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Diffusion de protons polarisés par une cible de protons polarisés
I.B
[ i
Nuclear Physics 28 (1961) 220---243; @) North-Holland Publishing Co., Amsterdam tNot to be reproduced by photoprint or microfilm without written permission from the publisher
D I F F U S I O N DE P R O T O N S POLARISI~S PAR U N E CIBLE DE P R O T O N S POLARISI~S J. RAYNAL
Centre d'~tudes Nuddaires de Saclay Re~u le 15 mai 1961 T h e proton-proton scattering problem, in the helicity formalism, is studied for a polarized target and a polarized incident beam. Exact expressions are given as well as their approximations when one considers only S, P and D waves for the four sets of phase-shifts fitting the cross section in the range of 10-40 MeV. One finds t h a t the polarization is a higher order effect compared to the correlation coefficients and it is shown that the four sets of solutions give only two different angular distributions of the spin correlation coefficient Cn~.
Abstract:
1. Introduction L'analyse des r6sultats exp~rimentaux de la diffusion proton-proton n'a pas permis jusqu'ici de d6terminer avec pr6cision les d6phasages des ondes partielles m~me pour des 6nergies inf~rieures A 25 MeV. Dans ce domaine oh il est raisonnable de ne faire intervenir que des ondes S, P e t D, Clementel et Villi 1) ont montr6 qu'en utilisant uniquement la section efficace on obtient quatre ensembles de valeurs pour les d~phasages P pour chaque choix de d6phasages S e t D, et l'analyse des r6sultats exp6rimentaux a fait ressortir une tr~s large ind6termination de ces derniers d6phasages 9). L'ambigaxit6 peut ~tre lev6e pour l'onde P par des mesures des coefficients de corr61ation de spin qui ne m~langent pas les d6phasages des ondes paires et des ondes impaires, puisque le spin de la voie est un bon nombre quantique. Mais les coefficients de corr*lation de spin sont plus difficfles ~ mesurer que des sections efficaces de diffusion 61astique de protons polaris6s par une cible de protons polarisds. La possibilit~ de produire des cibles partieUement polaris~es permet d'envisager ces experiences et d'obtenir des param~tres 6quivalents aux coefficients de corr61ation de spin. La m6thode envisag6e ~ Saclay pour polariser une cible de protons rend l'utilisation exp6rimentale assez d61icate. La source est plac6e dans l'entrefer d'un ~lectroaimant et sa polarisation, qui est normale aux p61es, peut ~tre renvers6e par une faible variation du champ. I1 est donc difficile &observer en dehors du plan normal A la polarisation de la cible et la pr6sence du champ magn6tique introduit des corrections pour comparer les sections efficaces droite e t ~ gauche; il est plus simple de comparer les sections efficaces ~ un angle donn6 pour des valeurs oppos6es de la polarisation de la cible. 220
DIFFUSION
DE
PROTONS
POLARISI~S
~21
On peut envisager quatre s4ries de mesures: 1) La polarisation du faisceau est transversale et ceUe de la cible lui est parall~le; on observe dans le plan perpendiculaire. On obtient ainsi un coefficient A~(0) qui n'est autre que le coefficient de corr41ation de spin C,,~(O) de Wolfenstein 3) (fig. la). 2) Avec la m~me disposition du faisceau et de la cible on observe dans le plan parall~le aux polarisations: on obtient le coefficient A = (0) (fig. lb). 3) La polarisation du faisceau incident est longitudinale, sa direction est perpendiculaire A la polarisation de la cible et on observe dans le plan parall~le aux polarisations: on obtient le coefficient A=(O) (fig. lc). On peut permuter les directions de polarisation de la cible et du faisceau incident. 4) Les polarisations sont parall~les A la direction de propagation du faisceau et on observe dans un plan arbitraire: on obtient A,,(O) (fig. ld). L'ensemble des coefficients A = , A,,, A,® est 4quivalent A celui du coefficient de corr41ation de spin Ck~ (introduit par Wolfenstein) et de Ck~ et C~ qui peuvent ~tre d4finis avec les m~mes notations. E n fait la seule diff4rence provient du syst~me de r4f4rence; la corr41ation de spin est exprim4e dans le syst~me du laboratoire alors qu'il y a r4ciprocit4 exacte entre les deux genres de mesures exprim4es dans le syst&me du centre de masse.
>
7 y, r
-
.
Fig. 1. Disposition des polarisations correspondant aux coefficients A~, A,,, A,, et A
u.
222
3. R~,YN.~L
I1 est donc int6ressant de calculer la section efficace diff6rentieUe de diffusion 6iastique d'un faiscean sur une cible, tous deux polaris6s de fagon quelconque et d'exprimer le r6sultat avec les param~tres A li6s aux coefficients de corr61ation de spin. I1 est 6galement int6ressant de calculer explicitement ces coefficients en fonction des d6phasages S, P e t D, et d'6tudier leurs valeurs pour chaque ensemble de d6phasages tir6s de l'6tude de la section efficace. A cette approximation toutes ces quantit6s peuvent s'exprimer sous une forme analogue ~t celle donn6e par Clementel et Villi pour la section efficace. Remarquons que parmi les quatre s6ries de mesures propos6es plus haut, les trois premieres ne n6cessitent pas l'emploi de champ magn6tique pour falre tourner la polarisation du faiscean incident. Mals la quatri6me s6rie est absolument n6cessaire si on veut obtenir la section efficace de diffusion 61astique dans l'6tat singulet A un angle quelconque; la difficult6 est du m~me ordre en employant les coefficients de corr61ation de spin puisqu'il faut connaitre la corr61ation de la polarisation longitudinale du proton sortant avec la polarisation transversale du proton de recul.
2. Amplitudes de Diffusion Pour 6crire les amplitudes de diffusion nous devons tenir compte de l'invariance par r6flexion d'espace et par renversement du temps. La statistique impose une partie d'espace paire pour la fonction d'onde dans l'6tat singulet et impaire pour l'6tat triplet; puisque la parit6 est un bon nombre quantique, le spin de la voie, S, l'est aussi. Nous pouvons donc 6tudier s6par~ment les diffusions singulet et triplet. La diffusion singulet est d6crite par une seule amphtude qui s'6crit directement i (2/+l)e~,~,(l_e~,a~)p~(cos 0),
a(0) =
(1)
pair
avec 1.(0) =
~'
2k sin ½0
e_~. ), ~ sm.StO.l.2fO.o
(2)
oh %, ,~ sont les d6phasages coulombiens, ~t le d6phasage nucl6aJre de l'ond.e partieUe correspondante. La diffusion triplet est d~crite par /(0) qui est une matrice 3×3. Pour exprimer ces amplitudes il est plus simple d'utiliser le formalisme de l'h6licit6 4). Nous prenons (voir fig. 2) pour axe de quantification dans l'6tat initial la direction Ozt du falsceau incident et dans l'6tat final la direction Ozt de l'un des protons sortants; l'axe Oy est commun et tel que le tri~dre Ozt, Ozt, Oy soit direct (direction du produit vectoriel k t ^ k r des impulsions du proton incident et du proton sortant choisi). Avec ces notations, il n'y a que quatre amplitudes diff6rentes alors que le formalisme habituel conduit ~. consid6rer
DIIrFUSlON DE PROTON'S POLARISI~S
22~
cinq amplitudes li6es par une relation. L'expression g6n6rale de l'amplitude
Y Fig. 2, Rgf~rentiels utilis~s dans le formalisme de l'h~licit~.
correspondant A l'~tat initial d'Mlicit~ #t et A l'6tat final d'Mlicit~/~r s'6crit
/~, ~,(0) = {/~ (0)-/, (~-0)},~,,, (0)
,
+ ~ X (2J+l) j pair
{(23"-1) (0~-~/~t - #:)(0~-1~ t #t - #:)~j t
--~v/(2J-1)(2J+3) I (0J-1 1#' - J r ) ( 0 J + l 1/~t - J r ) + ( o J + l 1/~f - J r ) (0J-1 1/~t -Jr )]CJ
\0
+ ~,
~
/~t--/~t
(2J+l)~
Jimpair
\0
(3)
t'1--#v
(, 1 - #~), (o, #,1 --#,,) ~o~_,~_,,,;,,,,o , 0
/~t
Les r~, sont les ~l~ments de matrice de rotation r~duits, c'est-~-dire relatifs aux angles d'Euler 0, O, 0t. L'invariance par r~flexion et par renversement du temps correspond aux relations entre les diff~rents ~l~ments de matrice r~,, qui entrainent hi = L1-1,
11o = 1o-1 = - t o l - - - / - l o ,
h-1 = Lll.
(4)
La condition d'unitarit6 de la matrice de diffusion se traduit par des conditions sur les C introduits dans la formule (3). Si le moment total J e s t impair, il n'y a qu'un seul d~phasage CoI = exp (2%j)(1--exp (2i6jj)) (5) oh 6jj doit ~tre r6el. Si le moment total J est pair il y a trois param~tres C_J = exp (2icrj_l) (1--S_J), C+J = exp (2ioj+1) (1--S+J), (6) CJ = --exp (%I+1+iej-1)Sj, t Nous suivons les notations de A. Messiah s).
224
]° RAYNAL
avec les conditions [sjl~+lS~l
'- - - I S j l ~ + l S : l
~=
S]_.*S]-I-S+]S.r*
1,
= o.
(7)
I1 y a diverses fa~ons d'introduire trois param~tres r~els pour exprimer les S s). L'une d'entre elles est S j = cos * ~ exp (2i~1~) q- sin *e] exp (2i6~*), S+~ = sin ~el exp ( 2i~] ~) + cos *~] exp ( 2 i ~ ) ,
(8)
S ~ = sine] cose] {exp (2i6~ ~) --exp (2i~7~)}. Pour la diffusion singulet la condition d'unitarit~ est analogue ~ l'~quation (5): ~ doit ~tre r~el. La condition d'unitafit~ peut s'exprimer globalement sur les amplitudes. Pour cela, fl faut les g~n~raliser en introduisant une rotation quelconque autour des axes Oz~ et Oz~. On remplace les ~l~ments de matfice r~duits r~]~ par les ~l~ments de matrice R ] (k~ --> kt) de la rotation qui fait passer du rep~re initial ayant Oz~ comme axe de quantification au rep~re final autour de Oz~) La condition d'unitarit~ s'~cfit alors k {](k~k,)--p(kt~k,)}=
p(kt~k')l(k~k')dk'.
(9)
Sans s~parer la partie coulombienne on peut poser
(10) ]
En effectuant l'int~gration sur k' on obtient t 4~i
4~
k t Pt~l-- ~ l J
2J~-I
En utilisant les relations entre les coefficients 3j et en s~parant la diffusion coulombienne on retrouve les conditions (5), (6) et (7). Nous pouvons expliciter les coefficients 3j qui interviennent dans la formule (3) et exprimer les r~t,, £ l'aide des polynomes de Legendre et de leurs d~riv~es. t R e m a r q u o n s clue nous p o u v o n s effectuer l'int6gration de la formule (9) en n ' u t i l i s a n t q u e les 414ment~ de matrice de r o t a t i o n r4duits, c'est-~-dire avec les a m p l i t u d e s telles que nous les avons p r i m i t i v e m e n t 6crites: h {f~f~l(0) -- (--) ~+#11~t ~l(0)} = f Z e ~ l ~ ' - i ~ f ~ (e', 8')f~,~l(0)/~,~t(0"(0', ~')) sin 0' de' d ¥ , , j Bs
(9')
8.vec
cos 0" = cos 0 cos 0 ' + s i n 0 sin 0' cos ¥ , sin 0 " cos ~ = - - s i n 0 cos 6 ' + c o s O cos O' cos ~'.
sin 0" sin p = sin 0' cos ¥ .
DIFFUSION DE
~5
PROTONS POLARISI~S
En fait nous obtenons des expressions plus simples en considdrant
b= /ll + /1-1= (/c(O)--/c(~--O)}+ ik j~mpair ~ (2J+ l" Co} /J(-~i-)--C°S0p,]+ pj} j(j+l)'
•
c = I,i-/~-1 = {te(0)-tc(~-0)}cos0+*-
X
k Jimpair
i
(2j+l)C d
. f --cos 0 1)
+ -k :p~"{(J+l)C-:+JCj-2v/J(J+l)C J} I J ~ d-=/lo~/2 =
P': J(J+l)
}
P'J+P] '
N. {c_:-C+:+ ~ ¢ /c:~ } P j {/e(O)--/e(:~--O)}sin 0 + ik jp~
i e = / o o = { / o ( 0 ) - / c ( ~ - 0 ) } cos 0 + ~ E
Jpair
(12)
,
sin O, .
{JC:+ (J+I)C]++2v/J(J+I)}P:.
Cette simplification est uniquement due A l'invariance par rdflexion: en effet si on prend pour dtats de base de l'dtat triplet les composantes suivant les axes x, y, z des rep~res respectifs de l'dtat initial et de l'dtat final, nous avons
I(O)
c 0 0 b d 0
=
--d ~.
(13)
En fait, dans l'dtat final nous avons pris la direction de propagation de r u n des deux protons comme axe de quantification. Comme ce choix est arbitraire il doit exister certaines relations entre les amplitudes pour les angles 0 et ~--0. Pour dchanger le r61e des deux protons il faut faire une rotation de ~ autour de l'axe Ox pour l'dtat final et une rotation de ~ autour de l'axe Oz pour l'dtat initial. Ces opdrations entralnent b(O) = --b(~--O),
c(O) = c(~--O),
d(O) = --d(~--O),
e(0) = e(~--0).
(14.a)
Ces relations sont dvidentes sur les formules (12). Pour l'dtat singulet on a simplement
a(O)
=
a(~--O).
(14.5)
L'ensemble des diffusions singulet et triplet est ddcrit par la matrice de diffusion M(e). Nous pouvons l'dcrire en ,,reprdsentation hdlicitd" pour les
226
j . RAYNAL
particules c'oupl~es (les vecteurs de base sont les ~tats S = 0 et S = 1, M = 1, 0, --1 sur la direction de propagation): 0
0
O
½(b+c) ½v'Sd ½(b-c) m(o) =
--~V~d
e
½V-~d
(15)
ou bien en representation h~licit~ pour les particules d~coupl~es (avec les 1 ~ 1 1 1~. 2, 1 1~. --~, 1 oh le premier nombre d6signe vecteurs de base ~1 ~, ~., l'h61icit6 du proton dont on a pris la direction de propagation comme axe de quantification et le deuxi6me la projection du spin de l'autre proton sur le mgme axe):
M(O) =
½(b+~) -~
½a ½(~+~}
~ ½(b-~) I ½(~-~} ~ ]"
(16)
½d
3. Section Efficace et Coefficients de Correlation de Spin Connaissant les matrices densit~s Pt et Pc du faJsceau incident et de la cible, nous voulons calculer la section efficace diffdrentielle de diffusion ~lastique l'angle 0, 9- Pour raison de simplicitY, nous avons calcul~ les amplitudes de diffusion pour l'angle ~o = 0 seulement; il faut donc exprimer Pi et Pc dans le syst6me d'axes tourn6 de l'angle 9 autour de la direction de propagation du proton incident, puis calculer
M(O)[p,(9 ) ® po(9)]M¢(O). (17) La trace de cette matrice est la section efficace diff~rentielle da(O, 9)/dO et ses 616ments dgcrivent la polarisation des deux protons sortants et leur corr6lation de spin. En paxticulier, l'6tude de la section efficace seule avec 6tat initial polaris6 ne fait intervenir que les glgments de la matrice M¢ (0) M(O) et l'6tude de la polarisation et de la corrglation de spin avec un gtat initial non polaris6 ne dgpend que de ceux de M(O) Mr(O). Les deux matrices sont tr~s voisines puisqu'on passe de l'une A l'autre par transposition et renversement du sens du temps (d(O) change de signe et les autres glgments sont invariants). Ainsi avec la base (S ---- 0; S = 1, x, y, z) d~j~ employ6e en (13) elles s'~crivent
/lal~
0
0
0
Ilal~ 0
0 0 0 cd*--e*d IbJ~
--d*c+de*
0 Ic 2+1dl2
0
L.O dc*--ed ~ 0 IclZ+ld[ 2
(18)
DIFFUSION DE
PROTONS
227
POLARIS~S
Consid~rons un faisceau incident d6crit par un vecteur polarisation de projection ib0 sur la direction de propagation et dont la partie transversale, de longueur p, fait un angle ~ avec la normale all plan de diffusion. Supposons que la cible est d6crite de la m~me mani~re par les composantes P'o, P' et l'angle q0' (fig. 3). Nous pouvons 6crire la rnatrice densit6 de l'6tat initial dans la
/
/ Po
\,
"~
//
F i g . 3. C o o r d o n n 6 e s u t i l i s ~ e s p o u r d ~ e r i r e d e s p o l a r i s a t i o n s q u e l c o n q u e s .
representation employ6e pour On obtient d
(O,
~2-
_
\~/n.p.
Mr(O) M(O) et calculer la trace de pM*M.
{ l + P ( p cos ~o+~' cos 9')+A,~(~op' sin
9'+~'oP sin 90)
_!. , )+~(A,,+A=)cos(~0--~0 X , )]pp, +A,,po p , o), (19) +[~(A,,--A=)cos(~o+90 avec
---~--/n.p. = ¼{lal2+ IblZ+ Icl'+21dl~+ lel~)'
(d (oq
4A,, \ 4 0 /n.p.
(do(O/
4A,v \--~--1,.~. = Icl2+[ela+21dILlala-lblL
(do(O) 4A= \--~--/~.p. /
4A,~\ dO In.p.
=
IblZ+lel2--lcl~--IalL
=
a*(e-c)+a(e*-c*),
(20)
4P C-~/,.,.(d~(0)~= i{dCc*+ e * ) - - d * (c +e)}. Dans la formule (19) (da(0)/d~)n.p. est la section efficace diff6rentieUe pour un 6tat initial non polaris~ et P est la polarisation telle qu'elle est obtenue en n'observant qu'un seul des protons sortants. R6ciproquement nous pouvons
228
j . RAY'NAL
~crire M (01 M* (0) ~ l'aide de ces param~tres et exprimer cette matrice comme une combinaison lin6aire des produits ~ ® a~~ construites ~ l'aide des spins a ~ du proton sortant dont la direction est prise pour axe de quantification e t a S du proton de recul. On obtient ainsi
M(O)Mt(O) = \ ~
]n.~. {l + P(a'~® l + l®a'~)+ A"(a'X®a'z+a'~®a'2) + A~a,x®a,2 + A~a=a®a~2+A ,,a,~®a,z}. (21)
Pour retrouver les coefficients de corr61ation de spin habituels il faut pro] eter sur les directions des particules darts le syst~me du laboratoire. Si les impulsions initiale et finale dans le syst&me du centre de masse sont k t et kf, les nouveaux axes sont suivant P = k t + k t , K = k t - - k I e t n qui a la m~me direction que
F i g . 4. P a s s a g e d u s y s t ~ m e d u c e n t r e d e m a s s e a u s y s t ~ m e d u l a b o r a t o i r e .
Oy. La direction K est en fait oppos6e ~ celle du proton de recul dans le syst~me du laboratoire (fig. 4). On dolt donc substituer ~1 = _ cos ½0 a~l--sin ½0 %1, ffl : __ sin {0 ak1+ cos {0 a~1,
a~2 = --sin {0 ~ - - c o s ½0 ak~, a z 2 = cos ½0 %2--sin {0 a~~,
orvl :
O"~ =
O'n1 ,
an 2 .
On obtient ainsi C~ = C~k = ½sin0 (A,,--Am) + c o s 0 A,,, Ckk = sin s {0 A , , + c o s 9 ½0 A~,+sin 0 A=t, C~= = cos 2 {~ A,~+sin z {0 Am--sin 0 A ~ ,
(22) Cn, = A~.
Par des exp6riences de correlation de spin, on cherche A mesurer Cn~ et C~ qui correspondent ~ des corr61ations de polarisation transversales, mais alors que A~v = Cn~, les coefficients Am, A,, et A,, d~pendent simultan~ment de C~, C~ et C~: Am = --sin 0 C ~ + c o s ~ {0 C ~ + s i n 2 {0 C~, A,, = sin 0 C ~ + s i n 9 {0 Ck~+cos 9 {0 C~r, A,, = cos 0 C ~ + { s i n 0 (Ck~--C~).
(23)
DIFFUSION
DE
PROTONS
229
POLARISltS
Les relations (14) se traduisent sur les coefficients de la section efficace differentielle de l’equation (19) par des &lit& analogues: pgq.,
= (do$-e)),.,.a P(e) = --P(n4),
4.w Pour les coefficients c,,(e)
= --A,(74, de correlation
= cnnb--8h
c,,(e)
(24)
AZ*(e) = AA--8)J 4,(e) A,(e)
= 4v(7d-e), = ii,(
.
de spin on a = c,,(~-e)~
c,,(e)
= c,,b4.
(25)
Les relations (25) sont Cvidentes d’apres la signification de ces coefficients. En exprimant la matrice W(8) M(8) A l’aide des parametres A et P definis en (20) dans la base (S = 0; S = 1, M = 1, 0, -1) deja utilisee pour Cm-ire (15) on voit directement que la diffusion singulet est Cgale A
Ia12 = (g)),,
{l--Aa!a--A,,--A*3
(26)
quel que soit l’angle 8. 11 serait done tres interessant d’obtenir ces trois coefficients a tous les angles pour connaitre la distribution angulaire de la diffusion singulet . La mesure de A zBnecessite un faisceau incident A polarisation longitudinale et elle est done la plus delicate 3, effectuer. On peut aussi obtenir la diffusion singulet par des mesures de correlation de spin puisque
La difficult6 est du m&me ordre puisqu’il faut mesurer la correlation entre la polarisation transversale du proton sortant et la polarisation longitudinale du proton de recul a tous les angles. L’experience la plus facile a realiser pratiquement consiste a envoyer un faisceau perpendiculairement A la polarisation de la cible, les deux vecteurs de polarisation &ant paralleles. La section efficace differentielle est alors
oh Q,est l’angle de la normale au plan de diffusion avec la direction tions. On peut ensuite changer le signe de 9 et obtenir
des polarisa-
230
j . RAYNAL
et ddfinir 1;assymdtrie R (0, ~) par da(0, ~)] R(O,
(da(O, q~)'~
=
\
= P' P c o s g + [{(A,,--A=)cos 2 9 + ,~( , A , , + A ~ , ] ~p . l-k- PP cos
(30)
En particulier, en observant ~ l'angle ~ = O, on obtient R(o, o) =
t l+Pp
J p''
d'oh on peut tirer A ~ connaissant P. Comme on sait que P e s t faible ~ basse dnergie on a approximativement
R(O, O) ~ A•,pp' = C..pp'. Pour l'angle ~ = ~
(31)
on a
R(O, ~ ) = A=t,p'.
(32)
Ce coefficient a des propridtds analogues ~ celles de C.. et on est en droit d'en attendre autant de renseignements.
4. Approximation des Ondes S, P, D A faible dnergie on peut supposer que les ondes de moment angulaire le plus bas interviennent seules. Nous nous limiterons dans ce paragraphe aux cinq param~tres qui sont les ddphasages des ondes S e t D et les trois ddphasages d'onde P. Nous supposerons qu'il n'y a pas de couplage avec l'onde F pour un moment total J = 2 [ez = 0 dans les formules (11)]. Les ddphasages S e t D interviennent seulement dans l'amplitude de diffusion singulet qui s'dcrit
=/o(o)+h(,,-o)+
i {e=i~,o (1 _ eg.~ts)
(33)
-be "~', (1 -- e~'SD)}(3 COS2 B-- 1)}. Nous pouvons donc considdrer a comme une fonction donnde pour des valeurs fixdes de 6s et de 6D.
DIFFUSION
DE
PROTONS
231
POLARIS~S
Les d6phasages P, ~o, ~ et ~2 interviennent seuls dans les quatre autres amplitudes:
b =/c(O}--]c(~--O) +
-~
{3 cos O--{eZ'8' cos O--{eS'a' cos O}, ie2~O'~
c
E
,,c,O,--]c,zc--O,~ cosO+ k
3~e2t8~---~ ~e 2tJz'ty, ~SCos'O-- 13 ~ c o s ' 0 ---~/
ie,~, ~ d = {/c(0)--h(~--0)} sin 0 + ~ 3 sin 0 cos 0(1--e2'~), i e2 ~
e = {/c (0)--h(=--0)} cos 0 + ~
(34)
(3 cos' 0--e ~'a°- (3 cos' 0-- 1)e='a~}.
Suivant Clementel et Villi 1) nous pouvons exprimer la section efficace e[ les diff~rents param&tres introduits en (20) par des fonctions de e multipli~es par des coefficients qui ne d~pendent que des d6phasages. Nous posons donc A (0) = 3 cos'0 + ½(7 cos 0) / sin( 27 In sin {0 + 2 (az--a0)) sinS½0 t
sin(27 In cos {0+2(az--a0))/ cos'{0 J'
cos(27 In cos ½0+2 (al--ao))/ B(O) = --½(7 cos0) +{.c°s(271n - sin½0 2 (~1--~o)) sin'½0 -~ -j, . (35) ce qui diff~re des notations de Clementel et Villi par la pr6sence du terme . 3 cos 2 0 dans la d6finition de A (fl) au lieu de 1 et revient A avoir ajout6 deux fois le polynome de Legendre P,(cos 0). (On remplace ainsi le coefficient z8 darts les expressions ci-dessous par z3 - 2z1 qui a une expression plus simple.) Nous obtenons ainsi les trois expressions suivantes: (da(0)~ 4
=
¼1al'+¼1h(O)-to(,,-O)l'+
(da(0)]
1 4 t~)n.p.~.(A=+Av¢)
1
{ZlA (O)+z, BCO)+zsP,(c°s 0)},
Ih(0)--h(---0)l' + 1 {z,zA (O)+z, B(O)+z,3p,(co s 0)}, (36)
= - - l a P + I/o(O)-to(~-O)P 1
t~.
tt
~,t
+ -~ {z'l A (O)+z 2 B(O)+z 8 P~.(cos 0)}, oh les coefficients z ont pour d6finition zz = ½{9--cos 2~°--3 cos 2c5x--5 cos 2~2} = ~ ( 2 J + l ) s i n ~ ~f, ]
z, = ½{sin 2~°+3 sin 2~1+5 sin 2~'} = ~ ( 2 f + l ) s i n ¢5] cos 6J, (37) ] Z3 = ¼{9 COS 2((~2--(~11-Jl-4 COS 2((~Z--(~01---13} ~--- - - { X ( I + 2 / ' sin'((V--(l'), ]
232
J. RAYNAL
Z' 1 =
2 ( 3 + c o s 260--3 cos 26*--cos 263),
z'a = 2(--sin 260+3 sin 25lWsin 263),
(38)
z' a = 9 cos 2(62--61)--4 COS 2 ( 6 Z - - 6 0 ) - - 5 , z", = 2(3--cos 260--2 cos 263), z" 3 = 2(sin 260+2 sin 2~3), z"s = 4 cos
(39)
2((~3--~°)--4.
Ces coefficients ne sont pas ind@endants: la relation (26) qui donne la diffusion singulet entraine 6videmment que 421 = z'l+2Z" 1,
4z9. ~---Z'2+2z"3,
4Za = Z'a+2Z" a.
(40)
Connaissant la section efficace ~ plusieurs angles, on peut se donner les ddphasages 6s et 6i) et ddterminer de mani6re univoque les coefficients Zx, z3, zs qui donnent la valeur de la section efficace la plus voisine de la courbe expdrimentale. Les valeurs des d6phasages 6s et 6i) sont tr6s mal d~termin~es et pour chacune d'elles la r~solution en 60, 6', 63 admet toujours 4 solutions (voir appendice 1) qui se correspondent deux k deux par la transformation suivante: 60--62 -+ 62--60 s
(~1--63 ~
(
63--61,
2z,
(41)
(53-~ --52+2 arctg. \9---~-2z,1" Nous pouvons constater que les coefficients Zs, z'a et z" s sont invariants dans cette transformation. E n particulier pour 0 = ~ pour lequel A (0) = B(O) = 0, les valeurs de A** ou de (A=+A,,,) ne permettent pas de distinguer entre deux de ces solutions. A la m~me approximation une autre expression tr~s int~ressan~e est celle de A=--AI.,:
4
sin ° =,.½(A=--A,,) = - V - x -{cos
(42)
Elle prend la m~me valeur pour les deux solutions ddduites l'une de l'autre par (41). De plus elle indique une m~thode directe pour obtenir la diffdrence 6z--~ 1 de deux des d~phasages P. Enfin les deux derniers param~tres A z~ et P s'expriment aussi ~ l'aide de A (0) et B(O), mais c'est le polynome de Legendre associ~ Pz 1 (cos e) = 3 sin 0
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
233
cos 0 qui intervient ici: 4
(d.(0)]
X
~]n.p.
1
A z~ = ~ tgOA (0) {3 cos 20 x--cos 2 0 2 - 2 cos 20°} + ~ tgOB (0) {2 sin 200
3 -- 3 sin 20x+ sin 202} + ~ sin 0 cos 0 {2 cos 2 (02- 00) -- 3 cos 2 (02- 0x) + 1}, (43)
4 \~]n.p.P
= ~tgOA (0){5 sin 202--3sin20'--2sin20O}+ ~tgOB(O){5cos 202
3 -- 3 cos 20 x-- 2 cos 20 °} + ~ sin 0 cos 0{2 sin 2 (0o--02 ) + 3 sin 2 (0x--02)}. Pour A,~ les deux premiers coefficients sont . , , 1-z -i2t ~
' I I~,
-~t ~Z
" 2 - - Z ' 21, ~
(44)
et le troisi~me a les m~mes propri~t~s que les z3. R e m a r q u o n s que toutes ces expressions se simplifient ~ l'angle 0 = ~ puisque
tgOA (0) = tgOB(O) =/c(O)--]c(~--O) = O.
(45)
On obtient donc dQ /n.p.
= 4
~-~ (9c°s2(02--~1)÷4cos2(02--0°) - 1 3 )
,
4 \--~-/n.p.Azz = --[a[ 2 - ~-~ (9 cos 2(02--01)-4 cos 2(02--0 ° ) - 5 ) , 4 ~
d.O ],.p.A,, = --lal 2 - ~
4 \~]~p.A= A , ~ = 0,
=
P=
-la12+ ~
(9cos2(02--01)÷4cos2(02--0o)--13),
(46)
(9 cos 2(02-01)-4 cos 2(02-0 o) - 5 )
0.
L a mesure de A ~ A l'angle 0 = {~ permet de s~parer les diffusions des &ats singulet et triplet mais pour cet angle seulement. Ceci a 6t~ signal~ comme m6thode pour d6terminer avec plus de pr&ision le d~phasage S. Des calculs sont en cours pour 6tudier la d6pendance des valeurs prises par A ~ et Am a 0 = {~ en fonction des d~phasages S e t D. 5. C a l c u l s e t D i s c u s s i o n s
Le calcul de toutes les quantit6s envisag&s a ~t6 fait pour plusieurs ensembles de d6phasages donn6s par Mac Gregor 9). E n fait, on a calcul~ zl, z 2, z s ~ partir de la solution 1 de cet article, pour retrouver les autres solutions suivant la m~thode d o n n & A l'appendice 1.
234
.I. ~YNAL
Pour retrouver approximativement la d~pendance du genre de solution, nous pouvons r6soudre de fa~on approch6e les ~quations qui donnent les d~phasages P e t remplacer partout les fonctions trigonom~triques par leur d6veloppement. On obtient ~ l'ordre le plus bas
oh c, x, y sont des constantes d6finies par C =
Z2,
X =
.gr-~Jt~8(Z22--9Zl--Sz3),
y
=
(48)
"~-'~¢/l(gz1--Z22"]-3Z.3),
La solution 1 correspond aux valeurs positives de x et de y, la solution 2 aux valeurs n6gatives de x et positives de y; la solution 3 aux valeurs positives de x et n~gatives de y; et la solution 4 aux valeurs n~gatives de x et y. La section efficace est (da(0)~
=
¼1al*+}lto(O)-h( -O)l*+ -~1 A (0) ×{{cZ+12x,+20y 1
+ -~ S(O)c--
(49)
4P~(cos O)
k~
,}
{x*+y*).
EUe est ind~pendante de la solution envisag~e. Dans le calcul des coefficients A**, Aye, A~, A,~ et P nous pouvons s6parer une pattie invariante et des parties qui changent de signe d'tme solution ~. l'autre. Pour mieux mettre en 6vidence les diff6rences entre les solutions, nous remplacerons A(0) et B(O) par des expressions approch6es. En effet pour une 6nergie du proton incident variant de 10 A 40 MeV le param~tre coulombien ~ d6croit de 0.05 A 0.025 ce qui permet de remplacer/e(0) par le premier terme de son d6veloppement en puissances de ~ dans un assez large domaine de 0. En effet, pour que
[2~Lnsin~+2(ax--ao) [ ~ 2 r ] L n s i n { 0 + l [ < 0.1, il faut que 0 > 2/ez radians soit 16 ° A 10 MeV, 0 > 2/es radians soit 6 ° A 40 MeV. Les formules obtenues couvriront donc tout le domaine pratiquement observable. Dans ces conditions, on a d~
k~
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S d(~
k2A~y (~Q)n.p.
[
lk2[g[2--[1 k2 I/o( 0 )-h(zc-O)12÷A(O)rr l(c2-~-18x2~-34y2) , ,
c
k~A~
235
37
(do) __{ -4 [a["+¼k~[h(O)--/e(z~--O)[~+A(O)~--f(c~+18xi+34Y") ~Q n.p.
d a ) n.p. = {A (0) t g 0 { (3x 2 + 7y2)--sin 0 cosO(x"+y~)} k2A~ ~2
37 +{~sinOcosO(C--si~-40)}y
(50)
+{4cosOsinO}xy,
P-~O. Dans les trois premieres expressions, nous pouvons remarquer que les solutions (1), (2) different des solutions (3), (4) seulement par un terme de la forme 37
]cos2 0 (C-- si-~O) ,
(51)
qui s'annule pour 0 = ½z~ mais qui peut ~tre tr~s important dans la zone d'interf~rence a v e c l a diffusion coulombienne. Les calculs de la fig. 5 correspondent ~ une valeur de c tr~s faible, ce qui semble ~tre le cas ~ 20 MeV, car tous les syst~mes de d~phasages donn~s par Mac Gregor k 19.8 MeV correspondent k une valeur de c n~gligeable. Ce param~tre a une interpretation physique tr~s importante: il d~termine la possibilit~ de connattre le signe des d~phasages P par mesure de la section efficace dans la r~gion d'interf~rence avec la diffusion coulombienne puisque lorsqu'il est nul on passe des solutions (1) et (2) aux solutions (3) et (4) en changeant t o u s l e s signes. La fig. 6 repr~sente un cas fictif c'est-~-dire un calcul avec des d~phasages de d~part arbitraires, mais pour lesquels le coefficient c e s t tr~s grand pour mettre son influence en ~vidence. Les solutions (1), (4) different des solutions (2), (3) par un terme en sin 2 0 et ce terme est absent de l'expression de A~. Donc ~ l'approximation envisag~e il n'y a que deux valeurs diff~rentes de A~v et une mesure k un angle de l'ordre de 30 ° permet de rejeter les solutions (1), (2) ou les solutions (3), (4); ensuite une mesure de A ~ ~ 90 ° permet de d~terminer quelle solution parmi les quatre est la meiUeure, sauf accident tel que des valeurs trop faibles de c, x ou y. La mesure de A ~ ~ ½~ a un grand int~r~t car elle permet de d~terrniner les d~phasages singulets.
tOm~
f#O~
Azz
'
30" O)
L~.
dO" d~3) n.p.
60°
I
50L l e t 4 50L Z et ~
90"
0.05
O.OS
O.f
-0,015
- 0.01
- O00~
+O,OOJ;
14 )
(2)
¢b
4S*
(5)
I
60"
Cnn l
90"
0
Axx
(6)
50L Zet 3 50l. f et $
~1 ___ ~i ___
--10.54, 0.46,
_
3:¢J0 = 4 : (~o =
5.23,
0.18,
--0.20,
~
=
¢Js =
~2 =
6~ =
- - 0 . 1 6 , x ---- 7.5, y = 4 . 5 .
~x _
(~1 = - - 5 . 2 5 ,
0.44, 10.51,
1:6 o = 2: ~o =
ce qui correspond ~ c =
solution solution solution solution
--3.05;
1.93;
--1.95;
3.03;
Fig. 5. D i s t r i b u t i o n s a n g u l a i r e s p o u r les q u a t r e s o l u t i o n s d o n n a n t l a s e c t i o n e f f i c a c e d i f f d r e n t i e l l e o b s e r v d e ~ 19.8 M e V p o u r S (50 °) e t D (0 ° • 40). L e s d d p h a s a g e s P s o n t :
30"
ATy I
90"
t~
0
0
0
Z
2
f
fOOJ
30"
Azz 65°
45"
(7)
d.£Z) n.~.
dO"
r~"
60"
.~OL2 et 3
~*
90"
I
-OJ
81
g~
0.05
O,O4
O.83
0.0~
OAI
0
OAf
UZ
O.83
O0#
P
(1o)
(8)
r~
QD
t~
I
I
(11)
I~5_OL )50L
4r (50L 2 6o" }50L I
Cnn
= = = =
10.50, 23.08, --19.97, _ 7.39,
= = = =
_ _
(12)
i I
50L Z et 3
9.00, 2.87, 5.97, 12.11,
13.50.
~2 ~= ~= ~=
= = = =
6.00; 0.28; 2.82; --2.89;
s e c t i o n e f f i c a c e d i f f 6 r e n t i e l l e ~ 1 9 . 8 M e V p o u r S (50 °)
9, y =
la m ~ m e ~z ~z ~z 6z
Axx
$UL~
13.50, x =
donnant
I
90"
ce qui correspond ~ c =
s o l u t i o n 1: ~o s o l u t i o n 2: ~o solution 3:~0 s o l u t i o n 4: ~o
F i g . 6. D i s t r i b u t i o n s a n g u l a i r e s p o u r les q u a t r e s o l u t i o n s e t D (0 c • 4 0 ) . L e s d 6 p h a s a g e s s o n t :
Ayy I
¢O ¢D
0
0 J-i 0
O
u
~40
j. R~YNAL
Si nous formons l'expression de C~ nous trouvons seulement le tenue ayant xy en facteur, ce qui entralne que les valeurs de C~ calcul6es pour les solutions (1) et (4) sont identiques entre elles, ainsi flue celles des solutions (2) et (3). Pour A,~, l'expression est analogue aux pr~c~dentes avec la seule difference du remplacement de cos ~ 0 ou sin z 0 par sin 0 cos e. La diff6rence entre les solutions (1), (2) et les solutions (3), (4) est donc plus importante pour les angles voisins de 90 °. A cette approximation la polarisation est nulle. Nous pouvons calculer les termes suivants: (da(0)~
= {{sin0 cos 0(3y~'-~-x'2) (c-+ {2,' (In sin ½0+ 1
sin'½0
3y
In cos ½0+ I 1
c-~s~l~0 /sinO+~),ccotgO
(59.)
/
+~-~ sin 0 ~os 0 (37y2+ 27x ~ - 2c2) } x
+{l_#s sinOcosOiyg, x2)}y - {2OsinOcosO(c_
3~ )} si~F 0 xy.
La polarisation est donc tr&s sensible aux d6phasages puisque les expressions en facteur de x, y o u xy d~pendent elles m~mes des d~phasages P. La d6pendance de la solution est compliqu6e ici par la presence d'un terme ayant x en facteur. Cependant, m~me en supposant V tr~s petit le terme
sinOcosO(15y~+3x~--lOxy)
(c--
3~, ) sin ~ 0
(53)
indique une polarisation plus importante aux petits angles et ayant pour origine l'interf6rence avec la diffusion Coulombienne. Les figs. 5 et 6 donnent les r6sultats des calculs effectu6s avec les expressions compl&tes. Le cas 5 correspond A des d~phasages qui ont dt6 calcul6s par Mac Gregor A 19.8 MeV; le cas 6 est fictif. Je tiens A remercier Monsieur Thirion, dont les exp6riences sont A l'origine de ce travail et Messieurs Bloch et Messiah qui m'ont aid6 de leurs conseils.
Appendice 1. D~TERMINATION DES D~PHASAGES P La section efficace d~pend des d~phasages P par rinterm~diaire des param~tres
2zl--2iz ~ = 9_e2~8°_3e2~l_5e~82 ' 423 = 9 cos 2 ( ~ - - 0 1 ) + 4 cos 2(0z-~0)--13.
(A.1)
DIFFUSION DE PROTONS POLARISES
241
Si nous posons (~i2--5 ° =
a,
~2--c51 ----- fl,
(A.2)
ces relations deviennent Ae~ , =
9--2zl--2iz
~
=
(5+e2~+3e2~P)e
-~-i8~,
42a = 9 cos 2 f l + 4 cos 2~--13,
(A.3)
avec
As
= 35+]-10 cos 2o¢+30 cos 2 f l + 6 cos 2(0¢--fl).
Si ~. = c¢o, fl ~ fl0 est la solution du syst~me (A.3), c¢ = --c¢0, fl ---- --rio est aussi une solution: la relation entre les deux d~phasages ~2 correspondants est 2zu 2(52+5 v) = 27 = 2 arctg 9--2z------~"
(A.4)
Pour rdsoudre le syst~me (A.3) nous posons X = tg:¢,
Y = tgfl,
et nous obtenons 2 z a ( l + X 2) ( l + Y 2 ) + 4 X 2 + 9 Y 2 + 1 3 X 2 y 2 = O, ~ ( S I - - A 2) ( I + X 2) ( I + Y 2) - - 4 X 2 - - 9 Y 2 - I O X ~ Y ~ + 3 X Y = O.
(A.5)
L'~limination de X entre les deux 6quations (A.5) donne une dquation du quatri~me degrd en y2, mais on doit dliminer la racine y2 __ _ 1. I1 reste alors y s (4Zo_ 2za - 9)3+ y4 (48Zo2+ 8za2_ 32z0za + 44za_ 72Zo+ 36) +y2(48Zo2+4za2--16ZoZa+Sza)+16Zo 2 = 0,
(A.6)
avec Zo = ~ ( 8 1 _ A 2 ) + ~ z 3
= ~az l - - , ( 1z l
2+ z ~ 2)+-~z3. 2
De m~me en dliminant Y on obtient l'dquation X6(9z°--2z3--4)~+X'(243 z°2+8za2--72z°za--72z°+34za+36)
(A.7)
+ X2(243zo2+4zaU--36ZoZa+ 18Za) +81zo 2 ---- 0. Les deux ~quations ont toujours une racine n~gative. Les deux autres racines, ont le m~me signe si elles sont rdelles puisque les coefficients du terme du sixi~me degrd et le terme constant sont des carrds. Par consdquent s'il y a une solution du syst&me il en existe quatre dgalement valables. E n ~crivant que ces deux racines existent et qu'elles sont positives on obtient dans le plan de z0, z ale domaine " p h y s i q u e " des points auxquels correspondent des solutions. Si z 0 > 0, les solutions (1), (2), (3), (4) 3) correspondent aux racines en Y de l'~quation (A.6) de valeur algdbrique d~croissante. Si zo < 0, l'ordre des
242
j.
RAYNAL
solutions (2) et (3) est inversC Le syst~me (A.4) d~termine la valeur de X correspondante et les ~quations (A.2) et (A.3) d o n n e n t les d6phasages. Si nous supposons une solution connue et d o n n & par les valeurs x et y de X et Y nous pouvons exprimer zo et z3 dans (A.6) et (A.7) A l'aide de x et y. On obtient alors
X4(4+ 9xy--5Y2) + (36+ 20x~--81y2 + 72xy (A.8) + 121x2y~+45y4--252xya--61x2y4)X2--81y2(l+xy) 2 = O, on
Y4(9+ 4xy + 5x~)2+ yz(36--16x2 + 72xy-(A.9) 4 5yg -- 20x4 + 8xa y -- 74x2 y~ -- 61x4 y2 ) --16x~ ( l + xy ) 2 = O. Les solutions qui ne se drduisent pas de la solution connue par la transformation (A.4) correspond aux racines des 6quations (A.8) et (A.9). 2. R E L A T I O N E N T R E LES ~ M P L I T U D E S EMPLOYg'-ES E T CELLES QUI SONT LES PLUS USITt~ES
1) Formalisme A un seul axe de quantification 6): MI1
b +½(ccosO)+½(dsinO), = -~
Mxo =
1
(d cos 0--e sin 0),
MI_ ~ = ½b--½(c cos O)--{(d sin 0), M°l
b = M x l + M l _ x, c = (Mn--Ml_l)COS 0+ Mo1~/2 sin O, d = Mlo~/2 cos O+Moo sin 0
1
= ( M n - - M I _ x ) sin O--MoIV'2 cos 0,
= ~/2 (c sin O--d cos 0),
Moo = d sin O+e cos O,
e = --MxoX/2 sin O+Moo cos O, MS=a.
Les formules de passage ci-dessus sont celles qui sont obtenues en e m p l o y a n t les matrices de rotation. 2) Formalisme des invariants 5): a(O) = ¼(b+ (c+e) cos 0 + 2 d sin O+a), c(O) = ~-(2d cos O--(c+e)sin 0), re(O) = ¼(--b+ (c+e)cos O+2d sin O--a),
g(0) = ¼ ( b - , ) , h(0) = ¼ ( c - , ) ,
a =
a(O)-2gCO))-m(o),
b = a(0) +2gC0)--m(0), c = 2h(O)+a(O)+m(O)cos 0 --2ic(0) sin 0, d = a(O) sin O+m(O) sin 0 --2ic(O) sin 0, e = --2h(O)+(a(O)+m(O)) cos 0 + 2ic(O) sin 0.
DIFFUSION
DE
PROTONS
243
POLARISL~S
3) A m p l i t u d e s d o n n d e s p a r l ' 6 c h a n g e d ' u n p i o n 6) :
g2 a --
4E
(A+B),
g2 b = - - 4---E ( A - - B ) ,
g2 c=
---(A+B), 4E
A=
I + cos 0 x o + cos 0 ' .
avec
B--
d=0,
1 - - cos 0 x o - - cos 0"
g2
e---- - - ~ (A + B ) ,
Bibliographie I) E. Clementel et C. Villi, Nuovo Cim. 2 (1955) 1165 2) M. H. Mac Gregor, Phys. Rev. 113 (1959) 1559; M. P. Noyes et M. H. Mac Gregor, Phys. Rev. I l l (1958) 223 3) L. Wolfenstein, Ann. Rev. Nuclear Sci. b (1956) 43 4) M. Jacob et G. C. Wick, Annals of Physics 7 (1959) 404 5) H. P. Stapp, University of California, Radiation Laboratory report UCRL-3098 (1955) 6) P. Cziffra, M. H. Mac Gregor, M. J. Moravcsik et H. P. Stapp, Phys. Rev. 114 (1959) 880 7) M. H. Mac Gregor, M. J. Moravcsik et H. P. Stapp, Ann. Rev. Nuclear Sci. I0 (1960) 291 8) A. Messiah, Mdcanique quantique (Dunod, Paris, 1960)
[ i
Nuclear Physics 28 (1961) 220---243; @) North-Holland Publishing Co., Amsterdam tNot to be reproduced by photoprint or microfilm without written permission from the publisher
D I F F U S I O N DE P R O T O N S POLARISI~S PAR U N E CIBLE DE P R O T O N S POLARISI~S J. RAYNAL
Centre d'~tudes Nuddaires de Saclay Re~u le 15 mai 1961 T h e proton-proton scattering problem, in the helicity formalism, is studied for a polarized target and a polarized incident beam. Exact expressions are given as well as their approximations when one considers only S, P and D waves for the four sets of phase-shifts fitting the cross section in the range of 10-40 MeV. One finds t h a t the polarization is a higher order effect compared to the correlation coefficients and it is shown that the four sets of solutions give only two different angular distributions of the spin correlation coefficient Cn~.
Abstract:
1. Introduction L'analyse des r6sultats exp~rimentaux de la diffusion proton-proton n'a pas permis jusqu'ici de d6terminer avec pr6cision les d6phasages des ondes partielles m~me pour des 6nergies inf~rieures A 25 MeV. Dans ce domaine oh il est raisonnable de ne faire intervenir que des ondes S, P e t D, Clementel et Villi 1) ont montr6 qu'en utilisant uniquement la section efficace on obtient quatre ensembles de valeurs pour les d~phasages P pour chaque choix de d6phasages S e t D, et l'analyse des r6sultats exp6rimentaux a fait ressortir une tr~s large ind6termination de ces derniers d6phasages 9). L'ambigaxit6 peut ~tre lev6e pour l'onde P par des mesures des coefficients de corr61ation de spin qui ne m~langent pas les d6phasages des ondes paires et des ondes impaires, puisque le spin de la voie est un bon nombre quantique. Mais les coefficients de corr*lation de spin sont plus difficfles ~ mesurer que des sections efficaces de diffusion 61astique de protons polaris6s par une cible de protons polarisds. La possibilit~ de produire des cibles partieUement polaris~es permet d'envisager ces experiences et d'obtenir des param~tres 6quivalents aux coefficients de corr61ation de spin. La m6thode envisag6e ~ Saclay pour polariser une cible de protons rend l'utilisation exp6rimentale assez d61icate. La source est plac6e dans l'entrefer d'un ~lectroaimant et sa polarisation, qui est normale aux p61es, peut ~tre renvers6e par une faible variation du champ. I1 est donc difficile &observer en dehors du plan normal A la polarisation de la cible et la pr6sence du champ magn6tique introduit des corrections pour comparer les sections efficaces droite e t ~ gauche; il est plus simple de comparer les sections efficaces ~ un angle donn6 pour des valeurs oppos6es de la polarisation de la cible. 220
DIFFUSION
DE
PROTONS
POLARISI~S
~21
On peut envisager quatre s4ries de mesures: 1) La polarisation du faisceau est transversale et ceUe de la cible lui est parall~le; on observe dans le plan perpendiculaire. On obtient ainsi un coefficient A~(0) qui n'est autre que le coefficient de corr41ation de spin C,,~(O) de Wolfenstein 3) (fig. la). 2) Avec la m~me disposition du faisceau et de la cible on observe dans le plan parall~le aux polarisations: on obtient le coefficient A = (0) (fig. lb). 3) La polarisation du faisceau incident est longitudinale, sa direction est perpendiculaire A la polarisation de la cible et on observe dans le plan parall~le aux polarisations: on obtient le coefficient A=(O) (fig. lc). On peut permuter les directions de polarisation de la cible et du faisceau incident. 4) Les polarisations sont parall~les A la direction de propagation du faisceau et on observe dans un plan arbitraire: on obtient A,,(O) (fig. ld). L'ensemble des coefficients A = , A,,, A,® est 4quivalent A celui du coefficient de corr41ation de spin Ck~ (introduit par Wolfenstein) et de Ck~ et C~ qui peuvent ~tre d4finis avec les m~mes notations. E n fait la seule diff4rence provient du syst~me de r4f4rence; la corr41ation de spin est exprim4e dans le syst~me du laboratoire alors qu'il y a r4ciprocit4 exacte entre les deux genres de mesures exprim4es dans le syst&me du centre de masse.
>
7 y, r
-
.
Fig. 1. Disposition des polarisations correspondant aux coefficients A~, A,,, A,, et A
u.
222
3. R~,YN.~L
I1 est donc int6ressant de calculer la section efficace diff6rentieUe de diffusion 6iastique d'un faiscean sur une cible, tous deux polaris6s de fagon quelconque et d'exprimer le r6sultat avec les param~tres A li6s aux coefficients de corr61ation de spin. I1 est 6galement int6ressant de calculer explicitement ces coefficients en fonction des d6phasages S, P e t D, et d'6tudier leurs valeurs pour chaque ensemble de d6phasages tir6s de l'6tude de la section efficace. A cette approximation toutes ces quantit6s peuvent s'exprimer sous une forme analogue ~t celle donn6e par Clementel et Villi pour la section efficace. Remarquons que parmi les quatre s6ries de mesures propos6es plus haut, les trois premieres ne n6cessitent pas l'emploi de champ magn6tique pour falre tourner la polarisation du faiscean incident. Mals la quatri6me s6rie est absolument n6cessaire si on veut obtenir la section efficace de diffusion 61astique dans l'6tat singulet A un angle quelconque; la difficult6 est du m~me ordre en employant les coefficients de corr61ation de spin puisqu'il faut connaitre la corr61ation de la polarisation longitudinale du proton sortant avec la polarisation transversale du proton de recul.
2. Amplitudes de Diffusion Pour 6crire les amplitudes de diffusion nous devons tenir compte de l'invariance par r6flexion d'espace et par renversement du temps. La statistique impose une partie d'espace paire pour la fonction d'onde dans l'6tat singulet et impaire pour l'6tat triplet; puisque la parit6 est un bon nombre quantique, le spin de la voie, S, l'est aussi. Nous pouvons donc 6tudier s6par~ment les diffusions singulet et triplet. La diffusion singulet est d6crite par une seule amphtude qui s'6crit directement i (2/+l)e~,~,(l_e~,a~)p~(cos 0),
a(0) =
(1)
pair
avec 1.(0) =
~'
2k sin ½0
e_~. ), ~ sm.StO.l.2fO.o
(2)
oh %, ,~ sont les d6phasages coulombiens, ~t le d6phasage nucl6aJre de l'ond.e partieUe correspondante. La diffusion triplet est d~crite par /(0) qui est une matrice 3×3. Pour exprimer ces amplitudes il est plus simple d'utiliser le formalisme de l'h6licit6 4). Nous prenons (voir fig. 2) pour axe de quantification dans l'6tat initial la direction Ozt du falsceau incident et dans l'6tat final la direction Ozt de l'un des protons sortants; l'axe Oy est commun et tel que le tri~dre Ozt, Ozt, Oy soit direct (direction du produit vectoriel k t ^ k r des impulsions du proton incident et du proton sortant choisi). Avec ces notations, il n'y a que quatre amplitudes diff6rentes alors que le formalisme habituel conduit ~. consid6rer
DIIrFUSlON DE PROTON'S POLARISI~S
22~
cinq amplitudes li6es par une relation. L'expression g6n6rale de l'amplitude
Y Fig. 2, Rgf~rentiels utilis~s dans le formalisme de l'h~licit~.
correspondant A l'~tat initial d'Mlicit~ #t et A l'6tat final d'Mlicit~/~r s'6crit
/~, ~,(0) = {/~ (0)-/, (~-0)},~,,, (0)
,
+ ~ X (2J+l) j pair
{(23"-1) (0~-~/~t - #:)(0~-1~ t #t - #:)~j t
--~v/(2J-1)(2J+3) I (0J-1 1#' - J r ) ( 0 J + l 1/~t - J r ) + ( o J + l 1/~f - J r ) (0J-1 1/~t -Jr )]CJ
\0
+ ~,
~
/~t--/~t
(2J+l)~
Jimpair
\0
(3)
t'1--#v
(, 1 - #~), (o, #,1 --#,,) ~o~_,~_,,,;,,,,o , 0
/~t
Les r~, sont les ~l~ments de matrice de rotation r~duits, c'est-~-dire relatifs aux angles d'Euler 0, O, 0t. L'invariance par r~flexion et par renversement du temps correspond aux relations entre les diff~rents ~l~ments de matrice r~,, qui entrainent hi = L1-1,
11o = 1o-1 = - t o l - - - / - l o ,
h-1 = Lll.
(4)
La condition d'unitarit6 de la matrice de diffusion se traduit par des conditions sur les C introduits dans la formule (3). Si le moment total J e s t impair, il n'y a qu'un seul d~phasage CoI = exp (2%j)(1--exp (2i6jj)) (5) oh 6jj doit ~tre r6el. Si le moment total J est pair il y a trois param~tres C_J = exp (2icrj_l) (1--S_J), C+J = exp (2ioj+1) (1--S+J), (6) CJ = --exp (%I+1+iej-1)Sj, t Nous suivons les notations de A. Messiah s).
224
]° RAYNAL
avec les conditions [sjl~+lS~l
'- - - I S j l ~ + l S : l
~=
S]_.*S]-I-S+]S.r*
1,
= o.
(7)
I1 y a diverses fa~ons d'introduire trois param~tres r~els pour exprimer les S s). L'une d'entre elles est S j = cos * ~ exp (2i~1~) q- sin *e] exp (2i6~*), S+~ = sin ~el exp ( 2i~] ~) + cos *~] exp ( 2 i ~ ) ,
(8)
S ~ = sine] cose] {exp (2i6~ ~) --exp (2i~7~)}. Pour la diffusion singulet la condition d'unitarit~ est analogue ~ l'~quation (5): ~ doit ~tre r~el. La condition d'unitafit~ peut s'exprimer globalement sur les amplitudes. Pour cela, fl faut les g~n~raliser en introduisant une rotation quelconque autour des axes Oz~ et Oz~. On remplace les ~l~ments de matfice r~duits r~]~ par les ~l~ments de matrice R ] (k~ --> kt) de la rotation qui fait passer du rep~re initial ayant Oz~ comme axe de quantification au rep~re final autour de Oz~) La condition d'unitarit~ s'~cfit alors k {](k~k,)--p(kt~k,)}=
p(kt~k')l(k~k')dk'.
(9)
Sans s~parer la partie coulombienne on peut poser
(10) ]
En effectuant l'int~gration sur k' on obtient t 4~i
4~
k t Pt~l-- ~ l J
2J~-I
En utilisant les relations entre les coefficients 3j et en s~parant la diffusion coulombienne on retrouve les conditions (5), (6) et (7). Nous pouvons expliciter les coefficients 3j qui interviennent dans la formule (3) et exprimer les r~t,, £ l'aide des polynomes de Legendre et de leurs d~riv~es. t R e m a r q u o n s clue nous p o u v o n s effectuer l'int6gration de la formule (9) en n ' u t i l i s a n t q u e les 414ment~ de matrice de r o t a t i o n r4duits, c'est-~-dire avec les a m p l i t u d e s telles que nous les avons p r i m i t i v e m e n t 6crites: h {f~f~l(0) -- (--) ~+#11~t ~l(0)} = f Z e ~ l ~ ' - i ~ f ~ (e', 8')f~,~l(0)/~,~t(0"(0', ~')) sin 0' de' d ¥ , , j Bs
(9')
8.vec
cos 0" = cos 0 cos 0 ' + s i n 0 sin 0' cos ¥ , sin 0 " cos ~ = - - s i n 0 cos 6 ' + c o s O cos O' cos ~'.
sin 0" sin p = sin 0' cos ¥ .
DIFFUSION DE
~5
PROTONS POLARISI~S
En fait nous obtenons des expressions plus simples en considdrant
b= /ll + /1-1= (/c(O)--/c(~--O)}+ ik j~mpair ~ (2J+ l" Co} /J(-~i-)--C°S0p,]+ pj} j(j+l)'
•
c = I,i-/~-1 = {te(0)-tc(~-0)}cos0+*-
X
k Jimpair
i
(2j+l)C d
. f --cos 0 1)
+ -k :p~"{(J+l)C-:+JCj-2v/J(J+l)C J} I J ~ d-=/lo~/2 =
P': J(J+l)
}
P'J+P] '
N. {c_:-C+:+ ~ ¢ /c:~ } P j {/e(O)--/e(:~--O)}sin 0 + ik jp~
i e = / o o = { / o ( 0 ) - / c ( ~ - 0 ) } cos 0 + ~ E
Jpair
(12)
,
sin O, .
{JC:+ (J+I)C]++2v/J(J+I)}P:.
Cette simplification est uniquement due A l'invariance par rdflexion: en effet si on prend pour dtats de base de l'dtat triplet les composantes suivant les axes x, y, z des rep~res respectifs de l'dtat initial et de l'dtat final, nous avons
I(O)
c 0 0 b d 0
=
--d ~.
(13)
En fait, dans l'dtat final nous avons pris la direction de propagation de r u n des deux protons comme axe de quantification. Comme ce choix est arbitraire il doit exister certaines relations entre les amplitudes pour les angles 0 et ~--0. Pour dchanger le r61e des deux protons il faut faire une rotation de ~ autour de l'axe Ox pour l'dtat final et une rotation de ~ autour de l'axe Oz pour l'dtat initial. Ces opdrations entralnent b(O) = --b(~--O),
c(O) = c(~--O),
d(O) = --d(~--O),
e(0) = e(~--0).
(14.a)
Ces relations sont dvidentes sur les formules (12). Pour l'dtat singulet on a simplement
a(O)
=
a(~--O).
(14.5)
L'ensemble des diffusions singulet et triplet est ddcrit par la matrice de diffusion M(e). Nous pouvons l'dcrire en ,,reprdsentation hdlicitd" pour les
226
j . RAYNAL
particules c'oupl~es (les vecteurs de base sont les ~tats S = 0 et S = 1, M = 1, 0, --1 sur la direction de propagation): 0
0
O
½(b+c) ½v'Sd ½(b-c) m(o) =
--~V~d
e
½V-~d
(15)
ou bien en representation h~licit~ pour les particules d~coupl~es (avec les 1 ~ 1 1 1~. 2, 1 1~. --~, 1 oh le premier nombre d6signe vecteurs de base ~1 ~, ~., l'h61icit6 du proton dont on a pris la direction de propagation comme axe de quantification et le deuxi6me la projection du spin de l'autre proton sur le mgme axe):
M(O) =
½(b+~) -~
½a ½(~+~}
~ ½(b-~) I ½(~-~} ~ ]"
(16)
½d
3. Section Efficace et Coefficients de Correlation de Spin Connaissant les matrices densit~s Pt et Pc du faJsceau incident et de la cible, nous voulons calculer la section efficace diffdrentielle de diffusion ~lastique l'angle 0, 9- Pour raison de simplicitY, nous avons calcul~ les amplitudes de diffusion pour l'angle ~o = 0 seulement; il faut donc exprimer Pi et Pc dans le syst6me d'axes tourn6 de l'angle 9 autour de la direction de propagation du proton incident, puis calculer
M(O)[p,(9 ) ® po(9)]M¢(O). (17) La trace de cette matrice est la section efficace diff~rentielle da(O, 9)/dO et ses 616ments dgcrivent la polarisation des deux protons sortants et leur corr6lation de spin. En paxticulier, l'6tude de la section efficace seule avec 6tat initial polaris6 ne fait intervenir que les glgments de la matrice M¢ (0) M(O) et l'6tude de la polarisation et de la corrglation de spin avec un gtat initial non polaris6 ne dgpend que de ceux de M(O) Mr(O). Les deux matrices sont tr~s voisines puisqu'on passe de l'une A l'autre par transposition et renversement du sens du temps (d(O) change de signe et les autres glgments sont invariants). Ainsi avec la base (S ---- 0; S = 1, x, y, z) d~j~ employ6e en (13) elles s'~crivent
/lal~
0
0
0
Ilal~ 0
0 0 0 cd*--e*d IbJ~
--d*c+de*
0 Ic 2+1dl2
0
L.O dc*--ed ~ 0 IclZ+ld[ 2
(18)
DIFFUSION DE
PROTONS
227
POLARIS~S
Consid~rons un faisceau incident d6crit par un vecteur polarisation de projection ib0 sur la direction de propagation et dont la partie transversale, de longueur p, fait un angle ~ avec la normale all plan de diffusion. Supposons que la cible est d6crite de la m~me mani~re par les composantes P'o, P' et l'angle q0' (fig. 3). Nous pouvons 6crire la rnatrice densit6 de l'6tat initial dans la
/
/ Po
\,
"~
//
F i g . 3. C o o r d o n n 6 e s u t i l i s ~ e s p o u r d ~ e r i r e d e s p o l a r i s a t i o n s q u e l c o n q u e s .
representation employ6e pour On obtient d
(O,
~2-
_
\~/n.p.
Mr(O) M(O) et calculer la trace de pM*M.
{ l + P ( p cos ~o+~' cos 9')+A,~(~op' sin
9'+~'oP sin 90)
_!. , )+~(A,,+A=)cos(~0--~0 X , )]pp, +A,,po p , o), (19) +[~(A,,--A=)cos(~o+90 avec
---~--/n.p. = ¼{lal2+ IblZ+ Icl'+21dl~+ lel~)'
(d (oq
4A,, \ 4 0 /n.p.
(do(O/
4A,v \--~--1,.~. = Icl2+[ela+21dILlala-lblL
(do(O) 4A= \--~--/~.p. /
4A,~\ dO In.p.
=
IblZ+lel2--lcl~--IalL
=
a*(e-c)+a(e*-c*),
(20)
4P C-~/,.,.(d~(0)~= i{dCc*+ e * ) - - d * (c +e)}. Dans la formule (19) (da(0)/d~)n.p. est la section efficace diff6rentieUe pour un 6tat initial non polaris~ et P est la polarisation telle qu'elle est obtenue en n'observant qu'un seul des protons sortants. R6ciproquement nous pouvons
228
j . RAY'NAL
~crire M (01 M* (0) ~ l'aide de ces param~tres et exprimer cette matrice comme une combinaison lin6aire des produits ~ ® a~~ construites ~ l'aide des spins a ~ du proton sortant dont la direction est prise pour axe de quantification e t a S du proton de recul. On obtient ainsi
M(O)Mt(O) = \ ~
]n.~. {l + P(a'~® l + l®a'~)+ A"(a'X®a'z+a'~®a'2) + A~a,x®a,2 + A~a=a®a~2+A ,,a,~®a,z}. (21)
Pour retrouver les coefficients de corr61ation de spin habituels il faut pro] eter sur les directions des particules darts le syst~me du laboratoire. Si les impulsions initiale et finale dans le syst&me du centre de masse sont k t et kf, les nouveaux axes sont suivant P = k t + k t , K = k t - - k I e t n qui a la m~me direction que
F i g . 4. P a s s a g e d u s y s t ~ m e d u c e n t r e d e m a s s e a u s y s t ~ m e d u l a b o r a t o i r e .
Oy. La direction K est en fait oppos6e ~ celle du proton de recul dans le syst~me du laboratoire (fig. 4). On dolt donc substituer ~1 = _ cos ½0 a~l--sin ½0 %1, ffl : __ sin {0 ak1+ cos {0 a~1,
a~2 = --sin {0 ~ - - c o s ½0 ak~, a z 2 = cos ½0 %2--sin {0 a~~,
orvl :
O"~ =
O'n1 ,
an 2 .
On obtient ainsi C~ = C~k = ½sin0 (A,,--Am) + c o s 0 A,,, Ckk = sin s {0 A , , + c o s 9 ½0 A~,+sin 0 A=t, C~= = cos 2 {~ A,~+sin z {0 Am--sin 0 A ~ ,
(22) Cn, = A~.
Par des exp6riences de correlation de spin, on cherche A mesurer Cn~ et C~ qui correspondent ~ des corr61ations de polarisation transversales, mais alors que A~v = Cn~, les coefficients Am, A,, et A,, d~pendent simultan~ment de C~, C~ et C~: Am = --sin 0 C ~ + c o s ~ {0 C ~ + s i n 2 {0 C~, A,, = sin 0 C ~ + s i n 9 {0 Ck~+cos 9 {0 C~r, A,, = cos 0 C ~ + { s i n 0 (Ck~--C~).
(23)
DIFFUSION
DE
PROTONS
229
POLARISltS
Les relations (14) se traduisent sur les coefficients de la section efficace differentielle de l’equation (19) par des &lit& analogues: pgq.,
= (do$-e)),.,.a P(e) = --P(n4),
4.w Pour les coefficients c,,(e)
= --A,(74, de correlation
= cnnb--8h
c,,(e)
(24)
AZ*(e) = AA--8)J 4,(e) A,(e)
= 4v(7d-e), = ii,(
.
de spin on a = c,,(~-e)~
c,,(e)
= c,,b4.
(25)
Les relations (25) sont Cvidentes d’apres la signification de ces coefficients. En exprimant la matrice W(8) M(8) A l’aide des parametres A et P definis en (20) dans la base (S = 0; S = 1, M = 1, 0, -1) deja utilisee pour Cm-ire (15) on voit directement que la diffusion singulet est Cgale A
Ia12 = (g)),,
{l--Aa!a--A,,--A*3
(26)
quel que soit l’angle 8. 11 serait done tres interessant d’obtenir ces trois coefficients a tous les angles pour connaitre la distribution angulaire de la diffusion singulet . La mesure de A zBnecessite un faisceau incident A polarisation longitudinale et elle est done la plus delicate 3, effectuer. On peut aussi obtenir la diffusion singulet par des mesures de correlation de spin puisque
La difficult6 est du m&me ordre puisqu’il faut mesurer la correlation entre la polarisation transversale du proton sortant et la polarisation longitudinale du proton de recul a tous les angles. L’experience la plus facile a realiser pratiquement consiste a envoyer un faisceau perpendiculairement A la polarisation de la cible, les deux vecteurs de polarisation &ant paralleles. La section efficace differentielle est alors
oh Q,est l’angle de la normale au plan de diffusion avec la direction tions. On peut ensuite changer le signe de 9 et obtenir
des polarisa-
230
j . RAYNAL
et ddfinir 1;assymdtrie R (0, ~) par da(0, ~)] R(O,
(da(O, q~)'~
=
\
= P' P c o s g + [{(A,,--A=)cos 2 9 + ,~( , A , , + A ~ , ] ~p . l-k- PP cos
(30)
En particulier, en observant ~ l'angle ~ = O, on obtient R(o, o) =
t l+Pp
J p''
d'oh on peut tirer A ~ connaissant P. Comme on sait que P e s t faible ~ basse dnergie on a approximativement
R(O, O) ~ A•,pp' = C..pp'. Pour l'angle ~ = ~
(31)
on a
R(O, ~ ) = A=t,p'.
(32)
Ce coefficient a des propridtds analogues ~ celles de C.. et on est en droit d'en attendre autant de renseignements.
4. Approximation des Ondes S, P, D A faible dnergie on peut supposer que les ondes de moment angulaire le plus bas interviennent seules. Nous nous limiterons dans ce paragraphe aux cinq param~tres qui sont les ddphasages des ondes S e t D et les trois ddphasages d'onde P. Nous supposerons qu'il n'y a pas de couplage avec l'onde F pour un moment total J = 2 [ez = 0 dans les formules (11)]. Les ddphasages S e t D interviennent seulement dans l'amplitude de diffusion singulet qui s'dcrit
=/o(o)+h(,,-o)+
i {e=i~,o (1 _ eg.~ts)
(33)
-be "~', (1 -- e~'SD)}(3 COS2 B-- 1)}. Nous pouvons donc considdrer a comme une fonction donnde pour des valeurs fixdes de 6s et de 6D.
DIFFUSION
DE
PROTONS
231
POLARIS~S
Les d6phasages P, ~o, ~ et ~2 interviennent seuls dans les quatre autres amplitudes:
b =/c(O}--]c(~--O) +
-~
{3 cos O--{eZ'8' cos O--{eS'a' cos O}, ie2~O'~
c
E
,,c,O,--]c,zc--O,~ cosO+ k
3~e2t8~---~ ~e 2tJz'ty, ~SCos'O-- 13 ~ c o s ' 0 ---~/
ie,~, ~ d = {/c(0)--h(~--0)} sin 0 + ~ 3 sin 0 cos 0(1--e2'~), i e2 ~
e = {/c (0)--h(=--0)} cos 0 + ~
(34)
(3 cos' 0--e ~'a°- (3 cos' 0-- 1)e='a~}.
Suivant Clementel et Villi 1) nous pouvons exprimer la section efficace e[ les diff~rents param&tres introduits en (20) par des fonctions de e multipli~es par des coefficients qui ne d~pendent que des d6phasages. Nous posons donc A (0) = 3 cos'0 + ½(7 cos 0) / sin( 27 In sin {0 + 2 (az--a0)) sinS½0 t
sin(27 In cos {0+2(az--a0))/ cos'{0 J'
cos(27 In cos ½0+2 (al--ao))/ B(O) = --½(7 cos0) +{.c°s(271n - sin½0 2 (~1--~o)) sin'½0 -~ -j, . (35) ce qui diff~re des notations de Clementel et Villi par la pr6sence du terme . 3 cos 2 0 dans la d6finition de A (fl) au lieu de 1 et revient A avoir ajout6 deux fois le polynome de Legendre P,(cos 0). (On remplace ainsi le coefficient z8 darts les expressions ci-dessous par z3 - 2z1 qui a une expression plus simple.) Nous obtenons ainsi les trois expressions suivantes: (da(0)~ 4
=
¼1al'+¼1h(O)-to(,,-O)l'+
(da(0)]
1 4 t~)n.p.~.(A=+Av¢)
1
{ZlA (O)+z, BCO)+zsP,(c°s 0)},
Ih(0)--h(---0)l' + 1 {z,zA (O)+z, B(O)+z,3p,(co s 0)}, (36)
= - - l a P + I/o(O)-to(~-O)P 1
t~.
tt
~,t
+ -~ {z'l A (O)+z 2 B(O)+z 8 P~.(cos 0)}, oh les coefficients z ont pour d6finition zz = ½{9--cos 2~°--3 cos 2c5x--5 cos 2~2} = ~ ( 2 J + l ) s i n ~ ~f, ]
z, = ½{sin 2~°+3 sin 2~1+5 sin 2~'} = ~ ( 2 f + l ) s i n ¢5] cos 6J, (37) ] Z3 = ¼{9 COS 2((~2--(~11-Jl-4 COS 2((~Z--(~01---13} ~--- - - { X ( I + 2 / ' sin'((V--(l'), ]
232
J. RAYNAL
Z' 1 =
2 ( 3 + c o s 260--3 cos 26*--cos 263),
z'a = 2(--sin 260+3 sin 25lWsin 263),
(38)
z' a = 9 cos 2(62--61)--4 COS 2 ( 6 Z - - 6 0 ) - - 5 , z", = 2(3--cos 260--2 cos 263), z" 3 = 2(sin 260+2 sin 2~3), z"s = 4 cos
(39)
2((~3--~°)--4.
Ces coefficients ne sont pas ind@endants: la relation (26) qui donne la diffusion singulet entraine 6videmment que 421 = z'l+2Z" 1,
4z9. ~---Z'2+2z"3,
4Za = Z'a+2Z" a.
(40)
Connaissant la section efficace ~ plusieurs angles, on peut se donner les ddphasages 6s et 6i) et ddterminer de mani6re univoque les coefficients Zx, z3, zs qui donnent la valeur de la section efficace la plus voisine de la courbe expdrimentale. Les valeurs des d6phasages 6s et 6i) sont tr6s mal d~termin~es et pour chacune d'elles la r~solution en 60, 6', 63 admet toujours 4 solutions (voir appendice 1) qui se correspondent deux k deux par la transformation suivante: 60--62 -+ 62--60 s
(~1--63 ~
(
63--61,
2z,
(41)
(53-~ --52+2 arctg. \9---~-2z,1" Nous pouvons constater que les coefficients Zs, z'a et z" s sont invariants dans cette transformation. E n particulier pour 0 = ~ pour lequel A (0) = B(O) = 0, les valeurs de A** ou de (A=+A,,,) ne permettent pas de distinguer entre deux de ces solutions. A la m~me approximation une autre expression tr~s int~ressan~e est celle de A=--AI.,:
4
sin ° =,.½(A=--A,,) = - V - x -{cos
(42)
Elle prend la m~me valeur pour les deux solutions ddduites l'une de l'autre par (41). De plus elle indique une m~thode directe pour obtenir la diffdrence 6z--~ 1 de deux des d~phasages P. Enfin les deux derniers param~tres A z~ et P s'expriment aussi ~ l'aide de A (0) et B(O), mais c'est le polynome de Legendre associ~ Pz 1 (cos e) = 3 sin 0
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
233
cos 0 qui intervient ici: 4
(d.(0)]
X
~]n.p.
1
A z~ = ~ tgOA (0) {3 cos 20 x--cos 2 0 2 - 2 cos 20°} + ~ tgOB (0) {2 sin 200
3 -- 3 sin 20x+ sin 202} + ~ sin 0 cos 0 {2 cos 2 (02- 00) -- 3 cos 2 (02- 0x) + 1}, (43)
4 \~]n.p.P
= ~tgOA (0){5 sin 202--3sin20'--2sin20O}+ ~tgOB(O){5cos 202
3 -- 3 cos 20 x-- 2 cos 20 °} + ~ sin 0 cos 0{2 sin 2 (0o--02 ) + 3 sin 2 (0x--02)}. Pour A,~ les deux premiers coefficients sont . , , 1-z -i2t ~
' I I~,
-~t ~Z
" 2 - - Z ' 21, ~
(44)
et le troisi~me a les m~mes propri~t~s que les z3. R e m a r q u o n s que toutes ces expressions se simplifient ~ l'angle 0 = ~ puisque
tgOA (0) = tgOB(O) =/c(O)--]c(~--O) = O.
(45)
On obtient donc dQ /n.p.
= 4
~-~ (9c°s2(02--~1)÷4cos2(02--0°) - 1 3 )
,
4 \--~-/n.p.Azz = --[a[ 2 - ~-~ (9 cos 2(02--01)-4 cos 2(02--0 ° ) - 5 ) , 4 ~
d.O ],.p.A,, = --lal 2 - ~
4 \~]~p.A= A , ~ = 0,
=
P=
-la12+ ~
(9cos2(02--01)÷4cos2(02--0o)--13),
(46)
(9 cos 2(02-01)-4 cos 2(02-0 o) - 5 )
0.
L a mesure de A ~ A l'angle 0 = {~ permet de s~parer les diffusions des &ats singulet et triplet mais pour cet angle seulement. Ceci a 6t~ signal~ comme m6thode pour d6terminer avec plus de pr&ision le d~phasage S. Des calculs sont en cours pour 6tudier la d6pendance des valeurs prises par A ~ et Am a 0 = {~ en fonction des d~phasages S e t D. 5. C a l c u l s e t D i s c u s s i o n s
Le calcul de toutes les quantit6s envisag&s a ~t6 fait pour plusieurs ensembles de d6phasages donn6s par Mac Gregor 9). E n fait, on a calcul~ zl, z 2, z s ~ partir de la solution 1 de cet article, pour retrouver les autres solutions suivant la m~thode d o n n & A l'appendice 1.
234
.I. ~YNAL
Pour retrouver approximativement la d~pendance du genre de solution, nous pouvons r6soudre de fa~on approch6e les ~quations qui donnent les d~phasages P e t remplacer partout les fonctions trigonom~triques par leur d6veloppement. On obtient ~ l'ordre le plus bas
oh c, x, y sont des constantes d6finies par C =
Z2,
X =
.gr-~Jt~8(Z22--9Zl--Sz3),
y
=
(48)
"~-'~¢/l(gz1--Z22"]-3Z.3),
La solution 1 correspond aux valeurs positives de x et de y, la solution 2 aux valeurs n6gatives de x et positives de y; la solution 3 aux valeurs positives de x et n~gatives de y; et la solution 4 aux valeurs n~gatives de x et y. La section efficace est (da(0)~
=
¼1al*+}lto(O)-h( -O)l*+ -~1 A (0) ×{{cZ+12x,+20y 1
+ -~ S(O)c--
(49)
4P~(cos O)
k~
,}
{x*+y*).
EUe est ind~pendante de la solution envisag~e. Dans le calcul des coefficients A**, Aye, A~, A,~ et P nous pouvons s6parer une pattie invariante et des parties qui changent de signe d'tme solution ~. l'autre. Pour mieux mettre en 6vidence les diff6rences entre les solutions, nous remplacerons A(0) et B(O) par des expressions approch6es. En effet pour une 6nergie du proton incident variant de 10 A 40 MeV le param~tre coulombien ~ d6croit de 0.05 A 0.025 ce qui permet de remplacer/e(0) par le premier terme de son d6veloppement en puissances de ~ dans un assez large domaine de 0. En effet, pour que
[2~Lnsin~+2(ax--ao) [ ~ 2 r ] L n s i n { 0 + l [ < 0.1, il faut que 0 > 2/ez radians soit 16 ° A 10 MeV, 0 > 2/es radians soit 6 ° A 40 MeV. Les formules obtenues couvriront donc tout le domaine pratiquement observable. Dans ces conditions, on a d~
k~
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S d(~
k2A~y (~Q)n.p.
[
lk2[g[2--[1 k2 I/o( 0 )-h(zc-O)12÷A(O)rr l(c2-~-18x2~-34y2) , ,
c
k~A~
235
37
(do) __{ -4 [a["+¼k~[h(O)--/e(z~--O)[~+A(O)~--f(c~+18xi+34Y") ~Q n.p.
d a ) n.p. = {A (0) t g 0 { (3x 2 + 7y2)--sin 0 cosO(x"+y~)} k2A~ ~2
37 +{~sinOcosO(C--si~-40)}y
(50)
+{4cosOsinO}xy,
P-~O. Dans les trois premieres expressions, nous pouvons remarquer que les solutions (1), (2) different des solutions (3), (4) seulement par un terme de la forme 37
]cos2 0 (C-- si-~O) ,
(51)
qui s'annule pour 0 = ½z~ mais qui peut ~tre tr~s important dans la zone d'interf~rence a v e c l a diffusion coulombienne. Les calculs de la fig. 5 correspondent ~ une valeur de c tr~s faible, ce qui semble ~tre le cas ~ 20 MeV, car tous les syst~mes de d~phasages donn~s par Mac Gregor k 19.8 MeV correspondent k une valeur de c n~gligeable. Ce param~tre a une interpretation physique tr~s importante: il d~termine la possibilit~ de connattre le signe des d~phasages P par mesure de la section efficace dans la r~gion d'interf~rence avec la diffusion coulombienne puisque lorsqu'il est nul on passe des solutions (1) et (2) aux solutions (3) et (4) en changeant t o u s l e s signes. La fig. 6 repr~sente un cas fictif c'est-~-dire un calcul avec des d~phasages de d~part arbitraires, mais pour lesquels le coefficient c e s t tr~s grand pour mettre son influence en ~vidence. Les solutions (1), (4) different des solutions (2), (3) par un terme en sin 2 0 et ce terme est absent de l'expression de A~. Donc ~ l'approximation envisag~e il n'y a que deux valeurs diff~rentes de A~v et une mesure k un angle de l'ordre de 30 ° permet de rejeter les solutions (1), (2) ou les solutions (3), (4); ensuite une mesure de A ~ ~ 90 ° permet de d~terminer quelle solution parmi les quatre est la meiUeure, sauf accident tel que des valeurs trop faibles de c, x ou y. La mesure de A ~ ~ ½~ a un grand int~r~t car elle permet de d~terrniner les d~phasages singulets.
tOm~
f#O~
Azz
'
30" O)
L~.
dO" d~3) n.p.
60°
I
50L l e t 4 50L Z et ~
90"
0.05
O.OS
O.f
-0,015
- 0.01
- O00~
+O,OOJ;
14 )
(2)
¢b
4S*
(5)
I
60"
Cnn l
90"
0
Axx
(6)
50L Zet 3 50l. f et $
~1 ___ ~i ___
--10.54, 0.46,
_
3:¢J0 = 4 : (~o =
5.23,
0.18,
--0.20,
~
=
¢Js =
~2 =
6~ =
- - 0 . 1 6 , x ---- 7.5, y = 4 . 5 .
~x _
(~1 = - - 5 . 2 5 ,
0.44, 10.51,
1:6 o = 2: ~o =
ce qui correspond ~ c =
solution solution solution solution
--3.05;
1.93;
--1.95;
3.03;
Fig. 5. D i s t r i b u t i o n s a n g u l a i r e s p o u r les q u a t r e s o l u t i o n s d o n n a n t l a s e c t i o n e f f i c a c e d i f f d r e n t i e l l e o b s e r v d e ~ 19.8 M e V p o u r S (50 °) e t D (0 ° • 40). L e s d d p h a s a g e s P s o n t :
30"
ATy I
90"
t~
0
0
0
Z
2
f
fOOJ
30"
Azz 65°
45"
(7)
d.£Z) n.~.
dO"
r~"
60"
.~OL2 et 3
~*
90"
I
-OJ
81
g~
0.05
O,O4
O.83
0.0~
OAI
0
OAf
UZ
O.83
O0#
P
(1o)
(8)
r~
QD
t~
I
I
(11)
I~5_OL )50L
4r (50L 2 6o" }50L I
Cnn
= = = =
10.50, 23.08, --19.97, _ 7.39,
= = = =
_ _
(12)
i I
50L Z et 3
9.00, 2.87, 5.97, 12.11,
13.50.
~2 ~= ~= ~=
= = = =
6.00; 0.28; 2.82; --2.89;
s e c t i o n e f f i c a c e d i f f 6 r e n t i e l l e ~ 1 9 . 8 M e V p o u r S (50 °)
9, y =
la m ~ m e ~z ~z ~z 6z
Axx
$UL~
13.50, x =
donnant
I
90"
ce qui correspond ~ c =
s o l u t i o n 1: ~o s o l u t i o n 2: ~o solution 3:~0 s o l u t i o n 4: ~o
F i g . 6. D i s t r i b u t i o n s a n g u l a i r e s p o u r les q u a t r e s o l u t i o n s e t D (0 c • 4 0 ) . L e s d 6 p h a s a g e s s o n t :
Ayy I
¢O ¢D
0
0 J-i 0
O
u
~40
j. R~YNAL
Si nous formons l'expression de C~ nous trouvons seulement le tenue ayant xy en facteur, ce qui entralne que les valeurs de C~ calcul6es pour les solutions (1) et (4) sont identiques entre elles, ainsi flue celles des solutions (2) et (3). Pour A,~, l'expression est analogue aux pr~c~dentes avec la seule difference du remplacement de cos ~ 0 ou sin z 0 par sin 0 cos e. La diff6rence entre les solutions (1), (2) et les solutions (3), (4) est donc plus importante pour les angles voisins de 90 °. A cette approximation la polarisation est nulle. Nous pouvons calculer les termes suivants: (da(0)~
= {{sin0 cos 0(3y~'-~-x'2) (c-+ {2,' (In sin ½0+ 1
sin'½0
3y
In cos ½0+ I 1
c-~s~l~0 /sinO+~),ccotgO
(59.)
/
+~-~ sin 0 ~os 0 (37y2+ 27x ~ - 2c2) } x
+{l_#s sinOcosOiyg, x2)}y - {2OsinOcosO(c_
3~ )} si~F 0 xy.
La polarisation est donc tr&s sensible aux d6phasages puisque les expressions en facteur de x, y o u xy d~pendent elles m~mes des d~phasages P. La d6pendance de la solution est compliqu6e ici par la presence d'un terme ayant x en facteur. Cependant, m~me en supposant V tr~s petit le terme
sinOcosO(15y~+3x~--lOxy)
(c--
3~, ) sin ~ 0
(53)
indique une polarisation plus importante aux petits angles et ayant pour origine l'interf6rence avec la diffusion Coulombienne. Les figs. 5 et 6 donnent les r6sultats des calculs effectu6s avec les expressions compl&tes. Le cas 5 correspond A des d~phasages qui ont dt6 calcul6s par Mac Gregor A 19.8 MeV; le cas 6 est fictif. Je tiens A remercier Monsieur Thirion, dont les exp6riences sont A l'origine de ce travail et Messieurs Bloch et Messiah qui m'ont aid6 de leurs conseils.
Appendice 1. D~TERMINATION DES D~PHASAGES P La section efficace d~pend des d~phasages P par rinterm~diaire des param~tres
2zl--2iz ~ = 9_e2~8°_3e2~l_5e~82 ' 423 = 9 cos 2 ( ~ - - 0 1 ) + 4 cos 2(0z-~0)--13.
(A.1)
DIFFUSION DE PROTONS POLARISES
241
Si nous posons (~i2--5 ° =
a,
~2--c51 ----- fl,
(A.2)
ces relations deviennent Ae~ , =
9--2zl--2iz
~
=
(5+e2~+3e2~P)e
-~-i8~,
42a = 9 cos 2 f l + 4 cos 2~--13,
(A.3)
avec
As
= 35+]-10 cos 2o¢+30 cos 2 f l + 6 cos 2(0¢--fl).
Si ~. = c¢o, fl ~ fl0 est la solution du syst~me (A.3), c¢ = --c¢0, fl ---- --rio est aussi une solution: la relation entre les deux d~phasages ~2 correspondants est 2zu 2(52+5 v) = 27 = 2 arctg 9--2z------~"
(A.4)
Pour rdsoudre le syst~me (A.3) nous posons X = tg:¢,
Y = tgfl,
et nous obtenons 2 z a ( l + X 2) ( l + Y 2 ) + 4 X 2 + 9 Y 2 + 1 3 X 2 y 2 = O, ~ ( S I - - A 2) ( I + X 2) ( I + Y 2) - - 4 X 2 - - 9 Y 2 - I O X ~ Y ~ + 3 X Y = O.
(A.5)
L'~limination de X entre les deux 6quations (A.5) donne une dquation du quatri~me degrd en y2, mais on doit dliminer la racine y2 __ _ 1. I1 reste alors y s (4Zo_ 2za - 9)3+ y4 (48Zo2+ 8za2_ 32z0za + 44za_ 72Zo+ 36) +y2(48Zo2+4za2--16ZoZa+Sza)+16Zo 2 = 0,
(A.6)
avec Zo = ~ ( 8 1 _ A 2 ) + ~ z 3
= ~az l - - , ( 1z l
2+ z ~ 2)+-~z3. 2
De m~me en dliminant Y on obtient l'dquation X6(9z°--2z3--4)~+X'(243 z°2+8za2--72z°za--72z°+34za+36)
(A.7)
+ X2(243zo2+4zaU--36ZoZa+ 18Za) +81zo 2 ---- 0. Les deux ~quations ont toujours une racine n~gative. Les deux autres racines, ont le m~me signe si elles sont rdelles puisque les coefficients du terme du sixi~me degrd et le terme constant sont des carrds. Par consdquent s'il y a une solution du syst&me il en existe quatre dgalement valables. E n ~crivant que ces deux racines existent et qu'elles sont positives on obtient dans le plan de z0, z ale domaine " p h y s i q u e " des points auxquels correspondent des solutions. Si z 0 > 0, les solutions (1), (2), (3), (4) 3) correspondent aux racines en Y de l'~quation (A.6) de valeur algdbrique d~croissante. Si zo < 0, l'ordre des
242
j.
RAYNAL
solutions (2) et (3) est inversC Le syst~me (A.4) d~termine la valeur de X correspondante et les ~quations (A.2) et (A.3) d o n n e n t les d6phasages. Si nous supposons une solution connue et d o n n & par les valeurs x et y de X et Y nous pouvons exprimer zo et z3 dans (A.6) et (A.7) A l'aide de x et y. On obtient alors
X4(4+ 9xy--5Y2) + (36+ 20x~--81y2 + 72xy (A.8) + 121x2y~+45y4--252xya--61x2y4)X2--81y2(l+xy) 2 = O, on
Y4(9+ 4xy + 5x~)2+ yz(36--16x2 + 72xy-(A.9) 4 5yg -- 20x4 + 8xa y -- 74x2 y~ -- 61x4 y2 ) --16x~ ( l + xy ) 2 = O. Les solutions qui ne se drduisent pas de la solution connue par la transformation (A.4) correspond aux racines des 6quations (A.8) et (A.9). 2. R E L A T I O N E N T R E LES ~ M P L I T U D E S EMPLOYg'-ES E T CELLES QUI SONT LES PLUS USITt~ES
1) Formalisme A un seul axe de quantification 6): MI1
b +½(ccosO)+½(dsinO), = -~
Mxo =
1
(d cos 0--e sin 0),
MI_ ~ = ½b--½(c cos O)--{(d sin 0), M°l
b = M x l + M l _ x, c = (Mn--Ml_l)COS 0+ Mo1~/2 sin O, d = Mlo~/2 cos O+Moo sin 0
1
= ( M n - - M I _ x ) sin O--MoIV'2 cos 0,
= ~/2 (c sin O--d cos 0),
Moo = d sin O+e cos O,
e = --MxoX/2 sin O+Moo cos O, MS=a.
Les formules de passage ci-dessus sont celles qui sont obtenues en e m p l o y a n t les matrices de rotation. 2) Formalisme des invariants 5): a(O) = ¼(b+ (c+e) cos 0 + 2 d sin O+a), c(O) = ~-(2d cos O--(c+e)sin 0), re(O) = ¼(--b+ (c+e)cos O+2d sin O--a),
g(0) = ¼ ( b - , ) , h(0) = ¼ ( c - , ) ,
a =
a(O)-2gCO))-m(o),
b = a(0) +2gC0)--m(0), c = 2h(O)+a(O)+m(O)cos 0 --2ic(0) sin 0, d = a(O) sin O+m(O) sin 0 --2ic(O) sin 0, e = --2h(O)+(a(O)+m(O)) cos 0 + 2ic(O) sin 0.
DIFFUSION
DE
PROTONS
243
POLARISL~S
3) A m p l i t u d e s d o n n d e s p a r l ' 6 c h a n g e d ' u n p i o n 6) :
g2 a --
4E
(A+B),
g2 b = - - 4---E ( A - - B ) ,
g2 c=
---(A+B), 4E
A=
I + cos 0 x o + cos 0 ' .
avec
B--
d=0,
1 - - cos 0 x o - - cos 0"
g2
e---- - - ~ (A + B ) ,
Bibliographie I) E. Clementel et C. Villi, Nuovo Cim. 2 (1955) 1165 2) M. H. Mac Gregor, Phys. Rev. 113 (1959) 1559; M. P. Noyes et M. H. Mac Gregor, Phys. Rev. I l l (1958) 223 3) L. Wolfenstein, Ann. Rev. Nuclear Sci. b (1956) 43 4) M. Jacob et G. C. Wick, Annals of Physics 7 (1959) 404 5) H. P. Stapp, University of California, Radiation Laboratory report UCRL-3098 (1955) 6) P. Cziffra, M. H. Mac Gregor, M. J. Moravcsik et H. P. Stapp, Phys. Rev. 114 (1959) 880 7) M. H. Mac Gregor, M. J. Moravcsik et H. P. Stapp, Ann. Rev. Nuclear Sci. I0 (1960) 291 8) A. Messiah, Mdcanique quantique (Dunod, Paris, 1960)