Eine bemerkung zur quadrupolwechselwirkungs-energie in μ-mesonenatomen

I

137~2: I

Nuclear Phys,cs 11 ( 1 9 5 9 ) 6 7 0 - - 6 7 4 , ~ ) N o r t h - H o l l a n d

•

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EINE B E M E R K U N G ZUR Q U A D R U P O L W E C H S E L W I R K U N G S ENERGIE IN p - M E S O N E N A T O M E N j

VON BEHR

und H

MARSCHALL

Phys,kahsches Instztut der Umversztelt Fretburg ,

Br

E m g e g a n g e n a m 13 Mgrz 1959 A b s t r a c t : T h e c a l c u l a t i o n of t h e i n f l u e n c e of a d e f o r m e d n u c l e u s o n t h e free s t r u c t u r e of m e s o n - a t o m m s p e c t r a r e q u i r e s a m o d e l of t h e c h a r g e d m t n b u t i o n T h e u s u a l m o d e l r e v o l v e s a n add,txonal s u r f a c e c h a r g e o n a spherical n u c l e u s A m o r e r e a h s t m , b u t still simplified model, r e p r e s e n t s t h e n u c l e u s as a s p h e r o i d w i t h c o n s t a n t c h a r g e d e n s i t y I t is p o i n t e d o u t t h a t t h e differences b e t w e e n t h e t w o m o d e l s a r e of t h e s a m e o r d e r of m a g m t u d e a s t h e relativistic c o r r e c t m n s of t h e q u a d r u p o l e - e n e r g y

1. Einleitung Be1 der Berechnung der Quadrupol-Wechselwlrkungsenergle m Mesonenatomen mul3 das yon den Elektronenatomen ubernommene Rechenschema ma allgemelnen in zwelfacher Hmsmht mochflzmrt werden 1) Die Beschrelbung emes zu festem F gehongen Zustandes des Gesamtsystems Kern-Meson dutch weltere Quantenzahlen I, I der Teflsysteme 1st nmht mehr zulasslg 2) Die Schematlsmrnng der Quadrnpolwechselwlrkung dutch Qo/2r~, wo Qo das ,,intrinsic" Quadrupolmoment des Kerns bedeutet, 1st mcht mehr statthaft Dm gememsame Ursache fur belde Behauptungen ,st die be1 den Mesonenatomen auftretende Verklemerung der Bahnrachen Die mchtdlagonalen Elemente (IK, ~, FJHQII'K,/, F> der ,,Quadrnpoloperators" HQ konnen so groB werden, dab sle be1 der Dlagonahsmrnng des Gesamtoperators

H = HKem+HMeson+H Q nicht mehr vernachlass,gt werden durfen. Die Folge 1st dann eme -- unter Umstanden sehr starke - - Vermischung der zu verschmdenen I gehongen Kernzustande elnerselts und der zu verschledenen i gehongen Mesonenzustande andererseits 1, 2) ~3berdms erfordert dm Kernnahe des umlaufenden Mesons dm Berucksmhtlgung des Quadrnpolpotentials lm Gesamtberemh 0 ~ r ~ oo Nach dem Vorblld fruherer yon A Wheeler durchgefuhrten Rechnungen 3) geschleht ches durch die Schematlsmrung des Quadrupol670

EINE BEMERKUNG ZUR QUADRUPOLWECHSELWIRKUNGSENERGIE

~71

potentials

W(r, O) = ½eQoP,(O)/(r )

mlt

f(r) =

{r -3 fur r,/R 5 for

r => R r <= R,

(1)

wobel der de]orm, erte Kern durch em homogen geladenes Rotatlonselhpsold mlt dem (intrinsic) Quadrupolmoment Q0 reprasentlert wlrd Im kerneigenen Koorchnatensystem stud r, 0 die Koordmaten des Aufpunktes (vergl auch Fig 1) Die Beschrelbung des Potentials dutch (1) 1st abet an che Voraus-

i

.

a

Fxg I D e f l m t l o n d e r K o o r d m a t e n r, *9 u n d r', O" L l e g t r ' xm B e r e l c h a N T' ~ b, so e x l s t l e r t e m S c h m t t p u n k t y o n r ' m l t d e m K e r n e l h p s o l d , w e l c h e r d e n W m k e l 0"0 d e f m l e r t

]ewefls

setzung des h, nrefchend schwach delorm, erten Kerns geknupft Beschrelbt man chesen namhch dutch dae volumenglelche Kugel des Radius R, bel welcher Q0 dutch flktive Oberflachenladungen erzeugt wlrd, so erhalt man gerade (1) fur den Quadrupolantell des Potentials Dlese wextere Slmphflzlerung des berelts stark verelnfachten Kern-Elhpsold-Modells 1st fur stark deformlerte Kerne in Mesonenatomen mcht mehr zu rechtfertlgen, anstelle yon (1) muB der vollstandlge Potentxalverlauf des Elhpsolds zur Darstellung der Wechselwlrkung Kern-Meson benutzt werden Sobald eme Spektroskopie der Quadrupoleffekte an den Spektren yon Mesonenatomen moghch wlrd, 1st es wlchtlg, dae durch die Wheelersche Schematlslerung bedangten Abweichungen yon genaueren Rechnungen abzuschatzen Dies soll lm folgenden fur die konkreten FaUe des 90The°- und 7,HWe-Kerns geschehen. 2. D a s Q u a d r u p o l p o t e n t i a l des stark d e f o r m i e r t e n Kerns

Ist p(r') die Protonendlchte, so lautet der Quadrupolantell des Potentials allgemem ~o(r, ~) = ePz(O)[r2 (°°r'-3p(r')P~.(O')d,'+r-3 f~r'Zp(r')P2(O')dr'], dt

JU

(2)

672

J VON BEHR UND H MARSCHALL

wo r, 0 dm Koorchnaten des Aufpunktes, r ,t ?}r dlejemgen des Integrationspunktes stud t Fur r--~ oo enthalt (2) die wohlbekannte Deflmtmn des (lntrmsm) Quadrupolmomentes 1

9(r, O) ~-~ ~ P~(O)½eQo,

Qo = 2

r'2p(r')P,(O')dv '

(3)

Notleren wlr anstelle yon (2)

cp(r, O) = ½eQoP2(O)F(r )

(4)

mat

QoF(r) = 2[r*f~r'-Sp(r')P2(v~')dz'+r-3]:r'*p(r')P,(O')dv'],

(4a)

so werden (1) und (4) fur r -+ oo adentlsch F(r) -~- ](r) = l/r 8, wm man unmxttelbar mlt (3) folgert Zur Berechnung von 9(r, 0) und Qo bemerken wxr, dab bel dem homogen geladenen Kernelhpsold dm Berexche r' < a und r ' > b kemen Bextrag hefern In dem Zwxschenberemh a ~ r' ~ b exxstlert fur festgehaltenes r' (vergl Fag 1) ]ewells eln Wmkel O'(r') = 0' 0, bls zu welchem Z p=~=const

(a~b,a~r'~b)

(5)

gilt Damlt werden dm Wmkehntegratlonen und anschheBend che Radlallntegratlonen elementar durchfuhrbar Fur Q0 folgt unter Berucksmhhgung (5) Qo =

=

(6)

Dm Darstellung des Potentials geschleht ebenfalls durch elementare Funktlonen, das Resultat wlrd ]edoeh reeht unubersmhthch. Fur das emgangsgenannte Belsplel des 90Th~°-Kerns zelgt Fag 2 den Verlauf yon F(r) Unsere besondere Aufmerksamkeat grit nun dem EmfluB des Vorzemhens yon Qo auf das Quadrupolpotentml. Als Folge der eangangs erwahnten Vermlschung mehrerer Kernzustande 1st die Bestimmung des mtrmsm Quadrupolmomentes - - ebenso wm be1 der Coulombanregung - - auch fur solche Kerne mogheh, welehe am Grundzustand I = 0 haben Im Gegensatz zur Coulombanregung erhalt man aber uberdms das Vorzemhen yon Qo, und fur che quantitative Auswertung emes Mesonenatomspektrums wlrd daher der VorzemhenemfluB yon Qo auf F(r) yon Interesse Be1 emem Kern des Volumens V = -~a2b mlt dem Quadrupolmoment Qo und tier Protonenzahl Z, bedeutet em Vorzemhenweehsel yon Qo eme Abanderung der Halbaehsen a, a ( < b) und b m dm neuen Halbaehsen a', a ' ( > b') und b' Setzt man nun, t Eine strenge Behandlung des homogen geladenen Rotatmnselhpsolds m elhptlschen K o o r d m a t e n glbt S F l u g g e 6)

BEMERKUNG

FINE

ZUR QUADRUPOLWECHSELWIRKUNGSENERGIE

6~

wze dies gewohnhch geschleht a' : b, b' -- a, so verletzt man die Volumenkonstanz - - nach (6) andert Qo mcht nur sere Vorzelchen, sondern auch semen B e t r a g - was bel schwach deformlerten Kernen gerechtfertlgt zst Bel stark deformzerten Kernen zst ]edoch auf die Volumenkonstanz zu achten, d h bel der Vorzezchenumkehr yon Qo 1st auf die Nebenbedlngung a~b : a'2b ' zu achten und als Folge wlrd dann a' v~ b und b' v~ a So ergeben slch fur zwel Kerne, die abgesehen yon dem Vorzezchen yon Qo ldentzsch stud, verschledene Radialfunktlonen F+(r) bezw F_(r) des Quadrupo]potentmls, zm Gegensatz zu der veremfachten Darstellung (1), w o / ( r ) fur -4-Qo dasselbe blezbt

25,'r0"~

b',

R

o' ,

--r

i

E 2

'

/\

1 p

1

77-#d ~

'F+(r)

15

,,J ! o

b

-. r

"lOxlO'~cm

Fig

9. D i e R a d z a l a b h a n g z g k e i t des Q u a d r u p o l p o t e n t t a l s F u r Qo > 0 - - R a d l a l f u n k t z o n - - h a t der K e r n die H a l b a c h s e n a, a, b, fur Qo < 0 - - R a d z a l f u n k t i o n F _ ( r ) -die H a l b a c h s e n a', a', b' Die Volumenglezchhext bexder K e r n e 1st d u r c h a t b = a ' 2 b ' g a r a n t i e r t D i e Vqheelersche S c h e m a t z s i e r u n g v o n Qo d u t c h e m e v o l u m e n g l e i c h e o b e r f l a c h e n g e l a d e u e K u g e l des R a d i u s R wzrd d u r c h / ( r ) b e s c h n e b e n I m e m z e l n e n ,s t fur ,0Th .7°, IQ0] = 19. 9.b, a = 6 7, b = 8 88, a ' = 8 25, b' = 6 85 ]ewefls in E m h e i t e n y o n 10 -Is c m F+(r)

Fur 9oTh~3° mzt Qo = 12 2 zezgt Fig 2 die mzt (4) gewonnenen Radialfunktzonen F+(r) und F_(r) Fur Q0 > 0 stud die Halbachsen a, b aus (6) und mit Hllfe der volumenglelchen Kernkugel R 3 = roSA = a2 b, r o = 1 2 × X 10 -13 cm gewonnen Die fur Q0 < 0 verbmdhchen Halbachsen a', b' folgen unter Elnhaltung der Volumenkonstanz Die gestnchelte Kurve entspncht der Schematlslerung (1) Asymptotisch verhalten slch alle drei Radialfunktlonen definltlonsgemaB wie r -3 Fur r < a bezw r < b' erhalt man Parabeln proportional r z mlt verschzedenen Proportzonahtatsfaktoren Fur die quantitative Auswertung der Spektren benotigt man die Quadrupolaufspaltung, zu deren Berechnung man dle emgangs erwahnten Matnxelemente ( I K , ], FIHQII'K, I', F> des Operators HQ :

--e~o = --½e~Qo P2(O ) F (r)

(7)

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J VON BEHR UND H MARSHALL

kennen muB. Den Arbelten 1, 2) yon Wdets und Jacobsohn entnlmmt man Proportlonahtat der Matrlxelemente zu

]F (r) 11') -----fo°° X, (r) F (r)x j, (r) dz,

(8)

wo xj(r) den Radialantell des Mesonenzustandes beschrelbt Geschleht die Berechnung der Integrale (8) mlt den Wasserstoffelgenfunktlonen (Ersetzung der Elektronen- durch die Mesonenmasse) des 2P-Zustandes, dann fmdet man ftir deren Verhaltms bei den durch F+ (r) und F_ (r) unterschledenen Fallen von (~o-----+ 12.2 b fur 90Th~° rund 1 06 Fur den ~zHfZVe-Kernmlt Qo = + 8 2 b wurde (8) mit der Wheelerschen Radialfunktxon /(r) und mlt F+(r) berechnet Fur das Verhaltms bexder Integrale finder man wieder 1 06 Fur eme genauere Rechnung hat man naturlich - - wle es Fitch und Rainwater 4) SOWle Flugge und Zlckendraht 6) getan haben - - ftir die z~(r) relatlvlstlsche Elgenfunktxonen zu verwenden. Nach Wllets brlngt dies gegenuber den Schrodingerfunktlonen eme Reduktlon des Integrals (8) um etwa 6 %. E t w a dieselbe Verklemerung brlngt abet nach den oblgen Angaben fur den ~,HflTe-Kern gerade der Ubergang von dem dutch (1) dargestellten Quadrupolpotentlal zu dem hler benutzten Potential (4), so daB n u t die glemhzeltlge Benutzung bexder Korrekturen smnvoll erschemt SchheBhch sel darauf hmgewiesen, daB zmschen den Quadrupolpotentialen (1) und (4) auch em begrlffhcher Unterschled exlstlert" Be1 der Wheelerschen Schematlslerung kann das dutch den Kernradlus beschrlebene Kernvolumen unabhanglg von Q0 geandert werden, be1 der trier gewahlten Beschrelbung brmgt elne Abanderung des dutch a und b beschnebenen Kernvolumens lm allgememen auch eme Veranderung yon Q0 mlt slch, da dieses wegen (6) dutch die geometrlschen GroBen a, b festgelegt 1st Wahrend so lm ersten Fall Kernvolumen- und QuadrupolemfluB auf das Spektrum getrennt diskutmrt werden konnen, darf dies be~ stark deformlerten Kernen olme Ab~Lnderung der Ladungsdichte mcht mehr geschehen

Literatur 1) 2) 3) 4) 5) 6)

L B A V S S

Wdets, Mat Fys Medd Dan Vld Selsk 29, No 1 (1954) A Jacobsohn, Phys Rev 96 (1954) 1637 Wheeler, Phys Rev 92 (1953) 812 L Fitch und J Rainwater, Phys Rev 92 (1953) 789 Flugge und W Zlckendraht, Z f Phys 143 (1953) 1 Flugge, Z f Phys 130 (1951) 159