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Discrétisation ℙn-exacte de dérivées
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, Sbrie I, p. 999-1004, Analyse num~riquelNumerica/ Analysis
Discrhtisation Christophe
$,-exacte
le 23 novembre
R&urn&
et optimisation, scientifique
1997,
accept6
aprk
dkpartement de Rangueil, rivision
de 31077
gbnie mathkmatique, Institut Toulouse cedax 4, France
le 19 octohre
national
des
1998)
d’approcher, la dCrivCe(ou la d&i&e partielle) d’ordre (Y d’une fonction f par une combinaisonIinCairede translatkesde cette fonction, on d&ermine,pour n 2 IcyI fix& les coefficientsde la combinaisonlintaire de telle faGon que l’approximation ainsiobtenuesoit exactelorsqu’elleest appliquCeg despolynSmesde degrt5inf&ieur ou Cgal B 7~.On donne des formules explicites en dimension1, et en dimension quelconquelorsqueles valeursdes translationsopCr6essur f sont sur une grille, et on donne le systkme1inCaireB rCsoudrelorsque,en dimensionsupCrieureou Cgale 2 2, ces valeurs sont rt5partiesde faGonquelconque.Ceci est ensuitegCnCralisC pour approcherun opCrateurdiffkrentiel et permet alorsde dCfinir desquasi-interpolants; ceci permetde proposerune gCnCralisation de la diffbrencedivisCe.0 AcadCmiedes Sciences/Elsevier,Paris
Afin
P,l-exact
Abstract.
de dhrivhes
RABUT
Laboratoire approximation sciences appliqubes, complexe Courriel : [email protected] (ReCu
1998
discretization
of derivatives
We define an approximation of the order a (partial) derivative of a function f as a linear combination of translates of f: the coefJicients of the linear combination are such that the so-obtained approximation is exact when applied to polynomials of degree less than or equal to some integer number n 2 1a\11.Explicit formulae are given in one dimension, and in the multivariate case when the translations points are on a grid ; when the translation points are scattered, the linear system to be solved in order to determine the coeficients is given. This is used to dejine quasi-interpolants and to generalize the divided difference. 0 AcadBmiedesSciences/Elsevier, Paris
Abridged English
Version
In many situations we need approximate f (a) by a linear combination of translations of f, such as done in the univariate case and equidistant translations in [2]. To get arbitrary precision, here we demand the linear approximation to give an exact result when f is a polynomial of degree up to some arbitrary degree 7~> [a’(. This is done in the multivariate case and for scattered translations of f. A is a discrete subset of W”, 13is in Rd. Ah= {ah/c&A} and b+A = {b+a)a~A}. [A] (resp. [Ah], [b+ A]) is for the set of all segmentslinking 0 to some point of A (resp. of Ah, of [b+ A]). a is a fixed multi-integer, we use standard notations for multi-integers, such as in (1). $k = Pk(R’) is the set of polynomials of total degree at most Ic, while 3 is the set of all functions from Rd to R. n is a fixed integer (usually n 2 /al). DEFINITIONS. - 1. A functional E from .F to F is said to be a level n A-discretizution of D” if and only if (3) is true and there exists a vector X = (A,),,, such that (2). 2. If E is a level n A-discretization of D”, E f is called a $,-exact A-discretization of D”f. Note that (E f)(b) is a linear combination of pointwise values of f in b+ A. THEOREM 1. - A necessary and sufficient condition for E meeting (2) to be a P,,-exact discretization of D” is that (4) is true. Note prCsentCe par Philippe 0764.4442/98/03270999
G.
CIARLET.
0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris
999
C. Rabut
Proof. - We use the Taylor expansion of p E pn in b, (Ep)(O) = E (p(j3)) and (5). THEOREM 2. - Let C be defined by (6). We have (7). Let A,“,” = hINIX:,
Then Eh is a level n, A-discretization of D” and we have (8).
E hf = c Xt f(*+ah). aEA
Proof. - We use the Taylor expansion p,, of f in b, i.e. (9). Then we have (lo), then (11) and (7). (8) is then obtained by applying (7) to the operator E,, f. THEOREM 3. - Suppose A to be P,-unisolvent. Then:
i. for any Q E Nd, there exists one and only one level n A-discretization of D”. For any b E Wd, the (&),,.A meet the linear system (13); ii. let p, be the unique polynomial of degree at most n such that pa (a) = 1, Vc E A - {a}, p,(c) = 0, then we have (14); iii. in the univariate case, cardA = n + 1, and (15) is satisfied. Furthermore, if n = (Y, the so-obtained discretization does not depend on b and is precisely a! times the divided difference off in b+ A. Proof. - i. pa denotes the polynomial defined by (12). Then an operator E in the form (2) is a level n A-discretization of D” if and only if (16) is true. Since (E pa)(b) = C X,(b + a)@ and oEA Dapn( b) = p!/(/j-- cy)! if a < p, D”pa(b) = 0 otherwise, we have (13), whose matrix is non-singular as being the transposeof the matrix of the linear system of polynomial interpolation. ii. Is obtained by deriving (DE,jlpa)(0) by using (2) and by using (3). iii. We now use the explicit value of p,, known in one dimension; when n = CY,(15) gives cu! times the known coefficients of the divided difference. Examples. - 1. If A = {n, b, c} the only order 1, level 2 A-discretization A-divided difference is given by (17) which is (18) when a---h, b=O, and c=h, and which is (19) when b=O, a=h, c = 2h and d = 3h (21). 2. If A = {a, b, c, d} the only order 2, level 3 A-discretization A-divided difference is given by (20) which is (21) when a=-h, b=0, c=h, d=2h. Applications. - We can also define in the same way a level n A-discretization of a differential polynomial q(D): An operator E is a level n A-discretization of q(D) if and only if E is in the form (2) and if for all polynomial pp of degree less or equal n, Epa = (q(D))pa. If, for all a such that 1~15 k (AE),,.,A are the coefficients of a level n A-discretization of D” in b, then the operator E in the form (1) with X, = C cpX2 ’1sa level n A-discretization of q(D). I,bl
1. Introduction Pour une fonction f de W dans R, Steffensen dans [2] approche f(“) par une fonction du type ou les Ai sont determines de fagon a ce que E,, f = f(“) d&slors que f est Et, f = C;‘-, W(.+ih), un polynome de degre au plus 2n. On generalise ici cette demarche a plusieurs variables et pour une repartition de points quelconque, en dtfinissant pour une fonction f de Wddans R, pour un ensemble A c Wd et pour C\IEN~ et 71~N, la fonction Ef = C X,f(o + a), oti les coefficients X,EW sont aE4
determines de telle fagon que E f = D”f lorsque f est un polynome de degre inferieur ou Cgal a n. A est un sous-ensemblefini de Rd ; h est un element de Rd. La notation A + b designe l’ensemble des points c de W” tels qu’il existe GA tel que c = a+b. Pour hcb!,, on note Ah l’ensemble defini
1000
DiscrCtisation
P,,-exacte
de d&i&es
par Ah= {ah 1GA}. L a notation [A] (resp. [A + b], [Ah]) designe l’ensemble de tous les segments joignant 0 a un point de A (resp. de [A + b], de [Ah]). f3!.ENdest un multi-entier fixe; on utilise les notations sur les multi-entiers : ,,a - a?’ @’ . . . 3 est la derivee d’ordre ,B, “:j?’ a.+ Tdd”
On not&z’par ailleurs,‘&rr
FEN, ]]D”f]]oo,r.~hl = max sup ]D”f(z)]. IPl=k zE[&] designe l’espace vectoriel des polynomes sur Wd de degre total inferieur
Pour HEN, pk = $,(R”) ou Cgal a k. F est l’ensemble des fonctions de R” dans R, n est un entier fix6 (en general n 2 In]). A est dit P’,-unisolvant si et settlement si pour tout vecteur y = (Y~)~~A, il existe un et un seul polynome p dans $, tel que Vu E A, p(a) = yIL.
2. DiscrCtisation
de niveau n de D”
DEFINITION. - 1. Un operateur E de F dans .F est une A-discre’tisation de niveau n de D”, ou A-discre’tisation P,-exacte de D” si et seulement si : i. il existe un vecteur X = (&),,A tel que
v’f EF,
Ef
= c
M(.+
a),
(2)
lzE.4
ii.
Ep = D”p.
bE$,,
(3)
DI~FINITION. - 2. Dans les memesconditions, on dit que E f est une A-discre’tisation de niveau n de D”f, ou une A-discre’tisation P,-exacte de D”f. Remarque 1. - Comme (E f)(O) = c X, f(u), 1a valeur en 0 d’une A-discretisation de niveau n QEA de D” est une combinaison lineaire (dont les coefficients ne dependent pas de f, mais dependent de A, a et n) de valeurs de f aux points de A.
Remarque 2. - E f est defini m&me si D”f n’est pas definie ; par ailleurs, la regularite de E f est la m&me que la regularite de f, bien que lorsque D”f est definie E f approche D”f, en un sens qui est precise au theoreme 2 ci-dessous. TH~ORBME I. - Soit E un ope’rateur de la forme- (2). Une condition ne’cessaireet sujjisantepour que E soit une A-discrktisation de niveau n de D” est : 3bEW”
:
VPE $I?,,
(4) Dhonstration. - La condition est Cvidemment necessaire. Montrons qu’elle est suffisante, c’esta-dire que si on a (4), alors pour tout pep,, et tout zeIWd, on a (Ep)(z) = (D”p)(s). Ep &ant un polynome de degre 7~, on a, pour tout SW”, (Ep)(z) = c,,,,57L 9 (Ep)(“)(b) , soit, en utilisant le fait que (Ep) ($1= E (p’“‘), p?s p (‘)EP,, et done E (p(“)) =$@+fi) : (Ep)(z) THI~OR~ZME
@p)(b)
=
W’P)(~).
=
c (” - ‘) (E(pcO)))(h) = c ~p(“+.i)(h) = p(“)(z). li3l
“=C
c aEA
Ihal+
JI=n+l
0
(5)
XIX1 .
(.,
a)
(,$+y)
(t:‘-*;
l(Jl)
C6)
r,tl.
i. VbEIWd,
WP+‘([A+b]),
ii. Soit hEFfz ; soit X,h= h-Ial&
I(D”f)(b) - (Ef)@)l 5 C lID’“+‘f(* + ~)llc+].
(7)
et soit Eh f’opkrateur dP$ni par E h f = C Xi f(o + ah). rrE.4
1001
C. Rabut
Alors Eh est Ah-discre’tisation de niveau
v’f EC’“+l([Ah]):
de D”, de plus,
71.
I(D”f)(b) - (El, f)(b)1 L Ch”+‘+
Dkmonstration. - i. Soit p,, le dkveloppement limit6 d’ordre b’x E [A+b],
w,i’,=?2+1
j(x)
EIO, 1[ :
= p,,(x) +
71
c INI=TL+l
IID”+‘f(. + b)Il,,[.ut].
(8)
de f en h. Alors, (x ;,6)1’D’3f(b + e$
- 6)) (9)
b’.
En appliquant cette relation pour 3: = a + b, successivement pour tous les Clkments de A, et par combinaisons linkaires des relations ainsi obtenues, on a
c Auf(6 + u) = c X,p,,(h + 0,) + c c k$Y’f(6 (LEA CLE‘A at.4 Id[=rt+l
+ @fi,,
c’est-g-dire, en utilisant (2) et (3) et le fait que pour lr~l 2 71, (D”plL)(b) = (D’“f)(b),
(E ,f)(b) = (D”./‘)(b)
+ c
c
IIE.4
+‘f(b
+ O:,b).
l$j=,r+l
D’oti la ma.joration (6). ii. Notons- pp le polyn8me tel que :
vx E Fe, El, est de la forme (2) avec Ah de niveau n de D”, il faut et il \[?I 2 n + (Ei,p,y)(b) = (D”p!i)(b). (E/Lp!j)(O) = D(“)pp(()) On a (E,,p:j)(O) = C X::pp(nh) =
pp(x) = :P. (12) B la place de A. Pour que Eh soit une Ah-discrktisation suffit (thkorkme 1) qu’il existe &R”, tel que V’p E N, Soit done [j tel que I,01 5 n ; prenons b = 0 et montrons 1~-~“~+~~‘~ c &L(n)ti = Il-I’YI+IP(D’r~):l(0) . Ce qui donne, en
oE.4
tenant compte du fait que (D”~~~)(O) # 0 si et seulementsi CI:=@, (Eh p(,)(O) =D”p8(0). L’op&ateur El, est done une Ah-discrktisation de niveau n de D”. La majoration est alors une conskquence immediate de i. appliquk g El,. q
3. DCtermination
des coefficients
3.1. Existence, unicitk
( Xa)clEA
et expression lorsque
A est un sous-ensemble P,-unisolvant
3. - Su posons que A soit un ensemble P,,-unisolvant. Alors : i. pour tout nEPJ I 11 . exlste . une et une seule A-discrktisation de niveau n de D”. Quel que soit b E R”, sescoefjicients (Xa)aE.~ v&ri$ent le systkme linkaire rtfgulier suivant : TH~OR~ME
(13) On notera Dt,,4 la discre’tisation ci-dessus. ii. Pour tout GA, soit p,, l’unique polynCimede P,, tel que pa(u) = 1 et V’CEA - {a}, Les coejficients (Xa)aE;l de cette discre’tisation ve’ri$ent alors A,
=
pa(c) = 0.
P’pu,)(o).
iii. Cas particulier de la dimension 1 (d = 1) : A est un ensemblede n + 1 points, et on a 0
i
1002
(14)
DiscrCtisation
iv. En dimension 1, si R = o (et cardA = n + l), (DE,,f)(b) diviske usuelle de f calcule’e aux points de A+ b.
P,, -exacte
de dkrivkes
ey. t exactement of! ,fois la diflkrence
Dkmonstration. - i. Soit bER” ; de par le theoreme 1, pour que l’operateur E tel que CL) soi t une A-discretisation de niveau n. de D”, il faut et il suffit que V~EF, Ef= C XJ(.+ UEA VJP E N”, IpI < 7% * (Em)(b) = (D”p,j)(b). (16) QJ~ a CtC dtfini
par (12)).
Or (Epo)(b)
= C X,(b + a)” et D”p,y(b) = &V-” si (Y < [9, uF.4 D”po(b) = p! si u = /I, D”y,T(b) = 0 sinon. D’oti le systeme lineaire que doit satisfaire le vecteur X. Soit A.4 la matrice de ce systeme lineaire ; Mt est precisement la matrice du systeme lineaire de determination des coefficients dans la base des (py)llj,~,, d’un polynome d’interpolation sur les points de A+ b. A etant suppose P,-unisolvant, il en est de m&me de A+ b, et done M’ est reguliere ; il en est done de mCme de M. 01,, ~pour SEA, de deux man&es differentes. En utilisant (3), on a (i’ ;I;;;;” &y.;ucl; a . en utilisant (3), on a (DE,4~a)(0) = (D”pU)(0). D’ou le resultat. a, .ac 71,A a CEA iii. On beneficie en dimension 1 du fait que les polynbmes Pi, sont connus explicitement : on a est n! fois le coefficient de :I:(’ dans PI,,. Done I-j (e-c,/ I-l (a-c) ; (D%,)(O) YEA-{rr} C-CA-{a} si 7~ < a, A, = 0, et si 7~ = a, X, = cd! n (CA- c). Si 71. > (Y, le terme en .x0 est la somme de I &A-{a} tous les termes obtenus en prenant dans n (z-) c o f’lft 01s e ac eur :c et n - N facteurs du type
Pa =
-c, puis en divisant par C=IElflIjUJ(u-c).
On a done X,, = (-l)l’-‘Y~!
C-l
iv. Lorsque TZ= Q, la formule (15) donne exactement CY!fois les coefficients connus de la difference divisee de f aux points de A. 0 Remarque. - On voit done que si A contient strictement un ensemble P,,-unisolvant, il existe en general plusieurs A-discretisations de niveau 71 de D” en b, alors que si A est strictement contenu dans un ensemble P,-unisolvant, il n’existe pas en general de A-discretisation de niveau 7~ de D” en b. En particulier en dimension 1, les ensembles de moins de 7~ + 1 elements ne permettent en general pas de determiner une discretisation de niveau 71, alors que les ensembles de plus de r~ + 1 elements permettent en general d’en determiner plusieurs.
3.2. Exemples Exemple 1. - Supposons que A soit compose de 3 elements, notes a, b et c. Alors il existe une et une seule A-discretisation de niveau 2 de la derivee premiere, a savoir Dita~b~c~f
=
-b-c (u _ b)(ri _ c) f(”
on retrouve si a = -h,
+ ‘1 + (b --l’,i,,”
c) f(”
+ b, + (c --c;);”
b) f(.
+ c) ; (17)
b=O et c= h, la formule suivante connue pour Ctre exacte sur les paraboles : J&,,,.,+f
si b = 0, n = h et c =2h,
= (f(@ + h) - f(*
on obtient la formule
D~,(O,,L,Z+f = (-
- fl))Pfl;
(18)
suivante
3f + 4f(.
+ h) - f(a + 2h))/2h.
(19)
1003
C. Rabut
Exernple 2. - Si A est compose de 4 elements, appeles a, b, c, d, il existe une et une seule A-discretisation de niveau 3 de la d&i&e seconde. a savoir u + c+ d + u> + (a - b)(c - h)(d - b) jco + b, 0. + b + d a+b+r + (u - c)(b - c)(d - c) f(” + c) + (a-d)(b-d)(c-d) f(“+d) > ’ (20) on retrouve, si n = -h, b = 0, c = h et d = 2h, la formule suivante d’approximation de la d&iv&e b+ c + d
D~>(d,,..~l).f = 2 cb _ u>(c _ fl>(d _ cl,>ft.
seconde, connue pour &tre exacte sur les polynomes de degre inferieur ou egal a 3, et independante de f(d) : D~,{-rz,o.,~,,h)f
= (.f(. + h) - 2f + f(.
- h))/‘h?.
(21)
4. Applications 4.1. Discre’tisation
d’un ope’ruteurd@krentief.
- Soit q(D) = C,R,lk c,D” un polynbme differentiel. Alors un operateur E est une A-discretisation de niveau FLde y(D) si et settlement si q(D) est de la forme (2) et si pour tout polynome p,~ de degre inferieur ou egal a n, Ep:j = ((~(D))po. Si pour tout N tel que (0 5 k:, (Xc)uE;l sont les coefficients d’une A-discretisation de niveau 71de D”, alors l’operateur E de la forme (2) avec X, = C CR@ est une A-discretisation de niveau n de y(D). Si l:‘lIk card A 2 clim P,, , il existe en general d’autres A-discretisations de niveau n. de y(D).
4.2. Quasi-interpolarzt.
- Si p est telle que ((r(D))(p= 6, (ou ti est la distribution de Dirac) et si E-4 est une A-discretisation de niveau 71.de q(D), alors B, = E,qcpest en general une fonction en clothe ; des exemples en dimension 1 sont presentesdans [ 11. Un interpolant de la forme C [r,,p(o - a) (en general card A >> ,I?,)peut s’ecrire sous la forme c
I/I,-BI,-~(D - b). Les B~-.A ayant une forme de
clothe, le systemehneaire a resoudre pour determiner les coefficients (&)bE.J (bien que en general non diagonal-dominant), est davantage centre autour de la diagonale que celui a resoudre pour determiner les coefficients (/L,).~;L ; en ce sens,le systeme en (~b)h~;l est en general numeriquement < (en particulier plus stable en ce qui concerne les erreurs d’arrondis) que le systeme en (/I,),,~~~.
4.3. Diffkrence diviske de niveau 71.- Comme le montre le theoreme 2, si E est une A-discretisation de niveau II, de D”, (E .f) (b) est une approximation de (D” f)(b), l’ordre de convergence (au sens precise par le theoreme 2) Ctant n+ 1 - INI pour les fonctions de Cn+l : de plus, comme indique au theoreme 3, en dimension 1 lorsque n = o + 1, (Ef)(b) est exactement la difference divisee de f suivant les points de b- A. De sorte que (E f)(b) est une generalisation de la difference divisee d’ordre (r (P,,-exactitude au lieu de P,,-exactitude, et dimension quelconque au lieu de dimension 1). Lorsque A est un ensemble P,-unisolvant, nous appellerons (E f)(b) A-diffr’rence divis& de niveau 71 de f en b; le detail des proprietes de cette notion et la comparaison avec les proprietes de la difference divide. seront present&sdans un prochain article,
RCfdrences bibliographiques [I] Conti C., Rabut C., A Technique for Construction of Generalized B-splines, soumis and Surfaces II, Vanderbilt University Press, Nashville, TN, 1998. [2] Steffensen J.F.. Interpolation, Chelsea Publishing Company. New York, 1950.
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?I Mathematical
Methods
for Curves
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discretization
of derivatives
We define an approximation of the order a (partial) derivative of a function f as a linear combination of translates of f: the coefJicients of the linear combination are such that the so-obtained approximation is exact when applied to polynomials of degree less than or equal to some integer number n 2 1a\11.Explicit formulae are given in one dimension, and in the multivariate case when the translations points are on a grid ; when the translation points are scattered, the linear system to be solved in order to determine the coeficients is given. This is used to dejine quasi-interpolants and to generalize the divided difference. 0 AcadBmiedesSciences/Elsevier, Paris
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Version
In many situations we need approximate f (a) by a linear combination of translations of f, such as done in the univariate case and equidistant translations in [2]. To get arbitrary precision, here we demand the linear approximation to give an exact result when f is a polynomial of degree up to some arbitrary degree 7~> [a’(. This is done in the multivariate case and for scattered translations of f. A is a discrete subset of W”, 13is in Rd. Ah= {ah/c&A} and b+A = {b+a)a~A}. [A] (resp. [Ah], [b+ A]) is for the set of all segmentslinking 0 to some point of A (resp. of Ah, of [b+ A]). a is a fixed multi-integer, we use standard notations for multi-integers, such as in (1). $k = Pk(R’) is the set of polynomials of total degree at most Ic, while 3 is the set of all functions from Rd to R. n is a fixed integer (usually n 2 /al). DEFINITIONS. - 1. A functional E from .F to F is said to be a level n A-discretizution of D” if and only if (3) is true and there exists a vector X = (A,),,, such that (2). 2. If E is a level n A-discretization of D”, E f is called a $,-exact A-discretization of D”f. Note that (E f)(b) is a linear combination of pointwise values of f in b+ A. THEOREM 1. - A necessary and sufficient condition for E meeting (2) to be a P,,-exact discretization of D” is that (4) is true. Note prCsentCe par Philippe 0764.4442/98/03270999
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Proof. - We use the Taylor expansion of p E pn in b, (Ep)(O) = E (p(j3)) and (5). THEOREM 2. - Let C be defined by (6). We have (7). Let A,“,” = hINIX:,
Then Eh is a level n, A-discretization of D” and we have (8).
E hf = c Xt f(*+ah). aEA
Proof. - We use the Taylor expansion p,, of f in b, i.e. (9). Then we have (lo), then (11) and (7). (8) is then obtained by applying (7) to the operator E,, f. THEOREM 3. - Suppose A to be P,-unisolvent. Then:
i. for any Q E Nd, there exists one and only one level n A-discretization of D”. For any b E Wd, the (&),,.A meet the linear system (13); ii. let p, be the unique polynomial of degree at most n such that pa (a) = 1, Vc E A - {a}, p,(c) = 0, then we have (14); iii. in the univariate case, cardA = n + 1, and (15) is satisfied. Furthermore, if n = (Y, the so-obtained discretization does not depend on b and is precisely a! times the divided difference off in b+ A. Proof. - i. pa denotes the polynomial defined by (12). Then an operator E in the form (2) is a level n A-discretization of D” if and only if (16) is true. Since (E pa)(b) = C X,(b + a)@ and oEA Dapn( b) = p!/(/j-- cy)! if a < p, D”pa(b) = 0 otherwise, we have (13), whose matrix is non-singular as being the transposeof the matrix of the linear system of polynomial interpolation. ii. Is obtained by deriving (DE,jlpa)(0) by using (2) and by using (3). iii. We now use the explicit value of p,, known in one dimension; when n = CY,(15) gives cu! times the known coefficients of the divided difference. Examples. - 1. If A = {n, b, c} the only order 1, level 2 A-discretization A-divided difference is given by (17) which is (18) when a---h, b=O, and c=h, and which is (19) when b=O, a=h, c = 2h and d = 3h (21). 2. If A = {a, b, c, d} the only order 2, level 3 A-discretization A-divided difference is given by (20) which is (21) when a=-h, b=0, c=h, d=2h. Applications. - We can also define in the same way a level n A-discretization of a differential polynomial q(D): An operator E is a level n A-discretization of q(D) if and only if E is in the form (2) and if for all polynomial pp of degree less or equal n, Epa = (q(D))pa. If, for all a such that 1~15 k (AE),,.,A are the coefficients of a level n A-discretization of D” in b, then the operator E in the form (1) with X, = C cpX2 ’1sa level n A-discretization of q(D). I,bl
1. Introduction Pour une fonction f de W dans R, Steffensen dans [2] approche f(“) par une fonction du type ou les Ai sont determines de fagon a ce que E,, f = f(“) d&slors que f est Et, f = C;‘-, W(.+ih), un polynome de degre au plus 2n. On generalise ici cette demarche a plusieurs variables et pour une repartition de points quelconque, en dtfinissant pour une fonction f de Wddans R, pour un ensemble A c Wd et pour C\IEN~ et 71~N, la fonction Ef = C X,f(o + a), oti les coefficients X,EW sont aE4
determines de telle fagon que E f = D”f lorsque f est un polynome de degre inferieur ou Cgal a n. A est un sous-ensemblefini de Rd ; h est un element de Rd. La notation A + b designe l’ensemble des points c de W” tels qu’il existe GA tel que c = a+b. Pour hcb!,, on note Ah l’ensemble defini
1000
DiscrCtisation
P,,-exacte
de d&i&es
par Ah= {ah 1GA}. L a notation [A] (resp. [A + b], [Ah]) designe l’ensemble de tous les segments joignant 0 a un point de A (resp. de [A + b], de [Ah]). f3!.ENdest un multi-entier fixe; on utilise les notations sur les multi-entiers : ,,a - a?’ @’ . . . 3 est la derivee d’ordre ,B, “:j?’ a.+ Tdd”
On not&z’par ailleurs,‘&rr
FEN, ]]D”f]]oo,r.~hl = max sup ]D”f(z)]. IPl=k zE[&] designe l’espace vectoriel des polynomes sur Wd de degre total inferieur
Pour HEN, pk = $,(R”) ou Cgal a k. F est l’ensemble des fonctions de R” dans R, n est un entier fix6 (en general n 2 In]). A est dit P’,-unisolvant si et settlement si pour tout vecteur y = (Y~)~~A, il existe un et un seul polynome p dans $, tel que Vu E A, p(a) = yIL.
2. DiscrCtisation
de niveau n de D”
DEFINITION. - 1. Un operateur E de F dans .F est une A-discre’tisation de niveau n de D”, ou A-discre’tisation P,-exacte de D” si et seulement si : i. il existe un vecteur X = (&),,A tel que
v’f EF,
Ef
= c
M(.+
a),
(2)
lzE.4
ii.
Ep = D”p.
bE$,,
(3)
DI~FINITION. - 2. Dans les memesconditions, on dit que E f est une A-discre’tisation de niveau n de D”f, ou une A-discre’tisation P,-exacte de D”f. Remarque 1. - Comme (E f)(O) = c X, f(u), 1a valeur en 0 d’une A-discretisation de niveau n QEA de D” est une combinaison lineaire (dont les coefficients ne dependent pas de f, mais dependent de A, a et n) de valeurs de f aux points de A.
Remarque 2. - E f est defini m&me si D”f n’est pas definie ; par ailleurs, la regularite de E f est la m&me que la regularite de f, bien que lorsque D”f est definie E f approche D”f, en un sens qui est precise au theoreme 2 ci-dessous. TH~ORBME I. - Soit E un ope’rateur de la forme- (2). Une condition ne’cessaireet sujjisantepour que E soit une A-discrktisation de niveau n de D” est : 3bEW”
:
VPE $I?,,
(4) Dhonstration. - La condition est Cvidemment necessaire. Montrons qu’elle est suffisante, c’esta-dire que si on a (4), alors pour tout pep,, et tout zeIWd, on a (Ep)(z) = (D”p)(s). Ep &ant un polynome de degre 7~, on a, pour tout SW”, (Ep)(z) = c,,,,57L 9 (Ep)(“)(b) , soit, en utilisant le fait que (Ep) ($1= E (p’“‘), p?s p (‘)EP,, et done E (p(“)) =$@+fi) : (Ep)(z) THI~OR~ZME
@p)(b)
=
W’P)(~).
=
c (” - ‘) (E(pcO)))(h) = c ~p(“+.i)(h) = p(“)(z). li3l
“=C
c aEA
Ihal+
JI=n+l
0
(5)
XIX1 .
(.,
a)
(,$+y)
(t:‘-*;
l(Jl)
C6)
r,tl.
i. VbEIWd,
WP+‘([A+b]),
ii. Soit hEFfz ; soit X,h= h-Ial&
I(D”f)(b) - (Ef)@)l 5 C lID’“+‘f(* + ~)llc+].
(7)
et soit Eh f’opkrateur dP$ni par E h f = C Xi f(o + ah). rrE.4
1001
C. Rabut
Alors Eh est Ah-discre’tisation de niveau
v’f EC’“+l([Ah]):
de D”, de plus,
71.
I(D”f)(b) - (El, f)(b)1 L Ch”+‘+
Dkmonstration. - i. Soit p,, le dkveloppement limit6 d’ordre b’x E [A+b],
w,i’,=?2+1
j(x)
EIO, 1[ :
= p,,(x) +
71
c INI=TL+l
IID”+‘f(. + b)Il,,[.ut].
(8)
de f en h. Alors, (x ;,6)1’D’3f(b + e$
- 6)) (9)
b’.
En appliquant cette relation pour 3: = a + b, successivement pour tous les Clkments de A, et par combinaisons linkaires des relations ainsi obtenues, on a
c Auf(6 + u) = c X,p,,(h + 0,) + c c k$Y’f(6 (LEA CLE‘A at.4 Id[=rt+l
+ @fi,,
c’est-g-dire, en utilisant (2) et (3) et le fait que pour lr~l 2 71, (D”plL)(b) = (D’“f)(b),
(E ,f)(b) = (D”./‘)(b)
+ c
c
IIE.4
+‘f(b
+ O:,b).
l$j=,r+l
D’oti la ma.joration (6). ii. Notons- pp le polyn8me tel que :
vx E Fe, El, est de la forme (2) avec Ah de niveau n de D”, il faut et il \[?I 2 n + (Ei,p,y)(b) = (D”p!i)(b). (E/Lp!j)(O) = D(“)pp(()) On a (E,,p:j)(O) = C X::pp(nh) =
pp(x) = :P. (12) B la place de A. Pour que Eh soit une Ah-discrktisation suffit (thkorkme 1) qu’il existe &R”, tel que V’p E N, Soit done [j tel que I,01 5 n ; prenons b = 0 et montrons 1~-~“~+~~‘~ c &L(n)ti = Il-I’YI+IP(D’r~):l(0) . Ce qui donne, en
oE.4
tenant compte du fait que (D”~~~)(O) # 0 si et seulementsi CI:=@, (Eh p(,)(O) =D”p8(0). L’op&ateur El, est done une Ah-discrktisation de niveau n de D”. La majoration est alors une conskquence immediate de i. appliquk g El,. q
3. DCtermination
des coefficients
3.1. Existence, unicitk
( Xa)clEA
et expression lorsque
A est un sous-ensemble P,-unisolvant
3. - Su posons que A soit un ensemble P,,-unisolvant. Alors : i. pour tout nEPJ I 11 . exlste . une et une seule A-discrktisation de niveau n de D”. Quel que soit b E R”, sescoefjicients (Xa)aE.~ v&ri$ent le systkme linkaire rtfgulier suivant : TH~OR~ME
(13) On notera Dt,,4 la discre’tisation ci-dessus. ii. Pour tout GA, soit p,, l’unique polynCimede P,, tel que pa(u) = 1 et V’CEA - {a}, Les coejficients (Xa)aE;l de cette discre’tisation ve’ri$ent alors A,
=
pa(c) = 0.
P’pu,)(o).
iii. Cas particulier de la dimension 1 (d = 1) : A est un ensemblede n + 1 points, et on a 0
i
1002
(14)
DiscrCtisation
iv. En dimension 1, si R = o (et cardA = n + l), (DE,,f)(b) diviske usuelle de f calcule’e aux points de A+ b.
P,, -exacte
de dkrivkes
ey. t exactement of! ,fois la diflkrence
Dkmonstration. - i. Soit bER” ; de par le theoreme 1, pour que l’operateur E tel que CL) soi t une A-discretisation de niveau n. de D”, il faut et il suffit que V~EF, Ef= C XJ(.+ UEA VJP E N”, IpI < 7% * (Em)(b) = (D”p,j)(b). (16) QJ~ a CtC dtfini
par (12)).
Or (Epo)(b)
= C X,(b + a)” et D”p,y(b) = &V-” si (Y < [9, uF.4 D”po(b) = p! si u = /I, D”y,T(b) = 0 sinon. D’oti le systeme lineaire que doit satisfaire le vecteur X. Soit A.4 la matrice de ce systeme lineaire ; Mt est precisement la matrice du systeme lineaire de determination des coefficients dans la base des (py)llj,~,, d’un polynome d’interpolation sur les points de A+ b. A etant suppose P,-unisolvant, il en est de m&me de A+ b, et done M’ est reguliere ; il en est done de mCme de M. 01,, ~pour SEA, de deux man&es differentes. En utilisant (3), on a (i’ ;I;;;;” &y.;ucl; a . en utilisant (3), on a (DE,4~a)(0) = (D”pU)(0). D’ou le resultat. a, .ac 71,A a CEA iii. On beneficie en dimension 1 du fait que les polynbmes Pi, sont connus explicitement : on a est n! fois le coefficient de :I:(’ dans PI,,. Done I-j (e-c,/ I-l (a-c) ; (D%,)(O) YEA-{rr} C-CA-{a} si 7~ < a, A, = 0, et si 7~ = a, X, = cd! n (CA- c). Si 71. > (Y, le terme en .x0 est la somme de I &A-{a} tous les termes obtenus en prenant dans n (z-) c o f’lft 01s e ac eur :c et n - N facteurs du type
Pa =
-c, puis en divisant par C=IElflIjUJ(u-c).
On a done X,, = (-l)l’-‘Y~!
C-l
iv. Lorsque TZ= Q, la formule (15) donne exactement CY!fois les coefficients connus de la difference divisee de f aux points de A. 0 Remarque. - On voit done que si A contient strictement un ensemble P,,-unisolvant, il existe en general plusieurs A-discretisations de niveau 71 de D” en b, alors que si A est strictement contenu dans un ensemble P,-unisolvant, il n’existe pas en general de A-discretisation de niveau 7~ de D” en b. En particulier en dimension 1, les ensembles de moins de 7~ + 1 elements ne permettent en general pas de determiner une discretisation de niveau 71, alors que les ensembles de plus de r~ + 1 elements permettent en general d’en determiner plusieurs.
3.2. Exemples Exemple 1. - Supposons que A soit compose de 3 elements, notes a, b et c. Alors il existe une et une seule A-discretisation de niveau 2 de la derivee premiere, a savoir Dita~b~c~f
=
-b-c (u _ b)(ri _ c) f(”
on retrouve si a = -h,
+ ‘1 + (b --l’,i,,”
c) f(”
+ b, + (c --c;);”
b) f(.
+ c) ; (17)
b=O et c= h, la formule suivante connue pour Ctre exacte sur les paraboles : J&,,,.,+f
si b = 0, n = h et c =2h,
= (f(@ + h) - f(*
on obtient la formule
D~,(O,,L,Z+f = (-
- fl))Pfl;
(18)
suivante
3f + 4f(.
+ h) - f(a + 2h))/2h.
(19)
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C. Rabut
Exernple 2. - Si A est compose de 4 elements, appeles a, b, c, d, il existe une et une seule A-discretisation de niveau 3 de la d&i&e seconde. a savoir u + c+ d + u> + (a - b)(c - h)(d - b) jco + b, 0. + b + d a+b+r + (u - c)(b - c)(d - c) f(” + c) + (a-d)(b-d)(c-d) f(“+d) > ’ (20) on retrouve, si n = -h, b = 0, c = h et d = 2h, la formule suivante d’approximation de la d&iv&e b+ c + d
D~>(d,,..~l).f = 2 cb _ u>(c _ fl>(d _ cl,>ft.
seconde, connue pour &tre exacte sur les polynomes de degre inferieur ou egal a 3, et independante de f(d) : D~,{-rz,o.,~,,h)f
= (.f(. + h) - 2f + f(.
- h))/‘h?.
(21)
4. Applications 4.1. Discre’tisation
d’un ope’ruteurd@krentief.
- Soit q(D) = C,R,lk c,D” un polynbme differentiel. Alors un operateur E est une A-discretisation de niveau FLde y(D) si et settlement si q(D) est de la forme (2) et si pour tout polynome p,~ de degre inferieur ou egal a n, Ep:j = ((~(D))po. Si pour tout N tel que (0 5 k:, (Xc)uE;l sont les coefficients d’une A-discretisation de niveau 71de D”, alors l’operateur E de la forme (2) avec X, = C CR@ est une A-discretisation de niveau n de y(D). Si l:‘lIk card A 2 clim P,, , il existe en general d’autres A-discretisations de niveau n. de y(D).
4.2. Quasi-interpolarzt.
- Si p est telle que ((r(D))(p= 6, (ou ti est la distribution de Dirac) et si E-4 est une A-discretisation de niveau 71.de q(D), alors B, = E,qcpest en general une fonction en clothe ; des exemples en dimension 1 sont presentesdans [ 11. Un interpolant de la forme C [r,,p(o - a) (en general card A >> ,I?,)peut s’ecrire sous la forme c
I/I,-BI,-~(D - b). Les B~-.A ayant une forme de
clothe, le systemehneaire a resoudre pour determiner les coefficients (&)bE.J (bien que en general non diagonal-dominant), est davantage centre autour de la diagonale que celui a resoudre pour determiner les coefficients (/L,).~;L ; en ce sens,le systeme en (~b)h~;l est en general numeriquement <
4.3. Diffkrence diviske de niveau 71.- Comme le montre le theoreme 2, si E est une A-discretisation de niveau II, de D”, (E .f) (b) est une approximation de (D” f)(b), l’ordre de convergence (au sens precise par le theoreme 2) Ctant n+ 1 - INI pour les fonctions de Cn+l : de plus, comme indique au theoreme 3, en dimension 1 lorsque n = o + 1, (Ef)(b) est exactement la difference divisee de f suivant les points de b- A. De sorte que (E f)(b) est une generalisation de la difference divisee d’ordre (r (P,,-exactitude au lieu de P,,-exactitude, et dimension quelconque au lieu de dimension 1). Lorsque A est un ensemble P,-unisolvant, nous appellerons (E f)(b) A-diffr’rence divis& de niveau 71 de f en b; le detail des proprietes de cette notion et la comparaison avec les proprietes de la difference divide. seront present&sdans un prochain article,
RCfdrences bibliographiques [I] Conti C., Rabut C., A Technique for Construction of Generalized B-splines, soumis and Surfaces II, Vanderbilt University Press, Nashville, TN, 1998. [2] Steffensen J.F.. Interpolation, Chelsea Publishing Company. New York, 1950.
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?I Mathematical
Methods
for Curves