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Die ursache der kleinwinkelstreuung von Röntgenstrahlen in plastisch verformten Metallen
DIE URSACHE
DER
KLEINWINKELSTREUUNG
IN PLASTISCH
VERFORMTEN A.
VON
RONTGENSTRAHLEN
METALLEN*
SEEGERt
In der Literutur wird wiederholt angegeben, dass die Kleinwinkelstreuung van RGntgenstrahlen in verformten Metallen nicht van Versetzungen, sondern van submikroskopischen Lijchern herriihre. In der vorliegenden arbeit wird gezeigt, dass die iiblicherweise angenommenen Versetzungsdichter~ sowohl den Absolutwert der experimentell zu beobachtenden Streuintensitiit als such doren Abhiingigkeit I-om Strruwinkel zu deuten gestatten. Der wesentliche now Gesichtspunkt hierbei ist folgender: Die Kleinwinlrelstreuung spricht auf lokale Dichte&nderungen im durchstrahlten Matorial an. Behandelt man die Versetzungen auf Grund der ZinertrenI
ORIGIN
OF THE SMALL PLdSTI(‘Xl,LY
BXGLE SCBTTERING DEFORMED METALS
OF
Y-RATS
IN
It is repeatedly stated in the literature that the additional small angle scattering of S-rays in plastically deformed metals is caused not by dislocations, but by submicrosropic voids. In the present papel’ it is shown that accept,ed dislocation densities are able t,o explain both the absolute intensity of the small angle scattering and its dependence on the scattering angle. The essential new idea is t,he following one: the small angle scattering responds to local changes in density in the irradiated sample. So far the change in density around a dislocation has been treated by t,he Zinetrr theory of elast,irity. In such a treatment the integrated change in density is zero and therefore the scattering at small angles correspondingly small. The rather stronger scatt,ering that is actuallv observed at small angles, comes from the wduction in the mean density around the dislocat,ion lines that is caused 1,~ non-lir?wctr terms in the stress-strain relationship. L’ORIGINE
DE DASS
LA DIFFUSIOS LES METAUX
DES HAYOSS X AUX PETITS D~FORM~S PLASTIQUEMENT
AXGLE:S
Dans la litt&ature scientifique, il est souvent dit que la diffusion des rayons S aus petits angles des rn&taux d&form& r&sulte non pas des dislocations mais bien de cavitks submicroscopiques. Ce travail montre que les densit& de dislocations habituellernent admises permet,tent d’expliquer aussi bien la valeur absolue de l’intensitb diffus6e que l’on observe expbrirnentalernent, quc sa d6pendanw vis-&-vis de l’angle de diffusion. Le nouveau point de vue d8velopp6 ici est le suivant : la diffusion aux petits angles correspond & des variations locales de densite dans le mat&au irradi6 Si l’on traite les dislocations sur la base de la th6orie de l’&lasticit& linkaire, ainsi qu’il a toujours Bt6 fait jusqu’& p&sent, la variation tot,ale de densit est nulle et, la diffusion aux petits angles minime. La forte diffusion qui peut i!tre observbe cst unc con&quence de la non-lin@arit& dans les noyaux de dislocations et, de la diminut,ion do donsit cristallinv associ&e.
Kaltverformte
im Gebiet
kleiner
Streuwinkel
8 = 2$F1j2). Sie ri_ihrt von lokalen Schwankungen Elekt’ronendichte
iiber die Versetzungsdichte in stark vcrformten Werkstoffen) die beobachtete StreuintensitLt bei
Met’alle zeigen eine diffuse St,reuung
van Riintgenstrahlen
im Werkstoff
der plast’ischen Verformung
kleinen Winkeln
der
ent’standen sind.
nicht von atomaren Leerstellen verursacht sich diese wegen ihrer zu geringen
Sie kann werden, da
rgumlichen
Aus-
METALLURGICrZ,
VOL.
5,
JANUARY
195’i
etwa
L&her
entstehen.
ganz unklar
dass die Kleinwinkelstreuung von Stufenversetzungen vie1 zu gering sei, urn (unter den iiblichen Annahmen
ACTA
jeweils
Entstehung
dehnung nicht in der Kleinwinkelstreuung bemerkbar machen. In der Litera,tur finden sich Angal)en,(334)
* Received April 15, 1956 t Max-Planck-Institut fiir Metallforschung, Stut,tgart, Institut fiir theoretische und angewandte Physik Technischen Hochschule Stuttgart
e&&en
zu kiinnen.
Von Blin und
Guinier(2>4y5)wurde deshalb angenommen, dass bei der Kaltverformung von Netallen submikroskopische,
her, welche als Folge
100-1000
,4tomrolumina
Da jedoch
umfassende
der Mechanismus
der
derartiger Lijcher bei tiefen Temperaturen ist und wohl
nuch keine unahh%ngigc
experimentelle Evidenz fiir sie vorliegt, erschien es wtinschenswert, noch einmal die Kleinwinkelstreuung von Versetzungslinien zu untersuchen. Es wird sich dass die beobachteten StreuintensitSten zeigen, durchaus durch die Streuung an Versetzungslinien gedeutet werden kijnnen. Wir werden zuerst’ quali-
und der 2-l
t;;EEGER
:
DIE
URSACHE
DER
KLEINWINKELSTREUUNG
tativ erklgren, weshalb die friiheren Rechnungen unzukingliches
Ergebnis
Wirklichkeit~
lieferten
verh<nismlssig
und
starke
wie
ein
die in
Kleinwinkel-
VON
zu betrachten kohgrente
25
RONTCESSTRAHLEK
ist. Bei gegebener Dichtegnderung
ruft
Streuung eine stgrkere StreuintensitLt
inkohsrente
Streuung
hervor.
als
Da die Versetzungen
streuung durch Versetzungen zustande kommt. Anschliessend werden wir einige vorl$ufige Ausfiihrun-
in einem kaltverformten Material sicherlich nicht streng regelm&ssig angeordnet sind, hat man die von
gen
verschiedenen
zur
quant’it’at’iven
Behandlung
machen. die einen Einblick der Effekte geben sollen.
dieser
Fragen
in die GrGssenordnungen
senkrecht’
kohsrent, QUALITATIVE
Die
bisher
Versetzungen
von
ergibt
Behandlung
iiberhaupt und damit
zungcn die mitt’lere Dichte eines Krist’alls ungeandert (Die intcgralen Kompressionen \vie bei jedem
elastischen
clntgegengesetzt
Gegensat’z
hierzu
Strcuwinkeln
und Dilatation
Eigenspannungszu-
gleich.)
beobachtet
sehr verniinftigen
Wie wir im folgenden
Werten von
nunp von 500-1000
Bereichen,
beim Streuwinkel e = 0 wird sie sogar st’reng Null, da im R&men der linearen ElastizitLtstheorie Verset-
)
ist.
Abschnitt mit
L. etwa in Griissenord-
,4tomabst,Lnden,
erklk;ren.
und Dilatationen
liegenden
die gesnmte diffus gestreut’e Intensit’St ziemlich klein;
stand
L der koh&rent streuenden Abschnitte ciner einzelnen
Versetzungen.
so class sich bei kleinen Streuwinkeln ihre Wirkungen durch lnterferenz teilweise aufheben. Dadurch wird
sind.
gesetzm&ssig festgelegt
Offen ist lediglich die Fragc, wit gro_;s die LBngc
Bei Stufenverset-
zungen treten zwar Kompressionen
lassen.
richer
der At’ome und damit
sehen werden, kann man die gemessene Intensit’it
oder Kompressionen
auf, jedoch in nahe beieinander
in einel
Versetzungslinie
auf die elasti-
von
keine Kleinwinkelstreuung.
zur durch
der Elektroncn
Streu-
Andererseits
Versetzungslinie
bei Schraubenversetzungen
keine Dilatationen such
iiberlegungen
ist.
zur
da ja die Anordnung
die Verteilung
Riintgenstrahlen
stiitzt’en sich durchweg
zit&tst’heoretische Diese
DISKUSSION
veriiffent,lichten
Kleinwinkelstreuung
kommende
zu behandeln.
ist die Sbreuung der Verset,zungsumgebung h’etzebene
1.
Versetzungslinien
strahlung als inkohgrent
In
man
deutlichem nach
kleinen
hin einen Anstieg der Streuintensitlt.
2.
SKIZZE
EINER QUANTITATIVEN THEORIE
Da es uns hier nicht auf die Einzelheiten, nur
auf
die
Grassenordnung
des
sondern
besprochenen
Effektes ankommt, wBhlen wir ein mijglichst einfachea Model], namlich dasjenige einer geraden Schraubenversetzung,
von
1rohk;rent st’reuen. Aufpunktes Dilatation
der jeweils Stiickc der L&nge L Bezeichnet p den Abstand eines
von der Versetzungslinie und A(,) die am Aufpunkt, so ist die von dieser
Versetzungslinie
herrtihrende Streunmplitude
Seit lingerer Zeit, ist bekannt (s.z.B. die Zusammenfassungen
von
Readc6)
Versetzungskern Elast,izit5tstheorie Nichtlinearitlit
und
Seegerc’)),
dor Giiltigkeitsbereich iiberschritten
im Mittel
dass
im
der linearen
wird und dass diese
zu einer Aufweit’ung
der
Dabei
ist angenommen,
toren der einfallenden
dass die Ausbreitungsvek-
und der gestreuten Welle beide
Kristallstruktur in der Umgebung der Versetzungen f’i_ihrt. Stehle und Seeger (s) konnten zeigen, dass bei
in einer Ebene senkrecht
Edclmetallen
Ic besteht dann der Zusammenhang
volumina
die
Aufweitung
pro Netzebene
linie betr>.
etwa
senkrecht
0,761
Atom-
Bei Nickel di_irfte die Aufweitung
etwas
l)ei Aluminium dagegen etwas kleiner sein. man fiir stark verformtes Mat’erial eine Volumeinheit iY’ = Gesarlltvc,rsetzuiigslLnge pro 1011--l(b12cm/cm3 an, so fiihr dies auf eine VergrGsserung des spezifischen Volumens SV/V von der Griissenordnung 10~~ bis 10e3, wie sie sich such aus Dichtemessungcn ergibt. In derselben GrGssenordnung liepen die aus der Kleinwinkelstreuung errnit’telten Wcrte fiir 8JT/v. Ob diese sich ebenfa’lls durch \‘ersetzungen deuten lassen, hLngt davon ab, unter nelchen Umstanden die Streuung von r8;umlich etwas Kristallteilen
liegen.
der WellenlSinge 1 und
zur Versetzungs-
griisscr, Nimmt
getrenntrn
zur Versetzunpslinie
Zwischen dem Streuwinkel26,
als koh&rent oder inkohhrent
k=_
4n sin 0 __ J.
(la)
J,(z) bezeichnet wie iiblich die Besselfunktion Y ter Ordnung. C ist ein Propot%ionalit~B;tsfaktor, der die Streuamplitude eines Elektrons und den Umrechnungsfaktor zwischen Elektronendichte und Kristalldichte enthllt, und !2 das Atomvolumen. Der hier betrachtete Fall einer Schrwubenversetzung in einem isotropen Medium ist deswegen besonders einfach, weil nur “nichtlineare” Dilatationen auftreten, da ja die Zineare ElastizitSitst’heorie keine Dilatationen oder Kompressionen liefert,. Im Anschluss an Stehle
ACTA
26
und
Seegercs)
Dilatation
wir
legen
folgenden
METALLURGICA,
Verleuf
der
zu Grunde
VOL.
5,
1957
in der Ableitung
von
,z,(-l)“(-‘f!!
X_,,,(Z) = 4 Kb2 1 P-2
i
2 P2 1 Zb, 1
A(P) =
PS
detaillierte
atomistische
festlegen kann.
ausdriicken.
PO
v(z)
und p. einen
P(Z).
Betrachtungen
oder
durch
y’(z)
Logarithmus
der in der Umgebung
des Atomradius. K ist eine dimensionslose Konstante, die umso grosser ist, je grosser die Druckabhangigkeit des betrachteten
Kristalls
ist,
und die bei Kupfer etwa den Wert 0,9 besitzt. Die Auswertung
von Gl.
(1) und (2) mit Hilfe der
1)j2
+
(6)
i
wie iiblich
Ableitung
der Eulerschen
Das Endergebnis
A(k) =
(6) bedeutet die zweite
des
l?-Funktion
lautet also
L . C . K a b2 J,(z,) -.--~- ( -----
277
-
~o~~Ju(~,,)~‘~,o~~o~
t
J,(~oP-l,o(~o)1
20
auft’retenden Ladungsverschiebungen Er ergibt sich von der Grossenordnung
der Kompressibilitat
y(m
--
3 y’(m + 1) + f
In Gleichung
die erste und
den man entweder durch
eine mehr pauschale Berechnung der Versetzung
-
natiirlichen
b die Versetzungsstirke
“inneren Abschneideradius”,
PO
2
(2)
4x2 PO2 i ---~~ Hier bedeutet
([log
(m!)2
I
(7)
Bei der Kleinwinkelstreuung interessieren besonders die Verh&nisse bei kleinen k. Entwickelt mau die in Gl. (7) auftretenden Funktionen
Besselschen
nach Potenzen
und Lommelschen
von so, so erhalt man
Gleichungen
Z“J,,(Z) = ;; [(p + v -
I)zJ,(M,_,
y__1(z)
zJ,-,
(s)fl,,y
@)I
(?a)
+
(2b)
do(z) =
Z * 3a, 4 2
O!
+ a,a,[Zb, in
denen
S,,,(z)
die
sog.
Lommelsche
Funktion
A(k) =
~oJ,(zo)L,o(zo)
J,(zo) + ~ 20
Dabei
wurde
beriicksichtigt,
X,,+ (z) asymptotisch
AS,&) -
2-1
+ l(p -
gegeben ist.
( 1
~
l)2 -
(i” -
I
(3)
b,, = b,(z)
= [log z -
(2)
-g-m =
II2 - v2
y21~~~~ . [(/-J - 3)2 - y21- . . ~_____________
z dbm(z) = - ~~ 2 rlz
c, G c,(z)
.I i
Behalt (4)
man
nun
Reihenentwicklung
kann man S_,,_,(Z)
”z X,,,,(z)
= -3%,,&)
die bei,
= log 2 -- y(,m + 1) ersten beiden Glieder so bekommt man
L+K.b2\
~~~ 271
\ 4-
der mit
log YkPo
+ (kpoj2 log yJq%)+ ;
i
v - lF,-l,,-l(Z)
Bemerkenswert an dem Ausdruck fur k + 0 logarithmisch divergiert.
gem&s
X_,,_,(z)
y(m + 1)12
y = 1,781 (log y = 05772)
Nach der Gleichung
+ (p +
beniitzt :
z die
22
S’,,Jz) = -
1
co]
durch
A(k) =
as
-
(F-1)” cl, = ~ (m!)2
dass fiir grosse
Funktion
c2
Dabei wurden folgende Abkiirzungen
!‘l$;f= ( %zOJO(zO)S_,,_,(zO) -
a, -
(8)
I
+.....
fg* lo) ist, liefert mit z. = kp,
-
ai2c1
(5a)
Grund:
)
(10)
Gl. (10) ist, dass er Dies hat folgenden
SEEGER:
DIE
Der Grenzwert
URSACHE
~rn,$~ --f
DER
ist gleich
KLEINWINKELSTREUUNG
Gesetz
Gl. (2) nur fiir p < 22 anwenden,
Abstand
wo 9
Versetzungsdichten
ein
ist, der mit dem mittleren
der Verset’zungen
zusammenhangt.
RONTGESSTRdHLEX
Es gilt
dann
erklart werden kann.
Einzelheiten
iiber die Versetzungsanordnung
man im Prinzip
aus dem Intensitaitsverlauf
Funktion des Abbeugungswinkels ist jedoch
eine weitere
notwendig,
die insbesondere
braucht.
beniitzen kann und fiir Ic < .$
gegeniiber
Gl. (7) reduziert wird.
A(k)=C. ersetzen muss. Bis jetzt haben
(lla)
VP durch
zusammenzuaddieren.
Zur
schatzung
der Grofienordnungen
auf
Abbeugungswinkel
26 = 0
I(0).
Normierung
Intensitat
der Theorie
und begniigen
Weiter-
uns mit einigen
Bemerkungen. der Int’ensitat
wird haufig
in der Form
Sie ist (bei
durchstrahlt)es Einheitsvolumen)
betrachten
(14)
eine
erhalten, hat man die von den einzelnen Versetzungslinien im durchstrahlten Volumen herriihrenden
den
fiihrung
6 die Da uns
1(e)=rjo)exp(-~(2rT~)2) wir nur die Streuung
Urn Schraubenversetzung der Lange L betrachtet. die experimentell zu beobachtende Intensitat zu
Streuint’ensitaten
dass
Messwerte fiir I( F) bekannt
Die Winkelabhangigkeit
Y
der Theorie
such beriicksiehtigt’,
wir hier a.uf die quantitative
halbqualitativen
durch
Ab-
wir die
extrapoliert)e auf
ein
gegeben durch
mit Hilfe eines “Streumassenradius” In typischen lo-15 A.
Obwohl natiirlich der Intensibatsverlauf
und N,
die Zahl der im
vorhandenen koharent streuenden Bezeichnet N’ die gesarnt,e bedeuten.
bei
nicht genau durch Gl.
der Streuung von Versetzungen (14) beschrieben
wird, kann man doch diese Gleichung
beniitzen,
das
urn
wachsendem
Abklingen
der
E mit der Theorie
Intensitat
mit
zu vergleichen.
Mit
den oben angegebenen im Gebiet
(12)
%a dargestellt.
Fallen liegt 9,, in der Grossenordnung
von
Streumassenradien erhalt man F m 2”, in dem die Beobachtungen
meist liegen, gute Ubereinstinnnung
wobei Q das Atomvolumen
als
Dazu
Dies fiihrt dazu, dass bei endlichem
sind, verzichten Y
F entnehmen.
Ausgestaltung
jedoch keine umfassenden dass man Gl. (10) nur fur k > ,$
kann I(s)
die Ebene von einfallendem und gestreutem Strahl nicht’ senkrecht zu den Versetzungslinien zu verlaufen Amplitude
Dies bedeutet,
27
durchaus durch die mit anderen Methoden ermittelten
der Volumin-
in einem der kohLrent streuenden derung V, Bereiche. Urn diese endlich zu halten, dtirfen wir das ausserer Abschneideradius
VOX
ausfiihrlichere
Behandlung
mit Gl. (10). Eine
der WinkelabhangigkeitJ,
die such die Aufspaltung in Halbversetzungen beriicksichtigt, wird un andever Stelle gegeben(ll).
Einheitsvolumen
Bereiche Versetzungslange
pro
Volumeneinheit,
unserem Modell, wenn wir L und 8, vom Versetzungscharakter
I(O)
N’
c2 =--- L Typische
Messwerte
so
ist
in
als unabhangig
annehmen,
v,
Zusammenfassend
kann
BEMERKUNGEN
gesagt
in kaltverformten
Versetzungsdichten
die
Streuung von Riintgenstrahlen
(6)
(13)
!A
Metallen
fur
die linke Seite von Gl. ( 13) kann man aus den Anga ben fiir kaltgewalzte von Blin und Guinier(j) entnehmen; Kupferfolien
ABSCHLIESSENDE
iiblicherweise menen
2
an kaltverformten
3.
findet man z.B. I(O)/Cs = 4.102r cm-3.
Dieser Wert kann durch N’ m lo12 cm-2, L w 500b, 9 m 103p,, also sehr plausible Annahmen tiber die Versetzungsdichte, erhalten werden. Da die diffuse Streuung von Stufenversetzungen sicher nicht kleiner als diejenige von Schraubenversetzungen ist, ist damit gezeigt, dass entgegen den eingangs zitierten Auffasdie Intensitat der Kleinwinkelstreuung sungen
werden, Metallen
class die angenom-
beobachtete
diffuse
bei kleinen Streuwin-
keln erklaren konnen und zwar sowohl hinsichtlich der absoluten Intensitat als such hinsichtlich der Abhangigkeit
vom Streuwinkel.
ein aesentlicher
Die Annahme,
Teil der Streuung
dass
durch submikro-
skopische L&her in den Kristallen, welche 102 bis lo4 Atomvolumina umfassen sollten, zustandekommt, ist demnach nicht notwendig. Dnmit bietet die Kleinwinkelstreuung ein Hilfsmittel zur Erforschung der Versetzungsdichte und der Verset’zungsanordnung in Sie scheint allen anderen verformten Kristallen. derzeit bekannten Methoden zur Messung der Versetzungsdichte iiberlegen zu sein, da sic imstande ist.. wenige Parameter, sondern einige nicht nur
ACTA
28
kontinuierliche
Funktionen
des
METSLI,URGI(lA,
Streuwinkels,
des
Azimuts
bei der Streuung und der Durchstrahlungs-
richtung
zu liefern.
Sehr aufschlussreich
VOL.
5,
Der Verfasser dankt den Herren Dr. V. Gerold und Dipl. Phps. H. Stehle fiir aertvolle
verschiedenen Temperaturen. Solche Untersuchungen wiirden ausserordentlich tiefgehende Einblicke in den genauen Verfest’igungsmechanismus gestatten, ein besonderer Vorteil der Kleinwinkelstreuung besteht, dass sie die atomaren Gitterliicken, mit’registriert.
von sekundgrer
wobei darin
die fiir die
Bedeutung
sind, nicht
Die erfolgreiche Auswertung
drrartiger
Versuche erfordert jedoch noch einen weiteren Ausbau der
Theorie,
Beeinflussung
der der
insbesondere
mung und die damit, verbundenen zu
beriicksichtigen
die
Versetzungslinien, hat.
Dirkusxionen.
wLren LB.
derartige Messungen an quaderfarmigen AluminiumEinkristallen in Verbindung mit Zugverformung bei
Verfestigung
1957
gegcnseit’ige deren
Kriim-
sog. “Endeffekt’e”
REFERENCES
1. A. GUINIER, 2. J. BLIN und
C”. K. Acrd. Sci. Prrris, 208, 894 (1939). A. <:I_-rsum, C:. R. ActttZ.Sci. I’rrris, 233, l”S8
(1981). 3. D. L. DEXTEX, Phys. Rw. 90, 1007 (1953). 4. J. BUN, Rep. Cmj. Dqfection Soli~Is, Imdon: Thr Physical Society (19.54) 1’. 420. 5. J. 13LIN urd A. GUINIER, C’. If. dcctrl. 5’r.i. Ptrris, 236, 2150 (1953). fi. \X7.T. KEAl), /%docntions in C'rysfds.I\Tr:w170rk 1953. 7. .-\.SEEGER, Theorie der (:itter~~hZstellen, im Handbuch tlcr Physik, Bd. i/I, Berlill-GAttirl~er1-Heiilelberg 1955. X. H. STEHLE and A. Sm(:m, %. 1’hgsik. 146, 217 (1966) !I. A%.&XIELYI, Higher ?‘rrr~ascwu/rnf~r/ FU~KZ~~O~LS, X-o1 11. 11ZcGrsw-Hill, Sew Xrl’orlc1953, p. 40 ff. 10. C. N. \VATSON, A 'I'rerrti~eo~t tb '/'lipor!/qfHe.ssel Fwacliom, (‘rrmbritlge 192’7, p. 345 R.
II. A. Smcm, Z. Srrtu~forsclr.lla,724(L!J56)
DER
KLEINWINKELSTREUUNG
IN PLASTISCH
VERFORMTEN A.
VON
RONTGENSTRAHLEN
METALLEN*
SEEGERt
In der Literutur wird wiederholt angegeben, dass die Kleinwinkelstreuung van RGntgenstrahlen in verformten Metallen nicht van Versetzungen, sondern van submikroskopischen Lijchern herriihre. In der vorliegenden arbeit wird gezeigt, dass die iiblicherweise angenommenen Versetzungsdichter~ sowohl den Absolutwert der experimentell zu beobachtenden Streuintensitiit als such doren Abhiingigkeit I-om Strruwinkel zu deuten gestatten. Der wesentliche now Gesichtspunkt hierbei ist folgender: Die Kleinwinlrelstreuung spricht auf lokale Dichte&nderungen im durchstrahlten Matorial an. Behandelt man die Versetzungen auf Grund der ZinertrenI
ORIGIN
OF THE SMALL PLdSTI(‘Xl,LY
BXGLE SCBTTERING DEFORMED METALS
OF
Y-RATS
IN
It is repeatedly stated in the literature that the additional small angle scattering of S-rays in plastically deformed metals is caused not by dislocations, but by submicrosropic voids. In the present papel’ it is shown that accept,ed dislocation densities are able t,o explain both the absolute intensity of the small angle scattering and its dependence on the scattering angle. The essential new idea is t,he following one: the small angle scattering responds to local changes in density in the irradiated sample. So far the change in density around a dislocation has been treated by t,he Zinetrr theory of elast,irity. In such a treatment the integrated change in density is zero and therefore the scattering at small angles correspondingly small. The rather stronger scatt,ering that is actuallv observed at small angles, comes from the wduction in the mean density around the dislocat,ion lines that is caused 1,~ non-lir?wctr terms in the stress-strain relationship. L’ORIGINE
DE DASS
LA DIFFUSIOS LES METAUX
DES HAYOSS X AUX PETITS D~FORM~S PLASTIQUEMENT
AXGLE:S
Dans la litt&ature scientifique, il est souvent dit que la diffusion des rayons S aus petits angles des rn&taux d&form& r&sulte non pas des dislocations mais bien de cavitks submicroscopiques. Ce travail montre que les densit& de dislocations habituellernent admises permet,tent d’expliquer aussi bien la valeur absolue de l’intensitb diffus6e que l’on observe expbrirnentalernent, quc sa d6pendanw vis-&-vis de l’angle de diffusion. Le nouveau point de vue d8velopp6 ici est le suivant : la diffusion aux petits angles correspond & des variations locales de densite dans le mat&au irradi6 Si l’on traite les dislocations sur la base de la th6orie de l’&lasticit& linkaire, ainsi qu’il a toujours Bt6 fait jusqu’& p&sent, la variation tot,ale de densit est nulle et, la diffusion aux petits angles minime. La forte diffusion qui peut i!tre observbe cst unc con&quence de la non-lin@arit& dans les noyaux de dislocations et, de la diminut,ion do donsit cristallinv associ&e.
Kaltverformte
im Gebiet
kleiner
Streuwinkel
8 = 2$F1j2). Sie ri_ihrt von lokalen Schwankungen Elekt’ronendichte
iiber die Versetzungsdichte in stark vcrformten Werkstoffen) die beobachtete StreuintensitLt bei
Met’alle zeigen eine diffuse St,reuung
van Riintgenstrahlen
im Werkstoff
der plast’ischen Verformung
kleinen Winkeln
der
ent’standen sind.
nicht von atomaren Leerstellen verursacht sich diese wegen ihrer zu geringen
Sie kann werden, da
rgumlichen
Aus-
METALLURGICrZ,
VOL.
5,
JANUARY
195’i
etwa
L&her
entstehen.
ganz unklar
dass die Kleinwinkelstreuung von Stufenversetzungen vie1 zu gering sei, urn (unter den iiblichen Annahmen
ACTA
jeweils
Entstehung
dehnung nicht in der Kleinwinkelstreuung bemerkbar machen. In der Litera,tur finden sich Angal)en,(334)
* Received April 15, 1956 t Max-Planck-Institut fiir Metallforschung, Stut,tgart, Institut fiir theoretische und angewandte Physik Technischen Hochschule Stuttgart
e&&en
zu kiinnen.
Von Blin und
Guinier(2>4y5)wurde deshalb angenommen, dass bei der Kaltverformung von Netallen submikroskopische,
her, welche als Folge
100-1000
,4tomrolumina
Da jedoch
umfassende
der Mechanismus
der
derartiger Lijcher bei tiefen Temperaturen ist und wohl
nuch keine unahh%ngigc
experimentelle Evidenz fiir sie vorliegt, erschien es wtinschenswert, noch einmal die Kleinwinkelstreuung von Versetzungslinien zu untersuchen. Es wird sich dass die beobachteten StreuintensitSten zeigen, durchaus durch die Streuung an Versetzungslinien gedeutet werden kijnnen. Wir werden zuerst’ quali-
und der 2-l
t;;EEGER
:
DIE
URSACHE
DER
KLEINWINKELSTREUUNG
tativ erklgren, weshalb die friiheren Rechnungen unzukingliches
Ergebnis
Wirklichkeit~
lieferten
verh<nismlssig
und
starke
wie
ein
die in
Kleinwinkel-
VON
zu betrachten kohgrente
25
RONTCESSTRAHLEK
ist. Bei gegebener Dichtegnderung
ruft
Streuung eine stgrkere StreuintensitLt
inkohsrente
Streuung
hervor.
als
Da die Versetzungen
streuung durch Versetzungen zustande kommt. Anschliessend werden wir einige vorl$ufige Ausfiihrun-
in einem kaltverformten Material sicherlich nicht streng regelm&ssig angeordnet sind, hat man die von
gen
verschiedenen
zur
quant’it’at’iven
Behandlung
machen. die einen Einblick der Effekte geben sollen.
dieser
Fragen
in die GrGssenordnungen
senkrecht’
kohsrent, QUALITATIVE
Die
bisher
Versetzungen
von
ergibt
Behandlung
iiberhaupt und damit
zungcn die mitt’lere Dichte eines Krist’alls ungeandert (Die intcgralen Kompressionen \vie bei jedem
elastischen
clntgegengesetzt
Gegensat’z
hierzu
Strcuwinkeln
und Dilatation
Eigenspannungszu-
gleich.)
beobachtet
sehr verniinftigen
Wie wir im folgenden
Werten von
nunp von 500-1000
Bereichen,
beim Streuwinkel e = 0 wird sie sogar st’reng Null, da im R&men der linearen ElastizitLtstheorie Verset-
)
ist.
Abschnitt mit
L. etwa in Griissenord-
,4tomabst,Lnden,
erklk;ren.
und Dilatationen
liegenden
die gesnmte diffus gestreut’e Intensit’St ziemlich klein;
stand
L der koh&rent streuenden Abschnitte ciner einzelnen
Versetzungen.
so class sich bei kleinen Streuwinkeln ihre Wirkungen durch lnterferenz teilweise aufheben. Dadurch wird
sind.
gesetzm&ssig festgelegt
Offen ist lediglich die Fragc, wit gro_;s die LBngc
Bei Stufenverset-
zungen treten zwar Kompressionen
lassen.
richer
der At’ome und damit
sehen werden, kann man die gemessene Intensit’it
oder Kompressionen
auf, jedoch in nahe beieinander
in einel
Versetzungslinie
auf die elasti-
von
keine Kleinwinkelstreuung.
zur durch
der Elektroncn
Streu-
Andererseits
Versetzungslinie
bei Schraubenversetzungen
keine Dilatationen such
iiberlegungen
ist.
zur
da ja die Anordnung
die Verteilung
Riintgenstrahlen
stiitzt’en sich durchweg
zit&tst’heoretische Diese
DISKUSSION
veriiffent,lichten
Kleinwinkelstreuung
kommende
zu behandeln.
ist die Sbreuung der Verset,zungsumgebung h’etzebene
1.
Versetzungslinien
strahlung als inkohgrent
In
man
deutlichem nach
kleinen
hin einen Anstieg der Streuintensitlt.
2.
SKIZZE
EINER QUANTITATIVEN THEORIE
Da es uns hier nicht auf die Einzelheiten, nur
auf
die
Grassenordnung
des
sondern
besprochenen
Effektes ankommt, wBhlen wir ein mijglichst einfachea Model], namlich dasjenige einer geraden Schraubenversetzung,
von
1rohk;rent st’reuen. Aufpunktes Dilatation
der jeweils Stiickc der L&nge L Bezeichnet p den Abstand eines
von der Versetzungslinie und A(,) die am Aufpunkt, so ist die von dieser
Versetzungslinie
herrtihrende Streunmplitude
Seit lingerer Zeit, ist bekannt (s.z.B. die Zusammenfassungen
von
Readc6)
Versetzungskern Elast,izit5tstheorie Nichtlinearitlit
und
Seegerc’)),
dor Giiltigkeitsbereich iiberschritten
im Mittel
dass
im
der linearen
wird und dass diese
zu einer Aufweit’ung
der
Dabei
ist angenommen,
toren der einfallenden
dass die Ausbreitungsvek-
und der gestreuten Welle beide
Kristallstruktur in der Umgebung der Versetzungen f’i_ihrt. Stehle und Seeger (s) konnten zeigen, dass bei
in einer Ebene senkrecht
Edclmetallen
Ic besteht dann der Zusammenhang
volumina
die
Aufweitung
pro Netzebene
linie betr>.
etwa
senkrecht
0,761
Atom-
Bei Nickel di_irfte die Aufweitung
etwas
l)ei Aluminium dagegen etwas kleiner sein. man fiir stark verformtes Mat’erial eine Volumeinheit iY’ = Gesarlltvc,rsetzuiigslLnge pro 1011--l(b12cm/cm3 an, so fiihr dies auf eine VergrGsserung des spezifischen Volumens SV/V von der Griissenordnung 10~~ bis 10e3, wie sie sich such aus Dichtemessungcn ergibt. In derselben GrGssenordnung liepen die aus der Kleinwinkelstreuung errnit’telten Wcrte fiir 8JT/v. Ob diese sich ebenfa’lls durch \‘ersetzungen deuten lassen, hLngt davon ab, unter nelchen Umstanden die Streuung von r8;umlich etwas Kristallteilen
liegen.
der WellenlSinge 1 und
zur Versetzungs-
griisscr, Nimmt
getrenntrn
zur Versetzunpslinie
Zwischen dem Streuwinkel26,
als koh&rent oder inkohhrent
k=_
4n sin 0 __ J.
(la)
J,(z) bezeichnet wie iiblich die Besselfunktion Y ter Ordnung. C ist ein Propot%ionalit~B;tsfaktor, der die Streuamplitude eines Elektrons und den Umrechnungsfaktor zwischen Elektronendichte und Kristalldichte enthllt, und !2 das Atomvolumen. Der hier betrachtete Fall einer Schrwubenversetzung in einem isotropen Medium ist deswegen besonders einfach, weil nur “nichtlineare” Dilatationen auftreten, da ja die Zineare ElastizitSitst’heorie keine Dilatationen oder Kompressionen liefert,. Im Anschluss an Stehle
ACTA
26
und
Seegercs)
Dilatation
wir
legen
folgenden
METALLURGICA,
Verleuf
der
zu Grunde
VOL.
5,
1957
in der Ableitung
von
,z,(-l)“(-‘f!!
X_,,,(Z) = 4 Kb2 1 P-2
i
2 P2 1 Zb, 1
A(P) =
PS
detaillierte
atomistische
festlegen kann.
ausdriicken.
PO
v(z)
und p. einen
P(Z).
Betrachtungen
oder
durch
y’(z)
Logarithmus
der in der Umgebung
des Atomradius. K ist eine dimensionslose Konstante, die umso grosser ist, je grosser die Druckabhangigkeit des betrachteten
Kristalls
ist,
und die bei Kupfer etwa den Wert 0,9 besitzt. Die Auswertung
von Gl.
(1) und (2) mit Hilfe der
1)j2
+
(6)
i
wie iiblich
Ableitung
der Eulerschen
Das Endergebnis
A(k) =
(6) bedeutet die zweite
des
l?-Funktion
lautet also
L . C . K a b2 J,(z,) -.--~- ( -----
277
-
~o~~Ju(~,,)~‘~,o~~o~
t
J,(~oP-l,o(~o)1
20
auft’retenden Ladungsverschiebungen Er ergibt sich von der Grossenordnung
der Kompressibilitat
y(m
--
3 y’(m + 1) + f
In Gleichung
die erste und
den man entweder durch
eine mehr pauschale Berechnung der Versetzung
-
natiirlichen
b die Versetzungsstirke
“inneren Abschneideradius”,
PO
2
(2)
4x2 PO2 i ---~~ Hier bedeutet
([log
(m!)2
I
(7)
Bei der Kleinwinkelstreuung interessieren besonders die Verh&nisse bei kleinen k. Entwickelt mau die in Gl. (7) auftretenden Funktionen
Besselschen
nach Potenzen
und Lommelschen
von so, so erhalt man
Gleichungen
Z“J,,(Z) = ;; [(p + v -
I)zJ,(M,_,
y__1(z)
zJ,-,
(s)fl,,y
@)I
(?a)
+
(2b)
do(z) =
Z * 3a, 4 2
O!
+ a,a,[Zb, in
denen
S,,,(z)
die
sog.
Lommelsche
Funktion
A(k) =
~oJ,(zo)L,o(zo)
J,(zo) + ~ 20
Dabei
wurde
beriicksichtigt,
X,,+ (z) asymptotisch
AS,&) -
2-1
+ l(p -
gegeben ist.
( 1
~
l)2 -
(i” -
I
(3)
b,, = b,(z)
= [log z -
(2)
-g-m =
II2 - v2
y21~~~~ . [(/-J - 3)2 - y21- . . ~_____________
z dbm(z) = - ~~ 2 rlz
c, G c,(z)
.I i
Behalt (4)
man
nun
Reihenentwicklung
kann man S_,,_,(Z)
”z X,,,,(z)
= -3%,,&)
die bei,
= log 2 -- y(,m + 1) ersten beiden Glieder so bekommt man
L+K.b2\
~~~ 271
\ 4-
der mit
log YkPo
+ (kpoj2 log yJq%)+ ;
i
v - lF,-l,,-l(Z)
Bemerkenswert an dem Ausdruck fur k + 0 logarithmisch divergiert.
gem&s
X_,,_,(z)
y(m + 1)12
y = 1,781 (log y = 05772)
Nach der Gleichung
+ (p +
beniitzt :
z die
22
S’,,Jz) = -
1
co]
durch
A(k) =
as
-
(F-1)” cl, = ~ (m!)2
dass fiir grosse
Funktion
c2
Dabei wurden folgende Abkiirzungen
!‘l$;f= ( %zOJO(zO)S_,,_,(zO) -
a, -
(8)
I
+.....
fg* lo) ist, liefert mit z. = kp,
-
ai2c1
(5a)
Grund:
)
(10)
Gl. (10) ist, dass er Dies hat folgenden
SEEGER:
DIE
Der Grenzwert
URSACHE
~rn,$~ --f
DER
ist gleich
KLEINWINKELSTREUUNG
Gesetz
Gl. (2) nur fiir p < 22 anwenden,
Abstand
wo 9
Versetzungsdichten
ein
ist, der mit dem mittleren
der Verset’zungen
zusammenhangt.
RONTGESSTRdHLEX
Es gilt
dann
erklart werden kann.
Einzelheiten
iiber die Versetzungsanordnung
man im Prinzip
aus dem Intensitaitsverlauf
Funktion des Abbeugungswinkels ist jedoch
eine weitere
notwendig,
die insbesondere
braucht.
beniitzen kann und fiir Ic < .$
gegeniiber
Gl. (7) reduziert wird.
A(k)=C. ersetzen muss. Bis jetzt haben
(lla)
VP durch
zusammenzuaddieren.
Zur
schatzung
der Grofienordnungen
auf
Abbeugungswinkel
26 = 0
I(0).
Normierung
Intensitat
der Theorie
und begniigen
Weiter-
uns mit einigen
Bemerkungen. der Int’ensitat
wird haufig
in der Form
Sie ist (bei
durchstrahlt)es Einheitsvolumen)
betrachten
(14)
eine
erhalten, hat man die von den einzelnen Versetzungslinien im durchstrahlten Volumen herriihrenden
den
fiihrung
6 die Da uns
1(e)=rjo)exp(-~(2rT~)2) wir nur die Streuung
Urn Schraubenversetzung der Lange L betrachtet. die experimentell zu beobachtende Intensitat zu
Streuint’ensitaten
dass
Messwerte fiir I( F) bekannt
Die Winkelabhangigkeit
Y
der Theorie
such beriicksiehtigt’,
wir hier a.uf die quantitative
halbqualitativen
durch
Ab-
wir die
extrapoliert)e auf
ein
gegeben durch
mit Hilfe eines “Streumassenradius” In typischen lo-15 A.
Obwohl natiirlich der Intensibatsverlauf
und N,
die Zahl der im
vorhandenen koharent streuenden Bezeichnet N’ die gesarnt,e bedeuten.
bei
nicht genau durch Gl.
der Streuung von Versetzungen (14) beschrieben
wird, kann man doch diese Gleichung
beniitzen,
das
urn
wachsendem
Abklingen
der
E mit der Theorie
Intensitat
mit
zu vergleichen.
Mit
den oben angegebenen im Gebiet
(12)
%a dargestellt.
Fallen liegt 9,, in der Grossenordnung
von
Streumassenradien erhalt man F m 2”, in dem die Beobachtungen
meist liegen, gute Ubereinstinnnung
wobei Q das Atomvolumen
als
Dazu
Dies fiihrt dazu, dass bei endlichem
sind, verzichten Y
F entnehmen.
Ausgestaltung
jedoch keine umfassenden dass man Gl. (10) nur fur k > ,$
kann I(s)
die Ebene von einfallendem und gestreutem Strahl nicht’ senkrecht zu den Versetzungslinien zu verlaufen Amplitude
Dies bedeutet,
27
durchaus durch die mit anderen Methoden ermittelten
der Volumin-
in einem der kohLrent streuenden derung V, Bereiche. Urn diese endlich zu halten, dtirfen wir das ausserer Abschneideradius
VOX
ausfiihrlichere
Behandlung
mit Gl. (10). Eine
der WinkelabhangigkeitJ,
die such die Aufspaltung in Halbversetzungen beriicksichtigt, wird un andever Stelle gegeben(ll).
Einheitsvolumen
Bereiche Versetzungslange
pro
Volumeneinheit,
unserem Modell, wenn wir L und 8, vom Versetzungscharakter
I(O)
N’
c2 =--- L Typische
Messwerte
so
ist
in
als unabhangig
annehmen,
v,
Zusammenfassend
kann
BEMERKUNGEN
gesagt
in kaltverformten
Versetzungsdichten
die
Streuung von Riintgenstrahlen
(6)
(13)
!A
Metallen
fur
die linke Seite von Gl. ( 13) kann man aus den Anga ben fiir kaltgewalzte von Blin und Guinier(j) entnehmen; Kupferfolien
ABSCHLIESSENDE
iiblicherweise menen
2
an kaltverformten
3.
findet man z.B. I(O)/Cs = 4.102r cm-3.
Dieser Wert kann durch N’ m lo12 cm-2, L w 500b, 9 m 103p,, also sehr plausible Annahmen tiber die Versetzungsdichte, erhalten werden. Da die diffuse Streuung von Stufenversetzungen sicher nicht kleiner als diejenige von Schraubenversetzungen ist, ist damit gezeigt, dass entgegen den eingangs zitierten Auffasdie Intensitat der Kleinwinkelstreuung sungen
werden, Metallen
class die angenom-
beobachtete
diffuse
bei kleinen Streuwin-
keln erklaren konnen und zwar sowohl hinsichtlich der absoluten Intensitat als such hinsichtlich der Abhangigkeit
vom Streuwinkel.
ein aesentlicher
Die Annahme,
Teil der Streuung
dass
durch submikro-
skopische L&her in den Kristallen, welche 102 bis lo4 Atomvolumina umfassen sollten, zustandekommt, ist demnach nicht notwendig. Dnmit bietet die Kleinwinkelstreuung ein Hilfsmittel zur Erforschung der Versetzungsdichte und der Verset’zungsanordnung in Sie scheint allen anderen verformten Kristallen. derzeit bekannten Methoden zur Messung der Versetzungsdichte iiberlegen zu sein, da sic imstande ist.. wenige Parameter, sondern einige nicht nur
ACTA
28
kontinuierliche
Funktionen
des
METSLI,URGI(lA,
Streuwinkels,
des
Azimuts
bei der Streuung und der Durchstrahlungs-
richtung
zu liefern.
Sehr aufschlussreich
VOL.
5,
Der Verfasser dankt den Herren Dr. V. Gerold und Dipl. Phps. H. Stehle fiir aertvolle
verschiedenen Temperaturen. Solche Untersuchungen wiirden ausserordentlich tiefgehende Einblicke in den genauen Verfest’igungsmechanismus gestatten, ein besonderer Vorteil der Kleinwinkelstreuung besteht, dass sie die atomaren Gitterliicken, mit’registriert.
von sekundgrer
wobei darin
die fiir die
Bedeutung
sind, nicht
Die erfolgreiche Auswertung
drrartiger
Versuche erfordert jedoch noch einen weiteren Ausbau der
Theorie,
Beeinflussung
der der
insbesondere
mung und die damit, verbundenen zu
beriicksichtigen
die
Versetzungslinien, hat.
Dirkusxionen.
wLren LB.
derartige Messungen an quaderfarmigen AluminiumEinkristallen in Verbindung mit Zugverformung bei
Verfestigung
1957
gegcnseit’ige deren
Kriim-
sog. “Endeffekt’e”
REFERENCES
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C”. K. Acrd. Sci. Prrris, 208, 894 (1939). A. <:I_-rsum, C:. R. ActttZ.Sci. I’rrris, 233, l”S8
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