- Email: [email protected]
Détermination du spectre de puissance acoustique émis par une flamme turbulente
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Sirie II b, p. 747-754, 1998 Acoustique, ondes, vibrations/AcousGcs, waves, vibrations
Determination du spectre de puissance acoustique 6mis par une flamme turbulente Philippe BOINEAW’, a Service industrie, La-Plaine-Saint-Denis E-mail
Yves GERVAISb Gaz
de cedex,
France, France
CERUG,
361,
avenue
du
avenue
du
PrBsident-Wilson,
BP
33,
93210
: pbilippe.boineauQdr.gdf.fr
b Laboratoire d’Btudes ahrodynamiques, Poitiers cedex, France E-mail : [email protected]
UMR
6609,
40,
Recteur-Pineau,
bltiment
H,
86022
(Regule 17 octobre 1997,accept6apks rkvision le 3 juin 1998)
R&urn&
Cette note prksentela miseen placed’un outil de prkdiction du bruit gCrkr6par une flammeturbulente. Tout d’abord, le processusde dilatation volumique est identifiC commela principaleorigine du bruit de combustion.Parune approchesimilaire5 celle adoptte par Lighthill, une kquation d’onde contenantce terme sourceacoustiqueest Ctablie.A partir d’une Cquationd’knergie simpliliCe,ce terme est ensuite Ccrit en fonction desfluctuationsde tempkrature.L’expressionthkorique du spectrede puissanceacoustiqueest obtenuesuivant une approchestatistiquepassantpar la dCtemGnation de l’autocorrklation de la pressionacoustique.Ce spectre s’exprime par la doubleintkgration volumiquedestermesde production,pondCr6epar une fonction de cohkrencespatio-frequentielle.Celle-ci traduit les effets de la combustionet de la turbulencesur la production acoustiquevia deux tempscaractkristiques.Le modhle akrothermoacoustique est finalement appliquk Sila flamme turbulente d’un btileur modbledont on a mesure1’Cmission sonore.0 AcadCmiedesSciencesElsevier,Paris a&othermoacoustique / rayonnement acoustique I combustion turbulente I fluctuations de temp6rature / cohkrence spatio-frbquentielle / flamme non pr6m6langCe/ simulationsnumkriques
Turbulent Abstract.
flame
acoustic
power
spectrum
determination
This note presents the elaboration of a predictive tool for the acoustic generation of a Jame. First, volumetric expansion occurring in turbulent combustion is identijed as the main acoustic source term. Following an approach similar to Lighthill’s aeroacaustic analogy, a pressure wave equation is derived. By way of a reduced energy relation we express source terms as a function sf the temperature fluctuations. Determination of the sound pressure autocorrelation leads to the sound power spectrum. This consists of a double volumetric integration of the production terms weighted by a spatio-frequential coherence function. By means of two characteristic times, this coherence function takes into account combustion and turbulence effects on the acoustic generation. The aerothermoacoustic model is then applied to the turbulent frame produced by an experimental burner and results are compared with experimental spectra. 0 Acadimie des Sciences/Elseviel; Paris
aerothermoacoustics/ acousticradiation / turbulent combustion1 temperaturejkctuations/ spatio-frequentialcoherence/ non-premi.xed$‘ame I numericalsimulations
Note prbentke par SBbastienCANDEL. 125 l-8069/98/03260747
0 Acadtmie
des Sciences/Elsevier,
Paris
747
P. Boineau,
Y. Gervais
Abridged
English
Version
1. Introduction Computational codes used for fluid mechanics and turbulent combustion are applied to evaluate the sound radiation from a turbulent flame. From a statistical approach we show that acoustic spectra can be calculated from the thermodynamic fields. The acoustic spectrum formulation derived highlights the way the arrangement of the spatio-frequential source terms affect acoustic generation. The latter is taken into account by means of a spatio-frequential coherence function. 2. Basic equation and definition of acoustic sources 2.1. Volumetric expansion process Bragg’s heuristic approach [l] proved that the main origin of combustion noise lay in volumetric gas expansion. The combination of classical mechanics, aerothetmochemical and energy equations leads to the expression of the density fluctuations [equation (2)], with the assumption that the turbulent flame expands in free space and neglecting heat transfer and viscous dissipation [2]. 2.2. Lighthill’s approach Adopting an approach similar to Lighthill’s aeroacoustic analogy, we were able to write the wave equation governing the acoustic pressure field [equation (3)] [3]. Solution of this wave equation, in a far field hypothesis, leads to an expression that highlights the unsteady heat release and acoustic pressure link [equation (4)]. 2.3. Temperature jluctuations as acoustic source terms For low Mach and high Reynolds numbers a reduced energy relation can be used to define unsteady heat release, that is, an acoustic source, as a function of temperature fluctuations [equations (6), (7)] [6]. 3. Statistical approach to combustion noise We use the statistical approach commonly encountered in non-reacting flow aeroacoustic studies [7]. The acoustic intensity is obtained from the pressure autocorrelation function [equation (7)]. Assuming stationary turbulence, space-time cross-correlation of source terms appears in the autocorrelation function [equation (S)]. The introduction of a frame linked with convected structures allows us to consider the characteristic time of acoustic sources and then to neglect propagation times in the acoustic intensity expression [equation (9)] [7]. 3.1. Frequency domain Taking the Fourier transform of equation (9) and integrating over a sphere enclosing the turbulent flame leads to the sound power spectrum expression [equation (lo)]. This depends on a spatiofrequential function: the spatio-frequential coherence function of acoustic source terms. 4. Coherence function modelling Results obtained from optical measurements of the reaction rate coherence function show that the reacting flow considered in this study is of the jet-flame type. This coherence function is expressed by the product of a spatial function by a frequential one. 4.1. Spatial domain The spatial coherence function is similar [equation (12)] [9].
to that encountered in non-reacting
turbulent
flows
4.2. Spectral domain 4.2.1. Temperature j-luctuation spectrum An expression for the temperature fluctuations spectrum is obtained on the basis of experimental results [equation (15)]. This expression contains the characteristic time for temperature fluctuations which is a function of the turbulence level [equation (16)]. 748
Spectre
de puissance
acoustique
4.2.2. Coherent flame model The frequential coherence function is established on the basis of the physical interpretation of the coherent flame model. According to this model, a turbulent flame is composed of a collection of laminar flamelets. Flamelets are convected and distorted by the turbulent flow. From our acoustical point of view, a flamelet which produces unsteady heat release acts as a monopole. The monopole acoustic radiation is altered by the turbulence. So the coherence function is expressed as the product of the normalized autospectrum of temperature fluctuations [equation (15)] [6] by a function that conveys frequential characteristics of the turbulent flow [equation (17)] [13]. Finally, the relation for the sound power spectrum radiated by a turbulent flame is derived [equation
(1811. 5. Numerical study 5.1. Turbulent combustion model The first step consists of achieving numerical simulation of turbulent combustion. This is performed by coupling a classical k - E turbulence model with a combustion model. A conserved scalar type model of combustion with presumed density probability function allowed us to estimate numerically the root mean square of temperature fluctuations [S]. 5.2. Aerothemzoacoustic model The strength of the sound sources is calculated from thermodynamic fields. The coherence function relies on spatial scales, characteristic turbulence pulsation and typical time-scale of temperature fluctuations. Spatial scales are derived from experiments which are not described here. 6. Experimental
and numerical
results
The aerothermoacoustic model is applied to a non-premixed turbulent flame produced by a BluffBody burner. Several flow rates are examined and comparisons between experimental and numerical sound power spectra are proposed @gures 1 and 2). Numerical sound power spectral distributions agree with experimental ones. The overall sound power increases with thermal power (table Z). 7. Conclusions
and prospects
The main combustion noise spectrum characteristics are correctly described by the aerothermoacoustic model. Nevertheless, this model needs spatial coherence scales which are at present still experimentally evaluated. Work must be done to obtain these quantities from numerical fields in order to expand the scope of this model. 1. Introduction Les moyens de prediction que constituent les codes de mecanique des fluides et de combustion turbulente sont utilises afin d’estimer l’emission sonore produite par une flamme turbulente. Cette application vise a effectuer une prediction du spectre de puissance acoustique sur la base de champs thermodynamiques numeriques. On propose une approche statistique du bruit de combustion, dans laquelle on montre l’importance de l’organisation spatio-frequentielle des termes de production sonore. Celle-ci est prise en compte via une fonction de coherence traduisant l’influence de la turbulence et de la combustion sur la repartition spectrale de puissance sonore. Cette note presente les principales &apes qui, a partir de la definition des sources du bruit de combustion, conduisent a l’ecriture et au calcul du spectre de puissance acoustique. Finalement, les resultats obtenus sont confront& aux mesures sur un btileur prototype. 749
P. Boineau,
2. kquations
Y. Gervais
g&hales
et dbfinitions
des sources acoustiques
2.1. Processus de dilatation volumique Rappelons que c’est Bragg qui a mis en evidence le role majeur de la dilatation volumique dans la generation du bruit de combustion [I]. Cela peut se montrer de fagon formelle en combinant les equations classiques de la mecanique des fluides, les equations de l’aerothermochimie et une equation d’energie. On obtient ainsi l’equation regissant les fluctuations temporelles de masse volumique au sein de l’ecoulement reactif [2] :
(1) avec Q’ le degagement instationnaire de chaleur et qi les transfer@ de chaleur dans la flamme turbulente. La flamme turbulente &ant en espace libre, le processus de combustion se deroule a pression constante et, en negligeant les transferts thermiyues et la dissipation visqueuse, il vient :
2.2. Approche de Lighthill En adoptant une approche identique a celle developpee par Lighthill dans le domaine de l’aeroacoustique, il est possible d’ecrire l’kquation de propagation regissant le champ de pression sonore rayonnt par une flamme turbulente [3]. En considerant uniquement le processus de dilatation volumique [l], le second membre de l’equation d’onde inhomogene obtenue ne contient que le caractbre non isentropique des transformations thermodynamiques ayant tours au sein de l’ecoulement reactif : (3)
&(P-PCW, 1
J
En effectuant l’hypotbese de champ lointain et en considerant les gaz au sein de la zone de combustion comme obeissant a la loi des gaz parfaits, la solution de l’equation (3) est donnee par [2,4] : P’C
1 t> -=4 +
y--la
ci at s v[Q'ld?
2.3. Les Jluctuutions de tempe’rature comme termes sources acoustiques Les codes de calcul ne permettent pas l’obtention directe du degagement instationnaire de chaleur. 11 est necessaire d’exprimer Q’ en fonction de l’ecart type de la temperature qui est une grandeur maintenant accessible [5]. Cela est realis? en considerant la relation d’energie simplifiee pour une flamme turbulente a faibles nombres de Mach et grands nombres de Reynolds [6]. Q’ et le terme de production sonore en ;’ sont alors definis par : (5)
S(;:t)=p(yj:
T()wb)
sont la masse volumique otij(Z: T(G’)) etG(;: i;tz’)) nes prises a la temperature moyenne au point considere.
750
(6)
et la chaleur massique isobare moyen-
Spectre
3. Approche
statistique
du bruit
de puissance
acoustique
de combustion
L’approche acoustique statistique developpee ici est fondle sur celle proposee par Goldstein pour les jets turbulents non reactifs [7]. L’intensite acoustique est definie B partir de la fonction d’autocorrelation de la pression acoustique au point d’observation :
En supposant la turbulence stationnaire et toujours dam l’hypothbe formulee suivant :
de champ lointain, Cpp peut &tre
ou G est le vecteur separant deux points sources, z. le temps de retard dO B la propagation sonores et R la fonction d’intercorrelation des sources acoustiques.
des ondes
Afin d’Ctre en mesure d’observer le temps caracttristique propre aux sources sonores, on introduit le rep&e lie aux structures convectees l = G - ?U, r darts la direction principale t de l’ecoulement. Dans ce rep&e, r. est tres inferieur au temps de correlation des sources acoustiques et l’intensite acoustique s’ecrit suivant [7] : (9) oti R est la fonction d’intercorrelation
spatio-temporelle
des termes sources dans le repbe mobile.
3.1. Domaine spectral En prenant la transformee de Fourier de l’equation (9), puis en integrant sur une sphere contenant la flamme turbulente, on obtient le spectre de puissance acoustique : w(o)-47rR2 (?+1)2 k4 PO% l(jn2 @I2 nc
K?) ss V
S(i
) r(yj:
V
r’,
0)
d?d5+
(10)
pour lequel on considere que le nombre de Mach convectif est faible et que les sources sonores vCrifient l’hypothese de compacite. La fonction de coherence spatio-frtquentielle
4. ModClisation
de la fonction
r est definie par :
de coherence
On a determine experimentalement la fonction de coherence du taux de reaction - une grandeur like a l’origine du bruit de combustion [8] - dans la flamme turbulente. Les resultats obtenus montrent que la flamme turbulente est de type flamme jet [6]. 11 est alors possible d’appliquer la separation des variables spatiales et frequentielles dans l’ecriture de la fonction de coherence. 751
P. Boineau,
Y. Cervais
4.1. Domaine spatial Les fonctions spatiales sont similaires a celles rencontrees dans le cadre des jets non reactifs [9]. Dans les directions longitudinales et radiales elles sont donnees par : r,( 5,) = e-n52’rCZ2 et
r,( c,) = e-nc5’kP,
(12)
avec &( 5,) la distance de separation longitudinale (radiale) et Lcz, Lcr les Cchelles herence des sources sonores. La flamme turbulente est statistiquement axisymetrique, par une distribution annulaire des sources sonores. On considere que les monopoles anneau sont parfaitement coherents, ce qui entraine la fonction de coherence azimutale
spatiales de coce qui se traduit constituant un suivante [lo] : (13)
ou ri et rj sont les rayons des anneaux sources. 4.2. Domaine spectral 4.2.1. Spectre des jluctuations de tempe’rature La modelisation de la combustion turbulente fait frequemment appel a une distribution statistique P,( t ) afin de rep&enter la gamme d’tchelles de temps likes a la turbulence et a la chimie. On utilise ici une fonction de probabilite de type logarithme normale, definie a partir des distributions de Heaviside (I-I) et de Dirac (8) suivant [ 1l] : P,(r)=H(r-s,)k[6(2-5,)*e-““I
ou rk est l’echelle temperature.
de temporelle
de Kolmogorov
et a le temps caracteristique
des fluctuations
de
La transposition de cette fonction dans le domaine frequentiel per-met, en tenant compte du theoreme de Parseval, de definir la densite spectrale norrnalisee des fluctuations de temperature :
P(o)=
2a
7c(l +a2w2)
Cette relation a Cte confrontee avec succes aux spectres experimentaux [6]. Par ailleurs, on montre que le temps a est lie a la turbulence locale par la relation suivante, obtenue a partir de nombreuses realisations experimentales : a = 4,47.10e3 - 3,2.10m7 U’/V avec a = MAX[a,, a] (16) oti la valeur critique a, = 2 ms correspond au temps caracteristique pour lequel se produisent des extinctions locales de la combustion du melange CH,-air [12]. 4.2.2. Modkle de flamme cohe’rente Le modble de flamme coherente permet d’etablir la fonction de coherence frequentielle. En effet, suivant cette modelisation, une flamme turbulente est constituee d’une collection de flammelettes laminaires. Celles-ci sont soumises a des deformations induites par la turbulence : on dit que les flammelettes sont <
752
7c( 1 +a2W2)
fi-e
W,
-0A4w;
Spectre de puissance
avec o, la pulsation caracteristique
acoustique
de la turbulence.
Le spectre de puissance acoustique s’ecrit finalement :
5. lhude numkique 5.1. ModZle de combustion turbulente La premiere &ape consiste a effectuer la simulation numerique de la combustion turbulente. On utilise un code de calcul de mecanique des fluides de type k - E couple a un code de combustion. Le modele de combustion est un modele de type scalaire conserve & densite de probabilite presumee. Celui-ci pet-met l’estimation numerique des fluctuations de temperature [5]. 5.2. Modgle ae’rothermoacoustique Le modltle aerothetmoacoustique defini comporte plusieurs variables d’entrees. La force des monopoles acoustiques depend de la chaleur massique isobare, de la masse volumique et de l’amplitude des fluctuations de temperature. La fonction de coherence spatio-frbquentielle necessite l’estimation des Cchelles spatiales et fr&quentielle Lcz, Lcr, II+ Les Cchelles spatiales de coherence sont deduites de mesures bakes sur une m&ode optique qui n’est pas developpee ici [6]. Les resultats experimentaux obtenus montrent que la valeur de kz peut Etre consideree constante dans toute la flamme turbulente, sa taille &ant de six fois le diametre du jet de combustible (Oj = 5,4 mm). 11est de plus experimentalement montre que le rapport d’anisotropie LczlLcr est Cgal a 3. Le domaine de calcul est de type 2D axisymetrique. Sa dimension est de 0,80 m x 0,12 m, et il est discrttist en elements de taille constante 4 mm par 1,5 mm. La pulsation caracteristique de la turbulence est estimee par o, = C,2&k. Le choix de la constante C, = I,5 a CtC art&C afin de representer le plus fidelement le spectre Cmis par la flamme turbulente de reference (Uj = 21 ,O ; U, = 7,5 rn.s- I). Cette valeur est conservee pour tous les calculs effectues et aucune constante de calage n’a CtC introduite dans l’estimation numerique du spectre sonore. 6. RCsultats numkiques
et exphimentaux
Le modele aerothermoacoustique est applique B la flamme turbulente issue d’un brtIleur modele de type Bluff-Body. La flamme est produite par du methane (vitesse Uj) et de l’air (vitesse U,) non premelanges. On confronte ci-apres (figures 1 et 2) les spectres de puissance acoustique experimentaux et numeriques pour deux regimes d’alimentation. La determination experimentale du spectre de puissance acoustique a CtC realisee dans une chambre anechofque. Pour une frequence superieure a 20 Hz, la precision des mesures obtenues appartient a la classe laboratoire [6]. Nous observons une bonne representation de la repartition spectrale de la puissance acoustique du bruit de combustion. La majeure partie de la puissance sonore est localisee dans les basses frequences (f< 500 Hz), puis decroit de faGon monotone. L’augmentation de la puissance sonore avec la puissance thermique de la flamme turbulente est bien traduite par le modele (tableau I). 7. Conclusion
et perspectives
Le modele aerothermoacoustique reprtsente correctement les principales caracttristiques du spectre de puissance acoustique emis par une flamme turbulente non premelangee. Le calcul du spectre de puissance acoustique, fond6 sur une approche statistique classique de l’aeroacoustique, a l’avantage de prendre en considtkation les temps caracteristiques de la turbulence et de la combustion. Un effort doit 753
f? Boineau,
Y. Gervais
f (Hz) Figure 1. Spectres de puissance
acoustique (U, = 21,0 ; (I, = 7,5 ms-1).
Figure 1. Soundpower
spectra U, = 7.5 rn.s-I).
Figure 2. Spectres de puissance
acoustique ((i, = 42,0 ; U, = 7,5 ms- ‘).
fU, = 21.0;
Tableau I. Niveaux
Figure 2. Soundpower
spectra Ua = 7.5 rn.s- ‘).
globaux
de puissance
acoustique
Table I. Sound power Uj (m.s@) 10,50 15,75 21,00 26,2.5 42,00
P, WV
83 13,2 17,6 22,0 35,2
(U, = 42.0;
(en dB, R&f : 10~‘” W).
level. SPL exp&imental 92,87 92,91 95,Ol 97,47 102,80
SPL calculC 90,95 92,70 94,64 95,79 99,93
maintenant &tre r&lid afin d’estimer numkriquement les Cchelles spatiales de cohkrence des sources acoustiques. Ainsi, on pourra s’affranchir des donnkes experimentales et envisager l’application du modkle 2 une flamme jet issue d’un btileur aux caractkistiques diff&entes. Remerciements. Cette Ctude a CtC financke par Gaz de France et I’ANRT. RCfkences bibliographiques [l] Bragg S.L., Combustion noise, J. Inst. Fuel 36 (1963) 12-16. [2] Dowling AX, Thermoacoustic sources and instabilities,, in: Crighton D.G., Dowling A.P., Ffowcs Williams J.E., Heck1 M., Leppington EG. (Eds.), Modem Methods in Analytical Acoustics, Springer-Verlag, London, second edition, 1994, 379-405. [3] Lighthill M.J., On sound generated aerodynamically. I. General theory, Proc. Roy. Sot. London A 211 (1952) 564-587. [4] Strahle W.C., A more modem theory of combustion noise, Recent Adv. Aerospace Sci. (1985) 103-114. [5] Fallot L., Mise en ceuvre d’un modtle de combustion turbulent dans le code de calcul PHOENICS, rapport inteme Gaz de France, CERSTA, no 95911, 1995. [6] Boineau P., ModClisation et etude exptrimentale des sources acoustiques entropiques en combustion turbulente : application au calcul de 1’Cmission sonore d’une flamme turbulente non primtlangte, thtse de I’universitC de Poitiers, Sptcialitt : Acoustique et dynamique des &coulements instationnaires, 1997, 256 pp. [7] Goldstein M.E., Aeroacoustics, McGraw-Hill, New York, 1976. [8] Ramachandra M.K., Strahle W.C., Acoustic signature from flames as a combustion diagnostic tool, AIAA J. 21 (8) (1983) 1107-1114. [9] Ribner H.S., Quadrupole correlations governing the pattern of jet noise, J. Fluid Mech. 38 (1969) l-24. [lo] Michalke A., Some remarks on source coherence affecting jet noise, J. Sound Vib. 8 (1) (1982) l-17. [ 1l] Gonzalez M., Borghi R., A Lagrangian intermittent model for turbulent combustion; theoretical basis and comparisons with experiments, Turbulent Shear Flows 7 (199 1) 293-3 11. [12] Bray K.N.C., Peters N., Laminar flamelets in turbulent flames, in: Libby PA., Williams EA. (Eds.), Turbulent Reacting Flows, Academic Press, London, 1994, pp. 63-113. [13] Bailly C., Lafon P., Candel S., Computation of subsomc and supersonic jet mixing noise using a modified k - E model for compressible free shear flows, Acta Acustica 2 (1994) 101-112.
754
Determination du spectre de puissance acoustique 6mis par une flamme turbulente Philippe BOINEAW’, a Service industrie, La-Plaine-Saint-Denis E-mail
Yves GERVAISb Gaz
de cedex,
France, France
CERUG,
361,
avenue
du
avenue
du
PrBsident-Wilson,
BP
33,
93210
: pbilippe.boineauQdr.gdf.fr
b Laboratoire d’Btudes ahrodynamiques, Poitiers cedex, France E-mail : [email protected]
UMR
6609,
40,
Recteur-Pineau,
bltiment
H,
86022
(Regule 17 octobre 1997,accept6apks rkvision le 3 juin 1998)
R&urn&
Cette note prksentela miseen placed’un outil de prkdiction du bruit gCrkr6par une flammeturbulente. Tout d’abord, le processusde dilatation volumique est identifiC commela principaleorigine du bruit de combustion.Parune approchesimilaire5 celle adoptte par Lighthill, une kquation d’onde contenantce terme sourceacoustiqueest Ctablie.A partir d’une Cquationd’knergie simpliliCe,ce terme est ensuite Ccrit en fonction desfluctuationsde tempkrature.L’expressionthkorique du spectrede puissanceacoustiqueest obtenuesuivant une approchestatistiquepassantpar la dCtemGnation de l’autocorrklation de la pressionacoustique.Ce spectre s’exprime par la doubleintkgration volumiquedestermesde production,pondCr6epar une fonction de cohkrencespatio-frequentielle.Celle-ci traduit les effets de la combustionet de la turbulencesur la production acoustiquevia deux tempscaractkristiques.Le modhle akrothermoacoustique est finalement appliquk Sila flamme turbulente d’un btileur modbledont on a mesure1’Cmission sonore.0 AcadCmiedesSciencesElsevier,Paris a&othermoacoustique / rayonnement acoustique I combustion turbulente I fluctuations de temp6rature / cohkrence spatio-frbquentielle / flamme non pr6m6langCe/ simulationsnumkriques
Turbulent Abstract.
flame
acoustic
power
spectrum
determination
This note presents the elaboration of a predictive tool for the acoustic generation of a Jame. First, volumetric expansion occurring in turbulent combustion is identijed as the main acoustic source term. Following an approach similar to Lighthill’s aeroacaustic analogy, a pressure wave equation is derived. By way of a reduced energy relation we express source terms as a function sf the temperature fluctuations. Determination of the sound pressure autocorrelation leads to the sound power spectrum. This consists of a double volumetric integration of the production terms weighted by a spatio-frequential coherence function. By means of two characteristic times, this coherence function takes into account combustion and turbulence effects on the acoustic generation. The aerothermoacoustic model is then applied to the turbulent frame produced by an experimental burner and results are compared with experimental spectra. 0 Acadimie des Sciences/Elseviel; Paris
aerothermoacoustics/ acousticradiation / turbulent combustion1 temperaturejkctuations/ spatio-frequentialcoherence/ non-premi.xed$‘ame I numericalsimulations
Note prbentke par SBbastienCANDEL. 125 l-8069/98/03260747
0 Acadtmie
des Sciences/Elsevier,
Paris
747
P. Boineau,
Y. Gervais
Abridged
English
Version
1. Introduction Computational codes used for fluid mechanics and turbulent combustion are applied to evaluate the sound radiation from a turbulent flame. From a statistical approach we show that acoustic spectra can be calculated from the thermodynamic fields. The acoustic spectrum formulation derived highlights the way the arrangement of the spatio-frequential source terms affect acoustic generation. The latter is taken into account by means of a spatio-frequential coherence function. 2. Basic equation and definition of acoustic sources 2.1. Volumetric expansion process Bragg’s heuristic approach [l] proved that the main origin of combustion noise lay in volumetric gas expansion. The combination of classical mechanics, aerothetmochemical and energy equations leads to the expression of the density fluctuations [equation (2)], with the assumption that the turbulent flame expands in free space and neglecting heat transfer and viscous dissipation [2]. 2.2. Lighthill’s approach Adopting an approach similar to Lighthill’s aeroacoustic analogy, we were able to write the wave equation governing the acoustic pressure field [equation (3)] [3]. Solution of this wave equation, in a far field hypothesis, leads to an expression that highlights the unsteady heat release and acoustic pressure link [equation (4)]. 2.3. Temperature jluctuations as acoustic source terms For low Mach and high Reynolds numbers a reduced energy relation can be used to define unsteady heat release, that is, an acoustic source, as a function of temperature fluctuations [equations (6), (7)] [6]. 3. Statistical approach to combustion noise We use the statistical approach commonly encountered in non-reacting flow aeroacoustic studies [7]. The acoustic intensity is obtained from the pressure autocorrelation function [equation (7)]. Assuming stationary turbulence, space-time cross-correlation of source terms appears in the autocorrelation function [equation (S)]. The introduction of a frame linked with convected structures allows us to consider the characteristic time of acoustic sources and then to neglect propagation times in the acoustic intensity expression [equation (9)] [7]. 3.1. Frequency domain Taking the Fourier transform of equation (9) and integrating over a sphere enclosing the turbulent flame leads to the sound power spectrum expression [equation (lo)]. This depends on a spatiofrequential function: the spatio-frequential coherence function of acoustic source terms. 4. Coherence function modelling Results obtained from optical measurements of the reaction rate coherence function show that the reacting flow considered in this study is of the jet-flame type. This coherence function is expressed by the product of a spatial function by a frequential one. 4.1. Spatial domain The spatial coherence function is similar [equation (12)] [9].
to that encountered in non-reacting
turbulent
flows
4.2. Spectral domain 4.2.1. Temperature j-luctuation spectrum An expression for the temperature fluctuations spectrum is obtained on the basis of experimental results [equation (15)]. This expression contains the characteristic time for temperature fluctuations which is a function of the turbulence level [equation (16)]. 748
Spectre
de puissance
acoustique
4.2.2. Coherent flame model The frequential coherence function is established on the basis of the physical interpretation of the coherent flame model. According to this model, a turbulent flame is composed of a collection of laminar flamelets. Flamelets are convected and distorted by the turbulent flow. From our acoustical point of view, a flamelet which produces unsteady heat release acts as a monopole. The monopole acoustic radiation is altered by the turbulence. So the coherence function is expressed as the product of the normalized autospectrum of temperature fluctuations [equation (15)] [6] by a function that conveys frequential characteristics of the turbulent flow [equation (17)] [13]. Finally, the relation for the sound power spectrum radiated by a turbulent flame is derived [equation
(1811. 5. Numerical study 5.1. Turbulent combustion model The first step consists of achieving numerical simulation of turbulent combustion. This is performed by coupling a classical k - E turbulence model with a combustion model. A conserved scalar type model of combustion with presumed density probability function allowed us to estimate numerically the root mean square of temperature fluctuations [S]. 5.2. Aerothemzoacoustic model The strength of the sound sources is calculated from thermodynamic fields. The coherence function relies on spatial scales, characteristic turbulence pulsation and typical time-scale of temperature fluctuations. Spatial scales are derived from experiments which are not described here. 6. Experimental
and numerical
results
The aerothermoacoustic model is applied to a non-premixed turbulent flame produced by a BluffBody burner. Several flow rates are examined and comparisons between experimental and numerical sound power spectra are proposed @gures 1 and 2). Numerical sound power spectral distributions agree with experimental ones. The overall sound power increases with thermal power (table Z). 7. Conclusions
and prospects
The main combustion noise spectrum characteristics are correctly described by the aerothermoacoustic model. Nevertheless, this model needs spatial coherence scales which are at present still experimentally evaluated. Work must be done to obtain these quantities from numerical fields in order to expand the scope of this model. 1. Introduction Les moyens de prediction que constituent les codes de mecanique des fluides et de combustion turbulente sont utilises afin d’estimer l’emission sonore produite par une flamme turbulente. Cette application vise a effectuer une prediction du spectre de puissance acoustique sur la base de champs thermodynamiques numeriques. On propose une approche statistique du bruit de combustion, dans laquelle on montre l’importance de l’organisation spatio-frequentielle des termes de production sonore. Celle-ci est prise en compte via une fonction de coherence traduisant l’influence de la turbulence et de la combustion sur la repartition spectrale de puissance sonore. Cette note presente les principales &apes qui, a partir de la definition des sources du bruit de combustion, conduisent a l’ecriture et au calcul du spectre de puissance acoustique. Finalement, les resultats obtenus sont confront& aux mesures sur un btileur prototype. 749
P. Boineau,
2. kquations
Y. Gervais
g&hales
et dbfinitions
des sources acoustiques
2.1. Processus de dilatation volumique Rappelons que c’est Bragg qui a mis en evidence le role majeur de la dilatation volumique dans la generation du bruit de combustion [I]. Cela peut se montrer de fagon formelle en combinant les equations classiques de la mecanique des fluides, les equations de l’aerothermochimie et une equation d’energie. On obtient ainsi l’equation regissant les fluctuations temporelles de masse volumique au sein de l’ecoulement reactif [2] :
(1) avec Q’ le degagement instationnaire de chaleur et qi les transfer@ de chaleur dans la flamme turbulente. La flamme turbulente &ant en espace libre, le processus de combustion se deroule a pression constante et, en negligeant les transferts thermiyues et la dissipation visqueuse, il vient :
2.2. Approche de Lighthill En adoptant une approche identique a celle developpee par Lighthill dans le domaine de l’aeroacoustique, il est possible d’ecrire l’kquation de propagation regissant le champ de pression sonore rayonnt par une flamme turbulente [3]. En considerant uniquement le processus de dilatation volumique [l], le second membre de l’equation d’onde inhomogene obtenue ne contient que le caractbre non isentropique des transformations thermodynamiques ayant tours au sein de l’ecoulement reactif : (3)
&(P-PCW, 1
J
En effectuant l’hypotbese de champ lointain et en considerant les gaz au sein de la zone de combustion comme obeissant a la loi des gaz parfaits, la solution de l’equation (3) est donnee par [2,4] : P’C
1 t> -=4 +
y--la
ci at s v[Q'ld?
2.3. Les Jluctuutions de tempe’rature comme termes sources acoustiques Les codes de calcul ne permettent pas l’obtention directe du degagement instationnaire de chaleur. 11 est necessaire d’exprimer Q’ en fonction de l’ecart type de la temperature qui est une grandeur maintenant accessible [5]. Cela est realis? en considerant la relation d’energie simplifiee pour une flamme turbulente a faibles nombres de Mach et grands nombres de Reynolds [6]. Q’ et le terme de production sonore en ;’ sont alors definis par : (5)
S(;:t)=p(yj:
T(
sont la masse volumique otij(Z: T(G’)) etG(;: i;tz’)) nes prises a la temperature moyenne au point considere.
750
(6)
et la chaleur massique isobare moyen-
Spectre
3. Approche
statistique
du bruit
de puissance
acoustique
de combustion
L’approche acoustique statistique developpee ici est fondle sur celle proposee par Goldstein pour les jets turbulents non reactifs [7]. L’intensite acoustique est definie B partir de la fonction d’autocorrelation de la pression acoustique au point d’observation :
En supposant la turbulence stationnaire et toujours dam l’hypothbe formulee suivant :
de champ lointain, Cpp peut &tre
ou G est le vecteur separant deux points sources, z. le temps de retard dO B la propagation sonores et R la fonction d’intercorrelation des sources acoustiques.
des ondes
Afin d’Ctre en mesure d’observer le temps caracttristique propre aux sources sonores, on introduit le rep&e lie aux structures convectees l = G - ?U, r darts la direction principale t de l’ecoulement. Dans ce rep&e, r. est tres inferieur au temps de correlation des sources acoustiques et l’intensite acoustique s’ecrit suivant [7] : (9) oti R est la fonction d’intercorrelation
spatio-temporelle
des termes sources dans le repbe mobile.
3.1. Domaine spectral En prenant la transformee de Fourier de l’equation (9), puis en integrant sur une sphere contenant la flamme turbulente, on obtient le spectre de puissance acoustique : w(o)-47rR2 (?+1)2 k4 PO% l(jn2 @I2 nc
K?) ss V
S(i
) r(yj:
V
r’,
0)
d?d5+
(10)
pour lequel on considere que le nombre de Mach convectif est faible et que les sources sonores vCrifient l’hypothese de compacite. La fonction de coherence spatio-frtquentielle
4. ModClisation
de la fonction
r est definie par :
de coherence
On a determine experimentalement la fonction de coherence du taux de reaction - une grandeur like a l’origine du bruit de combustion [8] - dans la flamme turbulente. Les resultats obtenus montrent que la flamme turbulente est de type flamme jet [6]. 11 est alors possible d’appliquer la separation des variables spatiales et frequentielles dans l’ecriture de la fonction de coherence. 751
P. Boineau,
Y. Cervais
4.1. Domaine spatial Les fonctions spatiales sont similaires a celles rencontrees dans le cadre des jets non reactifs [9]. Dans les directions longitudinales et radiales elles sont donnees par : r,( 5,) = e-n52’rCZ2 et
r,( c,) = e-nc5’kP,
(12)
avec &( 5,) la distance de separation longitudinale (radiale) et Lcz, Lcr les Cchelles herence des sources sonores. La flamme turbulente est statistiquement axisymetrique, par une distribution annulaire des sources sonores. On considere que les monopoles anneau sont parfaitement coherents, ce qui entraine la fonction de coherence azimutale
spatiales de coce qui se traduit constituant un suivante [lo] : (13)
ou ri et rj sont les rayons des anneaux sources. 4.2. Domaine spectral 4.2.1. Spectre des jluctuations de tempe’rature La modelisation de la combustion turbulente fait frequemment appel a une distribution statistique P,( t ) afin de rep&enter la gamme d’tchelles de temps likes a la turbulence et a la chimie. On utilise ici une fonction de probabilite de type logarithme normale, definie a partir des distributions de Heaviside (I-I) et de Dirac (8) suivant [ 1l] : P,(r)=H(r-s,)k[6(2-5,)*e-““I
ou rk est l’echelle temperature.
de temporelle
de Kolmogorov
et a le temps caracteristique
des fluctuations
de
La transposition de cette fonction dans le domaine frequentiel per-met, en tenant compte du theoreme de Parseval, de definir la densite spectrale norrnalisee des fluctuations de temperature :
P(o)=
2a
7c(l +a2w2)
Cette relation a Cte confrontee avec succes aux spectres experimentaux [6]. Par ailleurs, on montre que le temps a est lie a la turbulence locale par la relation suivante, obtenue a partir de nombreuses realisations experimentales : a = 4,47.10e3 - 3,2.10m7 U’/V avec a = MAX[a,, a] (16) oti la valeur critique a, = 2 ms correspond au temps caracteristique pour lequel se produisent des extinctions locales de la combustion du melange CH,-air [12]. 4.2.2. Modkle de flamme cohe’rente Le modble de flamme coherente permet d’etablir la fonction de coherence frequentielle. En effet, suivant cette modelisation, une flamme turbulente est constituee d’une collection de flammelettes laminaires. Celles-ci sont soumises a des deformations induites par la turbulence : on dit que les flammelettes sont <
752
7c( 1 +a2W2)
fi-e
W,
-0A4w;
Spectre de puissance
avec o, la pulsation caracteristique
acoustique
de la turbulence.
Le spectre de puissance acoustique s’ecrit finalement :
5. lhude numkique 5.1. ModZle de combustion turbulente La premiere &ape consiste a effectuer la simulation numerique de la combustion turbulente. On utilise un code de calcul de mecanique des fluides de type k - E couple a un code de combustion. Le modele de combustion est un modele de type scalaire conserve & densite de probabilite presumee. Celui-ci pet-met l’estimation numerique des fluctuations de temperature [5]. 5.2. Modgle ae’rothermoacoustique Le modltle aerothetmoacoustique defini comporte plusieurs variables d’entrees. La force des monopoles acoustiques depend de la chaleur massique isobare, de la masse volumique et de l’amplitude des fluctuations de temperature. La fonction de coherence spatio-frbquentielle necessite l’estimation des Cchelles spatiales et fr&quentielle Lcz, Lcr, II+ Les Cchelles spatiales de coherence sont deduites de mesures bakes sur une m&ode optique qui n’est pas developpee ici [6]. Les resultats experimentaux obtenus montrent que la valeur de kz peut Etre consideree constante dans toute la flamme turbulente, sa taille &ant de six fois le diametre du jet de combustible (Oj = 5,4 mm). 11est de plus experimentalement montre que le rapport d’anisotropie LczlLcr est Cgal a 3. Le domaine de calcul est de type 2D axisymetrique. Sa dimension est de 0,80 m x 0,12 m, et il est discrttist en elements de taille constante 4 mm par 1,5 mm. La pulsation caracteristique de la turbulence est estimee par o, = C,2&k. Le choix de la constante C, = I,5 a CtC art&C afin de representer le plus fidelement le spectre Cmis par la flamme turbulente de reference (Uj = 21 ,O ; U, = 7,5 rn.s- I). Cette valeur est conservee pour tous les calculs effectues et aucune constante de calage n’a CtC introduite dans l’estimation numerique du spectre sonore. 6. RCsultats numkiques
et exphimentaux
Le modele aerothermoacoustique est applique B la flamme turbulente issue d’un brtIleur modele de type Bluff-Body. La flamme est produite par du methane (vitesse Uj) et de l’air (vitesse U,) non premelanges. On confronte ci-apres (figures 1 et 2) les spectres de puissance acoustique experimentaux et numeriques pour deux regimes d’alimentation. La determination experimentale du spectre de puissance acoustique a CtC realisee dans une chambre anechofque. Pour une frequence superieure a 20 Hz, la precision des mesures obtenues appartient a la classe laboratoire [6]. Nous observons une bonne representation de la repartition spectrale de la puissance acoustique du bruit de combustion. La majeure partie de la puissance sonore est localisee dans les basses frequences (f< 500 Hz), puis decroit de faGon monotone. L’augmentation de la puissance sonore avec la puissance thermique de la flamme turbulente est bien traduite par le modele (tableau I). 7. Conclusion
et perspectives
Le modele aerothermoacoustique reprtsente correctement les principales caracttristiques du spectre de puissance acoustique emis par une flamme turbulente non premelangee. Le calcul du spectre de puissance acoustique, fond6 sur une approche statistique classique de l’aeroacoustique, a l’avantage de prendre en considtkation les temps caracteristiques de la turbulence et de la combustion. Un effort doit 753
f? Boineau,
Y. Gervais
f (Hz) Figure 1. Spectres de puissance
acoustique (U, = 21,0 ; (I, = 7,5 ms-1).
Figure 1. Soundpower
spectra U, = 7.5 rn.s-I).
Figure 2. Spectres de puissance
acoustique ((i, = 42,0 ; U, = 7,5 ms- ‘).
fU, = 21.0;
Tableau I. Niveaux
Figure 2. Soundpower
spectra Ua = 7.5 rn.s- ‘).
globaux
de puissance
acoustique
Table I. Sound power Uj (m.s@) 10,50 15,75 21,00 26,2.5 42,00
P, WV
83 13,2 17,6 22,0 35,2
(U, = 42.0;
(en dB, R&f : 10~‘” W).
level. SPL exp&imental 92,87 92,91 95,Ol 97,47 102,80
SPL calculC 90,95 92,70 94,64 95,79 99,93
maintenant &tre r&lid afin d’estimer numkriquement les Cchelles spatiales de cohkrence des sources acoustiques. Ainsi, on pourra s’affranchir des donnkes experimentales et envisager l’application du modkle 2 une flamme jet issue d’un btileur aux caractkistiques diff&entes. Remerciements. Cette Ctude a CtC financke par Gaz de France et I’ANRT. RCfkences bibliographiques [l] Bragg S.L., Combustion noise, J. Inst. Fuel 36 (1963) 12-16. [2] Dowling AX, Thermoacoustic sources and instabilities,, in: Crighton D.G., Dowling A.P., Ffowcs Williams J.E., Heck1 M., Leppington EG. (Eds.), Modem Methods in Analytical Acoustics, Springer-Verlag, London, second edition, 1994, 379-405. [3] Lighthill M.J., On sound generated aerodynamically. I. General theory, Proc. Roy. Sot. London A 211 (1952) 564-587. [4] Strahle W.C., A more modem theory of combustion noise, Recent Adv. Aerospace Sci. (1985) 103-114. [5] Fallot L., Mise en ceuvre d’un modtle de combustion turbulent dans le code de calcul PHOENICS, rapport inteme Gaz de France, CERSTA, no 95911, 1995. [6] Boineau P., ModClisation et etude exptrimentale des sources acoustiques entropiques en combustion turbulente : application au calcul de 1’Cmission sonore d’une flamme turbulente non primtlangte, thtse de I’universitC de Poitiers, Sptcialitt : Acoustique et dynamique des &coulements instationnaires, 1997, 256 pp. [7] Goldstein M.E., Aeroacoustics, McGraw-Hill, New York, 1976. [8] Ramachandra M.K., Strahle W.C., Acoustic signature from flames as a combustion diagnostic tool, AIAA J. 21 (8) (1983) 1107-1114. [9] Ribner H.S., Quadrupole correlations governing the pattern of jet noise, J. Fluid Mech. 38 (1969) l-24. [lo] Michalke A., Some remarks on source coherence affecting jet noise, J. Sound Vib. 8 (1) (1982) l-17. [ 1l] Gonzalez M., Borghi R., A Lagrangian intermittent model for turbulent combustion; theoretical basis and comparisons with experiments, Turbulent Shear Flows 7 (199 1) 293-3 11. [12] Bray K.N.C., Peters N., Laminar flamelets in turbulent flames, in: Libby PA., Williams EA. (Eds.), Turbulent Reacting Flows, Academic Press, London, 1994, pp. 63-113. [13] Bailly C., Lafon P., Candel S., Computation of subsomc and supersonic jet mixing noise using a modified k - E model for compressible free shear flows, Acta Acustica 2 (1994) 101-112.
754