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Die aufspaltung von versetzungen in metallen dichtester kugelpackung
DIE AUFSPALTUNG VON VERSETZUNGEN IN METALLEN DICHTESTER KUGELPACKUNG” A. SEEGERt
und
G. SCH6CKJ
Die vorliegende Arbeit behandelt zwei Probleme aus der Theorie der Versetzungen: (I) die elastischen Eigenschaften von geraden Versetzungslinien in Kristallen beliebiger Symmetrie; (2) die Aufspaltung in Halbversetzungen in dichtest gepackten Gleitebenen. dann und E;s ergibt sich, dass die iibliche Zerlegung in “reine” Stufen und Schraubenversetzungen nur dann m6glich ist., wenn die Richtung der \‘ersetzungslinie geradzghlige Symmetrieachse ist. Eine andere Vereinfachung gegeniiber dem allgemeinsten Fall tritt dann ein, wenn die Versetzungslinie in eine Spiegelebene (nicht Drehspiegelebene) fgllt. Die Aufspaltung in Halbversetzungen wird mit Hilfe des Begriffs der spezifischen Stapelfehlerenergie und unter voller Berticksichtigung der Anisotropie mit dem von Leibfried und Dietze zuerst verwendeten Variationsverfahren fiir Stufen- und Schraubenversetzungen durchgeftihrt. Numerische Resultate werden fiir Cu, Al, Co, angegeben. Die Ergebnisse weichen zum Teil stark von denjenigen ab, bei denen nur Stapelfehlerenergie und isotrope Elastizitsitstheorie beriicksichtigt werden. THE
SPLITTING
OF
DISLOCATIONS
IN
METALS
WITH
CLOSE-PACKED
LATTICES
The present paper deals with two problems in the theory of dislocations: (1) the elastic properties of straight dislocation lines in crystals of arbitrary symmetry; (2) the splitting of half-dislocations in closest-packed lattice planes. It turns out that the usual splitting into pure edge dislocations and pure screw dislocations is only possible if the direction of the dislocation line is an even symmetry axis. Another simplification with respect to the most general case occurs when the dislocation line is situated in a reflection plane (but not rotation-reflection plane). The splitting of the half dislocations is treated for both edge and screw dislocations by means of the variation method first used by Leibfried and Dietze, using the concept of a specific stacking fault energy and taking the anisotropy fully into account. Numerical results are given for Cu, Al, Co. Some of the results deviate considerably from those based on the stacking fault energy and isotropic elasticity. LA DIVISION
DE
DISLOCATIONS
DANS
LES
A RI%EtYI:
MBTAUX
COMPACT
Le present article traite de deux problemes dans la thCorie des dislocations : (1) les propri&t& elastiques de lignes droites de dislocations dans des cristaux B symetrie arbitraire; (2) la division des demi-dislocations dans les plans de la plus grande densite atomique. 11 apparatt que la division habituelle en pures dislocations-coin et pures dislocations-vis n’est possible que quand la ligne des dislocations est un axe de symetrie pair. Un,e autre simplification par rapport au cas le plus g&&al se presente quand la ligne des dislocations est situ& dans un plan de r6flexion (mais pas un plan de rotation-r6Aexion). La division des demi-dislocations est traitee pour les cas des dislocations-coin et des dislocations-vis au moyen de la m6thode des variations, dont Leibfried et Dietze se sont servi pour la premi&re fois, employant le concept d’une Cnergie sp&ifique des defauts d’empilage et tenant compte de I’anisotropie. Des rCsultats numeriques sont don&i pour le Cu. Al, Co. Certains de ces r&ultats different consid&ablement de ceux qui sont basCs SLY I’&ergie des dbfauts d’empilage et l’6lasticit6 isotrope.
Symmetrieelemente
1. Einleitung Versetzungen tur
haben
schaften.
im
_\nnahmen,
des
praktisch
in Kristallen
verschiedener
Struk-
lich der Gleitebene
allgemeinen
verschiedene
Eigen-
ten
Die Verschiedenheit
der Anisotropie
Behandlung
beruht
der Kristalle
zum Teil
und zum Teil
auf
auf den
Kristallen
(111)
2 eine Methode,
behandeln
gestattet.
die ngm-
Wir
die such
in zu
Fall
in der jeweiligen Gleitebene. Elastizit%tstheorie der Versetz-
in der Gleitebene
sind
massgebend
fiir die Frage,
ob und wie stark
sich
ungen
haben
sich
Burgers
vollst&dige
Versetzungen
(damit
befasst.
Da
Burgers
den
laufenden im Auge
Fall
Versetzungslinie hat,
muss
und einer
giiltige
Resultate,
beliebig
in kubischen
er sich
METALLURGICA,
doch
VOL.
ver-
Kristallen
macht
nur gerade und findet er iiber
*Received April 23, 1953. tInstitut fiir theoretische und angewandte Physik Technischen Hochschule Stuttgart. $Max-Planck-Institut fiir Metallforschung Stuttgart. ACTA
[2]
auf ein Ngherungsver-
fahren beschrznken. Eshelby behandelt Versetzungslinien von Stufenversetzungen streng
Eshelby
1, SEPT.
1953
die
der
Potentialverhgltnisse
besprechen diesen
Potentialverh8ltnissen Mit der anisotropen
[I]
Die
gerade Falles,
in kubisch-flgchenzentrier-
ausschliessen.
Abschnitt
die
wichtigen
meint;
deren Burgersvektor
aisgitter
des
unvollstsndigen gen
solche
Gittervektoren
betreffenden
zuerst von Heidenreich
sind
Kristalls
und Shockley
Versetzungen
sind)
ge-
im Bravin
die
[3] betrachteten
oder
Halbversetzun-
aufspalten
kijnnen. Diese Aufspaltungsmijglichkeiten sind nach heutiger Ansicht wesentlich fiir das plastische Verhalten der Metallkristalle,
ausserdem
kommt
Bedeutung
fiir Zwillingsbildung
Umwandlungen
ihnen
[5] zu.
vermutlich
eine
[4] und
gewisse allotrope
Leibfried und Dietzc [6] haben geeignetc &Ansgtze iiir die theoretische Behandlung dieser Xufspaltung in der [ 111) -Ebene des kubisch-flgchenzentrierten Gitters bzw. in der hexagonalen Basisebene angeg&en, aber wegen mathematischer Schwierigkeiten nicht vollst~ndig durchgefiihrt. IqYr werden in ;Ibschnitt 3 zeigen, wie man alle wesentlichen Ziige des Problems, einschliesslich der Anisotropie, beriicksichtigen und dennoch zu auswertbaren Formeln kommen kann. In Abschnitt 4 werden praktische Beispiele diskutiert.
zusammen. Fiir die elastischen um in i‘-bereinstimmung mit [I)], \‘oigt [lo] uncl Maehli folgende Definition gew8hlt
(5a)
2. Verallgemeinerte
ebene Verzerrungsin anisotropen Medien
zustlnde
e
ill
QJ
d2F(x, Y)
=
ay3
uyz
=
8X'
-a4
-
I
dxdy
a2Fix,Y)
UYY =
(2)
a2Fix,Y)
uzu = -
1
uz2
ax ’
=
a4
-
ay
Die Funktionen F und 4 haben dem folgerrden System partieller Differentialgleichungen zu geniigen [8], das aus den nicht identisch befriedigten Kompatibilitgtsbkdingungen hervorgeht: (3a)
SZZF~~~~ + SIIF,,,, + -
2S,,Fz,,, + S24Fzzz
(3b)
+
(S25 + -
2&6F,,,,
+
-
S46)4,,,
SISF,,,
(S14 +
GS12
-
S24hz
-
-
Die
Shi
(4)
hgngen mit den die Gleichungen S,< =
shi
2S45
elastischen
$33
-
sh3
SIS +YYU
S56h/,
=
0
S46> Fw,
S444m +
.Tlc 2 durch
+
(S14 +
(S25 +
S56) Fv,,
S66) FzzyY
Si3
-
S554yy 4,,
=
COllSt.
Koeffizienten
au
%x
= --ax
e,, =
cYU
=
=
ezr
= --
II
Das Spannungs-u. Verschiebungsfeld einer geraden Versetzungslinie I&St sich aus einem sog. verallgemeinerten ebenen Verzerrungszustand ableiten. Wir denken uns dabei ein kartesisches Koordinaten system x, y, z so eingefiihrt, dass Spannungen uncl Verschiebungen von der z-Koordinate unabh&ngig werden. Die Versetzungslinie ist dann parallel zur z-Achse. Man kann die Gleichgewichtsbedingungen fiir die Spannungen mit Hilfe von zwei Funktionen F(x, y) und $ (x, y) befriedigen. Im isotropen Falle geht F in clie A%rysch’e Spannungsfunktion, 4 in die bei der Torsion prismatischer Stabe beniitzte Schubspannungsfunktion iiber [7]. Aus diesen beiden Funktionen leiten sich die Komponenten des Spannungstensors folgendermassen ab:
Koeffizicnten wurde, Boas untl 1lackenzie [II] zu bleiben, die
ezr
=
av ---
ay
aw a2
&b)
an
Die Tensorkomponenten des Verzerrungstensors sind die cik. Die Konstante auf der rechten Seite von GI. (3b) ist nur dann von Null verschieden, wenn an dem betreffenden elastischen K&-per Torsionsmomente angreifen. Bei den hier interessierenden Problemen von Versetzungen in Kristallen muss sie Null gesetzt werden. Fiir die spgteren Anwendungen benatigen wir diejenigen Liisungen, die Einzelkrsften in x oder z-Richtung entsprechen, welche am Halbraum y > 0 an der Stelle x = 0, y = 0, z = 0 angreifen. Sucht man die Gl. (3) mit dem Ansatz (6a)
F = A (a) exp (z&c +
(6b)
4
=
i&(a)
eXp
(iaX
+
Z&KY) &KY)
zu’liisen, so bekommt man als LGsbarkeitsbedingung fiir die Gl. (3a) und (3b) eine Gleichung 6. Grades fiir K. Es gibt im wesentlichen zwei durch die Kristallsymmetrie bedingte MSglichkeiten fiir deren Reduktion auf einen geringeren Grad: 1. Gleichung (3) zerf;illt in eine Gleichung 4. Grades fiir F allein und in eine Gleichung 2. Grades fiir 4 allein. 2. Gleichungen (3) ergeben eine Gleichung 3. Grades fiir K2. Der erste Fall tritt ein, wenn
('7) S,, = S15 = .Szj + .S4, = .S,, + S6, = 0 ist. Sach \:oigt ist dies gerade clie Bedingung dafiir, dass die z-Achse in eine geradzahlige (nicht jedoch clreizahlige) S>mmetrieachse fallt, oder, was damit gleichwertig ist, dass die z-Achse auf einer Spiegelebene (nicht auf einer Drehspiegelebene) senkrecht steht. Fiir das Eintreten des 2. Falles gibt es drei verschiedene Miiglichkeiten :
@a)
:545= S16 = S?6 = s15 = s25 + S46 = 0
(8b)
s45 = S16 = SW, = s24 = SM + SM = 0
@cl
.s45 = S16 = S36 = s15 = s24 = 0
Gl. (8a) und (8b) entsprechen den Fallen, dass die x-Achse bzw. die y-Achse zweizahlige Achsen sind. Liegt die z-Achse also in einer Spiegelebene, so kann man durch- eine Drehung des Koordinatensystems urn die z-A&se stets erreichen, dass einer der Falle (8a) oder (8b) eintritt. Fall (8~) entspricht ohne zusatzliche Bedingung fiir die Sa keiner kristallographisch deutbaren Eigenschaft. Beispiele aus den kubischen System stellkn fur den Fall (7) Versetzungslinien in Richtung (llO), fur den Fall (8a, b) Versetzungslinien in Richtung (211) dar. Die Bedingung (7) fur das Zerfallen von Gl. (3) in zwei getrennte Gln. fur F und 4 legt diejenigen Richtungen von geraden Versetzungslinien fest, in “reine” Stufenversetzungen und “reine” denen Schraubenversetzungen moglich sind. Unter einer “reinen” Stufenversetzung verstehen wir eine solche, bei der nicht nur der Burgersvektor, sondern alle Verschiebungen senkrecht zur Versetzungslinie sind. Entsprechend treten bei einer “reinen” Schraubenversetzung nur Verschiebungen in Richtung der Versetzungslinie auf. Fur Versetzungslinien in kubischen Kristallen mit einer { 111 I-Ebene als Gleitebene stellt die (llO)Richtung also die einzige Moglichkeit fur das von isotropen Illedien her vertraute Auftreten reiner Stufenund Schraubenversetzungen dar. Dagegen liegen die Verhaltnisse fiir Versetzungen mit der Basisebene des hexagonalen Systems als Gleitebene vie1 einfacher, da dabei die Bedingungen (7) und (8) fur alle Richtungen gleichzeitig erfiillt sind, sodass sich die oben erwahnte Gl. fiir K in eine in ~~ lineare und eine in ~~ quadratische Gleichung zerspaltet. Fur die folgende Diskussion beschranken wir uns der praktischen Bedeutung wegen auf geradlinige Versetzungen mit der kubischen ( 111) -Ebene oder der hexagonalen Basisebene als Gleitebene. Die Normale auf diesen Ebenen sei stets die y-Richtung.
;lusserdem behandeln wir nur dicjcnigen Falle, in denen einc der oben besprochenen Rcduktionen eintritt. Die elastischen Koeffizienten kubischcr Kristalle werden stets in einem Koordinatensystem mit den kubischen _lchsen als Koordinatenachsen angegeben [12; 13; 141. In dieser riufstellung I lautet das Schema der elastischen Koeffizienten sik
(9a)
(sjk)=[“‘Y$i44!44!
\
544 I Als Aufstellung I beim hexagonalen System bezeichnen wir ebenfalls die iibliche [12; 13; 141, bei der die z-Achse in der hexagonalen Achse liegt. (Die Lage der x- und y-Achse ist wegen der Rotationssymmetrie der elastischen Eigenschaften urn die hexagonale Achse belanglos.) Das Schema der sik lautet : Sll
FJb)
(%I
=
s12
513
0
0
0
Sll
513
0
0
0
533
0
0
0
s44
0
0
544
0
i
2(%1--12)
\
I
Als Aufstellung II, in der die elastischen Koeffizienten mit Sik bezeichnet werden, wahlen wir eine solche, bei der die y-Richtung in eine (lll)Richtung bzw. in die Basisnormale fallt. Dann sind hexagonales und kubisches Gitter beides Spezialfalle des trigonalen Gitters mit der y-Achse als dreizghlige Symmetrieachse. Es gibt dabei noch verschiedene Moglichkeiten, die x-, z-Achsen zu orientieren. Als (II’) bezeichnen wir diejenige, in der die z-Richtung einer (llO)-Richtung im kubischen Gitter parallel ist. Die andere von uns zu beniitzende Orientierungsmijglichkeit (II”) geht aus (I I’) durch Vertauschen von x- und z-Koordinate hervor. In diesem Falle ist die z-Richtung parallel zu (211). Das Schema der elastischen Koeffizienten im trigonalen System lautet in Aufstellung (II’) /
004 \
Sll
s12
513
0
0
s22
s12
0
0
-s36 0
Sll
0
0
S36
S44
2S36
0
S56
0 x44
.4C?‘A
522
in iiufstellung
hIETALLT.‘RGICA,
(110 \-Richtung
in
(Aujstellung
II’)
511 512 522
1053
I rersefzzu~gslinie
a)
(I I”) :
I
\-c-IL. 1,
$13
s14
0
0
s12
0
0
0
0
0
s44
0
0
S56
2s14
A-11-s14
Macht man fur das Schema II’ den Ansatz (6a), so ergibt sich fur K die Gleichung (12) & K4-
.744
Im Spezialfall des kubischen
2.916
K3
+
(5%
Sll
s:,
=
snj = fr Sll
+
f s12
+
is44
s22
=
; Sll
+
; s12
+
5 544
s12
=
; Sll
+
; s12
-
; s44
-713 =
ii Sll
+
ii SlZ
-
ii
s44
=
; 811
-
: s12
+
; 544
S65
=
is11
-
: s12
+
$544
S36
=
Sll
-
Sl2
-
544
K2
2&i
S?2 = 0
K +
mit
Schema (10a) =
&6) -
Gitters gilt fiir das
Sll
+
(13)
2s12
+
SC6
=
S26
=
s22
=
-
s:,
S36(Sll
2Sll(Sll -
-
513)
-
su)
+
SllS44
-
s;,
s12 S36 x11 s22
-
.7122
Die Wurzeln von Gl. (12) seien
(lla>
3
4
(14)
K%’
s14
=
;
’
Sll
d3s12
-
3
-
”
3
(llc)
=
Sll
.712 =
%a
.713 =
s12
s22
=
533
s44
=
544
s55
=
2(&l
s14
=
0
S36
=
0
KL’
K
=
K2' zt
, Ki”
f
i
Kl”
i K2
I,
redl,
K~”
0.
>
Die allgemeine, fur y > 0 brauchbare Losung von Cl. (3a) ist
544
Im hexagonalen Gitter, bei dem die Fglle (II’) und (II”) zusammenfallen, gilt Sll
=
mit
4544
Im Schema (lob) tritt an Stelle der letzten Gleichung fiir ~36die Gl. (llb)
K
PfCV
F(x, Y) = J
(15)
+ A&Y)
-cc
exp
(Al(a) exp (iw’y - I~IKI”Y)
(icuK2’y
die von uns gesuchte Randbedingungen (16)
cyg
=
0,
czy
=
-
/a!jKy
spezielle
T,~(x)
=
-
K2’)
-
y)
)
exp
iax
da
Liisung mit den
ftir
6(x)
y
=
0
ergibt sich hieraus mit -
s12) (17)
Wir stellen nunmehr fiir die oben bezeichneten Spezialfalle diejenigen Liisungen auf, die Tangentialkraften der St&rke 1 entsprechen, welche am Halbraum y > 0 im Ursprung angreifen. Dabei bezeichnen wir als Schraubenversetzungsfall denjenigen, in der die Kraft in z-Richtung wirkt und als Stufenversetzungsfall denjenigen, in denen die Kraft in x-Richtung angreift. Fi.ir die Anwendung in Abschnitt 3 im Rahmen des Peierls’schen Modells beniitigen wir dabei insbesondere die Verschiebungen u*(x) und ‘wA(x), die durch diese Beanspruchung in der Grenzflgche y = 0 auftreten.
Al(a)
=
-
AZ(a)
1 = 2?ricriil(K1’
1 -
!a/
-_____ (KI
“-
K2”)
Aus der Gleichung (18)
ezl! = $‘&,y
+
S12Fm
-
erhalt man unter Beriicksichtigung =
SdS1,
&t9,,J
von
KI’
j-
~2’
Fur eine verteilung
Die beiden
belicbig vorgegebene SchubspannungsT,~(x) erhalt man daraus
Konstanten K1 = s:* _-.---- s4, iK1” + K;’ ) s11
(30a) und Im Schraubenversetzungsfall kann man statt cp(x, y) clie Verschiebung ZU(X, y) in z-Richtung einfiihren. Die Kompatibilitgtsbedingungen sind dann samtlich identisch erftillt, die Gleichgewichtsbedingung
K, = KS” =
(30b ) reduzieren
sich im isotropen
(S44S55
4S3$
-
Medium
auf
(3Ia)
(21) (3Ib)
geht wegen E22
-
ax
wobei G der Schubmodul und p die Poissonsche Konstante ist. Im hexagonalen Kristallsystem vereinfacht sich ausserdem Kg zu
aw
dW
--
ay
$2 =
7
und Gl. (10a) tiber in
(22)
a2w
s
2s
46 zy
44 ax2
(32)
a"70 +
s55$
=
cl
.
b) liersetzungslinie II”)
mit
(23)
511544
s45 =
2Sll S36
S65 =
SllS65
S55
(24)
K2
i
~3”
(33a) A[&
(K3”
0)
>
die
K4 +
Die ftir den Halbraum Liisung von (22) ist
+
in
S44
=
0
y > 0 brauchbare
=S+CD kt (a) eXp (iaX +i
(2&2
+
beiden
allgemeine
+ &)
K6 +
K
-co
-
K3”(C+‘)
da
ClUZ’T?/Z(X) = -
ergibt
wegen 2~36 = s66 ~3’
(27)
A (a) = &
(~44
Ss5
-
6(x)
ftiry
= 0
(34)
+
[&Is44
s44(2&2
K2
+
s221
+
St41
-
+
s56) &%E,
&5(2&2 (&4
-
L&sung mit der Randbedingung
(26)
(A ufstellung
K2
+
s24]
=
0
K2
+
s44]
=
0
der Koeffizientendeterminante die Gleichung
(25) W(X, Y)
K3’0(Y
s66) B[(&4
K2 +
Das Verschwinden von (33) liefert fur &l&6
Die spezielle
dS44Sa
(211 )-Richtung
-
(33b) A [(& 4S36 K
-
=
Geht man mit den Gl. (6) in das Simultansystem (3) ein, so erhalt man
s44 =
Es seien K = ~3’ f Wurzeln der Gleichung
K2
+
s66)
+
&6)“1
+
-
=24(&4
K4 + +
s22s44
+
Die drei ftir den Halbraum zeln haben die Form
s66)
[s22&6
&,)] -
K2
si,
y > 0 geeigneten
Kl
=
i
K2
=
K2’
+
‘i
K2”
K3
=
K2’
+
i
K2”
= 0
Wur-
Kl”
4s3$ = &,& -
und
(28)
ze?4’ b> =
a+,
0)
=
ax
-iK21
X
Fiir eine beliebig vorgegebene Schubspannungsverteilung Tag erhglt man daraus
(29)
w_4’(x)
=
-
K2 --g
4 S-m X--f +-$&
mit KS’, Kt” reell, pi” > 0. Man erhglt hiirige Werte fiir das Verhzltnis A/B: (35)
(s14
+
&6)
Als LGsung ftir den Halbraum und (3b) folgt:
KZ:
+
drei
zuge-
s24
y > 0 ftir Gl.
(3a)
ACTA
524
(36a)
F(x, y) =
J$(~,(cx) -Y
exp
METALLURGICA,
i~~loljy
exp i’hj+
Ma)
+A~(cx) exp (36b) 4(x, y) = i ~+‘(~&(a)
exp &XXda
ir3/crly]
exp i+lr
-FhA2(a)
exp ic21~lly
+ -&3(a)
exp Z’K&jYjexp iocx aa
Fiir die Randbedingungen (37)
ayy= ayz = 0,
ergibt
sich wie oben
fi.ir y = 0
azy = rzy = --&)
(33) mit Kz =
(39)
&I Y&z2 sll
0’)
Yl(‘Q
-
+ Y&s2 -
0)
+
Y2(K3
-
KI’) KI)
+
y3(K12
+
-
Y3(K1
K2’)
-
K2)
Fiir die Randbedingungen 7u1
(40)
=
(Tzy
0, aZlr= 7vz = -6(x)
-
folgt
fury=0
+m ~YZc9 7rS-a
WA’(X) = - 5
(41)
X-Ed4
mit KI =
(42) is55
YlKl(K2
-
Yl(K2
Im isotropen
(43a)
K3) -
+
K3)
Y2K2(K3 +
-f2(K3
-
KI) KI)
+ +
-j’3K3(K1 -f3(K1
-
Kg)
K2)
Fall gilt
K1 = i,
im hexagonalen
1,
1953
zentriert-kubischen Gittern. Das Gemeinsame dieser beiden Falle ist, dass es fur die Atome in einer bestimmten Netzebene zwei Arten von Gleichgewichtslagen gibt, namlich solche, die zum hexagonalen Gitter fiihren, und solche, die zum kubischen Gitter gehiiren. Der Unterschied zwischen diesen beiden Moglichkeiten tritt jedoch erst auf, wenn man mindestens drei aufeinanderfolgende Netzebenen betrachtet und in die Rechnung einbezieht. Wurde man dies tun, so wiirden die entstehenden Gleichungen schwerfallig und keiner strengEs ist deshalb en Behandlung zuganglich sein. zweckmassig, wie Leibfried und Dietze [15] im Rahmen des Peierls’schen Modells weiterhin zwei aufeinanderfolgende Netzebenen zu betrachten und die Grundgleichungen, als Variationsproblem formuliert, mit dem Ritz’schen Verfahren zu l&en. Da es der Grundgedanke des Variationsverfahrens ist, die Gesamtenergie als Funktion mehrezu berechnen und zu rer Parameter explizit einem Minimum zu machen, kann man den energetischen Unterschied zwischen “kubischer” und “hexagonaler” Gleichgewichtslage hierbei sehr leicht mit Hilfe ties Begriffs der spezifischen Oberflachenenergie y eines Stapelfehlers beriicksichtigen. Wenn in einem gewissen endlichen Gebiet eine ( 111) Ebene die falsche Gleichgewichtslage besetzt, so ist dieses Gebiet durch Halbversetzungen vom Tl.pus +a < 211 > berandet. Man kann deshalb die Flache F dieses fehlgeordneten Gebietes, das man einen Stapelfehler nennt, als die von der Halbversetzung eingeschlossene Flache verhaltnismassig genau definieren. Fur nicht zu kleine F wird der Energieiiberschuss E cles Stapelfehlers proportional zur Zahl der fehlgeordneten Atome und damit proportional zu F sein: E = yF
(43b)
K2 = +
Fall Ki = d
~44~55
Gegeniiber den Gl. (31a, b) erscheinen die Definitionen von K1 und K2 gerade vertauscht. Die jetzige Bezeichnung ist jedoch konsequent, wenn man spgtere Fallunterscheidungen vermeiden will. 3. Beriicksichtigung
Struktur
VOL.
der periodischen der Gleitebene
Bei der Behandlung der fierhaltnisse in der Gleitebene beschranken wir uns sogleich auf hexagonale Basisebenen, bzw. (Ill)-Ebenen in flachen-
Uber die Bestimmung der spezifischen Oberflachenenergie y werden wir unten noch einiges sagen. Hier sei der Fall besonders erwahnt, dass der Stapelfehler durch zwei gerade V’ersetzungslinien mit dem Abstand 217begrenzt wird. Die Oberflachenenergie pro Langeneinheit (von der wir in Zukunft allein sprechen werden) wird dann E = 27~ Derartige Stapeifehler werden sich im allgemeinen immer bei vollstandigen Versetzungen mit chchtest gepackter Netzebene als Gleitebene ausbilden. Es stellt sich hier ein Gleichgewicht ein zwischen der ,im wesentlichen 7-i proportionalen Abstossung der beiden Halbversetzungen und der
SEEGEK
USD
SCHijCK:
AUFSPALTUNG
Oberflachenspannung des Stapelfehlers. Dieses _Yuseinanderspreizen einer Versetzungslinie in ein in einer { Ill}-Ebene liegendes Stapelfehlerband ist verantwortlich fiir den Urnstand, dass such Schraubenversetzungen im kubisch-flachenzentrierten Gitter eine definierte Gleitebene haben. Die Breite dieses Bandes bestimmt dabei die Aktivierungsenergie ftir cross-slip. Wir werden als Beispiel ftir die qualitative Behandlung der Aufspaltung die Schrauben- und Stufenversetzungen wahlen. Durchgefiihrt wird die Rechnung fiir die Schraubenversetzung, doch wurden die Bezeichnungen so gewahlt, dass die Ergebnisse ab Gl. (57) ftir beide Fallegelten. Mit denselben mathematischen Methoden kann man jedoch such die FBlle behandeln, in denen der Burgersvektor mit der Richtung der Versetzungslinie einen Winkel von 30” oder von 60” bildet. Die Gesamtenergie pro Langeneinheit im Peierls’schen Model1 setzt sich aus der elastischen Energie Eel, aus der \Vechselwirkungsenergie EaB und aus der Stapelfehlerenergie 2vy zusammen. Es gilt im vorliegenden Fall (4-L)
E: = Eel+
\‘ON
525
VERSETZUNGEN
(48)
u_4B
=
2u*
WAB
=
2w,
sind. Aus den Gl. (20) und (29) folgt 7zy(x)
(49a)
=
-II_ 7x1
s+wu s
a- ‘69 dE
_-m t-x
+- wA’(t)
(49b> Einsetzen
Eel=
dt
4-X
a
von Gl. (49a, b) in (45) gibt
--&
+c= ss WA -F---
(x) WA (8
+m S-S --m
(50) --
1 TK,
uA (xbA’(t) ____-
--m
ddE
X
dxdg
E-x
Die Hauptschwierigkeit bei der Berechnung der Gesamtenergie durch das Ritz’sche Verfahren bietet der Anteil EAB. Ein zweckmassiger Ansatz ist (51)
E.4, + 27~
mit
Wegen der Ableitung der Beziehungen fiir EeL und EAB sei auf die Arbeit von Leibfried und Dietze verwiese:n. Die Konstanten b, h und c hangen mit der Wtirfellange a irn’ kubischen Gitter folgendermassen zusammen. b=$d2a (47)
h=
446a
c=+d3a Im hexagonalen Fall ist 2c die Gitterkonstante in Richtung der hexagonalen Achse und b = $43 h die Gitterkonstante in der Basisebene. Ftir den Schubmodul G hat man im hexagonalen und kubischen Fall G = l/s44 zu setzen. Die Nullpunkte ftir die Verschiebungen werden so gewahlt, dass die gegenseitigen Verschiebungen der beiden in die’ Rechnurig einbezogeneri Netzebenen
Er stellt zwei Halbversetzungen im Abstand 217dar, entspricht also dem oben geschilderten Fall. Die Versetzungslange CT, die ebenso wie ? ein freier Parameter ist, ware eigentlich fur die u-Verschiebung und die w-Verschiebung verschieden zu wahlen. Die Annahme gleicher Versetzungslangen in den Gl. (51) ist jedoch ftir die Berechnung von EA, wesentlich, da sie die Giiltigkeit der einfachen_Gleichung (52)
4 TWA cos __ = b
12ru, cos -__ h
1 + -sin P
12 ?ru/& -h
mit
p,z1
(53)
fJ
zur Folge hat. Im Anhang werden wir mit dem Ansatz (51) EAB in der Form (54)
E AB=&--A(P)
berechnen. Bei der Berechnung
von Eet treten die Integrale
(55) %(x) %‘(t) _-4-X
dxdE = _
526
rICT.1
RIET.\LLITIIGIC;\,
I’OL.
1,
11153
und (56)
JI+y
m
J:;_,
sf?is) b 2
=(-) 4
[
dxd~; In (1 + p”) -
4 In 2
1
auf. Bei dem Integral Gl. (56) hat man, urn Konvergenz zu erreichen, endliche 1nt:grationsgrenzen * L einzusetzen. Die Gesamtenergie lautet unter Beriicksichtigung von Gl. (54, 55 und 56)
(57)
p&n_
1 +& ; Ab> +2-w
47rKS [
&_322”
x
--yy-ln
(1 + P’)
mit
Die Bedingungsgleichungen tionsprinzips (58)
fy
des Ritz’schen
= 0, r)=COllBt
g/
Varia-
= 0 ~=COIll3t
ergeben (59)
; = 5% ~-__Kz A(p) ” PA’(~)
P’(X + 3) + 6 ~ 6(p2 + 1)
und
In Abb. 2 ist A(P), nach Gl. (A4) des Anhangs berechnet, aufgetragen. Daraus erhalt man die in Abb. 3 dargestellte Abhangigkeit der Grosse p von der spezifischen Oberff achenenergie y des Stapelfehlers mit x als Parameter. Mit dem so gefundenen po kann man aus Abb. 4 die zu den betreffenden x gehiirige Versetzungslange u,, entnehmen, und dann aus Gl. (57) mit einem plausiblen Wert von L die Versetzungsenergie pro Langeneinheit berechnen. Da sich fur gewisse Werte von x und y der Parameter p nach Abb. 3 mehrdeutig ergibt, kann es bei Anderung von y (etwa mit der Temperatur) Bereiche von 7 und u geben, die iibersprungen werden und sich nicht realisieren lassen. Eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft der Darstellung der Losung mit Hilfe der Abb. 3 und 4 ist, dass die auftretenden Kurvenscharen die
(b) ABB. 1. Schematische Darstellung der Aufspaltung von Versetzungen in einer (Ill)-Ebene in Halbversetzungen. Versetzungslinie z-Achse: (a) Schraubenversetzung, (b) Stufenversetzung.
eine Grijsse x enthalten, also im anisotropen Fall dieselbe Mannigfaltigkeit wie im isotropen Fall aufweisen. Hat man ein isotropes Medium, so ist bei der Orientierung II’ (Abb. la) x = l/(1
- cl)
A(o) 7
6
5
ABB.
2.
asymptotisch
A(p)
A(co)
Gl. = 2~3.
nach
(A4).
Die
Kurve
nshert
sich
claraus y = 20 erg ‘cm? abgcsch~tzt. Nach Christian 1161 ist jetloch die LTmwandlungsw~rme nur etwa x=1--p 60 cnl,‘g atom. Wir werden fiir die t’crh%ltnisse bei wobei p (lie P&sons&e Konstante ist. Zimmertemperatur den Wert y = 20 erg/cm’ beniitZen. JIer Wert von y ist proportional dem Unterschied 4. Anwendungen und Beispiele der Freien Energic der beiden Modifikationen und damit tempernturabh5ngig. Am UmwandlungsUrn mit den in Abb. 3 gegebenen Formeln die punkt wird 7 = 0, was zur Folge hat, dass sich die Aufspaltung einer Versetzung in Halbversetzungen ~albversetzungen unter der Wirkung ihrer elastiquant~tativ behandeln zu kBnnen, beniitigt man die schen Abstossung auseinanderspreizen. Legt. man elastischcn Konstanten des betreffenden Kristalls einen geeigneten Mechanismus Eiir die Kewegung sowie die Jcenntnis der spezifischen OberA%chendieser Halbversetzungen zugrunde [5], so kann damit die Umwandlung eines grijsseren Gebietes in die neue ~~odifikation erklgrt we&en. Eine andere ~J~jgIichkeit zur Abschstzung von y erg&t sich aus der- Messung iiber Grenzfl&chenenergie von Orientierungszwillingen. Ein Stapelfehler kann aufgefasst werden nls Aufcinanderfolge dreier Orientierungszwillinge, von denen der mittlere nur eine einzige Netzebene umfasst. Man kann deshalb annehmen, dass y griissenordnungsm&sig doppelt so gross wie die Grcnzfkichenenergie der zwischen Orientierungszwillingen ist, Nach zusammenfassenden Darstellung von Fisher und 1171 sowie. einer Diskussio~~sbelnerl~~~ng von Xbhangigkeit der G&se ,o = SO/UOvon deer Dunn ABEL 3. ~tapelfehlere~~ergie -,. Parameter fiir die Kurvenschar ist x. Shockley hierzu, ergibt sich auf diese Weise ftir Cu y = 40 erg/cm2 und fiir Al y s 200 erg/cm”. energie y. Die elastischen Konstanten sind fiir die Aus der numerischen Auswertung mit Hilfe von meisten im Zusammenhang mit der plastischen Abb. 2 und 3 ergibt sich folgendes charakteristisches Verformung interessierenden Met&e gemessen und Verhalten : von Boas und Mackenzie 1131 sowie von Schmid 1. Die Breite des Stapelfehlerbandes ist fiir stets griisser 1141 zusammengestellt. Stufenversetzungen (x < 1 ungefzhr) Dagegen kann y nicht direkt gemessen werden. als fiir Schraubenversetzungen (x > I ungefghr). Fiir Kobalt, das bei ungefghr 420°C eine Umwand2. Fiir eine Stapelfehlerenergie lung von hexagonal-dichtester Kugelpackung in das kubisch-fl&henzentrierte Gitter aufweist, haben __2 b2 y > 10 s,,c ungefahr Heidenreich und Shockley [33 eine Umwandlungsw&me von 100 Cal/g atom zugrundegelegt und ist die Breite des Stapelfehlerbandes von der GrBssenordnung I bis 2 Atomabst5nde und nur noch sehr schwach von y selbst abhgngig. Ein B&spiel hierzu ist Aluminium. Genauere Aussagen sind jedoch nicht mehr maglich, da die Annahme x=3 P*-_____ -____ gleicher Versetzungslgngen fiir Stufen und Schrau_x__?___!C?_ benkomponente in diesem Gebiet keine gute An_x:_l___p.-_ nsherung mehr ist. x-0 L--= - _ - - - _ _. - _ 3. Fiir ein bci der Orientiarung
11” (Abb.
lb)
2 y < 2:. IO-~ &
ACB. 4. Abhgngigkeit der Lange cg der Halbversetzungen von ~0. Im rechten Teil der Abbildung sind die Asymptoten fiir grosse po angegeben.
ungefzhr
ist die Breite des Stapelfehlerbandes sehr stark von y abh5ingig und nimmt mit fallendem y sehr rasch zu. Ausserdem besteht ein starker Einfluss der
ACTA
628
METALLURGICA,
anisotropen elastischen Eigenschaften. Die Stufenversetzung ist urn eine Grbssenordnung weiter aufgespalten als die Schraubenversetzung. In diesem Gebiet, fur das Kobalt ein Beispiel ist, wirkt sich daher die Unsicherheit von y besonders stark aus. Wir haben in Tabelle I die fiir die Rechnung zugrunde gelegten Konstanten und in Tabelle IIa und IIb Zwischenergebnisse und die Resultate zusammengestellt. TABELLE
I
ELASTISCHE KOIFFIZIENTEN (IN lo-l3 CM~DYN), STAPELFEHLERENERGIIS y UND ATOMABSTAND b VON Cu, AL, Co Sll __--
512
s33
513
S24 [erg :nl-21
:*I
40 200
2,56 2,86
20
2,51
----___-
cu
14,Q
-6,2
Al co
15,Q 692,
-5,8 -2,&
0
-
0 -I,63
5,Os
TABELLE
13,3 35,2 IQ,28
IIa
NUMERISCHE WBRTE FUR DIE WURZELN K~ = K$+&” -.
z-Achse in (110) Richtung Kl” ----
K2”
0,44 0,47 0.60
1,03 1,03 1.05
TABELLE
K2”
0,38 0,7 -
0,55 =o -
1,46 1,2 -
A(P) = (Al)
IIb
Versetzlinie
Rickng
KI
10-13
Gleichgewichtslage mit einem Gleichgewichtsabstand von der Grossenordnung der Versetzungslange ergeben konnte. Dies ist nach ,4bb. 2 nur der Fall fiir x > 2,3. Im Falle der Aufspaltung einer Schraubenversetzung, die am ehesten die vermutete Erscheinung zeigen konnte, entspricht dies bei isotropen Medien p = 057. Wahrend ein solches p bei isotropen Medien nicht miiglich ist, kijnnte x bei stark anisotropen Metallen einen derartig grossen Wert event. annehmen. Doch haben wir bis jetzt noch kein Beispiel gefunden, bei denen die Leibfried-Dietze’sche Vermutung zutreffen wiirde. Die vorstehenden Ergebnisse sollen auf die Berechnung der Aktivierungsenergie fiir “cross-slip” angewendet werden. Dabei werden wir such die hier nicht gegebene explizite Darstellung der Energie als Funktion von 7 bringen. Die Verfasser danken Herrn Professor U. Dehlinger fiir seine fijrdernde Unterstiitzung, Herrn Krijner ftir Diskussionen zur anisotropen Elastizitatstheorie.
Berechnung
ZWISCHENERGEBNISSE (SIEHE TEXT), VERSETZUNGSLTNGE co UND ABSTAND 270 DER HALBVERSETZUNGEN
ungs-
1053
ANHANG
Ki
Kll ___-__--
1,85 2,OQ 1.59
cu
Al co
1,
z-Achse in (211) Richtung
IQ”
-
VOL.
2JJ; .(x+&) +cosEh(;+~)]a + 2 cos4L;-
tg (E 4 P) + arc tg (6 - P> +
10-U CO
cm2lrcm21
SM
1 dyn_lLdyn]
KS
x
po
b 1,03 1,50
=
210
b
arc tg ifs”- 2F
4;
(110) (211)
13,l 21,7
23,6 13,l
1,37 2,46
1,s 0,6
2,2 4,0
Al
(110)
30,8
39,0
1,04
1,27
=I
=0,5
=l
(211)
39,0
25,0
I,63
0,64
=I
=0,8
=1,6
(110) (211)
11,0 18,6
18,6 11,O
1,04 1,75
1,69 0,59
4,3 =20
1;
49 =
&b-ctg(t + P>h
Co
0,8 1,3
+ n
b
cu
= 121~ arc tg 1 +
2P
P2 +
~1
1
arc tg (t - P)I (2
Mit Gl. (52) und der neuen Integrationsvariablen
7 =50
Beriicksichtigt man wie Heidenreich und Shockley [3] neben y nur die (isotrop gerechnete) Abstossung der Halbversetzungen, so ergibt sich fiir die Aufspaltung der Schraubenversetzung bei Kobalt 270 = l.lO-“cm, wahrend die genauere Rechnung in diesem Falle 29, = 1,8.10-7cm ergibt. Leibfried und Dietze haben die Vermutung geaussert, dass sich such fiir y = 0 eine stabile
cos 47r
mit w(t) = &arc
KZ
des Integrals
s=tg*
h
geht (Al) iiber in (A2)
r’” J”
(2 + d31P)S2
(S+ai)[
-
(d3
,,,-3,(~3+~~2-3,-~)]~ P
-
llP)S
-
d3/P&
SEEGER
Die Nullstellen kanden sind
SCHiiCK:
UKD
si des Polynoms
6. Grades
AUFSPALTUSG
im Radi-
=
-
sg
Wenn
=
+
tg
+r
=
-t/3
+
tg (w -
die nach Legendre [IS] hinreichend ist Reduzierbarkeit auf elliptische Integrale. Mit der Substitution (s4-__ -
&>
s1-
s2)y
-
s2> 4
P=
so gilt
Sl(%
-
s2)
s2(s5
-
Sl)
nach folgen-
(0 < arc ctg p < $n)
Fiir o # 0, 4, ist (A2) ein hyperelliptisches Integral vom Geschlecht 2; jedoch besteht zwischen den Doppelverh<nissen der s f die Beziehung
y
-
beriicksichtigt,
wghrend sich die Integrationsgrenzen dem Schema transformjeren.
&r)
w = 8 arc ctg p
s4 = 0 sogleich Slb3 oL=-------sz(s3
mit
== fs.r
man
0
se = -
s
und
tgw
sq=
529
VERSETZUNGEN
(A3)
si = - tg (QJ+ &r) s2 = -tg&r= -d3 s3
VOX
($4
-
Sl)S2
(sq
-
s1)
l&t sic11 (A%) als Linearkombination Integrale darstellen :
fur
die
Die Substitution (A3) transformiert die urspriinglithe .$-Ebene in zwei Riemann’sche Blgtter der z-Ebene. Der Integrationsweg tritt an dem einen Verzweigungspunkt z = c;% von einem Blatt in das andere tiber. Deshalb sind Gz und Hz vollst5ndige, Gi und Hr unvollsttidige elliptische Integrate. Im einzelnen gilt in der Legendreschen Schreibweise der elliptischen Integrale
folgender
Gr = Gz = - zK(k2)
HI = - 4+ E(R1, (6) + 4i[K;(c; - c;)]” H% = -
sGG-aF,,; = [(L
S-.-
ydy
- a)(l
l)(Y
-
-
P)(Y
- p)]
a>(Y
E(&)
mit
i 2
- 4Qlf
-
P)(Y
k: =
‘;?2-1 ,
Das Endergebnis
- 401~
(A4) -
A(p)
h kz
kz sin # = kl
I
G f Gzl
dy -
Y[Y(Y
4icz
lautet
= ($ :‘I)+
fc: -
c8
+
c2 E
@a>
-
CI E
fk,,
r)
)1
mit R=
Dabei
cos cdsin (w+_*T) cos (w+*n)[+l/3+-sin 1/3 sm3 w
2 sin w [sin w - &/3] g’ = sin (w + +v) sin (w - 3~)
ist G$ =
(i = 1,2)
H$ =
(i = 1,2)
(da + VW 40 - P) (da - z/P>” (I - a)(1 - PI (1
2 I+ cosw - psin (W + +T)
2 sin w [sin w + $431 + 2 1 - cos w gz = sin (w + Q7r) sin (w - +7r) p sin (w + +q h=
mit
c’4= -
1/3 sin’ w sin2 (w + $7f) sin (W -
QT)
sin (0 -l- 97r)[*d3 - sin (W sin3 w
*7r)]”
c: = sin (w + *7r)[+.\/3 + sin (0 sir? w
+T)]”
cl” =
-
c;= -
20 ]
ACT,1
530
METALLI:RGICA,
Literatur 1. BLXGIIIIS, J. \V.
Proc. Ned. Acad. iVet., 42 (1939) 293,
378. 2. ESIIELBI-, J. D. Phil. Msg., 40 (19493 903. 3. HEIDICNREICII, IL D. und SHOCKLEY, W. Report on a Conference on Strength of Solids (London, 1948), S. 57. 4. COTTKISLL,X. H. und BILBP, B. A. Phil. Msg., 42 (1951) 573. 5. SBIXXII, -4. Z. Metallk., im Druck. 6. LEIBFRIED, G. und DJETZE, H. D. 2. Physik, 131 (1952) 113. 7. BIEZENO, C. B. und GRAMMELL, R. Technische Dynamik (Berlin, 1939). 8. Siehe VOIGT, W. Lehrbuch der Kristallphysik (Leipzig und Berlin, 1910), VII. Kapitel. Gl. (3a) ist bei Voigt mit Vorzeichenfehlern behaftet.
VOL.
1,
1953
9. CH~LMM~S, I~. I’rogress in hIeta
Physics, 2 (1950) !10.
10. VOIGT, 12:. Lehrbuch der Kristallphysik (Berlin und Leipzig, 1910). 11. MAEHLI, Ergebn. exakt. Saturw., 24 (1951) 402. 12. SCHMID, E. und Bo.u, \V. Kristallplastizit%t (Berlin, 1935). 13. BOAS, W. und RIACKENZIE, j. K. Progress in hIeta Physics, 2 (1950). 14. SCHMID, E. Straumann-Festschrift (Stuttgart, 1952), S. 25. 15. LEIBFRIED, G. und DIETZE, H. D. Z. Phys., 131 (1952) 113. 16. CHRISTIAN, J. W. Proc. Roy. Sot., A206 (1951) 51. 17. FISHER, J. C. und DCNN, C. G. Imperfections in Nearly Perfect Crystals (New York, 1952), S. 317. 18. Siehe KRATZER, A. Lehrbuch der Thetafunktionen (Leipzig, 1903).
und
G. SCH6CKJ
Die vorliegende Arbeit behandelt zwei Probleme aus der Theorie der Versetzungen: (I) die elastischen Eigenschaften von geraden Versetzungslinien in Kristallen beliebiger Symmetrie; (2) die Aufspaltung in Halbversetzungen in dichtest gepackten Gleitebenen. dann und E;s ergibt sich, dass die iibliche Zerlegung in “reine” Stufen und Schraubenversetzungen nur dann m6glich ist., wenn die Richtung der \‘ersetzungslinie geradzghlige Symmetrieachse ist. Eine andere Vereinfachung gegeniiber dem allgemeinsten Fall tritt dann ein, wenn die Versetzungslinie in eine Spiegelebene (nicht Drehspiegelebene) fgllt. Die Aufspaltung in Halbversetzungen wird mit Hilfe des Begriffs der spezifischen Stapelfehlerenergie und unter voller Berticksichtigung der Anisotropie mit dem von Leibfried und Dietze zuerst verwendeten Variationsverfahren fiir Stufen- und Schraubenversetzungen durchgeftihrt. Numerische Resultate werden fiir Cu, Al, Co, angegeben. Die Ergebnisse weichen zum Teil stark von denjenigen ab, bei denen nur Stapelfehlerenergie und isotrope Elastizitsitstheorie beriicksichtigt werden. THE
SPLITTING
OF
DISLOCATIONS
IN
METALS
WITH
CLOSE-PACKED
LATTICES
The present paper deals with two problems in the theory of dislocations: (1) the elastic properties of straight dislocation lines in crystals of arbitrary symmetry; (2) the splitting of half-dislocations in closest-packed lattice planes. It turns out that the usual splitting into pure edge dislocations and pure screw dislocations is only possible if the direction of the dislocation line is an even symmetry axis. Another simplification with respect to the most general case occurs when the dislocation line is situated in a reflection plane (but not rotation-reflection plane). The splitting of the half dislocations is treated for both edge and screw dislocations by means of the variation method first used by Leibfried and Dietze, using the concept of a specific stacking fault energy and taking the anisotropy fully into account. Numerical results are given for Cu, Al, Co. Some of the results deviate considerably from those based on the stacking fault energy and isotropic elasticity. LA DIVISION
DE
DISLOCATIONS
DANS
LES
A RI%EtYI:
MBTAUX
COMPACT
Le present article traite de deux problemes dans la thCorie des dislocations : (1) les propri&t& elastiques de lignes droites de dislocations dans des cristaux B symetrie arbitraire; (2) la division des demi-dislocations dans les plans de la plus grande densite atomique. 11 apparatt que la division habituelle en pures dislocations-coin et pures dislocations-vis n’est possible que quand la ligne des dislocations est un axe de symetrie pair. Un,e autre simplification par rapport au cas le plus g&&al se presente quand la ligne des dislocations est situ& dans un plan de r6flexion (mais pas un plan de rotation-r6Aexion). La division des demi-dislocations est traitee pour les cas des dislocations-coin et des dislocations-vis au moyen de la m6thode des variations, dont Leibfried et Dietze se sont servi pour la premi&re fois, employant le concept d’une Cnergie sp&ifique des defauts d’empilage et tenant compte de I’anisotropie. Des rCsultats numeriques sont don&i pour le Cu. Al, Co. Certains de ces r&ultats different consid&ablement de ceux qui sont basCs SLY I’&ergie des dbfauts d’empilage et l’6lasticit6 isotrope.
Symmetrieelemente
1. Einleitung Versetzungen tur
haben
schaften.
im
_\nnahmen,
des
praktisch
in Kristallen
verschiedener
Struk-
lich der Gleitebene
allgemeinen
verschiedene
Eigen-
ten
Die Verschiedenheit
der Anisotropie
Behandlung
beruht
der Kristalle
zum Teil
und zum Teil
auf
auf den
Kristallen
(111)
2 eine Methode,
behandeln
gestattet.
die ngm-
Wir
die such
in zu
Fall
in der jeweiligen Gleitebene. Elastizit%tstheorie der Versetz-
in der Gleitebene
sind
massgebend
fiir die Frage,
ob und wie stark
sich
ungen
haben
sich
Burgers
vollst&dige
Versetzungen
(damit
befasst.
Da
Burgers
den
laufenden im Auge
Fall
Versetzungslinie hat,
muss
und einer
giiltige
Resultate,
beliebig
in kubischen
er sich
METALLURGICA,
doch
VOL.
ver-
Kristallen
macht
nur gerade und findet er iiber
*Received April 23, 1953. tInstitut fiir theoretische und angewandte Physik Technischen Hochschule Stuttgart. $Max-Planck-Institut fiir Metallforschung Stuttgart. ACTA
[2]
auf ein Ngherungsver-
fahren beschrznken. Eshelby behandelt Versetzungslinien von Stufenversetzungen streng
Eshelby
1, SEPT.
1953
die
der
Potentialverhgltnisse
besprechen diesen
Potentialverh8ltnissen Mit der anisotropen
[I]
Die
gerade Falles,
in kubisch-flgchenzentrier-
ausschliessen.
Abschnitt
die
wichtigen
meint;
deren Burgersvektor
aisgitter
des
unvollstsndigen gen
solche
Gittervektoren
betreffenden
zuerst von Heidenreich
sind
Kristalls
und Shockley
Versetzungen
sind)
ge-
im Bravin
die
[3] betrachteten
oder
Halbversetzun-
aufspalten
kijnnen. Diese Aufspaltungsmijglichkeiten sind nach heutiger Ansicht wesentlich fiir das plastische Verhalten der Metallkristalle,
ausserdem
kommt
Bedeutung
fiir Zwillingsbildung
Umwandlungen
ihnen
[5] zu.
vermutlich
eine
[4] und
gewisse allotrope
Leibfried und Dietzc [6] haben geeignetc &Ansgtze iiir die theoretische Behandlung dieser Xufspaltung in der [ 111) -Ebene des kubisch-flgchenzentrierten Gitters bzw. in der hexagonalen Basisebene angeg&en, aber wegen mathematischer Schwierigkeiten nicht vollst~ndig durchgefiihrt. IqYr werden in ;Ibschnitt 3 zeigen, wie man alle wesentlichen Ziige des Problems, einschliesslich der Anisotropie, beriicksichtigen und dennoch zu auswertbaren Formeln kommen kann. In Abschnitt 4 werden praktische Beispiele diskutiert.
zusammen. Fiir die elastischen um in i‘-bereinstimmung mit [I)], \‘oigt [lo] uncl Maehli folgende Definition gew8hlt
(5a)
2. Verallgemeinerte
ebene Verzerrungsin anisotropen Medien
zustlnde
e
ill
QJ
d2F(x, Y)
=
ay3
uyz
=
8X'
-a4
-
I
dxdy
a2Fix,Y)
UYY =
(2)
a2Fix,Y)
uzu = -
1
uz2
ax ’
=
a4
-
ay
Die Funktionen F und 4 haben dem folgerrden System partieller Differentialgleichungen zu geniigen [8], das aus den nicht identisch befriedigten Kompatibilitgtsbkdingungen hervorgeht: (3a)
SZZF~~~~ + SIIF,,,, + -
2S,,Fz,,, + S24Fzzz
(3b)
+
(S25 + -
2&6F,,,,
+
-
S46)4,,,
SISF,,,
(S14 +
GS12
-
S24hz
-
-
Die
Shi
(4)
hgngen mit den die Gleichungen S,< =
shi
2S45
elastischen
$33
-
sh3
SIS +YYU
S56h/,
=
0
S46> Fw,
S444m +
.Tlc 2 durch
+
(S14 +
(S25 +
S56) Fv,,
S66) FzzyY
Si3
-
S554yy 4,,
=
COllSt.
Koeffizienten
au
%x
= --ax
e,, =
cYU
=
=
ezr
= --
II
Das Spannungs-u. Verschiebungsfeld einer geraden Versetzungslinie I&St sich aus einem sog. verallgemeinerten ebenen Verzerrungszustand ableiten. Wir denken uns dabei ein kartesisches Koordinaten system x, y, z so eingefiihrt, dass Spannungen uncl Verschiebungen von der z-Koordinate unabh&ngig werden. Die Versetzungslinie ist dann parallel zur z-Achse. Man kann die Gleichgewichtsbedingungen fiir die Spannungen mit Hilfe von zwei Funktionen F(x, y) und $ (x, y) befriedigen. Im isotropen Falle geht F in clie A%rysch’e Spannungsfunktion, 4 in die bei der Torsion prismatischer Stabe beniitzte Schubspannungsfunktion iiber [7]. Aus diesen beiden Funktionen leiten sich die Komponenten des Spannungstensors folgendermassen ab:
Koeffizicnten wurde, Boas untl 1lackenzie [II] zu bleiben, die
ezr
=
av ---
ay
aw a2
&b)
an
Die Tensorkomponenten des Verzerrungstensors sind die cik. Die Konstante auf der rechten Seite von GI. (3b) ist nur dann von Null verschieden, wenn an dem betreffenden elastischen K&-per Torsionsmomente angreifen. Bei den hier interessierenden Problemen von Versetzungen in Kristallen muss sie Null gesetzt werden. Fiir die spgteren Anwendungen benatigen wir diejenigen Liisungen, die Einzelkrsften in x oder z-Richtung entsprechen, welche am Halbraum y > 0 an der Stelle x = 0, y = 0, z = 0 angreifen. Sucht man die Gl. (3) mit dem Ansatz (6a)
F = A (a) exp (z&c +
(6b)
4
=
i&(a)
eXp
(iaX
+
Z&KY) &KY)
zu’liisen, so bekommt man als LGsbarkeitsbedingung fiir die Gl. (3a) und (3b) eine Gleichung 6. Grades fiir K. Es gibt im wesentlichen zwei durch die Kristallsymmetrie bedingte MSglichkeiten fiir deren Reduktion auf einen geringeren Grad: 1. Gleichung (3) zerf;illt in eine Gleichung 4. Grades fiir F allein und in eine Gleichung 2. Grades fiir 4 allein. 2. Gleichungen (3) ergeben eine Gleichung 3. Grades fiir K2. Der erste Fall tritt ein, wenn
('7) S,, = S15 = .Szj + .S4, = .S,, + S6, = 0 ist. Sach \:oigt ist dies gerade clie Bedingung dafiir, dass die z-Achse in eine geradzahlige (nicht jedoch clreizahlige) S>mmetrieachse fallt, oder, was damit gleichwertig ist, dass die z-Achse auf einer Spiegelebene (nicht auf einer Drehspiegelebene) senkrecht steht. Fiir das Eintreten des 2. Falles gibt es drei verschiedene Miiglichkeiten :
@a)
:545= S16 = S?6 = s15 = s25 + S46 = 0
(8b)
s45 = S16 = SW, = s24 = SM + SM = 0
@cl
.s45 = S16 = S36 = s15 = s24 = 0
Gl. (8a) und (8b) entsprechen den Fallen, dass die x-Achse bzw. die y-Achse zweizahlige Achsen sind. Liegt die z-Achse also in einer Spiegelebene, so kann man durch- eine Drehung des Koordinatensystems urn die z-A&se stets erreichen, dass einer der Falle (8a) oder (8b) eintritt. Fall (8~) entspricht ohne zusatzliche Bedingung fiir die Sa keiner kristallographisch deutbaren Eigenschaft. Beispiele aus den kubischen System stellkn fur den Fall (7) Versetzungslinien in Richtung (llO), fur den Fall (8a, b) Versetzungslinien in Richtung (211) dar. Die Bedingung (7) fur das Zerfallen von Gl. (3) in zwei getrennte Gln. fur F und 4 legt diejenigen Richtungen von geraden Versetzungslinien fest, in “reine” Stufenversetzungen und “reine” denen Schraubenversetzungen moglich sind. Unter einer “reinen” Stufenversetzung verstehen wir eine solche, bei der nicht nur der Burgersvektor, sondern alle Verschiebungen senkrecht zur Versetzungslinie sind. Entsprechend treten bei einer “reinen” Schraubenversetzung nur Verschiebungen in Richtung der Versetzungslinie auf. Fur Versetzungslinien in kubischen Kristallen mit einer { 111 I-Ebene als Gleitebene stellt die (llO)Richtung also die einzige Moglichkeit fur das von isotropen Illedien her vertraute Auftreten reiner Stufenund Schraubenversetzungen dar. Dagegen liegen die Verhaltnisse fiir Versetzungen mit der Basisebene des hexagonalen Systems als Gleitebene vie1 einfacher, da dabei die Bedingungen (7) und (8) fur alle Richtungen gleichzeitig erfiillt sind, sodass sich die oben erwahnte Gl. fiir K in eine in ~~ lineare und eine in ~~ quadratische Gleichung zerspaltet. Fur die folgende Diskussion beschranken wir uns der praktischen Bedeutung wegen auf geradlinige Versetzungen mit der kubischen ( 111) -Ebene oder der hexagonalen Basisebene als Gleitebene. Die Normale auf diesen Ebenen sei stets die y-Richtung.
;lusserdem behandeln wir nur dicjcnigen Falle, in denen einc der oben besprochenen Rcduktionen eintritt. Die elastischen Koeffizienten kubischcr Kristalle werden stets in einem Koordinatensystem mit den kubischen _lchsen als Koordinatenachsen angegeben [12; 13; 141. In dieser riufstellung I lautet das Schema der elastischen Koeffizienten sik
(9a)
(sjk)=[“‘Y$i44!44!
\
544 I Als Aufstellung I beim hexagonalen System bezeichnen wir ebenfalls die iibliche [12; 13; 141, bei der die z-Achse in der hexagonalen Achse liegt. (Die Lage der x- und y-Achse ist wegen der Rotationssymmetrie der elastischen Eigenschaften urn die hexagonale Achse belanglos.) Das Schema der sik lautet : Sll
FJb)
(%I
=
s12
513
0
0
0
Sll
513
0
0
0
533
0
0
0
s44
0
0
544
0
i
2(%1--12)
\
I
Als Aufstellung II, in der die elastischen Koeffizienten mit Sik bezeichnet werden, wahlen wir eine solche, bei der die y-Richtung in eine (lll)Richtung bzw. in die Basisnormale fallt. Dann sind hexagonales und kubisches Gitter beides Spezialfalle des trigonalen Gitters mit der y-Achse als dreizghlige Symmetrieachse. Es gibt dabei noch verschiedene Moglichkeiten, die x-, z-Achsen zu orientieren. Als (II’) bezeichnen wir diejenige, in der die z-Richtung einer (llO)-Richtung im kubischen Gitter parallel ist. Die andere von uns zu beniitzende Orientierungsmijglichkeit (II”) geht aus (I I’) durch Vertauschen von x- und z-Koordinate hervor. In diesem Falle ist die z-Richtung parallel zu (211). Das Schema der elastischen Koeffizienten im trigonalen System lautet in Aufstellung (II’) /
004 \
Sll
s12
513
0
0
s22
s12
0
0
-s36 0
Sll
0
0
S36
S44
2S36
0
S56
0 x44
.4C?‘A
522
in iiufstellung
hIETALLT.‘RGICA,
(110 \-Richtung
in
(Aujstellung
II’)
511 512 522
1053
I rersefzzu~gslinie
a)
(I I”) :
I
\-c-IL. 1,
$13
s14
0
0
s12
0
0
0
0
0
s44
0
0
S56
2s14
A-11-s14
Macht man fur das Schema II’ den Ansatz (6a), so ergibt sich fur K die Gleichung (12) & K4-
.744
Im Spezialfall des kubischen
2.916
K3
+
(5%
Sll
s:,
=
snj = fr Sll
+
f s12
+
is44
s22
=
; Sll
+
; s12
+
5 544
s12
=
; Sll
+
; s12
-
; s44
-713 =
ii Sll
+
ii SlZ
-
ii
s44
=
; 811
-
: s12
+
; 544
S65
=
is11
-
: s12
+
$544
S36
=
Sll
-
Sl2
-
544
K2
2&i
S?2 = 0
K +
mit
Schema (10a) =
&6) -
Gitters gilt fiir das
Sll
+
(13)
2s12
+
SC6
=
S26
=
s22
=
-
s:,
S36(Sll
2Sll(Sll -
-
513)
-
su)
+
SllS44
-
s;,
s12 S36 x11 s22
-
.7122
Die Wurzeln von Gl. (12) seien
(lla>
3
4
(14)
K%’
s14
=
;
’
Sll
d3s12
-
3
-
”
3
(llc)
=
Sll
.712 =
%a
.713 =
s12
s22
=
533
s44
=
544
s55
=
2(&l
s14
=
0
S36
=
0
KL’
K
=
K2' zt
, Ki”
f
i
Kl”
i K2
I,
redl,
K~”
0.
>
Die allgemeine, fur y > 0 brauchbare Losung von Cl. (3a) ist
544
Im hexagonalen Gitter, bei dem die Fglle (II’) und (II”) zusammenfallen, gilt Sll
=
mit
4544
Im Schema (lob) tritt an Stelle der letzten Gleichung fiir ~36die Gl. (llb)
K
PfCV
F(x, Y) = J
(15)
+ A&Y)
-cc
exp
(Al(a) exp (iw’y - I~IKI”Y)
(icuK2’y
die von uns gesuchte Randbedingungen (16)
cyg
=
0,
czy
=
-
/a!jKy
spezielle
T,~(x)
=
-
K2’)
-
y)
)
exp
iax
da
Liisung mit den
ftir
6(x)
y
=
0
ergibt sich hieraus mit -
s12) (17)
Wir stellen nunmehr fiir die oben bezeichneten Spezialfalle diejenigen Liisungen auf, die Tangentialkraften der St&rke 1 entsprechen, welche am Halbraum y > 0 im Ursprung angreifen. Dabei bezeichnen wir als Schraubenversetzungsfall denjenigen, in der die Kraft in z-Richtung wirkt und als Stufenversetzungsfall denjenigen, in denen die Kraft in x-Richtung angreift. Fi.ir die Anwendung in Abschnitt 3 im Rahmen des Peierls’schen Modells beniitigen wir dabei insbesondere die Verschiebungen u*(x) und ‘wA(x), die durch diese Beanspruchung in der Grenzflgche y = 0 auftreten.
Al(a)
=
-
AZ(a)
1 = 2?ricriil(K1’
1 -
!a/
-_____ (KI
“-
K2”)
Aus der Gleichung (18)
ezl! = $‘&,y
+
S12Fm
-
erhalt man unter Beriicksichtigung =
SdS1,
&t9,,J
von
KI’
j-
~2’
Fur eine verteilung
Die beiden
belicbig vorgegebene SchubspannungsT,~(x) erhalt man daraus
Konstanten K1 = s:* _-.---- s4, iK1” + K;’ ) s11
(30a) und Im Schraubenversetzungsfall kann man statt cp(x, y) clie Verschiebung ZU(X, y) in z-Richtung einfiihren. Die Kompatibilitgtsbedingungen sind dann samtlich identisch erftillt, die Gleichgewichtsbedingung
K, = KS” =
(30b ) reduzieren
sich im isotropen
(S44S55
4S3$
-
Medium
auf
(3Ia)
(21) (3Ib)
geht wegen E22
-
ax
wobei G der Schubmodul und p die Poissonsche Konstante ist. Im hexagonalen Kristallsystem vereinfacht sich ausserdem Kg zu
aw
dW
--
ay
$2 =
7
und Gl. (10a) tiber in
(22)
a2w
s
2s
46 zy
44 ax2
(32)
a"70 +
s55$
=
cl
.
b) liersetzungslinie II”)
mit
(23)
511544
s45 =
2Sll S36
S65 =
SllS65
S55
(24)
K2
i
~3”
(33a) A[&
(K3”
0)
>
die
K4 +
Die ftir den Halbraum Liisung von (22) ist
+
in
S44
=
0
y > 0 brauchbare
=S+CD kt (a) eXp (iaX +i
(2&2
+
beiden
allgemeine
+ &)
K6 +
K
-co
-
K3”(C+‘)
da
ClUZ’T?/Z(X) = -
ergibt
wegen 2~36 = s66 ~3’
(27)
A (a) = &
(~44
Ss5
-
6(x)
ftiry
= 0
(34)
+
[&Is44
s44(2&2
K2
+
s221
+
St41
-
+
s56) &%E,
&5(2&2 (&4
-
L&sung mit der Randbedingung
(26)
(A ufstellung
K2
+
s24]
=
0
K2
+
s44]
=
0
der Koeffizientendeterminante die Gleichung
(25) W(X, Y)
K3’0(Y
s66) B[(&4
K2 +
Das Verschwinden von (33) liefert fur &l&6
Die spezielle
dS44Sa
(211 )-Richtung
-
(33b) A [(& 4S36 K
-
=
Geht man mit den Gl. (6) in das Simultansystem (3) ein, so erhalt man
s44 =
Es seien K = ~3’ f Wurzeln der Gleichung
K2
+
s66)
+
&6)“1
+
-
=24(&4
K4 + +
s22s44
+
Die drei ftir den Halbraum zeln haben die Form
s66)
[s22&6
&,)] -
K2
si,
y > 0 geeigneten
Kl
=
i
K2
=
K2’
+
‘i
K2”
K3
=
K2’
+
i
K2”
= 0
Wur-
Kl”
4s3$ = &,& -
und
(28)
ze?4’ b> =
a+,
0)
=
ax
-iK21
X
Fiir eine beliebig vorgegebene Schubspannungsverteilung Tag erhglt man daraus
(29)
w_4’(x)
=
-
K2 --g
4 S-m X--f +-$&
mit KS’, Kt” reell, pi” > 0. Man erhglt hiirige Werte fiir das Verhzltnis A/B: (35)
(s14
+
&6)
Als LGsung ftir den Halbraum und (3b) folgt:
KZ:
+
drei
zuge-
s24
y > 0 ftir Gl.
(3a)
ACTA
524
(36a)
F(x, y) =
J$(~,(cx) -Y
exp
METALLURGICA,
i~~loljy
exp i’hj+
Ma)
+A~(cx) exp (36b) 4(x, y) = i ~+‘(~&(a)
exp &XXda
ir3/crly]
exp i+lr
-FhA2(a)
exp ic21~lly
+ -&3(a)
exp Z’K&jYjexp iocx aa
Fiir die Randbedingungen (37)
ayy= ayz = 0,
ergibt
sich wie oben
fi.ir y = 0
azy = rzy = --&)
(33) mit Kz =
(39)
&I Y&z2 sll
0’)
Yl(‘Q
-
+ Y&s2 -
0)
+
Y2(K3
-
KI’) KI)
+
y3(K12
+
-
Y3(K1
K2’)
-
K2)
Fiir die Randbedingungen 7u1
(40)
=
(Tzy
0, aZlr= 7vz = -6(x)
-
folgt
fury=0
+m ~YZc9 7rS-a
WA’(X) = - 5
(41)
X-Ed4
mit KI =
(42) is55
YlKl(K2
-
Yl(K2
Im isotropen
(43a)
K3) -
+
K3)
Y2K2(K3 +
-f2(K3
-
KI) KI)
+ +
-j’3K3(K1 -f3(K1
-
Kg)
K2)
Fall gilt
K1 = i,
im hexagonalen
1,
1953
zentriert-kubischen Gittern. Das Gemeinsame dieser beiden Falle ist, dass es fur die Atome in einer bestimmten Netzebene zwei Arten von Gleichgewichtslagen gibt, namlich solche, die zum hexagonalen Gitter fiihren, und solche, die zum kubischen Gitter gehiiren. Der Unterschied zwischen diesen beiden Moglichkeiten tritt jedoch erst auf, wenn man mindestens drei aufeinanderfolgende Netzebenen betrachtet und in die Rechnung einbezieht. Wurde man dies tun, so wiirden die entstehenden Gleichungen schwerfallig und keiner strengEs ist deshalb en Behandlung zuganglich sein. zweckmassig, wie Leibfried und Dietze [15] im Rahmen des Peierls’schen Modells weiterhin zwei aufeinanderfolgende Netzebenen zu betrachten und die Grundgleichungen, als Variationsproblem formuliert, mit dem Ritz’schen Verfahren zu l&en. Da es der Grundgedanke des Variationsverfahrens ist, die Gesamtenergie als Funktion mehrezu berechnen und zu rer Parameter explizit einem Minimum zu machen, kann man den energetischen Unterschied zwischen “kubischer” und “hexagonaler” Gleichgewichtslage hierbei sehr leicht mit Hilfe ties Begriffs der spezifischen Oberflachenenergie y eines Stapelfehlers beriicksichtigen. Wenn in einem gewissen endlichen Gebiet eine ( 111) Ebene die falsche Gleichgewichtslage besetzt, so ist dieses Gebiet durch Halbversetzungen vom Tl.pus +a < 211 > berandet. Man kann deshalb die Flache F dieses fehlgeordneten Gebietes, das man einen Stapelfehler nennt, als die von der Halbversetzung eingeschlossene Flache verhaltnismassig genau definieren. Fur nicht zu kleine F wird der Energieiiberschuss E cles Stapelfehlers proportional zur Zahl der fehlgeordneten Atome und damit proportional zu F sein: E = yF
(43b)
K2 = +
Fall Ki = d
~44~55
Gegeniiber den Gl. (31a, b) erscheinen die Definitionen von K1 und K2 gerade vertauscht. Die jetzige Bezeichnung ist jedoch konsequent, wenn man spgtere Fallunterscheidungen vermeiden will. 3. Beriicksichtigung
Struktur
VOL.
der periodischen der Gleitebene
Bei der Behandlung der fierhaltnisse in der Gleitebene beschranken wir uns sogleich auf hexagonale Basisebenen, bzw. (Ill)-Ebenen in flachen-
Uber die Bestimmung der spezifischen Oberflachenenergie y werden wir unten noch einiges sagen. Hier sei der Fall besonders erwahnt, dass der Stapelfehler durch zwei gerade V’ersetzungslinien mit dem Abstand 217begrenzt wird. Die Oberflachenenergie pro Langeneinheit (von der wir in Zukunft allein sprechen werden) wird dann E = 27~ Derartige Stapeifehler werden sich im allgemeinen immer bei vollstandigen Versetzungen mit chchtest gepackter Netzebene als Gleitebene ausbilden. Es stellt sich hier ein Gleichgewicht ein zwischen der ,im wesentlichen 7-i proportionalen Abstossung der beiden Halbversetzungen und der
SEEGEK
USD
SCHijCK:
AUFSPALTUNG
Oberflachenspannung des Stapelfehlers. Dieses _Yuseinanderspreizen einer Versetzungslinie in ein in einer { Ill}-Ebene liegendes Stapelfehlerband ist verantwortlich fiir den Urnstand, dass such Schraubenversetzungen im kubisch-flachenzentrierten Gitter eine definierte Gleitebene haben. Die Breite dieses Bandes bestimmt dabei die Aktivierungsenergie ftir cross-slip. Wir werden als Beispiel ftir die qualitative Behandlung der Aufspaltung die Schrauben- und Stufenversetzungen wahlen. Durchgefiihrt wird die Rechnung fiir die Schraubenversetzung, doch wurden die Bezeichnungen so gewahlt, dass die Ergebnisse ab Gl. (57) ftir beide Fallegelten. Mit denselben mathematischen Methoden kann man jedoch such die FBlle behandeln, in denen der Burgersvektor mit der Richtung der Versetzungslinie einen Winkel von 30” oder von 60” bildet. Die Gesamtenergie pro Langeneinheit im Peierls’schen Model1 setzt sich aus der elastischen Energie Eel, aus der \Vechselwirkungsenergie EaB und aus der Stapelfehlerenergie 2vy zusammen. Es gilt im vorliegenden Fall (4-L)
E: = Eel+
\‘ON
525
VERSETZUNGEN
(48)
u_4B
=
2u*
WAB
=
2w,
sind. Aus den Gl. (20) und (29) folgt 7zy(x)
(49a)
=
-II_ 7x1
s+wu s
a- ‘69 dE
_-m t-x
+- wA’(t)
(49b> Einsetzen
Eel=
dt
4-X
a
von Gl. (49a, b) in (45) gibt
--&
+c= ss WA -F---
(x) WA (8
+m S-S --m
(50) --
1 TK,
uA (xbA’(t) ____-
--m
ddE
X
dxdg
E-x
Die Hauptschwierigkeit bei der Berechnung der Gesamtenergie durch das Ritz’sche Verfahren bietet der Anteil EAB. Ein zweckmassiger Ansatz ist (51)
E.4, + 27~
mit
Wegen der Ableitung der Beziehungen fiir EeL und EAB sei auf die Arbeit von Leibfried und Dietze verwiese:n. Die Konstanten b, h und c hangen mit der Wtirfellange a irn’ kubischen Gitter folgendermassen zusammen. b=$d2a (47)
h=
446a
c=+d3a Im hexagonalen Fall ist 2c die Gitterkonstante in Richtung der hexagonalen Achse und b = $43 h die Gitterkonstante in der Basisebene. Ftir den Schubmodul G hat man im hexagonalen und kubischen Fall G = l/s44 zu setzen. Die Nullpunkte ftir die Verschiebungen werden so gewahlt, dass die gegenseitigen Verschiebungen der beiden in die’ Rechnurig einbezogeneri Netzebenen
Er stellt zwei Halbversetzungen im Abstand 217dar, entspricht also dem oben geschilderten Fall. Die Versetzungslange CT, die ebenso wie ? ein freier Parameter ist, ware eigentlich fur die u-Verschiebung und die w-Verschiebung verschieden zu wahlen. Die Annahme gleicher Versetzungslangen in den Gl. (51) ist jedoch ftir die Berechnung von EA, wesentlich, da sie die Giiltigkeit der einfachen_Gleichung (52)
4 TWA cos __ = b
12ru, cos -__ h
1 + -sin P
12 ?ru/& -h
mit
p,z1
(53)
fJ
zur Folge hat. Im Anhang werden wir mit dem Ansatz (51) EAB in der Form (54)
E AB=&--A(P)
berechnen. Bei der Berechnung
von Eet treten die Integrale
(55) %(x) %‘(t) _-4-X
dxdE = _
526
rICT.1
RIET.\LLITIIGIC;\,
I’OL.
1,
11153
und (56)
JI+y
m
J:;_,
sf?is) b 2
=(-) 4
[
dxd~; In (1 + p”) -
4 In 2
1
auf. Bei dem Integral Gl. (56) hat man, urn Konvergenz zu erreichen, endliche 1nt:grationsgrenzen * L einzusetzen. Die Gesamtenergie lautet unter Beriicksichtigung von Gl. (54, 55 und 56)
(57)
p&n_
1 +& ; Ab> +2-w
47rKS [
&_322”
x
--yy-ln
(1 + P’)
mit
Die Bedingungsgleichungen tionsprinzips (58)
fy
des Ritz’schen
= 0, r)=COllBt
g/
Varia-
= 0 ~=COIll3t
ergeben (59)
; = 5% ~-__Kz A(p) ” PA’(~)
P’(X + 3) + 6 ~ 6(p2 + 1)
und
In Abb. 2 ist A(P), nach Gl. (A4) des Anhangs berechnet, aufgetragen. Daraus erhalt man die in Abb. 3 dargestellte Abhangigkeit der Grosse p von der spezifischen Oberff achenenergie y des Stapelfehlers mit x als Parameter. Mit dem so gefundenen po kann man aus Abb. 4 die zu den betreffenden x gehiirige Versetzungslange u,, entnehmen, und dann aus Gl. (57) mit einem plausiblen Wert von L die Versetzungsenergie pro Langeneinheit berechnen. Da sich fur gewisse Werte von x und y der Parameter p nach Abb. 3 mehrdeutig ergibt, kann es bei Anderung von y (etwa mit der Temperatur) Bereiche von 7 und u geben, die iibersprungen werden und sich nicht realisieren lassen. Eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft der Darstellung der Losung mit Hilfe der Abb. 3 und 4 ist, dass die auftretenden Kurvenscharen die
(b) ABB. 1. Schematische Darstellung der Aufspaltung von Versetzungen in einer (Ill)-Ebene in Halbversetzungen. Versetzungslinie z-Achse: (a) Schraubenversetzung, (b) Stufenversetzung.
eine Grijsse x enthalten, also im anisotropen Fall dieselbe Mannigfaltigkeit wie im isotropen Fall aufweisen. Hat man ein isotropes Medium, so ist bei der Orientierung II’ (Abb. la) x = l/(1
- cl)
A(o) 7
6
5
ABB.
2.
asymptotisch
A(p)
A(co)
Gl. = 2~3.
nach
(A4).
Die
Kurve
nshert
sich
claraus y = 20 erg ‘cm? abgcsch~tzt. Nach Christian 1161 ist jetloch die LTmwandlungsw~rme nur etwa x=1--p 60 cnl,‘g atom. Wir werden fiir die t’crh%ltnisse bei wobei p (lie P&sons&e Konstante ist. Zimmertemperatur den Wert y = 20 erg/cm’ beniitZen. JIer Wert von y ist proportional dem Unterschied 4. Anwendungen und Beispiele der Freien Energic der beiden Modifikationen und damit tempernturabh5ngig. Am UmwandlungsUrn mit den in Abb. 3 gegebenen Formeln die punkt wird 7 = 0, was zur Folge hat, dass sich die Aufspaltung einer Versetzung in Halbversetzungen ~albversetzungen unter der Wirkung ihrer elastiquant~tativ behandeln zu kBnnen, beniitigt man die schen Abstossung auseinanderspreizen. Legt. man elastischcn Konstanten des betreffenden Kristalls einen geeigneten Mechanismus Eiir die Kewegung sowie die Jcenntnis der spezifischen OberA%chendieser Halbversetzungen zugrunde [5], so kann damit die Umwandlung eines grijsseren Gebietes in die neue ~~odifikation erklgrt we&en. Eine andere ~J~jgIichkeit zur Abschstzung von y erg&t sich aus der- Messung iiber Grenzfl&chenenergie von Orientierungszwillingen. Ein Stapelfehler kann aufgefasst werden nls Aufcinanderfolge dreier Orientierungszwillinge, von denen der mittlere nur eine einzige Netzebene umfasst. Man kann deshalb annehmen, dass y griissenordnungsm&sig doppelt so gross wie die Grcnzfkichenenergie der zwischen Orientierungszwillingen ist, Nach zusammenfassenden Darstellung von Fisher und 1171 sowie. einer Diskussio~~sbelnerl~~~ng von Xbhangigkeit der G&se ,o = SO/UOvon deer Dunn ABEL 3. ~tapelfehlere~~ergie -,. Parameter fiir die Kurvenschar ist x. Shockley hierzu, ergibt sich auf diese Weise ftir Cu y = 40 erg/cm2 und fiir Al y s 200 erg/cm”. energie y. Die elastischen Konstanten sind fiir die Aus der numerischen Auswertung mit Hilfe von meisten im Zusammenhang mit der plastischen Abb. 2 und 3 ergibt sich folgendes charakteristisches Verformung interessierenden Met&e gemessen und Verhalten : von Boas und Mackenzie 1131 sowie von Schmid 1. Die Breite des Stapelfehlerbandes ist fiir stets griisser 1141 zusammengestellt. Stufenversetzungen (x < 1 ungefzhr) Dagegen kann y nicht direkt gemessen werden. als fiir Schraubenversetzungen (x > I ungefghr). Fiir Kobalt, das bei ungefghr 420°C eine Umwand2. Fiir eine Stapelfehlerenergie lung von hexagonal-dichtester Kugelpackung in das kubisch-fl&henzentrierte Gitter aufweist, haben __2 b2 y > 10 s,,c ungefahr Heidenreich und Shockley [33 eine Umwandlungsw&me von 100 Cal/g atom zugrundegelegt und ist die Breite des Stapelfehlerbandes von der GrBssenordnung I bis 2 Atomabst5nde und nur noch sehr schwach von y selbst abhgngig. Ein B&spiel hierzu ist Aluminium. Genauere Aussagen sind jedoch nicht mehr maglich, da die Annahme x=3 P*-_____ -____ gleicher Versetzungslgngen fiir Stufen und Schrau_x__?___!C?_ benkomponente in diesem Gebiet keine gute An_x:_l___p.-_ nsherung mehr ist. x-0 L--= - _ - - - _ _. - _ 3. Fiir ein bci der Orientiarung
11” (Abb.
lb)
2 y < 2:. IO-~ &
ACB. 4. Abhgngigkeit der Lange cg der Halbversetzungen von ~0. Im rechten Teil der Abbildung sind die Asymptoten fiir grosse po angegeben.
ungefzhr
ist die Breite des Stapelfehlerbandes sehr stark von y abh5ingig und nimmt mit fallendem y sehr rasch zu. Ausserdem besteht ein starker Einfluss der
ACTA
628
METALLURGICA,
anisotropen elastischen Eigenschaften. Die Stufenversetzung ist urn eine Grbssenordnung weiter aufgespalten als die Schraubenversetzung. In diesem Gebiet, fur das Kobalt ein Beispiel ist, wirkt sich daher die Unsicherheit von y besonders stark aus. Wir haben in Tabelle I die fiir die Rechnung zugrunde gelegten Konstanten und in Tabelle IIa und IIb Zwischenergebnisse und die Resultate zusammengestellt. TABELLE
I
ELASTISCHE KOIFFIZIENTEN (IN lo-l3 CM~DYN), STAPELFEHLERENERGIIS y UND ATOMABSTAND b VON Cu, AL, Co Sll __--
512
s33
513
S24 [erg :nl-21
:*I
40 200
2,56 2,86
20
2,51
----___-
cu
14,Q
-6,2
Al co
15,Q 692,
-5,8 -2,&
0
-
0 -I,63
5,Os
TABELLE
13,3 35,2 IQ,28
IIa
NUMERISCHE WBRTE FUR DIE WURZELN K~ = K$+&” -.
z-Achse in (110) Richtung Kl” ----
K2”
0,44 0,47 0.60
1,03 1,03 1.05
TABELLE
K2”
0,38 0,7 -
0,55 =o -
1,46 1,2 -
A(P) = (Al)
IIb
Versetzlinie
Rickng
KI
10-13
Gleichgewichtslage mit einem Gleichgewichtsabstand von der Grossenordnung der Versetzungslange ergeben konnte. Dies ist nach ,4bb. 2 nur der Fall fiir x > 2,3. Im Falle der Aufspaltung einer Schraubenversetzung, die am ehesten die vermutete Erscheinung zeigen konnte, entspricht dies bei isotropen Medien p = 057. Wahrend ein solches p bei isotropen Medien nicht miiglich ist, kijnnte x bei stark anisotropen Metallen einen derartig grossen Wert event. annehmen. Doch haben wir bis jetzt noch kein Beispiel gefunden, bei denen die Leibfried-Dietze’sche Vermutung zutreffen wiirde. Die vorstehenden Ergebnisse sollen auf die Berechnung der Aktivierungsenergie fiir “cross-slip” angewendet werden. Dabei werden wir such die hier nicht gegebene explizite Darstellung der Energie als Funktion von 7 bringen. Die Verfasser danken Herrn Professor U. Dehlinger fiir seine fijrdernde Unterstiitzung, Herrn Krijner ftir Diskussionen zur anisotropen Elastizitatstheorie.
Berechnung
ZWISCHENERGEBNISSE (SIEHE TEXT), VERSETZUNGSLTNGE co UND ABSTAND 270 DER HALBVERSETZUNGEN
ungs-
1053
ANHANG
Ki
Kll ___-__--
1,85 2,OQ 1.59
cu
Al co
1,
z-Achse in (211) Richtung
IQ”
-
VOL.
2JJ; .(x+&) +cosEh(;+~)]a + 2 cos4L;-
tg (E 4 P) + arc tg (6 - P> +
10-U CO
cm2lrcm21
SM
1 dyn_lLdyn]
KS
x
po
b 1,03 1,50
=
210
b
arc tg ifs”- 2F
4;
(110) (211)
13,l 21,7
23,6 13,l
1,37 2,46
1,s 0,6
2,2 4,0
Al
(110)
30,8
39,0
1,04
1,27
=I
=0,5
=l
(211)
39,0
25,0
I,63
0,64
=I
=0,8
=1,6
(110) (211)
11,0 18,6
18,6 11,O
1,04 1,75
1,69 0,59
4,3 =20
1;
49 =
&b-ctg(t + P>h
Co
0,8 1,3
+ n
b
cu
= 121~ arc tg 1 +
2P
P2 +
~1
1
arc tg (t - P)I (2
Mit Gl. (52) und der neuen Integrationsvariablen
7 =50
Beriicksichtigt man wie Heidenreich und Shockley [3] neben y nur die (isotrop gerechnete) Abstossung der Halbversetzungen, so ergibt sich fiir die Aufspaltung der Schraubenversetzung bei Kobalt 270 = l.lO-“cm, wahrend die genauere Rechnung in diesem Falle 29, = 1,8.10-7cm ergibt. Leibfried und Dietze haben die Vermutung geaussert, dass sich such fiir y = 0 eine stabile
cos 47r
mit w(t) = &arc
KZ
des Integrals
s=tg*
h
geht (Al) iiber in (A2)
r’” J”
(2 + d31P)S2
(S+ai)[
-
(d3
,,,-3,(~3+~~2-3,-~)]~ P
-
llP)S
-
d3/P&
SEEGER
Die Nullstellen kanden sind
SCHiiCK:
UKD
si des Polynoms
6. Grades
AUFSPALTUSG
im Radi-
=
-
sg
Wenn
=
+
tg
+r
=
-t/3
+
tg (w -
die nach Legendre [IS] hinreichend ist Reduzierbarkeit auf elliptische Integrale. Mit der Substitution (s4-__ -
&>
s1-
s2)y
-
s2> 4
P=
so gilt
Sl(%
-
s2)
s2(s5
-
Sl)
nach folgen-
(0 < arc ctg p < $n)
Fiir o # 0, 4, ist (A2) ein hyperelliptisches Integral vom Geschlecht 2; jedoch besteht zwischen den Doppelverh<nissen der s f die Beziehung
y
-
beriicksichtigt,
wghrend sich die Integrationsgrenzen dem Schema transformjeren.
&r)
w = 8 arc ctg p
s4 = 0 sogleich Slb3 oL=-------sz(s3
mit
== fs.r
man
0
se = -
s
und
tgw
sq=
529
VERSETZUNGEN
(A3)
si = - tg (QJ+ &r) s2 = -tg&r= -d3 s3
VOX
($4
-
Sl)S2
(sq
-
s1)
l&t sic11 (A%) als Linearkombination Integrale darstellen :
fur
die
Die Substitution (A3) transformiert die urspriinglithe .$-Ebene in zwei Riemann’sche Blgtter der z-Ebene. Der Integrationsweg tritt an dem einen Verzweigungspunkt z = c;% von einem Blatt in das andere tiber. Deshalb sind Gz und Hz vollst5ndige, Gi und Hr unvollsttidige elliptische Integrate. Im einzelnen gilt in der Legendreschen Schreibweise der elliptischen Integrale
folgender
Gr = Gz = - zK(k2)
HI = - 4+ E(R1, (6) + 4i[K;(c; - c;)]” H% = -
sGG-aF,,; = [(L
S-.-
ydy
- a)(l
l)(Y
-
-
P)(Y
- p)]
a>(Y
E(&)
mit
i 2
- 4Qlf
-
P)(Y
k: =
‘;?2-1 ,
Das Endergebnis
- 401~
(A4) -
A(p)
h kz
kz sin # = kl
I
G f Gzl
dy -
Y[Y(Y
4icz
lautet
= ($ :‘I)+
fc: -
c8
+
c2 E
@a>
-
CI E
fk,,
r)
)1
mit R=
Dabei
cos cdsin (w+_*T) cos (w+*n)[+l/3+-sin 1/3 sm3 w
2 sin w [sin w - &/3] g’ = sin (w + +v) sin (w - 3~)
ist G$ =
(i = 1,2)
H$ =
(i = 1,2)
(da + VW 40 - P) (da - z/P>” (I - a)(1 - PI (1
2 I+ cosw - psin (W + +T)
2 sin w [sin w + $431 + 2 1 - cos w gz = sin (w + Q7r) sin (w - +7r) p sin (w + +q h=
mit
c’4= -
1/3 sin’ w sin2 (w + $7f) sin (W -
QT)
sin (0 -l- 97r)[*d3 - sin (W sin3 w
*7r)]”
c: = sin (w + *7r)[+.\/3 + sin (0 sir? w
+T)]”
cl” =
-
c;= -
20 ]
ACT,1
530
METALLI:RGICA,
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VOL.
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