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Diffusion de protons polarisés par une cible de protons polarisés
I
I.B
[ l
I
Nuclear Physics 28 (1961) 2 2 0 ~ 2 4 3 ; ( ~ ) N o r t h - H o l l a n d Publishing Co., Amsterdam Not to be reproduced by photoprint or microfilm without writtea permission trom the publisher
DIFFUSION
DE P R O T O N S POLARIS]~S P A R U N E P R O T O N S POLARISI~S
CIBLE DE
j. I~AYNAL Centre d'l~'tudes Nucldaires de Saclay
Re~u le 15 m a i 1961 T h e p r o t o n - p r o t o n s c a t t e r i n g p r o b l e m , in t h e helicity f o r m a l i s m , is s t u d i e d for a polarized t a r g e t a n d a polarized i n c i d e n t b e a m . E x a c t e x p r e s s i o n s are g i v e n as well as their a p p r o x i m a t i o n s w h e n one considers o n l y S, P a n d D w a v e s for t h e four sets of p h a s e - s h i f t s f i t t i n g t h e cross section in t h e r a n g e of IO-40MeV. O n e finds t h a t t h e polarization is a h i g h e r o r d e r effect c o m p a r e d to t h e correlation coefficients a n d it is s h o w n t h a t t h e four sets of s o l u t i o n s give o n l y two different a n g u l a r d i s t r i b u t i o n s of t h e spin correlation coefficient Cn,.
Abstract:
1. Introduction L'analyse des r~sultats exp~rimentaux de la diffusion proton-proton n'a pas permis jusqu'ici de d~terminer avec precision les d6phasages des ondes partielles m~me pour des ~nergies inf~rieures ~ 25 MeV. Dans ce dom~ine oh il est raisonnable de ne faire intervenir que des ondes S, P et D, Clementel et Villi 1) ont montr~ qu'en ufilisant uniquement la section efficace on obtient quatre ensembles de valeurs pour les d~pha~ages P pour chaque choix de d~phasages S e t D, et l'analyse des r~sultats exp~rimentaux a fait ressortir une tr6s large ind6termination de ces derniers ddphasages *). L'ambiguit~ peut gtre levde pour l'onde P par des mesures des coefficients de corr6lation de spin qui ne m6langent pas les d6phasages des ondes paires et des ondes impaires, puisque le spin de la voie est un bon nombre quantique. Mais les coefficients de correlation de spin sont plus difficiles A mesurer que des sections efficaces de diffusion ~lastique de protons polaris6s pax une cible de protons polaris~s. La possibilit6 de produire des cibles partiellement polaxis~es permet d'envisager ces experiences et d'obtenir des param~tres 6quivalents aux coefficients de corr61ation de spin. La m~thode envisag6e ~t Saclay pour polaxiser une cible de protons rend l'utilisation exp6rimentale assez d61icate. La source est plac6e dans l'entrefer d'un 61ectroaimant et sa polarisation, qui est normale aux p61es, peut ~tre renvers6e par une faible variation du champ. I1 est done difficile d'observer en dehors du plan normal ~t la polaxisation de la cible et la pr6sence du champ magn6tique introduit des corrections pour compaxer les sections efficaces droite et A gauche; il est plus simple de comparer les sections efficaces ~t un angle donn6 pour des valeurs oppos~es de la polarisation de la cible. 220
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
8 9-1
On peut envisager quatre s6ries de mesures.: 1) La polarisation du faisceau est transversale et celle de la cible lui est parall~le; on observe dans le plan perpendiculaire. On obtient ainsi un coefficient Ave(O) qui n'est autre que le coefficient de correlation de spin Cn,,(O) de Wolfenstein s) (fig. la). 2) Avec la mdme disposition du faisceau et de la cible on observe dans le plan parall~le aux polarisations: on obtient le coefficient A m (0) (fig. lb). 3) La polarisation du faisceau incident est longitudinale, sa direction est perpendiculaire A la polarisation de la cible et on observe dans le plan parall~le aux polarisations: on obtient le coefficient A,x(O ) (fig. lc). On peut permuter les directions de polarisation de la cible et du faisceau incident. 4) Les polarisations sont parall~les A la direction de propagation du faisceau et on observe dans un plan arbitraire: on obtient A,,(0) (fig. ld). L'ensemble des coefficients Ax,, A,,, A,, est ~quivalent ~t celui du coefficient de corr61ation de spin Ck~ (introduit par Wolfenstein) et de Ck, et C~, qui peuvent ~tre d6finis avec les m~mes notations. En fait la seule diff6rence provient du syst~me de r~f6rence; la correlation de spin est exprim~e dans le syst~me du laboratoire alors qu'il y a r6ciprocit6 exacte entre les deux genres de mesures exprim~es dans le syst~me du centre de masse.
(~)
/(d) Fig. 1. Disposition des polarisations correspondant aux coefficientsA~, Au, An et A,,.
222
.y.P.A','N~L
I1 est donc int6ressant de calculer la section efficace diff6rentielle de diffusion 61astique d'un faisceau sur une Cible, tous deux polaris6s de fa~on quelconque et d'exprimer le r6sultat avec les param~tres A li6s aux coefficients de corr61ation de spin. I1 est 6galement int6ressant de calculer explicitement ces coefficients en fonction des d6phasages S, P et D, et d'6tudier leurs valeurs pour chaque ensemble de d6phasages tir6s de l'6tude de la section efficace. A cette approximation routes ces quantit6s peuvent s'exprimer sous une forme analogue celle donn6e par Clementel et Villi pour la section efficace. Remarquons que parmi les quatre s6ries de mesures propos6es plus haut, les trois premieres ne n6cessitent pas l'emploi de champ magn6tique pour faire tourner la polaxisation du faisceau incident. Mais la quatri~me s6rie est absolument n6cessaire si on veut obtenir la section efficace de diffusion 61astique dans l'6tat singulet A un angle quelconque; la difficult6 est du m~me ordre en employant les coefficients de corr61ation de spin puisqu'il faut connaitre la corr61ation de la polarisation longitudinale du proton sortant avec la polarisation transversale du proton de recul.
2. Amplitudes de Diffusion Pour 6crire les amplitudes de diffusion nous devons tenir compte de l'invariance par r~flexion d'espace et par renversement du temps. La statistique impose une partie d'espace paire pour la fonction d'onde dans l'6tat singulet et impaire pour l'6tat triplet; puisque la parit6 est un bon hombre quantique, le spin de la voie, S, l'est aussi. Nous pouvons donc 6tudier s6par6ment les diffusions singulet et triplet. La diffusion singulet est d6crite par une seule amplitude qui s'6crit directement i (2l+l)e~8(l_e2~8,)pz(cos 0),
a(O) =
(1)
avec e - f 7 In sint 1O+2~o,
/c(0) =
2k sin 2 {0
(2)
oh a o, a z sont les d~phasages coulombiens, ~ le d6phasage nucl6aJre de l'onde partielle correspondante. La diffusion triplet est d6crite par /(0) qui est une matrice 3 × 3 . Pour exprimer ces amplitudes il est plus simple d'utiliser le formalisme de l'h61icit~ 4). Nous prenons (voir fig. 2) pour axe de quantification dans l'~tat initial la direction Oz t du faisceau incident et dans l'6tat final la direction Ozf de Fun des protons sortants; l'axe Oy est commun et tel que le tri~dre Ozt, Ozt, Oy soit direct (direction du produit vectoriel k t ^ k t des impulsions du proton incident et du proton sortant choisi). Avec ces notations, il n'y a que quatre amplitudes diff6rentes alors que le formalisme habituel conduit k consid6rer
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
~2~
cinq amplitudes lides par une relation. L'expression gdn6rale de l'amplitude
:,¢
/
Fig. 2. Rdfdrentiels utilisds dans lc formalisme de l'hdlicitd.
correspondant 5. l'dtat initial d'hdlicitd p, et 5. l'dtat final d'hdlicitd/it s'dcrit 1~, ~, (0) ---- {h (0) --le (zt-- 0)} r~,, ~, (0)
,
+ -~ X
(2J+l)
] pair
{( 2 j - ] ) (o~-1'/~t - a,)(o t ~-,,•, - m: )"~ -
,~(.1..~:+.. [(~o-"~ - - P t : ) \~:+" 0 t~t - #:) t +(:+ll :)(o: ~ ~)1 ~, \0 ,uf --t,t , t*t --tq +~
Z
(2J+l) 2
Jimpair
--#, 0
[z t
(3)
~, --/z 1
Les r~/j,, sont les dldments de matrice de rotation rdduits, c'est-5.-dire relatifs aux angles d'Euler 0, O, 0'. L'invariance par rdflexion et par renversement du temps correspond aux relations entre les diffdrents dl6ments de matrice r~]~,,, qui entrainent
I,,
= I-,-,,
rio = 1o-i =
-1o, =
-I-,o,
1,-, = l-n-
(4)
La condition d'unitaritd de la matrice de diffusion se traduit par des conditions sur les C introduits dans la formule (3). Si le moment total J e s t impair, il n'y a qu'un seul ddphasage
CoI = exp (2iaj) (1--exp (2i~jj))
(5)
Off 61j doit ~tre rdel. Si le m o m e n t total J e s t pair il y a trois param6tres
C_ J = exp (2iaj_l) (1 --S_J), C+ J = exp (2ia]+l) (1 --S+J), C J : - - e x p (iaj+ l + i a J _ l ) S J , ? Nous suivons les notations de A. Messiah ').
(0)
~4
J. RAYNAL
avec les conditions IS21~+lSJI 2 -- lS21~+1SII * = L
S J * S J + s + J s J* = 0.
(7)
I1 y a diverses fa$ons d'introduire trois paramdtres r6els pour exprimer les S 5). L'une d'entre elles est S_ 1 = cos 2 t I exp (2i611) + sin ~s I exp (2idy~), S+ 1 = sin ~eI exp (2i~yl) + cos ~sy exp (2i~1~), S1
(8)
= sine/cosey {exp (2i611)-exp (2i~j~)}.
Pour la diffusion singulet la condition d'unitarit6 est analogue A l'dquation (5): ~ doit ~tre rdel. La condition d'unitaritd peut s'exprimer globalement sur les amplitudes. Pour cela, il faut les gdndraliser en introduisant une rotation quelconque autour des axes Ozt et Ozt. On remplace les 616ments de matrice rdduits r y par les 616merits de matrice R I#t ~i (kt -+ kt) de la rotation qui fait passer du repute initial ayant Ozt comme axe de quantification au rep~re final autour de Ozt) La condition d'unitarit6 s'dcrit alors
k {l(k~k,)--l*(kt--,kt)}=
l*(k,~k')l(kt~k')dk'.
(9)
Sans sdparer la partie coulombienne on peut poser
/~,j,t(kt-+ kt) = • A~, R~,~t(k,-+ kt).
(10)
J
En effectuant l'int~gration sur k' on obtient * 4~i ~.I ~1, ~ k t at~t-- ~ i "
=
4z 2J+l
~ J * 3J , "~'~"~'~"
(11)
En utilisant les relations entre les coefficients 3/" et en sdparant la diffusion coulombienne on retrouve les conditions (5), (6) et (7). Nous pouvons expliciter les coefficients 3/" qui interviennent dans la formule (3) et exprimer les r/t, ~ l'aide des polynomes de Legendre et de leurs ddriv~es. t R e m a r q u o n s que nous p o u v o n s effectuer l'intdgration de la formule (9) en n ' u t i l i s a n t q u e les ~l~ments de matrice de r o t a t i o n rdduits, c'est-~.-dire avec les a m p l i t u d e s telles quo nous les a v o n s p r i m i t i v e m e n t 6crites:
¢~__~i
k {/t~t/~t(0)-- (--)~r+#t/att~t(0)} = df X$~se~#t~'-/~¢ (¢', O')/~,/,t(O)/~,#t(O"(O',9 ' ) ) s i n 0 ' d O ' d g ' ,
(9')
aVCC
cosO"=
cosOcosO'+sinOsinO'cosg',
sin O" sin g = sin O' cos g',
sin 0" cos q0 = - - s i n 0 cos 0 ' + c o s 0 cos 0' cos ~0'.
DIFFUSION DE; PROTONS POLARIS~S
2~5
En fait nous obtenons des expressions plus simples en consid6rant b =/n+/a-x=
{/e(O)--/e(:~--O)} + -k- ~
Jimpair
i + ~ X {(J+l)C-J+JCj-2x/-J-(J+l)
(2J+l)Cg
C1~
Jpair
i
c = / n - - / , - ~ = {/c(O)--/e(n--O)} cos O+ ~
P'
lJ(J+l)
P'j+P2
J
J(J+l)
• (2J+l)Co J P'I Jimpair J(J+l)
i
/ -c°s 0
+ -k y-" { ( J + l ) C j + J C j - 2 ~ J ( J + l ) C J } t
(12)
}
rTYT-,1) P ' I + P I ,
J (J --r
Jpair
~ C I-C+ ]+ VJ~-~i d =/~oV2---- {/e(O)--/c(zc--O)} sin 0 + ik ]pair
i P]sin0,
i e = / o o ---- {/e(O)-/e(~-O)} cos 0 + -- Z {J CI-4- ( J + 1)C{+2"v/J-O~I)}P] • k ]pair Cette simplification est uniquement due ~ l'invariance par rdflexion: en effet si on prend pour dtats de base de l'6tat triplet les composantes suivant les axes x, y, z des rep~res respectifs de l'dtat initial et de l'6tat final, nous avons
/(0) =
i°
--d b
0 .
0
e
(13)
En fait, dans l'dtat final nous avons pris la direction de propagation de l'un des deux protons comme axe de quantification. Comme ce choix est arbitraire il doit exister certaines relations entre les amplitudes pour les angles 0 et ~--0. Pour &hanger le r61e des deux protons il faut faire une rotation de 7c autour de l'axe Ox pour l'dtat final et une rotation de ~ autour de l'axe Oz pour l'6tat initial. Ces opdrations entralnent b(o) = - b ( . - o ) ,
c(o) = c ( ~ - o ) ,
a(o) = - a ( ~ - o ) ,
e(o) = e ( ~ - o ) .
(14.a)
Ces relations sont 6videntes sur les formules (12). Pour l'&at singulet on a simplement
a(O) = a(~--O).
(14.b)
L'ensemble des diffusions singulet et triplet est ddcrit par la matrice de diffusion M(O). Nous pouvons l'&rire en ,,reprdsentation h61icit6" pour les
226
J. RAYNAL
particules couplres (les vecteurs de base sont les 6tats S = 0 et S ---- 1, M = 1, 0, --1 sur la direction de propagation): i
i(O) =
0 ½(b+~}
--1%/2 d
Io
0 lv'~a
0 [ ½(b--~)
e
½V-2d '
(15)
½(~+~)
½(b-~) ½v~a
ou bien en repr6sentation h61icit6 pour les particules d6coupl6es (avec les 1 1 1 1 1 vecteurs de base ~1 ~, ~1 --~, --~1 ~, 2 g, oh le premier nombre d~signe l'h61icit6 du proton dont on a pris la direction de propagation comme axe de quantification et le deuxi~me la projection du spin de l'autre proton sur le m~me axe):
½(b+~)
M(O) =
-~a ½(b-c}
½a
~
½(b-~)
½(,-.) {a
½(~+,) ~a ½a ½(b+~)
(16)
3. Section Efficace et Coefficients de Corr61atton de Spin Connaissant les matrices densit6s Pt et Pc du faisceau incident et de la cible, nous voulons calculer la section efficace diff~rentielle de diffusion ~lastique l'angle O, ~o. Pour raison de simplicitr, nous avons calcul6 les amplitudes de diffusion pour l'angle ~0 = 0 seulement; il faut donc exprimer pt et Pc dans le syst&me d'axes tourn6 de l'angle ~0 autour de la direction de propagation du proton incident, puis calculer M(0)~ot(9) ® pcC~o)]M*(O). (17) La trace de cette matrice est la section efficace diffrrentielle da(O, 9)/dO et ses 616ments d~crivent la polarisation des deux protons sortants et leur corrrlation de spin. En particulier, l'6tude de la section efficace seule avec 6tat initial polaris6 ne fair intervenir que les ~lrments de la matrice Mr(O) M(O) et l'rtude de la polarisation et de la corrrlation de spin avec un ~tat initial non polaris6 ne ddpend que de ceux de M(O) Mr(O). Les deux matrices sont tr~s voisines puisqu'on passe de l'une ~t l'autre par transposition et renversement du sens du temps (d(O) change de signe et les autres ~l~ments sont invariants). Ainsi avec la base (S = 0; S = 1, x, y, z) d6j~t employee en (13) elles s'rcrivent I01~
1
0 Icla+ldl 2 0
°°
M*(O)M(O) = ( 0 Iblz 0 10 --d*c+de* 0 IclZ+ld[ 2
![al2
0
0
0
M(O)Mt(O)=|O [cl2+[d[ 2 0 cd*--e*d '
0
•
Ibl~ 0 dc*--ed" 0 Icl~+ldl 2 (18
DIFFTJSION DE
PROTONS
227
POLARIS&3
Consid&ons un faisceau incident d&it par un vecteur polarisation de projection POsur la direction de propagation et dont la partie transversale, de longueur $, fait un angle q avec la normale au plan de diffusion. Supposons que la cible est d&rite de la m@me mar&e par les composantes $‘, , fi’ et l’angle Q’ (fig. 3). Nous pouvons h-ire la matrice densit de l’6tat initial dans la
Fig. 3. Gxxdonn6es
reprhentation On obtient
utilis&s
pour d&ire
employ6e pour M(8)
We, -= Q)
COS Q+$’
des polarisations
quelconques.
M(B) et calculer la trace de pMtM.
COS Q’)
d&?
+A ra(#o$’Sin Q'+fo$
+[~(A,-A,)CO~(Q+Q')+~(A,+A,)CO~(Q-Q')~~~'+A,,~O,P',),
Sin Q)
(19)
avec = ~{l~l*+I~ls+I~lB+21~ls+lel~}, 4A
we) IS (_-)dQ
= XLP.
Ibl~+lc14-@ls-lel*,
=
Icls+lels+21dls-lals-Ibls,
=
Ibl*+lel*--ICI*-Iala,
=
d*(e-c)+d(e*-c*),
=
i{d(c*+e*)--d*(c+e)}.
Dans la formule (19) (do(B)/dQ),, est la section efficace diffkentielle pour un &at initial non pola.ris6et P est la pohrisation telle qu’elle est obtenue en n’observant qu’un seul des protons sortants. Rkiproquement nous pouvons
228
j. RAYNAL
6crire M(O) Mr(0) ~ l'aide de ces param&res et exprimer cette matrice comme une combinaison lin6aire des produits a~x ® a~* construites h l'aide des spins a 1 du proton sortant dont la direction est prise pour axe de quantification e t a 2 du proton de recul. On obtient ainsi
M(O}Mt(O) = \(d~(0)~ d.Q /n.p. {1_t_p ( % , ® 1+ l ® a 2) + A . . ( a ,®%2_1_a ,®ax2) + A = a l®a 2 + A , ~ 1 ® % 2 + A , , a 1 ® a
2}. (21)
Pour retrouver les coefficients de correlation de spin habituels il faut projeter sur les directions des particules darts le syst~me du laboratoire. Si les impulsions initiale et finale dans le syst~me du centre de masse sont k t et kt, les nouveaux axes sont suivant P = k t + k t , K ---- k t - - k t et n qui a la m~me direction que
Fig. 4. Passage du syst~me du centre de masse au syst~me du laboratoire.
Oy. La direction K est en fait oppos& A celle du proton de recul dans le syst~me du laboratoire (fig. 4). On doit
a, 2 ----- --sin {0 a,2--cos ½0 a,*,
a, 1 = -- sin ½0 ~kI + cos 210 %1,
a, 2 ----- cos {0 a~2--sin ½0 a~2,
~7~1 =
~v 2 ~ - an 2.
an 1,
On obtient ainsi
Ck~ = C~k = {sinO(A,f--A~)+cos 0 A S, C** = sin 2 {0 A , , + c o s z {0 A = + s i n 0 A,~, Cr~ = cos 2 {0 A , , + s i n 2 ~ A ~ - - s i n 0 A,~,
(22) Cn, = A,v.
Par des exp&iences de corr61ation de spin, on cherche ~t mesurer Cn, et C,, qui correspondent ~ des corr61ations de polarisation transversales, mais alors que A** ---- C~,, les coefficients A,~, A,, et A,x d6pendent simultan6ment de C.~, C~ et C~: A ~ = --sin 0 C,~+cos 2 ½0 C**+sin 2 {0 C~., A,, = sin 0 Ck,+sin 9 {0 C ~ + c o s ~ {0 Or,, A S = cos 0 C~v+½sin 0 (C~--C~v).
(23)
DIFFUSION
DE
PROTONS
229
POLARI&
Les relations (14) se traduisent sur les coefficients de la section efficace differentielle de l’equation (19) par des Cgalit6s analogues: (Z),,
= (do~e))~&
A,#)
-q-e), = --A,+e),
A,(e) = 4,(36-e), Am(e) = A,+e).
p(e) =
A,,(e)
= 4x(=--e)J
(24)
Pour les coefficients de correlation de spin on a c,,(e)
= c,,(=-e),
we)
= ckg(+4,
c,,(e)
= c,+e).
(26)
Les relations (25) sont Cvidentes d’apres la signification de ces coefficients. En exprimant la matrice W(0) M(B) a l’aide des parametres A et P definis en (20) dans la base (S = 0; S = 1, M = 1, 0, -1) deja utilisee pour Ccrire (16) on voit directement que la diffusion singulet est &ale A
w = f$yp. . {l--Am--A,--A,‘} quel que soit l’angle 8. 11serait done tres interessant d’obtenir ces trois coefficients a tous les angles pour connaitre la distribution angulaire de la diffusion singulet. La mesure de A ILnecessite un faisceau incident a polarisation longitudinale et elle est done la plus delicate a effectuer. On peut aussi obtenir la diffusion singulet par des mesures de correlation de spin puisque Ial’ =
(S)_ . . {l-c,,-c,-C,,}.
(27)
La difficult6 est du m&me ordre puisqu’il faut mesurer la correlation entre la polarisation transversale du proton sortant et la polarisation longitudinale du proton de recul a tous les angles. L’expkience la plus facile a rkliser pratiquement consiste a envoyer un faisceau perpendiculairement A la polarisation de la cible, les deux vecteurs de polarisation &ant paralleles. La section efficace differentielle est alors
(?x!?&q, = (!),_,_
{l+~(p+P’bs
v+ [~(~rv-~m)cos 293
ou 9, est l’angle de la normale au plan de diffusion avec la direction des polarisations. On peut ensuite changer le signe de p’ et obtenir
(d”pj
= (~),,_
{l+~(~-p’)cos p- [&L--A,)cos 293 +~(~y,+4%B)lwlJ (29)
230
J. KAyNAL
et d~finir l'assym6trie R(O, q~) par
R(O,
=
~ 1 1
+ \
d..O l~
= p, Pcosg+[½(A~--A,~)cos2cp+½(A,,+A,~)]p 1 + Pp cos ~0
(30)
En particulier, en observant k l'angle 9 = 0, on obtient
I.P+A,,Pl R ( O , O ) : t I + P p ] p'' d'oh on peut tirer Ay, connaissant P. Comme on sait que P e s t faible k basse 6nergie on a approximativement
R(O, O) ,m A,,pp' = C,.pp'. Pour l'angle 9 = ~
(31)
on a
R(O, {:z) = A•pp'.
(32)
Ce coefficient a des propri~t~s analogues ~ eelles de C~, et on est en droit d'en attendre autant de renseignements.
4. Approximation des Ondes S, P, D A faible ~nergie on peut supposer que les ondes de moment angulaire le plus bas interviennent seules. Nous nous limiterons dans ce paragraphe aux cinq param~tres qui sont les d~phasages des ondes S e t D et les trois d6phasages d'onde P. Nous supposerons qu'il n ' y a pas de couplage avec l'onde F pour un moment total J = 2 [~2 = 0 dans les formules (11)]. Les d6phasages S e t D interviennent settlement dans l'amplitude de diffusion singulet qui s'~crit i
a = ]c(O)+]e(~--O)+ -~ {e~'~o(1--e2'as)
(33)
+e~'~' (1 --e2'av){(3 cos 2 0-- 1)}. Nous pouvons donc consid6rer a comme une fonction donn6e pour des valeurs fix6es de ~s et de ~v.
231
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
Les ddphasages P, 6°, 61 et 62 interviennent seuls dans les quatre autres amplitudes: i e 2~'i
b =/e(O)--]c(~--O) + ~ {3cosO--~-e~'ntcosO--{e2'a'cosO}, c = {L(o)-/A~-O)}cosO+
ie2,~1 E-{3cos~0-
3 ~,,, - - ~3~.,,,,~, (3 cos ~0---~)e
ie~i~, d = {/e(0)--/e(~r--0)} sin 0 + - k - - 3 sin 0 cos 0(1 --e2"'), e =
{/¢(0)--/~(~--0)}
cos 0 +
ie2Wt ~
(34)
{3cos*O--e2'a°--(3cos*O--1)e2~a'}.
Suivant Clementel et Villi 1) nous pouvons exprimer la section efficace et les diffdrents param~tres introduits en (20) par des fonctions de 0 multipli&s par des coefficients qui ne d~pendent que des ddphasages. Nous posons donc A (0) = 3 cos20 + ½(~, cos 0) /sin(27 In sin ½0 + 2 (al--a0)) sin*½0
o~lCOS(271nsin½0+ 2(az--ao))
S(0)------½(~,cos ,[
sinY~
--
sin(27 In cos ½0-t-2 (az--ao))/ ~ /'
cos(2)Jlncos½0+2(az--ao))l ~
:
j,
ce qui diff+re des notations de Clementel et Villi par la pr&ence du terme 3 cos 2 0 dans la d~finition de A (0) au lieu de 1 et revient ~. avoir ajout~ deux lois le polynome de Legendre P2(cos 0). (On remplace ainsi le coefficient z3 dans les expressions ci-dessous par z3--2z, qui a une expression plus simple.) Nous obtcnons ainsi les trois expressions suivantes:
(da(O)~ = ¼[aI' + \--d.C2--ln.p.
1
~-]/e(0)--/c(~--0)]'+ ~
{zaA (O)--}-z,B(O)+z3P,(cos 0)},
4\(da(O)~d..Q]n.p.A'*=--[a]2+[/e(O)--/e(~r--0)[ 2 + ~1 {z'xA(O)+z'zS(O)+z'3P~(cos 0)), Ida(O)\
z
4 t~d.Q--)n.p.-~(A=-f-A~,,) -------lal~ +
I / c ( 0 ) - h (~-o)I ~
(36)
1
+ ~ {zi'A (0)+z~" B (0)+z~' P2(cos 0)}, oh les coefficients z ont pour d~finition z1 = ~{9--cos 260--3 cos 261--5 cos 262} = ~ ( 2 J + 1)sin * 6I, ] z2 = ½{sin 26°+3 sin 26z+5 sin 262} = ~ ( 2 J + 1)sin &] cos &l, (37) ] z3 = ¼{9 cos 2 (02--6 ') + 4 cos 2 (62--6°)- 13} = --{ 2~ ( J + 2 ) 2 sin~(O]-8'), J
(35)
232
J. RAY'NAL
z' 1 = 2 ( 3 + c o s 280--3 cos 281--cos 26z), z' 2 = 2(--sin 280+3 sin 261q-sin
282),
(38)
z' s --~ 9 cos 2(62--81)--4 cos 2(6~--8°)--5,
z" x = 2 ( 3 - - c o s 280--2 cos 2(~2), z" 2 = 2(sin 280-[-2 sin 262),
(39)
z" a = 4 cos 2(82--80)--4. Ces coefficients ne sont pas inddpendants: la relation (26) qui donne la diffusion singulet entralne 6 v i d e m m e n t quc 4z 1 = z ' i + 2 Z " l ,
4z 2 = z'2-~-2z"2,
4za -----Z'a+2Z" a.
(40)
Connaissant la section efficace ~ plusieurs angles, on p e u t se d o n n e r les d6phasages 6 s e t 8D et ddterminer de mani6re u n i v o q u e les coefficients z 1, z 2, z 3 qui d o n n e n t la valeur de la section efficace la plus voisine de la courbe expdrimentale. Les valeurs des ddphasages 6 s e t 6D sont tr6s mal d~termin~es et p o u r chacune d'elles la r6solution en 6°, 61, 6" a d m e t toujours 4 solutions (voir appendice I) qui se correspondent deux ~ d e u x par la t r a n s f o r m a t i o n suivante: 80--82
~
82--80 ,
81--82
---> 8 2 - - 8 1 '
( 2z _/
62 --~ - - 8 2 + 2 arctg. \9--2Zl ].
(4,)
Nous pouvons c o n s t a t e r que les coefficients z a, z' a et z " 3 sont invariants dans cette transformation. E n particulier pour 0 : 21~ pour lequel A (0) = B(O) : 0, les valeurs de A** ou de (A~+Awt,) ne p e r m e t t e n t pas de distinguer entre d e u x de ces solutions. A la m~me a p p r o x i m a t i o n une autre expression tr~s intdressante est celle de A ~ - - A ~ :
~da(0!~ ½(A**--A,,)
4 \ d.O ],,.,,.
sin20
= %,--
x
-{cos 2 ( 8 2 - 8 1 ) - x } .
(42)
Elle p r e n d la m~me valeur p o u r les d e u x solutions d~duites l'une de l'autre par (41). De plus elle indique une m6thode directe pour obtenir la diff6rence 82--81 de d e u x des d6phasages P. E n f i n les d e u x derniers param6tres A ~ et P s ' e x p f i m e n t aussi ~ l'aide de A (0) et B(0), mais c'est le p o l y n o m e de Legendre associ6 Pz 1 (cos 0) ---- 3 sin 0
DIFFUSION
233
DF. P R O T O N S POLARIS]~S
cos 0 qui intervient ici:
1 1 4 \ d.Q /n.p. A = = ~tgOA (0){3cos25X--cos262--2cos26°}+ ~tgOB(O){2sin26 o
3
- - 3 sin 26 a+ sin 268} + ~ sin 0 cos 0 {2 cos 2 (62 -- 60) -- 3 cos 2 (08 -- 6 ~) + 1}, Ida(0)~
(43)
1
1 4 \ cLQ ]n.p. P ---- k itgOA (0){5 sin 262--3sin 261--2sin26°}+ ~ tgOB(O){5cos 268 3
- - 3 cos 261 -- 2 cos 26°} + / ~ sin 0 cos 0 {2 sin 2 (60 -- 62) + a sin 2 (6~-- 68)}. P o u r A ~ les deux premiers coefficients sont 2 ( z 1--Z 1),
½(z" 2 -.z'8) ,
(44)
et le troisi&me a l e s m~mes propridtds que les z 3. R e m a r q u o n s que toutes ces expressions se simplifient ~. l'angle 0 = 2-Lsrpuisque
tgOA(O) = tgOB(O) = / e ( 0 )
/c(~r--0) = 0.
(45)
On obtient donc da(O)~
4
: 14 Iat 2 -
1 (9c°s2(62--Si)+4c°s2(62--5°) -13
(da(O)~
1
---~-]n.p.A,, = --lal 2 - ~
(do(O)] 4 \--~.2-ln.p.A~v = --[al 2 - ~ (do'(O)'~
1
P=
,
2(62--6°)--5),
( 9 c o s 2 0 8 - - 6 1 ) + 4 c o s 2 ( 6 2 -60) - 1 3 ) ,
4 \~--]n.p.Az~ = --la]2+ ~ As, = 0,
(9cos2(62--61)--4cos
)}
(46)
(g cos 2(62-6 ~) --4 cos 2(62--60)--5)
0.
L a mesure de Atv A l'angle 0 : ½n p e r m e t de s6parer les diffusions des 6tats singulet et triplet mais pour cet angle seulement. Ceci a 6t6 signal6 comme m6thode pour d6terminer avec plus de pr6cision le d6phasage S. Des calculs sont en cours pour 6tudier la d6pendance des valeurs prises par Avv et A,~ a 0 = ~ z en fonction des d6phasages S e t D. 5. C a l c u l s
et Discussions
Le calcul de t o u t e s les quantit6s envisag6es a 6t6 fait p o u r plusieurs ensembles de d6phasages donn6s par Mac Gregor 2). E n fait, on a calcul~ z a, z 2, z s A p a r t i r de la solution I de cet article, pour r e t r o u v e r les autres solutions suivant la m6thode donn6e h l'appendice 1.
J.
234
RAYNAL
Pour retrouver approximativement la dependance du genre de solution, nous pouvons r6soud.re de facon approchee les equations qui donnent les dephasages P et remplacer partout les fonctions trigonometriques par leur developpement. On obtient A.l’ordre le plus bas &J= +(c-6x+lOy),
S'=~(c-3a+5f/),
6%= *(c+&+Y)#
.(47)
oh c,x, y sont des constantes definies par
La solution 1 correspond aux valeurs positives de x et de y, lasolution 2 aux valeurs negatives de a et positives de y; la solution 3 aux valeurs positives de x et negatives de y; et la solution 4 aux valeurs negatives de x et y. La section efficace est
We) (4 dQ
n.D.
= tw+~lfc P9-tob-(J) Is+ f + f
fj(e)+
A(e)
x~{c”+12x*+my~
(49)
4patre,{x”+P}.
Elle est independante de la solution envisag4e. Dans le calcul des coefficients A,, , AYY, A,, A, et P nous pouvons s&parer une partie invariante et des parties qui changent de signe dune solution B l’autre. Pour mieux mettre en dvidence les diff&ences entre les solutions, nous remplacerons A(8) et B(B) par des expressions approchees. En effet pour une energie du proton incident variant de 10 A,40 MeV le param&re coulombien y d&roIt de 0.06 a 0.026 ce qui permet de remplacer f,(e) par le premier terme de son d&eloppement en puissances de y dans un asses large domaine de 8. En effet, pour que &Ln sin+e+2(u,--
Go)1M 2ypdl+f3+ll
5 0.1,
ilfaut que 8 > 2/e% radians soit 16" A 10 MeV, 8 > 21es radians soit 6” B 40 MeV. Les formules obtenues couvriront done tout le domaine pratiquement observable. Dans ces conditions, on a
(e)&(c~-w)+w)
S) (60)
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
k 2A,, ( d4 ~a ) ..p. = {--~Tk2[a[2 +
235
~k2[/e(O)--/e(~--O)[2+ A (0)~-7 (c2+ 18x2+ 34y ~)
C
k2A~ ~
-- 4 ]a]* +~Tkm[/~(O)-/c(n--O)]*+A(0)~
n.p. =
c
(c2+18x2+34y ~)
3y
k2A *~( d ~ )/ n.p. = {A (0)tg0{ (3x2 + 7V2)--sin 0 cosO(x2+v2)}
(50)
3~, P=O. Dans les trois premieres expressions, nous pouvons remarquer que les solutions (1), (2) different des solutions (3), (4) seulement par un terme de la forme 3y
{cos2 0 (C-- si-~ O) ,
(51)
qui s'annule pour 0 ~ ½n mais qui peut 8tre tr~s important dans la zone d'interfdrence avec la diffusion coulombienne. Les calculs de la fig. 5 correspondent ~. une valeur de c tr~s faible, ce qui semble ~tre le cas ~. 20 MeV, car t o u s l e s syst~mes de ddphasages donnds par Mac Gregor A 19.8 MeV correspondent A une valeur de c n6gligeable. Ce param~tre a une interpr6tation physique tr~s importante: il ddtermine la possibilit6 de connaitre le signe des d6phasages P par mesure de la section efficace dans la r6gion d'interf6rence avec la diffusion coulombienne puisque lorsqu'il est nul on passe des solutions (1) et (2) aux solutions (3) et (4) en changeant t o u s l e s signes. La fig. 6 repr~sente un cas fictif c'est-h-dire un calcul avec des d6phasages de ddpart arbitraires, mais pour lesquels le coefficient c e s t tr~s grand pour mettre son influence en ~vidence. Les solutions (1), (4) different des solutions (2), (3) par un terme en sin 2 0 et ce terme est absent de l'expression de A ~ . Donc A l'approximation envisag~e il n'y a que deux valeurs diff6rentes de A~y et une mesure A un angle de l'ordre de 30 ° permet de rejeter les solutions (1), (2) ou les solutions (3), (4); ensuite une mesure de Am ~. 90 ° permet de d~terminer quelle solution parmi les quatre est la meilleure, sauf accident tel que des valeurs trop faibles de c, x ou y. La mesure de Avv ~. ½~ a un grand int~r~t car elle permet de d6terminer les d~phasages singulets.
(5)
f 60"
~ c =
1: (~o = 0.44, 2: ( ~ o = 10.51, 3:6 ° = --10.54, 4: (~o = _ 0 . 4 6 ,
ce qui correspond
solution solution solution solution
J 90 °
(6)
($1 (~1 (~ (]l
= : = =
--5.25, --0.20, 0.18, 5.23,
(~2 = 3.03; (5~ = - - 1 . 9 5 ; (5~ --. 1.93; ¢)2~ --3.05;
la s e c t i o n e f i i c a c e d i f f ~ r e n t i e l l e o b s e r v 6 e
0
Axx
- - 0 . 1 6 , x = 7.5, y - - 4.5.
solutions donnant
Cnn
F i g . 5. D i s t r i b u t i o n s a n g u l a i r e s p o u r les q u a t r e e t D (0 ° • 40). L e s d 6 p h a s a g e s P s o n t :
Ayy
"~ 19.8 M e V p o u r S (50 °)
3OL 2et 3 50L iet ~
I
90"
0
0
0
M
0
I00~
,~
\
Azz
d0")
(g)
~Ol._Z ee 3
P
-O.I
Aizx ~,~
o.OJ
o.
U!
0
°'
O.O3
.o~
sol
I-,
.'r'
tO
I
t
(nl
ILSOL 4
+s'(50L 2 6o"
Cnn I
80"
10.50, 23.08, --19.97, - - 7.39,
(12)
I 60*
50L Z et 3
I 90"
6t 6' 61 6'
= -.... = =
9.00, 2.87, 5.97, 12.11,
6~ 6' 6s 6t
= = = =
6.00; 0.28; 2.82; --2.89;
la m 6 m e s e c t i o n e f f i c a c e d i f f ~ r e n t i e l l e ~. 19.8 M e V p o u r S (50 °)
0
Axx
ce q u i c o r r e s p o n d ~ c = 13.50, x = 9, y = 13.50.
s o l u t i o n 1:(5 ° = s o l u t i o n 2: 6 0 = s o l u t i o n 3: (]o = solution 4:6 ° =
Fig. 6. D i s t r i b u t i o n s a n g u l a i r e s p o u r les q u a t r e s o l u t i o n s d o r m a n t e t D (0 c • 40). L e s d ~ p h a s a g e s s o n t :
Ayy
0
z
O O
O
O
240
j. RAYUAL
Si nous formons l'expression de C~ nous trouvons seulement le terme ayant xy en facteur, ce qui entralne que les valeurs de Ck= calcul~es pour les solutions (1) et (4) sont identiques entre elles, ainsi que celles des solutions (2) et (3). Pour A,~, l'expression est analogue aux pr~c6dentes avec la seule diff6rence du remplacement de cos 2 0 ou sin S 0 par sin 0 cos 0. La diff6rence entre les solutions (1), (2) et les solutions (3), (4) est donc plus importante pour les angles voisins de 90 °. A cette approximation la polarisation est nulle. Nous pouvons calculer les termes suivants:
_t_ {2?2 (!n sin ½0+ 1 sin'½0
In c ° s ½ 0 + l 1
c--~s2~20 ]sinO-t-~TccotgO l
+~sin
0 cos 0 (37y~+ 27x 2 - 2c2)/ x
3? La polarisation est donc tr~s sensible aux d~phasages puisque les expressions en facteur de x, y o u xy d~pendent elles mfimes des d~phasages P. La d~pendance de la solution est eompliqu~e ici par la presence d'un terme ayant x en facteur. Cependant, m~me en supposant ? tr~s petit le terme 2 sinOcosO(15y2+3a:,_lOzy)(c--
3? ) sin 9 0
(53)
indique une polarisation plus importante aux petits angles et ayant pour origine l'interfdrence avec la diffusion Coulombienne. Les figs. 6 et 6 donnent les rdsultats des calculs effectuds avec les expressions completes. Le cas 5 correspond ~. des d~phasages qui ont ~t6 calculds par Mac Gregor A 19.8 MeV; le cas 6 est fictif. Je tiens A remercier Monsieur Thirion, dont les experiences sont A l'origine de ce travail et Messieurs Bloch et Messiah qui m'ont aid6 de leurs conseils.
Appendice 1. D I ~ T E R M I N A T I O N D E S DI~PHASAG-ES P
La section efficace ddpend des ddphasages P par l'interm6diaire des param~tres 2zt - 2iz 2 = 9--e 2~*°- 3 e 2 ~ V 5e2~,, (A.1) 428 = 9 cos 2(52--51)+4 cos 2(~z--(5°)--13.
DIFFUSION DE PROTONS POLARISES
241
Si nous posons
62--5 ° - - a ,
~2 61=fl,
(A.2)
ces relations d e v i e n n e n t Ae w = 9 - - 2 z i - - 2 i z 2 = ( 5 + e 2 i ~ + 3 e Z ~ ) e - 2 ~*, 4z a
= 9 cos 2 f l + 4 cos 2~.--13,
As
= 3 5 + 1 0 cos 2 a + 3 0 cos 2 f l + 6 cos 2(~--fl).
(A.3)
avec
Si ~ = %, fl = fl0 est la solution du s y s t 6 m e (A.3), a = --a0, fl = --rio est aussi u n e solution: la relation entre les d e u x ddphasages 6 2 c o r r e s p o n d a n t s est 2z 2
(A.4)
2(62+62' ) ---- 27 = 2 a r c t g 9--2z~" P o u r rdsoudre le s y s t 6 m e (A.3) nous posons X = tga,
Y = tgfl,
et nous o b t e n o n s
2z3(1 -~-X2) (1 + y 2 )
+4X2+9y2+
13X 2 y2 __ 0,
~ ( 8 I - - A s) ( I + X 2) (1 + Y ~ ) - - 4 X 2 - - 9 Y 2 - 1 0 X
2Y 2 + 3 X Y
= O.
(A.5)
L ' 6 l i m i n a t i o n de X e n t r e les d e u x dquations (A.5) donne une dquation du q u a t r i 6 m e degrd en yo, mais on doit 61iminer la racine y2 = _ 1. I1 reste alors y6 (4Zo_ 2z a - 9)2+ y4 (48Zo2+ 8 Z a 2 32z oz 3+ 44z 3 - 72z o+ 36) + y2 (48zo2 + 4za2_ 16zoz 3+ 8z3) + 16Zo2 = 0,
(A.6)
aVC~C
Zo={
(Sl--A2)+§z3
3 1 2 + z 2 2 )~-aza. , = -2-zl---6-(Zl
De m ~ m e en 61iminant Y on o b t i e n t l'dquation
X 6(9zo - 2z3 - 4)2+ X 4(243 ZOO-+8z32- 72ZoZ3 - 72Zo+34za-i-36) + X2(243Zo2+4za2--36ZoZ3-t - 18za) +81z02 = 0.
(A.7)
Les d e u x dquations ont toujours une racine ndgative. Les d e u x autres racines, ont le m ~ m e signe si elles sont rdelles puisque les coefficients du t e r m e du sixi6me degrd et le t c r m e c o n s t a n t sont des carrds. P a r consdqucnt s'il y a une solution du s y s t 6 m e il cn existe q u a t r e dgalcment valables. E n dcrivant que ces d e u x racines e x i s t e n t et qu'elles sont positives on o b t i e n t d a n s le plan de zo, z ale d o m a i n e " p h y s i q u e " des points auxquels c o r r e s p o n d e n t des solutions. Si z o > 0, les solutions (1), (2), (3), (4)") c o r r e s p o n d e n t a u x racines en Y de l ' d q u a t i o n (A.6) de v a l e u r algdbrique ddcroissante. Si z o < 0, l'ordre des
242
j. R&YIqAL
solutions (2) et (3) est inversd. Le syst6me (A.4) ddtermine la valeur de X correspondante et les dquations (A.2) et (A.3) d o n n e n t les ddphasages. Si nous supposons une solution connue et donnde par les valeurs x et y de X et Y nous pouvons exprimer zo et z3 dans (A.6) et (A.7) $ l'aide de x et y. On obtient alors X a (4 + 9xy-- 5y 2) + (36 + 20x 2 - 8 l y z+ 72xy (A.S) + 121x~y2+45y 4 - 2 5 2 x y a - 6 1 x 2 y 4 ) X 2 - 8 1 y 2 ( 1 +xy) 2 = O, OU
y4 ( 9 + 4 x y + 5x 2)z+Y2 (36-- 16xZ+ 72xy-(A.9) 45y2-- 20x4 + 8xay-- 74x2y 2-61x4y 2) -- 16x2(1 + xy) 2 = O. Les solutions qui ne se d6duisent pas de la solution connue par la transformation (A.4) correspond aux racines des dquations (A.8) et (A.9). 2. R E L A T I O N E N T R E P L U S USITI~ES
LES AMPLITUDES
EMPLOYI~ES ET CELLES QUI SONT LES
1) Forma|isme h u n seul axe de quantification 5): Mu
b = -~ + ½ (c cos 0 ) + ½ ( d sin 0),
Mlo
-- v/2 (d cos 0--e sin 0),
1
MI_ 1 = yvlt'--l-/c2 ~ cos O)--½(d sin 0), M°l
b = M I I + M I _ 1, c = (Mll--MI_I)COS O+MolV/~. sin 0, d = MIOV'2 cos O+Moo sin 0
1
= (MII--MI_I) sin O--Mot~/-2 cos 0,
= x/---2(c sin O--d cos 0),
Moo = d sin 0 + e cos 0,
e = --MloX/2 sin 0+Moo cos 0, MS=a.
Les formules de passage ci-dessus sont celles qui sont obtenues en e m p l o y a n t les matrices de rotation. 2) Formalisme des invariants 5): a(O) = ~(b+ (c +e) cos O+ 2d sin O+a), c(O) = ~(2d cos O--(c+e)sin 0), re(O) = ¼(--b+ (c+e)cos O+ 2d sin O--a),
g(O) = ¼ ( b - a ) , h(0) =
a = =
a(O)+2g(0)--m(0),
c = 2h(O)+a(O)+m(O)cos 0 --2ic(O) sin 0, d = a(O) sin O+m(O) sin 0 --2ic(O) sin 0, e = --2h(O)+(a(O)+m(O)) cos 0 + 2ic(O) sin 0.
043
D I F F U S I O N D E PROTONS POLARIS]~S
3) Amplitudes donn6es par l'6change d'un pion 8):
g2 a --
4E
(A + B ) ,
g2 b --
4E (A--B),
g*
c --
(A+B),
A =
l÷co~0 xo÷cos 0
B--
l--cos0 Xo--COS 0
avec
4E
d=O, g2 e =
~
(A+B),
Bibliographie 1) E. Clementel et C. Villi, Nuovo Cim. 2 (1955) 1165 2) M. H. Mac Gregor, Phys. Rev. 113 (1959) 1559; M. P. Noyes et M. H. Mac Gregor, Phys. Rev. 111 (1958) 223 3) L. Wolfenstein, Ann. Rev. Nuclear Sci. 6 (1956) 43 4) M. Jacob et G. C. Wick, Annals of Physics 7 (1959) 404 5) H. P. Stapp, University of California, Radiation Laboratory report UCRL-3098 (1955) 6) P. Cziffra, M. H. Mac Gregor, M. J. Moravcsik et H. P. Stapp, Phys. Rev. 114 (1959) 880 7) M. H. Mac Gregor, M. J. Moravcsik et H. P. Stapp, Ann. Rev. Nuclear Sci. 10 (1960) 291 8) A. Messiah, M~canique quantique (Dunod, Paris, 1960)
I.B
[ l
I
Nuclear Physics 28 (1961) 2 2 0 ~ 2 4 3 ; ( ~ ) N o r t h - H o l l a n d Publishing Co., Amsterdam Not to be reproduced by photoprint or microfilm without writtea permission trom the publisher
DIFFUSION
DE P R O T O N S POLARIS]~S P A R U N E P R O T O N S POLARISI~S
CIBLE DE
j. I~AYNAL Centre d'l~'tudes Nucldaires de Saclay
Re~u le 15 m a i 1961 T h e p r o t o n - p r o t o n s c a t t e r i n g p r o b l e m , in t h e helicity f o r m a l i s m , is s t u d i e d for a polarized t a r g e t a n d a polarized i n c i d e n t b e a m . E x a c t e x p r e s s i o n s are g i v e n as well as their a p p r o x i m a t i o n s w h e n one considers o n l y S, P a n d D w a v e s for t h e four sets of p h a s e - s h i f t s f i t t i n g t h e cross section in t h e r a n g e of IO-40MeV. O n e finds t h a t t h e polarization is a h i g h e r o r d e r effect c o m p a r e d to t h e correlation coefficients a n d it is s h o w n t h a t t h e four sets of s o l u t i o n s give o n l y two different a n g u l a r d i s t r i b u t i o n s of t h e spin correlation coefficient Cn,.
Abstract:
1. Introduction L'analyse des r~sultats exp~rimentaux de la diffusion proton-proton n'a pas permis jusqu'ici de d~terminer avec precision les d6phasages des ondes partielles m~me pour des ~nergies inf~rieures ~ 25 MeV. Dans ce dom~ine oh il est raisonnable de ne faire intervenir que des ondes S, P et D, Clementel et Villi 1) ont montr~ qu'en ufilisant uniquement la section efficace on obtient quatre ensembles de valeurs pour les d~pha~ages P pour chaque choix de d~phasages S e t D, et l'analyse des r~sultats exp~rimentaux a fait ressortir une tr6s large ind6termination de ces derniers ddphasages *). L'ambiguit~ peut gtre levde pour l'onde P par des mesures des coefficients de corr6lation de spin qui ne m6langent pas les d6phasages des ondes paires et des ondes impaires, puisque le spin de la voie est un bon nombre quantique. Mais les coefficients de correlation de spin sont plus difficiles A mesurer que des sections efficaces de diffusion ~lastique de protons polaris6s pax une cible de protons polaris~s. La possibilit6 de produire des cibles partiellement polaxis~es permet d'envisager ces experiences et d'obtenir des param~tres 6quivalents aux coefficients de corr61ation de spin. La m~thode envisag6e ~t Saclay pour polaxiser une cible de protons rend l'utilisation exp6rimentale assez d61icate. La source est plac6e dans l'entrefer d'un 61ectroaimant et sa polarisation, qui est normale aux p61es, peut ~tre renvers6e par une faible variation du champ. I1 est done difficile d'observer en dehors du plan normal ~t la polaxisation de la cible et la pr6sence du champ magn6tique introduit des corrections pour compaxer les sections efficaces droite et A gauche; il est plus simple de comparer les sections efficaces ~t un angle donn6 pour des valeurs oppos~es de la polarisation de la cible. 220
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
8 9-1
On peut envisager quatre s6ries de mesures.: 1) La polarisation du faisceau est transversale et celle de la cible lui est parall~le; on observe dans le plan perpendiculaire. On obtient ainsi un coefficient Ave(O) qui n'est autre que le coefficient de correlation de spin Cn,,(O) de Wolfenstein s) (fig. la). 2) Avec la mdme disposition du faisceau et de la cible on observe dans le plan parall~le aux polarisations: on obtient le coefficient A m (0) (fig. lb). 3) La polarisation du faisceau incident est longitudinale, sa direction est perpendiculaire A la polarisation de la cible et on observe dans le plan parall~le aux polarisations: on obtient le coefficient A,x(O ) (fig. lc). On peut permuter les directions de polarisation de la cible et du faisceau incident. 4) Les polarisations sont parall~les A la direction de propagation du faisceau et on observe dans un plan arbitraire: on obtient A,,(0) (fig. ld). L'ensemble des coefficients Ax,, A,,, A,, est ~quivalent ~t celui du coefficient de corr61ation de spin Ck~ (introduit par Wolfenstein) et de Ck, et C~, qui peuvent ~tre d6finis avec les m~mes notations. En fait la seule diff6rence provient du syst~me de r~f6rence; la correlation de spin est exprim~e dans le syst~me du laboratoire alors qu'il y a r6ciprocit6 exacte entre les deux genres de mesures exprim~es dans le syst~me du centre de masse.
(~)
/(d) Fig. 1. Disposition des polarisations correspondant aux coefficientsA~, Au, An et A,,.
222
.y.P.A','N~L
I1 est donc int6ressant de calculer la section efficace diff6rentielle de diffusion 61astique d'un faisceau sur une Cible, tous deux polaris6s de fa~on quelconque et d'exprimer le r6sultat avec les param~tres A li6s aux coefficients de corr61ation de spin. I1 est 6galement int6ressant de calculer explicitement ces coefficients en fonction des d6phasages S, P et D, et d'6tudier leurs valeurs pour chaque ensemble de d6phasages tir6s de l'6tude de la section efficace. A cette approximation routes ces quantit6s peuvent s'exprimer sous une forme analogue celle donn6e par Clementel et Villi pour la section efficace. Remarquons que parmi les quatre s6ries de mesures propos6es plus haut, les trois premieres ne n6cessitent pas l'emploi de champ magn6tique pour faire tourner la polaxisation du faisceau incident. Mais la quatri~me s6rie est absolument n6cessaire si on veut obtenir la section efficace de diffusion 61astique dans l'6tat singulet A un angle quelconque; la difficult6 est du m~me ordre en employant les coefficients de corr61ation de spin puisqu'il faut connaitre la corr61ation de la polarisation longitudinale du proton sortant avec la polarisation transversale du proton de recul.
2. Amplitudes de Diffusion Pour 6crire les amplitudes de diffusion nous devons tenir compte de l'invariance par r~flexion d'espace et par renversement du temps. La statistique impose une partie d'espace paire pour la fonction d'onde dans l'6tat singulet et impaire pour l'6tat triplet; puisque la parit6 est un bon hombre quantique, le spin de la voie, S, l'est aussi. Nous pouvons donc 6tudier s6par6ment les diffusions singulet et triplet. La diffusion singulet est d6crite par une seule amplitude qui s'6crit directement i (2l+l)e~8(l_e2~8,)pz(cos 0),
a(O) =
(1)
avec e - f 7 In sint 1O+2~o,
/c(0) =
2k sin 2 {0
(2)
oh a o, a z sont les d~phasages coulombiens, ~ le d6phasage nucl6aJre de l'onde partielle correspondante. La diffusion triplet est d6crite par /(0) qui est une matrice 3 × 3 . Pour exprimer ces amplitudes il est plus simple d'utiliser le formalisme de l'h61icit~ 4). Nous prenons (voir fig. 2) pour axe de quantification dans l'~tat initial la direction Oz t du faisceau incident et dans l'6tat final la direction Ozf de Fun des protons sortants; l'axe Oy est commun et tel que le tri~dre Ozt, Ozt, Oy soit direct (direction du produit vectoriel k t ^ k t des impulsions du proton incident et du proton sortant choisi). Avec ces notations, il n'y a que quatre amplitudes diff6rentes alors que le formalisme habituel conduit k consid6rer
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
~2~
cinq amplitudes lides par une relation. L'expression gdn6rale de l'amplitude
:,¢
/
Fig. 2. Rdfdrentiels utilisds dans lc formalisme de l'hdlicitd.
correspondant 5. l'dtat initial d'hdlicitd p, et 5. l'dtat final d'hdlicitd/it s'dcrit 1~, ~, (0) ---- {h (0) --le (zt-- 0)} r~,, ~, (0)
,
+ -~ X
(2J+l)
] pair
{( 2 j - ] ) (o~-1'/~t - a,)(o t ~-,,•, - m: )"~ -
,~(.1..~:+.. [(~o-"~ - - P t : ) \~:+" 0 t~t - #:) t +(:+ll :)(o: ~ ~)1 ~, \0 ,uf --t,t , t*t --tq +~
Z
(2J+l) 2
Jimpair
--#, 0
[z t
(3)
~, --/z 1
Les r~/j,, sont les dldments de matrice de rotation rdduits, c'est-5.-dire relatifs aux angles d'Euler 0, O, 0'. L'invariance par rdflexion et par renversement du temps correspond aux relations entre les diffdrents dl6ments de matrice r~]~,,, qui entrainent
I,,
= I-,-,,
rio = 1o-i =
-1o, =
-I-,o,
1,-, = l-n-
(4)
La condition d'unitaritd de la matrice de diffusion se traduit par des conditions sur les C introduits dans la formule (3). Si le moment total J e s t impair, il n'y a qu'un seul ddphasage
CoI = exp (2iaj) (1--exp (2i~jj))
(5)
Off 61j doit ~tre rdel. Si le m o m e n t total J e s t pair il y a trois param6tres
C_ J = exp (2iaj_l) (1 --S_J), C+ J = exp (2ia]+l) (1 --S+J), C J : - - e x p (iaj+ l + i a J _ l ) S J , ? Nous suivons les notations de A. Messiah ').
(0)
~4
J. RAYNAL
avec les conditions IS21~+lSJI 2 -- lS21~+1SII * = L
S J * S J + s + J s J* = 0.
(7)
I1 y a diverses fa$ons d'introduire trois paramdtres r6els pour exprimer les S 5). L'une d'entre elles est S_ 1 = cos 2 t I exp (2i611) + sin ~s I exp (2idy~), S+ 1 = sin ~eI exp (2i~yl) + cos ~sy exp (2i~1~), S1
(8)
= sine/cosey {exp (2i611)-exp (2i~j~)}.
Pour la diffusion singulet la condition d'unitarit6 est analogue A l'dquation (5): ~ doit ~tre rdel. La condition d'unitaritd peut s'exprimer globalement sur les amplitudes. Pour cela, il faut les gdndraliser en introduisant une rotation quelconque autour des axes Ozt et Ozt. On remplace les 616ments de matrice rdduits r y par les 616merits de matrice R I#t ~i (kt -+ kt) de la rotation qui fait passer du repute initial ayant Ozt comme axe de quantification au rep~re final autour de Ozt) La condition d'unitarit6 s'dcrit alors
k {l(k~k,)--l*(kt--,kt)}=
l*(k,~k')l(kt~k')dk'.
(9)
Sans sdparer la partie coulombienne on peut poser
/~,j,t(kt-+ kt) = • A~, R~,~t(k,-+ kt).
(10)
J
En effectuant l'int~gration sur k' on obtient * 4~i ~.I ~1, ~ k t at~t-- ~ i "
=
4z 2J+l
~ J * 3J , "~'~"~'~"
(11)
En utilisant les relations entre les coefficients 3/" et en sdparant la diffusion coulombienne on retrouve les conditions (5), (6) et (7). Nous pouvons expliciter les coefficients 3/" qui interviennent dans la formule (3) et exprimer les r/t, ~ l'aide des polynomes de Legendre et de leurs ddriv~es. t R e m a r q u o n s que nous p o u v o n s effectuer l'intdgration de la formule (9) en n ' u t i l i s a n t q u e les ~l~ments de matrice de r o t a t i o n rdduits, c'est-~.-dire avec les a m p l i t u d e s telles quo nous les a v o n s p r i m i t i v e m e n t 6crites:
¢~__~i
k {/t~t/~t(0)-- (--)~r+#t/att~t(0)} = df X$~se~#t~'-/~¢ (¢', O')/~,/,t(O)/~,#t(O"(O',9 ' ) ) s i n 0 ' d O ' d g ' ,
(9')
aVCC
cosO"=
cosOcosO'+sinOsinO'cosg',
sin O" sin g = sin O' cos g',
sin 0" cos q0 = - - s i n 0 cos 0 ' + c o s 0 cos 0' cos ~0'.
DIFFUSION DE; PROTONS POLARIS~S
2~5
En fait nous obtenons des expressions plus simples en consid6rant b =/n+/a-x=
{/e(O)--/e(:~--O)} + -k- ~
Jimpair
i + ~ X {(J+l)C-J+JCj-2x/-J-(J+l)
(2J+l)Cg
C1~
Jpair
i
c = / n - - / , - ~ = {/c(O)--/e(n--O)} cos O+ ~
P'
lJ(J+l)
P'j+P2
J
J(J+l)
• (2J+l)Co J P'I Jimpair J(J+l)
i
/ -c°s 0
+ -k y-" { ( J + l ) C j + J C j - 2 ~ J ( J + l ) C J } t
(12)
}
rTYT-,1) P ' I + P I ,
J (J --r
Jpair
~ C I-C+ ]+ VJ~-~i d =/~oV2---- {/e(O)--/c(zc--O)} sin 0 + ik ]pair
i P]sin0,
i e = / o o ---- {/e(O)-/e(~-O)} cos 0 + -- Z {J CI-4- ( J + 1)C{+2"v/J-O~I)}P] • k ]pair Cette simplification est uniquement due ~ l'invariance par rdflexion: en effet si on prend pour dtats de base de l'6tat triplet les composantes suivant les axes x, y, z des rep~res respectifs de l'dtat initial et de l'6tat final, nous avons
/(0) =
i°
--d b
0 .
0
e
(13)
En fait, dans l'dtat final nous avons pris la direction de propagation de l'un des deux protons comme axe de quantification. Comme ce choix est arbitraire il doit exister certaines relations entre les amplitudes pour les angles 0 et ~--0. Pour &hanger le r61e des deux protons il faut faire une rotation de 7c autour de l'axe Ox pour l'dtat final et une rotation de ~ autour de l'axe Oz pour l'6tat initial. Ces opdrations entralnent b(o) = - b ( . - o ) ,
c(o) = c ( ~ - o ) ,
a(o) = - a ( ~ - o ) ,
e(o) = e ( ~ - o ) .
(14.a)
Ces relations sont 6videntes sur les formules (12). Pour l'&at singulet on a simplement
a(O) = a(~--O).
(14.b)
L'ensemble des diffusions singulet et triplet est ddcrit par la matrice de diffusion M(O). Nous pouvons l'&rire en ,,reprdsentation h61icit6" pour les
226
J. RAYNAL
particules couplres (les vecteurs de base sont les 6tats S = 0 et S ---- 1, M = 1, 0, --1 sur la direction de propagation): i
i(O) =
0 ½(b+~}
--1%/2 d
Io
0 lv'~a
0 [ ½(b--~)
e
½V-2d '
(15)
½(~+~)
½(b-~) ½v~a
ou bien en repr6sentation h61icit6 pour les particules d6coupl6es (avec les 1 1 1 1 1 vecteurs de base ~1 ~, ~1 --~, --~1 ~, 2 g, oh le premier nombre d~signe l'h61icit6 du proton dont on a pris la direction de propagation comme axe de quantification et le deuxi~me la projection du spin de l'autre proton sur le m~me axe):
½(b+~)
M(O) =
-~a ½(b-c}
½a
~
½(b-~)
½(,-.) {a
½(~+,) ~a ½a ½(b+~)
(16)
3. Section Efficace et Coefficients de Corr61atton de Spin Connaissant les matrices densit6s Pt et Pc du faisceau incident et de la cible, nous voulons calculer la section efficace diff~rentielle de diffusion ~lastique l'angle O, ~o. Pour raison de simplicitr, nous avons calcul6 les amplitudes de diffusion pour l'angle ~0 = 0 seulement; il faut donc exprimer pt et Pc dans le syst&me d'axes tourn6 de l'angle ~0 autour de la direction de propagation du proton incident, puis calculer M(0)~ot(9) ® pcC~o)]M*(O). (17) La trace de cette matrice est la section efficace diffrrentielle da(O, 9)/dO et ses 616ments d~crivent la polarisation des deux protons sortants et leur corrrlation de spin. En particulier, l'6tude de la section efficace seule avec 6tat initial polaris6 ne fair intervenir que les ~lrments de la matrice Mr(O) M(O) et l'rtude de la polarisation et de la corrrlation de spin avec un ~tat initial non polaris6 ne ddpend que de ceux de M(O) Mr(O). Les deux matrices sont tr~s voisines puisqu'on passe de l'une ~t l'autre par transposition et renversement du sens du temps (d(O) change de signe et les autres ~l~ments sont invariants). Ainsi avec la base (S = 0; S = 1, x, y, z) d6j~t employee en (13) elles s'rcrivent I01~
1
0 Icla+ldl 2 0
°°
M*(O)M(O) = ( 0 Iblz 0 10 --d*c+de* 0 IclZ+ld[ 2
![al2
0
0
0
M(O)Mt(O)=|O [cl2+[d[ 2 0 cd*--e*d '
0
•
Ibl~ 0 dc*--ed" 0 Icl~+ldl 2 (18
DIFFTJSION DE
PROTONS
227
POLARIS&3
Consid&ons un faisceau incident d&it par un vecteur polarisation de projection POsur la direction de propagation et dont la partie transversale, de longueur $, fait un angle q avec la normale au plan de diffusion. Supposons que la cible est d&rite de la m@me mar&e par les composantes $‘, , fi’ et l’angle Q’ (fig. 3). Nous pouvons h-ire la matrice densit de l’6tat initial dans la
Fig. 3. Gxxdonn6es
reprhentation On obtient
utilis&s
pour d&ire
employ6e pour M(8)
We, -= Q)
COS Q+$’
des polarisations
quelconques.
M(B) et calculer la trace de pMtM.
COS Q’)
d&?
+A ra(#o$’Sin Q'+fo$
+[~(A,-A,)CO~(Q+Q')+~(A,+A,)CO~(Q-Q')~~~'+A,,~O,P',),
Sin Q)
(19)
avec = ~{l~l*+I~ls+I~lB+21~ls+lel~}, 4A
we) IS (_-)dQ
= XLP.
Ibl~+lc14-@ls-lel*,
=
Icls+lels+21dls-lals-Ibls,
=
Ibl*+lel*--ICI*-Iala,
=
d*(e-c)+d(e*-c*),
=
i{d(c*+e*)--d*(c+e)}.
Dans la formule (19) (do(B)/dQ),, est la section efficace diffkentielle pour un &at initial non pola.ris6et P est la pohrisation telle qu’elle est obtenue en n’observant qu’un seul des protons sortants. Rkiproquement nous pouvons
228
j. RAYNAL
6crire M(O) Mr(0) ~ l'aide de ces param&res et exprimer cette matrice comme une combinaison lin6aire des produits a~x ® a~* construites h l'aide des spins a 1 du proton sortant dont la direction est prise pour axe de quantification e t a 2 du proton de recul. On obtient ainsi
M(O}Mt(O) = \(d~(0)~ d.Q /n.p. {1_t_p ( % , ® 1+ l ® a 2) + A . . ( a ,®%2_1_a ,®ax2) + A = a l®a 2 + A , ~ 1 ® % 2 + A , , a 1 ® a
2}. (21)
Pour retrouver les coefficients de correlation de spin habituels il faut projeter sur les directions des particules darts le syst~me du laboratoire. Si les impulsions initiale et finale dans le syst~me du centre de masse sont k t et kt, les nouveaux axes sont suivant P = k t + k t , K ---- k t - - k t et n qui a la m~me direction que
Fig. 4. Passage du syst~me du centre de masse au syst~me du laboratoire.
Oy. La direction K est en fait oppos& A celle du proton de recul dans le syst~me du laboratoire (fig. 4). On doit
a, 2 ----- --sin {0 a,2--cos ½0 a,*,
a, 1 = -- sin ½0 ~kI + cos 210 %1,
a, 2 ----- cos {0 a~2--sin ½0 a~2,
~7~1 =
~v 2 ~ - an 2.
an 1,
On obtient ainsi
Ck~ = C~k = {sinO(A,f--A~)+cos 0 A S, C** = sin 2 {0 A , , + c o s z {0 A = + s i n 0 A,~, Cr~ = cos 2 {0 A , , + s i n 2 ~ A ~ - - s i n 0 A,~,
(22) Cn, = A,v.
Par des exp&iences de corr61ation de spin, on cherche ~t mesurer Cn, et C,, qui correspondent ~ des corr61ations de polarisation transversales, mais alors que A** ---- C~,, les coefficients A,~, A,, et A,x d6pendent simultan6ment de C.~, C~ et C~: A ~ = --sin 0 C,~+cos 2 ½0 C**+sin 2 {0 C~., A,, = sin 0 Ck,+sin 9 {0 C ~ + c o s ~ {0 Or,, A S = cos 0 C~v+½sin 0 (C~--C~v).
(23)
DIFFUSION
DE
PROTONS
229
POLARI&
Les relations (14) se traduisent sur les coefficients de la section efficace differentielle de l’equation (19) par des Cgalit6s analogues: (Z),,
= (do~e))~&
A,#)
-q-e), = --A,+e),
A,(e) = 4,(36-e), Am(e) = A,+e).
p(e) =
A,,(e)
= 4x(=--e)J
(24)
Pour les coefficients de correlation de spin on a c,,(e)
= c,,(=-e),
we)
= ckg(+4,
c,,(e)
= c,+e).
(26)
Les relations (25) sont Cvidentes d’apres la signification de ces coefficients. En exprimant la matrice W(0) M(B) a l’aide des parametres A et P definis en (20) dans la base (S = 0; S = 1, M = 1, 0, -1) deja utilisee pour Ccrire (16) on voit directement que la diffusion singulet est &ale A
w = f$yp. . {l--Am--A,--A,‘} quel que soit l’angle 8. 11serait done tres interessant d’obtenir ces trois coefficients a tous les angles pour connaitre la distribution angulaire de la diffusion singulet. La mesure de A ILnecessite un faisceau incident a polarisation longitudinale et elle est done la plus delicate a effectuer. On peut aussi obtenir la diffusion singulet par des mesures de correlation de spin puisque Ial’ =
(S)_ . . {l-c,,-c,-C,,}.
(27)
La difficult6 est du m&me ordre puisqu’il faut mesurer la correlation entre la polarisation transversale du proton sortant et la polarisation longitudinale du proton de recul a tous les angles. L’expkience la plus facile a rkliser pratiquement consiste a envoyer un faisceau perpendiculairement A la polarisation de la cible, les deux vecteurs de polarisation &ant paralleles. La section efficace differentielle est alors
(?x!?&q, = (!),_,_
{l+~(p+P’bs
v+ [~(~rv-~m)cos 293
ou 9, est l’angle de la normale au plan de diffusion avec la direction des polarisations. On peut ensuite changer le signe de p’ et obtenir
(d”pj
= (~),,_
{l+~(~-p’)cos p- [&L--A,)cos 293 +~(~y,+4%B)lwlJ (29)
230
J. KAyNAL
et d~finir l'assym6trie R(O, q~) par
R(O,
=
~ 1 1
+ \
d..O l~
= p, Pcosg+[½(A~--A,~)cos2cp+½(A,,+A,~)]p 1 + Pp cos ~0
(30)
En particulier, en observant k l'angle 9 = 0, on obtient
I.P+A,,Pl R ( O , O ) : t I + P p ] p'' d'oh on peut tirer Ay, connaissant P. Comme on sait que P e s t faible k basse 6nergie on a approximativement
R(O, O) ,m A,,pp' = C,.pp'. Pour l'angle 9 = ~
(31)
on a
R(O, {:z) = A•pp'.
(32)
Ce coefficient a des propri~t~s analogues ~ eelles de C~, et on est en droit d'en attendre autant de renseignements.
4. Approximation des Ondes S, P, D A faible ~nergie on peut supposer que les ondes de moment angulaire le plus bas interviennent seules. Nous nous limiterons dans ce paragraphe aux cinq param~tres qui sont les d~phasages des ondes S e t D et les trois d6phasages d'onde P. Nous supposerons qu'il n ' y a pas de couplage avec l'onde F pour un moment total J = 2 [~2 = 0 dans les formules (11)]. Les d6phasages S e t D interviennent settlement dans l'amplitude de diffusion singulet qui s'~crit i
a = ]c(O)+]e(~--O)+ -~ {e~'~o(1--e2'as)
(33)
+e~'~' (1 --e2'av){(3 cos 2 0-- 1)}. Nous pouvons donc consid6rer a comme une fonction donn6e pour des valeurs fix6es de ~s et de ~v.
231
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
Les ddphasages P, 6°, 61 et 62 interviennent seuls dans les quatre autres amplitudes: i e 2~'i
b =/e(O)--]c(~--O) + ~ {3cosO--~-e~'ntcosO--{e2'a'cosO}, c = {L(o)-/A~-O)}cosO+
ie2,~1 E-{3cos~0-
3 ~,,, - - ~3~.,,,,~, (3 cos ~0---~)e
ie~i~, d = {/e(0)--/e(~r--0)} sin 0 + - k - - 3 sin 0 cos 0(1 --e2"'), e =
{/¢(0)--/~(~--0)}
cos 0 +
ie2Wt ~
(34)
{3cos*O--e2'a°--(3cos*O--1)e2~a'}.
Suivant Clementel et Villi 1) nous pouvons exprimer la section efficace et les diffdrents param~tres introduits en (20) par des fonctions de 0 multipli&s par des coefficients qui ne d~pendent que des ddphasages. Nous posons donc A (0) = 3 cos20 + ½(~, cos 0) /sin(27 In sin ½0 + 2 (al--a0)) sin*½0
o~lCOS(271nsin½0+ 2(az--ao))
S(0)------½(~,cos ,[
sinY~
--
sin(27 In cos ½0-t-2 (az--ao))/ ~ /'
cos(2)Jlncos½0+2(az--ao))l ~
:
j,
ce qui diff+re des notations de Clementel et Villi par la pr&ence du terme 3 cos 2 0 dans la d~finition de A (0) au lieu de 1 et revient ~. avoir ajout~ deux lois le polynome de Legendre P2(cos 0). (On remplace ainsi le coefficient z3 dans les expressions ci-dessous par z3--2z, qui a une expression plus simple.) Nous obtcnons ainsi les trois expressions suivantes:
(da(O)~ = ¼[aI' + \--d.C2--ln.p.
1
~-]/e(0)--/c(~--0)]'+ ~
{zaA (O)--}-z,B(O)+z3P,(cos 0)},
4\(da(O)~d..Q]n.p.A'*=--[a]2+[/e(O)--/e(~r--0)[ 2 + ~1 {z'xA(O)+z'zS(O)+z'3P~(cos 0)), Ida(O)\
z
4 t~d.Q--)n.p.-~(A=-f-A~,,) -------lal~ +
I / c ( 0 ) - h (~-o)I ~
(36)
1
+ ~ {zi'A (0)+z~" B (0)+z~' P2(cos 0)}, oh les coefficients z ont pour d~finition z1 = ~{9--cos 260--3 cos 261--5 cos 262} = ~ ( 2 J + 1)sin * 6I, ] z2 = ½{sin 26°+3 sin 26z+5 sin 262} = ~ ( 2 J + 1)sin &] cos &l, (37) ] z3 = ¼{9 cos 2 (02--6 ') + 4 cos 2 (62--6°)- 13} = --{ 2~ ( J + 2 ) 2 sin~(O]-8'), J
(35)
232
J. RAY'NAL
z' 1 = 2 ( 3 + c o s 280--3 cos 281--cos 26z), z' 2 = 2(--sin 280+3 sin 261q-sin
282),
(38)
z' s --~ 9 cos 2(62--81)--4 cos 2(6~--8°)--5,
z" x = 2 ( 3 - - c o s 280--2 cos 2(~2), z" 2 = 2(sin 280-[-2 sin 262),
(39)
z" a = 4 cos 2(82--80)--4. Ces coefficients ne sont pas inddpendants: la relation (26) qui donne la diffusion singulet entralne 6 v i d e m m e n t quc 4z 1 = z ' i + 2 Z " l ,
4z 2 = z'2-~-2z"2,
4za -----Z'a+2Z" a.
(40)
Connaissant la section efficace ~ plusieurs angles, on p e u t se d o n n e r les d6phasages 6 s e t 8D et ddterminer de mani6re u n i v o q u e les coefficients z 1, z 2, z 3 qui d o n n e n t la valeur de la section efficace la plus voisine de la courbe expdrimentale. Les valeurs des ddphasages 6 s e t 6D sont tr6s mal d~termin~es et p o u r chacune d'elles la r6solution en 6°, 61, 6" a d m e t toujours 4 solutions (voir appendice I) qui se correspondent deux ~ d e u x par la t r a n s f o r m a t i o n suivante: 80--82
~
82--80 ,
81--82
---> 8 2 - - 8 1 '
( 2z _/
62 --~ - - 8 2 + 2 arctg. \9--2Zl ].
(4,)
Nous pouvons c o n s t a t e r que les coefficients z a, z' a et z " 3 sont invariants dans cette transformation. E n particulier pour 0 : 21~ pour lequel A (0) = B(O) : 0, les valeurs de A** ou de (A~+Awt,) ne p e r m e t t e n t pas de distinguer entre d e u x de ces solutions. A la m~me a p p r o x i m a t i o n une autre expression tr~s intdressante est celle de A ~ - - A ~ :
~da(0!~ ½(A**--A,,)
4 \ d.O ],,.,,.
sin20
= %,--
x
-{cos 2 ( 8 2 - 8 1 ) - x } .
(42)
Elle p r e n d la m~me valeur p o u r les d e u x solutions d~duites l'une de l'autre par (41). De plus elle indique une m6thode directe pour obtenir la diff6rence 82--81 de d e u x des d6phasages P. E n f i n les d e u x derniers param6tres A ~ et P s ' e x p f i m e n t aussi ~ l'aide de A (0) et B(0), mais c'est le p o l y n o m e de Legendre associ6 Pz 1 (cos 0) ---- 3 sin 0
DIFFUSION
233
DF. P R O T O N S POLARIS]~S
cos 0 qui intervient ici:
1 1 4 \ d.Q /n.p. A = = ~tgOA (0){3cos25X--cos262--2cos26°}+ ~tgOB(O){2sin26 o
3
- - 3 sin 26 a+ sin 268} + ~ sin 0 cos 0 {2 cos 2 (62 -- 60) -- 3 cos 2 (08 -- 6 ~) + 1}, Ida(0)~
(43)
1
1 4 \ cLQ ]n.p. P ---- k itgOA (0){5 sin 262--3sin 261--2sin26°}+ ~ tgOB(O){5cos 268 3
- - 3 cos 261 -- 2 cos 26°} + / ~ sin 0 cos 0 {2 sin 2 (60 -- 62) + a sin 2 (6~-- 68)}. P o u r A ~ les deux premiers coefficients sont 2 ( z 1--Z 1),
½(z" 2 -.z'8) ,
(44)
et le troisi&me a l e s m~mes propridtds que les z 3. R e m a r q u o n s que toutes ces expressions se simplifient ~. l'angle 0 = 2-Lsrpuisque
tgOA(O) = tgOB(O) = / e ( 0 )
/c(~r--0) = 0.
(45)
On obtient donc da(O)~
4
: 14 Iat 2 -
1 (9c°s2(62--Si)+4c°s2(62--5°) -13
(da(O)~
1
---~-]n.p.A,, = --lal 2 - ~
(do(O)] 4 \--~.2-ln.p.A~v = --[al 2 - ~ (do'(O)'~
1
P=
,
2(62--6°)--5),
( 9 c o s 2 0 8 - - 6 1 ) + 4 c o s 2 ( 6 2 -60) - 1 3 ) ,
4 \~--]n.p.Az~ = --la]2+ ~ As, = 0,
(9cos2(62--61)--4cos
)}
(46)
(g cos 2(62-6 ~) --4 cos 2(62--60)--5)
0.
L a mesure de Atv A l'angle 0 : ½n p e r m e t de s6parer les diffusions des 6tats singulet et triplet mais pour cet angle seulement. Ceci a 6t6 signal6 comme m6thode pour d6terminer avec plus de pr6cision le d6phasage S. Des calculs sont en cours pour 6tudier la d6pendance des valeurs prises par Avv et A,~ a 0 = ~ z en fonction des d6phasages S e t D. 5. C a l c u l s
et Discussions
Le calcul de t o u t e s les quantit6s envisag6es a 6t6 fait p o u r plusieurs ensembles de d6phasages donn6s par Mac Gregor 2). E n fait, on a calcul~ z a, z 2, z s A p a r t i r de la solution I de cet article, pour r e t r o u v e r les autres solutions suivant la m6thode donn6e h l'appendice 1.
J.
234
RAYNAL
Pour retrouver approximativement la dependance du genre de solution, nous pouvons r6soud.re de facon approchee les equations qui donnent les dephasages P et remplacer partout les fonctions trigonometriques par leur developpement. On obtient A.l’ordre le plus bas &J= +(c-6x+lOy),
S'=~(c-3a+5f/),
6%= *(c+&+Y)#
.(47)
oh c,x, y sont des constantes definies par
La solution 1 correspond aux valeurs positives de x et de y, lasolution 2 aux valeurs negatives de a et positives de y; la solution 3 aux valeurs positives de x et negatives de y; et la solution 4 aux valeurs negatives de x et y. La section efficace est
We) (4 dQ
n.D.
= tw+~lfc P9-tob-(J) Is+ f + f
fj(e)+
A(e)
x~{c”+12x*+my~
(49)
4patre,{x”+P}.
Elle est independante de la solution envisag4e. Dans le calcul des coefficients A,, , AYY, A,, A, et P nous pouvons s&parer une partie invariante et des parties qui changent de signe dune solution B l’autre. Pour mieux mettre en dvidence les diff&ences entre les solutions, nous remplacerons A(8) et B(B) par des expressions approchees. En effet pour une energie du proton incident variant de 10 A,40 MeV le param&re coulombien y d&roIt de 0.06 a 0.026 ce qui permet de remplacer f,(e) par le premier terme de son d&eloppement en puissances de y dans un asses large domaine de 8. En effet, pour que &Ln sin+e+2(u,--
Go)1M 2ypdl+f3+ll
5 0.1,
ilfaut que 8 > 2/e% radians soit 16" A 10 MeV, 8 > 21es radians soit 6” B 40 MeV. Les formules obtenues couvriront done tout le domaine pratiquement observable. Dans ces conditions, on a
(e)&(c~-w)+w)
S) (60)
DIFFUSION DE PROTONS POLARIS]~S
k 2A,, ( d4 ~a ) ..p. = {--~Tk2[a[2 +
235
~k2[/e(O)--/e(~--O)[2+ A (0)~-7 (c2+ 18x2+ 34y ~)
C
k2A~ ~
-- 4 ]a]* +~Tkm[/~(O)-/c(n--O)]*+A(0)~
n.p. =
c
(c2+18x2+34y ~)
3y
k2A *~( d ~ )/ n.p. = {A (0)tg0{ (3x2 + 7V2)--sin 0 cosO(x2+v2)}
(50)
3~, P=O. Dans les trois premieres expressions, nous pouvons remarquer que les solutions (1), (2) different des solutions (3), (4) seulement par un terme de la forme 3y
{cos2 0 (C-- si-~ O) ,
(51)
qui s'annule pour 0 ~ ½n mais qui peut 8tre tr~s important dans la zone d'interfdrence avec la diffusion coulombienne. Les calculs de la fig. 5 correspondent ~. une valeur de c tr~s faible, ce qui semble ~tre le cas ~. 20 MeV, car t o u s l e s syst~mes de ddphasages donnds par Mac Gregor A 19.8 MeV correspondent A une valeur de c n6gligeable. Ce param~tre a une interpr6tation physique tr~s importante: il ddtermine la possibilit6 de connaitre le signe des d6phasages P par mesure de la section efficace dans la r6gion d'interf6rence avec la diffusion coulombienne puisque lorsqu'il est nul on passe des solutions (1) et (2) aux solutions (3) et (4) en changeant t o u s l e s signes. La fig. 6 repr~sente un cas fictif c'est-h-dire un calcul avec des d6phasages de ddpart arbitraires, mais pour lesquels le coefficient c e s t tr~s grand pour mettre son influence en ~vidence. Les solutions (1), (4) different des solutions (2), (3) par un terme en sin 2 0 et ce terme est absent de l'expression de A ~ . Donc A l'approximation envisag~e il n'y a que deux valeurs diff6rentes de A~y et une mesure A un angle de l'ordre de 30 ° permet de rejeter les solutions (1), (2) ou les solutions (3), (4); ensuite une mesure de Am ~. 90 ° permet de d~terminer quelle solution parmi les quatre est la meilleure, sauf accident tel que des valeurs trop faibles de c, x ou y. La mesure de Avv ~. ½~ a un grand int~r~t car elle permet de d6terminer les d~phasages singulets.
(5)
f 60"
~ c =
1: (~o = 0.44, 2: ( ~ o = 10.51, 3:6 ° = --10.54, 4: (~o = _ 0 . 4 6 ,
ce qui correspond
solution solution solution solution
J 90 °
(6)
($1 (~1 (~ (]l
= : = =
--5.25, --0.20, 0.18, 5.23,
(~2 = 3.03; (5~ = - - 1 . 9 5 ; (5~ --. 1.93; ¢)2~ --3.05;
la s e c t i o n e f i i c a c e d i f f ~ r e n t i e l l e o b s e r v 6 e
0
Axx
- - 0 . 1 6 , x = 7.5, y - - 4.5.
solutions donnant
Cnn
F i g . 5. D i s t r i b u t i o n s a n g u l a i r e s p o u r les q u a t r e e t D (0 ° • 40). L e s d 6 p h a s a g e s P s o n t :
Ayy
"~ 19.8 M e V p o u r S (50 °)
3OL 2et 3 50L iet ~
I
90"
0
0
0
M
0
I00~
,~
\
Azz
d0")
(g)
~Ol._Z ee 3
P
-O.I
Aizx ~,~
o.OJ
o.
U!
0
°'
O.O3
.o~
sol
I-,
.'r'
tO
I
t
(nl
ILSOL 4
+s'(50L 2 6o"
Cnn I
80"
10.50, 23.08, --19.97, - - 7.39,
(12)
I 60*
50L Z et 3
I 90"
6t 6' 61 6'
= -.... = =
9.00, 2.87, 5.97, 12.11,
6~ 6' 6s 6t
= = = =
6.00; 0.28; 2.82; --2.89;
la m 6 m e s e c t i o n e f f i c a c e d i f f ~ r e n t i e l l e ~. 19.8 M e V p o u r S (50 °)
0
Axx
ce q u i c o r r e s p o n d ~ c = 13.50, x = 9, y = 13.50.
s o l u t i o n 1:(5 ° = s o l u t i o n 2: 6 0 = s o l u t i o n 3: (]o = solution 4:6 ° =
Fig. 6. D i s t r i b u t i o n s a n g u l a i r e s p o u r les q u a t r e s o l u t i o n s d o r m a n t e t D (0 c • 40). L e s d ~ p h a s a g e s s o n t :
Ayy
0
z
O O
O
O
240
j. RAYUAL
Si nous formons l'expression de C~ nous trouvons seulement le terme ayant xy en facteur, ce qui entralne que les valeurs de Ck= calcul~es pour les solutions (1) et (4) sont identiques entre elles, ainsi que celles des solutions (2) et (3). Pour A,~, l'expression est analogue aux pr~c6dentes avec la seule diff6rence du remplacement de cos 2 0 ou sin S 0 par sin 0 cos 0. La diff6rence entre les solutions (1), (2) et les solutions (3), (4) est donc plus importante pour les angles voisins de 90 °. A cette approximation la polarisation est nulle. Nous pouvons calculer les termes suivants:
_t_ {2?2 (!n sin ½0+ 1 sin'½0
In c ° s ½ 0 + l 1
c--~s2~20 ]sinO-t-~TccotgO l
+~sin
0 cos 0 (37y~+ 27x 2 - 2c2)/ x
3? La polarisation est donc tr~s sensible aux d~phasages puisque les expressions en facteur de x, y o u xy d~pendent elles mfimes des d~phasages P. La d~pendance de la solution est eompliqu~e ici par la presence d'un terme ayant x en facteur. Cependant, m~me en supposant ? tr~s petit le terme 2 sinOcosO(15y2+3a:,_lOzy)(c--
3? ) sin 9 0
(53)
indique une polarisation plus importante aux petits angles et ayant pour origine l'interfdrence avec la diffusion Coulombienne. Les figs. 6 et 6 donnent les rdsultats des calculs effectuds avec les expressions completes. Le cas 5 correspond ~. des d~phasages qui ont ~t6 calculds par Mac Gregor A 19.8 MeV; le cas 6 est fictif. Je tiens A remercier Monsieur Thirion, dont les experiences sont A l'origine de ce travail et Messieurs Bloch et Messiah qui m'ont aid6 de leurs conseils.
Appendice 1. D I ~ T E R M I N A T I O N D E S DI~PHASAG-ES P
La section efficace ddpend des ddphasages P par l'interm6diaire des param~tres 2zt - 2iz 2 = 9--e 2~*°- 3 e 2 ~ V 5e2~,, (A.1) 428 = 9 cos 2(52--51)+4 cos 2(~z--(5°)--13.
DIFFUSION DE PROTONS POLARISES
241
Si nous posons
62--5 ° - - a ,
~2 61=fl,
(A.2)
ces relations d e v i e n n e n t Ae w = 9 - - 2 z i - - 2 i z 2 = ( 5 + e 2 i ~ + 3 e Z ~ ) e - 2 ~*, 4z a
= 9 cos 2 f l + 4 cos 2~.--13,
As
= 3 5 + 1 0 cos 2 a + 3 0 cos 2 f l + 6 cos 2(~--fl).
(A.3)
avec
Si ~ = %, fl = fl0 est la solution du s y s t 6 m e (A.3), a = --a0, fl = --rio est aussi u n e solution: la relation entre les d e u x ddphasages 6 2 c o r r e s p o n d a n t s est 2z 2
(A.4)
2(62+62' ) ---- 27 = 2 a r c t g 9--2z~" P o u r rdsoudre le s y s t 6 m e (A.3) nous posons X = tga,
Y = tgfl,
et nous o b t e n o n s
2z3(1 -~-X2) (1 + y 2 )
+4X2+9y2+
13X 2 y2 __ 0,
~ ( 8 I - - A s) ( I + X 2) (1 + Y ~ ) - - 4 X 2 - - 9 Y 2 - 1 0 X
2Y 2 + 3 X Y
= O.
(A.5)
L ' 6 l i m i n a t i o n de X e n t r e les d e u x dquations (A.5) donne une dquation du q u a t r i 6 m e degrd en yo, mais on doit 61iminer la racine y2 = _ 1. I1 reste alors y6 (4Zo_ 2z a - 9)2+ y4 (48Zo2+ 8 Z a 2 32z oz 3+ 44z 3 - 72z o+ 36) + y2 (48zo2 + 4za2_ 16zoz 3+ 8z3) + 16Zo2 = 0,
(A.6)
aVC~C
Zo={
(Sl--A2)+§z3
3 1 2 + z 2 2 )~-aza. , = -2-zl---6-(Zl
De m ~ m e en 61iminant Y on o b t i e n t l'dquation
X 6(9zo - 2z3 - 4)2+ X 4(243 ZOO-+8z32- 72ZoZ3 - 72Zo+34za-i-36) + X2(243Zo2+4za2--36ZoZ3-t - 18za) +81z02 = 0.
(A.7)
Les d e u x dquations ont toujours une racine ndgative. Les d e u x autres racines, ont le m ~ m e signe si elles sont rdelles puisque les coefficients du t e r m e du sixi6me degrd et le t c r m e c o n s t a n t sont des carrds. P a r consdqucnt s'il y a une solution du s y s t 6 m e il cn existe q u a t r e dgalcment valables. E n dcrivant que ces d e u x racines e x i s t e n t et qu'elles sont positives on o b t i e n t d a n s le plan de zo, z ale d o m a i n e " p h y s i q u e " des points auxquels c o r r e s p o n d e n t des solutions. Si z o > 0, les solutions (1), (2), (3), (4)") c o r r e s p o n d e n t a u x racines en Y de l ' d q u a t i o n (A.6) de v a l e u r algdbrique ddcroissante. Si z o < 0, l'ordre des
242
j. R&YIqAL
solutions (2) et (3) est inversd. Le syst6me (A.4) ddtermine la valeur de X correspondante et les dquations (A.2) et (A.3) d o n n e n t les ddphasages. Si nous supposons une solution connue et donnde par les valeurs x et y de X et Y nous pouvons exprimer zo et z3 dans (A.6) et (A.7) $ l'aide de x et y. On obtient alors X a (4 + 9xy-- 5y 2) + (36 + 20x 2 - 8 l y z+ 72xy (A.S) + 121x~y2+45y 4 - 2 5 2 x y a - 6 1 x 2 y 4 ) X 2 - 8 1 y 2 ( 1 +xy) 2 = O, OU
y4 ( 9 + 4 x y + 5x 2)z+Y2 (36-- 16xZ+ 72xy-(A.9) 45y2-- 20x4 + 8xay-- 74x2y 2-61x4y 2) -- 16x2(1 + xy) 2 = O. Les solutions qui ne se d6duisent pas de la solution connue par la transformation (A.4) correspond aux racines des dquations (A.8) et (A.9). 2. R E L A T I O N E N T R E P L U S USITI~ES
LES AMPLITUDES
EMPLOYI~ES ET CELLES QUI SONT LES
1) Forma|isme h u n seul axe de quantification 5): Mu
b = -~ + ½ (c cos 0 ) + ½ ( d sin 0),
Mlo
-- v/2 (d cos 0--e sin 0),
1
MI_ 1 = yvlt'--l-/c2 ~ cos O)--½(d sin 0), M°l
b = M I I + M I _ 1, c = (Mll--MI_I)COS O+MolV/~. sin 0, d = MIOV'2 cos O+Moo sin 0
1
= (MII--MI_I) sin O--Mot~/-2 cos 0,
= x/---2(c sin O--d cos 0),
Moo = d sin 0 + e cos 0,
e = --MloX/2 sin 0+Moo cos 0, MS=a.
Les formules de passage ci-dessus sont celles qui sont obtenues en e m p l o y a n t les matrices de rotation. 2) Formalisme des invariants 5): a(O) = ~(b+ (c +e) cos O+ 2d sin O+a), c(O) = ~(2d cos O--(c+e)sin 0), re(O) = ¼(--b+ (c+e)cos O+ 2d sin O--a),
g(O) = ¼ ( b - a ) , h(0) =
a = =
a(O)+2g(0)--m(0),
c = 2h(O)+a(O)+m(O)cos 0 --2ic(O) sin 0, d = a(O) sin O+m(O) sin 0 --2ic(O) sin 0, e = --2h(O)+(a(O)+m(O)) cos 0 + 2ic(O) sin 0.
043
D I F F U S I O N D E PROTONS POLARIS]~S
3) Amplitudes donn6es par l'6change d'un pion 8):
g2 a --
4E
(A + B ) ,
g2 b --
4E (A--B),
g*
c --
(A+B),
A =
l÷co~0 xo÷cos 0
B--
l--cos0 Xo--COS 0
avec
4E
d=O, g2 e =
~
(A+B),
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