonalisation
Exacte de l'Hamiltonien
dans une Couche p s,6)
L'interaction est caract4ris4e p a r ses valeurs moyennes Vr. dans des 4tats A deux particules de moment orbital total L (L = 0, 1, 2 darts la couche p). Les 4tats A N particules qui diagonalisent V sont ceux pour lesquels le moment angulaire orbital total L, et le type de sym4trie de la fonction d'onde d'espace sont bien d4finis. La valeur de V dans ces 6tats est
V = { ( V x + V a ) - ~ N ( N - - 1)+{(V0--V,)[N--½L ( L + 1)]--{(2V0--3VI+V,)S;
(1) S ---- nA--n s ne d4pend que du type de sym4trie de la fonction d'onde d'espace. C'est la diff4rence entre le nombre de liaisons antisym4triques et le hombre de liaisons sym4triques du diagramme d'Young de la foncfion d'espace. Lorsque la force est du type Wigner, les fonctions d'onde individueUes dans la couche p sont des combinaisons lin4aires de xR (r), yR(r) et zR(r); t o u s l e s 414ments de matrice de V s'expriment en fonction des deux param~tres .W = f x x ' x , ' l R (rx)l'lR(r,)]'V(rx,)dr~dr,,
= f xxx,y xyi[R (rx) l*[ R (r,) [*V (rxz)drx d r y et l'interaction s'~crit
V = (~e--2X)½N(N--1)+~[N--½r.(L+I)--2_=]. Une variation de .~a introduit simplement une translation d'ensemble des niveaux; une variation de J d une homoth4tie. Cette propri4t6 permet de rapporter les courbes de densit4s de niveaux approch4es correspondant A diverses valeurs de .W et de J~d A la m~me courbe exacte. Pour un m41ange Wigner-Majorana, en introduisant de m~me les param~tres .ga, et 3¢", on a
506
ROGER
BALIAN
V o = ( . Z ' + 2 9 U ) + ( . ~ a ' + 2 9 U ') V 1 = (~--33U)--(o~q°'--39~'), v, =
et les d e u x t e r m e s d 6 p e n d a n t de L e t ~ ne sont plus proportionnels. Les positions exactes des n i v e a u x se d6duisent i m m 6 d i a t e m e n t de la classification des fonctions d ' o n d e A N particules s u i v a n t le t y p e de s y m 6 t r i e = L, le spin total S, et le spin isobarique T, que nous rappelons d a n s le t a b l e a u 1. TABLEAU
1
Classification des fonctions d'onde de N particules dans une couche p m
N
m
Type de symdtrie d'espace
(S, T)
L
Ddg~n6rescence pour chaque valeur de L
2
(2) (1, 1)
--1 +1
0,2 1
(o, 1) (1, o) (o, o) (1, 1)
6,30 30
3
(3) (2, 1)
--3 0 3
1,3 1,2 0
(½, ½) (½, ½) (½, t) (~, ½~ (½, ½) (t, t)
12, 28 60, 100 20
(4) (3, 1) (~, 2) (2, 1, 1)
--6
0,2,4
--i
1,2,3 0,2 1
(o, o) (o, 1) (1, o) (1, 1) (o, o) (1, 1) (0, 2) (2, o) (o, 1) (1, o) (1, 1) (1, 2) (2, 1)
1,5,9 45, 75, 105 20, 100 135
(4, 1)
--5
1,2,3,4
--i
1,2,3 0,2 1
(½, ½) (½, ½) (½, t) (J, ½) (½, ½) (½, t) (0, ½) (t, t) (½, ½) (½, t) (], ½) (t, t) (½, t) (t, ½)
12, 20,28,36 60, 100,140 36,180 180
(o, 1) (o, o) (o, o) (o, 1) (2, o) (o, 1) (3, o)
6,30,30,42,54 30,70 30, 70 192,320
(1, 1, 1) 4
(3, 2)
(3, 1, 1) (~, 2, 1) (4, 2)
(4, 1, 1) (3, 3) (3,2, 1)
--]00'33-2-'i2'3'41'31'21'3
(2, 2, 2)
(1, o) (1, 1) (1, i) (1, o) (1, 1) (1, 1) (0, 2) (1, 2) (2, 1) (1, o) (1, 2) (2, 1) (0, 3)
50
L o r s q u e le n o m b r e N est sup~rieur h ½~/" (pour une couche quelconque), on p e u t former la fonction d ' o n d e h ./t/'--N particules, ~o(JV'--N) = fd(N)~o* (N)~(Mz), ~2(Mz) 6tant la fonction d ' o n d e de la couche complete. Soit, dans le formalisme de la seconde q u a n t i f i c a t i o n , Iq,(N))=
2~
C,j...~,+~..[O),
t > t > ... = • t>J> ...
DENSIT]~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
597
Le potentiel s'dcrit, avec les notations de la troisi~me partie,
V = -} ~,
(2)
la|mn
ou encore v = ¼ X
g,n
(3)
l
Si It(N)> est Ionction propre de V (dcrit sous la forme (2)) on voitimmddiatement que <~0(~--N) l est aussi fonction propre du premier terme de V (dcrit sous la forme (3)) avec la m~me valeur propre; le second terme ne ddpend que du nombre de particules, puisque (dquation (20))
~,
I1 donne la contribution suppldmentaire el(½,#'--N ) ~ l'rnergie. Par suite, les dtats h N particules et ceux AJV'--N particules se correspondent un A un, et leurs dnergies sont lides par
Ew-n = EN-t-e~(}J~/'--N).
(4)
3. Calcul de la G r a n d e F o n c t i o n de P a r t i t i o n et de la D e n s i t 6 de Niveaux 3.1. M J ~ T H O D E D E D A R W I N - F O W L E R
1)
La densitd de niveaux /t N particules et d'dnergie E dtant p (E, N), la grande fonction de partition s'dcrit
Z(~, r) = e~(*',P~ =
f dEdNp(F_.,N)e-PE+~
(5)
et la densitd des niveaux s'obtient par la transformde de Laplace inverse
p(E, N) -- (2hi)'
dfld~e÷+Ps-~'
(6)
l'intdgrale sur ~ et fl dtant prise sur des parall~les ~t l'axe des imaginaires, d'abscisses ~o et rio. Le calcul de cette intdgrale par la mdthode du col permet de ddduire de la densitd des niveaux. Les valeurs de a et fl au col sont ddtermindes par les dquations
a._~---_ N, ao¢ a~ a# _
(7a) E.
(75)
Une expression approchde pour p s'en dddttit en prenant % et 80 au col, et en ddveloppant au voisinage de ao et rio:
598
ROGER BALIAN
es
1
p(E, N) ~ 2--~V D ' O ~
S -----[¢+15E--~]oot, ¢'~;
~b~'a
(8)
les q u a n t i t & S e t D 6tant prises pour les valeurs de ,c et fl tir&s des 6quations
(7). Nombre de niveaux De la m~me fagon, on peut tirer de ~ l'int~grale de p, c'est-A-dire le nombre v(E, N) ou v'(E, N) de niveaux d'6nergie inf6rieure ~ E, ou sup&ieure A E:
v'(E, N) = v(+oo, N)--v(E, N); comme 9v
9---E(E, N) = #(E, N), on a F 1 v(E, N) -- (2rd)~ |.d15d~ I
v'(E, Y ) =
/'
(2zd)~
Jd15d
e@+#g--~dv
15
pour
150 > O, (9)
eo+pE-~v
--15
pour
L'application de la m6thode du col pour v o u 6quations
15o < O.
v' conduit aux nouvelles
9¢
9-~ = N,
9¢ 915
(10a)
1 15
. . . . .
E.
(10b)
P o u r une racine 15o positive de ces 6quations, on peut ci~lculer
v(E,N)
1
es
2~
d~p
¢'5 D z ~-
"l
IflolVDx'
,,
+
(11)
1
P o u r une racine 15o ndgative, on obtient v' (E, N) par la mgme formule.
Rdsolution des dquations du col Si on consid6re t5 et N comme variables ind6pendantes, l'6quation (7a) ou (10a), N = a¢/a~, ddtermine ~ au col comme fonction de 15 et de N; les 6quations (7b) ou (10b) donnent, apr6s remplacement de x par l'expression obtenue, l'dnergie E en fonction de 15 et de N; de mgme les 6quations (8) et
DENSIT~ DE NIVEAUX D'UN SYSTEM~ DE NUCL]~ONS
599
(11) donnent p ou ven fonction de f e t de N. Les diverses fonctions de f e t de N. qui s'introduisent ainsi ne sont pas inddpendantes; eUes sont lides par les relations remarquables suivantes (analogues A celles qui s'introduisent en thermodynamique) : as
aE
as
ag
as
aE : f~-~--,¢,
~-= fin
=
1
(calculde p),
(12a)
(calcul de v);
(12b)
(13)
aE
~--~;
(14)
OE/O~
(calcul de p),
(15a)
aE / a~¢
(calcul de v).
(15b)
Ces relations facilitent la r6solution des dquations du col. En effet, au lieu de tirer des dquations du col (7) ou (10) ~ et f e n fonction de E et N, puis de reporter dans les expressions (8) ou (11) pour avoir la densitd des niveaux en fonction de E pour N fixd, il est plus commode d'dliminer seulement ~. Les courbes de densitds de niveaux en fonction de rdnergie, pour N fixd, sont alors donndes par leur representation paramdtrique de param~tre f, et on peut s'aider des relations (12) A (15) pour 61iminer ~. 3.2. C A L C U L D E L A G R A N D E F O N C T I O N D E P A R T I T I O N P E R T U R B A T I O N S 4)
]PAR L A M ] ~ T H O D E D E S
Darts le formalisme de la seconde quantification, la grande fonction de partition s'dcrit, en introduisant un champ self-consistant H 0, Z(,¢, fl) ~ tr e -pnrp(v-no)+=v, (16) oh N = ~ ~,+~,, '
v = ¼Y
(17a)
~+ est l'opdrateur de crdation dans l'dtat Hi> A une particule, caractdrisd par les projections m~, s~, t~ du m o m e n t orbital, du spin et du spin isobarique; lij> ddsigne l'6tat antisymdtrisd A deux particules dans les dtats i e t i, de bra conjugud (]'if. L'61dment de matrice vaut
600
ROGER BALIAN
(ijIV[kl) = X (llmjm,lLM)(llmkm~[LM)VL[~,,,~,,,,~*~*~,,t,-- (-- )L~,,,,~*f,~t,t~*,*,~ ( = X (llm~m,lLM) (llmkmz[LM) (½ ½sjs,lSMS)(½ ½s~s,[SMS) LM SMS (½½tjt,]TMT)(1½tkt~[TMr)[1--(--)L+S+TJVL (17C) TM T
E t a n t donn6 la sym6trie du probl~me, le champ self-consistant H 0 est simplement proportionnel ~t N: H o = Noa. La m~thode des perturbations conduit au ddveloppement $ = log Z = Z l o g ( I + e ~ - P g ) + Z,ffil°~(--)" pfl-7( ( V - - H 0 ) ' ) e ,
(18)
le dernier terme 6tant ~t prendre sur tousles diagrammes connexes d'ordre p. On tracera les diagrammes A la Hugenholtz; chaque interaction est alors repr~sent6e soit par (ij]V[kl), soit par - - 8 , et fl faut attribuer le poids ½ chaque double ligne. Aux lignes descendantes et montantes sont attach6s les facteurs /_-
1 l+e_~+/t,
1 /+ = l + e ~ - ~ ~ .
(19)
Ces facteurs 6tant ind6pendants de l'indice de ligne, car t o u s l e s 6tats non perturb6s ont m~me 6nergie o~, les sommations sur les 6tats ne portent que sur les 616ments de matrice et se font ind6pendamment de l'ordre des vertex dans le temps. En raison des propri~t6s de conservation de V, l'6tat correspondant A la ligne entrante est le m~me que celui de la ligne sortante pour une pattie irr6ductible de diagramme. On peut effectuer les sommations d'616ments de matrice correspondant ~t certaines de ces parties diagonales. Pour une sous-6chelle d'ordre n (fig. la), compte non tenu du signe et des facteurs 21- des doubles lignes, on pose
d
(~)
(d)
(c)
(d)
Fig. 1. Exemples de parties diagonales: a) b) c) d)
Sous-~chelle Polarisation Une boucle passive Plusieurs boucles passives.
601
DENSITI~ DE NIVEAUX D'UN SYSTI~ME DE NUCLI~ONS 2 n--1 £n
= ~,,
m.
(20)
=2--1~ ¢
2n+1
--
~ [4-- (__)L] ( 2 L +
dV" L
1)VL".
Pour une partie diagonale de type polarisation d'ordre n (fig. lb), on pose
p~ = ~.
~q
= ~(~)A
{[~L [ 4 - ( - ) L ] ( 2 L + I )
Ill '~1VLI'+15 [-- ~L ( 2 L + l ) ( Ill tllL, l l L '~IVLI"} '
Dans ce calcul, on a transform6 chaque 616ment de matrice 6crit sous la forme (17c) A l'aide de la relation
~.
= (-)J(2J+l)
~ (-)~,+~,
{iiiiL4} @-mamllX/~>@-mzm~I~/~ >.
On a utilis6 les relations d'orthogonalitd des coefficients de Clebsch-Gordan, et on a effectual les sommations sur les variables de spin grace anx formules de sommation sur les coefficients de Racah. En particulier, une boucle passive (fig. lc) donne la contribution e1 = --Px, et une partie diagonale formde de n boucles passives (fig. ld) donne el~, queue que soit la disposition de ces boucles. Si on prend un champ self-consistant au premier ordre, les boucles passives et les interactions --d ~ s'dliminent, ~ condition de prendre
soit
Ho = ell_N,
6' = el/_.
(22)
Le facteur/_ est donc donn6 par l'dquation 1
]_ = lq_e_=+e,,,_,
(23)
qui admet une solution unique pour fie, > --4. On dolt alors prendre pour ff tousles diagrammes connexes sans boucle passive ni interaction H o, sauf en ce qui concerne les diagrammes d'ordre 1, qui ne s'~liminent pas, ~t cause du facteur } de la double ligne. Le calcul a fit{ pouss6 jusqu'~ l'ordre 4; on ddcompose chaque diagramme en parties diagonales du type precedent; la sommation sur l'indice de la
602
ROGXR BALIAN
ligne t r a v e r s a n t les parties diagonales donne un f a c t e u r ~ . I1 reste ensuite d 6 n o m b r e r les diagrammes diff6rant entre eux p a r l'ordre des vertex, en associant A chacun d ' e u x le poids dfi a u x doubles lignes, le signe et le p r o d u i t des facteurs [+ ou ]_. On t r o u v e ainsi les contributions suivantes A $ / j f r (fig. 2):
0 ¢.I) ® 0.-.....
Fig. 2. Les d i a g r a m m e s c o n t r i b u a n t ~ l'expression (24) de ~ (avec c h a m p self-consistant) (b) ordre 1 (c) ordre 2 (d) et (g) ~chelles d ' o r d r e 3 et 4 (e) et (h) polarisation d ' o r d r e 3 et 4 (f) ordre 4: d e u x sous-dchelles d ' o r d r e 2 (i) et (j) les a u t r e s d i a g r a m m e s d ' o r d r e 4.
ordre 0: - - l o g / + , 1 e1/-- 2+ f i e 1 / - - 2, ordre 1: --~fl ordre 2: ~-fl2ez/_~/+s, ordre 3:
(24a) (24b) (24c)
~ ~ts+ 2if - - i -a~ aa " easv - 2 + tt+ ~t
(24d)
_{flapj
(24e)
a/+a,
ordre 4: ~%V_V+=Sf_~-4/_/++/+ ~]
(240
+~4p4/_4/+'
(24h)
+~fl, q/_a/+a~f_,_/_/+ + /+,] + 2~-~fl4r/_a/+a[/_2--4/_/++ /+z].
(24j)
(24i)
Dans les d e u x derniers t y p e s de d i a g r a m m e s la s o m m a t i o n sur les dl~ments de m a t r i c e de V i n t r o d u i t d e u x coefficients n o u v e a u x q et r, qui se calculent e x a c t e m e n t c o m m e les coefficients e. et Pn. On t r o u v e
1
q = - Z 2 / + 1 LItLtLs
(2LI+ I) (2Ls+ I) (2La+ I) [4-- (--)L'+L'+%][4-- (--)Lt-- (_)G_ (_)z, x
fLlz z
Iz
L,z ~ v,_v,,v L,
tl
l L 81
(2~
DENSIT~ DE NIVEAUX D'UN SYST/~ME DE NUCL]~ONS
60~
expression qui ne diff~re de P8 que par le remplacement de VL8 par V~s, et r
_
~., (2L+l)(2L'+l)(2L"+l)(2L'"+l)(2X+l) 2 l 1+ 1 L,L'L"L"A
t" /Izz tllLHllL"Hl l l!
{ ( 4 - - ( - - ) " ) ( 4 - - ( - - ) " ) ( 1 + ( - - ? + ~ ' ) ( 1 + (--)~'+~")--15(--)~'+~"}V,.V,,V,.,,V,.,,,. Si on n'introduit pas de champ self-consistant on a simplement 1
1
l+e-"
l--
1+ =
l+e"
(27)
Mais il faut prendre pour ¢ tous les diagrammes connexes, qui s'obtiennent en ajoutant de toutes les mani~res possibles des boucles passives aux diagrammes pr6c6demment introduits. Le r6sultat peut s'6crire imm6diatement en remarquant que, dans ce cas particulier, le d6veloppement en puissances de la perturbation est un d6veloppement en puissances de 8. On aura donc les contributions de tous les diagrammes jusqu'~ l'ordre 4 en d~veloppant en s~rie l'expression (24) jusqu'A l'ordre 4 en 8. Les deux premiers termes de cette expression fournissent les contributions des diagrammes constitu6s uniquement de boucles passives. On trouve (A l'ordre 3) l'expression suivante: ¢ ~V
log/+--~v
1/-
T~e
~/--
/+
--~
1 ~-
~+
-~8%1,~1+~(1+'+1_ ~)-{8~p~1_~12
(28)
~ ~e~~ (1_~1+-~/_ ~1+~)+ 1 ~8 ~ e~ed/_ ~t+ ~-t_ ~1+a)+ ... +~8 3.3. CALCUL DE LA DENSIT]~ DE N I V E A U X
Dans la r6solution des 6quations du col, en partant de l'expression de $ avec champ self-consistant, on utilise les relations
a/__
a/+_
a~
a~
a/_
a/+
as-
as-
/+l1+SeJ+l- '
a/_
(29)
ed_ ~ .
On d6signe par A = N/./V le nombre relatif de particules dans la couche, et par T = (MZ--N)/JF" = 1--A nombre relatif de trous dans la couche. Les expressions E, S et D sont calcul6es par des d6veloppements en puissances des 8VL, limit6s au m~me ordre que celui qui provient de la m6thode des perturbations pour ~. O.n obtient ainsi les m~mes r6sultats que si on avait utilis6 l'expression (28) pouss6e jusqu'& l'ordre 4, mais avec moins de calculs, l'introduction du champ self-consistant A l'ordre 1 6tant bien adapt~e & la sym6trie trous-particules du probl~me.
(26)
604
ROGER
BALIAN
Les 6quations d u col s ' & r i v e n t A =
(/+--[-) 1_+ l+fle:/+/_ E
e~/_a¢
-- ~
ao~
r l m e ~ ~ 2 l m e ~ 2~ 2/~ ~ : : + ~ 2~ lm~, ~ a~ a + .], L~" ~ + ~- - - ~ e s~+ s- v+ --~+~- ~- ~--~" ras+ ~•• l e
2
~ e
2 11- --~-D
~ 2e 2 2 ~ 2 ~ 2 31+2 f-- 2 "-F'~'~ 3I+ t-- (1+ -{-/-- )-']-'~'~ Pal+
~
1- -[- • • •
L a r6solution donne (ces r6sultats sont encore valables si l'on ne suppose pas f l e l A T p e t i t d e v a n t l'unit6)
A
= log T +fle~A - - ½ f l 2 e z A T ( T - - A ) + f l a F { e 3 A T ( T - - A ) ( A 2 - - A T + T 2)
+ ½ P a A ~ T ~ ( T - - A ) ] + .. ,; E=
1 2- - f l ~ + ~ 1f l 2-~--gfl 1 3(#~---~¢'e, 1 2A 8 T 3) + . . . ~,#'e~A
(calcul de O),
(~ (3
1
E =-fi+½,W'etA*--fl~+½flL~--{fl3(~--½We**A3Ta)+...
(calcul de v o u
v');
oh on a pos6
9~--_½vV'e2A 2T 2, .~= .AZA 2T2F½#(A 3+ T 2) + p s A T], (31d) ~ = ~ A 2 T ~ [ ~ e 4 ( A 4 + 4 A ~ T 2 + T4)+ ~-z~ A 2 T 2 2l"4 + 2 q A T ( A 2 - - A T + T 2 ) + ½ r A T ( A 2 - - 4 A T + T2)]. On tire de ces expressions p e t
v par
s --- 4 , + B E - - ~ V
,Ar.,¢ = log NN(,A/.N).Ar_N
- - ~ vx m
~ + ~1 m .~_¼fl,(~_½,AZe22Aa T a) + aE
h -
a~ aN
OE OE
-
I+
(32)
a~
/
aft /
0-N'
(33a)
1 [I+fle~AT--½fl~e2AT(A2--4AT+T2)+ .#'AT
~_~a+~2(~_~/-~22A~T~
• • •
.
.
.
1
- - O~ ---- t~ -~ + ~ - - t L * + t ~ 2 ( ~ - - ½ " g e ~ 2 A ~ r ~ / +
....
. . .];
(33b)
(calcul de p),
(33c)
(caJcul de v).
(33d)
Dans le calcul de p, l'6nergie E (donn6e p a r la formule (31b)) est une fonction m o n o t o n e de/3 p o u r fl assez petit. Dans le calcul de v o u v', l'6nergie est donn6e p a r la formule (31c); A chaque valeur de E c o r r e s p o n d e n t d e u x
(~
DENSITI~- DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
605
valeurs de ~ de signes contraires (fig. 3) dont l'une fournit v(E, N ) et l'autre v'(E, N ) .
~p
Fig. 3. Variation de E en fonction de fl, dans le calcul (par la m 6 t h o d e du col) de p, de ~ et de ~'. 3.4. DENSITI~ D E N I V E A U K
AYANT
UN MOMENT
ANGULAIRE
DONN~
D'une mani~re analogue, on introduit
-~(~, D, #) = tr e -pn+~N+au,
(34)
oh M est le m o m e n t angulaire orbital total du niveau. La m6thode des perturbations donne (sans introduction, d'un potentiel self-consistant) = log .~*(oq 3, P) = X, l o g ( l + e = + ~ ' ) + ,-I ~ (--) "3~' ~
(35)
et les facteurs attaches aux ligues d~pendent maintenant de l'indice de la ligne. E n conservant les notations (27), on a
/_,
-
1+,
--
1 1 + e-~-~'~' 1
l+e~+m ~,
-
,-/+/_(/_-/÷)~1
_/_+/÷/_~
I+-/+/_~ ,+I+/-(/_-/+)~ m
1
2~
..
3 ~ z, +
"'
(36)
2
, +
.
.
.
.
E n se limitant aux termes en /,2, on trouve pour ~ le d6veloppement jfr - - = --log t + + ~1 31 ~Z(Z+l)l+/_ 1 e xl- 3 + ~ 1 311 x 2f + (2eJ - - g J + ) --~D ~ (I + 1)TP.t-
(37)
__kl~3e ,, 3~ 3+1.21l(l.q_1~1~3~ nt 3r(f t ~3,, M ~ e 1 ~1." 31+ I ~1" T ~ /gAl." ! + . , - i,~ + - - . ' - I 6 3 - - . ' + ; - 3.J 1 2 gl ~/-- 8 / + J F ]i[ A31- ~ l ( ~ A l - 1 ) } p 3 / - 8 / + [ ( f + - - / - ) 2 e 1 2 - - 2 / + / - g 1 9 1 J I - } / + 2 9 1 3 1 2 V "AVID
....
On a pos6
~,
1)gl=~X[4-L
( - - ) L ] (2L--~
1)L ( L + 1)VL, (38a)
606
ROG~.R B A L I A N
Z
o~,
(38b)
L
Les 6quations du col sont maintenant a# N ---- a-~'
(39a)
a# M = ~-~,
(39b)
a# 0fl'
E --
(39c)
que r o n r6soud en fonction de/5, N e t M, par des d6veloppements limit6s: 3M # -- l(l+ 1)M/'A T (1 --fl (el--}gl)A T + . . . ) ,
(40a)
1 1 + e -~ --A (1 +~e 1A T+½fl~A 2T (T--A)el~--½/~ 2½A T ~( T - - A ) e 2 + . . . )
3M 2
(T--A) - [I+~exA(T--A)+ ...]+ .... 2/(/+ 1) .W'2AT E = M f ½ e l A ~ - - ~ + . .. 3M 2 2/(/+ 1)Jr" [(ex--½gl)+~(T--A)*½g~--fl(A2+T2)e~'" "j"
(40b)
(40c)
La densit6 de niveaux ayant une valeur de M fix6e, est donn6e par la formule du col:
qui fournit, ~ l'ordre le plus bas en fl et ell M,
p(E, N, M)
{
3M 2 gV-~+t exp -- 2I(I+I).AfAT
I
~-~
[
E _ ½ . A f elAS +
3M 2 e 1 2/(/+l)M f (1--~gl)
1"}
NN+t (JV'--N)"C-N+½ ( 2 ~ ) } % / ½ ~ l (l+ 1)A T La densit6 de niveaux ayant un L donn6 est alors a p(E, N, L) ~ -- -~--~p(E, N, M = L + { ) .4f~¢+½ e x p (L+{)
I
3L (L + 1) 21(,.I,.A/'AT NN+½(.Af _N)jV._N+I(2zr)I%/~({.Afl(I+ I )A T ) t
s
}
DENSIT]~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
607
4. Comparaison des R~sultats et Discussion La m6thode approch6e introduit trois types d'erreurs: ceUes qui proviennent de la m6thode du col, de la m6thode des perturbations et de la r~solution des 6quations par des d6veloppements limit6s A l'ordre correspondant. 4.1. SYM]~TRIE TROUS-PARTICULES
Les expressions de p(N, fl)ou de v(N,/~) sont sym4triques dans l'4change de A et T, le seul terme dissym~trique est le terme 1,W'elA2 dans l'expression (31) de l'6nergie. Ce r6sultat est d'ailleurs valable A tousles ordres, le seul diagramme dissym6trique en ]+ e t / _ 6tant celui d'ordre 1. La densit6 de niveaux approch6e pour , g ' - - N particules se d6duit donc simplement de celle pour N particules par la translation e1
2--Mz[(MZ--N)'--N 2] = ex({uV'--N). Ce r6sultat 6tant le m~me que celui de la th6orie exacte (formule (4)). il suffit donc d'effectuer la comparaison des r6sultats pour N ~ 6. 4.2. I N F L U E N C E DU NOMBRE DE PARTICULES
Les comparaisons ont 6t~ effectu6es pour un nombre N de particules compris entre 2 et 6, pour p ou v, pour diverses valeurs des param~tres V o, V 1, V 2 et ~ divers ordres de la m4thode des perturbations. Dans tousles cas la precision de la m~thode statistique et la convergence des d~veloppements est ind$pendante de N, m~me si ce nombre est petit (fig. 4). D'ailleurs le succ6s de la m4thode du col est li4 ~ la grandeur de ~4z et non de N, et d'autre part N/,/~ n'est jamais assez petit pour que la contribution des 4chelles soit pr~pond6rante dans la m~thode des perturbations. On peut donc appliquer les m6thodes statistiques m~me pour un nombre de particules faible. 4.3. DENSITIES A. L ' O R D R E 2: R~SULTATS GLOBAUX
Si on se limite dans S e t D ~ rordre le plus bas correspondant ~ ~ arr~t6 l'ordre 2, on a pour p la gaussienne dV'uV+~ e-(E-½JV°ta') ' p(E, N) = V,~_~NN+I(.A/. N).Z._N+ i "V'2~-~
(42)
Nombre total de niveaux L'int~gration de p sur toutes les valeurs de E donne ~.~+~ NN+½(W--N)W-N+I '
qui n'est autre que l'approximation de Stirling pour le nombre exact de
608
ROGER
BALIAN
niveaux A N particules ~ !IN! ( j f r _ N ) !. Ceci est dfi au fait que la m6thode du col s'applique ind6pendamment sur ,t et sur/5, que ceUe qui porte sur/5 n'introduit pas d'erreur ($ est du second degr6 en/~) et que celle sur ~ ne d~pend que du terme d'ordre z6ro de $, et se r6duit A l'approximation de ¥ I~
__!
f
.
.
.
.
.
.
.
.
"
.
.
.
.
ZOO
...........
~, . . . .
~ ....
~o
4O0O
JO0 $00
y/ till
. . . . . .
F i g . 4. Courbes de v e t v" pour diverses valeurs de N (force d e W i g n e r ~ = 1, . ~ = 2; $ a r r 6 t ~ l'ordre 2 a v e c c h a m p s e l f - c o n s i s t a n t ) . L a c o u r b e e n escalier repr6sente l ' i n t 6 g r a l e e x a c t e d e l a densit6 de n i v e a u x , l a c o u r b e e n trait plein v ( E ) ; e n c e q u i c o n c e r n e v'(E), o n a f a c f l i t 6 l a comparaison en portant (en p o i n t i l l 6 ) e n o r d o n n 6 e s l a d i f f 6 r e n c e e n t r e le h o m b r e t o t a l e x a c t de n i v e a u x e t v'(E). O n a i n s c r i t e n quelques points les valeurs de/~ correspondantes.
Stirling. Des erreurs suppl6mentaires s'introduisent si l'on prend A la place du premier terme de D le d6veloppement de O~/ON,ou si l'on pousse A un ordre plus 61ev6 dans la perturbation, car $ n'est alors plus quadratique en/~.
DENSIT~ DE NIVEAUX D ' U N SYSTEM ~- DE NUCLEONS
609
Centre de la distribution Le centre de la gaussienne est le point
E = {.AfelA2
= ~(Vo+SVI-~-SV2)N
2
alors que le centre de la distribution exacte des niveaux est E ~- ~-a(6VI+6V2)N(N-- 1).
Ces valeurs sont voisines A condition que le nombre de particules ne soit pas trop faible (N << N2), et que V o, V x e t V 2 ne soient pas trop diff~rents. De la m~me fa$on, la position exacte des niveaux ayant un L donn6 est, dans le cas otx V x = {E2Vo+V2], E = {(V~+V2) i N ( N - - 1)+{(V0--V2)[N--½L (L+ 1)], alors que le centre de la gaussienne g (E, N, L) (formule 41c) est le point
E = ½Mfe~A 2 - 2l(z+l) 3L(L+I) r (e
-½a) =
eIA2--&(2Vo+SV1--sV2)iL(L+I) ½
1 2 l 5 = y./ffelA --T(Vo--$V2)½L(L+I).
L'accord est grossi~rement bon darts les m~mes conditions que pour
p (E, N). I1 6tait 6vident, 6tant donn~ que r o n s'6tait limit6 aux termes el1 /,2 darts $, que 1'on trouverait une d6pendance ell ½L(L+I), mais il est remarquable que le coefficient de ce terme soit ind~pendant de N.
Nombre de niveaux ayant un L donnd En int6grant p(E, N, L) sur l'6nergie, on trouve que le nombre total des niveaux ayant un L donn6 est 6gal, pour un N fix6, exp
V,~NN+½(,W._N).,C._N.~ (L +½) ~
l_ /
aL(L+I) /
2l (l + ~ T] [½l(l+ 1)~/'AT]t. "
On a port6 (fig. 5) les valeurs exactes et les valeurs approch~es du nombre total de niveaux ayant un L donn~. L'accord est qualitativement bon: le facteur (L +½) correspond ~ la croissance de la d~g~n~rescence pour L faible, le facteur exponentiel ~ la d~croissance du nombre de niveaux de L 61ev& La statistique donne donc de bons r~sultats, compte tenu de la faible valeur de L.
l~talement de la distribution Pour les densit6s de niveaux p(E, N) et p(E, N, L), la largeur de la gaussienne est %/~. Ce r&sultat correspond assez mal au v6ritable 6talement des niveaux. Par exemple, cette largeur %/~ n'est nulle que si V o = V 1 = V2=O, alors que tous les niveaux sont confondus si V 0 ~- V 1 ---- V2, et t o u s l e s niveaux ayant un L donn~ sont confondus si V 1 = {[2V0+V9 ]. Pour une force
610
ROGER
BALIAN
de Wigner avec ~K -- 1 et 0~ variable, ~ / ~ varie alors que les niveaux ne subissent qu'une translation (derni~re ligne du tableau 2); mais cette variation n'est pas consid4rable. I
b
I
I
4OO
\\
\ \
\ x
dro
\
\\
\
\
X \\ x
Ol
\
\
\
\
\
\
\
'\\
J
Fig. 5. N o m b r e de n i v e a u x ayan¢ une valeur de L domage, pour N --- 6. Les lignes reprdsentent le hombre e x a c t de n i v e a u x (apr~s division par le teeteur 2 L + I ) , el: la courbe en pointill4 la valeur approeh4e.
Le fait de se limiter k une gaussienne donne donc un accord assez satisfaisant en ce qui concerne le centre de la distribution et le nombre total de niveaux; mais on n'obtient ni la dissym4trie de la v4ritable distribution ni l'4talement exact. 4.4.
M]~THODE D U COL S U R LE N O M B R E
DE NIVEAUX
Il semble naturel que l'application de la m4thode du col sur le nombre de niveaux ~, dont |a courbe exacte est en escalier, donne de meilleurs
DENSIT]~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCLI~ONS
611
r~sultats que sur la densit~ de niveaux p, dont la courbe exacte est plus singuli~re. Pour faciliter la comparaison, on a int~gr~ p calcul6 par la m~thode du col. En partant de ~ arr~t~ ~ l'ordre 2, et en prenant pour D le d~veloppeI
I
I
I
I
•-'T
I
........
L
/
A
/
/
/
I/ S i
I
I I !
/
/
/
400.
/ ..=.~--.- a,.''~
r
l
o
Fig. 6. Int6grale de p pour N ~ 6 (force de Wigner o f ~ 1, ~ ~ 2; ~ arr~t6 k l'ordre 2 avec c h a m p self-consistant). La constante d'int~gration a d t 6 choisie de mani~re que la courbe (en pointill~), aft le m~me ~cart avec la courbe exacte (en escalier) pour E ~ ~- co et pour E------CO.
ment limit~ correspondant, on voit (fig. 4 et 6) que les r6sultats sont bien meilleurs en calculant directement ~ ou ~'. I1 en est de m~me ~ l'ordre 4 pour lequel, dans le calcul de p (33),
--½e,AT(A'+SAT+T')I + .} (4aa)
612
BALIAN
ROGER
peut devenir n6gatif, alors que dans le calcul de • ou ~' la quantit6
D I = .A/'AT~[1-- . . .] .A/"A T + ~ [1--flelAT+flSexSA2TS+½~Se2AT(AS--4AT+T~)+
...]
(43b)
est partout positive (fig. 7).
o. 4t.."
yQ.85.
//
-0,25
.t
I/
/
.~
~./~-3
¢'/
~
,
0
$
'
'
fr~ ~ '
,
-PO
E
b
4ooa
soo
400.
Fig. 7. Comparaison au 4e ordre en ~ de ~, ~'(eourbes a) et de l'int6grale de p (eourbe b), pour N = 6, avec une force de Wigner J r ' = I, Sa = 2.
Cependant, la m6thode du col sur ~ ou ~' introduit des erreurs syst6matiques suppl6mentaires. Par exemple, le hombre total de niveaux devrait ~tre ~gal ~t ~(E = + o o , N), ou ~t ~'(E = --og, N) ou ~ ~,(E, N ) + ~ ' ( E , N ) .
DENSIT]~ DE
NIVEAUX
D'UN
SYSTI~-ME D E
613
NUCL]~ONS
Or
.Ar~+i
v(E ~- +oo, N) -~ v'(E = --oo, N) = V,~NN+½(.W. ~,(E-~ ~-,W'exA',N).-b~'(E-~ ½,W'e,A',N) ~
e
N).,C_N+i ~¢/~..~,
.A/'~+i
lie.
L'erreur introduite, e/~¢/2~ = 1.085 ou ~/e/z~ ---- 0.930, est faible; elle n'est t
[
I
i
I Fig. 8. C o u r b e s de p a u x or(Ires 2, 3 et 4 p o u r N ~ 6 (force de W i g n e r ~ ~ 1, . ~ ~ 4. O n a i n d i q u 6 la p o s i t i o n d e s n i v e a u x exacts, ainsi q u e leur d~g6n6rescence.
due qu'~ l'emploi de la m~thode du col, le r~sultat ne d~pendant q u e du terme d'ordre z~ro dans 4. D'autre part, si l'on calcule le terme suivant de la m~thode du col, soit par un d~veloppement en s~rie de l'int~grant au voisinage du col, soit en suivant la ligne de plus grande pente, on trouve que son rapport au terme principal est 3
1
Ce terme correctif n'est donc n6gligeable que lorsqu'il en est de m~me du terme compl~mentaire de D 1, de sorte que la difficult~ du signe de D 1 n'est pas r6solue. D'aiUeurs, le domaine d'~nergie dans lequel fl est n~gligeable
ROGER B A L I A N
614
( - - E grand pour v, + E grand pour v') ne couvre pas enti~rement la r6gion o/l se trouvent les niveaux exacts (fig. 9). Malgr6 ces r6sultats meilleurs l'ordre 2 et 4, l'application de la m6thode du col sur v est donc suspecte. 4.5. C O N V E R G E N C E
Le d6veloppement (28) ~tant le d6veloppement en puissances de fl de la fonction analytique log ~ s , Ne -ag+~, converge & l'int6rieur d'un cercle de
a,~ ,,}"
//
l/ 7! 1 - 0.46~ I
/ ! / / /
/
I
i
A
/
/
!
I
o
Fig. 9. Courbes de ~ et v' R l'ordre 3 p o u r N = 6 (force de Wigner~f" = I, . ~ = 2). L s convergence est mauvaise pour [8[ grand, slors que le ler terme correctif & la m6thode du col est sup6rieur R ~ du terme principal lorsque [jSI < 0.22.
rayon non nul. La convergence est doric r/goureuse dans une petite r~gion autour du point E = ~,t"elA ~. D'ailleurs, les r~sultats pour p dans cette r~gion s'am~l/orent lorsqu'on prend des termes suppl~menta/res (fig. 8). Mais cette convergence n'est pas bonne. Le tableau 2 montre par exemple pour N = 6 pour diverses forces de Wigner ou de Majorana, les
DENSIT]~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCL]~ONS
615
coefficients des d6veloppements en puissances de ft. On voit donc qu'on peut esp&er de bons r&ultats seulement au centre de la distribution des niveaux. Le fait que la convergence ne soit pas bonne entratne en particulier que, si l'on s'arr~te ~ l'ordre 3, la fonction E(fl) (fig. 3), au lieu d'etre d&roissante partout, ne l'est que dans une r~gion limit& autour du centre de la distribution, par le point E = ½ ~ e l A ~ - (~2/2.~). C'est pourquoi, m~me qualitativement, l'ordre 3 donne de tr~s mauvais r~sultats loin du centre de la distribution (fig. 8) surtout pour le hombre v ou v' de niveaux dans la branche correspondant au signe de .~ (fig. 9). TABLEAU 2 Valeurs n u m & i q u e s des coefficients des d~veloppements en puissances de 8 introduits dans la repr6sentation param~trique p(2V, fl), E ( N , fl) hour diverses valeurs de l'interaction
(1)
~/~
~--½~'e2ZASTS (3)
]
exAT
(4)~sAT(A'-I-4AT-I-T ~) (5)
8m*x
(6)
2V'~
AE
~" = 1 = 0
~ = 1 .~ 2
--1.9
2.5
22
2.5
3t" = 1 .~ 4 8.3 56
6.5
~f'i= 1 .~a = 0
3¢"=0.1 . ~ ' = 1.2
--1.9
0.8
4.4
--1.4
0
--3.4
--1.3
1.2 11
--4.5
I
--3.4
--1.6
0.4
0.7
0.25
0.45
0.73
0.45
1.8
2.5
1.4
2
2
1.5
--5.4
3
3¢"= 1 ~'= 1
3.2
--1.8
Le t e r m e i n d 6 p e n d a n t de 8 ~tant ramen6/L l'unit~ p a r raise en facteur, (1) et (3) s o n t les coefficients des termes en 8, (2) et (4) ceux des termes en 8 s. A E 6rant la distance e n t r e le niveau f o n d a m e n t a l et le niveau excit~ le plus haut, la ligne (5) d o n n e une id6e de la valeur m a x i m u m 8msx= AE/2~ prise p a r 8 aux limites de la r6gion des niveaux. La ligne (6) c o m p a r e la largeur de cette r6gion a l'6cart q u a d r a t i q u e ~ / ~ donn6 p a r la th~orie statistique/L l'ordre 2.
Le fait que les courbes de v o u v' donnent des r~sultats meiUeurs/~ l'ordre 2 qu'/~ l'ordre 4 (fig. 4, 7, 9) ne peut ~tre qu'une coincidence. La convergence limite ]fl] sup&ieurement, alors que la m&hode du col sur v le limite inf~rieurement (~f12 >> 1) (fig. 9). I1 est donc ~tabli que la m~thode du col sur v ne pr6sente aucun avantage. 4.6. C O H ] ~ R E N C E D E S D ~ V E L O P P E M E N T S
LIMITI~S
I1 existe deux mani~res, apr~s avoir r~solu les ~quations du col, de calculer D par des d~veloppements en puissances de l'interaction (c'est-A-dire de fl) arr~t~s au m~me degr~ que celui de la m~thode des perturbations. Celle que
616
ROGER
BALIAN
nous avons employ6e jusqu'A pr6sent consistait A prendre dans le d6veloppement de D a u t a n t de termes que l'ordre de ¢ le permettait. On avait ainsi A l'ordre 2 D = MZAT ~ ce qui donnait une gaussienne, et A l'ordre 4 l'expression (43a).
£
./o¢ -
J
./
;o
'
.~,
£
Fig. 10. Courbes de p pour N = 6, ag" = 1, .W = 2, en conservant dans D l e s d~veloppements en puissances de l'interaction de --~E/afl et de a0t/~N. La courbe a) correspond A l'ordre 2 et la courbc b) A l'ordre 4. Les r~sultats sont encore meiUeurs apr~s intdgration.
On peut proc6der autrement en utilisant la relation exacte
OE / D=--a--~/
~
et en prenant dans les ddveloppements de
aE/afl
et
~/~N,
sdpardment,
DENSIT~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCLI~ONS
617
autant de termes que la mdthode des perturbations le permet. A l'ordre 2, on a alors ,#'A T ~ D---[1 + f e l A T--~-f2e2A T(A~--4A T + T2)] et ~ l'ordre 4 ~4rA T ~
D __
[1-- f'~
[ I + f e l A T - - ½ f 2 e 2 A T ( A 2 - - 4 A T + T ~) + termes en f3 et f4 l
Cette mdthode est bien meilleure que la premiere. A l'ordre 2 on trouve en effet une courbe ayant la dissymdtrie cherch~e (fig. 10a). A l'ordre 4, le d&erminant est positif dans route la r~gion des niveaux; la difficult~ essentieUe dans le calcul de p, le changement de signe de D (fig. 7b), disparalt ainsi. De plus la forme de la courbe est amdlior& dans la r~gion oh D &ait positif (fig. 10b). Les r~sultats des deux m&hodes sont tr~s diff~rents parce que --OE/Of et Oo~/ON n'ont pas le m~me nombre de termes et que les d~veloppements convergent mal; leur rapport est donc different de ce qu'on obtient en effectuant une division de d~veloppements limitds. Par exemple, ( 1 - - f ) / ( l + f ) est positif pour --1 < f < 1, alors que la premiere m&hode conduirait 1--2f qui est positif pour f < 0.5 seulement. Le succ~s de la deuxi~me m&hode tient ~ ce qu'elle introduit le minimum d'erreurs dans le maniement des d~veloppements limit,s. En effet, on a ddduit de l'expression E(N, f) la densit~ de niveaux par les formules exactes
(14), (15a) et (12a): ----
~ aft,
D = -- O--fl/ ON'
S =
f ~-~ aft.
La seule approximation est (en dehors de la m~thode du col) l'utilisation d'un d~veloppement limitd de E(N, f). Au contraire, dans la premiere mdthode, on ajoute ~ cette erreur celle de prendre D sous forme d'un d~veloppement limit& Le calcul direct de D est d'ailleurs plus long que celui qui est bas~ sur l'emploi de la formule (15a). 4.7. R O L E D U C H A M P S E L F - C O N S I S T A N T
Jusqu'~ present, nous avons introduit settlement des ddveloppements en puissances de l'interaction; l'introduction du champ self-consistant ne nous a servi qu'~ simplifier les calculs. Pour en tenir compte exactement, il Iaut rfisoudre les ~quations du col en supposant fiex de l'ordre de grandeur de l'unit~, et en d~veloppant en puissances de l'interaction en ce qui concerne les autres param&res. L'expression que l'on obtient ainsi k l'ordre 4 pour E(N, f) est alors pr&is~ment l'expression (31b), au terme en e** pros qui
618
RO~ER BALIAN
d6pend maintenant de fie1 (mais on peut n6gliger cette petite correction). Nous trouvons ainsi la raison principale du succ~s de la deuxi~me m6thode pour le calcul de D: elle tient exactement compte du champ self-consistant, puisqu'elle n'introduit pas d'autre erreur que celle sur E(N, fl). Au contraire le d6veloppement de D en puissances de $ n'en tient pas compte. L'examen du tableau 2 montre d'ailleurs que lorsque le champ selfconsistant, donn6 dans la ligne (3), est faible (2~me et 5&me colonnes), les coefficients des termes en f12 (lignes (2) et (4)) sont petits. La convergence du d6veloppement E(N, fl) est donc meiUeure lorsque le champ self-consistant est faible. Le r61e fondamental du champ self-consistant est confirm6 par l'6tude de la convergence des ddveloppements (24) et (28) de ~b(~, fl) (fig. 11). Le d6veloppement (28) en puissances de la perturbation, bien qu'fl converge rigou4 1
,
i
,/
75"
/'~"
I ~-o.s I
#5.
//./~..~=-
o
ao
.. /
.~
~o
i~.\.
Fig. ll. La surface ~ (~,8) pour une force de Majorana ~ ' = l, =~' = 0, repr~sent6e par des coupes & fl constant, clansla r6gion utilepour les calculsde densit~ de niveaux. La courbe en trait plein repr6sente la valeur exacte de 4, les courbes en pointilIAscorrespondent ~ l'expression (24) tenant compte du champ self-consis~nt, et les courbes en pointiIMs mixtes au d 6 v e l o p p e m e n t (28) en p u i s s a n c e de l ' i n t e r a c t i o n . Les n o m b r e s 2, 3 et 4 se r~f~rent ~ l ' o r d r e a u q u e l ces d ~ v e l o p p e m e n t s s o n t arr~t~s.
DRNSITI~ DE NIVEAUX D'UN SYST~ME DE NUCLEONS I
i
I
i
7S
BO
• 40-
[ °"sI/ (~ :"
4
~" / i o
J J
Fig. 11 (suit, e)
S.~.¢~
6]9
620
ROGER
BALIAN
reusement pour x et fl assez petits, donne de tr~s mauvais r6sultats, soit que le rayon de convergence soit tr~s faible, soit que la convergence soit trop lente. Au contraire, le d6veloppement (24) (tenant compte du champ selfconsistant A l'ordre 1) donne d6jA au second ordre une courbe voisine de la courbe exacte, et les courbes des ordres suivants montrent qu'il converge rapidement. Cette conclusion est infirm~e dans la r~gion oh l+flel[+[_ < 0, car le champ self-consistant, et par suite $, y ont trois d6terminations. Aucune de celles-ci ne donne le r6sultat exact avec une bonne approximation. En conclusion, la m~thode statistique donne de bons r6sultats, m~me pour un nombre tr~s faible de particules, si on applique la m6thode du col pour la densit6 de niveaux. L'emploi de la m6thode du col pour l'int6grale de la densit6 de niveaux introduit des erreurs suppl6mentaires, et ne pr6sente aucun avantage. L'emploi, dans la r6solution des 6quations du col, de formules exactes reliant les expressions en fonction de N e t de/5, de l'6nergie, de ~, de ,,l'entropie" S, et du d6terminant des d6riv6es secondes, permet de r~duire l'erreur au minimum en ramenant tout ~ une seule expression approch6e. Enfin, la convergence est bien meilleure si l'on tient compte exactement du champ self-consistant, tout au moins lorsque celui-ci a une seule d6termination. I1 est vraisemblable que les r6sultats seraient encore meilleurs si on prenait un champ self-consistant A un ordre plus 61ev6 que le premier. Plut6t que de pousser aux ordres sup6rieurs de la m6thode des perturbations, il vaut donc mieux utiliser la m6thode avec champ selfconsistant. L'auteur tient A remercier tout particuli~rement le Professeur C. Bloch qui l'a constamment guid6 durant ce travail, et Monsieur V. GiLlet qui a coUabor6 la 2~me et A la 3~me pattie.
Bibliographie 1) 2) 3) 4) 5) 6)
R. H. Fowler, Statistical Mechanics (Macmillan, New-York, 1936) T. Ericson, Nuclear Physics 6 (1958) 62; 8 (1958) 265 C. Bloch, Phys. Rev. 93 (1954) 1094 C. Bloch et C. De Dominicis, Nuclear Physics 7 (1958) 459 E. P. Wigner, Phys. Rev. 51 (1939) 947 Eliott et Lane, Handbuch der Physik, vol. 39, p. 323