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Eine Theorie Magnetischer Compton-Spektrometer
NUCLEAR
INSTRUMENTS
AND METHODS
10 (1961)- 301--307; N O R T H - H O L L A N D
PUBLISHING
CO.
EINE THEORIE MAGNETISCHER COM~TON-SPEKTROMETER E. K E I L und E. Z E I T L E R
Physikalisches Institut der Universitiit Wi~rzburg Eingegangen am 23. Dezember 1960
A theory is formulated to calculate luminosity and resolution of Compton-spectrometers in the energy range of 10 to 30 MeV. The formulae are evaluated approximately. The influence of
q u a n t u m energy and geometry of the Compton-spectrometer on luminosity and resolution is discussed. Scattering of Comptonelectrons is regarded.
1. Einleitung Bei magnetischen Compton-Spektrometern wird der Compton-Effekt in einer Konverterfolie zur Messung yon y-Spektren benutzt. Die entstehenden Compton-Elektronen werden magnetisch analysiert. F~illt ein kontinuierliches Spektrum mit der Quantenzahl Q (k) dk im Energieintervall von k bis k + dk auf die Konverterfolie, werden im Detektor des auf die Energie E eingestellten Spektrometers M(E0) Elektronen angezeigt :
M(Eo) = Q(k) SN(Eo, k) d k ---- Q(k).L(Eo) .
M ( E o ) = ~N(Eo, k) Q(k) d k .
(2)
Das noch verbleibende Integral ist offensichtlich die Lichtst~irke des Compton-Spektrometers, da es den Quotienten von Mel3effekt und Spektrum angibt. Wegen (2) erh~lt man folgende Vorschrift zur Bestimmung von Quantenspektren aus ComptonSpektrometer-Messungen:
Q(k) =
(1)
Die Berechnung des Quantenspektrums Q(k) dk aus einer Anzahl yon Mei3werten M(Eo) erfordert die L6sung der Gleichung (1). Sie ist nur m6glich, wenn die t3bertragungsfunktion des ComptonSpektrometers N(Eo, k) (Kern der Integralgleichung) bekannt ist. In dem interessierenden Energiegebiet oberhalb 10 MeV l~13t sich eine experimentelle Bestimmung der 13bertragungsfunktion kaum durchfiihren, da monochromatische y-Strahlung hinreichender Intensit~t sehwer zu erzeugen ist. Deshalb ist man auf eine theoretische Behandlung angewiesen. Fiir eine praktische Anwendung des ComptonSpektrometers ist es im allgemeinen zu aufwendig, die Auswertung nach (1) durchzufiihren. Durch entsprechende Konstruktion des Spektrometers versucht man zu erreichen, dab die i3bertragungsfunktion fiir jede eingestellte Energie E0 nur in einem kleinen Bereich von Quantenenergien k nicht verschwindet. Betrachtet man das Spektrum in diesem Bereich als konstant, so erh~lt man: 301
M(Eo) L(Eo)
O)
Sie wurde bereits von Motz et all), Ulmer und Zieglerz) und Robson und Cregg~) benutzt. Da dieses Verfahren darauf beruht, dab die AuflOsung R eines Compton-Spektrometers relativ gut ist, muB auch noch die Aufl6sung angegeben werden. Sie wird als das Verh~ltnis yon Lichtst~irke zur maximalen H6he der ~3bertragungsfunktion Nm definiert: L R = --. Nm
(4)
Man ersetzt also bei der Definition der Aufl6sung die Obertragungsfunktion durch eine Balkenfunktion gleicher Fliiche und gleicher maximaler H0he. Diese Definition hat gegeniiber der oft benutzten Definition dutch die Halbwertsbreite den Vorteil, dab sie einer Asymmetrie der ~3bertragungsfunktion Rechnung tr~igt. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, eine 1) j . W. Motz et al., Rev. Sci. Instr. 24 (1958) 929. 2) K. Ulmer und B. Ziegler, Z. ang. Phys. 8 (1956) 49. 3) j . W. Robson und E. C. Cregg, Phys. Rev. 105 (1957) 619.
302
E. K E I L UND E. Z E I T L E R
Theorie zu formulieren, mit deren Hilfe man Lichtstiirke und Aufl6sung im Energiegebiet oberhalb 10 MeV berechnen kann. Die entstehenden Ausdrficke werden n~iherungsweise ausgewertet und der EinfluB der Quantenenergie und der Geometrie des Spektrometers auf LichtstRrke uncl Aufl6sung diskufiert. Damit werden gleichzeitig die Grenzen des in (3) angegebenen vereinfachten Auswerteverfahrens gezeigt.
2. Die 0bertragungsfunktion In einer Konverterfolie (Dicke dt, Fl~iche F und Elektronendichte p) entstehen durch ComptonEffekt mit Quanten der Energie k Elektronen im Energieintervall E bis E + dE mit der Wahrscheinlichkeit : ----~ (E, k) Fp dt d E .
(5)
Dabei ist Oa/OE ( E f t ) der in der Elektronenenergie differentielle Wirkungsquerschnitt fiir den Compton-Effekt. Bei fester Quantenenergie geh6rt zu jeder Elektronenenergie ein bestimmter Startwinkel y~des Compton-Elektrons: 2k2 cos2~o .E = mc2 (k + mc~)~- k S cos2~o "
(6)
Diese Energie-Winkel-Beziehung l~il3t die zu messende Energie des Quants aus der Energie uncl clem Startwinkel des Compton-Elektrons berechnen. Die sich daraus ergebende Forderung einer gleichzeitigen Energie- und Winkelbestimmung erffillt man, indem man die Konverterfolie als Elektronenquelle in einem Betaspektrometer benutzt, bei dem der Startwinkel durch ein Blendensystem festgelegt ist. Die in der Konverterfolie entstehenden ComptonElektronen werden im Betaspektrometer energetiseh analysiert und gelangen mit der Wahrscheinlichkeit A0 (E, Eo, ~o) in den Detektor. E0 ist dabei die eingestellte Energie des Betaspektrometers. Geht man zu einer Konverterfolie der endlichen Dicke T fiber, kann der Einflul3 der Streuung nicht mehr vernachliissigt werclen. Naeh ihrer Entstehung in der Tiefe t mfissen die Compton-Elektronen noch die resfliche Tiefe der Konverterfolie durchlanfen. Dabei werden sie durch Vielfachstreuung abgelenkt und treten unter einem anderen Winkel als dem
Startwinkel aus der Konverterfolie aus. Da das Ansprechverm6gen einerseits auf den Startwinkel bezogen sein soil, anclererseits aber die Winkelausblendung nach clem Austrittswinkel erfolgt, mul3 die Vielfachstreuung clurch eine Modifikation des Ansprechverm6gens berficksichtigt vcerden. Das geschieht durch folgende Llberlegung: Wenn ein unter dem Winkel ~oin der Tiefe t startendes Elektron mit dem Winkel 0 aus der Konverterfolie austreten soll, mul3 es um den Winkel 9 abgelenkt werden. Es gilt : ~o+ q, = o.
(7)
Die Wahrscheinlichkeit ffir ein solches Streuereignis ist s(% t). Ein unter dem Winkel 0 aus der Konverterfolie austretendes Elektron erreicht abet mit der Wahrscheirdichkeit A o (E, Eo, O) den Detektor. Fragt man nach dem Ansprechverm6gen ffir ein Elektron, das unter dem Winkel ~o startet, so sind alle M6glichkeiten zu berficksichtigen, bei denen naeh (7) durch Streuung um den Winkel 9 der Startwinkel ~0in irgendeinen Austrittswinkel 0 fibefffihrt wird, wobei die drei Winkel durch (7) verknfipft sind: A(% E, Eo, t) = SAo(E, Eo, O) s(9, t) dQ~. (8) Da die Compton-Elektronen in jedem Schichtelement dt mit gleicher Wahrscheinlichkeit entstehen, ist das schichtdickenabhiingige Ansprechverm6gen noch fiber die Schichtdicke zu mitteln: A--(~,E, E0, T) = T
A (% E, E0, t) dr.
(9)
Nach der Gleichung (1) kann m a n die l~bertragungsfunktion auch als die Anzahl der Elektronen betrachten, die bei der Energie E0 gemessen werden, wenn genau ein Quant der Energie k die Konverterfolie trifft. Man erhiilt sie, indem man die Wahrscheinlichkeit, dab ein Elektron der Energie E in der Konverterfolie entsteht und im Detektor angezeigt wird, fiber alle Elektronenenergien integriert: N(Eo, k) = F p T
~ ( E , k ) . ~ ( E , Eo, k,T) dE. (10)
Die Integration erstreckt sich dabei bis zur maximalen Energie Era, die ein Elektron yon Quanten der Energie k iibernehmen kann: 2k2 Em= (11) moc 2 + 2k"
E I N E T H E O R I E M A G N E T I S C H E R COMPTOBI-SPEKTROMETER
Bei der Beziehung (10) wurde benutzt, dab das Ansprechverm6gen A (~v, E, Eo, T) mit Hilfe der Gleichung (6) in eine Funktion von E, E0, k, T umgeschrieben werden kann. Zur Bestimmung des Ansprechverm6gens muB man berechnen, welchen EinfluB die Gr6Be von Konverterfolie, Richtungsblende und Detektorspalt auf die Wahrscheirdichkeit haben, mit der ein unter dem Winkel 0 aus der Konverterfolie austretendes Elektron der Energie E den Detektor erreicht, wenn das Betaspektrometer auf die Energie E0 eingestellt
303
miissen, damit sie in den Detektor gelangen. Die einzelnen Strahlbegrenzungen werden also in die Ebene der Konverterfolie transformiert. Die Diskussion dieser gleichzeitigen Bedingungsgleichungen ist ziemlich umst~ndlich. Man benutzt deshalb zweckm~Big ein 0ptisches Analogiemodell, bei dem die transformierten Strahlbegrenzungen dutch Blenden simuliert werden. Die passen d geformten Blenden werden den Anfangsbedingungen entsprechend verschoben. Als Ansprechverm6gen jeder Anfangsbedingung definiert man sinnvoll den
;
O.a
0.6
0.4
0.2
0
O"
0.5"
;"
#
;.5"
2"
Abb. 2.
Winkelapertur des Wiirzburger Compton-Spektrometers.
Abb. 1. Strahlengang im Wiirzburger Compton-Spektrometer. F Konverterfolie, IV[ Sektormagnet, B Richtungsblende, D
Detektor.
ist Zu diesem Zweck benutzt man die bekannten Abbildungsgleichungen in magnetischen Sektorfeldern und berechnet, welche Bedingungen die in der Konverterfolie startenden Elektronen erfiillen
Bruchte{l der Konverterfolie, der dann in den Detektor abgebildet wird. Ubertr~g t man diese Definition auf das Analogiemodell, so ist das Ansprechvermfgen das Verh~ltnis der freigelassenen zur ganzen Fl~che der "Konverterfolie". Leuchtet man diese Blende gleichmitBig aus, so ist der hindurchgehende Lichtstrom dem Ansprechverm6gen proportional. Er l~Bt sich bequem mit einer Photozelle messen. In dieser Arbeit wird das Wiirzburger ComptonSpektrometert, dessen Strahlengang in Abb. 1 schematisch dargestellt ist, als Beispiel benutzt. Sein Ansprechverm6gen wurde auf die oben geschilderte Weise bestimmt. Das wesentliche Ergebnis dieses Experiments ist die praktisch m6gliche Separierbarkeit des Ansprechverm6gens in zwei Faktoren, yon denen der eine n u t vom_ Vgl. die vorangehende Arbeit, S. 291.
S04
E. K E I L
U N D E. Z E I T L E R
Austrittswinkel 0, der andere nur vom relativen Energiefehler ~ = (E - - Eo)/Eo abh~ingt: (]2)
Ao(O, E, Eo) =/o(0) gO).
Die Voraussetzung dieser Approximation schmale Winkel- und schmale Energieapertur -
3. A u s w e r t u n g der Theorie 3.1. B E R E C H N U N G V O N 7(~ox T)
Ftir eine analytische Auswertung wird die Winkelapertur durch eine GaulBsche Fehlerfunktion dargestellt: ]o(0) = e x p ( - - O ~ / a ~) .
g($)
U o.8
EleMronen 410-5 Quanl MeV
/
0.6 3O
0.4 02 0
- 0.01
- 0.005
0
$
0.005
,o
0,01
/fi
Abb. 3. E n e r g i e a p e r t u r des Wfirzburger C o m p t o n - t r S p e k o m e t e r s . 0.95
diirfte bei allen Compton-Spektrometern erffillt sein. f0 wird n~imlich erst fiir groise Energiefehler merklich von ~ abh~ingig. Diese Abh~ingigkeit kann jedoch unberiicksichtigt bleiben, da in diesem Bereich die Energieapertur nahezu verschwindet. Die Winkelaperturfo(0) des Wiirzburger ComptonSpektrometers ist in Abb. 2, seine Energieapertur g(O) in Abb. 3 dargestellt. Die Energieapertur ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Basisl~nge 2Ore. Bei der Berechnung des Ansprechverm6gens wurde davon Gebrauch gemacht, daiS die Verteilung der Compton-Elektronen rotationssymmetrisch ist. Die bier benutzte Bestimmung des Ansprechverm6gens gilt daher nur, wenn die auf die Konverterfolie fallende 7-Strahlung nicht linear polarisiert ist. Wegen der praktischen Separierbarkeit des Ansprechverm6gens kann m a n jetzt auch die Gleichungen (8), (9) u n d (10) separieren und erh~ilt : t(~0, t) = It0(0) s(~, t) dQ~
(8a)
7(% T) = ~
(9a)
N(Eo, k) = Fp T
/ ( % t) d t
~ (E, k) g(~5) ]'(w,T) d E . f aa
(10a)
0.97
0.99
1.0I
E/Em Abb. 4.
Differentielle E n e r g i e s p e k t r e n der C o m p t o n - E l e k t r o n e n . T = 0.0925 g c m -~ (d = 0.5 m m Be) ; k = 10 MeV; E m = 9.75 MeV;
I:a=
oo;
II:a=
V/2-, ~ o = 0 ° ;
III:a = a/2-, 9 o = 1 °.
Die Beschreibung der Winkelapertur spezieller Compton-Spektrometer dutch eine Summe von GauBschen Fehlerfunktionen (13) ist immer m6glich. I m folgenden kann daher ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit mit einer Gauisschen Fehlerfunktion weitergerechnet Werden. Die Streuwinkelverteilung wird entsprechend dem Vorgehen von Lanzl und Hanson4) ebenfalls durch eine Gauissche Fehlerfunktion approximiert : 1 e -~'l*°: r~o 2
s(9, t) = - -
(14)
mit ct
902 --- E-~ ,
(15)
c kann in guter N~iherung fiir ein Konverterfolienmaterial als konstant betrachtet werden. 4) L. H. Lanzl und A. O. H a n s o n , P h y s . Rev. 83 (1951) 959.
EINE
THEORIE
MAGNETISCHER
COMPTON-SPEKTROMETER
Mit diesen Approximationen erh~lt man nach (8a):
l(,/,, t)
a~
a* + ,o ¢tl
[
exp
k-
N
~2
0.8XI0 -s Eleklronen
(16)
+
Die nach (ga) durchzuftihrende Mittelung fiber die Schichtdicke ergibt:
f(~, T)
a2
~0~(T)
[Ei(--~--~) -- Ei (- a2 ~°2
+ ~o'(T))]"
U(E, k) = Fp T.--.-.-~ (E,
k).7(~, t)
/~
0.6
0.4
(17)
Wegen der Energie-Winke1-Beziehung wirkt sich die Ausblendung der Austrittswinkel als Energieblende aus; ~v kann als Energievariable aufgefaBt werden. Den EinfluB der Winkelapertur zeigt man am besten, inclem man die differentiellen Energiespektren
305
0.2
0.95
O.97
0.99
1.0I
Abb. 5. O b e r t r a g u n g s f u n k t i o n N(Eo, k ) fiir a = %/2 grad; d = 0.5 m m Be; k = 10MeV; E m = 9.75 MeV; 6m = 1 % . 3.3. B E R E C H N U N G D E R L I C H T S T ~ R K E
der Compton-Elektronen ftir verschiedene Winkelaperturen auftr~gt (Abb. 4). Kurve I ist clas Spektrum der Elektronen beim Verlassen der Konverterfolie, wo sich die Richtungsblende noch nicht bemerkbar macht. (f(~v,T) 1). Durch den Einbau einer Richtungsblende erreicht man das schm~lere Elektronenspektrum in Kurve II (~0o= 0). Leider verschlechtert die Vielfachstreuung dieses Ergebnis wieder (Kurve III) ; sie verbreitert die Winkelverteilung cler ComptonElektronen beimVerlassen der Konverterfolie, ohne dab sich cleren Energieverteilung ~ndert. Daher werden sie durch die feststehenden Richtungsblende anders ausgeblenclet als ohne Vielfachstreuung. 3.2. B E R E C H N U N G D E R ~ 3 B E R T R A G U N G S F U N K T I O N
Zur Berechnung der Llbertragungsfunktion ist noch die in (10a) geforderte Integration der mit der Energieapertur g(6) multiplizierten differentiellen Energiespektren U (E, k) fiber die Elektronenenergie durchzuftihren. Wegen des komplizierten Zusammengangs (6) zwischen dem Startwinkel ~vund der Elektronenenergie E lieB sich die Integration nur numerisch clurchffihren. Abb. 5 zeigt ein Beispiel. Die theoretische Form der 13bertragungsfunktion stimmt gut mit experimentellen ~-Linien yon Motz et aL l) fiberein.
Die Lichtst~rke eines Compton-Spektrometers ist in der Einleitung als Integral der ~lbertragungsfunktion tiber die Quantenenergie k begrfinclet und definiert. Die zun~chst schwierige rechnerische Auswertung kann durch die Vertauschung von Parameter und Integrationsvariabler wesentlich vereinfacht werden. Der Integrand triigt nur in einem kleinen Energiebereich, in dem die eingestellte Energie Eo praktisch gleich der Quantenenergie k ist, zum Integral bei. Daher sind Eo und k vertauschbar uncl die Lichtst~rke wird:
(18)
L(k) = 5N(Eo, k) d E o .
Damit ist die Bestimmung der Lichtst~rke auf ein Integral zurfickgeffihrt, das sich z.B. durch graphische Integration der in Abb. 5 gezeigten l~lbertragungsfunktion 16sen l~Bt. Ffir eine Diskussion der Lichtst~rke ist es jedoch bequemer, einen geschlossenen Ausdruck zu haben. Daher schreibt man ausffihrlich : L(k)
[
"I
L JEo (Z-6m)
Durch Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung liiBt sich die Lichtst~irke als das
306
E. K E I L
U N D E. Z E I T L E R
physikalisch leicht interpretierbare Produkt zweier Faktoren darstellen: L = ~.2.
(20)
Dabei ist:
g(x)
A = Eo r| + 6 m
d-6 m
d x = E0~Sm ~ k 6 m .
(21)
A gibt die Anzahl der Elektronen an, die in den Detektor gelangen, wenn ein Elektron pro MeV die Winkelapertur passiert, A kann als Lichtstiirke des magnetischen Analysators aufgefaSt werden. 2 = f o V(E, k) dE
(22)
2 gibt die Anzahl der Elektronen pro MeV an, die ein Quant pro MeV in der Konverterfolie erzeugt und in die Winkelapertur gelangen l~J3t. 2 kann als Konversionsgrad der Konverterfolie angesehen werden. Die Berechnung yon ~ erfolgt zweckm~Biger im Winkelraum ~: 2 = Iv(E, k) dE = IV(~, k) d ~ .
/ = Vkl + -
0__~_a
~o~/
.
(24)
Hierbei ist V der Wirkungsquerschnitt in Vorw~rtsrichtung ~v = 0 und ~v0 ein charakteristischer Winkel, fiir den O~/g~ gerade ~Vist. V l~Bt sich exakt ausrechnen; fiir ~v0gilt: ~o0 k = 45 [ M e V g r a d ] .
(25)
Mit der Approximation (24) wird die Lichtst~rke:
L = PVF A a2 [exp(+~vo~/a2) E i (
~v°2) :°'l(~'+'°')Ei(
-~-I -
~°°2 ~] \ - - a2 +9o + wo~¸ l J "
(26) In der Konstanten P sind die vom Konverterfolienmaterial abh~ngigen Parameter zusammengefaBt: ~Tp~oo~ ~p452 P (27) 9O2
DER AUFLOSUNG
Die Berechnung der Aufl6sung erfolgt nach der Definition (4). Leider ist es nicht m6glich, fiir die Aufl6sung eine geschlossene Formel anzugeben wie fiir die Lichtst~rke. Zur Bestimmung der maximalen H f h e Nm der Ubertragungsfunktion l~13t sich eine numerische Berechnung ihres Verlaufs in der Niihe des Maximums nicht umgehen. 4. Diskussion der Ergebnisse
In den folgenden Abbildungen ist die Abh~ngigkeit der Lichtst~rke und der Aufl6sung yon den interessierenden Parametern dargestellt. Als apparatire Parameter treten der Raumwinkel der Apertur # , die Dicke der Konverterfolie und die Aufl6sung des Betaspektrometers auf. Experimenteller Parameter ist die Quantenenergie.
(23)
Sie 1RBt sich abet auch dann nicht mit dem exakten Wirkungsquerschnitt durchfiihren.Eine bessere Approximation Ms die yon Motz et aLl) bei cler Berechnung der Vielfachstreukorrektur benutzte GauBsche Fehlerfunktion ist: 0/2~
3.4. B E R E C H N U N G
c
Ffir Beryllium ist P = 1.725 × 1023 cm -4.
!
-
0
50
100
I50
200 MeV
k Abb. 6. L i c h t s t ~ r k e L als F u n k t i o n d e r Q u a n t e n e n e r g i e h d = 0.5 m m B e ; c5m = I % .
Zum Vergieich eines Compton-Spektrometers mit anderen Spektrometertypen (z.B. Paarspektrometern) ist die Kenntnis cler Abh~ingigkeit der Lichtst~rke v o n d e r Quantenenergie wesentlich. Diese Abh~ngigkeit ist ftir verschiedene Aperturen in Abb. 6 widergegeben. Im Energiebereich von 30 bis 50 MeV ist die Lichtst~rke yon cler Gr6Benorcthung 2 × 10-5 Elektronen MeV Quant -1. ErwartungsgemiiB liefern gr6Bere Apterturwinkel gr6Bere Lichtst~irken. Bei h6heren Energien jedoch ist die Verteilung der Compton-Elektronen so stark in Vorw~rtsrichtung gebiindelt, dab auch die kleinste Apertur dell Elektronenstrahl nicht mehr beschneidet. Mit der hier verwendeten N~herung fiir den Wirkungsquerschnitt des Compton-Effekts wird
EINE
THEORIE
MAGNETISCHER
ein v o n d e r Winkelapertur unabh~ingiger Grenzwert voll 2.2 × 10-5 Elektronen MeV Quant -1 erreicht. Dieser Grenzwert tritt wegen der Energieabh~ngigkeit des Compton-Effekts prinzipiell auf. Da die Lichtstiirke das Produkt aus Konversions grad und Lichtstiirke des B etaspektrometers ist, k6nnen beide
I-I3}~0-5 ElektronenMeV I
R
Quont
I0
3'%
COMPTON-SPEKTROMETER
307
nen erkl~rt auch die steigende Kriimmung der Lichtst~irkekurven mit wachsender Energie. Die geringe Energieabh~ngigkeit der Aufl6sung ist eine Folge der Biindelung und der mit der Quantenenergie zunehmenden Winkelabhiingigkeit der Energie der Compton-Elektronen (vgl. (6)). L
r
- - F ~
, -5 E/ektronenMeV . ~"~l~.~ 30MeV 3x'O Quant l . ' ~ ' ~ J / /- - -- 3 % .''i"
::fi:S;
~
R
l~---" 20HeV 2
"
V
0
~;
2
69rod 2
02
0
1
2
3mm
d
Abb. 7. Lichtst~rke L u n d Aufl6sung R als F u n k t i o n e n der W i n k e l a p e r t u r a. d = 0.5 m m B e ; 6m = 1 % .
Abb. 8. Lichtst~rke L u n d Aufl6sung R als F u n k t i o n e n d e r
Faktoren einzeln diskutiert werden. Mit steigender Quantenenergie k treffen immer mehr der insgesamt entstehendell Compton-Elektronen in die Apertur, so dab der Konversionsgrad die gleiche Energieabh~ngigkeit annimmt wie der Gesamtwirkungsquerschnitt fiir den Compton-Effekt, n~mlich k-l; die Lichtst~rke des Betaspektrometers kompensiert aber gerade diese Abnahme, da sie proportional zu k steigt. Der Energieveflust der Compton-Elektronen ill der Konverterfolie hat keinen EinfluB auf die Lichtst~rke eines Compton-Spektrometers. Beriicksichtigt man den Energieverlust n~iherungsweise, indem man die Konverterfolie in Schichten einteilt und Jeder Schicht einen bestimmten Energieverlust zuteilt, dann zeigt sich, dal3 die Aufl6sung bei zunehmenden Konverterfoliendicken durch den Energieverlust kaum beeinflul3t wird. Die Lichtst~rke L nimmt schw~icher als linear mit dem Ranmwinkel der Apertur zll (Abb. 7). Die schon erwiihnte Biindelung der Compton-Elektro-
Die Lichtst~rke nimmt ferner praktisch linear mit der Dicke der Konverterfolie zu, Streuabsorption macht sich bei allen betrachteten Quantenenergien nicht wesentlich bemerkbar (Abb. 8). Dagegen ist die Verschlechterung der Aufl6sung mit zunehmender Schichtdicke stark yon der Quantenenergie abhitngig. Bei 10 MeV verschlechtert sie sich zwischen 0.2 und 9 m m um 50%, bei 30 MeV nur noch um 10 %. Bei ldeinen Energien muB man also durch passende Wahl der Konverterfoliendicke einen KompromiB zwischen Lichtst~rke und Aufl6sung finden, mit wachsender Quantenenergie wird die Konverterfoliendicke immer weniger kritisch.
Dicke der K o n v e r t e r f o l i e d. a = ~/2°; 6m = 1%.
Wir danken Herrn Prof. Dr. H. Kulenkampff ftir die M6glichkeit, diese Arbeit durchzuftihren. Herrn Dr. M. Scheer sind wir fiir viele ld~rende Diskussionen zu Dank verpflichtet. Dem Bundesministerium fiir Atomkernenergie und Wasserwirtschaft sei fiir finanzielle Unterstiitzung an dieser Stelle ebenfalls gedankt.
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Physikalisches Institut der Universitiit Wi~rzburg Eingegangen am 23. Dezember 1960
A theory is formulated to calculate luminosity and resolution of Compton-spectrometers in the energy range of 10 to 30 MeV. The formulae are evaluated approximately. The influence of
q u a n t u m energy and geometry of the Compton-spectrometer on luminosity and resolution is discussed. Scattering of Comptonelectrons is regarded.
1. Einleitung Bei magnetischen Compton-Spektrometern wird der Compton-Effekt in einer Konverterfolie zur Messung yon y-Spektren benutzt. Die entstehenden Compton-Elektronen werden magnetisch analysiert. F~illt ein kontinuierliches Spektrum mit der Quantenzahl Q (k) dk im Energieintervall von k bis k + dk auf die Konverterfolie, werden im Detektor des auf die Energie E eingestellten Spektrometers M(E0) Elektronen angezeigt :
M(Eo) = Q(k) SN(Eo, k) d k ---- Q(k).L(Eo) .
M ( E o ) = ~N(Eo, k) Q(k) d k .
(2)
Das noch verbleibende Integral ist offensichtlich die Lichtst~irke des Compton-Spektrometers, da es den Quotienten von Mel3effekt und Spektrum angibt. Wegen (2) erh~lt man folgende Vorschrift zur Bestimmung von Quantenspektren aus ComptonSpektrometer-Messungen:
Q(k) =
(1)
Die Berechnung des Quantenspektrums Q(k) dk aus einer Anzahl yon Mei3werten M(Eo) erfordert die L6sung der Gleichung (1). Sie ist nur m6glich, wenn die t3bertragungsfunktion des ComptonSpektrometers N(Eo, k) (Kern der Integralgleichung) bekannt ist. In dem interessierenden Energiegebiet oberhalb 10 MeV l~13t sich eine experimentelle Bestimmung der 13bertragungsfunktion kaum durchfiihren, da monochromatische y-Strahlung hinreichender Intensit~t sehwer zu erzeugen ist. Deshalb ist man auf eine theoretische Behandlung angewiesen. Fiir eine praktische Anwendung des ComptonSpektrometers ist es im allgemeinen zu aufwendig, die Auswertung nach (1) durchzufiihren. Durch entsprechende Konstruktion des Spektrometers versucht man zu erreichen, dab die i3bertragungsfunktion fiir jede eingestellte Energie E0 nur in einem kleinen Bereich von Quantenenergien k nicht verschwindet. Betrachtet man das Spektrum in diesem Bereich als konstant, so erh~lt man: 301
M(Eo) L(Eo)
O)
Sie wurde bereits von Motz et all), Ulmer und Zieglerz) und Robson und Cregg~) benutzt. Da dieses Verfahren darauf beruht, dab die AuflOsung R eines Compton-Spektrometers relativ gut ist, muB auch noch die Aufl6sung angegeben werden. Sie wird als das Verh~ltnis yon Lichtst~irke zur maximalen H6he der ~3bertragungsfunktion Nm definiert: L R = --. Nm
(4)
Man ersetzt also bei der Definition der Aufl6sung die Obertragungsfunktion durch eine Balkenfunktion gleicher Fliiche und gleicher maximaler H0he. Diese Definition hat gegeniiber der oft benutzten Definition dutch die Halbwertsbreite den Vorteil, dab sie einer Asymmetrie der ~3bertragungsfunktion Rechnung tr~igt. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, eine 1) j . W. Motz et al., Rev. Sci. Instr. 24 (1958) 929. 2) K. Ulmer und B. Ziegler, Z. ang. Phys. 8 (1956) 49. 3) j . W. Robson und E. C. Cregg, Phys. Rev. 105 (1957) 619.
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Theorie zu formulieren, mit deren Hilfe man Lichtstiirke und Aufl6sung im Energiegebiet oberhalb 10 MeV berechnen kann. Die entstehenden Ausdrficke werden n~iherungsweise ausgewertet und der EinfluB der Quantenenergie und der Geometrie des Spektrometers auf LichtstRrke uncl Aufl6sung diskufiert. Damit werden gleichzeitig die Grenzen des in (3) angegebenen vereinfachten Auswerteverfahrens gezeigt.
2. Die 0bertragungsfunktion In einer Konverterfolie (Dicke dt, Fl~iche F und Elektronendichte p) entstehen durch ComptonEffekt mit Quanten der Energie k Elektronen im Energieintervall E bis E + dE mit der Wahrscheinlichkeit : ----~ (E, k) Fp dt d E .
(5)
Dabei ist Oa/OE ( E f t ) der in der Elektronenenergie differentielle Wirkungsquerschnitt fiir den Compton-Effekt. Bei fester Quantenenergie geh6rt zu jeder Elektronenenergie ein bestimmter Startwinkel y~des Compton-Elektrons: 2k2 cos2~o .E = mc2 (k + mc~)~- k S cos2~o "
(6)
Diese Energie-Winkel-Beziehung l~il3t die zu messende Energie des Quants aus der Energie uncl clem Startwinkel des Compton-Elektrons berechnen. Die sich daraus ergebende Forderung einer gleichzeitigen Energie- und Winkelbestimmung erffillt man, indem man die Konverterfolie als Elektronenquelle in einem Betaspektrometer benutzt, bei dem der Startwinkel durch ein Blendensystem festgelegt ist. Die in der Konverterfolie entstehenden ComptonElektronen werden im Betaspektrometer energetiseh analysiert und gelangen mit der Wahrscheinlichkeit A0 (E, Eo, ~o) in den Detektor. E0 ist dabei die eingestellte Energie des Betaspektrometers. Geht man zu einer Konverterfolie der endlichen Dicke T fiber, kann der Einflul3 der Streuung nicht mehr vernachliissigt werclen. Naeh ihrer Entstehung in der Tiefe t mfissen die Compton-Elektronen noch die resfliche Tiefe der Konverterfolie durchlanfen. Dabei werden sie durch Vielfachstreuung abgelenkt und treten unter einem anderen Winkel als dem
Startwinkel aus der Konverterfolie aus. Da das Ansprechverm6gen einerseits auf den Startwinkel bezogen sein soil, anclererseits aber die Winkelausblendung nach clem Austrittswinkel erfolgt, mul3 die Vielfachstreuung clurch eine Modifikation des Ansprechverm6gens berficksichtigt vcerden. Das geschieht durch folgende Llberlegung: Wenn ein unter dem Winkel ~oin der Tiefe t startendes Elektron mit dem Winkel 0 aus der Konverterfolie austreten soll, mul3 es um den Winkel 9 abgelenkt werden. Es gilt : ~o+ q, = o.
(7)
Die Wahrscheinlichkeit ffir ein solches Streuereignis ist s(% t). Ein unter dem Winkel 0 aus der Konverterfolie austretendes Elektron erreicht abet mit der Wahrscheirdichkeit A o (E, Eo, O) den Detektor. Fragt man nach dem Ansprechverm6gen ffir ein Elektron, das unter dem Winkel ~o startet, so sind alle M6glichkeiten zu berficksichtigen, bei denen naeh (7) durch Streuung um den Winkel 9 der Startwinkel ~0in irgendeinen Austrittswinkel 0 fibefffihrt wird, wobei die drei Winkel durch (7) verknfipft sind: A(% E, Eo, t) = SAo(E, Eo, O) s(9, t) dQ~. (8) Da die Compton-Elektronen in jedem Schichtelement dt mit gleicher Wahrscheinlichkeit entstehen, ist das schichtdickenabhiingige Ansprechverm6gen noch fiber die Schichtdicke zu mitteln: A--(~,E, E0, T) = T
A (% E, E0, t) dr.
(9)
Nach der Gleichung (1) kann m a n die l~bertragungsfunktion auch als die Anzahl der Elektronen betrachten, die bei der Energie E0 gemessen werden, wenn genau ein Quant der Energie k die Konverterfolie trifft. Man erhiilt sie, indem man die Wahrscheinlichkeit, dab ein Elektron der Energie E in der Konverterfolie entsteht und im Detektor angezeigt wird, fiber alle Elektronenenergien integriert: N(Eo, k) = F p T
~ ( E , k ) . ~ ( E , Eo, k,T) dE. (10)
Die Integration erstreckt sich dabei bis zur maximalen Energie Era, die ein Elektron yon Quanten der Energie k iibernehmen kann: 2k2 Em= (11) moc 2 + 2k"
E I N E T H E O R I E M A G N E T I S C H E R COMPTOBI-SPEKTROMETER
Bei der Beziehung (10) wurde benutzt, dab das Ansprechverm6gen A (~v, E, Eo, T) mit Hilfe der Gleichung (6) in eine Funktion von E, E0, k, T umgeschrieben werden kann. Zur Bestimmung des Ansprechverm6gens muB man berechnen, welchen EinfluB die Gr6Be von Konverterfolie, Richtungsblende und Detektorspalt auf die Wahrscheirdichkeit haben, mit der ein unter dem Winkel 0 aus der Konverterfolie austretendes Elektron der Energie E den Detektor erreicht, wenn das Betaspektrometer auf die Energie E0 eingestellt
303
miissen, damit sie in den Detektor gelangen. Die einzelnen Strahlbegrenzungen werden also in die Ebene der Konverterfolie transformiert. Die Diskussion dieser gleichzeitigen Bedingungsgleichungen ist ziemlich umst~ndlich. Man benutzt deshalb zweckm~Big ein 0ptisches Analogiemodell, bei dem die transformierten Strahlbegrenzungen dutch Blenden simuliert werden. Die passen d geformten Blenden werden den Anfangsbedingungen entsprechend verschoben. Als Ansprechverm6gen jeder Anfangsbedingung definiert man sinnvoll den
;
O.a
0.6
0.4
0.2
0
O"
0.5"
;"
#
;.5"
2"
Abb. 2.
Winkelapertur des Wiirzburger Compton-Spektrometers.
Abb. 1. Strahlengang im Wiirzburger Compton-Spektrometer. F Konverterfolie, IV[ Sektormagnet, B Richtungsblende, D
Detektor.
ist Zu diesem Zweck benutzt man die bekannten Abbildungsgleichungen in magnetischen Sektorfeldern und berechnet, welche Bedingungen die in der Konverterfolie startenden Elektronen erfiillen
Bruchte{l der Konverterfolie, der dann in den Detektor abgebildet wird. Ubertr~g t man diese Definition auf das Analogiemodell, so ist das Ansprechvermfgen das Verh~ltnis der freigelassenen zur ganzen Fl~che der "Konverterfolie". Leuchtet man diese Blende gleichmitBig aus, so ist der hindurchgehende Lichtstrom dem Ansprechverm6gen proportional. Er l~Bt sich bequem mit einer Photozelle messen. In dieser Arbeit wird das Wiirzburger ComptonSpektrometert, dessen Strahlengang in Abb. 1 schematisch dargestellt ist, als Beispiel benutzt. Sein Ansprechverm6gen wurde auf die oben geschilderte Weise bestimmt. Das wesentliche Ergebnis dieses Experiments ist die praktisch m6gliche Separierbarkeit des Ansprechverm6gens in zwei Faktoren, yon denen der eine n u t vom_ Vgl. die vorangehende Arbeit, S. 291.
S04
E. K E I L
U N D E. Z E I T L E R
Austrittswinkel 0, der andere nur vom relativen Energiefehler ~ = (E - - Eo)/Eo abh~ingt: (]2)
Ao(O, E, Eo) =/o(0) gO).
Die Voraussetzung dieser Approximation schmale Winkel- und schmale Energieapertur -
3. A u s w e r t u n g der Theorie 3.1. B E R E C H N U N G V O N 7(~ox T)
Ftir eine analytische Auswertung wird die Winkelapertur durch eine GaulBsche Fehlerfunktion dargestellt: ]o(0) = e x p ( - - O ~ / a ~) .
g($)
U o.8
EleMronen 410-5 Quanl MeV
/
0.6 3O
0.4 02 0
- 0.01
- 0.005
0
$
0.005
,o
0,01
/fi
Abb. 3. E n e r g i e a p e r t u r des Wfirzburger C o m p t o n - t r S p e k o m e t e r s . 0.95
diirfte bei allen Compton-Spektrometern erffillt sein. f0 wird n~imlich erst fiir groise Energiefehler merklich von ~ abh~ingig. Diese Abh~ingigkeit kann jedoch unberiicksichtigt bleiben, da in diesem Bereich die Energieapertur nahezu verschwindet. Die Winkelaperturfo(0) des Wiirzburger ComptonSpektrometers ist in Abb. 2, seine Energieapertur g(O) in Abb. 3 dargestellt. Die Energieapertur ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Basisl~nge 2Ore. Bei der Berechnung des Ansprechverm6gens wurde davon Gebrauch gemacht, daiS die Verteilung der Compton-Elektronen rotationssymmetrisch ist. Die bier benutzte Bestimmung des Ansprechverm6gens gilt daher nur, wenn die auf die Konverterfolie fallende 7-Strahlung nicht linear polarisiert ist. Wegen der praktischen Separierbarkeit des Ansprechverm6gens kann m a n jetzt auch die Gleichungen (8), (9) u n d (10) separieren und erh~ilt : t(~0, t) = It0(0) s(~, t) dQ~
(8a)
7(% T) = ~
(9a)
N(Eo, k) = Fp T
/ ( % t) d t
~ (E, k) g(~5) ]'(w,T) d E . f aa
(10a)
0.97
0.99
1.0I
E/Em Abb. 4.
Differentielle E n e r g i e s p e k t r e n der C o m p t o n - E l e k t r o n e n . T = 0.0925 g c m -~ (d = 0.5 m m Be) ; k = 10 MeV; E m = 9.75 MeV;
I:a=
oo;
II:a=
V/2-, ~ o = 0 ° ;
III:a = a/2-, 9 o = 1 °.
Die Beschreibung der Winkelapertur spezieller Compton-Spektrometer dutch eine Summe von GauBschen Fehlerfunktionen (13) ist immer m6glich. I m folgenden kann daher ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit mit einer Gauisschen Fehlerfunktion weitergerechnet Werden. Die Streuwinkelverteilung wird entsprechend dem Vorgehen von Lanzl und Hanson4) ebenfalls durch eine Gauissche Fehlerfunktion approximiert : 1 e -~'l*°: r~o 2
s(9, t) = - -
(14)
mit ct
902 --- E-~ ,
(15)
c kann in guter N~iherung fiir ein Konverterfolienmaterial als konstant betrachtet werden. 4) L. H. Lanzl und A. O. H a n s o n , P h y s . Rev. 83 (1951) 959.
EINE
THEORIE
MAGNETISCHER
COMPTON-SPEKTROMETER
Mit diesen Approximationen erh~lt man nach (8a):
l(,/,, t)
a~
a* + ,o ¢tl
[
exp
k-
N
~2
0.8XI0 -s Eleklronen
(16)
+
Die nach (ga) durchzuftihrende Mittelung fiber die Schichtdicke ergibt:
f(~, T)
a2
~0~(T)
[Ei(--~--~) -- Ei (- a2 ~°2
+ ~o'(T))]"
U(E, k) = Fp T.--.-.-~ (E,
k).7(~, t)
/~
0.6
0.4
(17)
Wegen der Energie-Winke1-Beziehung wirkt sich die Ausblendung der Austrittswinkel als Energieblende aus; ~v kann als Energievariable aufgefaBt werden. Den EinfluB der Winkelapertur zeigt man am besten, inclem man die differentiellen Energiespektren
305
0.2
0.95
O.97
0.99
1.0I
Abb. 5. O b e r t r a g u n g s f u n k t i o n N(Eo, k ) fiir a = %/2 grad; d = 0.5 m m Be; k = 10MeV; E m = 9.75 MeV; 6m = 1 % . 3.3. B E R E C H N U N G D E R L I C H T S T ~ R K E
der Compton-Elektronen ftir verschiedene Winkelaperturen auftr~gt (Abb. 4). Kurve I ist clas Spektrum der Elektronen beim Verlassen der Konverterfolie, wo sich die Richtungsblende noch nicht bemerkbar macht. (f(~v,T) 1). Durch den Einbau einer Richtungsblende erreicht man das schm~lere Elektronenspektrum in Kurve II (~0o= 0). Leider verschlechtert die Vielfachstreuung dieses Ergebnis wieder (Kurve III) ; sie verbreitert die Winkelverteilung cler ComptonElektronen beimVerlassen der Konverterfolie, ohne dab sich cleren Energieverteilung ~ndert. Daher werden sie durch die feststehenden Richtungsblende anders ausgeblenclet als ohne Vielfachstreuung. 3.2. B E R E C H N U N G D E R ~ 3 B E R T R A G U N G S F U N K T I O N
Zur Berechnung der Llbertragungsfunktion ist noch die in (10a) geforderte Integration der mit der Energieapertur g(6) multiplizierten differentiellen Energiespektren U (E, k) fiber die Elektronenenergie durchzuftihren. Wegen des komplizierten Zusammengangs (6) zwischen dem Startwinkel ~vund der Elektronenenergie E lieB sich die Integration nur numerisch clurchffihren. Abb. 5 zeigt ein Beispiel. Die theoretische Form der 13bertragungsfunktion stimmt gut mit experimentellen ~-Linien yon Motz et aL l) fiberein.
Die Lichtst~rke eines Compton-Spektrometers ist in der Einleitung als Integral der ~lbertragungsfunktion tiber die Quantenenergie k begrfinclet und definiert. Die zun~chst schwierige rechnerische Auswertung kann durch die Vertauschung von Parameter und Integrationsvariabler wesentlich vereinfacht werden. Der Integrand triigt nur in einem kleinen Energiebereich, in dem die eingestellte Energie Eo praktisch gleich der Quantenenergie k ist, zum Integral bei. Daher sind Eo und k vertauschbar uncl die Lichtst~rke wird:
(18)
L(k) = 5N(Eo, k) d E o .
Damit ist die Bestimmung der Lichtst~rke auf ein Integral zurfickgeffihrt, das sich z.B. durch graphische Integration der in Abb. 5 gezeigten l~lbertragungsfunktion 16sen l~Bt. Ffir eine Diskussion der Lichtst~rke ist es jedoch bequemer, einen geschlossenen Ausdruck zu haben. Daher schreibt man ausffihrlich : L(k)
[
"I
L JEo (Z-6m)
Durch Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung liiBt sich die Lichtst~irke als das
306
E. K E I L
U N D E. Z E I T L E R
physikalisch leicht interpretierbare Produkt zweier Faktoren darstellen: L = ~.2.
(20)
Dabei ist:
g(x)
A = Eo r| + 6 m
d-6 m
d x = E0~Sm ~ k 6 m .
(21)
A gibt die Anzahl der Elektronen an, die in den Detektor gelangen, wenn ein Elektron pro MeV die Winkelapertur passiert, A kann als Lichtstiirke des magnetischen Analysators aufgefaSt werden. 2 = f o V(E, k) dE
(22)
2 gibt die Anzahl der Elektronen pro MeV an, die ein Quant pro MeV in der Konverterfolie erzeugt und in die Winkelapertur gelangen l~J3t. 2 kann als Konversionsgrad der Konverterfolie angesehen werden. Die Berechnung yon ~ erfolgt zweckm~Biger im Winkelraum ~: 2 = Iv(E, k) dE = IV(~, k) d ~ .
/ = Vkl + -
0__~_a
~o~/
.
(24)
Hierbei ist V der Wirkungsquerschnitt in Vorw~rtsrichtung ~v = 0 und ~v0 ein charakteristischer Winkel, fiir den O~/g~ gerade ~Vist. V l~Bt sich exakt ausrechnen; fiir ~v0gilt: ~o0 k = 45 [ M e V g r a d ] .
(25)
Mit der Approximation (24) wird die Lichtst~rke:
L = PVF A a2 [exp(+~vo~/a2) E i (
~v°2) :°'l(~'+'°')Ei(
-~-I -
~°°2 ~] \ - - a2 +9o + wo~¸ l J "
(26) In der Konstanten P sind die vom Konverterfolienmaterial abh~ngigen Parameter zusammengefaBt: ~Tp~oo~ ~p452 P (27) 9O2
DER AUFLOSUNG
Die Berechnung der Aufl6sung erfolgt nach der Definition (4). Leider ist es nicht m6glich, fiir die Aufl6sung eine geschlossene Formel anzugeben wie fiir die Lichtst~rke. Zur Bestimmung der maximalen H f h e Nm der Ubertragungsfunktion l~13t sich eine numerische Berechnung ihres Verlaufs in der Niihe des Maximums nicht umgehen. 4. Diskussion der Ergebnisse
In den folgenden Abbildungen ist die Abh~ngigkeit der Lichtst~rke und der Aufl6sung yon den interessierenden Parametern dargestellt. Als apparatire Parameter treten der Raumwinkel der Apertur # , die Dicke der Konverterfolie und die Aufl6sung des Betaspektrometers auf. Experimenteller Parameter ist die Quantenenergie.
(23)
Sie 1RBt sich abet auch dann nicht mit dem exakten Wirkungsquerschnitt durchfiihren.Eine bessere Approximation Ms die yon Motz et aLl) bei cler Berechnung der Vielfachstreukorrektur benutzte GauBsche Fehlerfunktion ist: 0/2~
3.4. B E R E C H N U N G
c
Ffir Beryllium ist P = 1.725 × 1023 cm -4.
!
-
0
50
100
I50
200 MeV
k Abb. 6. L i c h t s t ~ r k e L als F u n k t i o n d e r Q u a n t e n e n e r g i e h d = 0.5 m m B e ; c5m = I % .
Zum Vergieich eines Compton-Spektrometers mit anderen Spektrometertypen (z.B. Paarspektrometern) ist die Kenntnis cler Abh~ingigkeit der Lichtst~rke v o n d e r Quantenenergie wesentlich. Diese Abh~ngigkeit ist ftir verschiedene Aperturen in Abb. 6 widergegeben. Im Energiebereich von 30 bis 50 MeV ist die Lichtst~rke yon cler Gr6Benorcthung 2 × 10-5 Elektronen MeV Quant -1. ErwartungsgemiiB liefern gr6Bere Apterturwinkel gr6Bere Lichtst~irken. Bei h6heren Energien jedoch ist die Verteilung der Compton-Elektronen so stark in Vorw~rtsrichtung gebiindelt, dab auch die kleinste Apertur dell Elektronenstrahl nicht mehr beschneidet. Mit der hier verwendeten N~herung fiir den Wirkungsquerschnitt des Compton-Effekts wird
EINE
THEORIE
MAGNETISCHER
ein v o n d e r Winkelapertur unabh~ingiger Grenzwert voll 2.2 × 10-5 Elektronen MeV Quant -1 erreicht. Dieser Grenzwert tritt wegen der Energieabh~ngigkeit des Compton-Effekts prinzipiell auf. Da die Lichtstiirke das Produkt aus Konversions grad und Lichtstiirke des B etaspektrometers ist, k6nnen beide
I-I3}~0-5 ElektronenMeV I
R
Quont
I0
3'%
COMPTON-SPEKTROMETER
307
nen erkl~rt auch die steigende Kriimmung der Lichtst~irkekurven mit wachsender Energie. Die geringe Energieabh~ngigkeit der Aufl6sung ist eine Folge der Biindelung und der mit der Quantenenergie zunehmenden Winkelabhiingigkeit der Energie der Compton-Elektronen (vgl. (6)). L
r
- - F ~
, -5 E/ektronenMeV . ~"~l~.~ 30MeV 3x'O Quant l . ' ~ ' ~ J / /- - -- 3 % .''i"
::fi:S;
~
R
l~---" 20HeV 2
"
V
0
~;
2
69rod 2
02
0
1
2
3mm
d
Abb. 7. Lichtst~rke L u n d Aufl6sung R als F u n k t i o n e n der W i n k e l a p e r t u r a. d = 0.5 m m B e ; 6m = 1 % .
Abb. 8. Lichtst~rke L u n d Aufl6sung R als F u n k t i o n e n d e r
Faktoren einzeln diskutiert werden. Mit steigender Quantenenergie k treffen immer mehr der insgesamt entstehendell Compton-Elektronen in die Apertur, so dab der Konversionsgrad die gleiche Energieabh~ngigkeit annimmt wie der Gesamtwirkungsquerschnitt fiir den Compton-Effekt, n~mlich k-l; die Lichtst~rke des Betaspektrometers kompensiert aber gerade diese Abnahme, da sie proportional zu k steigt. Der Energieveflust der Compton-Elektronen ill der Konverterfolie hat keinen EinfluB auf die Lichtst~rke eines Compton-Spektrometers. Beriicksichtigt man den Energieverlust n~iherungsweise, indem man die Konverterfolie in Schichten einteilt und Jeder Schicht einen bestimmten Energieverlust zuteilt, dann zeigt sich, dal3 die Aufl6sung bei zunehmenden Konverterfoliendicken durch den Energieverlust kaum beeinflul3t wird. Die Lichtst~rke L nimmt schw~icher als linear mit dem Ranmwinkel der Apertur zll (Abb. 7). Die schon erwiihnte Biindelung der Compton-Elektro-
Die Lichtst~rke nimmt ferner praktisch linear mit der Dicke der Konverterfolie zu, Streuabsorption macht sich bei allen betrachteten Quantenenergien nicht wesentlich bemerkbar (Abb. 8). Dagegen ist die Verschlechterung der Aufl6sung mit zunehmender Schichtdicke stark yon der Quantenenergie abhitngig. Bei 10 MeV verschlechtert sie sich zwischen 0.2 und 9 m m um 50%, bei 30 MeV nur noch um 10 %. Bei ldeinen Energien muB man also durch passende Wahl der Konverterfoliendicke einen KompromiB zwischen Lichtst~rke und Aufl6sung finden, mit wachsender Quantenenergie wird die Konverterfoliendicke immer weniger kritisch.
Dicke der K o n v e r t e r f o l i e d. a = ~/2°; 6m = 1%.
Wir danken Herrn Prof. Dr. H. Kulenkampff ftir die M6glichkeit, diese Arbeit durchzuftihren. Herrn Dr. M. Scheer sind wir fiir viele ld~rende Diskussionen zu Dank verpflichtet. Dem Bundesministerium fiir Atomkernenergie und Wasserwirtschaft sei fiir finanzielle Unterstiitzung an dieser Stelle ebenfalls gedankt.