Die Vektorübertragungen in der Finslerschen Geometrie und der Wegegeometrie

MATHEMATICS

DIE VEKTOR~ERTRAGUNGEN IN DER FINSLERSCHEN GEOMETRIE UND DER WEGEGEOMETRIE VON

DETLEF LAUGWITZ (Communicated by Prof. J. A. ScHOUTEN at the meeting of November 26, 1955}

§ I. Einleitung. Die Anzahl der von verschiedenen Autoren verwendeten Parallelverschiebungsprozesse in Finslerschen Raumen hat schon eine betrachtliche Hohe erreicht 1 ). Keiner von diesen vielen Prozessen hat aber eine so universelle Bedeutung erreicht wie der von LEVI-CIVITA in der Riemannschen Geometrie. In dem standigen Anwachsen der Anzahl dieser Prozesse wollen manche Autoren (u.a. BusEMANN 2)) einen Grund gegen die Niitzlichkeit von Parallelverschiebung und kovarianter Differentiation in der Finslerschen Geometrie iiberhaupt sehen. Sicher ist der Zustand unbefriedigend, dass eine solche Fiille von Prozessen existiert, von denen sich zwar jeder fiir gewisse spezielle Untersuchungen als niitzlich erwiesen hat, fiir deren systematische Einordnung jedoch bisher wenig geschehen ist. Ausserdem liegt die Frage nahe, wie gross die Anzahl der moglichen geometrisch interessanten derartigen Prozesse iiberhaupt sein mag. Eine wenigstens teilweise Beantwortung dieser Fragen ist der Gegenstand dieser Note. Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit ist der Ursprung der Finslerschen Geometrie, namlich die Grundfunktion F(x; x') (F>O fiir x'#O; F(x; J.x')=I!.IF(x; x')) eines regularen geometrischen Variationsproblems bezw. das zugehOrige Finslersche Linienelement ds=F(x; dx). Die Aufgabe ist nun, die zur Langenmessung gehorigen Parallelverschiebungsprozesse zu bestimmen und systematisch einzuordnen 3 ). In einer 1) Wir nennen hier die Arbeiten: J. L. SYNGE, Trans. Amer. Math. Soc. 27, 61-67 (1925); J. H. TAYLOR, ebenda, 246-264; L. BERWALD, Math. Z. 25, 40-73 (1926) u. JBer. DMV. 34, 213--220 (1926); E. CARTAN, Les espaces de Finsler (Paris, 1934); H. RUND, Math. Z. 54, 115--128 (1951); W. BARTHEL, Arch. d. Math. 4, 346-365 ( 1953) ; ferner die Herleitung innerhalb einer allgemeineren Theorie bei J. A. ScHOUTEN und J. HAANTJES, Monatsh. Math. Phys. 43, 161-176 (1936) und die verschiedenen neueren Arbeiten von W. BARTHEL, in welchen auf den Inhaltsbegriff gegriindete Parallelverschiebungen verwendet werden (ausser der bereits genannten Arbeit noch Ann. di Mat. (4) 36, 1-33 (1954), Rend. Circ. Mat. di Palermo (2) 3, 270-281 (1954), Math .. Z. 62, 23-36 (1955)). Der BERWALDsche Parallelismus tritt auch schon auf bei E. NoETHER, G
22 friiheren Arbeit ist dazu in Wiederaufnahme eines Gedankens von VARGA der Begri:ff des oskulierenden Riemannschen Raumes verwandt worden 4 ) ; dadurch gelang die neue Herleitung und geometrische Begriindung der Prozesse von SYNGE-TAYLOR, CARTAN, RuND und BARTHEL 5 ). Hier gehen wir nun aus vom ebenfalls rein aus der Langenmessung stammenden Begri:ff der geodatischen Linie und werden von dort aus die Prozesse von BERWALD sowie wiederum die von RUND und BARTHEL neu herleiten. In einer Ubersicht werden beide Arten der Herleitung verglichen werden; die Zusammenhange zwischen den verschiedenen Prozessen sollen nach Moglichkeit geklart werden. § 2. Parallelismen in der Wegegeometrie. Es sei ein System von Wegen x(t) vorgelegt durch Vorgabe des Gleichungssystems

x• + 2T'(x, :i) =

(1)

0;

wir wollen voraussetzen, dass in jedem Punkt in jeder Richtung genau eine Kurve des Systems existiert, und dafiir ist notwendig und hinreichend (2)

Dann betrachten wir die Ausdriicke (3)

diese transformieren sich in der Form ( 4)

da T' selbst sich wegen (1) wie die Ableitung eines Vektors transformiert. Also kann man nach dem Vorgange von BERWALD 6) einen Parallelismus erklaren durch (5)

wobei die Zusammenhangskoeffizienten rt also Funktionen tiber dem Richtungsbiindel sind, da sie homogen von nullter Ordnung vom zweiten Argumentvektor x' abhangen. Fiir spatere Zwecke wie auch fiir andere geometrische Anwendungen ist es jedoch zweckmassig, Parallelismen der Form (6)

dr/= -yi(x; 'Y); dx)

(Homogenitat l. Ordnung m dx sowie m 'Y))

zu besitzen, d.h. also, den Punktraum nicht -

wie bei BERWALD

4) D. LAUGWITZ, Zur geometrischen Begrilndung der Parallelverschiebung in Finslerschen Raumen, Arch. d. Math. 6, 448-453 (1955); die Arbeit von VARGA, die sich speziell mit CARTANs ,euklidischen Zusammenhang" befasst, steht in Monatsh. Math. Phys. 50, 165-175 (1941). 5) Der Vollstandigkeit halber werden wir in einer Ubersicht diese geometrische Herleitungsmethode bier mit beriicksichtigen, in einigen Punkten erganzen und mit den neuen Ergebnissen der vorliegenden Note vergleichen. 8) locis citatis 1 ).

23

zum Richtungsbundel. zu erweitern. Wir erhalten zwei solche Parallelismen auf folgende Weise. Wir setzen fl( . ') _

(7)

kX,X·-

C>r•()x'k (x, x') '·

dann gilt wegen der Eulerschen Homogenitatsrelation Ft(x; x')

(8)

= r:,(x; x') x'i.

WegEm (4) und (8) sind die Prozesse drJ' = - Ft(x; dx) rf

(9A) und (9B)

dr/'

=

-r:(x; '1/) dxk

wirklich Parallelverschiebungen der Form (6). § 3. Anwendungen auf Finslersche Raume. Sind die im vorigen Paragraphen behandelten Wege speziell die geodatischen Linien eines Finslerschen Raumes, so gilt flir sie ( · bezeichnet jetzt Ableitung nach einem Iangs der betrachteten Kurve konstanten Vielfachen der Bogenlange)

x'+ 2G'(x; x) =

(10)

mit

o

a•=!{ Tc1.;,·} Xkxi = rf'(x; x) [r, kn.,·:t> {lei·} 1 2

(z;:t)

(z;:tl

(ll)

(/'(x; i) g,k(x; i)

[r,

kj]cz;:tl =

=At

'

H~:- ~: + ~:}.

Spezialisieren wir nun die in § 2 gefundenen Parallelismen auf diesen Fall! Der Zusammenhang im Richtungsbundel nach (5) geht dabei naturlich in den von BERWALD tiber, denn so hat dieser ihn gerade konstruiert 7 ). Die Parallelismen (9A) und (9B) scheinen jedoch bisher noch nicht betrachtet worden zu sein. Wir berechnen, um sie auf den Fall des Fins-

r:.,

lerschen Raumes spezialisieren zu konnen, die Ausdrucke C>Gi 1 () , 'k = -2 'ifk uX

uX

{i }

'r8 (z,z'l

X

'r X'• -_ { i1c } X 'r

()Gi { i } ,, C>x'k = rlc X

( 12)

'r

r~ (x; x')

()gie [ e, rs] X 'r + -21 ~ uX

()gie { m } 'r + 21 C>x'k 'Jem rs X

=::.::

'•

X ,

'• X •

(Die Ausdrucke, die durch Differentiation von ~;: nach x'k entstehen, 7)

locis citatis 1).

24

verschwinden nach der Eulerschen Homogenitatsrelation; dabei setzen wir natiirlich Stetigkeit aller auftretenden Ableitungen voraus.) Nun ist 0

(13)

=

M!,. ~x'k

~r gem

~x'k

=

=

llr

. ~gem rf6 ~x'k

+ ~x'k gem ·

Setzt man (13) in (12) ein, so ergibt sich schliesslich ~Gi

(14)

''k

= {i } k

uX

l

r

(x;x')

X

,, _ .l ie ( . ') ~gem (x; x') { m} 2 (/X,X

..,.,k uX

rB

,,

(x;x')

,,

XX.

Fiir den Fall des Finslerschen Raumes erhalt man damit aus (9A) und (9B) dr/' = - piki (x; dx) rl dxi

(15A)

.

_ {

P'ki (x, dx) -

1

und )

(15B)

i}

k .

(o:;do:)

{m} dilfl -! gie (x,• x , ) "~g.,n k . _._ uX Jr uns

dr/ = -B/cy(x; 'YJ) 'fJkdxi B'ki(x; 'fJ) = {

i.}

k7

(x;fl)

-! gie(x; 'fJ) ~gem(X;1J) { m} "''· Cl7]i kr

Dies sind a her gerade die heiden "Obertragungen, welche bezw. von H. RuND und W. BARTHEL eingefiihrt worden sind B). Der Parallelismus (15B) von BARTHEL hat die wichtige, von diesem selbst bemerkte Eigenschaft, Langen von Vektoren zu erhalten. § 4. Vergleichende Ubersicht tiber die auf den Langenbegriff gegriindeten Parallelismen fiir Finsler-Raume. In einer frtiheren Arbeit 9 ) haben wir eine von der im § 3 gegebenen abweichende, mehr geometrische Methode zur Begrtindung der Parallelverschiebungen in Finslerschen Raumen behandelt. Man geht dabei aus von einem Vektorfeld ;(x}, welches dem Verschiebungsprozess des Vektors ('f)) vom Punkte (x) in Richtung (dx), kurz dem Verschiebungsprozess (x, 'fJ, dx) in invarianter Weise zugeordnet wird. Zu der zu diesem Vektorfeld gehi::irigen oskulierenden Riemannschen Metrik U>k(x)

=

gik(x; ;(x)),

welche eine mi::iglichst gute Approximation der Finslerschen Metrik in der Umgebung der Feldvektor-Richtungen liefert, existiert der LeviCivitasche Parallelismus mit den Zusammenhangskoeffizienten ( 16)

[ i

kf

J _{i }(x;~(xJJ + (o:J-

kf

1 ir . ( { ~grk 2 g (x,; x)) ~;·

ll;• ~gki ~xi-~;·

~;e

llxr

~g;, ~;e } Clxk ·

+ ll;•

Je nach der Wahl des Hilfsfeldes ;(x) ergeben sich dann verschiedene Parallelismen 10). Wir stellen die heiden Arten der Herleitungen in einer "Obersicht zusammen: H. RUND, loc. cit. 1 ); W. BARTHEL, Arch. d. Math. 4, 346-365 (1953). loc. cit. 4 ) 10 ) Diese Herleitung ist auch fur den speziellen Fall des Cartanschen Zusammenhangs etwas kurzer als die von 0. VARGA, loc. cit. 4 ). 8) 9)

.Bogrftndung mit Hilfe von oskulierenden Riemannschen Raumen, Feld ~(x) fiir die osk:ul. Riemannsche Metrik

Parallelverschiebung

gik (x) = gik (x; ~ (x))

TAYLOR und SYNGE: Langs einer Kurve x (s) d •=

-

'fJ

{

i. }

k7 (x;dx)

(gik

t gir ~g:"' x•n"' ds ~X e

r;"' dxi =

~(x(s)) =

Begrftndung a.ue der Dift'orontialgleiohung der geodatischen Linien

;•+ 2G•(x; x) =

dx d8

(unmoglich)

gi,.(x; dx))

BERWALD: di

= -

'YJ

.

=

{i } kj

(siehe Begleittext)

()2Gi(x;x') kdi ox'k ~x'i 'YJ X

CARTAN: dr;i = - r~c; (x, x') n"' dxi-

Th

.

CL (x, x') n"' dx'i

~Ge

i

[ nach

oG•

+ r/" ox'r C'kie- C';. ox'"' Qi _ ! gir ~grk ox'i

ki-

pi;. ki

= {i

kj

}

piki (x;

~ (x)

dx) ?Jk dxi

-! gim ~gkm ( e.} dxr ?}k dxi ox'• rJ d8

=

()2Gi (x; x')

ox'k()x'i

1:--:l Ol

-

oG ox'

(unmoglich)

=

dx o~ dxi ds; ~xi ds

=-

{i }

kj cx.dxl

dxi di d8 dxk

Koeffizienten P* nach Gl. ( 17A)

~(X)=

'fj;

()~.

{i}

oxi ?}' =- ki

(X;'))

'fj

ki 'fj

Koeffizienten B* nach Gl. {l7B) 1]

x')

I

I {kJ

o;

VARGA: ox =

r~(x;

:!dxi = x']

RUND: dr;• = -

o.

d ,

n=-

oGi(x;dx) k ox'k 'fj

( x' zu ersetzen durch

~)

Koeffizienten Ffc;(x; dx) d • - - oGi(x;1J) dxi ?} -

01]i

(x' zu ersetzen durch 'YJ) Koeffizienten r~ (x; 'fJ)

26 Aus der tJhersicht ergiht sich, dass die heiden Parallelismen von RuND und BARTHEL, also gerade die heiden Prozesse, die konsequent auf der Punktraumauffassung im Gegensatz zur Linienelementraum-Auffassung heruhen, auf heide Weisen hergeleitet werden konnen. Dies diirfte ein starkes Argument fiir die Brauchharkeit gerade dieser heiden Parallelismen sein. Dagegen sind die drei alteren Prozesse jeweils nur auf einem der heiden Wege hergeleitet worden. Prinzipiell ist auch nicht zu erwarten, dass der Parallelismus von SYNGE und TAYLOR sich allein aus den Differentialgleichungen der geodatischen Linien herleiten lasst; denn fiir aile Minkowskischen Raume (gu.(x; x')=gu.(x')) lautet das System dieser Gleichungen tihereinstimmend x'=O, wahrend man nach SYNGE und TAYLOR fiir die Parallelverschiehung erhalt

drJ' =

-! ff'(x, x) ()g,~;;:i:) x' r/' ds;

also Prozesse, die fiir die einzelnen Minkowskischen Raume wesentlich verschieden sind. Ehenso ist auch CARTANs euklidischer Zusammenhang prinzipiell nicht allein aus dem Differentialgleichungssystem der geodatischen Linien ahleithar, weil man namlich den SYNGE-TAYLORschen

dx' = ~:~ ds) auffassen kann, wodurch sich die fiir jenen durchgeftihrte Argumentation tihertragt. Dies hat die unangenehme Konsequenz, dass man zu einem Wegesystem x'+2F'=O prinzipiell keinen euklidischen Zusammenhange eindeutig so angehen konnte, dass er fiir F'=G' in den CARTANschen tiherginge; man muss also in der Wegegeometrie auf das wegen seiner Linea:dtatseigenschaften hesonders handliche Hilfsmittel des ,euklidischen Zusammenhangs" verzichten 11 ). Umgekehrt ist es dagegen moglich, den Berwaldschen Zusammenhang mit Hilfe des Begriffs des oskulierenden Riemannschen Raumes herzuleiten. Dazu hilde man mit den Koeffizienten P~ des Rundschen Parallelismus die Ausdrticke Parallelismus als Spezialfall des CARTANschen (fiir x' =

r,1rii ( x, X ') -_

()~6 (x,x')x'• ()x'i

:.

,

und dies sind gerade die Berwaldschen Koeffizienten (nach (5), (8), (9A), (15A)). Die entsprechende Herleitung aus den Barthelschen Koeffizienten wtirde ehenso verlaufen. Da diese heiden tJhertragungen aus dem Begriff des oskulierenden Riemannschen Raumes herleithar sind, gilt das Gleiche fiir den Berwaldschen; diese Herleitung ist a her sicher als geometrisch nicht sehr hefriedigend zu hezeichnen, da sie recht formal ist. 11 ) Dies diirfte der Grund dafiir sein, dass die vielen ErgebnisSe, die man iiber zum Cartanschen gehorige projektive Zusammenhange besitzt, im Finslerschen Fall keine Anwendung auf die Wegegeometrie gestattet haben.

27

§ 5. Gewinnung von Zusammenhangskoeffizienten. Unsere heiden Arten der Herleitung dtirften gegentiber der axiomatischen Einftihrung den Vorteil haben, dass ohne neue Rechnung sofort der lnvarianzcharakter der ,kovarianten" Differentiale folgt, in der Methode der oskulierenden Riemannschen Raume aus den Eigenschaften des Parallelismus von LEVI-CIVITA, in der zweiten Methode aus Gleichung (4) der vorliegenden Note. Ausserdem erhalt man nach unseren heiden Methoden auf ganz nattirliche Weise sofort Koeffizienten mit dem Transformationsgesetz eines Zusammenhanges. Wir gehen jetzt zur Herleitung solcher Koeffizienten tiber. Fiir die nach der zweiten Methode herleitbaren Parallelismen sind solche Koeffizienten formal identisch mit denen von BERWALD

r ki i

(

.

,

_

X' X ) -

o2 Gi (x; x') ox'kox'i

wobei im Faile des Parallelismus von RuND zu setzen ist x' =

::

und im

Faile des Parallelismus von BARTHEL x' =rJ. Dies ist tibrigens ein spezieller Fall der allgemeineren Moglichkeit, einer Dbertragung (6) Dbertragungskoeffizienten mit dem richtigen Transformationsgesetz zuzuordnen vermoge 2 · ..., · dx) F.'-(x· n· dx) = 1> •r.i (x '.,, ki ' ., ' "ifox'i

Wegen der Eulerschen Homogenitatsrelationen gilt hierin tatsachlich F/cy(x;

n; dx) rJkdxi =

yi(x;

n; dx).

Wir wollen jetzt die Herleitung aus den oskulierenden Riemannschen Raumen so fortftihren, dass wir Zusammenhangskoeffizienten fiir die Parallelismen von RUND und BARTHEL erhalten. Solche Zusammenhangskoeffizienten sind ja keineswegs eindeutig bestimmt; sind z.B. B~i Koeffizienten fiir den BARTHELschen Parallelismus, so erhi:ilt man durch Addition eines beliebigen, in rJ von nullter Ordnung homogenen Tensors T~(x; rJ) mit T~(x; rJ)rJk=O stets Koeffizienten mit den gleichen Eigenschaften. Es ist also von vornherein gar nicht zu erwarten, dass die jetzt herzuleitenden Koeffizienten mit den oben gewonnenen zusammenfallen; doch wird man den neuen Koeffizienten wegen ihrer Herleitung aus den oskulierenden Riemannschen Raumen eine besondere geometrische Bedeutung zuschreiben diirfen. Wir bemerken, dass wir von dem Hilfsfeld ~ bisher nur den Wert im Punkte (x) und gewisse Richtungsdifferentiale festgelegt haben; im Faile des Rundschen Parallelismus entschied~n wir tiber !~ dxi, im Faile des Barthelschen tiber !~ rJi. Die Festsetzung besagte in heiden Fallen, dass das jeweilige kovariante Richtungsdifferential im oskulierenden Riemannschen Raume verschwinden sollte. Dies gentigte in heiden Fallen zur eindeutigen Festlegung d~r Dbertragung selbst. Zur geometrischen

28 Bestimmung von Ubertragungskoeffizienten machen wir von der verbleibenden Freiheit Gebrauch und verlangen: Das Hilfsfeld ~ ist im Punkte (x) beziiglich des oskulierenden Riemannschen Raumes kovariant stationar. Dies bedeutet im Rundschen Fall nach (15A): ()~i-

oxk--

pi

.1:

l:h

hk(x,.,-)o;.

Fiir ~=:: (Herleitung des Rundschen Parallelismus, vgl. Ubersicht) ergibt dies nach Einsetzen in (16) (17A)

p*i = { i } hk

hk

(z;d:>:)

_

.1 2

12 )

gi• (x dx) { og,h pm _ oghk P1f! + og,k P'if } dxl '

oxm

lk

oxm

lr

oxm

ds .

111

Im Falle des Barthelschen Parallelismus ergibt unsere Forderung ()~i

Di

(

h

oxk = -nitk x, ~) ~.

Hier ist (17B)

~(x)=1J

zu setzen, und damit erhalt man aus (16):

B*i = { i \ - ]._ gir (x. '}']) { og,h Bm- oghk ~ + ogkr hk hk J(Z;f)) 2 l 'I orr [k orr lr orr

B'!lk:.}

'}']I 'I •

Die damit gewonnenen Ubertragungskoeffizienten haben nach ihrer Herleitung das Transformationsgesetz eines Zusammenhanges. Sie sind tatsachlich verschieden von den oben nach BERWALD konstruierten Koeffizienten, da in letzteren die zweiten Ableitungen der gik nach den Richtungsvariablen auftreten, in den Ausdriicken (17) jedoch nicht.

M athematisches Forschungsinstitut, Oberwolfach (Schwarzwald) 12 ) Diese Koeffizienten sind auf anderem Wege schon von H. RUND, Math. Ann. 127, 87 (1954) hergeleitet worden. Nach einer Bemerkung von A. DEICKE, Zentralbl. f. Math. 55, 405 (1955) sind sie formal identisch mit denT* von CARTAN, loc. cit. 1 ); das Gleiche gilt dann auch von den in Formel ( 17B) anzugebenden B* ffu den Barthelschen Zusammenhang. Trotz dieser formalen Gleichheit sollte nicht ubersehen werden, dass ein begrifflicher Unterschied in der Bedeutung (lokal-Minkowskische Auffassung einerseits und Richtungsbiindel-Auffassung andererseits) besteht, und dass eine independente Begriindung im lokal-Minkowskischen Fall wiinschenswert erscheint. Der geometrische Grund fUr die Gleichheit der T* und der P* sowie der B* ist bei unserer Herleitung aller drei Prozesse aus dem Begriff des oskulierenden Riemannschen Raumes offensichtlich. Bei der Gelegenheit sei noch darauf hingewiesen, dass R. SULANKE, Wiss. Z. Humboldt-Univ. (Berlin, 1955), neuerdings eine Herleitung der Koeffizienten P* des Rundschen Parallelismus aus der formalen Postulierung des Lemmas von Rrccr fUr die Koeffizienten (zusatzlich zur Forderung der Symmetrie) angegeben hat.