Effets de relaxation en orientation nucleaire

Solid State Communications, Vol. 8, pp.323-325, 1970.

Pergamon Press.

Printed in Great Britain

E F F E T S DE RELAXATION EN ORIENTATION NUCLEAIRE D. Spanjaard* et F. Hartmann-Boutron* Laboratoire de Physique des Solides~, FacultY/des Sciences, 91 - Orsay, France

(Received 10 January 1970 by M. Balkanski)

L e formalisme de la matrice densit~ est appliqu~ 1~ l'snalyse d'experiences d'orientation nucl~aire effectu~es sur des impuret~s dilutes dans les m~taux.

de la transition !~ ~ If :

LE PROBLEME des effets de relaxation dans les les experiences d'orientation nucl~aire sur des impuret~s dilutes dans des matrices m~talliques a d~ja et~ abord~ par Gabriel ~ et Shirley.~ Mais ce dernier auteur suppose une temperature de spin hypoth~se qui semble hasardeuse pour les faibles concentrations d'impuret~s utilis~es habituellement (10-~). Nous proposons ici un module ne faisant pas cette hypothese.

W(O)= 1 +

B~
avec B~ = ~J(~ + 1)

;~

Moyennant un certain nombre d'hypotheses discut~es en detail darts (4,5) ~ et en utilisant le m~me formalisme et les m~mes notations que dans ces article l'equation d'evolution de p s'~crit sous la forme gen~rale:

Soit un syst~me de noyaux orient,s de spin li retombant vers un ~tat de spin If par emission d'un rayonnement 3/dont on etudie l'anisotropie. Nous supposons que dans l'~tat l~ les noyaux sont soumis d'une part ~ un hamiltonien statique }{o = hc%l~ (champ exterieur ou champ hyperfin moyen), d'autre part ~ un hamiltonien de relaxation de la forme

+ Zth(k2kBT!t4,,'~j,_,(,,)

{Ur[Ur+p]}

(1)

D'o/~ l'on diduit, en rempla?ant dans cette expression p par son d~veloppement en pg et }(~ par son expression implicite:

}(, = ~., Uf (-I)F ~ = I:F °- (I+F '- l-F-')I\t2 iv

(champ hyperfine fluctuant ou couplace avec les electrons de conduction) et nous nous proposons de d~crire leur evolution dans cet ~tat sous l'effet de la relaxation. Pour ceci il est commode d'introduire la matrice densit~ p de l'etat li par rapport la base propre de ]~o et de la d~velopper en operateurs tensoriels irr~ductibles.

2~= ~ j v k

-~'~

th

\2kBT/

+

2

[(21 + 1+ k)(21 + 1 - k ) ] ' / ~ q ,

( ~=~k q[(k-1..)'-¢]l-(2!+2+k) (2I-k)]'/: ,2<7,

kg les quantit~s p~ ~tant directement liees ~ la distribution angulaire du rayonnement ~ emis lors * Service de Physique des Solides, Facult~ des Sciences, 91 - Orsay - France Laboratoire associ~ au C.N.R.S.

~

kpair

~ - ~ t h ~'2kBT]

323

2

[ (2k+l) (2k+3) J

En particulier temps de correlation "rc de ]~ court, condition qui peut n'~tre pas tounours satisfaite trbs basse temperature pour une impuret~ poss~dant un moment magn~tique localise.

324

E F F E T S DE R E L A X A T I O N EN O R I E N T A T I O N N U C L E A I R E L o r s q u e hco<< k B T c e t t e e q u a t i o n s e r~duit b

-.-.--dp£ =- iq a~,., Pk -

"~

"

2"

+ 2_.~_ qaJo

dt

Vol. 8, No. 5

c a s g6n6ral on peut prdvoir que l ' ~ v o l u t i o n d e s p o p u l a t i o n s s e r a d ~ c r i t e s par 21 c o n s t a n t e s de t e m p s c a r a c t e r i s t i q u e s fonction de h w ~ / k T et de T, : 21

p,

= p,o +

~

ake -~t.

k=l

r d s u l t a t ddjfi o b t e n u d a n s (4,5). L a c o n s i d e r a t i o n d e s t e r m e s k = ! conduit fi l ' i d e n t i f i c a t i o n : J , / h ~= 1/7", et 1/2T~ + do/2~a = 1 / ~ off T, et T~ sont l e s t e m p s de r e l a x a t i o n l o n g i t u d i n a l e et t r a n s v e r s a l e d e s n o y a u x au s e n s de l a R.M.N. L o r s q u e ~o~ "-~ k ~ T il faut garder l ' d q u a t i o n comp l d t e et T,, a i n s i d e f i n i , n ' a p l u s d ' i n t e r p r d t a t i o n p h y s i q u e simple. N o u s c o n t i n u e r o n s n d a n m o i n s a garder c e t t e notation. En l ' a b s e n c e de champ r a d i o f r ~ q u e n c e s e u l s sont non nuls l e s ; ~ . Dans c e dernier c a s , on peut a u s s i r a i s o n n e r en t e r m e s de p o p u l a t i o n s . P o u r c e I 1 e s - c i (1) conduit au s y s t ~ m e d ' ~ q u a t i o n s coupl6es:

En p r a t i q u e au bout d ' u n t e m p s t r e s court, l ' e v o l u t i o n d e s p o p u l a t i o n s s e r a tr~s s e n s i b l e m e n t d ~ c r i t e p a r une s e u l e c o n s t a n t e de t e m p s ~ g a l e au p l u s p e t i t d e s )~k • Nous avons c a l c u l e c e s cons t a n t e s pour d i f f ~ r e n t e s v a l e u r s du s p i n et de h w , / k T fi l ' a i d e d ' u n ordinateur. I1 s ' a g i t m a i n t e n a n t de c o n n a i t r e la v a r i a t i o n de T~ a v e c l a t e m p e r a t u r e . Nous a v o n s vu que l o r s q u e la r e l a x a t i o n ~tait due fi un champ fluct u a n t , T~ e t a i t donn~ par la r e l a t i o n :

1

J,_, (co,)

7", 1

÷~F'(O)F-I(-'r) + F-'(-'r)F~(O)

~2 j df

'

'

e~n~'dT

* IL,~ -~, .-,p.,_, •

.ix

-

2

>1

,,

(3)

'

<

1' / - !

•

V2;

.

~ ,

T,' et T, sont t e l s que ( 1 / T I ÷ 1 / T ( ) = 2/T~ et T,'/T~ = exp ( - ~ w ~ / k B T )

D a n s le c a s ofa ce champ f l u c t u a n t p r o v i e n t de l ' i n t e r a c t i o n du noyau a v e c l e s ~ l e c t r o n s de c o n d u c t i o n (ou a v e c l e s e l e c t r o n s d pour une impurete de t r a n s i t i o n p a r a m a g n ~ t i q u e fi augmenta t i o n d ' e c h a n g e ) on peut montrer fi l ' a i d e du theor~me de f l u c t u a t i o n - d i s s i p a t i o n que (6)

l/T,

= C coth (hw,~/2kBT ~, l m x ( q , q ' , w m ) qq

C e s e q u a t i o n s ne sont f a c i l e m e n t s o l u b l e s q u e d a n s l e s c a s I = 1/2, l o f a T = 0 I = 1/2

P+~'z = a e - t " r ' + ' " ' + ° ' ; P - , ~

I = 1

p, = 1,/N+ be hv + c e h~t ;

= 1-p,~a(i)

p_~ = aZ/N - - k/a beh,t-~ ceha t ; Po = I -

p, - p _ ~

T= 0

~/a]/Tl', N = 1+ a + a ~.

Pi = Po~ + 1~-

~

t

od C e s t une c o n s t a n t e et qq ~ , X (q,q',w,~) la s u s c e p t i b i l i t e t r a n s v e r s a l e au n i v e a u de l ' i m p u r e t e . C e t t e s u s c e p t i b i l i t ~ ne d e p e n d a n t p a s s e n s i b l e m e n l de la t e m p e r a t u r e , T, e s t donc t o u j o u r s de la forme 1/T, =/4o, Wcoth (I~ ~oB/2kBT)2Ak B ( s o i t l o r s q u e hco~ << kBT , T, T = A = c o n s t ) .

(ii)

off a = exp(~c~,,/kT); h, = [ - ( 1 + a ) + \ aq./T,; A~ = [ - ( l + a ) -

(4)

a~

e -/~rnt ctl

m=.-I

h.~= [ { ~ / 2 T ;

(iii)

D a n s c e s ~ q u a t i o n s a, b, c, a,~, s e r o n t e n t i e r e m e n t d e t e r m i n e s par l e s c o n d i t i o n s i n i t i a l e s . Dans le

R a p p e l o n s q u ' a v e c le modele le p l u s s i m p l e , c e l u i de Koninga 1 / T = 7 r F a p a ( E F ) [

UEF(]~)]4

/t~% c o t h (~co~/2kBT)/21~ ofa F c a r a c t e r i s e la g r a n d e u r du c o u p l a g e J'(, = F ] ' ~ a (/~ - r) du s p i n n u c l e a i r e en /~ a v e c l e s e l e c t r o n s de c o n d u c t i o n de fonction d ' o n d e Uk e ~ . D a n s un p r o c h a i n a r t i c l e nous e x p o s e r o n s c e s c a l c u l s en d e t a i l et montrerons comment i l s s ' a p p l i q u e n t fi p l u s i e u r s experiences d'orientation nucl~aire.

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E F F E T S DE RELAXATION EN ORIENTATION NUCLEAIRE

Acknowledgements - Nous sommes heureus de remercier N.J. Stone, R.A. Fox et I.R. Williams, qui ont attird notre attention sur ce probl6me, pour d'utiles remarques et discussions ainsi que

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pour nous avoir aimablement communique leurs r6sultats exl~rimentaux avant publication. Nous tenons 6galement ~ remercier I.A. Campbell pour ses conseils amicaux.

RZFtRENCES 1. G A B R I E L H. Lawrence Radiation Lab. Rep U C R L 18496. 2. S H I R L E Y D.A. Hyperfine structure and nuclear radiation p. 843, North Holland, Amsterdam (1968). 3. B L I N - S T O Y L E

R.J. et G R A C E

M.A., Hand. Phys. 42, 555 (1957).

4.

HARTMANN-BOUTRON

F. et S P A N J A A R D

5.

SPANJAARD

6.

LEDERER P. et MILLS D.L. Sol. State Commun. 5 , 1 3 1 (1967).

D. et H A R T M A N N - B O U T R O N

D., C.R.A.S. 268B, 1260 (1969). F., J. Phys. (~ paraitre).

The density matrix formalism is applied to the interpretation of nuclear orientation experiments performed on dilute impurities in metals.