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Éléments de matrice des transitions bèta dans le modèle de Nilsson
I
4.C
[
Nuclear Physics 78 (1966) 448--464; (~) North-Holland Publishing Co., Amsterdam
1
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I~LI~MENTS DE MATRICE DES TRANSITIONS BETA DANS LE MODELE DE NILSSON J. BERTH1ER Laboratoire de Chimie Nucldaire, Facultd des Sciences, Grenoble
et P. LIPNIK tt Centre de Physique Nucldaire, Louvain, Belgique
Re~u le 9 juillet 1965 Abstract: Using Nilsson model wave functions, expressions for the non-relativistic nuclear matrix elements of beta transitions are obtained. As an illustration, these formulae are applied to some selected cases, for which the model predictions are compared with the experimental data. It is suggested to analyse the beta decay results in terms of the model parameters.
1. Introduction D a n s le module ph6nom6nologique des n o y a u x tr~s d6form6s, les mouvements intrins~ques et colleetifs des nucl6ons sont s6par6s ~' 2). L a fonction d ' o n d e apparait alors c o m m e un produit de deux facteurs repr6sentant respectivement la description de ces mouvements. Certaines pr6cisions concernant la pattie intrins~que et relatives au module adopt6 peuvent ~tre obtenues par l'6tude des transitions fl si l ' o n suppose que le processus fondamental de ces transitions est la simple transformation d ' u n nucldon. Ainsi les v a l e u r s f t exp6rimentales se sont trouv6es en b o n accord a, 4) avec les pr6visions th6oriques 6tablies ~t partir des n o m b r e s quantiques asymptotiques et de leurs r6gles de s61ection 5). De plus, divers calculs des 616ments de matrice nucl6aires ont 6t6 effectu6s rdcemment en utilisant soit les fonctions d ' o n d e de Nilsson 6), soit des fonctions d ' o n d e plus 61abor6es v). DOs lors, 6tant donn6 le grand h o m b r e de r6sultats exp~rimentaux accumul6s ces derni6res ann6es, il nous a paru utile de pr6senter les calculs des 616ments de matrice des transitions fl sous une forme suffisamment d6taill6e et applicable aux transitions le plus c o u r a m m e n t 6tudi6es. A u terme de des calculs, nous obtenons l'616ment de matrice global en fonction des 616merits de matrice intrins~ques relatifs aux nucl6ons susceptibles de se transformer au cours de la transition. L'analyse des donn6es exp6rimentales pourrait ~tre effectu6e en fonction des param&res introduits dans le mod61e consid6r6. * Charg6 de recherche au C.N.R.S. France. t* Chercheur agr66 h I'I.I.S.N. Louvain. 448
MATRICE DES TRANSITIONS
449
2. Fonctions d'Onde et Op~rateurs Tensorids Les fonctions d'onde utilis6es dans ce travail seront, pour les noyaux de masse impaire, celles donn6es par Nilsson 2) et, pour les noyaux de masse paire, celles d6finies par Gallagher s). D'une mani~re g6n6rale, nous 6crivons / 2J+ 1 ]JMK> = t-16 2(~-~6K0 ) (1 +RI)~JMKZCt.
(1)
La fonction d'onde (1) est correctement normalis6e et sym6tris6e par la pr6sence de tSro et de l'op6rateur R~. La partie intrins~que Z~ contient la description d'un ou plusieurs nuc16ons. Bien que nous n'envisagions que le cas de la sym6trie axiale, K = f2, nous conserverons £2 dans nos formules afin d'indiquer plus clairement la contribution de la partie intrins~que. Dans le cas d'un nucl6on c61ibataire, la fonction d'onde s'dcrit dans la repr6sentation (l, A) non coupl6e de Nilsson Zc~ = Z atAINIAZS. la
(2)
Pour que Xo se transforme correctement par l'op6rafion renversement du temps, nous avons introduit des phases suppl6mentaires dans les vecteurs de base de Nilsson: ]NIAZ) = i t ( - )"lNlAZ)Nilsson = iN[NIAZ)Nilsson,
(3)
avec N = 2n+l. Dans la repr6sentation coupl6e (j, £2) nous avons Xo = ~ cjoljO)
avec
J
]jr25 = ~ (½ZlAIjf2)INIA;g).
(4)
A2
L'action de R~ sur les fonctions d'onde est d6finie par R~ 2 ~ K = ( - ) s + ~ 2 ~ _~,
(5)
=
avec Z-n = ~ atAzlNl --A --Z) = ~ cj_o]j--f2), lA
j
p = ( _ ) t e s t la parit6 des vecteurs de base [NIAS). Ces formules sont conformes tt la d6finition et aux propri6t6s de l'op6rateur R1, adopt6es par Bohr, Mottelson et Nilsson l - 3). Pour d6crire le cas de plusieurs nucl60ns, nous adoptons des fonctions d'onde intrins~ques antisym6tris6es en accord avec les notations de Gallagher 8). Ces fonctions peuvent facilement ~tre raises sous la forme d'un d6terminant de Slater convenable-
450
J. B E R T H I E R E T P .
LIPNIK,
ment normalis6 et leur expression condensSe sera z. =
1
E
"'"
(6)
off O = ~O,, P est l'op6rateur de permutation, ( - ) P e s t la parit~ de la permutation et a est le nombre de nucleons consid6r6s. Quand l'op6rateur R~ est appliqu6 ~t de telles fonctions, il agit sur chacune des fonctions d'onde individuelles des nucl6ons. La pr6sence de Fop6rateur isospin "c+ dans l'hamiltonien d'interaction fi nous oblige /L conserver le caractbre antisym6trique total de la fonction d'onde, m~me dans le cas d'une configuration neutronproton. D~finissons maintenant les op6rateurs tensoriels d6crivant les transitions fi-. Les op6rateurs non relativistes d'ordre tensoriel k sont donn6s par m m T/,Lr = i%L E (vm~Lmzlkm)arm~. Y~.m2 = iLrL(ar ® YL)k,
(7)
mlrtl2
o f ar d6signe, pour y = 0, la matrice unit6 et pour y = 1, les matrices de Pauli en repr6sentation sph6rique; YL sont les harmoniques sph6riques ordinaires. Les 616ments de matrice r6duits de ces opdrateurs sont obtenus par l'application du th6orbme de Wigner-Eckart sous la forme suivante 9):
(JMKI ~ T~"c+IJ'M'K ') = ( _ ) s - u
k M' J' (JKll ~ Tkz+[[J'K'). m
(8)
Dans cette formule l'op6rateur isospin z + transforme un neutron en un proton. La somme porte sur le nombre de nuclgons consid6r6s dans la partie intrinsbque. Pour faire apparaitre l'op6rateur agissant dans le syst~me d'axes li6s au noyau, nous utiliserons la transformation T~ = E ~ , T : .
(9)
,u
En ce qui concerne les op6rateurs relativistes, nous renvoyons aux articles de Bogdan 6) et de Delabaye-Lipnik l o) off l'on trouvera dgalement, pour les divers opSrateurs, la correspondance entre les notations dans les reprdsentations cart6siennes et sph6riques. 3. Elements de Matrice Nucl~aires Comme nous l'avons indiqu6 dans l'introduction, nous nous proposons de calculer les 616ments de matrice nucl6aires dans le module de Nilsson. Apr~s avoir 6tabli la forme g6n6rale de l'616ment de matrice global, nous l'utiliserons pour traiter les cas particuliers correspondant ~ la classification des noyaux.
MATRICE DES TRANSITIONS
451
A l'aide de la fonction d'onde (1), l'616ment de matrice d'un des op6rateurs, d6finis dans la section pr6c6dente (7), s'6crit
(JMKI Z T~'z+lJ'M'K') x
d['~@~MrZe)'r•
=
1 V(2J+I)(2J'+I)
Tkm'C+~'K'Zo'dc°dz-t-
f(R
rzo)*2
TkmZ+~5'K'Zn'dc°dz" (10)
Deux termes seulement figurent dans cet 616ment de matrice car les quatre termes sont 6gaux deux ~t deux et cette expression est en accord avec la formule (31) donn6e par Nilsson 2) pour un cas particulier. Appliquons maintenant/t gauche le th6or6me de Wigner-Eckart (8). Remarquons de plus que la transformation (9) introduit dans le membre de droite des int6grales portant sur le produit de trois matrices de rotation. Ces int6grales sont donn6es par
f
8~z ~'K" do) -_ _ _ (J'M'kmlJM)(J'K'kplJK).
~K~,
2J+
'
I
Les propri6t6s de l'op6rateur Rt permettent alors d'exprimer l'616ment de matrice r6duit global sous la forme du produit d'un 616ment de matrice relatif/t la structure intrins6que par un facteur g6om6trique:
(JKII ~
Tk'~+IIJ'K') = V
(1
2J'+l
x ~ {(J'K'klzJJK)f Z~ ~
T~z+Ze 'd'c
+(-)°r+K(j'K'kp]J -K) f (R1z~)¢ 2 T:z+ze'dz} •
(11)
Cette formule permet d6j/t de tirer certaines conclusions qui sont ind6pendantes de la structure intrins6que. En effet, tout d'abord les facteurs g6omdtriques imposent des r~gles de s61ection sur les nombres quantiques K; notamment comme l'on dolt avoir J#l < L + 1, L 6tant l'ordre d'interdiction pour la classe d'op6rateurs consid6r6s, le second terme n'interviendra que pour les petites valeurs de K. De plus, ces facteurs peuvent marne sous certains conditions rendre nul un 616ment de matrice global. Nous voyons encore que les 616ments de matrice de marne ordre tensoriel, pour des transitions fl aboutissant aux diff6rents niveaux d'une marne bande de rotation, ne diff6rent que par ces facteurs g6om6triques car l'616ment de matrice intrins~que reste le marne. C'est pr6cis6ment cette particularit6 qui a 6t6 utilis6e pour l'6tude comparative des valeurs ft, signal6e dans l'introduction.
at. BERTHIER ET P. LIPNIK.
452
4. l~I6ments de Matrice Intrins6ques
La partie intrins6que d'une fonction d'onde d~pend, nous l'avons dit, du nombre de nucl6ons consid&6s. Nous diviserons donc l'&ude des transitions fl- selon les quatre types possibles de noyaux "m6res". 4.1. NOYAUX AVEC A IMPAIR, N IMPAIR Ce cas est le plus simple car la partie intrins6que de la fonction d'onde sous la forme donnde par Nilsson permet une application imm6diate de l'op6rateur TkT+. Nous avons Xa, = Zs~,n,
Zs~ = Z~p,
et en utilisant (11)
(JK[[TkZ+IIJ'K'} = x/2J;+l ~ {(J'K'kl.tlJK)f Z*~.T:z+xsr.dz
(12)
IJ --K)f 4.2. NOYAUX AVEC A IMPAIR, Z IMPAIR
Pour appliquer dans ce cas l'op6rateur T~z +, il est n6cessaire de consid&er, dans l'6tat initial comme darts l'6tat final, en plus du nucl6on c41ibataire, une paire de nucl6ons appari&. Toutefois, les fonctions intrins~ques restent caract6ris6es par le nucl6on c41ibataire. Elles ne sont modifi6es que dans leur forme et s'4crivent _ ~ .1l ~'q' --
~[
"lPp~ (1)~.(2)
~,(3)
1 ~ [_hpp~,(1)~,(2L,(3 )
A partir de (11) nous obtenons donc pour l'61~ment de matrice r6dtfit
(JK[[ ~ Tkz+l,J'K') = x / 2 J ' + 1 ~ {(J'K'kl~IJK)f z*_a, T~z+Z_~od~
×
IJ- ,)f
rWx, d }. (13)
Nous avons en effet pour l'616ment de matrice intrins6que contenu dans le premier terme de (11)
f z*a~, T~(i)z+(i)z~,dzldz2dz3 ( ~,(1)~ T/Z/'l~.v +/~1"l~ (1) rt ~
= 5(f2~, --g2~)6(--ap, f2
( .(2)t .(2)
rl~
(~.(3)'~ ~ (3) rl~
X~ Tk"z+Za, dr =
Z_a, T/
MATRICE DES TRANSITIONS
453
Nous faisons ainsi appara~tre, dans l'expression finale de l'616ment de matrice intrins~que, les hombres quantiques caractdrisant les nucl6ons qui se transforment. I1 en r6sulte une r~gle de s61ection (# -- Q , - ~2'p) qui est en accord avec celle impos6e par le co6fficient de Clebsch-Gordan multipliant cet 616ment de matrice (# = K-K'). Des consid6rations analogues s'appliquent au second terme de la formule (13). 4.3. N O Y A U X I M P A I R S (A PAIR, N ET Z I M P A I R S )
Nous nous limiterons ici au cas des transitions fl aboutissant/~ des niveaux appartenant ~ la bande de rotation K -- 0. Donc, dans l'6tat final K = ~2 = 0 et la structure intrinsique est caract6ris6e par deux protons appari6s. De plus, nous consid6rons la structure intrins~que initiale comme d6crite par le couple neutron-proton et nous supposons que c'est pr6cis6ment ce neutron qui se transforme en proton. Les fonctions d'onde sont alors _
1 ~[
Z~" -- ~ l . Z . a \ - - J
hPe~,(1)~(,2)
x / ~ . T Z { hPp~,(1)j2) Z~=O ~ - k - - ] LL~p Z,-- i% "
Lra'=L~'p,
C o m m e RiZ o = Zo, les deux termes de l'616ment de matrice r6duit global sont 6gaux ~t une phase pros et nous obtenons 2
(dOll Z
i=1
Tk(i)z +(i)IIJ'K') l/
2J'+1
E(j,K,klllJO)fz~a, Tffz+Za,ndz.
(14)
Le facteur [1 + ( - ) s ] souligne le fait que les protons sont appari6s dans l'6tat final. L'616ment de matrice intrins6que est obtenu par un calcul analogue ~t celui que nous avons utilis6 pr6c6demment: f
2
f
[" ~t(2)'~ ,j(2) ,-1~
Nous voyons qu'ici l'616ment de matrice intrins~que est caract6ris6 par les nombres quantiques des nucldons d6crivant la structure initiale. Notons de plus que la trans! formation neutron-proton est caract6ris6e par ~2', ~ - ~2p, ce qui correspond ~tl'image intuitive que le proton de l'6tat initial ne se modifie pas au cours de la transition. 4.4. N O Y A U X PAIRS (A PAIR, N ET Z PAIRS)
Pour ces noyaux, on a n6cessairement J ' = ~2' = 0 et comme trbs peu d'exp6riences les concernent, nous ne donnons que l'expression finale de l'616ment de matrice r6duit global
+ Tk(i)~+(i)llJ'O> =
(JKII ~
i=1
( 1 + ( - - ) s')
2(1+6~°) 2
#
(J'Ok#lJK)
(15)
454
J. B E R T H I E R E T P .
LIpNIK
4.5. I~LI~MENTS DE 1V[ATRICE RELATIFS A UN NUCLt~ON Dans les formules pr6c6dentes les 616ments de matrice sont exprim6s en fonction de l'616ment de matrice relatif au nucl6on qui se transforme. Nous allons maintenant ddvelopper cet 616ment de matrice en fonction des amplitudes des vecteurs de base, des facteurs g6om6triques qui entrent en jeu et de l'int6grale radiale et nous donnerons son expression dans les deux repr6sentations (l, A) et (j, f2) d6finies dans la section 2. Commen~ons par la repr6sentation (l, A). La forme condens6e de l'616ment de matrice s'6crit, compte-tenu de Faction de l'op6rateur z +,
f ZtopTffL,z+Zo, dz = f x %x ,dz It t t = ~ ataat'a'(nlAZliLrL(ar ® YL)gIN l A vZ t ) IAI'A'
= iL+N'-N Z ataarA'((NIASlrZ(a,®Yr)~lN'l'A'Z'))m~ .... •
(16)
lAVA"
Les phases ajout6es aux vecteurs de base de Nilsson (3) et introduites dans la d6finition des op6rateurs T~zr (7) n'apparaissent ici que sous la forme d'une phase entre les 616ments de matrice exprim6s dans les deux syst~mes de base. Cette phase ne d6pend pas de l'ordre tensoriel k et elle est ipso facto r6elle si les r~gles de s61ection concernant la parit6 sont satisfaites. La forme d6velopp6e de l'616ment de matrice en question est donn6e par
f z*~TffL,Zo, dz = (--)LiL+N'-N V ~-L+1 (3)~rbL r 4re x ~ ataara,(~#1LpzlkP)(½S'7#11½Z)(l'A'L#zllA)(lOLOll'O)fz(Nl,
N'l'),
(17)
IAl'A" Itllt2
off nous avons pos6 pour l'int6grale radiale
(Nllr L IN'F) = fL(NI, N'I'),
b o = ~/h/Mo9 o.
On trouvera dans l'appendice un tableau des valeurs d e f z intervenant dans les transitions fl une lois interdits. Darts le cas g6n6ral, cette int6grale se calcule ~t partir de l'6quation (41) de Nilsson 2). Passons maintenant/t la repr6sentation (j, £2). Rappelons tout d'abord une relation entre coefficients de Clebsch-Gordan et coefficients {9j}, E (7~1L#zlk#)(½Z'~#l I½Z)(I'A'L#zI1A)(2(2I+ 1)) -~ /ZI~t2
= ~ (½Z1AljQ)(½Z'l'A'lj'f2')(jT2'k#ljl2)((2k+l)(2j'+ j j,
1))~X(½1j; ½1[]';?tk).
(18)
Cette relation est d6duite directement de la d6finition m~me des coefficients {9j}.
MATRICE DES TRANSITIONS
455
La forme d6taill6e de l'expression (16) dormant l'616ment de matrice relatif ~t un nucl6on s'6crit encore dans notre syst~me de base + f z~ T~L~,Z~ dr = 2 i L
1Al'A"
tara ara,('~#1 El,t2 [k#)(½z~'7#1 [½S)(I'A'Lp2 IIA)
~1~2
x (2(2/+ 1)) -~(½l I~11½)(ZlIYLIII'>(-)"'-"bLfL.
La relation (18) nous permet de remplacer dans eette expression la somme sur #1 et #z par une somme s u r j e t j ' . Remarquons que par le fait mame les indices de sommation l e t l' disparaissent, ce qui est conforme au d6veloppement de la fonction d'onde dans la repr6sentation (j, f2) (4). On a alors successivement
f z~ T~zs~,d'c = ~ iL +r-ta~/,ava,(½ZlAljf2)(½-S'l'A'lj'f2 ') jj'AA"
x (j'f2'k#l j f2)((2k + 1)(2j' + 1))~X(½1j; ½17'; TLk)(½II%II½)(IIIYLIII')FL
-= ~ cj~ cj,~,(j'f2'ktt Ijf2)(2j -t- 1)- ~( J ll TkJIJ'>. jj'
Iei EL = ( _ ) , , - , bof L L. De plus l'616ment de matrice r6duit est conforme ~t la d6finition adopt6e par Delabaye-Lipnik ~o). Toutefois, le nombre quantique radial n de ces auteurs correspond dans nos notations ~t n + 1.
5. R~gles de S61eetion Nous soulignerons tout d'abord quelques aspects g6n6raux communs aux diff6rents types de transitions pour passer ensuite aux r~gles de sdlection propres aux transitions une fois interdites. 5.1. Gt~NI~RALITI~S Les r6gles de s61ection sont contenues dans les coefficients de Clebsch-Gordan et on les obtient, pour un ordre d'interdiction donn6, & partir de ces coefficients. Pour les raisons d6j~t mentionn6es ~t propos de la formule g6n6rale (11), les seconds termes des formulues (12) et (13) disparaissent pour les grandes valeurs de K. L'op6rateur devrait avoir un ordre tensoriel trop 61ev6 pour effectuer le changement n6cessaire des nombres quantiques de projection. Le coefficient de Clebsch-Gordan de la formule (11) impose en effet la restriction AK <=kma~ (ordre tensoriel maximum pouvant intervenir dans une transition donn6e). L'expression, dans la reprdsentation (l, A), de l'616ment de matrice relatif A une particule contient 5. son tour explicitement les r~gles de s61ection dans l'espace de spin et de moment orbital. L'unique coefficient qui apparait dans la repr6sentation (j, f2) refl&e seulement les r~gles de sdlection sur K prdcis6es plus haut, mais eette fois dans le cas explicite de sym6trie axiale K = f2. On voit donc que la repr6sentation (l, A)
456
S. B E R T H I E R E T P.
LIPNIK
est plus riche en renseignements que la repr6sentation (j, f~). Cela tient au fait que l'espace des vecteurs utilis6s comme base contient plus explicitement les caract6ristiques physiques propres au mod61e de Nilsson. Le dernier coefficient (lOLOIl'O) exige que L + l ' - l soit pair. C'est donc, pour un ordre donnd d'interdiction, une r~gle de sdlection relative/t la parit6, r6gle du reste d6j/t contenue dans la phase i c+n'-N qui se trouve en t&e de la formule (17). 5.2. RI~GLES DE SI~LECTION RELATIVES AUX TRANSITIONS UNE FOIS INTERDITES Les transitions une fois interdkes sont caract&is&s par L = 1 et l'ordre tensoriel k de l'op6rateur doit tout d'abord v6rifier (cf. eq. (11)) [J-J'[ < k < J+J'.
Mais la forme m~me de l'op6rateur Tk~ ~ impose une restriction suppl6mentaire kmax < 2 et en ce qui concerne les op6rateurs non relativistes, senlement quatre d'entre eux pourront intervenir: Tot 1, TI~ o, Ttl~, T211. La valeur maximum de k entraine A K < 2. Les transitions qui ne satisfont pas cette condition sont des transitions K-interdites. De m~me la pattie orbitale de l'616ment de matrice (17) fait apparaitre les r6gles de s61ection sur I e t A: A1 = +_1,
[AA[ <= 1.
Les transitions ne v6rifiant pas ces r~gles sont des transitions 1 ou A interdites. Toutes les autres r~gles de s61ection sont directement en rapport avec la composition sp6ciale de l'op6rateur Tkt~ consid6r6. Ainsi, par exemple, l'op6rateur 7"11o ne pent effectuer aucun changement dans l'espace de spin. I1 est clair 6galement que pour #~ = #2 = # = 0, l'616ment matrice de T~ 1 est nul. Ces deux remarques sont utiles quand on consid6re les nombres quantiques asymptotiques et sont en accord avec les r6gles de s61ection &ablies dans ce cas par Alaga s, 1~). Dans plusieurs articles d6j/t cit6s on trouvera, dans des tableaux, la forme explicite des diverses r6gles de s61ecfion impos6es par les coefficients de Clebsch-Gordan.
6. Remarques Compl6mentaires Concernant le Formalisme Utilis6 6.1. REMARQUES RELATIVES AUX OBSERVABLES Le simple fait que la valeur f t d6pend de la grandeur des 61~ments de matrice et qne les autres observables ne d6pendent que de leurs rapports, rend diff&entes les pr6visions respectives. En effet, on peut consid6rer, tout d'abord, des fonctions d'onde plus 61abor6es que la fonction d'onde (1) et 6crire, pour l'6tat initial par exemple, li) = ]~o)]J ' .M ... K ), [~9~) est tens6 contenir des pr6cisions suppl6mentaires par rapport au module de Nilsson. Aussi dans le cas g6n6ral, peut-on s'attendre ~ un recouvrement lncomplet
MATRICE DES TRANSITIONS
457
de la partie 00 de la fonction d'onde
_-_6 1. Remarquons de plus que dans le calcul des 616ments de matrice (sect. 4) nous avons suppos6 que le d6veloppement de la fonction d'onde d'un nucl6on, qui bien qu'intervenant dans la description de la structure intrins~que ne change pas d'isospin, est identique dans l'6tat initial et dans l'6tat final. Ainsi nous avons 6crit expliciternent
f zg)tZ(~)'dz(i) = E a,Aat'a'3(N, N')6(I, l')6(A, A')f(S, X') 1AI'A"
=
03.
Dans la mesure oil l'hypoth~se pr6c6dente se trouve ~tre insuffisante on aura alors un recouvrement incomplet des fonctions d'onde qui se traduira par
Z ataarA'(~( N, N')~(l, l')fi(A, A')~5(S, Z') < 1. IAI'A"
Ces deux sortes de consid6rations font donc apparaitre, dans l'expression finale des 616ments de matrice, des facteurs qui diminuent la grandeur de ces 616ments et nous 6crivons, sous forme condens6e, (flTffli) = (JMKITk'~IJ'M'K')(OIO'), off ~ [ f . (o, (o
•
i ,J
Ces facteurs d'attdnuation sont inddpendants de l'ordre tensoriel k des opdlateurs. Ils disparaissent donc si l'on forme le rapport de deux dldments de matrice mais par contre ils interviennent dans les valeurs ft. Ainsi donc on peut tout d'abord donner une premibre sdrie de prdvisions ne portant que sur les observables qui sont des fonctions des parambtres nucldaires (rapports particuliers de deux dldments de matrice 12, 13) et cela constitue le but essentiel de ce travail. On pourrait ensuite prdvoir les valeursft, en estimant cette lois 1'importance des facteurs d'attdnuation. Ces considdrations sortent du cadre de cet article. Elles ont ddj/~ fait l'objet de plusieurs dtudes 4,11). 6.2. REMARQUES RELATIVES AUX PARA1V[I~TRESNUCLI~AIRES DES TRANSITIONS UNE FOIS INTERDITES Rappelons tout d'abord la ddfinition des param&res introduits par Kotani 12) et leur correspondance avec les notations tensorielles:
= iCA(4rc)~(2J' + l)-¢(fllToll z+lli ),
nw =
CA f a . r
flu =
C A itr×r = -zCa(8zc/3)~(2J +1) ~(fllT111-c+lli),
458
J. BERTHIER ET P. LIPNIK
rlx = - C v f r = + iCv(~r)~(2J' + l)-~(fllTlloX +11i>, r/z----
C a f B i , = - - i C . ( - ~ ) } ( 2 J ' + 1) -~.
Les 61dments de matrice relativistes sont relids aux non relativistes p a r des relations bien connues (voir par exemple r6f. is)). On obtient l'expression des observables en choisissant p o u r ~ l'un des 61dments de matrice (si l'on prend 1/ = - C v $ r, alors x = 1, u = - C A ~ i a x r / C v S r , etc.). Dans ces expressions on peut encore faire apparaltre deux nouveaux p a r a m & r e s Y e t I1, qui en constituent les termes prddominants et qui sont des combinaisons lin6aires des petits p a r a m & r e s pr6cddemment ddfinis 12). N o u s prdciserons maintenant les conditions requises p o u r que puisse se produire un effet d'annulation du terme Y. On sait que Y = 0 p o u r is) u = x. Pour les transitions AK = O, cet effet sera tr~s rare car l'un des p a r a m & r e s u ou x est fortement diminu6 par r a p p o r t ~t l'autre en vertu des r~gles de s61ection asymptotiques. I1 y a l~t une analogie avec les conclusions obtenues dans le mod61e des couches p o u r 15) les transitions Aj = 0 15). Par contre, p o u r les transitions IAK[ = 1 et IAZl = 0 cet effet devient possible et m e m e p r o b a b l e si certaines conditions suppl6mentaires p o r t a n t sur les n o m b r e s quantiques asymptotiques se trouvent v6rifi6es. En effet, en introduisant dans l'6quation (17) les n o m b r e s quantiques asymptotiques, nous pouvons 6crire
( JKH T I , I
z+ll J ' K ' )
= signe(-lzX)(2)-}( JKIITl,o
z+ll J'K'>,
et la relation correspondante u = s i g n e ( - X ) 1.2 x, et la condition cherchde est doric signe(S. AK) = +,
(AK = K ' - K ) .
Les deux conditions IAKI = 1 et signe(S. AK) = + font ici encore ressortir une analogie avec les conditions correspondantes IZJl = 1 et AI = + 1, obtenues dans le module des couches is). Pour les transitions vdrifiant IAKI = 1 et IAZl = 1 dans les limites asymptotiques on n ' a u r a pas n o r m a l e m e n t d'annulation du p a r a m & r e Y car dans ce cas x = 0. Ces effets d'annulation ont certaines consdquences. Ils constituent tout d ' a b o r d l'une des causes d'dchec de l ' a p p r o x i m a t i o n 4. Ils peuvent de plus affecter consid6rablement les valeurs f t car l'un des p a r a m & r e s n o r m a l e m e n t d o m i n a n t dans la probabilit6 de transition devient exceptionellement petit. U n effet d'annulation petit 6galement se produire dans l'expression des petits param&res (w, x, u et z). En effet, &ant donnd le grand n o m b r e des termes partiels intervenant dans l'expression des 61dments de matrice relatif ~t un nucl6on, il peut arriver
459
MATRICE DES TRANSITIONS
clue la s o m m e alg6brique de ces termes soit accidentellement petite bien que cela n ' a p p a r a i s s e p a s c o m m e une cons6quence d ' u n e des r~gles de s61ection. U n e telle s i t u a t i o n se t r a d u i r a p a r de g r a n d s 6carts entre les valeurs des p a r a m & r e s nucl6aires et les pr6visions, 6tablies sur la base des n o m b r e s q u a n t i q u e s a s y m p t o t i q u e s , p o u r r o n t etre en d 6 s a c c o r d avec les valeurs de ces p a r a m & r e s calcul6es ~t p a r t i r des fonctions d ' o n d e de Nilsson.
7. Applications D a n s cette section nous illustrerons, p a r des exemples pris p a r m i les types de transitions le p l u s c o u r a m m e n t 6tudi6es, les f o r m u l e s 6tablies darts la sect. 4. N o u s g r o u p o n s dans u n seul t a b l e a u ( t a b l e a u 1) t o u s les r6sultats c o n c e r n a n t les 616ments de m a t r i c e r6duits et les p a r a m 6 t r e s nucl6aires. TABLEAU 1
Valeurs calcul6es des 616ments de matrice rdduits et des param~tres nucl6aires. l~Yb
lS~Hf
I~Lu
Z~Tm
(~- ½+)
(~- ~÷)
(~- ½+) (~- ~+) (~+ -~-)
G + ~-)
(1- 0+)
(1- 2+)
0.037 0.636 -0.191 -0.472
0 0.340 -0.102 -0.259
-0.850 --0.885 0.025 0
0 0.340 -0.106 0.259
0 --0.016 0.407 0
0 --0.011 0.288 0.134
-cvlr w x u z
--0.121 1 --0.511 -- 1.780
0 1 --0.511 -- 1.830
0 0.443 1.180 0.248
-cvlr --2.00 1 --0.042 1
0 1 4.520 1.340
-0.003 0.636 -0.199 0.472
-c~Ir 0.010 1 --0.532 1.780
0 1 --0.532 1.830
c.Ii~×~ 0 --0.023 1 0
0 --0.023 1 0.660
Les valeurs num6riques des 616ments de matrice r&tuits sont donn6es au facteur [3(2J'q- 1)/4~1½ bo pr6s.
~2Hf 7.1. CAS DE 175 ~oYb ET 1st 7N o u s c o m m e n t e r o n s plus en ddtail les valeurs trouv6es p o u r la t r a n s i t i o n ~~ 7+ d e 175Yb ne r e l e v a n t ensuite p o u r les autres transitions que les p o i n t s caract6ristiques. P o u r cette t r a n s i t i o n les orbites de N i l s s o n d u n e u t r o n initial et d u p r o t o n final sont donn6es respectivement p a r ~(514) et -~(404). E n p r e n a n t (5 = 0.28 c o m m e valeur c o m m u n e d u p a r a m ~ t r e de d 6 f o r m a t i o n on t r o u v e p o u r les fonctions d ' o n d e des nucl6ons c61ibataires a, 2)
Zo' = - 0.253[553 + > + 0.2061533 + > - 0.9451554- >, Xo = - 0.2191443 + > + 0.9751444- >. Cette t r a n s i t i o n vdrifie AK = 0 et les grandes valeurs de K et K' excluent le s e c o n d t e r m e de l'6q. (12). Le t a b l e a u sch6matique 2 p e r m e t de voir r a p i d e m e n t , p a r simple a p p l i c a t i o n des rbgles de s61ection, quelles sont les c o m p o s a n t e s qui p e u v e n t ~tre connect6es p a r les divers op6rateurs.
460
s. BERTHIER ET P. LIPNIK
Si l'on tient compte des amplitudes des fonctions d'onde, on peut pr6voir que 1'616ment de matrice (IT~I~[) sera d6favoris6 par suite des r~gles de s61ection asymptotiques. Dans le tableau 1 on trouve les r6sultats concernant les transitions aboutissant aux deux premiers &ats de la bande de rotation K = 7 On constate que les param&res u et x sont de signes oppos& et qu'il n'y aura donc pas d'effet d'annulation du param&re Y. Par contre, une diminution accidentelle de w est 6vidente. Enfin, il apparalt que l'616ment de matrice (fll T~,~[li), qui devrait &re d6favoris6, reste en fait du m~me ordre de grandeur que les autres quand on utilise les fonctions d'onde completes de Nilsson. TABLEAU 2 Illustration des r6gles de s61ection pour la transition/~- de ~rnyb
1553+)
1533+)
1554->
[443+)
( I T , ll) = 0
1444->
= 0
= 0
Les transitions &udi6es dans lS~Hf, bien que ce noyau rentre dans la mame cat6gorie g6n6rale que 175Yb, se distinguent des pr6c6dentes par les petites valeurs de K et K' et cela entraine l'application compl&e de l'6q. (12), Les orbites de Nilsson sont ici respectivement ½1510] et k[411 ]. Pour la valeur commune 6 = 0.25 du param&re de d6formation, les fonctions d'onde sont donn6es par Xa, = 0 . 2 6 3 [ 5 5 0 + ) - 0 . 6 6 8 1 5 3 0 + ) + 0 . 5 8 2 1 5 1 0 + ) - 0 . 1 4 1 1 5 5 1 - ) + 0 . 1 5 8 1 5 3 1 - ) +0.3181511-),
Z~ = 0.1761440+)-0.1231420+)-0.3431400+) -0.3731441 - ) +0.8351421 - ) . Le premier terme de l'6q. (12) correspond ~t # = K - K ' = 0 et le second terme gt # = -K-K' = - 1 puisque l'on dolt changer le signe des nombres quantiques de projection du proton. Dans ce second cas il apparait une interdiction A entre certaines composantes. 7.2. CAS D E l~]Lu
Le module de Nilsson caract6rise ici l'&at initial et l'6tat final respectivement par les orbites 7 [404] de proton et 7 [514] de neutron. Cette attribution est juste 1'inverse de celle qu'on obtenait pour 17syb. Cependant la transition//correspond dans les deux cas ~ la transformation d'un neutron 71514] en un proton 7[404]. Cet aspect analogue des deux transitions se traduit par l'6galit6 ~t une phase pr& des 616ments de matrice correspondants: (f[I Tk~[[i)Lu = (--)l+k(fl[ Tkl~[li)yb. Cette relation s'obtient ~t partir de l'616ment de matrice relatif ~t un nucl6on et n'est
MATRICE DES TRANSITIONS
461
valable que pour une marne d6formation dans les deux noyaux. Les dcarts qui apparaissent dans le tableau 1 tiennent/t ce que nous avons pris des valeurs Idg6rement diff6rentes pour les param&res de d6formation. Les observables calculdes, pour les quatre transitions considdrdes, ~t partir des param&res nucl6aires donn6s dans ce tableau, pourront atre compar6es aux r6sultats exp4rimentaux. Cette comparaison donnera une indication sur l'importance des interactions rdsiduelles n6gligdes dans le module de Nilsson. 7.3. CAS DE l~°Tm
D'apr6s Gallagher et Soloviev ~), la partie intrins~que de la fonction d'onde initiale est caract6risde par Z~'= i(½1411]+½1521]) • Avec une ddformation 6 = 0.3 les fonctions d'onde correspondant aux orbites de Nilsson consid6r6es sont respectivement )~,p = 0.163[440 + > -- 0.062[420 + > -- 0.2791400 + > -- 0.4451441 -- > + 0.8331421 -- >, Xo', = 0.1921550+>--0.084[530+>--0.4161510+>--0.5261551-->+0.6371531--> +0.3171511-->. Pour 6tablir le tableau sch6matique (tableau 3) permettant une application ais6e des rhgles de s61ection, il est ndcessaire, conform6ment ~t la formule (14), de changer les nombres quantiques de projection relatifs au proton. TABLEAU 3
Illustration des r6gles de s61ection pour la transition /3- de iT°Tm [550+)
[530+)
[510+)
1551-->
1531--)
1511->
440--> 420-->
400--) 44--1+> 42--1+)
o
= 1[~/~
= --1/~/2
Interdiction A
Dans les limites asymptotiques les deux transitions fl de 17 OTm sont classdes comme des transitions A-interdites. On voit en effet que les grandes composantes ne sont connect6es par aucun des opdrateurs considdr6s ici. Ndanmoins, les valeurs consigndes dans le tableau 1 montrent que cette interdiction A ne se manifeste pas aussi fortement que l'on pourrait s'y attendre. Ces valeurs sont en effet du marne ordre de grandeur que dans les autres cas considdrds et (si l'on veut rester dans le cadre de module de Nilsson) il faut augmenter sensiblement la valeur des param&res de ce mod6le pour qu'elles deviennent ndgligeables. On remarquera encore la valeur faible, accidentellement du reste, de l'61dment de matrice.
462
S. BERTHIER ET P, LIPNIK
7.4. VALEURS ft
Les valeurs.ft calcul6es ~t partir des donn6es du tableau 1 et comparables imm6° diatement aux valeurs exp6rimentales sont obtenues en appliquant les formules suivantes:
(ft)o,~ - 2.77 10 -20 fo Iql z
L"
avec bo = 6.10 .3 (u.n.). Dans ce calcul nous ne tenons pas compte des corrections 6ventuelles, signal6es dans la sect. 6. Pour les cas 6tudids ici, il n'y a pas d'annulation dans le param&re Y. En utilisant les expressions donn6es par Kotani pour fo et f~ nous avons trouv6 pour le rapport f¢/fo une valeur v6rifiant la relation pr6vue par l'approximation ~: f~/fo = V 2 + y z . Le tableau 4 permet la comparaison entre les valeurs calcul6es et les valeurs exp6rimentales. TABLEAU 4
Comparaison entre les logft calcul6s et les logft exp6rimentaux lrsyb (~- ~]+)
lSlHf
lrrLu
170Tin
(~- 3 +)
(½- ½+)
(½- 3 +)
(~+ ,~-)
(½+ 3-)
(1- 0 +)
(1- 2 +)
logftexp
6.3
7.4
7.2
8.5
6.6
7.8
9.0
9.3
logftca 1
5.78
6.33
V
5.6
5.8
6.3
6.3
6.6
On pourrait sans doute ob~enir un meilleur accord pour 175yb et 177Lu en tenant compte des corrections n6glig6es. Par contre les 6carts de deux et trois ordres de grandeur trouv6s dans le cas de iV°Tin et 181Hf mettent clairement en 6vidence l'6chec partiel de la description restrictive du mod61e consider& La valeur f t de la transition ½- ~ 1 + de 18aHf d6pend fortement du param&re V. En effet, l'616ment de matrice (fllToxl[[i) est tr6s~important. D6s lors on ne peut estimer la v a l e u r f t sans tenir compte de la relation entre les deux 616ments de matrice des op6rateurs d'ordre tensoriel z6ro. Line telle n6cessit6 n'existe pratiquement pas pour les autres transitions A J = 0 6tudi6es ici par suite de la valeur relativement 61evOe du param&re Y. Dans le cas de 17 0Tm nous avons 6galement calcul6 l'anisotropie de la corr61ation directionnelle f l - ? de la cascade (1- ~ 2 + ~ 0 +) et pouvons donc la comparer/t la valeur exp6rimentale la plus r6cente 16) f ~cal
=
--0"02'
S'exp = - 0.05_ 0.005 Nous constatons, comme pour le l o g f t , un 6cart important entre la valeur calcul6e et la valeur exp6rimentale, mais les remarques faites dans la section 6.1 sugg~rent que
J. BERTIIIER ET P. LIPNIK
463
les interpr6tations respectives pourront &re diff6rentes. En effet, les facteurs d'att6nuation qui peuvent &re invoqu6s pour augmenter la valeur f t n'entrent pas en ligne de compte dans le calcul des autres observables.
8. Conclusion Dans cet article nous n'avons pris en consid6ration que les 616ments de matrice non relativistes des transitions fi et, partant des fonctions d'onde de Nilsson, nous avons 6tabli les formules permettant le calcul de leurs valeurs dans le cas des noyaux d6form6s. Les quelques cas particuliers 6tudi6s constituent une illustration de l'application de ces formules aux transitions une fois interdites. On pourrait envisager pour ces transitions une 6tude syst6matique analogue ~t celle r6alis6e pour les transitions perraises. I1 semble cependant qu'en absence de tout module l'interpr6tation des r6sultats exp6rimentaux peut rester ambigu~, 6tant donn6 le nombre relativement 61ev6 des 616ments de matrice. Par contre, si l'on adopte un module, les valeurs de ces 616ments de matrice peuvent ~tre calcul6es en fonction des param&res caract6ristiques du mod61e. L'analyse consistera alors ~t chercher les valeurs de ces param~tres qui rdalisent le meilleur accord avec les r6sultats exp6rimentaux. Si par hasard les valeurs 6taient en d6saccord avec celles que l'on peut d6duire d'autres consid6rations, cela indiquerait que le module doit ~tre perfectionn& L'un de nous (J.B.) tient h exprimer sa respectueuse gratitude h Monsieur le Profesdeur M. de Hemptinne et aux chercheurs du groupe de Physique Nucl6aire pour l'excellent accueil qu'il a recu ~t plusieurs reprises au Centre de Physique Nucl6aire de l'Universit6 de Louvain. Nous adressons nos remerciments ~ MM. R. Lombard et L. Grenacs pour les remarques suggestives qu'ils nous ont faites au cours de la r~daction de cet article.
Appendice TABLEAU 5 Int6gl"ale radiale p o u r les transitions u n e lois interdites
N"
l"
A(NI, N" l') = < N l l r i N ' r>
Nq- 1
l-- 1
(½(N--l+ 2))~
N+ 1
lq- 1
( ½ ( N ÷ l + 3))~
N--1
l-- I
(½(N+l+ 1))~-
N--1
l+ 1
(½(N--I))~
464
MATRICE DES' TRANSITIONS
R6f6rences 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1l) 12) 13) 14) 15) 16)
A. Bohr et B. R. Mottelson, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 27, no. 16 (1953) S. G. Nilsson, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 29, no. 16 (1955) B. R. Mottelsou et S. G. Nilsson, Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk. 1, no. 8 (1959) C. J. Gallagher et V. G. Soloviev, Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk. 2, no. 2 (1962) Alaga, Aider, Bohr et Mottelson, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 29, no 9. (1955) D. Bogdan, Nuclear Physics 32 (1962) 553 A. Faessler et H. G. Wahsweiler, Nuclear Physics 59 (1964) 202 C. J. Gallagher, Nuclear Physics 16 (1960) 215 A. de Shalit et I. Talmi, Nuclear shell theory (Academic Press, New York 1963) M. Delabaye et P. Lipnik, Nuclear Physics, (/t parattre) G. Alaga, Nuclear Physics 4 (1957) 625 T. Kotani, Phys. Rev. 114 (1959) 795 M. Morita et R. S. Morita, Phys. Rev. 109 (1958) 2048 D. Bogdan, Nuclear Physics 61 (1965) 241 P. Lipnik et J. W. Sunier, Nuclear Physics 56 (1964) 241 K. Runge, Z. Phys. 183 (1965) 184
4.C
[
Nuclear Physics 78 (1966) 448--464; (~) North-Holland Publishing Co., Amsterdam
1
Not to be reproduced by photoprint or m i c r o f i l m without written p e r m i s s i o n f r o m the p u b l i s h e r
I~LI~MENTS DE MATRICE DES TRANSITIONS BETA DANS LE MODELE DE NILSSON J. BERTH1ER Laboratoire de Chimie Nucldaire, Facultd des Sciences, Grenoble
et P. LIPNIK tt Centre de Physique Nucldaire, Louvain, Belgique
Re~u le 9 juillet 1965 Abstract: Using Nilsson model wave functions, expressions for the non-relativistic nuclear matrix elements of beta transitions are obtained. As an illustration, these formulae are applied to some selected cases, for which the model predictions are compared with the experimental data. It is suggested to analyse the beta decay results in terms of the model parameters.
1. Introduction D a n s le module ph6nom6nologique des n o y a u x tr~s d6form6s, les mouvements intrins~ques et colleetifs des nucl6ons sont s6par6s ~' 2). L a fonction d ' o n d e apparait alors c o m m e un produit de deux facteurs repr6sentant respectivement la description de ces mouvements. Certaines pr6cisions concernant la pattie intrins~que et relatives au module adopt6 peuvent ~tre obtenues par l'6tude des transitions fl si l ' o n suppose que le processus fondamental de ces transitions est la simple transformation d ' u n nucldon. Ainsi les v a l e u r s f t exp6rimentales se sont trouv6es en b o n accord a, 4) avec les pr6visions th6oriques 6tablies ~t partir des n o m b r e s quantiques asymptotiques et de leurs r6gles de s61ection 5). De plus, divers calculs des 616ments de matrice nucl6aires ont 6t6 effectu6s rdcemment en utilisant soit les fonctions d ' o n d e de Nilsson 6), soit des fonctions d ' o n d e plus 61abor6es v). DOs lors, 6tant donn6 le grand h o m b r e de r6sultats exp~rimentaux accumul6s ces derni6res ann6es, il nous a paru utile de pr6senter les calculs des 616ments de matrice des transitions fl sous une forme suffisamment d6taill6e et applicable aux transitions le plus c o u r a m m e n t 6tudi6es. A u terme de des calculs, nous obtenons l'616ment de matrice global en fonction des 616merits de matrice intrins~ques relatifs aux nucl6ons susceptibles de se transformer au cours de la transition. L'analyse des donn6es exp6rimentales pourrait ~tre effectu6e en fonction des param&res introduits dans le mod61e consid6r6. * Charg6 de recherche au C.N.R.S. France. t* Chercheur agr66 h I'I.I.S.N. Louvain. 448
MATRICE DES TRANSITIONS
449
2. Fonctions d'Onde et Op~rateurs Tensorids Les fonctions d'onde utilis6es dans ce travail seront, pour les noyaux de masse impaire, celles donn6es par Nilsson 2) et, pour les noyaux de masse paire, celles d6finies par Gallagher s). D'une mani~re g6n6rale, nous 6crivons / 2J+ 1 ]JMK> = t-16 2(~-~6K0 ) (1 +RI)~JMKZCt.
(1)
La fonction d'onde (1) est correctement normalis6e et sym6tris6e par la pr6sence de tSro et de l'op6rateur R~. La partie intrins~que Z~ contient la description d'un ou plusieurs nuc16ons. Bien que nous n'envisagions que le cas de la sym6trie axiale, K = f2, nous conserverons £2 dans nos formules afin d'indiquer plus clairement la contribution de la partie intrins~que. Dans le cas d'un nucl6on c61ibataire, la fonction d'onde s'dcrit dans la repr6sentation (l, A) non coupl6e de Nilsson Zc~ = Z atAINIAZS. la
(2)
Pour que Xo se transforme correctement par l'op6rafion renversement du temps, nous avons introduit des phases suppl6mentaires dans les vecteurs de base de Nilsson: ]NIAZ) = i t ( - )"lNlAZ)Nilsson = iN[NIAZ)Nilsson,
(3)
avec N = 2n+l. Dans la repr6sentation coupl6e (j, £2) nous avons Xo = ~ cjoljO)
avec
J
]jr25 = ~ (½ZlAIjf2)INIA;g).
(4)
A2
L'action de R~ sur les fonctions d'onde est d6finie par R~ 2 ~ K = ( - ) s + ~ 2 ~ _~,
(5)
=
avec Z-n = ~ atAzlNl --A --Z) = ~ cj_o]j--f2), lA
j
p = ( _ ) t e s t la parit6 des vecteurs de base [NIAS). Ces formules sont conformes tt la d6finition et aux propri6t6s de l'op6rateur R1, adopt6es par Bohr, Mottelson et Nilsson l - 3). Pour d6crire le cas de plusieurs nucl60ns, nous adoptons des fonctions d'onde intrins~ques antisym6tris6es en accord avec les notations de Gallagher 8). Ces fonctions peuvent facilement ~tre raises sous la forme d'un d6terminant de Slater convenable-
450
J. B E R T H I E R E T P .
LIPNIK,
ment normalis6 et leur expression condensSe sera z. =
1
E
"'"
(6)
off O = ~O,, P est l'op6rateur de permutation, ( - ) P e s t la parit~ de la permutation et a est le nombre de nucleons consid6r6s. Quand l'op6rateur R~ est appliqu6 ~t de telles fonctions, il agit sur chacune des fonctions d'onde individuelles des nucl6ons. La pr6sence de Fop6rateur isospin "c+ dans l'hamiltonien d'interaction fi nous oblige /L conserver le caractbre antisym6trique total de la fonction d'onde, m~me dans le cas d'une configuration neutronproton. D~finissons maintenant les op6rateurs tensoriels d6crivant les transitions fi-. Les op6rateurs non relativistes d'ordre tensoriel k sont donn6s par m m T/,Lr = i%L E (vm~Lmzlkm)arm~. Y~.m2 = iLrL(ar ® YL)k,
(7)
mlrtl2
o f ar d6signe, pour y = 0, la matrice unit6 et pour y = 1, les matrices de Pauli en repr6sentation sph6rique; YL sont les harmoniques sph6riques ordinaires. Les 616ments de matrice r6duits de ces opdrateurs sont obtenus par l'application du th6orbme de Wigner-Eckart sous la forme suivante 9):
(JMKI ~ T~"c+IJ'M'K ') = ( _ ) s - u
k M' J' (JKll ~ Tkz+[[J'K'). m
(8)
Dans cette formule l'op6rateur isospin z + transforme un neutron en un proton. La somme porte sur le nombre de nuclgons consid6r6s dans la partie intrinsbque. Pour faire apparaitre l'op6rateur agissant dans le syst~me d'axes li6s au noyau, nous utiliserons la transformation T~ = E ~ , T : .
(9)
,u
En ce qui concerne les op6rateurs relativistes, nous renvoyons aux articles de Bogdan 6) et de Delabaye-Lipnik l o) off l'on trouvera dgalement, pour les divers opSrateurs, la correspondance entre les notations dans les reprdsentations cart6siennes et sph6riques. 3. Elements de Matrice Nucl~aires Comme nous l'avons indiqu6 dans l'introduction, nous nous proposons de calculer les 616ments de matrice nucl6aires dans le module de Nilsson. Apr~s avoir 6tabli la forme g6n6rale de l'616ment de matrice global, nous l'utiliserons pour traiter les cas particuliers correspondant ~ la classification des noyaux.
MATRICE DES TRANSITIONS
451
A l'aide de la fonction d'onde (1), l'616ment de matrice d'un des op6rateurs, d6finis dans la section pr6c6dente (7), s'6crit
(JMKI Z T~'z+lJ'M'K') x
d['~@~MrZe)'r•
=
1 V(2J+I)(2J'+I)
Tkm'C+~'K'Zo'dc°dz-t-
f(R
rzo)*2
TkmZ+~5'K'Zn'dc°dz" (10)
Deux termes seulement figurent dans cet 616ment de matrice car les quatre termes sont 6gaux deux ~t deux et cette expression est en accord avec la formule (31) donn6e par Nilsson 2) pour un cas particulier. Appliquons maintenant/t gauche le th6or6me de Wigner-Eckart (8). Remarquons de plus que la transformation (9) introduit dans le membre de droite des int6grales portant sur le produit de trois matrices de rotation. Ces int6grales sont donn6es par
f
8~z ~'K" do) -_ _ _ (J'M'kmlJM)(J'K'kplJK).
~K~,
2J+
'
I
Les propri6t6s de l'op6rateur Rt permettent alors d'exprimer l'616ment de matrice r6duit global sous la forme du produit d'un 616ment de matrice relatif/t la structure intrins6que par un facteur g6om6trique:
(JKII ~
Tk'~+IIJ'K') = V
(1
2J'+l
x ~ {(J'K'klzJJK)f Z~ ~
T~z+Ze 'd'c
+(-)°r+K(j'K'kp]J -K) f (R1z~)¢ 2 T:z+ze'dz} •
(11)
Cette formule permet d6j/t de tirer certaines conclusions qui sont ind6pendantes de la structure intrins6que. En effet, tout d'abord les facteurs g6omdtriques imposent des r~gles de s61ection sur les nombres quantiques K; notamment comme l'on dolt avoir J#l < L + 1, L 6tant l'ordre d'interdiction pour la classe d'op6rateurs consid6r6s, le second terme n'interviendra que pour les petites valeurs de K. De plus, ces facteurs peuvent marne sous certains conditions rendre nul un 616ment de matrice global. Nous voyons encore que les 616ments de matrice de marne ordre tensoriel, pour des transitions fl aboutissant aux diff6rents niveaux d'une marne bande de rotation, ne diff6rent que par ces facteurs g6om6triques car l'616ment de matrice intrins~que reste le marne. C'est pr6cis6ment cette particularit6 qui a 6t6 utilis6e pour l'6tude comparative des valeurs ft, signal6e dans l'introduction.
at. BERTHIER ET P. LIPNIK.
452
4. l~I6ments de Matrice Intrins6ques
La partie intrins6que d'une fonction d'onde d~pend, nous l'avons dit, du nombre de nucl6ons consid&6s. Nous diviserons donc l'&ude des transitions fl- selon les quatre types possibles de noyaux "m6res". 4.1. NOYAUX AVEC A IMPAIR, N IMPAIR Ce cas est le plus simple car la partie intrins6que de la fonction d'onde sous la forme donnde par Nilsson permet une application imm6diate de l'op6rateur TkT+. Nous avons Xa, = Zs~,n,
Zs~ = Z~p,
et en utilisant (11)
(JK[[TkZ+IIJ'K'} = x/2J;+l ~ {(J'K'kl.tlJK)f Z*~.T:z+xsr.dz
(12)
IJ --K)f 4.2. NOYAUX AVEC A IMPAIR, Z IMPAIR
Pour appliquer dans ce cas l'op6rateur T~z +, il est n6cessaire de consid&er, dans l'6tat initial comme darts l'6tat final, en plus du nucl6on c41ibataire, une paire de nucl6ons appari&. Toutefois, les fonctions intrins~ques restent caract6ris6es par le nucl6on c41ibataire. Elles ne sont modifi6es que dans leur forme et s'4crivent _ ~ .1l ~'q' --
~[
"lPp~ (1)~.(2)
~,(3)
1 ~ [_hpp~,(1)~,(2L,(3 )
A partir de (11) nous obtenons donc pour l'61~ment de matrice r6dtfit
(JK[[ ~ Tkz+l,J'K') = x / 2 J ' + 1 ~ {(J'K'kl~IJK)f z*_a, T~z+Z_~od~
×
IJ- ,)f
rWx, d }. (13)
Nous avons en effet pour l'616ment de matrice intrins6que contenu dans le premier terme de (11)
f z*a~, T~(i)z+(i)z~,dzldz2dz3 ( ~,(1)~ T/Z/'l~.v +/~1"l~ (1) rt ~
= 5(f2~, --g2~)6(--ap, f2
( .(2)t .(2)
rl~
(~.(3)'~ ~ (3) rl~
X~ Tk"z+Za, dr =
Z_a, T/
MATRICE DES TRANSITIONS
453
Nous faisons ainsi appara~tre, dans l'expression finale de l'616ment de matrice intrins~que, les hombres quantiques caractdrisant les nucl6ons qui se transforment. I1 en r6sulte une r~gle de s61ection (# -- Q , - ~2'p) qui est en accord avec celle impos6e par le co6fficient de Clebsch-Gordan multipliant cet 616ment de matrice (# = K-K'). Des consid6rations analogues s'appliquent au second terme de la formule (13). 4.3. N O Y A U X I M P A I R S (A PAIR, N ET Z I M P A I R S )
Nous nous limiterons ici au cas des transitions fl aboutissant/~ des niveaux appartenant ~ la bande de rotation K -- 0. Donc, dans l'6tat final K = ~2 = 0 et la structure intrinsique est caract6ris6e par deux protons appari6s. De plus, nous consid6rons la structure intrins~que initiale comme d6crite par le couple neutron-proton et nous supposons que c'est pr6cis6ment ce neutron qui se transforme en proton. Les fonctions d'onde sont alors _
1 ~[
Z~" -- ~ l . Z . a \ - - J
hPe~,(1)~(,2)
x / ~ . T Z { hPp~,(1)j2) Z~=O ~ - k - - ] LL~p Z,-- i% "
Lra'=L~'p,
C o m m e RiZ o = Zo, les deux termes de l'616ment de matrice r6duit global sont 6gaux ~t une phase pros et nous obtenons 2
(dOll Z
i=1
Tk(i)z +(i)IIJ'K') l/
2J'+1
E(j,K,klllJO)fz~a, Tffz+Za,ndz.
(14)
Le facteur [1 + ( - ) s ] souligne le fait que les protons sont appari6s dans l'6tat final. L'616ment de matrice intrins6que est obtenu par un calcul analogue ~t celui que nous avons utilis6 pr6c6demment: f
2
f
[" ~t(2)'~ ,j(2) ,-1~
Nous voyons qu'ici l'616ment de matrice intrins~que est caract6ris6 par les nombres quantiques des nucldons d6crivant la structure initiale. Notons de plus que la trans! formation neutron-proton est caract6ris6e par ~2', ~ - ~2p, ce qui correspond ~tl'image intuitive que le proton de l'6tat initial ne se modifie pas au cours de la transition. 4.4. N O Y A U X PAIRS (A PAIR, N ET Z PAIRS)
Pour ces noyaux, on a n6cessairement J ' = ~2' = 0 et comme trbs peu d'exp6riences les concernent, nous ne donnons que l'expression finale de l'616ment de matrice r6duit global
+ Tk(i)~+(i)llJ'O> =
(JKII ~
i=1
( 1 + ( - - ) s')
2(1+6~°) 2
#
(J'Ok#lJK)
(15)
454
J. B E R T H I E R E T P .
LIpNIK
4.5. I~LI~MENTS DE 1V[ATRICE RELATIFS A UN NUCLt~ON Dans les formules pr6c6dentes les 616ments de matrice sont exprim6s en fonction de l'616ment de matrice relatif au nucl6on qui se transforme. Nous allons maintenant ddvelopper cet 616ment de matrice en fonction des amplitudes des vecteurs de base, des facteurs g6om6triques qui entrent en jeu et de l'int6grale radiale et nous donnerons son expression dans les deux repr6sentations (l, A) et (j, f2) d6finies dans la section 2. Commen~ons par la repr6sentation (l, A). La forme condens6e de l'616ment de matrice s'6crit, compte-tenu de Faction de l'op6rateur z +,
f ZtopTffL,z+Zo, dz = f x %x ,dz It t t = ~ ataat'a'(nlAZliLrL(ar ® YL)gIN l A vZ t ) IAI'A'
= iL+N'-N Z ataarA'((NIASlrZ(a,®Yr)~lN'l'A'Z'))m~ .... •
(16)
lAVA"
Les phases ajout6es aux vecteurs de base de Nilsson (3) et introduites dans la d6finition des op6rateurs T~zr (7) n'apparaissent ici que sous la forme d'une phase entre les 616ments de matrice exprim6s dans les deux syst~mes de base. Cette phase ne d6pend pas de l'ordre tensoriel k et elle est ipso facto r6elle si les r~gles de s61ection concernant la parit6 sont satisfaites. La forme d6velopp6e de l'616ment de matrice en question est donn6e par
f z*~TffL,Zo, dz = (--)LiL+N'-N V ~-L+1 (3)~rbL r 4re x ~ ataara,(~#1LpzlkP)(½S'7#11½Z)(l'A'L#zllA)(lOLOll'O)fz(Nl,
N'l'),
(17)
IAl'A" Itllt2
off nous avons pos6 pour l'int6grale radiale
(Nllr L IN'F) = fL(NI, N'I'),
b o = ~/h/Mo9 o.
On trouvera dans l'appendice un tableau des valeurs d e f z intervenant dans les transitions fl une lois interdits. Darts le cas g6n6ral, cette int6grale se calcule ~t partir de l'6quation (41) de Nilsson 2). Passons maintenant/t la repr6sentation (j, £2). Rappelons tout d'abord une relation entre coefficients de Clebsch-Gordan et coefficients {9j}, E (7~1L#zlk#)(½Z'~#l I½Z)(I'A'L#zI1A)(2(2I+ 1)) -~ /ZI~t2
= ~ (½Z1AljQ)(½Z'l'A'lj'f2')(jT2'k#ljl2)((2k+l)(2j'+ j j,
1))~X(½1j; ½1[]';?tk).
(18)
Cette relation est d6duite directement de la d6finition m~me des coefficients {9j}.
MATRICE DES TRANSITIONS
455
La forme d6taill6e de l'expression (16) dormant l'616ment de matrice relatif ~t un nucl6on s'6crit encore dans notre syst~me de base + f z~ T~L~,Z~ dr = 2 i L
1Al'A"
tara ara,('~#1 El,t2 [k#)(½z~'7#1 [½S)(I'A'Lp2 IIA)
~1~2
x (2(2/+ 1)) -~(½l I~11½)(ZlIYLIII'>(-)"'-"bLfL.
La relation (18) nous permet de remplacer dans eette expression la somme sur #1 et #z par une somme s u r j e t j ' . Remarquons que par le fait mame les indices de sommation l e t l' disparaissent, ce qui est conforme au d6veloppement de la fonction d'onde dans la repr6sentation (j, f2) (4). On a alors successivement
f z~ T~zs~,d'c = ~ iL +r-ta~/,ava,(½ZlAljf2)(½-S'l'A'lj'f2 ') jj'AA"
x (j'f2'k#l j f2)((2k + 1)(2j' + 1))~X(½1j; ½17'; TLk)(½II%II½)(IIIYLIII')FL
-= ~ cj~ cj,~,(j'f2'ktt Ijf2)(2j -t- 1)- ~( J ll TkJIJ'>. jj'
Iei EL = ( _ ) , , - , bof L L. De plus l'616ment de matrice r6duit est conforme ~t la d6finition adopt6e par Delabaye-Lipnik ~o). Toutefois, le nombre quantique radial n de ces auteurs correspond dans nos notations ~t n + 1.
5. R~gles de S61eetion Nous soulignerons tout d'abord quelques aspects g6n6raux communs aux diff6rents types de transitions pour passer ensuite aux r~gles de sdlection propres aux transitions une fois interdites. 5.1. Gt~NI~RALITI~S Les r6gles de s61ection sont contenues dans les coefficients de Clebsch-Gordan et on les obtient, pour un ordre d'interdiction donn6, & partir de ces coefficients. Pour les raisons d6j~t mentionn6es ~t propos de la formule g6n6rale (11), les seconds termes des formulues (12) et (13) disparaissent pour les grandes valeurs de K. L'op6rateur devrait avoir un ordre tensoriel trop 61ev6 pour effectuer le changement n6cessaire des nombres quantiques de projection. Le coefficient de Clebsch-Gordan de la formule (11) impose en effet la restriction AK <=kma~ (ordre tensoriel maximum pouvant intervenir dans une transition donn6e). L'expression, dans la reprdsentation (l, A), de l'616ment de matrice relatif A une particule contient 5. son tour explicitement les r~gles de s61ection dans l'espace de spin et de moment orbital. L'unique coefficient qui apparait dans la repr6sentation (j, f2) refl&e seulement les r~gles de sdlection sur K prdcis6es plus haut, mais eette fois dans le cas explicite de sym6trie axiale K = f2. On voit donc que la repr6sentation (l, A)
456
S. B E R T H I E R E T P.
LIPNIK
est plus riche en renseignements que la repr6sentation (j, f~). Cela tient au fait que l'espace des vecteurs utilis6s comme base contient plus explicitement les caract6ristiques physiques propres au mod61e de Nilsson. Le dernier coefficient (lOLOIl'O) exige que L + l ' - l soit pair. C'est donc, pour un ordre donnd d'interdiction, une r~gle de sdlection relative/t la parit6, r6gle du reste d6j/t contenue dans la phase i c+n'-N qui se trouve en t&e de la formule (17). 5.2. RI~GLES DE SI~LECTION RELATIVES AUX TRANSITIONS UNE FOIS INTERDITES Les transitions une fois interdkes sont caract&is&s par L = 1 et l'ordre tensoriel k de l'op6rateur doit tout d'abord v6rifier (cf. eq. (11)) [J-J'[ < k < J+J'.
Mais la forme m~me de l'op6rateur Tk~ ~ impose une restriction suppl6mentaire kmax < 2 et en ce qui concerne les op6rateurs non relativistes, senlement quatre d'entre eux pourront intervenir: Tot 1, TI~ o, Ttl~, T211. La valeur maximum de k entraine A K < 2. Les transitions qui ne satisfont pas cette condition sont des transitions K-interdites. De m~me la pattie orbitale de l'616ment de matrice (17) fait apparaitre les r6gles de s61ection sur I e t A: A1 = +_1,
[AA[ <= 1.
Les transitions ne v6rifiant pas ces r~gles sont des transitions 1 ou A interdites. Toutes les autres r~gles de s61ection sont directement en rapport avec la composition sp6ciale de l'op6rateur Tkt~ consid6r6. Ainsi, par exemple, l'op6rateur 7"11o ne pent effectuer aucun changement dans l'espace de spin. I1 est clair 6galement que pour #~ = #2 = # = 0, l'616ment matrice de T~ 1 est nul. Ces deux remarques sont utiles quand on consid6re les nombres quantiques asymptotiques et sont en accord avec les r6gles de s61ection &ablies dans ce cas par Alaga s, 1~). Dans plusieurs articles d6j/t cit6s on trouvera, dans des tableaux, la forme explicite des diverses r6gles de s61ecfion impos6es par les coefficients de Clebsch-Gordan.
6. Remarques Compl6mentaires Concernant le Formalisme Utilis6 6.1. REMARQUES RELATIVES AUX OBSERVABLES Le simple fait que la valeur f t d6pend de la grandeur des 61~ments de matrice et qne les autres observables ne d6pendent que de leurs rapports, rend diff&entes les pr6visions respectives. En effet, on peut consid6rer, tout d'abord, des fonctions d'onde plus 61abor6es que la fonction d'onde (1) et 6crire, pour l'6tat initial par exemple, li) = ]~o)]J ' .M ... K ), [~9~) est tens6 contenir des pr6cisions suppl6mentaires par rapport au module de Nilsson. Aussi dans le cas g6n6ral, peut-on s'attendre ~ un recouvrement lncomplet
MATRICE DES TRANSITIONS
457
de la partie 00 de la fonction d'onde
_-_6 1. Remarquons de plus que dans le calcul des 616ments de matrice (sect. 4) nous avons suppos6 que le d6veloppement de la fonction d'onde d'un nucl6on, qui bien qu'intervenant dans la description de la structure intrins~que ne change pas d'isospin, est identique dans l'6tat initial et dans l'6tat final. Ainsi nous avons 6crit expliciternent
f zg)tZ(~)'dz(i) = E a,Aat'a'3(N, N')6(I, l')6(A, A')f(S, X') 1AI'A"
=
03.
Dans la mesure oil l'hypoth~se pr6c6dente se trouve ~tre insuffisante on aura alors un recouvrement incomplet des fonctions d'onde qui se traduira par
Z ataarA'(~( N, N')~(l, l')fi(A, A')~5(S, Z') < 1. IAI'A"
Ces deux sortes de consid6rations font donc apparaitre, dans l'expression finale des 616ments de matrice, des facteurs qui diminuent la grandeur de ces 616ments et nous 6crivons, sous forme condens6e, (flTffli) = (JMKITk'~IJ'M'K')(OIO'), off ~ [ f . (o, (o
•
i ,J
Ces facteurs d'attdnuation sont inddpendants de l'ordre tensoriel k des opdlateurs. Ils disparaissent donc si l'on forme le rapport de deux dldments de matrice mais par contre ils interviennent dans les valeurs ft. Ainsi donc on peut tout d'abord donner une premibre sdrie de prdvisions ne portant que sur les observables qui sont des fonctions des parambtres nucldaires (rapports particuliers de deux dldments de matrice 12, 13) et cela constitue le but essentiel de ce travail. On pourrait ensuite prdvoir les valeursft, en estimant cette lois 1'importance des facteurs d'attdnuation. Ces considdrations sortent du cadre de cet article. Elles ont ddj/~ fait l'objet de plusieurs dtudes 4,11). 6.2. REMARQUES RELATIVES AUX PARA1V[I~TRESNUCLI~AIRES DES TRANSITIONS UNE FOIS INTERDITES Rappelons tout d'abord la ddfinition des param&res introduits par Kotani 12) et leur correspondance avec les notations tensorielles:
= iCA(4rc)~(2J' + l)-¢(fllToll z+lli ),
nw =
CA f a . r
flu =
C A itr×r = -zCa(8zc/3)~(2J +1) ~(fllT111-c+lli),
458
J. BERTHIER ET P. LIPNIK
rlx = - C v f r = + iCv(~r)~(2J' + l)-~(fllTlloX +11i>, r/z----
C a f B i , = - - i C . ( - ~ ) } ( 2 J ' + 1) -~
Les 61dments de matrice relativistes sont relids aux non relativistes p a r des relations bien connues (voir par exemple r6f. is)). On obtient l'expression des observables en choisissant p o u r ~ l'un des 61dments de matrice (si l'on prend 1/ = - C v $ r, alors x = 1, u = - C A ~ i a x r / C v S r , etc.). Dans ces expressions on peut encore faire apparaltre deux nouveaux p a r a m & r e s Y e t I1, qui en constituent les termes prddominants et qui sont des combinaisons lin6aires des petits p a r a m & r e s pr6cddemment ddfinis 12). N o u s prdciserons maintenant les conditions requises p o u r que puisse se produire un effet d'annulation du terme Y. On sait que Y = 0 p o u r is) u = x. Pour les transitions AK = O, cet effet sera tr~s rare car l'un des p a r a m & r e s u ou x est fortement diminu6 par r a p p o r t ~t l'autre en vertu des r~gles de s61ection asymptotiques. I1 y a l~t une analogie avec les conclusions obtenues dans le mod61e des couches p o u r 15) les transitions Aj = 0 15). Par contre, p o u r les transitions IAK[ = 1 et IAZl = 0 cet effet devient possible et m e m e p r o b a b l e si certaines conditions suppl6mentaires p o r t a n t sur les n o m b r e s quantiques asymptotiques se trouvent v6rifi6es. En effet, en introduisant dans l'6quation (17) les n o m b r e s quantiques asymptotiques, nous pouvons 6crire
( JKH T I , I
z+ll J ' K ' )
= signe(-lzX)(2)-}( JKIITl,o
z+ll J'K'>,
et la relation correspondante u = s i g n e ( - X ) 1.2 x, et la condition cherchde est doric signe(S. AK) = +,
(AK = K ' - K ) .
Les deux conditions IAKI = 1 et signe(S. AK) = + font ici encore ressortir une analogie avec les conditions correspondantes IZJl = 1 et AI = + 1, obtenues dans le module des couches is). Pour les transitions vdrifiant IAKI = 1 et IAZl = 1 dans les limites asymptotiques on n ' a u r a pas n o r m a l e m e n t d'annulation du p a r a m & r e Y car dans ce cas x = 0. Ces effets d'annulation ont certaines consdquences. Ils constituent tout d ' a b o r d l'une des causes d'dchec de l ' a p p r o x i m a t i o n 4. Ils peuvent de plus affecter consid6rablement les valeurs f t car l'un des p a r a m & r e s n o r m a l e m e n t d o m i n a n t dans la probabilit6 de transition devient exceptionellement petit. U n effet d'annulation petit 6galement se produire dans l'expression des petits param&res (w, x, u et z). En effet, &ant donnd le grand n o m b r e des termes partiels intervenant dans l'expression des 61dments de matrice relatif ~t un nucl6on, il peut arriver
459
MATRICE DES TRANSITIONS
clue la s o m m e alg6brique de ces termes soit accidentellement petite bien que cela n ' a p p a r a i s s e p a s c o m m e une cons6quence d ' u n e des r~gles de s61ection. U n e telle s i t u a t i o n se t r a d u i r a p a r de g r a n d s 6carts entre les valeurs des p a r a m & r e s nucl6aires et les pr6visions, 6tablies sur la base des n o m b r e s q u a n t i q u e s a s y m p t o t i q u e s , p o u r r o n t etre en d 6 s a c c o r d avec les valeurs de ces p a r a m & r e s calcul6es ~t p a r t i r des fonctions d ' o n d e de Nilsson.
7. Applications D a n s cette section nous illustrerons, p a r des exemples pris p a r m i les types de transitions le p l u s c o u r a m m e n t 6tudi6es, les f o r m u l e s 6tablies darts la sect. 4. N o u s g r o u p o n s dans u n seul t a b l e a u ( t a b l e a u 1) t o u s les r6sultats c o n c e r n a n t les 616ments de m a t r i c e r6duits et les p a r a m 6 t r e s nucl6aires. TABLEAU 1
Valeurs calcul6es des 616ments de matrice rdduits et des param~tres nucl6aires. l~Yb
lS~Hf
I~Lu
Z~Tm
(~- ½+)
(~- ~÷)
(~- ½+) (~- ~+) (~+ -~-)
G + ~-)
(1- 0+)
(1- 2+)
0 0.340 -0.102 -0.259
-0.850 --0.885 0.025 0
0 0.340 -0.106 0.259
0 --0.016 0.407 0
0 --0.011 0.288 0.134
-cvlr w x u z
--0.121 1 --0.511 -- 1.780
0 1 --0.511 -- 1.830
0 0.443 1.180 0.248
-cvlr --2.00 1 --0.042 1
0 1 4.520 1.340
-0.003 0.636 -0.199 0.472
-c~Ir 0.010 1 --0.532 1.780
0 1 --0.532 1.830
c.Ii~×~ 0 --0.023 1 0
0 --0.023 1 0.660
Les valeurs num6riques des 616ments de matrice r&tuits sont donn6es au facteur [3(2J'q- 1)/4~1½ bo pr6s.
~2Hf 7.1. CAS DE 175 ~oYb ET 1st 7N o u s c o m m e n t e r o n s plus en ddtail les valeurs trouv6es p o u r la t r a n s i t i o n ~~ 7+ d e 175Yb ne r e l e v a n t ensuite p o u r les autres transitions que les p o i n t s caract6ristiques. P o u r cette t r a n s i t i o n les orbites de N i l s s o n d u n e u t r o n initial et d u p r o t o n final sont donn6es respectivement p a r ~(514) et -~(404). E n p r e n a n t (5 = 0.28 c o m m e valeur c o m m u n e d u p a r a m ~ t r e de d 6 f o r m a t i o n on t r o u v e p o u r les fonctions d ' o n d e des nucl6ons c61ibataires a, 2)
Zo' = - 0.253[553 + > + 0.2061533 + > - 0.9451554- >, Xo = - 0.2191443 + > + 0.9751444- >. Cette t r a n s i t i o n vdrifie AK = 0 et les grandes valeurs de K et K' excluent le s e c o n d t e r m e de l'6q. (12). Le t a b l e a u sch6matique 2 p e r m e t de voir r a p i d e m e n t , p a r simple a p p l i c a t i o n des rbgles de s61ection, quelles sont les c o m p o s a n t e s qui p e u v e n t ~tre connect6es p a r les divers op6rateurs.
460
s. BERTHIER ET P. LIPNIK
Si l'on tient compte des amplitudes des fonctions d'onde, on peut pr6voir que 1'616ment de matrice (IT~I~[) sera d6favoris6 par suite des r~gles de s61ection asymptotiques. Dans le tableau 1 on trouve les r6sultats concernant les transitions aboutissant aux deux premiers &ats de la bande de rotation K = 7 On constate que les param&res u et x sont de signes oppos& et qu'il n'y aura donc pas d'effet d'annulation du param&re Y. Par contre, une diminution accidentelle de w est 6vidente. Enfin, il apparalt que l'616ment de matrice (fll T~,~[li), qui devrait &re d6favoris6, reste en fait du m~me ordre de grandeur que les autres quand on utilise les fonctions d'onde completes de Nilsson. TABLEAU 2 Illustration des r6gles de s61ection pour la transition/~- de ~rnyb
1553+)
1533+)
1554->
[443+)
( I T , ll) = 0
1444->
Les transitions &udi6es dans lS~Hf, bien que ce noyau rentre dans la mame cat6gorie g6n6rale que 175Yb, se distinguent des pr6c6dentes par les petites valeurs de K et K' et cela entraine l'application compl&e de l'6q. (12), Les orbites de Nilsson sont ici respectivement ½1510] et k[411 ]. Pour la valeur commune 6 = 0.25 du param&re de d6formation, les fonctions d'onde sont donn6es par Xa, = 0 . 2 6 3 [ 5 5 0 + ) - 0 . 6 6 8 1 5 3 0 + ) + 0 . 5 8 2 1 5 1 0 + ) - 0 . 1 4 1 1 5 5 1 - ) + 0 . 1 5 8 1 5 3 1 - ) +0.3181511-),
Z~ = 0.1761440+)-0.1231420+)-0.3431400+) -0.3731441 - ) +0.8351421 - ) . Le premier terme de l'6q. (12) correspond ~t # = K - K ' = 0 et le second terme gt # = -K-K' = - 1 puisque l'on dolt changer le signe des nombres quantiques de projection du proton. Dans ce second cas il apparait une interdiction A entre certaines composantes. 7.2. CAS D E l~]Lu
Le module de Nilsson caract6rise ici l'&at initial et l'6tat final respectivement par les orbites 7 [404] de proton et 7 [514] de neutron. Cette attribution est juste 1'inverse de celle qu'on obtenait pour 17syb. Cependant la transition//correspond dans les deux cas ~ la transformation d'un neutron 71514] en un proton 7[404]. Cet aspect analogue des deux transitions se traduit par l'6galit6 ~t une phase pr& des 616ments de matrice correspondants: (f[I Tk~[[i)Lu = (--)l+k(fl[ Tkl~[li)yb. Cette relation s'obtient ~t partir de l'616ment de matrice relatif ~t un nucl6on et n'est
MATRICE DES TRANSITIONS
461
valable que pour une marne d6formation dans les deux noyaux. Les dcarts qui apparaissent dans le tableau 1 tiennent/t ce que nous avons pris des valeurs Idg6rement diff6rentes pour les param&res de d6formation. Les observables calculdes, pour les quatre transitions considdrdes, ~t partir des param&res nucl6aires donn6s dans ce tableau, pourront atre compar6es aux r6sultats exp4rimentaux. Cette comparaison donnera une indication sur l'importance des interactions rdsiduelles n6gligdes dans le module de Nilsson. 7.3. CAS DE l~°Tm
D'apr6s Gallagher et Soloviev ~), la partie intrins~que de la fonction d'onde initiale est caract6risde par Z~'= i(½1411]+½1521]) • Avec une ddformation 6 = 0.3 les fonctions d'onde correspondant aux orbites de Nilsson consid6r6es sont respectivement )~,p = 0.163[440 + > -- 0.062[420 + > -- 0.2791400 + > -- 0.4451441 -- > + 0.8331421 -- >, Xo', = 0.1921550+>--0.084[530+>--0.4161510+>--0.5261551-->+0.6371531--> +0.3171511-->. Pour 6tablir le tableau sch6matique (tableau 3) permettant une application ais6e des rhgles de s61ection, il est ndcessaire, conform6ment ~t la formule (14), de changer les nombres quantiques de projection relatifs au proton. TABLEAU 3
Illustration des r6gles de s61ection pour la transition /3- de iT°Tm [550+)
[530+)
[510+)
1551-->
1531--)
1511->
440--> 420-->
400--) 44--1+> 42--1+)
o
Interdiction A
Dans les limites asymptotiques les deux transitions fl de 17 OTm sont classdes comme des transitions A-interdites. On voit en effet que les grandes composantes ne sont connect6es par aucun des opdrateurs considdr6s ici. Ndanmoins, les valeurs consigndes dans le tableau 1 montrent que cette interdiction A ne se manifeste pas aussi fortement que l'on pourrait s'y attendre. Ces valeurs sont en effet du marne ordre de grandeur que dans les autres cas considdrds et (si l'on veut rester dans le cadre de module de Nilsson) il faut augmenter sensiblement la valeur des param&res de ce mod6le pour qu'elles deviennent ndgligeables. On remarquera encore la valeur faible, accidentellement du reste, de l'61dment de matrice
462
S. BERTHIER ET P, LIPNIK
7.4. VALEURS ft
Les valeurs.ft calcul6es ~t partir des donn6es du tableau 1 et comparables imm6° diatement aux valeurs exp6rimentales sont obtenues en appliquant les formules suivantes:
(ft)o,~ - 2.77 10 -20 fo Iql z
L"
avec bo = 6.10 .3 (u.n.). Dans ce calcul nous ne tenons pas compte des corrections 6ventuelles, signal6es dans la sect. 6. Pour les cas 6tudids ici, il n'y a pas d'annulation dans le param&re Y. En utilisant les expressions donn6es par Kotani pour fo et f~ nous avons trouv6 pour le rapport f¢/fo une valeur v6rifiant la relation pr6vue par l'approximation ~: f~/fo = V 2 + y z . Le tableau 4 permet la comparaison entre les valeurs calcul6es et les valeurs exp6rimentales. TABLEAU 4
Comparaison entre les logft calcul6s et les logft exp6rimentaux lrsyb (~- ~]+)
lSlHf
lrrLu
170Tin
(~- 3 +)
(½- ½+)
(½- 3 +)
(~+ ,~-)
(½+ 3-)
(1- 0 +)
(1- 2 +)
logftexp
6.3
7.4
7.2
8.5
6.6
7.8
9.0
9.3
logftca 1
5.78
6.33
V
5.6
5.8
6.3
6.3
6.6
On pourrait sans doute ob~enir un meilleur accord pour 175yb et 177Lu en tenant compte des corrections n6glig6es. Par contre les 6carts de deux et trois ordres de grandeur trouv6s dans le cas de iV°Tin et 181Hf mettent clairement en 6vidence l'6chec partiel de la description restrictive du mod61e consider& La valeur f t de la transition ½- ~ 1 + de 18aHf d6pend fortement du param&re V. En effet, l'616ment de matrice (fllToxl[[i) est tr6s~important. D6s lors on ne peut estimer la v a l e u r f t sans tenir compte de la relation entre les deux 616ments de matrice des op6rateurs d'ordre tensoriel z6ro. Line telle n6cessit6 n'existe pratiquement pas pour les autres transitions A J = 0 6tudi6es ici par suite de la valeur relativement 61evOe du param&re Y. Dans le cas de 17 0Tm nous avons 6galement calcul6 l'anisotropie de la corr61ation directionnelle f l - ? de la cascade (1- ~ 2 + ~ 0 +) et pouvons donc la comparer/t la valeur exp6rimentale la plus r6cente 16) f ~cal
=
--0"02'
S'exp = - 0.05_ 0.005 Nous constatons, comme pour le l o g f t , un 6cart important entre la valeur calcul6e et la valeur exp6rimentale, mais les remarques faites dans la section 6.1 sugg~rent que
J. BERTIIIER ET P. LIPNIK
463
les interpr6tations respectives pourront &re diff6rentes. En effet, les facteurs d'att6nuation qui peuvent &re invoqu6s pour augmenter la valeur f t n'entrent pas en ligne de compte dans le calcul des autres observables.
8. Conclusion Dans cet article nous n'avons pris en consid6ration que les 616ments de matrice non relativistes des transitions fi et, partant des fonctions d'onde de Nilsson, nous avons 6tabli les formules permettant le calcul de leurs valeurs dans le cas des noyaux d6form6s. Les quelques cas particuliers 6tudi6s constituent une illustration de l'application de ces formules aux transitions une fois interdites. On pourrait envisager pour ces transitions une 6tude syst6matique analogue ~t celle r6alis6e pour les transitions perraises. I1 semble cependant qu'en absence de tout module l'interpr6tation des r6sultats exp6rimentaux peut rester ambigu~, 6tant donn6 le nombre relativement 61ev6 des 616ments de matrice. Par contre, si l'on adopte un module, les valeurs de ces 616ments de matrice peuvent ~tre calcul6es en fonction des param&res caract6ristiques du mod61e. L'analyse consistera alors ~t chercher les valeurs de ces param~tres qui rdalisent le meilleur accord avec les r6sultats exp6rimentaux. Si par hasard les valeurs 6taient en d6saccord avec celles que l'on peut d6duire d'autres consid6rations, cela indiquerait que le module doit ~tre perfectionn& L'un de nous (J.B.) tient h exprimer sa respectueuse gratitude h Monsieur le Profesdeur M. de Hemptinne et aux chercheurs du groupe de Physique Nucl6aire pour l'excellent accueil qu'il a recu ~t plusieurs reprises au Centre de Physique Nucl6aire de l'Universit6 de Louvain. Nous adressons nos remerciments ~ MM. R. Lombard et L. Grenacs pour les remarques suggestives qu'ils nous ont faites au cours de la r~daction de cet article.
Appendice TABLEAU 5 Int6gl"ale radiale p o u r les transitions u n e lois interdites
N"
l"
A(NI, N" l') = < N l l r i N ' r>
Nq- 1
l-- 1
(½(N--l+ 2))~
N+ 1
lq- 1
( ½ ( N ÷ l + 3))~
N--1
l-- I
(½(N+l+ 1))~-
N--1
l+ 1
(½(N--I))~
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MATRICE DES' TRANSITIONS
R6f6rences 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1l) 12) 13) 14) 15) 16)
A. Bohr et B. R. Mottelson, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 27, no. 16 (1953) S. G. Nilsson, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 29, no. 16 (1955) B. R. Mottelsou et S. G. Nilsson, Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk. 1, no. 8 (1959) C. J. Gallagher et V. G. Soloviev, Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk. 2, no. 2 (1962) Alaga, Aider, Bohr et Mottelson, Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 29, no 9. (1955) D. Bogdan, Nuclear Physics 32 (1962) 553 A. Faessler et H. G. Wahsweiler, Nuclear Physics 59 (1964) 202 C. J. Gallagher, Nuclear Physics 16 (1960) 215 A. de Shalit et I. Talmi, Nuclear shell theory (Academic Press, New York 1963) M. Delabaye et P. Lipnik, Nuclear Physics, (/t parattre) G. Alaga, Nuclear Physics 4 (1957) 625 T. Kotani, Phys. Rev. 114 (1959) 795 M. Morita et R. S. Morita, Phys. Rev. 109 (1958) 2048 D. Bogdan, Nuclear Physics 61 (1965) 241 P. Lipnik et J. W. Sunier, Nuclear Physics 56 (1964) 241 K. Runge, Z. Phys. 183 (1965) 184