Ein beitrag zur grundlegung einer allgemeinen, ebenen strahlenoptik und neue erkenntnisse für die konstruktion massenspektrometrischer instrumente

137 ZnmnacionaI b

Elseviu

Journaf of Mats

SpecmonzeIr_v and Zon Physics.

I8 (1975)

137-I 52

Scientific Publishing Company- Amsterdam - Printed in The Netherlands

EIN BEITRAG ZUR GRUNDLEGUNG EINER ALLGEMEINEN, EBENEN STRAHLENOFTIK UND NEUE ERKENNTNISSE FUR DIE KONSTRUKTION MASSENSPEKTROMETRISCHER INSTRUM-E%ITE*

J_ GEERK S929 Schodorf

am A~II~~Jx~~

(IV_ Germany)

(Eingegangen den 7_ April 1975)

The known formulae for calculation of the second-order spherical aberration of homogeneous magnetic sector-fieId systems are complicated_ Optical quantities are not used as parameters or variabIes, but geometric quantities of the sector4ieId system occur frequently in these formuIae. In order to get a deeper understanding of the magnetic sector-field system and an overall appreciation of this type of instrument, in which ion currents are analyzed for momenta or energies -by means of static fields, a genera1 system of asymmetric ray optics is developed. This system is independent of the physical type of ray involved and of the coniiguration and quality of the refractive medium_ Optical quantities onIy enter into the calculation, these being constant for a given caustic curve and refraction, together with derivatives of these constants with respect to the image beam angle, these being aIso coxxtants. A formula for spherical aberration and conditions for the focusing of beams up to third order inchtsive are stated; conditions for apIanatism are also noted- The usefulness of an abstract type of ray optics which has been used previously for the special case of rotation-symmetric caustics, is discussed briefly as a principIe for the design of light-opticai instruments- Finally the magnetic sector-fieid system with only one straight-line entrance limitation is demonstrated as an example of a physical embodiment; using magnification as the independent variable, all possible beams focusings are stated together with the associated determinants of the systemsEinieifmg Bei der Konstruktion Iichtoptischer Instrumente hat man friihzeitig begonnen, &Emngsfehler h6herer Ordnung zu korrigieren Das war notwendig, weii die ijfinungswinkei der LichtstrahIenbiischeI i.a. recht gross sind, und in* Hcrrn ProL Dr_ A_ Unsiild zum 70 Geburtstag gewidmet-

13s foigedessen die Fehler hoherer Ordnung eine Rolle spielen Anders Iiegen die Dinge in der Korpuskularopxik massenspektrometrischer Instrumente. Hierist der offnnngswinkel des Dingstrahlenbiischels, das durch die lonenquelle und durch die anschliessende clektrische Beschfeuni_gungsoptik erzeugt wird, i-a. so klein, dass es keine Vorteife zu bringen schien, Abbiidungsfehfer von hiiherer ais I_ Ordnung zu korrigieren 2% diestx Ansicht ham man - jedenfalls hinsichthch der magnetischen Massenspektrometer - bti Anwendung der bekaMten Formeln fiir die Fehler 2, Ordnung des aligemeinen, magnetischen Sektorfeldes Diese Formeln enthalten eine Rcihe sehr spezielller technisch-physikalischer Gr6ssen afs unabhingige Variablen oderals Parameter (Ablenkwinkel im magnetischen oderelektrischen Feld: Ein-, Austrittswinkel u.a.m.) und sind sehr fang und kompliziert- Ihr gross&r Nachteil ist jedoch, dass sie keineriei Beziehungen des Fehlers zu allgemeinen optischen Konstanten crkennen Iassen. und dass es mittels dieser Formeln nicht moghch ist, auf die Struktur der ein-oder mehrdimensionalen hlense der mijglithen optischen Systemc und deren besondere Eigenschafcen ZK schhessenAuf der Suche nach einem ahgemeinen Ansatz kann man aus der Fehlertheorie Ifchtoptischer Tnstrumente nur bedingt Nutzen ziehen, da bei diesen i.n. Linsen mit kugefzentrierten F&hen verwendet werden. Das hat zur FoIge* dass in ciner Meridianehene ein Objektpunkt ;lufder A&se als eine zur Achse s~-mmetrische Kaustikkurve abgebildet wvird_Damit entfalkn aus Symmetriegtinden die Stmhlenvcreinigungen turd die FehIer gender Ordnungen- Die ekne Strahlenoptik ist bcrcits speziakiert. Das gleiche gilt fiir elektronenoptische Instrumente mit rotationssymmetrischer KaustikUrn zu einem tieferen VerstZndnb der Korpuskularoptik massenspektronretrischer Instrumente zu kommen, ist es notwend& eine von technisch-physikalischen Parametem sowie von der Strahlenart unabhiingige ebene Strahfenoptik mit i-a_ asymmetrischer Kaustik zu entwickeln, mittek der Strahlenvereinigungen und Fehler und damit ouch optische Systeme ailer Ordnungen behandelt werden konnen. Davon sol1 in den folgenden Abschnitten die Rede seinVorbilder sind die Biicher iiher die Optik von Drude, Max I&n, Czapski und Eppenstein (nach Abbe) in dem Sinne. dass dort streng geschieden wird in eine mathematische Abbikiungstheorie (Kolhneatioasverwandtschaft) und in eine physikalische Verwirklichun,o der Abbildungsn.

Str~t!encerei~~ig~ngen und iflntmgsfehler

al’ Funkrim con al[gemei’zen hromtanren

In den folgenden Ausfiktmgen ist kdigfich vorausgesetzt, dass Genden in einer Dingehene auf Geraden in einer Bildebene eineindeutig abgebifdet werden, und dass die Abbildung durch eine Funktion vermitteIt wird. die mindestens sooft differenzierbar ist, wie die Ordnung der gewiinschten Strahlenvereinigung angibt Wir sprechen von einer Strahlenvereinigun g nter Ordnung in einem Punkte oder

139

van einem Strahlenschnittpunkt nter Ordnung, wenn n Strahlen, die einander benachbart sind, durch diesen Punkt gehen. Der 6fMmgsfehIer niederster Ordmmg, der dann auftritt, ist von nter Ordnung- Die Wiirter “Gerade” und “Strahl” haben hier eine Zquivaiente Bedeutung, und beide werden,wie es jeweib passend erscheint, verwendetGegeben seien eine opt&he A&se A-A und ein Strahlenbiischel der Dingebene, dessen Strahlen durch den auf der A&se Iiegenden Punkt P, gehen (siehe Fig- I)_ Die AbbiIdung dieses dingseitig homozentrischen Biischels auf die Bildebene ist La. eine nichthomozentrische, einparametrige StrahIenmannigfaItigkeit, dercn Einhiilfende, die Kaustik K, die Achse im Punkt Pz beriihren midge- Der Kr~mmungsradius der Kaustik in P2 sei p”_ Das zweigestrichene p zeigt an, dass es sich bei dem Kriimmungsradius urn eine Difierendalinvariante (D-J.) 2_ Ordnung handeh Die Kriimmung der Kaustik gndert sich nach -Mass&e derKaust&evolute Kg dicse habe den Kriimmungsradiusp”‘, die D-J. 3. Ordnung der Kaustik im Punkte P=*_ Ein betrachteter Strahl Sim2 unseres BiischeIs habz in der Dingebene mit der Achse den Dingstrahlenwinkei z,, in der Bildebene den BiIdstrahlen winkel OL=_ Der Strahl Sx_=(zx, = CC== 0) liegt natiirlich auf der Achse A-A_ Aus dem ahgemeinen Fail der Abbildung einer Dingkaustik K,, pl” auf eine Bildkaustik K-,,p2” 1-t

sich derspezielle Fall derAbbiIdung

des homozentrischen

StrahIenbiischels der Fig_ I in einfacher Weise ableiten (Siehe Fig l(a) und BiIdunterschrift): der Strahl S,. 2 habe ding- bzw_ bildseitig die Achsenabschnitte Y I-,, i,_ Wir verschieben den Strahl S, parallel um das Stiickchen i_,_ in den Punkt P, und erhalten der Strahl s,_ Dabei verschiebe sich der Bikistrahl S, patnIle urn das Stiickchen L--i.,; man erhalt & Nach dem Gcsetz von der Tiefenver~ijssentn~ V-, der Lateralvergr6sserung Y und der Winkelvergrosserung VW ist

Daraus folgz .

4. = -

V

i, +&_

VW

Fur kfeine Winkel zl_? Iesen wir aus der Fig- 1(a) ab: i. =

(zgqp”,

Nach Einsetzen deri,i,,i,

i,

= (2,/2)p;‘,

2, = (sJ2)py.

in die Formel fiir i und nach Division durch z2/2 erhalt

man

* InvzuirmtcGr&sen

bieiben bei einer Koordinatentransformation unvertidert und miissen daher Skalare sein. Streng genommen sind somit nur die Quadrate [p”)’ Ip”‘)’ Invarianten_ Eine Unterscheidung komrnt jedoch in dieser Arbeit nicht zum Tragen.

140

undschiiesskhunterBeriicksichtigungder FussnoteaafSI41 dengesuchtenKriimnmngzxadius

der Kaustik K und damit dk Abbildtmg dcs durch Pz gehendenhomozentrischen StrahlenbiischeIs_ Da die Formel (la) Seine Tnvariantenvon hiihererais zweiter Ordnungenthih, sind die Kaustikhwen K,, Kt, K ia der Fig_ l(a) Kreisbiigen,

*t----q

+m

S,

e Dingebene

Bildebene

Fig_ I_ Abbildung eines durch P, gehcnden Strahlenbiischels der Dingebene als tine nicht homozentrischc Slr;threnmannigf~Itigkcit in der Bildebenc_ Es sind nur tin Strahl SE_= des Biischtls und die Kaustik K dcr StrahfmmannigfaItigkcit cingczcichnct.

A

A

Fig_ la- Zur Ableitung der Formel (la)_ Gegeben sind einc einparamctdge, nichthomozenttischc Strahlenmannigfaltigkeit in der Dingebene (Kaustik K ‘, Kriimmungsradius pl”) und dmn Abbildung (Kaustik Kr. Kriimmungsradius p2*‘)_ Gefragt ist nach dun Kriimmungsradius d’ einer Bifdkaustik K. die man ah%. wxnn man die Dingkaustik KI zu einem Punkt an der Stetk Px schrumpfcn IZsst.

Wir kehrenzur Fig. I zuriick In einem PunkteFz aufderAchse, der von Pz den Abstand p’ habe, bringen wir einen Schirm senkrechtzur Achse an- Der Strahl S2 triffcden Schkm im Punkt D, eine zu S2 panlleIe, durch P2 gehende Gerade triffl ihn im Pun& C_ OffensichtIichist die StreckeP,C = p’+ der Fehler1_Ordnung,CD = ( f/2!)p”a$ - aus Fig..I abiesbar- der FehIer2 Ordnung-

141

Nach kmzer differentialgeometrischer Rechnnng erhahen wir ais FehIer 3. Ordnung (in der Fi g 1 nicht mehr darstellbar) den Ansdruck (1/3!)p”‘& Femer lesen wir ans der Fig. 1 abr

pmbezeichnen wir ais die Diffirentialinvariante 1.0. der Kaustik. Das Differential dp steht senkrecht zur Achse in F2 (Fig. 1). Wir kCinnen jetzt die Abweichung a = FzD des StrahIes S2 aIs Funktion von CY~durch eine Taylor-Reihe darstehen:

oder a =

z=p*+ l!

(1)

Da wir die Abweichung von der Achse aus berechnen, entfZlIt das konstante Glied p der Taylor-Reihe_ Die Beziehung (I) ist auf&turd einer in der Bildebene angenommenen, einparametrigen Strahienmannigf<igkeit zustande gekommen und entb5it nur bildseitige Grijssen_ Wir stellen nun eine auf der Strahlenbrechung beruhende Beziehung zwischen dem Dingstrahlenwinkel a1 und dem Bildstrahlenwinkel a2 her und zwar mittels der Diffcrcntialquotienten

p2 =

V’,

Die Symbole V’? V”. _ _ sind Abkiirzungen Krhrwert von Y’ ist die WinkeIvergr6sserung wir a, in Abhiingigkeit *I = F@,)

=

2

von V’+

fiir die DifferentialquotientenDer VW*_ Durch Reihenbildung erhaben

at:

;f -_

V”+

;;

V”‘+

(3)

___

Auch hier entEllt das konstante Glied. V’, V”, V”’ sind Differentiahnvarianten Iter, Zter, 3ter Ordnung fiir die Brechnng des durch die konjugierten Punkte P,. 3 gehenden StrahIes. Aus der Gleichung (1) eliminieren wir cc2mitteis (3) und erhalten nach ICCzer Rechnnng * Bckanntlich is Y-V, = R&z~. wo massenspektrometrische

liann.

Instrclmente

~1.2

die BrechungszahIen im Ding- bzw. Biidraum sind. Fiir

ist is

R% =

n=, soda

mazl hier

If’ =

l/V,,

=

V setzzen

f-

I 3’

- I3

(,[ V”.

P “‘-3P”

-V++(KJ=-~)]+___

(4)

Das ist die gentchte For-me1fiir den &inungsfehler bis auf Fehier von hiiherer afs 3ter Ordnung mit dem ij~Tnungswinke1 a, aIs Argument und den optischen Konst;lnten p’, Y’; p”, t”‘; p”‘, Y_ Sie sind konstant fiir zwei in 1ter, Zter ocier 3ter Ordnung konjugierte Punkte tB.P,, F2 in Fig_ I, die in iter Ordnung konjugiert sind, bei einem Heinem Bereich des aj.ffnungswinkels z,_ p’ und V’ bestimmen den Fehter 1. Ordnung, p” und V” betimmen den Fehfer 2 Ordnungp”’ und V”’ bestimmen den FehIer 3_ Ordnung. Die Glcichung (3) cnr&lr keinerlei technisch-matcrielfe Dawn iibzr das brexhende Medium oder iibtr dessen Begrenzungen, sie ist tmabhingig von der Art der Stnhten und dentphysikalischen Gesetzen, nach denen sic gebrochen oder ab,oeIenkt werden, sie etthiiIt schliesslich keine seometrischen Dinge wie L5nge der abbitdenden StrahlcnbCschel, BRnnweite und Hauptebenen, auf denen die

klassische geometrische Optik basiert. Die BediqPungen Cir Strahtenvereinigungen von I ter, 2ter, 3ter Ordnung und die 0fiimnsfehler erhiilt man a&and der Gleichung (4) in einfacher Weisc wie folgtr fiir eine Stratienversinigung l-O_ ist lediglich Bedingung, dass der Ort dcr AbbiIdung aufder A&se A-A liegt zB_ in P’unkt F2 (Fig_ I)_ Es reicht meistens aus, den Fehfer niedrigster Ordnun,,u aiso in diesem Fail LO., zu bzrechnenWir erhalten aus (4): Ql = -+,

(5)

Wie wir spiiter sehen werden, ist es notwendig, den Fehier l-O_ in die Betrachtung einzubcziehen_ Eine StsahlenveRinigun,w .._ 3 0. erhiiiitman, wenn pp ztt Null wird, d-h wenn der Schirm in den Punkt Pz vcrlegt wird (Fig_ I)_ Der Fehler 2.0. wird dann

Zu einer StrahlenveRin&mg 3_0_ gelangt man, wenn zus5tiich p” = 0 erfiiIlt wird_ Man erUt den FehIer 3-O_: 11= ag = - 6 0 V’

p”‘q

3

die Forderung

(7)

143 Eine StrahIenveRinigung 4-O_erhZIt man, wenn zusHtzlich die Bedingung p”’ = 0 erfiillt werden kann_ Der Fehler 4-O_wird dannr

Bei einem symmetrischen Dingstrahlenbiischel mit den Randstrahlen S,(C~) und &(a?) sind die Fehler ungerader Ordnung zweiseitig - d-h der GesamtfeNer ist ZQ, und2a3- tihrend die Fehler gerader Ordnung ~1~und a, einseitig und damit nicht doppcolt zu ziihlen sind. Welche Bedeutung die Kaustiken fir die StrahIenvereinigung und die ijffnungsfehler haben, werden wit in den beiden folgenden Abschnitten sehenDie Aintztikktm-e

Jeder Punk: einer Kaustikkurve Fis_ i).

Nur einzelne

Punkre L6nnen

ist ein StrahIenschnittpunkt

Schninpunkte

van hbherer

2_0_ (&he

als 2_ Ordnung

sein_ Ausserhalb der Kaustik gibt es auf der konkaven Seite i-a_ keine Strahhmg, in der Kaustik selbst eine starke Verdichtung der StrahIungsintensitit und im Bereich der konvexen Seite eine Strahienverdtinnung (_KomafehIer)_ Hier hsben wir StrzMenschnittpunkte I _O.,denn es gehen durch einen betrachteten Punkt nur ein Stnhl (z-B. in F2, Fig. I) oder zwei nicht btnachbarte Shahlen (z.B. in F2, Fig

2)_

Fig_ 3 Jeder Pun&

der Kaustik

K ist tin Schnittpunkt

3-O- Im Beriihnmgpunkt

P2 mit der

p”- Es sind die beiden Randstnhien SI(f),Sz(-) des Bif&sttiknbiiscbels mit den Winkeln i-+a=l = i-tx=] und die auf dem Bildschirm B erscheinenden Fehler a,(+), a=(-_) eingezcichnet Achse A-A

haben wir den Kriimmungsndius

Die Ungleichheit da FehIer a(+) und a(-) in Otis 2 riihrt von den FehIem hiihererals 3-O_her. Durch einAnheben des Schirmes um das kIeine Stiick C werden diese Fehler behoben. Der Fehler 2-O. bleibt unvefindert. Die gleicharmigen kfassischen 1S03,90s~60~ Massenspektrometer haben eine sofche Kaustik mit einem KrGmnmngsradius p” = 2r (r = Able&radius)_ Befindet sich auf der Kaustik ein Schnittpunkt 3.0. (zB_ Punkt P, in Fig_ 3 und 4). dann hat die Kaustik an dieser Stelle eine Spitz mit einem Riickkehr-

-Y

fig_ 3_ Eine tit&k hat an einem Sm ttpunkt3-O- cinr Spitz mit cinczn Riickkchrpunkt Px- Dicsc ist konstruicrbar durch Abroikn ciner Gcztdtn G auf eincm Krei%bogcn mit d&n Radius p”*. wobci cia Put&t P dcr Gcradcn van kurz vor his kurr nzch scincr Bctihrung mit dcm Kreisbogcn die Kalistikspitze auhkhnet_

punkt Mit wachsendem Parameter a, wandert ein Punkt an der Spitze der Kaustik ein differentieiIesWegstiick hin und zuriick_ Eine sofche Kaustikspitze findet man bei allen StrahIenvereinigtmgen ungerader Ordnung_ Von Kaustikspitzen 3-0, wird \%qen ihrer besondere._ 7 Bedeutung im folgenden Abscbnitt die Rede se& Einem StrahZenscbnittpunkt 4-O_ auf einer Kaustik ist, wie allen Scbnittpunkten gender Ordnung, seine Besonderheit nicht anzusehen (siehe Fig_ 5 und die Bildtmterschrift).

Fig. 4. Einc Kaustikspitze mit tinem StrahlenschnittpunktPJ 3ter Ordnung- Sie uird begrenzt durch die RandstrahIen S=(f), S=(-_)- Die kleinste BtlscheibreiteT,(i). T=(-) betmgt iI4 da Fehkrs 3tcr Ordnung H(i). H(-_)- An den R5ndem T,(+) tmd T=(-) hat das Biischel einen steiien IntensitIKsabfalI.

A

Fig_ 5_ Eine Kaustik K mit einer Strahlenvereinigung4terOrdnunginP,_ Der Kriimmungsradiusp*’ der Kaustik und seine AbIeitungdd’/dx= = d” an der SteilePa sind Null. Bei gegebenemp-‘#*ist die Kaustik in der Umgebung von Pi folgendermassen konstruierbar:Man etzeugtdurch Abrollen einer Geraden auf elnem Kreisbogen (Radius p”“) die Kaustikevolute Kc (sie ist in diesem Fall eine Kurvenspitze) und erh2lt durch nochmaligesAbrollen einer Geraden auf lCEdie Kaustikkurve K. Die optische Achse A-A und ein BildstrahlS; sind eingezeiciutet.

Das topologische Problem einer Gesamtheit van Strahlenvereini,oun~en2ter, 3ter, 4ter Ordnung wird beispieihaft anhand einer Graphik auf&zei~t (siehe Fig_ 6 und die Bifdunterschrift, deren erster Satz die technische, ionenoptische Anordmmg beschrelbt)_ Wir h&en eine zwveidimensionale h-lannigfaltigkeit van eingezeichnet sind, und Strahlenvereinigunsn Z-O_,won denen vier Kaustikhrven eine eindimensionale Mannigfaltigkeit von Sh-ahlenvereinigungen 3-0, die auf der suichierten Bildkurvc liegen- Der untere Teii der BiIdkurve besteht aus un:erkorrigierten, der obere Teil aus iiberkon-i$erten BifdpunktenGIaser [I 1findet, dass in elektronenoptischen Systomen ausschfiesslich Unterkorrektionen auftreten- In der vorJi%enden alf~emeinen Theorie mit asymmetrischer Kaustik aI& Grundlas fiir massenspektrcmetrische Instrumente h&en wir diese Einsctinkung nicht ‘In der Anordnung nach Fig- 6 LB. ist jcdem unter-

konigierten Sptcm 3_Ordnungcin Bberkorri$ertes System 3_Ordnungzu~eordnet, da jeder unterkorrigierte Bifdpunkt PU einen Bberkorrigierten Bildpunkt PC zum Partner hat, mit dem er durch einen gcmeinsamen Kaustikast A verbunden ist_ Zu den Formeln (9-11)7 nach denen das Diagramm derFig_ 6 (Ablenkwinkei @, Einschusswinkei fat AbIenkxadiusrals Funktion der L;ttenlver@Werunung V) und

Figs 6- Einc Ioncnqucik schicsst homoencrgecischc lonen untcrschiedlichcr Imputsc i~bcr cincn wcitcn Winkdbcreich in tin @eichGrmiges Magne:fcfd. das tine gcradc Eintrictskgrcnzung hat. im iibrigcn unbegraut ist und vof dcm die toaenquelfe den Abstaad Eins hat. Es wurdcn nur die in dcr Mittckbcncverbteiktim Strabicn ktrachtet; das hktgnetfeld sci srrcng homosn und an der Eintrittsbegrenzung Rich tici abfaknd gcdacht. Die Kausxiken der B&-men

van 4 lonuwrtcn. die auf Krcisc~ der Radicn 350. t-So. tJO.O_98 lauf’. sind eingezeichnctI& der Kausziken bat 2 Kaustikspitrm 3ccr Ordnuag. die auf cincr gemcinszunen Biidkurve ticgzs~ Die Bitdkum bitdct einc Spitze, an der einc Strahlcnvcreinigung 4ter Ordnung iicgt..

147 die Graphik gezeichnet \&den, gekmgt man folgendermassenr man setzt in den van Gcerk und Heinz 121formulierten Bedingungsgleichungen f-r eine Strahlenvea-einigung 2. Ordnung und 3. Ordnung I2 = J&OS cr = 0 und y1 = I,, cos Ex = I und et&It nach einigen Umformungen cos @, tan Ed, r ds Funktion der Lateraivergr&serung V:

cos9

=f

r = 3J3 Das Diagramm

(A -2v) J-

(9)

V+f3V=+2/

(11)

9-(l~VZ-,V)’ hat zwei aussezeichnete Punk&e_

Erstens: ein Minimum

von r: es Iiegt bei V = 0,716; dabei werden E, =

-42'61, @ = SO'; in unserem Masstab y1 = 1 ist rmia = 0,98_ FBr V > 0,716 erhalten wir unterkorrigierte, ftir V c 0,716 iiberkorrigierte Systeme- Bei V + 0,716 kommen die Riickkehrpunkte der unterkorrigierten und der iiberkorrigierten Kaustikspitzen zur Deckung. und deren positive und negative &TnungsfehIer bis zur 3_ Ordnung einschliesslich heben sich auf: Wir haben eine Strah!envereinigung 4_ Ordnung_ Es sind p’ = p” = p”’ = O_ Ftir r -C 0,9S existieren nur noch Kaustiken mit Schnittpunkten 2. Ordnung.

Den zweiten aussezeichneten Punkt haben wir bei einem Minimum von (--Ed): es liegt bei V = 1 und I, = -335”16’; dabei sind @ = 109’3S’, r = 1,30_ Hier ist cl unabhingig von V, und es wird, wie sich leicht zeigen IZsst, dV,!dsr, = V” = 0. Letzteres bedeutet, dass Ding- und Bildpunkt in erster NZiherung aplanatisch sind_ Unter ‘Aphnasie in I_ N5herung’- sei verstanden, dass ein in P1 senkrccht zur A&se stehendes Linienelement ds, (Spalt) auf ein in P= senkrecht zur Achse stehendes Linienelement dsl mit der Latenlvergriisserung V = dsJds 1 in l_ NZherung unabhiingig vom BiIdstrahIenwinkel C+ scharf abgebildet wird. Die Gesamtheit der Bildpunkte 3. Ordnung ist dem offenen Interval1 Ii2 <

V c l&m + z!T) = I,65 eineindeutig zugeordnetDie Graphik sei ein einfaches Beispiei dafgr, dass man mittels der Tnvarianten Vi&, pw die einer vorgegebenen technischen Anordnung zugeordnete einoder mehrdimensionale Menge von optischen Systemen nach ihren Eigenschaften

einordnen und dariiber hinaus iiberschauen kann, weIche vorteilhaften oder erwiinschten Systeme iiberhaupt m@Iich sind. Dabei erweist es sich als sehr fruchtbar. die Lateralver,or6sserung V= V' als unabhiingige Variable einzufiihrenCer A-leitlsre tiflnungsfehler

GUI einer Kaustikspitze

3. Ordnmg

Wir betrachten eine Kaustikspitze 3_0_ mit dem Riickkehrpunkt P3 auf der opt&hen Achse A-A und errichten ein rechtwinkliges Koordinatensystem (x,-v)

148 in P, mit tier t-y) A&se entgegen der Strahh-ichtun~ (Fig_ 4>_ Mit dem Bifdstrahhznwinkel zz als Parameter erh;;iItman fur kfeine Winked zz die Kurvengfeichung _x = -.+p*“~;

und

y = -9p”‘z$

Eliminiert mm~ a,, so erh2.h man w

(Neii’sche Parabef ) Kriimmungsradius der Kaustik wird, tvenn wir den linken KaustiLzt K betrachten, mit wzxhsendem cx, kleiner,geht bei P, (CC~= 0) durch Null pi; (Richcungswechsel des KrGmmungsradius!) und wird am rechten Kaustikast K( +) bei wachsendem gxLwieder gr&ser_ Die Randstrahlen Sl( -I-), S2( -) tangierrn die Kaustikspitze in ihren Endpunkten T,(+ ), T,(-) (Fig_ 41, z)er Randstrahl S,( + ) schneidet auf der -f-x Achse das Stfick a3 ab_ Das gfeiche Stfick schneidet unter Vernachf%si,ag von Gri%en h6herer als 3 ter Ordmmg der Strahl S,( - ) auf der t--r) A&se ab_ Bei einem winkels~mmet Bihistrahfenbilschet (l-t-+ = f - +I) ist aiso am Riickkehxpunkt P3, wo die FeNer I ter und 21er Ordnung Null sind [p’ = = 2~~ = up”“& Nun zeigt die Fig 4 P” = 0). der gesamte ijfitmgsf&Ier deut.Ii&dws die kieinste BiischeIbreite und foIgIich derkleinste durcP dieKaustikspitze verursachte 6ffnuqsfehIer keineswegs bei P3 lieget,sondem bei ?i3, wo sich in Punkte Tz(-) schneiden. der RandstrahI S2(+) und der Kaustikast K(-) Dieser bemerkxnswerte EfT’ekthat seine Ursache darin, dass die FehJerI ter und 3ter Ordnung a, und u3- wenn man den Schirm von P, in der (-_r) Richnutg verschiebt, eiuander entgegengesetzt gerichtet sind und sich bei der Verschiebung in steigendcm Masse aufheben und zwar bis die Summe ~,+-a, = Q:, 3 greich dem Abstand eines der Kaustikiiste van der Achse in der Schirmebene ISL Das ist in der Fig_ 4 an der Stelle Fs der Fall. Rechnerisch erhjilt man die Steile Fs wie foIgtr den affnungsfehler I ter und 3ter Ordnung - bei Verschwinden des Fehkrs Zter Ordnung - k&men wir statt aus (4) unmitteibar aus (I) entnehmen, da nur Gr&sen der Bildebene vorkcmmen_ Wir e&&en bis zu Gr6ssen 3ter Ordnung e~n~~i~Iieh: atw3 = p’rr, -&p’%~

(14)

und p* die abhgngige Variable. P, sei Darin seien jetzt aIs die unabmgige Parameter und p”’ vorgegeben, Den Abstand _r eines Kaustikastes von der A&se entnehmen wir aus (13) und verxvenden die gleiche Variablenbezeichnung p’ wie in (14): x’ = --- 8 j-= = L 8-- pr3 9 P”’

9 P”’

149 Wir setzen jetzt x = ul. s und eliminieren Q~. s, indem wir (14) quadrieren und die rechten Seiten von (14) und (15) einander gleichsetzen. Man erhiiIt eine GIeichung 3_ Grades fiir die Unbekannte p’:

(16) hat eine Doppehvurzel, wie aus der FI,. -0 4 ersichthch ist: in den Punkten TX(+) und TX(-) ist (16) erfiilIt; Iegt man n&rIich den Schirm nach G, dann ist = GT,(+), bzw_ = GT,(-). DieOrdinatezuden PunktenT,( (-), at f=3 die Doppelwurzel P’~,~, erhalten wir aus (13):

Pi.2 = --fp”‘Z; Wir dividieren (16) durch (p’ f $p”‘&)’ p; = -+p”*stg

07) und erhalten die dritte gesuchte Wurzek (18)

pi, die Ordinate des Punktes F3, ergibt, in (14) eingesetzt, den Edeinsten iiffnungsfehler aI. 3 der Kaustikspitze a1.3

11, 3 *1

=&p

W

Wir bilden den Quotienten =1-3 a3

-

&P

,,,

+p*‘*&

3

I, =- 1 4

PO)

In Worten: der ijffnungsfehler am Punkte F3, der SteIIe der kleinsten Biischelbreite, bet@t I/4 de affnungsfehlers 3.0, am Kaurtikriickkehrpunkt P3_ Fur ein winkelsymmetrisches Dingstrahlenbiischel ( f x i = I- CY1I) wi-d fiir eine Strahlenvereinigung 3_ Ordnung der GesamtBffnungsfehler a_,_ = 2a,_ 3_ ?vLitteIs(7) und (20) erh% man somit den GesamtXnungsfehler an der kIeinsten Biischelbteite einer Kaustikspitze 3. Ordnung:

Bei lichtoptischen und elektronenoptischen Instrumenten mit rotationssymmetrischer Kaustik ist dicse Stelte als “Kreis der kleinsten Verwirrung~“ bekannt_ GIaser [3] gibt in einem Diagramm Lage und Radius des Kreises in Abhkgigkeit von der Apertur an_

Benutzt man (4) zur Berechnun g start (l), erhah man natiirlich dasselbe Result&_ Da die pi _=_3 klein von 2ter Ordnung sind, entfahen in den eckigen Klammem die Summanden mit p’-

FoIgemngen rind weitere Erkenntnisse Man hat nun N unterscheiden zwischen den in den vorhergehenden Abschnitten gewonnenen allgemeinen Gcsetzen, die iiberall $.elten, wo StrahIen in

1.50

einer Dingebene auf Strahien in einer Bildebene abgebildet werden, und speziekn Gesetzenz die gelten werm es sich urn abbildende Sksteme oder urn eine Gattun~ van Systemen handdt, die mit bestimmten technischen Mitteln venvirklicht werden oder werden konnen. Eine s&he Gattung ist zB. die vierdimensionale Mannigfahigkeit der magnetischen Sektorfelds_vsteme (in welche die zweidimensionale Mannigfaltigkeit der Fig. 6 einsebettet ist). Die Einordmmg dieser speziellen Gesetze in die allgemeinen Gesetze 5ussert sich darin, dass die DiuTerentialinvarianten V@, pb) sich durch die optischtechnischen Daten (Din*- zBildabstand, Brennweite, Art und Form des brechenden Mediums us) der betrachteten Gattung expfizit ausdriicken lassen. Hat die Mannigf&Itigkeit der Ga’ttung nur zwei Dimensionen oder kann man sie dureh zus5tzhche Bedin,wgen darauf bescht%ken, so J&st sich die Gesamtheit der interessierenden opt&hen Systeme mit ihren besonderen Eisnschaften in einer Graph& dasxelkn. In w&her Weise man mittels der allgemeinen Gesetze Strahienvereinigun~en

und Fehkr I.4

Ordnung erhalten kann, soweit die enteren in der betrachteten

Gatttmg von Systemen iiberhaupt vorhanden sind, wurde bereits gezeigt, ebenso die Bediqung fiir Aplanasie tmd einr vorteilhafte Kombination der Fehler I. und 3. Ordnun~, die es bei einem Strahlenschnittpunkt 3.0. stets ,oibt. Die allgemeinen Gesetze kZinnen vorhersagen, welche Eigenschaften optischer Instrumente es seben kann turd welche nicht. ZusammenhZnge, die in den allgemeinen Gixtzen erkennbar sind, bestehen in jedem optischen Instrument_ Fiir massenspektrometrische Instrumente ist der Zusammenhang zwischen dem ijffnungsfehler a turd der LatenlvergrEisserung V, der in den Gleichunsen (5) (S) und (18) deutlich ist, aus folgendem Grund interessant: das Aufh%un~verm-n A eines Analysatots ist seiner Winkefdispersion 0, proportional: (22)

A-Do, Die WinkeIdispersion eines ma~etischen

Am&.sators ist

(23) Darin ist d/3die Winkeldiver~n mit der zwei Teilchen den magnetischen AnaIJsator verhtssen, dcrcn Impulse die Betage J und J-tdJ haben, und die im gIeithen S&r&l fliegend in dea Analysator eintraten. GIeichun~ (23) #t fib magnet&he Prismen mit paralIeIen Fefdbqyenzun~n [4-6] und such fur das ailgemeine magnet&he Sektorfehisystem, indem man (23) auf das jedern SektorfeId zu_mde lie,oendePrisma anwendet 161.Fur zwei durch das Sektorfeld fokxtssierte Strahlenbiischel der Impulse J und J-t d J erhil t man den Dispersionskoefhzienten

worin I,, wie iiblich, den Abstand des BiIr%punktesvon der Fetdbegrentung und r den Ablenkradius bedeuten- Wir ethalten nun bei einer Vergkerung V, mit der der Eintrittsspalt - zun5chst unter Vernachhissigung der Fehier - abgebildet werde, als ProportionalitZtsprodukt des AufiCisungsverm@ensr ‘.

“-+‘5

/

Bei der Wahl eines magnetischen Sektor!e4&stems kann man nach (25) durch Vergr~sserung von D, und durch Verklefnerung von Y das AufiBsungsvermogen steigem*_ Macht man nun Ir merklich -c 1, dann zeigt die Formel (6), dass damit der ijffnungsfehler mit dem Quadrat des Kehrwertes von 5’ wv%hst Ein hiichst uner\viinschter Nachteil, der das Aufi&ungsverm~~en wiecier verschfechtert, was aber wezen der Allgemeirgiil tigkei t von (4) bei einer Strahienvereini_g.mg 2-O_unvermeidlich ist_ Wir kiinnen jedoch gem&s (25) durch ein kleines I/’das Aufii%ungwxm~gen ohne Nachteil wsentlich ve@Wxn, wenn wir ein System mit einer Strahlenver~inigung 3-O_wiihlen- Den Offnungsfehler Q erhaiten wir dann mittels (?I)_ Der Zahlenfaktor bereits bettigt nur lj12 gegeniiber l/3 in (6). Det Kehnwrt von Y geht zwar in der 3ten Potenz ein, jedoch trgigt die 3te Potenz von zr bti den ublichen ijffnungswinkehr weit mehr zur Verringerung des offnungsfehlers beiWeitere Beitige zur allgemeinen ebenen StrahIenoptik und Anwcndungen auf die Konstruktion massenspektrometrischer Instrnmente werden folgenZusannnenimsung

Die bekannten Formeln fiir die Berechnung des ijf%ungsfehIers 2 Ordnung des homogenen magnetischen Sektorfeldsystems sind kompliziert und infolgedessen schwer Ciberschaubar- Das Iiegt damn, dass keine optischen Griissen als Parameter oder Variablen benutzt werden, sondem lediglich die in den Formein zahlreich auftretenden geometrischen Griissen des SektorfeIdsystems_ Urn zu einer besseren Uberschaubarkeit und einem tieferen Verstiindnis nicht nur des magnetischen Sektorfeldsystems sondern iiberhaupt soicher Tnsuumente zu kommen, bei denen Ionenstrome mittels statischer Feider nach Tmpulsen oder Energien analysiert werden, wird einc allgemeine asymmetrische Strahlenoptik entwickelt- Sic ist unabh%ngig von der physikalischen Art der Strahlen sowie von Form und QuaIitZt dcs brechencen Mediums. Es gehen nuroptische Grbssen ein * in den untct [z&6] ziticrtcn Arbeittn wurde der Weg beschritten, durch Hintereinanderschalten mehrerer magnetischer Prismen die Vfinkeldispersion wsentiich zu ethiihen. In einer noch nicht publizierten Arbeit iiber “~Mehrkifigsysteme~’ w-urde durch die Herabsetzung der Lateralver&ssenmg wesentlich untcr Eins tin vergleichsweise hohes theotetisches Aufiiisungsvermiigen erzielt.

und zwar eine Tnvariante der Kaustikkurve und eine Invariante der Smhlenbrechung, femer die Ableitungen dieser ‘invarianten nach dem Bildstrahtenwinkel, die such Invarianten sind- Es werden eine Formel ffir den &fnungsfehter sowie die E%edin,Dung fir die S&ahIenvereini,oun, Q bis zur 3_ Ordnung einschiiesslich und die Bedin,wg fur Aplanasie an,oegcben_Der Nutzen der abstnkten Strahlenopt&- Tur den Spezialfall dcr romtionssymmetrischen Kaustik aIs Grundlage fiir die Konstmktion lichtoptischer Instmmente seit Iangem bckannt - wvird hcuz diskutiert Schliessiich wird afs Beispki einer physikalischen Verwirklichung das magnc&che !Mtorfeld mit nur einer geradfinisn Eintrittsbcgrcnzung gezeigt; mit der Vergr6ssemg ais zmabh2ngiger Variablen wird die Gesamtheit alIer m6gfichen Strahlenvereinigungen mit den zugeh6rigen Bestimmungsstiicken

der Systeme anzpge!bcn_ UTERATIJR 1 W- Glsnr. G&en d&r Uekrrommroprik, Spriqcr-Verhg, \Vh, 1952,s. 373. 3?4_ ? f- GeeA und G- Heinz, 2. P~,T.., 133 (1952) 517. 3 W- Glascr. Grzudagcn &r E~~~oIww~IL~, Springccr-Vu&. \Vien, 1952, s. 447. 4 % M- Kelinan und L. N- G&J. SW_ Phys_. Tech_P/q-s. 6 (1962) 7895 J_ Gttrk C-R- Acad Ski__ su- I?. 479 0966) 26Z 6 J- Gecrk. IS&1&%. Aprir 14166.(En@_ t_ibers_T-G-301)_