Effets d'une barrière de potentiel et d'une relaxation de surface en diffraction d'électrons lents

SURFACE

SCIENCE 42 (1974) 467484

EFFETS

D’UNE

D’UNE

0 Nosh-Holland

BARRIERE

RELAXATION

DIFFRACTION

Publishing Co.

DE POTENTIEL DE SURFACE

D’fiLECTRONS

ET

EN

LENTS

COMPARAISON ENTRE CALCUL EXACT ET METHODE PERTURBATION POUR UN DI~USEUR ISOTROPE

DE

G. ALBINET De’partement Electrons Len&, Universite’ de Provence, 3, Place Victor Hugo, 13003 Marseille, France

et R. BAUDOING,

D. ABERDAM

et V. HOFFSTEIN

Laboratoire de Spectromt%rie Physique, B.P. No. 53 Centre de Tri, 38041 Grenoble Cedex, France Received 25 June 1973; revised manuscript received 9 October 1973

We compare low energy electron diffraction intensities given by exact and third order perturbation formulations of the inelastic collision model in a simple case [S wave scatterer, (001) plane face-centered-cubic crystal]. The description is generalized to include surfaces with relaxation of the first atomic layer and with a potentiel barrier. The convergence is found to be very good for a perfect crystal and a crystal with a relaxed layer; it is somewhat worse when the barrier is included, which might be due to the neglect of barrier multiple scattering terms. 1. Introduction

De nombreux auteursl-12) ont present& des calculs de la variation de l’intensite de la Mexion speculaire en fonction de l’energie pour la diffraction des electrons lents (DEL) par un monocristal. Plus r~~emment, I’ttude des diagrammes en rotation13,~l), qui representent un test plus critique pour une theorie dynamique de la DEL, a mis en evidence ie d&accord entre l’expkrience et des resultats thtoriques utilisant fe diffuseur isotrope. L’introduction de diffuseurs plus proches de la realitt a conduit a des temps de calcul de plus en plus longs. 11est alors devenu interessant de developper des mtthodes de perturbations au 2e ordre la*16)ou au 3e ordrel79 1s~as). Nous utilisons ici deux de ces methodes: dans la premiere la diffusion par une couche est traitee exactement, l’approximation ne portant que sur les processus intercouches (methode de la matrice z 2,1F). La seconde consiste en 467

468

G.ALBINET

ET AL.

un developpement limit6 au troisieme ordre des processus de diffusion atomiques, inter et intra plan (matrice t)8). Nous prtsentons ici la comparaison entre le calcul exact et ces mtthodes approchtes, dans le modele de collisions in~lastiquesl), pour un diffuseur isotrope. Nous generalisons aussi notre modele en introduisant de nouveaux diagrammes pour tenir compte d’un deplacement de la premiere couche atomique et dune barrike de potentiel a la surface. Flamholz et Kriegeres) ont deja aborde ce probleme de l’influence simultante d’une relaxation de la position de la premiere couche atomique et d’un saut de potentiei a la surface du cristal sur les intensites de DEL. Mais ils se sont limit& a un modele de potentiel unidimensionnel, et ne peuvent ainsi pas tenir compte des processus de multidiffraction intra couche tres importants en DELaa). D’autres auteurs ont tenu compte uniquement de la relaxation de surfaces@se) dans Ie cas dune cristal tridimensionnel. Bien entendu, le fait que nous nous limitions a un seul dephasage pour decrire le potentiel diffuseur, ne nous permet pas de comparer nos resultats a ceux des experiences. Notre but est essentiellement d’etudier la convergence des methodes de perturbations utilistes. Les calculs presentes concernent la face (001) d’un cristal cubique a faces centrtes dont le parambtre est celui de l’aluminium.

2. Calcul exact L’intensite d’une tache de diffraction indicee reciproque du plan de surface) est donnee par:

dans un systeme d’unites tltmentaire de surface;

telles que:

kY’(g)

=

IE

par g (vecteur

du reseau

ti =2rn = 1 avec A= aire de la maille

-

lkll

+

II

2 l/2 /

(2)

est la composante normale dans le vide du vecteur d’onde associt au faisceau g, k,, Ctant la projection sur le plan de surface du vecteur d’onde du faisceau incident; k?(g) est la composante normale dans le cristat du vecteur d’onde associe au faisceau g: k?(g)

= [E - C (E) - lkli + g[2j”2 = k, (g),

1 (E) Btant la self-Cnergie introduite

dans le modele pour traduire

(3) l’existence

EFFETS

D’UNE

d’interactions electron-electron

BARRIeRE

469

DE POTENTIEL

dans le cristal;

T (8) = 7” (kg,ko)=

cV Wv (kg,ko)

3

(4)

ou v est l’indice de sommation sur tous les plans paralleles A la surface; T,, (k,, k,) = amplitude due a tous les processus de diffusion se terminant sur le plan v pour la transition k, + k,; R, = expi [(h

- g *dll WI

(0) + h_ (9)) 44

(5)

est un terme de phase correspondant au plan v. ~amplitude diffuste par chaque plan v est &galeBla somme de deux termes : (a) L’amplitude de I’onde diffuste si le plan v Ctait seul; (b) L’amplitude de diffusion par ce plan des ondes que lui envoient tous les autres plans v’, soit: TV

(kg, k,) = z, (k,, k,) f 7, (k,, k’) t: Gvv’(k’) G* ck’, ko)y v’*v

(6)

oh G’“’ est le propagateur caracttrisant le passage de l’electron du plan v au plan v’. I1 s’tcrit, pour un cristal cubique a faces centreesas): Q’“‘(k)

= _ ii

‘c-_.-!k, W

exp [ig’

* dil

(v

-

v’)]

9’

x exp [ - ik, (0) d, (v - v’) + ik, (9’) d, Iv - v’i] .

(71

L’amplitude de diffusion lice au plan v s’il Ctait seul est donnee par Duke 2s): t, (k,, k,) = t (k,, k’) [l - GsP(k’) t (k’, k,)] -1.

(8)

La quantite t (k,, k’) est reliee au facteur de diffusion dun site cristallin et vaut, dans le cas du diffuseur isotrope: t (k,, k’) = t [k(E)]

= $

[exp (23,) - 11,

(9)

oh k(E)=

[E--C(E)Jt, et 6, est le d&phasage S de notre modele. Enfin, Gsp(k’) est le propagateur intraplanaire qui d&it i’effet de tous les sites du plan sur l’un d’entre eux pour la diffusion:

G’P(+-&

c

ew Cikt-f9PI1exp(-

PitO

IPI

ik*P),

(10)

06 P est un vecteur du rtseau direct du plan diffusant. Nous discutons plus en detail dans I’appendice des proprietes de GSP pour un reseau car& du diffuseurs S. En ce qui concerne le nombre de couches a faire intervenir, nous avons pu

470

G. ALBINET

ET AL.

nous rendre compte que la variation relative de 1”intensitCest inftrieure SS1% quand on passe de 10 B 15 couches, k 0.01% de 15 B 20 couches, quels que soient les paramLttres #incidence, pour une Cnergie des electrons incidents de I’ordre de 20 eV environ. 3. Calculs en utilisant un dhveloppement en perturbations Nous allons voir successivement les deux approches utilikes: d’abord en calculant exactement la diffusion par un plan cristallin, puis en nous limitant au troisieme ordre en perturbations, m&me dans un plan. 3.1. APPROCHEEN CALCULANT T EXACTEMENT Nous donnons rapidement ici les diagrammes introduits et les expressions analytiques correspondantes. La faGon de les obtenir est d&rite de faGon d&aillCe dans r&fs. 18 et 22. Nous utiliserons les notations suivantes:

(lib) Dl

R+(0)R- tsl> bl> = 1 -R+(O)K-(g,)’

I), (91) =

R-(g)

h

82)

(0)

!?2>

R-

(9)

R+

(91)

R-

(82) We)

-

R+

R(Sit

IlId)

= 1

B‘s

R+ (9,)

1 -R-(g)R+tg,)’ R+

D3

(1lc)

tgd

(0)

RR+

67)

R+

b,)R-

(d’

(gd

= 1 -R-b,)

R+(gz)’

Nous admettons que les coefficients de diffusion ne dkpendent pas du plan v considtk Dans toutes les figures, un rectangle reprbsentera la diffusion par un plan, un point la diffusion par un atome. Premier ordre

EFFETS

Deuxitme

D’UNE

BARRIPRE

471

DE POTENTIEL

ordre

La contribution de ces deux diagrammes a l’amplitude diffuste sera (les expressions analytiques sont dans le m&me ordre que les diagrammes ci-dessus) :

:,~&dDz(ad +DI (gdl

T(‘) (9) = -

+g, kg,>+,,, k,)

[k,(g,)l-‘.

91

(13)

Nous avons verifit que cette expression reference 2. TroisiPme ordre

!G%sE2 (II

est identique

(2)

a l’tquation

(23) de la

(31

Bi!i!5i!@ (4)

(5)

(6)

(8)

(7)

Tt3) = _ (8)

L

DO ID, (91, gz) L-1+

4A2 c +

D,

(sl>

92)

[1

+

D,

(gz)

D,

(gd)

+

D,

(92)

z (kg,

+ k,)

D2 z h

D2

(92)

(sdl

+

+ kz)

D2

x h

DI

(sdl

(92) kc,)

D2

671)

Ck,

(gd

k,

(gX1. (14)

Les termes de phase de cette expression s’identifiant a ceux du troisieme ordre pour l’equation (25) de la reference 18. 11 nous suffira ensuite decrire que I’amplitude totale diffuste est, dans le cadre de notre approximation de perturbation au troisieme ordre, donnte par: T (g ) = T;g;’ + T$g;’ + T;;; .

(15)

472

0.ALBINET

ET AL.

3.2. APPROCHEENSELIMITANTAUTROISIBMEORDREENPERTURBATIONS 11 faut ici introduire

Cinq au troisibme

un nouveau

diagramme

au second

ordre:

ordre:

(13)

(12)

Le calcul des expressions analytiques correspondantes se complique du fait que l’on ne peut plus passer facilement du reseau direct au reseau reciproque, la condition PfO nous en empechant. Nous sommes obligtes de calculer numeriquement les GSP(kJ pour chacun des faisceaux de vecteurs d’ondes ki. Nous verrons dans l’appendice une methode de calcul acc&CrC des GSp, combinant des so~ations sur les vecteurs des rtseaux direct et reciproque. L’expression analytique du diagramme du deuxieme ordre ci-dessus est: & et pour le troisieme

f&,,

k) GsP(k) f(k,

k,),

(16)

ordre:

- 2; & it-02 (92) + DI (gz)]

t(k,,4) GSP (4) t(k,>kd t@a kd

+ CD,(sd + D,(sdl t(kg,kd f (k,>kd G”‘(b) f (kz>ko))1

(17)

Cette derniere mtthode decrit la diffusion des electrons tents par un cristaf semi-infini sans inverser de matrice. EIIetrouvera toute son efhcacite dans le cadre d’un modble de diffuseur anisotrope. Seuls interviennent aiors les facteurs de diffusion t(k’, k) des cceurs ioniques, diagonaux dans une representation en moments angulaires. 4. Comparaison des rCsultats obtenus A l’aide des diffkentes

methodes

Nous pouvons constater (fig. 1) que les resultats obtenus avec les trois mtthodes sont tres voisins, surtout en ce qui concerne les diagrammes de rotation. Pour les profils en tnergie (fig. 2a), l’accord est en peu moins bon.

EFFETS

D’autre

D’UNE

part, il est interessant

BARRIkRE

413

DE POTENTIEL

de noter que les resultats

obtenus

avec la

theorie exacte ressemblent beaucoup a ceux de la figure 2a de la reference 4 utilisant les memes parametres. Notons Cgalement (fig. 1) la bonne convergence des resultats entre le deuxieme et le troisieme ordre.

I

I

I

I

I

I

I

I

1

-

a04 -

0.03-

al

0.02-

0 0.06-

OD2 -

1

10

azimut

9

20 30

LO

J

(deg) -

des diagrammes de rotation obtenus .~ par le calcul exact et en Fig. 1. Comparaison utilisant une methode de perturbation au deuxieme et au troisieme ordre en r. (1) (---) calcul exact. (2) (---) Calcul de perturbation au deuxieme order; (-) calcul de perturbation au troisibme ordre. (a) Faisceau (OO),(b) faisceau (II), (c) faisceau (20). Les conditions de calcul sont les suivantes: E= 20 V, 0 = 50”; potentiel interne Vi = - 16.7 V, potentiel optique Vopt = - 2 V; dephasage 6 = fn.

Bien que les resultats obtenus a partir de nos differents calculs soient t&s voisins, ils ont malheureusement pour point commun de ne pas ressembler du tout a ceux obtenus exptrimentalement par Lauzier et De Bersuderrsqzl). Ceci montre que le modele de diffuseur que nous avons introduit n’est pas realiste. I1 nous est cependant utile pour ttudier l’effet d’une relaxation et d’une bar&-e de potentiel. 5. DCplacement de la couche de surface 5.1. TH~~ORIE Certains calculs de dynamique des reseaux ont montre la possibilite pour les couches superficielles de relaxer partiellement, et notamment d’avoir une distance entre elles, differente de celle en volume zs). Nous nous placons dans

474

0. ALBINET

ET AL.

Fig. 2. Al(001) profils en Bnergie; 19=6”, 4 -0” (plan 100). (---I Calcul exact; (---) calcul de perturbation: (a) sans barrike, sans relaxation; (b) avec barrike B f& sans relaxation; (c) avec dilatation de 10% sans barrike; (d) avec dilatation de 10% avec barrike h )d.

le cas simple oti seule la premibre couche est Lila distance: de la suivante. Pour tout processus faisant intervenir une diffusion en surface, et une en volume, par exemple:

Nous devons introduire un nouveau propagateur donnt par:

x exp{iP, (g1)(4 + d,fv - 11)(T)gi*diivlf.

(18)

EFFETS U’UNE BARRIERE DE POTENTIEL

475

Nous now limitons, dans ces calculs, a l’emploi d’une theorie de perturbation au troisibme ordre en r. Utilisons les notations suivantes :

kdlR+

(O)R-

fd

WW Wb)

R,+ (ad/R-

(dR+

(@I)+

(19c)

ssd,J,

R: (9) = exp Cik, (9) ad~ i: 0;” (d

=

D;

= K’

(91)

R,+ (O)R, (9)

G(~I,

82)

= %(82)G(g1),

D”, (913

92)

=

K

(sd

G

=

R,i

(0)

L’expression analytique s’tcrit alors :

(19d) R,+ WlR-

R,

b1>

(g),‘U

correspondant

-

R+

R+ ‘$1

(92)

R-

(19e)

3

(190

@>I.

aux deux diagrammes

ci-dessus

(20) De la mbme man&e, nous pouvons tracer tous les diagrammes du troisibme ordre faisant intervenir un processus de diffusion sur la couche de surface:

!Szk

kz!@

!L?5J

!!52@

2 dont la contribution

!2zz est don&e par:

+ Dz (92) + 0;

+9,

(92)

(sl,gd

+ D2 (sd x

0:

+ Dl h)

0:

Cl + D2 (sd Dz (921

k,)Tb%y

D”, (92) k2)zhko)

h>l

+ DI 67211 f

D,

fsd

D”l (d

Mdh(~2l1-‘.

D,

biz>t (21)

Par ailleurs, pour les diagrammes ne faisant pas intervenir de diffusion en surface, les DO sont remplaces par D$

476

G. ALBINET

ET AL.

Au premier ordre nous aurons ainsi: T(r)(g) = (1 + D:) t(k,, k,).

u-2)

On verifie aistment que 1 +Dt redonne Do pour CI= 1. Le calcul de l’intensite diffract&e se fait comme dans ref. 2 [formule (I)]. T (g) represente l’amplitude de l’onde g due a tous les processus (diagrammes) de diffusion introduits: T(g) = Tff’ (g) + Tfz) (g) + T:” (g) + Tf3) (g) + T;3’ (g) .

(23)

5.2. R&ULTATS Nous

avons represent& sur Ia figure 3 les resultats obtenus pour des diagrammes de rotation. Nous constatons que l’introduction d’une relaxation de la couche de surface n’affecte pas beaucoup la forme des courbes. Elles sont surtout dtcalees en intensites4). On note aussi que les rtsultats exacts et en perturbation sont trb voisins en intensite et en forme. Sur les figures 2a et 2c, nous avons represent6 les profils en Cnergie en fonction du parametre a = 1 et 1, f respectivement. Les effets de difFraction multiple au deli du troisieme ordre semblent beaucoup plus importants vers le premier pit de Bragg (20 eV) que vers le deuxieme (6.5 eV) puisque les resultats exacts et en perturbation different beaucoup plus dans le premier cas; on a meme un dedoublement du pit a 20 eV. L’effet de la dilatation de 10% est le mCme dans les deux profils, pour le pit a 65 eV (c’est a dire un d.s

6.0

1

Cl

.

10 Azimut

I

.

20 Y -

I

30

1

I

40

0

IO

Azimut

20

30

0

40

‘P

Fig. 3. Ai(OO1)dia~~mes de ratotion; 8= 50”, E=20 eV, sans barrilre de surface. (--) Calcul exact; (---) calcu1de perturbation; (a) relaxation O%, fb) relaxation + 10%.

EFFETS

D’UNE

BARR&RE

DE POTENTIEL

477

d&placement vers les basses energies); il apparait en outre des structures importantes entre 40 et 65 eV. Dans les deux cas ttudib, les profils en Bnergie sont plus sensibles que les diagrammes de rotation a la variation de position de la premiere couche atomique, Ii semble cependant premature de conclure qu’ils sont mieux adapt& que les diagrammes de rotation a l’etudes de la cristallographie des surfaces. Des etudes sont en tours dans notre laboratoire sur la sensibilite des differents types d’experiences aux parambtres gtometriques.

Z

SURFACE

Fig. 4.

Variation du potentiel & la surface du cristal.

6. Introduction d’une barri&e de potentiel abrupte 31la swfaee du cristal 6.1. THBORIE Ici aussi nous nous limiterons a une thtorie de perturbations au troisibme ordre utilisant z. Introduisons une barriere de potentiel abrupte a fa surface du cristal (fig. 4). Nous sommes alors amenis a calculer des coefficients de reflexion et de transmission pour l’onde sortante. (a) Passage du vide dam Zecristal. La barriere carree donnant une reflectivite exageree, nous avons supprime sa contribution au faisceau sptculaire: (coefficient de transmission)

Tfj = 1,

(244

(coefficient de rtffexion)

R;=O.

(24b)

(b) Passage du cristaZdam le vide. Nous trouvons, en tcrivant que le passage a travers la barrier-e conserve les courants: (coefficient de transmission)

Tr =

2ky (g ) . kl;’ (g) + k”,“’(g) ’

(25a)

(coefficient de reflexion)

R7 = kT* (9) - Vi? ($1 k’,“’ (g) f k;lr’ (g) ’

(25b)

478

G. ALRINET

ET AL.

D’autre part, chacune des ondes associees aux electrons diffuses sera susceptible d’etre transmise ou rCJlCchie par la discontinuite de potentief. Nous devons introduire de nouveaux diagrammes traduisant la possibilite dune reflexion sur la barriere. Par exempie, pour le deuxieme ordre:

Four traduire la propagation

de I’onde de vecteur d’onde: k, =k,, +gi +d,e

(26)

(8 = vecteur unitaire port& par la normale au cristaf et dirige vers ~int~r~eur~. Nous devons introduire un nouveau propagateur (voir ref. 19). Diagramme f t B) : ~~~~~~~ = - i\

exp [-- ik, (0) dl (ve - vl)] f: RF$

x~~i(8111-‘exp(i[kl(s,)(~i(vo+vr)~2d,)+sl.d-~;II:,-~~)l~, im oh docaracterise la position de la barrike par rapport a la premiere couche atomique. Diagramme (2B) :

La contribution don&e par

a I’onde emergeate g des deux diagrammes ci-dessus est

En fait, ~i~trodu&t~on de la barriere de potentief en tenant compte dune

EFFETS

D’UNE

BARRhE

DE POTENTIEL

479

relaxation de la couche atomique de surface nous ambne a introduire 68 nouveaux diagrammes dans notre theorie. Pour calculer l’amplitude de l’onde 8, il faudra faire la somme des expressions analytiques de tous les diagrammes. Voyons quels sont les resultats obtenus 6.2. PROFILSEN ~NERGIE L’influence de la barritre sur un profil en Cnergie est don&e par la figure 2b. (a) Les pies de Bragg vers 20 eV et 65 eV sont relat~vement peu perturb&, mais ies autres structures sont profond~ment modifiees. Ceci s’explique par le fait que les pits de Bragg sont dus aux interferences constructives entre processus du premier ordre sur tous les plans cristallins, independamment de la presence de la barriere. Celle-ci intervient par contre dans tous les processus d’ordre suptrieur. (b) L’accord entre calcul exact et calcul en perturbation est moins bon que dans le cas sans barribe (fig. 2a). On retrouve le meme rtsultat en presence de relaxation (figs. 2c et 26). Ceci peut provenir de l’influence non negligeable des diagrammes qui font intervenir plus de deux reflexions sur la barriere pour les plans les plus proches de la surface. Leur contribution est exageree

Azimut

‘P

Fig. 5. Al(OO1) diagrammes de rotation; B = SO”, E = 20 eV. (-) calcul de perturbation; (af contraction 10%; (b) 0%; (c) dilatation (d), (e), (f), idem, barriitre h Ad.

Calcul exact, (---) lo%, barrike d -$d;

480

C. ALBINET

pour une barriere carrte, de barriere

et ce mauvais

ET AL.

accord devrait s’ameliorer

dans un cas

plus realiste.

6.3. DIAGRAMMES DE ROTATION Les figures 5a-5f representent l’influence de la barribre sur les diagrammes de rotation, avec ou sans relaxation de la surface. Les profils obtenus avec les calculs exacts et en perturbation sont assez voisins, surtout pour d, =d/3, mais I’accord est bien moins bon que dans le cas d’une relaxation seule (cf. figs. 2b, 2e, et 3).

7. Conclusion Notre but Btait de comparer les resultats obtenus avec une mtthode de perturbation au troisieme ordre avec ceux donnes par le calcul exact, pour le modele de collision inelastique avec un diffuseur S. Les profils sont tres voisins pour un cristal sans barribre (meme dans le cas d’une relaxation de surface). Cet accord est nettement moins bon, par contre en presence d’une barriere car&e. Nous n’avons pas voulu rechercher les parametres (position de la barritre, relaxation de la distance de la premiere couche) donnant le meilleur accord avec les resultats experimentaux pour un modble de diffuseur aussi rudimentaire. Les problemes lies au potentiel de surface et a la relaxation des couches superficielles restent encore ouverts. Des calculs precis4,a5) avec des potentiels de diffusion rtalistes pour Ies cceurs ioniques, mais en negligeant le potentiel de surface, ont conclu a I’existence d’une relaxation de 5% de la distance interplan pour la couche de surface, en Ctudiant les profils en tnergie de la face (001) de l’aluminium. Cependant le meme type de calcul pour des diagrammes de rotation ne donne aucune evidence de relaxation. De plus, nous avons obtenu un grand nombre de r&hats exp~rimentaux26) (profils angulaires moyennes, a grande Bnergie), qui s’interpr~tent a condition de supposer le taux de relaxation inferieur a 2%. Nous avons montre par ailleurs22) l’utilite de cette methode de perturbation au troisibme ordre en t pour un modele plus sophistique (plusieurs dephasages, couche superficielle relaxte) ou la reduction du temps de calcul par rapport au traitement exact est tres importante (de l’ordre d’un facteur trois). Appendice PROPAGATEUR INTRAPLAN

GSP

On s’inttresse aux proprietes modttle de collision inelastique (a) rapidite du calcul pratique;

du propagateur avec diffuseur

intraplan GSP, utilise dans le isotrope SOUS deux aspects:

EFFETS

(b) bonne

convergence

D’UNE

BARRI~RE

481

DE POTENTIEL

du rksultat.

11est intkessant d’autre part de voir jusqu’d cette quantitk avec une bonne prkcision.

quelle knergie on peut tvaluer

Partant de l’expression usuelle, on I’applique au cas d’un rCseau plan carrt, en profitant de la symttrie due g l’axe de rotation d’ordre 4:

c

GsP=

exp (-

ev (iK IPI)

ik+P) ~-I____.

PfO

(A-1)

IPI

Cette somme peut se rCCcrire: G”P

ew

=

(iK

IPI)

IPI

c

IPI +o

P,3P,

exp(-

ik*P),

c

iP)

oti (P> est la collection des vecteurs P qui ont meme module. Soient P, et P,, les coordonn6es du vecteur P dans le rkseau plan cart-k. La collection {P} a pour composantes :

Chaque couple donne lieu k une terme rCe1, et si $. est l’angle entre k et Ox, on arrive g l’expression finale:

GSP =

c

2 exp (iK iPI)

(cos [k (Px cos $O + P, sin tie)]

IPI

lp’l>“po a?’ Y

+ cos [k (PY cos 4. + P, sin bo)] + + 6 [P (Ad)] (cos [k (Py cos qbo + P, sin $,)I + cos [k (PX cos 4. - P, sin #o)]}).

(A.2.)

6 [P (A4)] vaut 0 si le vecteur P est sur un ClCment de symktrie du rkseau plan. C’est ?I dire si P, =Py ou P, = 0 ou P,, = 0, et vaut 1 autrement. L’expression (A.2) est trks rapide B Cvaluer sur ordinateur et elle profite au maximum des symttries de notre probkme. En ce qui concerne la convergence de cette sCrie, nous calculons pour chaque couronne de vecteur P de mZme module, la contribution par rapport & la somme totale, et nous arrztons la sommation si deux couronnes de suite ont donnC une contribution, par rapport a la somme totale, inkieure k une prkision donnke a l’avance. Typiquement, g 20 eV d’Cnergie incidente, 18 eV de potentiel interne, 1.5 eV de potentiel optique et une incidence de 50”, il faut 90 couronnes pour atteindre une prkision de l’ordre de 10p3.

482

G. ALBINET

ET AL.

Ceci nous am&e au deuxieme aspect lie au calcul de GSp. Lorsqu’on augmente l’energie incidente on a une convergence de plus en plus mauvaise; et on peut dire qu’au dela de 150 eV, on ne peut plus accorder de confiance aux valeurs de GSp obtenues

par l’expression

(A.2). Nous avons done repris ce

calcul en profitant du travail de McRae 27), qui a Ctudit des series plus generales que celles de GsP. Grace 6 la transformation d’Ewald, on accekre la convergence de la serie (A.]) en la remplac;ant par deux series rapidement convergentes, I’une dans le reseau direct et I’autre dans le reseau rtciproque. L’exclusion du terme P=O introduit d’ailleurs un terme a rajouter aux deux nouvelfes series. GSp s’ecrit alors: GSP= G’P + G;P +

GSp =

c

exp(-

GSP C7

S-P) 2,P,

exp[(,&)‘--(PE)‘][W(-g+iPE)

P#O

+

W(&iPE)],

1

Cz = lim - &+O 8

- + exp (-

- f exp (iK&) erfc

iKe) erfc

=-iKerfc(-iz)->:exp(%)l,

(

-

Z+sE)] (A.3)

oh erfc est la fonction erreur complexe; W(z)=exp (-2”) erfc (-iz), A=aire de la maille du rtseau direct, ZI= vecteur du reseau reciproque, Xr,= [K2 - (k +27~t1)~]~, E= parametre d’acceleration de convergence. L’utilisation des formules (A.3) dans les conditions cittes plus haut = 1.5 eV, 13 = 50”) conduit a 9 termes dans (V= 20 eV, V, = 18 eV, Vopt chacune des series et g une tres bonne precision. De plus, nous avons pu tvaluer c;“P jusqu’a 380 eV en choisissant E: de telle sorte qu’il soit un compromis entre l’augmentation rapide avec l’energie des valeurs de chacun des trois termes (A.3) l’augmentation du nombre de termes dans les series et la stabilite de GSP en fonction de E.

Et-FETS

D’UNE

BARRIkRE

DE POTENTIEL

483

PROPACATEUR INTERPLAN G”“’ Dans le cas oti il n’y a pas de barriere, prend qu’une seule serie lg) : i G;;, = - 2A

exp (ig.d’;l”‘) exp [-

pour

le calcul exact,

G’“’ ne com-

ik, (0) dy’ + ik, (g) l&“‘l] [k,(g)]-’

.

c # Cette

expression

ne dependant

que de v- vt, on en deduit

la propriete:

G v+n, v,+n = G”” . La matrice G”” necessite done 2N- 1 calculs de serie au lieu de N2, ou N est le nombre de couches du cristal. Ceci reprtsente une Cconomie substantielle car N est de l’ordre de 10 a 15 couches suivant l’energie.

References 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 1% 19) 20) 21) 2% 23)

24) 25) 26) 27) 28)

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ET AL

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Surface

Sci. 27