Ein zusammenhang der quermaßintegrale eines kinematisch erzeugten flächenpaares

Mechanismand Machine Theory, 1977, Vol. 12, pp. 173-182. Pergamon Press. Printed in Great Britain

Ein Zusammenhang der Ouermal~integrale eines kinematisch erzeugten Fl~chenpaares~ P. Meyer$ Eingegangen 10. September 1975

Zusammenfessung Das Volumen V' eines Bahnschlauchs ~', der durch eine geschlossene Bewegung einer Fl~ichenhaube ~ erzeugt wird, I~iJ~t sich nach dam Mathematiker G. Koenigs als Moment der "Koenigs-Schraube" (S, S) der Bewegung und der Fl~ichenschraube (F, F) der Fl~ichenhaube in der Gestalt V' = ,~. F + S . F schreiben. Bilden Haube und Schlauch ein kinematisches Hfillfl~ichenpaar, so ergeben sich mit gewisser Modifikation analoge Aussagen fiJr die (ibrigen "QuermaBintegrale" von ~'. Hierdurch kommt ein Zusammenhang zum Ausdruck zwischen Oberfliiche F, Integral der mittleren KriJmmung M und GesamtkriJmmung C von ~o einerseits und Volumen V', Oberfl~iche F' und Integral der mittleren KriJmmung M' von (I)' andererseits. Ein Spezialfall hiervon f(ihrt auf drei "Guldinsche Regeln". Es ist naheliegend, da,6 die mehr theoretischen Ergebnisse auch im Maschinenbau Anwendung finden werden. 1. Einleitung EINE anscheinend wenig bekannte Formel von G. Koenigs besagt, dab das Volumen V' eines Bahnschlauchs, der durch eine geschlossene Bewegung B einer Fl~ichenhaube erzeugt wird (Abb. 1), sich als Moment der "Koenigs-Schraube" (S, S) des Bewegungsvorgangs B und der Fliichenschraube (F, F) der F1/ichenhaube darstellen lii6t. Es besteht die Gleichung

V'=~.F+S.~,

(1)

in der das Vektorpaar (S, S) lediglich yon der Bewegung B, dagegen das Paar (F, F) nur yon der geschlossenen Randkurve der Fl~ichenhaube abh/ingt. Auf die Bedeutung der Gr61]en in (1) kommen wir in (13) zurttck. Wie in der Theorie der konvexen K6rper (Eifl~ichen) fiihrt (1) durch 0bergang zu Parallelfl~ichen zu Aussagen fiber die tibrigen "Quermal]integrale": Oberfl~iche,

Abblldung 1. Yon Fliichenhaube (Jberstrichener Schlauch. tHerrn ProfessorDr. H. R. Mfillerzum 65. Geburtstag. $Dr.rer. nat.,InstitutDffirMathematik,TechnischeUniversitit,D-3300Braunschweig,BundesrepublikDeutschland. 173

174

Integral der mittleren Kriimmung und Gesamtkriimmung (curvatura integra) eines kinematisch erzeugten Hiillfliichenpaares (Abb. 2)t. 2. Die Fliichenvektoren der MaBzahlen Der Gangraum R, der durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem {0; e,, e2, e3} repr/isentiert werde, vollziehe einen zwangliiufigen, periodischen Bewegungsvorgang B in Abhiingigkeit eines Parameters t gegeniiber dem Rastraum R' vertreten durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem {0'; e~, e~, e~}. Hierbei werde B bis auf die Anfangslage der beiden Dreibeine zueinander durch das Paar (to, t~) infinitesimaler Vektoren, die momentane Bewegungsschraube eindeutig beschrieben. Dem Vektorpaar (to, o3) ist bekanntlich ein linearer Strahlkomplex (Strahlgewinde) zugeordnet, der alle augenblicklichen Bahnnormalen enthiilt. Es ist to:=e,o~,+e2o~2+e3~o3, cb: = d'q,

d'e~=eicok-ekcoj

(i, Lk)zyklisch,

q: = 0'0".

(2)

Ferner sei vorausgesetzt, dab eine in R feste Fl~iche 4)CR beschrieben durch x = x(u, v) mit x E C 2 bei B in R' eine schlauchartige Fl/iche 4)' CR' dargestellt durch x' = x'(w, t) mit x' E C 2 einhtillt. Hierbei kann 4) eine geschlossene, etwa einfach zusammenh~ingende, nicht notwendig konvexe Fliiche sein; 4) mag aber auch eine sich ins Unendliche erstreckende Fl~iche (beispielsweise ein einschaliges Hyperboloid) sein. In jedem Fall hat das Paar B und • so beschaffen zu sein, dab das im Endlichen gelegene Htillgebilde 4)' sich nicht selbst durchdringt oder beriihrt, also vom Zusammenhang des Torus ist. Es existiert dann auf 4) eine Kurvenschar

u=u(w,t),

v=v(w,t)

(3)

aus Charakteristiken mit t als Scharparameter--I/ings dieser Kurven beriihren sich die FI/ichen und 4)' im Zeitpunkt t--, so dab die geschlossenen Kurven t = konstant auf • und ~' durch gleiche t-Werte kongruent aufeinander bezogen sind. Ist im besonderen 4, nicht konvex, so k6nnen verschiedene Scharen aus Charakteristiken auftreten, die zu verschiedenen Hiillfl~ichen ~' AnlaB geben k6nnen. Im folgenden sei ~o = ~o(t) eine der beiden FI/ichenhauben beziehungsweise Fl~ichenstiicke yon ~, die yon einer Charakteristik ~b = if(t) berandet wird, n im Falle der geschlossenen Fi/iche die nach innen gerichtete Normale yon ~, und x - p n mit hinreichend kleinem p > 0 Darstellung der ~iuBeren Parallelfliiche ~p yon ~. FOr das vektorielle und alternierende Fliichenelement yon ~ . findet man den Ausdruck _1 d ( x 2 1

- pn)

>
^

p n ) = ~1 d x x^ d x - p 3 1 (dx >~dn 1

^

= ~dx × dx - p dn >
e1

21 +dn >~dx)+ p ~ dn >~dn (4)

~

Abbildung 2. Kinematisch erzeugtes H011fl~chenpaar. tVerfasser berichtete fiber die Ergebnisse anl~lich der Tagung iiber Kinematik yore 5.--9.1.1976 in dem mathematischen Forscbungsinstitut Oberwolfach, BRD.

175

Definition 1. Die in (4) auftretenden Vektoren dr: = ~dx x dx, dh: = - d n >~(Ix, dk: = ½dn >~dn heiSen der Reihe nach vektorielles Fl~ichenelement, vektorielles Element der mittleren Krtimmung beziehungsweise vektorielles Element des KrfimmungsmaBes von ~. Entsprechend heifen die integrierten Ausdriicke F : = f , df, H : = f , dk, K : = f , dk Flfichenvektoren der Oberii[iche, der mitfleren Kriimmung beziehungsweise der Gesamtkrfimmung von ~o. Fiir die Fl~ichenvektoren gelten folgende Aussagen Satz 1.

F=lf x×dx; H=-fnxdx=fHdxf
K= f,nxdn= fK 1

1

^ dxxdx

mit der mittleren Krfimmung H und dem GauBschen Kr0mmungsmaB yon ~. Ferner besteht die Gleichung Fp = F+pH+p2K, die besagt, dab der Fl~ichenvektor Fp der Oberfl~iche der Parallelfliche erzeugende Funktion der Fl~ichenvektoren F, H, K ist. Daneben besteht fiir hinreichend kleine p > 0 die Steiner-Minkowskische Formel Fo = F + p2M + p2C fiir Flfichenhauben ~ mit der Oberfl~iche F, dem Integral der mittleren Krfimmung M und der Gesamtkrtimmung C. Beweis. Mit dem GauB-Stokesschen Satz f d^c~=fc~

(5)

fiir stetig differenzierbare Differentialformen a, lassen sich Integrale fiber Fl~ichenhauben ~p in Integrale tiber ihre Randkurven ~ tibeffiihren. Ferner seien g,j und L,j (i, j = 1, 2) die (symmetrischen) Fundamentaltensoren der ersten beziehungsweise zweiten Grundform der Fl~ichentheorie von ~, und g die positive Determinante yon g,~. Dann ergebcn sich mit den Weingartenschen Ableitungsgleichungen der Differentialgeometrie folgende Umformungen: -dn >~dx = -(n. du + no de) >~(x. du + xv de) 1

= - - ((g12Lt2 - g = L . ) x . × x~ du ^ dv + (g~L,2 - g . L = ) x v x x. dv ^ du) g = 2 H x . x xo du ^ dv = H dx f< dx,

also

H=-fdnf
dx ;
~dn:~ dn = n . ×n~du ^de = 1 ((g~2L,2 - g22L,,)(g~2L,2- g,,L=) - (g~2L22 - g22L~2)(g~L. - g,~L,2)). I;

• x. ×xo du^ dv 1 =~

(e,,e~- g~2)(L.L22-

L~2)x. x x~ du ^ dv

1

=Kx. xx~du^dv=~Kdxf
K = ~1f dn>~

dn=~fKdx×dx. 1

I n t e g r i e r t m a n (4) tiber ~p, so w i r d

-

also

176

1 F. = ~ f~ d(x - pn) ~ d(x - pn) = F + pH + peK.

Skalares Multiplizieren yon (4) mit n und aschliel3endes Integrieren iiber ~ fiihrt zu

Fo = ~ f n . (d(x- pn) ~ d ( x - pn)) =~

n. (dx ~ dx - p2 dn ~ dx + O~dn ~ dn)

=~

n.(l+p2H+p2K) dxxdx=F+p2M+p2C.

3. Das Volumen das Hfillschlauchs

Im folgenden ermitteln wir das Volumen, das vonder ver/inderlichen Fl~ichenhaube ~(t) bei dem Bewegungsvorgang B(t) tiberstrichen wird. Mit dem vektoriellen Fliichenelement df = 1/2 dx x dx yon ¢ und der differentiellen Absolutgeschwindigkeit d ' x = d ~ x + d x = eo x x + ~ + x d t

(6)

(der Index f deutet die Fiihrungsgeschwindigkeit an, der Punkt bezeichnet Ableitung nach t) ergibt sich das Volumenelement der eingehiillten Schlauchfl/iche zu

1 dV' = d'x : df = (oJ x x + f~) :~(dx ;
(7)

wobei der Anteii/t dt : df verschwindet, da die Vektoren x, xu, xv linear abh/ingig sind. Mit der Umformung

x x (dx >(dx) = - ( x . dx) ^ dx - (x. dx) ^ dx = 2 dx ^ (x- dx) folgt

v' = f. ,~ ~5If. (, dx ~ dx + f o, ~.fo,, dx ^ (x • dx).

(8)

Wir wenden den Integralsatz (5) an und erhalten

r=~f.dx~
dx^(x'dx)=-~

2(x'dx)^dx=-

(9) d^(x 2 d x ) = - ~

if.

x2dx.

(10)

Wegen

O= f d(x,)= 2 f (x . dx)x + f x2 dx.

l f, (x. d x ) x = - ~I f xedx,

also

and folglich

1 2 1 ~f x×(xxdx)=~fo(xdx)x-gfox dx=-~fx

2

dx

ergibt sich mit (10) die Darstellung ~'=-~

x dx=~

xx(xxdx).

(11)

177

Definition 2. Das Vektorpaar (S,S) mit S: = fBto, S: = fBcb heige Koenigs-Schraube der Bewegung B, das Paar (F, F) gemfiB (9), (10), (ll) Oberfliichenschraube der Haube ~p(t). Das Volumen (8) wird dann zu (12)

V'= f e ( ~ . F + ~ . IF).

Im besonderen besteht die Darstellung (12), wenn ~b auf ¢ bei B fest ist, und ferner sogar dann, wenn 4) und ~' sich liings ~bnicht bertihren, sondern ¢' Bahnflfiche der starren Kurve ~bbei B ist. Zusammenfassend gilt folgende Verallgemeinerung eines Ergebnisses yon G. Koenigs. Satz 2 Das Volumen des Htillschlauchs dp' l/iBt sich mit der Geschwindigkeitsschraube (to, t~) von B und der Obertt~ichenschraube (F, F) von ~ als Integral tiber das Moment dieser beiden Schrauben gegeneinander interpretieren, wobei fiber einem Umlauf von B zu integrieren ist. Ist ~bin R fest oder ~' Bahnfl/iche der starren Kurve if, so ist

V'=S-F+S.F

(13)

das Moment der Koenigsschraube und der Oberftiichenschraube gegeneinander.

4. Die iJbrigen MaBzahlen der HiJllfl~che Der Zusammenhang (12) beziehungsweise (13) zwischen der Obertl~ichenschraube (F, F) yon und dem Volumen V' von ~' l/i6t sich auf die tibrigen QuermaBintegrale des Htillschlauchs tibertragen. Hierzu gehen wir wieder zu der ~iuBeren Parallelfl~iche Oo von ~ tiber und berticksichtigen, da6 die Fl/ichennormalen N von ~' und n von ~ l/ings ~bgleich sind. Mit (9), Satz 1 und

O=fd(x×N)=fx×dN-foN×dx wird der Fl/ichenvektor Fp der Oberfliiche von ~p zu Fp = ~

(x - pN) x d(x - pN) =

(x × dx - p(x x dN + N × dx) + p2N × dN)

=~f,x×dx-pf,Nxdx+p2~fNxdN=F+pH+p2K.

(14)

Entsprechend entnimmt man aus (10) und (ll)

l f, ( x - oN) 2d ( x - pN) = - ~if¢ (x2- p2x. N + p2)(dx- p dN)

F, = - ~

= - ~ lJ , rx~ d x + p ~IJf, ( 2 ( x . S ) d x +

x~

dS)-p 2

Mit den Umformungen

o=f,d(,=N)=2f,(x dx)N+f,x2dN folgt und ferner mit

,l f, dS.

(2(x.S)dS+dx)+p ~

(15)

178

S+..,S,S und dx. N = 0 welter (2(x.N) d N + d x ) = -

(x.N) d N = - ~

(x.N) dN+

.(x'dN)N

xx(NxdN)

=~

l~Bt sich schlieBlich (15) vereinfachen zu

L =~f x×(xxdx)-af, xx(Nxdx)+a=~f, xx(N×dN) = :~+ pl~ + p2R.

(16)

In Erg/inzung zu Definition 1 und 2 ftihren wir folgendc Begriffe ein Definition 3. Mit fl:=-.xx(Nxdx)

und K : = ~

xx(NxdN)

erkliiren wit die Schraube (H, H) der mittleren Kr0mmung und die Schraube (K, K) der Gesamtkrfimmung yon 9.

Satz 1. Entsprechend Lassen sich 0ber H und K analoge Aussagen machen. Satz 3. Es gilt

"=-f xx(dnf
xx(dnxdn)=~

Kxx(dxxdx).

Beweis Mit (5) wird =

=

- f. x x (n X d x ) -

fo

(dx f<(n x dx) + x x (dn >~dx)),

wobei dx x (n x dx) = (dx >
ifo

~

.xx

(n x dn) =

if.

~

(dx ><(n x dn) + x x (dn >
wobei wegen dx ; dn = 0 auch dx ~<(n x dn) = (dx : dn)n + (dx. n) ^ dn = 0 ist. Die Obrigen Aussagen ergeben sich aus dem Beweis zu Satz 1. Eine Vorbereitung des nachfolgenden Ergebnisses beinhaltet der Hilfssatz. Es sei g(w, t) stetig auf ~. Dann gilt

ffg(w, t)(n, xw, i)dw dt =0. Ja J,~

179

Beweis. Die Integration erstreckt sich iiber ein Teilgebiet von ~. Die Behauptung folgt dann daraus, dab die Integration fiber B an einer gewissen Anfangskurve if(to) beginnt und nach einer Periode von B zu dieser zur0ckftihrt. Satz 4. Die Oberfl~iche F' des Htillschlauchs l~iBt sich in der Form P, =

(17)

darstellen, also als Integral fiber das Moment der momentanen Bewegungsschraube und der Schraube der mittleren Kriimmung. Das Integral der mittleren Kriimmung M' yon ¢' hat die Gestalt

M' = ~s (a~ • K+ to./~)

(18)

und gestattet eine entsprechende Interpretation mittels der Schraube der Gesamtkriimmung. Ist im besonderen i in R fest (und d~, ~' nach wie vor ein Hiillkurvenpaar), so ist F' = S . H + S . H

(19)

M' = S . K + S . K

(20)

und

das jeweilige Moment der Koenigs-Schraube und der Fliichenschraube beziehungsweise der Gesamtkrummung. Beweis zu (17): Mit il,~ dt = to x x + to + i dt gilt aufgrund des voranstehenden Hilfssatzes

fsfx'(N×dx)dt=fsf(n,x.,'Odwdt=O. Daher ergibt sich

L (';' " H + to " Q) = fs foi'., "(N X x.) aW A dt =fof(n,x.,i,A)dw^dt=F'. Zu (18). Wieder mit dem Hilfssatz folgt

~fi'(NxdN)dt=fBf(n,n,,x)dwdt = f . f g,(w,t)(n, Xw,,Odwdt=O, wobei die Funktion g,(w, t) durch die Ableitungsgleichungen yon Weingarten bestimmt ist. Ferner verschwindet mit lqA = to × N + lq auch das Integral

f.f,(N,x.,r;~,,)dwdt = f, to . f, N×(N×x.)dwdt + f.f, (N,x.,,f,~)dwdt = f to" f.((N'x.)N-x.)dwdt + f s f g2(w,t)(n,x.,k)dwdt =O unter Hinweis auf den Hilfssatz und mit durch die Weingartenschen Gleichungen bestimmter

180 Funktion

g2(w,t). Somit

wird

. f (05"K+,o'")=-~ 1 fBf (x~.N,N~) dw Adt =- ~i f. f ((N,Nw,,a)

fof.

+ (N. x... NA)) dw A dt

H'(N, x..x~) dw ^ dt = M'.

wobei wieder die Formeln von Weingarten heranzuziehen sind, und H' die mittlere Kriimmung von qb' bezeichnet. Es sei bemerkt, dab for die Gesamtkriimmung C' des Hetlschlauchs q)' mit der Geschlechtszahl 1 stets C' = 0 gilt (GauB--Bonnetscher Satz).

5. Die Guldinschen Regeln Als Sondergall sind in den Ergebnissen (13), (19), (20) die Guldinschen Regeln enthalten. Hierbei sei speziell B eine Drehung mit der Darstellung co,=dt,

co2=~o3=0;

o5=0.

(21)

FOr die Ermittlung des Volumens V' des Ringgebietes (Abb. 3) ziehen wir das yon x = x(w) berandete ebene Fl/ichensttick ~ mit Inhalt f heran. Der Schwerpunkt S r von ¢ sei dann erklart durch

s,V: =

xldxl^dx2,

s2F: =

x2dxt^dx2.

(22)

Mit x = elx, + e2x2, dx = e, dx, + e2 dx2 ergibt sich dx ^ (x. dx) = (e, dx, + e2 dx2) ^ (x, dx, + x2 dx2) = (e,x2 - e2x,) dx, ^ dx2 und mit (10):

F=fdx^(x.dx)=f(elx2-e2x,)dx,^dx2. Mit (13) und (22) wird das Volumen

V'=S'F=2~re,'f (e,x2-e2Xl)dx,^dx2=2~rf x~dx,^dx~=2crs/~'L

(23)

was besagt: Das von ~ iiberstrichene Volumen ist die Bahnl~inge des Schwerpunktes S v multipliziert mit dem FRicheninhalt f von ~. Uber ff als Grundkurve errichten wir einen geraden Zylinder, so dab ~b auf diesem Zylinder als in R feste Charakteristik angesehen werden kann. Die ebene Kurve ~b beziehen wir auf ihre :e 3

"2

Abbildung 3. Ringflfiche zu Guldinschen Regeln.

181

Bogenl/inge s und berechncn I~ = - f~ x x (n x dx) gem~il3 Definition 3:

dx =

n x ~

(n×dX ds]

-e~,

x x \

= e~ x x = -e,x~ + e~x,,

womit sich ~I= f, (e,x2-e~x,)ds ergibt. Mit der gesamten Bogenl~inge L yon ~b ist der Linienschwerpunkt S L yon ~ durch 1 S L:=_~fx, ds, SL".= ~1 f,x~ ds

(24)

definiert. Dann wird nach (19) und (24) die Oberfl~iche F' zu F' = S ' " =

2.e,.

fje,x2-e2x,)ds=2.f.x2ds=2¢:s2L'L.

(25)

Diese zweite Guldinsche Regel sagt aus, dab die Oberfl/iche der Ringfl/iche gleich ist dem Produkt der Bahnl~nge des Linienschwerpunktes S Lund der gesamten Bogenliinge L yon ~b. SchlieBlich berechnen wir I( = ½f, x x (n x dn) aus Definition 3. Mit der Kriimmung r yon ~bwird gcm~iBden Frenetschen Formein

dn ~ix ds =--K~ss ,

dn dx n×~ss =--KnX~s = re3

und x x

= K X X e~ = K ( e l X 2 - - e 2 x l ) ,

n X

also K = ½f, r(e,xz- e2xl) ds. Mit der gesamten Kurvenkrtimmung K: = f, K ds -> 2 . ist der Krtimmungsschwerpunkt S K erkl/irt durch

s,K:=-=1 f x,rds, t,..U

s 2r " •

l f, xzKds.

(26)

2 M ' = 2 S - K = 2 . e , . f~ K(e,x2-e~x,)ds= 2.f~ x~r d s = 2.s~ ~. K.

(27)

=-K

Dann wird

Durch (27) kommt zum Ausdruck, dab das zweifach genommene Integral der mittleren Kriimmung der Ringttache glcich ist dem Produkt aus dcr Bahnl/inge des Kriimmungsschwerpunktes S r von ~b. Die erzielten Ergebnisse k6nnen bei Anwendungen der r~iumlichen Kinematik von Bedeutung sein, wenn Aussagen im Grol3en fiber die MaBzahlen: Volumen, Integral der mittleren Kriimmung, sowie fiber die Gesamtkrtimmung zu machen sind.

G~n~ralisation

d'une

formule

de G.

Koeni~s

P. M e y e r R~sum~ d'un et

- Selon

mouvement

(k,~)

G°

sont deux

tie de la s u r f a c e , pr~t~

comme

suivante:

Koenigs,

p~riodique

~tant

le v o l u m e peut

couples tandis

d'un

le m o m e n t

(k,[)

des

formule

de

une

surface

ferm~e

(h,h)

ne d ~ p e n d

deux

Koenigs

corps

repr~sent~

de v e c t e u r s ; que

Cette

MMT Vol. 12, No. 2---D

@tre

couples

peu connue,

ou b i e n

une

parcouru sous

p a r une

la f o r m e

ne d ~ p e n d

partie

bord~e

symm~trique

q u e de

que du mouvement.

V

la c o u r b e

d'une

- k-h

fronti~re

Le v o l u m e

peut

surface

+ k ' ~ o~ de

lors

(h,h)

ladite

doric ~ t r e

de v e c t e u r s . comme

surface

il s e m b l e ,

s'~tendant

peut

jusqu'~

~tre

~tendue

l'infini

de la m a n i ~ r e

(par e x e m p l e

par-

inter-

un

182 hyperbolofde

~ une nappe)

tour~ par cette l'int~grale

surface

pouvant

~tre interpr~t~

d~pend que du mouvement. Koenigs,

le th~or~me

pour la surface, integra)

a une surface

enveloppante Comme

co~e

~tant

cas particulier,

de Guldino.

pour l'int~grale

de la surface

enveloppante

De plus,

situ~e dans comme

le fini.

l'int~grale

le m o m e n t de deux couples le r~sultat

de semblables

de la courbure

enveloppante.

ferm~e

peut alors ~tre repr~sent~

moyenne

contient,

dudit mouvement,

de vecteurs

dont un ne

en plus de la formule de

representations et pour

Le volume en-

peuvent

la courbure

~tre indiqu~es

int~grale

(curvatura