Equation d'enveloppe pour un faisceau accelere par un champ electrostatique a symetrie de revolution

Nuclear Instruments and Methods 213 (1983) 179-185 North-Holland Publishing Company

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EQUATION D'ENVELOPPE POUR UN FAISCEAU ACCELERE PAR UN CHAMP ELECTROSTATIQUE A SYMETRIE DE REVOLUTION JIANG Bin-Yao Shanghai Institute of Metallurgy, Academy of Sciences of China, 200050 Shanghai, China Pierre TANGUY Laboratoire de Th6orie des Systbmes Physiques, Universit6 de Rennes I, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes-Cedex, France XIA Jin-Zhi Institute of Accelerators, Shanghai Xian- Feng Electric Manufacturing Works, 200050 Shanghai, China Re~u le 13 dbcembre 1982

In this paper the envelope equation for heavy ion beams accelerated in a rotationally symmetric electric field is set up. Two cases are considered: beams with uniform distribution in cross section and beams with non-uniform distribution for which the rms envelope equation is obtained. An example of application is presented and possible improvements of calculations are discussed in conclusion.

1. Introduction Des exp6riences en physique de solide (les implantations d'ions par exemple) ont n6cessit6 la construction de colonnes acc616ratrices pouvant acc616rer des ions lourds une seule lois charg6s. Darts ces dispositifs l'6nergie finale est de l'ordre de quelques centaines de keV et le courant acc616r6 est faible (de l'ordre du mA). En d6pit de la faible valeur de l'intensit6 acc61er6e on a jug6 utile de savoir si la charge d'espace pouvait avoir un effet significatif sur la dynamique du faisceau. Yu-Qingchang [1] a inclu les forces transversales de charge d'espace dans les 6quations de la dynamique des ions mais il aboutit fl des formules malais6es fl utiliser en pratique. Dans cet article nous montrons qu'il est possible d'obtenir l'6quation d'enveloppe du faisceau en d6pit de son acc616ration h condition de n~gliger les effets longitudinaux de la charge d'espace. Dans un premier temps, nous 6tablissons l'6quation d'enveloppe en supposant que la densit6 de particules dans l'espace des phases ~t quatre dimensions est une densit6 de Kapchinsky-Vladimirsky qui se projette en densit6 uniforme sur tout plan de section du faisceau, assurant ainsi la lin6arit6 des forces de charge d'espace. Ensuite nous montrons que l'6quation obtenue est aussi valable pour des faisceaux fl distribution quelconque fl condition que le rayon de l'enveloppe et l'6mittance soient d6finis en moyenne quadratique. Nous envisageons ensuite un exemple concret d'application num6rique de l'6quation d'enveloppe, exemple 0 1 6 % 5 0 8 7 / 8 3 / 0 0 0 0 - 0 0 0 0 / $ 0 3 . 0 0 © 1983 North-Holland

montrant que les effets transversaux de la charge d'espace ne sont pas n6gligeables. ( T o u s l e s exemples num6riques 6voqu6s dans cet article sont relatifs l'acc616rateur en cours de construction fl l'Institut de M6tallurgie de Shanghai). En conclusion nous discuterons bri6vement les r6sultats acquis et nous proc6derons h u n examen critique des hypotheses de calcul ayant perrnis d'obtenir l'6quation d'enveloppe.

2. Equation d'enveloppe pour un faisceau h distribution de Kapchinsky-Vladimirsky Kapchinsky et Vladimirsky [2] ont 6tabli l'6quation d'enveloppe d'un faisceau est de particules charg~es en tenant compte des effets de charge d'espaces lorsque les forces de charge d'espace sont lin~aires et que l'6nergie des particules du faisceau constante. La th6orie de Kapchinsky-Vladimirsky peut ~tre 6tendue aux faisceaux acc616r6s par des champs 61ectriques fl sym6trie de r6volution bien que l'6quation pour le mouvement individuel soit diffSrente de l'6quation correspondante pour les particules d'un faisceau d'6nergie constante. 2.1. Hypothkses de calcul. Equation des trajectoires individuelles Le syst6me d'61ectrodes ~t sym6trie de r6volution autour de l'axe Oz de la fig. 1 cr6e un potentiel V(r, z) dont la valeur sur l'axe est V(0, z ) = U(z).

Jiang Bin- Yao et aL / Equation d'enveloppe

180

¢X m

La valeur de Oz est relire au courant I transport6 par le faisceau, au rayon de l'enveloppe R ( z ) et h la vitesse longitudinale des particules 2 par la relation

--*

~

N

/0 ----0

Ez

k-

~z l=~'[R(z

Nous supposons ici que les composantes Er

OV dU E~ = - - - ~ . . . . 0z dz

r 2 U", U'

Ix E ~ c - 2~r'°[ R ( z )]2 2 .

(2)

mS~ = q ( E x + Exc),

(3)

my=q(Ey

(4)

me = qE~.

(5)

Vu la symStrie de rSvolution du probl~me, les 8quations en x et en y sont identiques et nous nous int+resserons seulement aux projections des trajectoires sur le plan x O z de la fig. I. D'aprrs l'rq. (1) on a _x E Xu,, ' E~- r "=2

(10)

(1)

du champ 81ectrique produit par les 61ectrodes ne sont pas modifi6es par la pr&ence du faisceau. Nous supp8 sons de plus, qu'en d6pit de l'acc616ration du faisceau, l'effet longitudinal de la charge d'espace est n6gligeable. Le champ ~lectrique de charge d'espace cr66 par le faisceau (qui possrde lui aussi la symrtrie de rrvolution autour de l'axe Oz) n'a qu'une composante radiale Erc calculable de la m~me maniSre que pour un faisceau d'rnergie constante. A priori il semble 16gitime de nrgliger les effets longitudinaux de la charge d'espace parce que, pour tousles types de sources envisagres, le courant total accrlrr6 n'est qu'une faible fraction (de 6 15%) du courant maximum que pourrait accSlSrer la structure si le faisceau 6tait un faisceau idSal de Pierce [3] remplissant tout l'espace compatible avec le diam~tre des 61ectrodes et off la densit8 de courant serait donnSe par la loi de Child-Langmuir. Avec les approximations prScrdentes les 6quations du mouvement individuel sont

+ Eyc),

(9)

A l'aide des 6qs. (7), (8) et (9) on trouve que la composante selon Ox du champ 61ectrique de charge d'espace est donnre par

Fig. 1. Composantes du champ ~lectrique E.

3V r d2U ~r -= 2 dz 2

)1 2 qpzz..

(6)

En substituant 6qs. (10), (6) et (2) dans les 6qs. (3) et (5) on obtient les 6quations caract+ristiques du mouvement dans la direction Ox: =

e

d2x dt z dZz dt 2

qx U" 2m

+

qlx

,

(11)

2~r%m[R(z)]2~

q U'. -m

(12)

En utilisant le procrd6 classique en optique corpusculaire [4] et en tenant compte de l'rquation de conservation de l'6nergie ~2 ~ - 2 q U / m ,

(13)

on 61imine le temps entre les 6qs. (11) et (12) pour obtenir l'rquation de la trajectoire projetee sur le plan x O z ; on trouve U' U" Ix x " + ~ - ~ x ' + ~ - ~ x + 4 ~ r % R 2 ( - 2 q U / r n ) 1/2U

O.

(14) Dans l'rq. (14) la variable indrpendante est l'abscisse z; cette 6quation ne diffrre de l'+quation classique des lentilles 61ectroniques que par l'apparition du terme de charge d'espace dans lequel le rayon de l'enveloppe du faisceau R e s t une fonction de z ~ priori inconnue. On doit aussi noter que le terme de charge d'espace est toujours nrgatif quel que soit le signe des charges acc~lrr~es: si q est positif, U est nrgatif et I e s t positif tandis que si q est nrgatif, U est positif et I e s t nrgatif. Pour 6ter toute ambiguit8 (et surtout pour faciliter les calculs numSriques) on peut 6crire ce terme sous la forme k(z)x

et

=

= -

Illx 4 ~r¢oRZl2q/rnll /2lUiS /2 •

(15)

X

Ex¢ = r E r ~ .

(7)

La valeur du champ 81ectrique de charge d'espace est obtenue ~ l'aide du th+orrme de Gauss: si p, d+signe la densit6 de particules dans le plan de section du faisceau l'abscisse z (P~ est une densit6 uniforme car la distribution de particules est du type Kapchinsky-Vladimirsky) on trouve: E ~ = qp~r/2%.

(8)

L'rq. (14) diffrre de l'rquation du mouvement individuel des particules d'un faisceau d'rnergie constante par la prrsence du terme en x'. C'est la pr&ence de ce terme qui fait que la recherche d'une +quation d'enveloppe est sensiblement diff&ente du cas classique. I1 est pourtant encore possible d'obtenir une 6quation d'enveloppe ici parce que 1'6% (14) est linraire et que le d&erminant Wronskien de ses solutions particulirres linrairement indSpendantes se calcule facilement.

Jiang Bin- Yao et aL / Equation d'enveloppe 2.2. Equation d'enveloppe pour les faisceaux 3 distribution de Kapchinsky- Vladimirsky Supposons connues f l ( z ) et f z ( z ) deux solutions lin6airement ind6pendantes de l'6q. (14) dont les valeurs l'abscisse z o = 0 sont ft (0) = 1,

f ' l (0) = 0,

f2(0) = 0,

f'2 (0) = 1,

(16)

alors les excursion et pente x ( z ) et x ' ( z ) de toute trajectoire ~ l'abscisse z sont reli6es h ses excursion et pente initiales par la relation

x'(z)J=

x'o

= fl(z)

f2(z)

f;(z)(Xo)

f~(~)

(17)

X;"

Comme le faisceau est acc616rb le d6terminant de la matrice de transfert M (c'est-h-dire le d6terminant Wronskien des fonctions fl et f2) n'est pas constant; c'est une fonction de z que l'on peut calculer h l'aide de 1'6% (14). Le calcul donne U' A ' ( z ) = -- - ~ A ( z ) .

A ( z ) = ~/Uo/U( z ) .

(19)

Ao x2 + Co x'2 - E o = 0.

(21)

le rayon de l'enveloppe 5 l'abscisse z 0 = 0 est

Ro = Ev'~GoC~,

(22)

et E 0 repr6sente l'aire de l'ellipse (20) divis6e par ~r c'est-h-dire l'6mittance du faisceau. A cause de la lin6arit6 de l'6quation des trajectoires l'6mittance ~t l'abscisse z sera limit6e par une ellipse d'6quation (fig. 2b)

A x 2 + 2 B x x ' + Cx '2 - E = 0,

(23)

dont les coefficients A, B, C et E s'obtiennent en inversant la relation matricielle (17) et en reportant les valeurs de x o e t x ' o ainsi obtenues dans l'6q. (20); le calcul donne

A = A o f ' 2 / A 2 + Cof'2/A 2,

(24)

B = - A o f 2 f ~ / A 2 - Cof, f ; / A 2,

(25)

C = Aof22/a 2 + Cof2/A2.

(26)

L'ellipse de la fig. 2b et d'6q. (23) caract6rise les propri6t6s du faisceau h rabscisse z: le rayon de l'enveloppe est donn6 par

•

x"

S=)XE I

]

/-~_i-

E=

eo A~-B

a

b

Fig. 2. (a) Emittance du faisceau h l'origine. (b) Emittance du faisceata h L'abscisse z.

(28) 2

E = AEo,

(29)

et

R(z)=

/Eo,~

Eo,~

V ~oSZ 7- A-~ j, .

(30)

On doit noter qu'en d6pit de la lin6arit6 des forces de charge d'espace l'6mittance dans le plan x , x ' n'est pas constante parce que le faisceau est acc616r6 (c'est l'aire occup6e par le faisceau dans le plan x, 5c qui se conserve). Pour obtenir l'6quation d'enveloppe il suffit maintenant d'exploiter la formule (30) qui permet de poser

k = R(z) cos ~,(z),

(31)

-~o f ' = R ( z ) sin @(z).

(32)

I Eo

obscissez

(27)

A l'aide des formules (24), (25) et (26) on peut expliciter les expressions (27) et (28); on obtient:

/o}/I';

obscisse 7-o=0

E°C AC_ B 2 '

et l'+mittance (aire de l'ellipse de la fig. 2b) vaut

(20)

En adoptant la convention habituelle de normalisation

xo

a0Co = I,

R(z) = i

Puisque nous supposons que la densit6 de particules dans l'espace des phases est du type KapchinskyVladimirsky (distribution superficielle sur un hyperellipsoide dans l'espace x, x', y , y ' ) , h route abscisse z l'6mittance du faisceau est une ellipse. Pour simplifier (mais sans changer la g6n6ralit6 des r6sultats qui vont suivre) on peut supposer que l'6mittance du faisceau l'abscisse z 0 = 0, repr6sent6e sur la fig. 2a a pour 6quation

\o /

des coefficients Ao, COet E o de l'6q. (20) c'est-~-dire

(18)

Comme A (0) = 1 l'int6gration de l'6q. (18) fournit

Ix°

181

U n e premi6re relation est fournie en 6crivant que le d6terminant Wronskien des fonctions fl et f2 tir6es des

Jiang Bin- Yao et al. / Equation d'enveloppe

182

eqs. (31) et (32) est 6gal h Ace qui donne d4~

tique des coordonnees x par la relation

AEo

dz

(33)

[R(z)]~

Finalement l'6quation differentielle satisfaite par R ( z ) est obtenue en 6crivant que f) donnee par l'eq. (33) est une solution particuliere de l'equation des trajectoires (14): en calculant f~ et f;' compte tenu d'eq. (33) l'equation des trajectoires fournit

]

U'/2U par

-A'/A

on

voit que les termes en sin q, disparaissent et que, par consequent, la variable ~ s'elimine et l'~q. (34) devient

U'

,

n etant le hombre de particules (suppose grand) contenues dans la tranche de faisceau comprise entre les abscisses z et z + dz. Les derivations de l'6q. (37) par rapport au temps fournissent x 2=. __2x2' x 2= 2 ~ ,

=2 (34)

Rcos0=0.

Si dans l'6q. (34) on remplace

V"

a2E°

R"+TL;R + ~ R -

R--5--

k(z)R=0.

(37)

n i

(38)

Le terme x2 peut 8tre calculh ~ l'aide de l'equation du mouvement individuel

U' U' aEo + 2 U R' cos 4' + 2 ~ R sin q,

-4~-k(z)

% E x , ~,

~=~c2+~-~.

A2Eo A 'E o R" cos q, - R 7 - cos ,# + ~ sin 4~

+

~=

(35)

xv,,(z)+

Exc

(39)

En combinant 6q. (39) et les formules (38) nous obtenons l'equation

~x2=*e+ ~m v"( z );~+ -q~x~ m

(40)

Dans 6q. (40) le terme Ace peut ~tre 61imin6 grace ~ la definition de l'emittance en moyenne quadratique [5] e 2 = 16[x222

~

2]

L ' e q u a t i o n de Kapchinsky gen~ralisee pour un faisceau

accelere par un champ electrique ~ symetrie de revolution s'ecrit donc en rempla~ant dans eq. (35) k ( z ) par sa valeur et A par eq. (19): v' R" + ~R -

u" Voeg '+~R

UR 3

Ill -

-

- 0.

(36)

= 1622[X2X'2--(X~')2] = ~_2E2,

(41)

que nous supposerons constante (cette condition est plus restrictive que l'hypothese de Sacherer [6] concernant les faisceaux d'energie constante off l'6mittance peut ~tre soit constante soit une fonction du temps connue a priori). La combinaison des 6qs. (40) et (41) donne

4rr%12q/mll/ZlUl3/ZR L'integration numerique de l'eq. (36) fournit toutes les caracteristiques de faisceau (rayon de l'enveloppe R, pente de l'enveloppe R' et emittance E) lorsqu'on connait ces caracteristiques ~ l'origine ainsi que la loi de potentiel U(z) sur l'axe du champ accSlerateur.

, 7.. -

~2+ 16x 2

~ __ : x2

+ q U,,(z)~+qV~c. 2m

m ---~

(42)

Le rayon de l'enveloppe en moyenne quadratique est defini par R = 2~/~-,

(43)

qui, par derivation par rapport au temps fournit 3. E q u a t i o n d ' e n v e i o p p e p o u r u n f a i s e e a u ~ d e n s i t ~ n o n uniforme

Les premieres mesures effectuees sur les sources d' ions dejh disponibles ~ l'Institut de Metallurgie de Shanghai indiquent que la densite dans la section des faisceaux qu'elles delivrent n'est pas uniforme (cette densite semble h peu pres parabolique); par consequent une generalisation des resultats precedents est necessaire. Cette generalisation est possible en faisant appel aux definitions d'emittance et de rayon d'enveloppe en moyenne quadratique introduites par Lapostolle [5] et en adaptant au casque nous considerons ici une methode de calcul suggeree par Sacherer [6,7]. A l'abscisse z nous definissons la moyenne qnadra-

(44)

X 2 = ~lk2 + ½gl/~.

A l'aide des formules (44), (43) et (38) on montre que l'eq. (42) devient 2 q~ 4 q xE~ R= R cx3 + 2 m U , , ( z ) R + _ _ _m _ (45) R Dans l'hypothese oh le champ 61ectrique de charge d'espace peut 8tre calcule de la meme maniere que le champ cree par un faisceau d'energie constante, le terme xE~c s'evalue comme l'a indiqu6 Sacherer [6,7]: on a E.

--

XE r

rc

_ q x (0 ~

£

rPz

(r)dr,

x<,,=--j~ q t2~ j,r ~ cos~Oo.(~)rdrdOfo~r&(r)dr. " "

%Xz

o

o

(46)

Jiang Bin-Yao et al. / Equation d'enveloppe D a n s l'rq. (46) o~(r) est la densit6 de particules d a n s la section du faisceau/l l'abscisse z et N~ drsigne le n o m b r e de particules p a r unit6 de longueur du faisceau /t l'abscisse z c'est-h-dire N= = 2

~fo~p~( r ) rd r.

183

-U enkV ionsocceteresAr÷

600

63'5kV

/

/

/

500

Ii

II

,

1

(47)

1

J

....

Le calcul de l'6q. (46) ~ l'aide de la drfinition (47) et de l ' r q u a t i o n de conservation du courant I I I = N:lq[2 = N~q 2 q 1/2lUll/2 '

(48)

200100

(49)

o

I

1

fournit Ill . 8~r%12q/mll/21UI 1/2

Q u a n d on a report6 l'6q. (49) dans l'rq. (45), deux o p r r a t i o n s restent a effectuer p o u r obtenir l ' r q u a t i o n d ' e n v e l o p p e en m o y e n n e quadratique: a) remplacer c x2 p a r l'6q. (42): 2

Ift

35kV

xExc= -

~ =

~

22E2_ •2 2 _

zoE o =

2qUo

-

- -m Eo;

b) prendre z pour variable i n d r p e n d a n t e : R = R,,kz + R,2-=

2qUR,,_q~U,R," rn rn

Ces o p r r a t i o n s t r a n s f o r m e n t l'rq. (45) en

R" + 5-~R' + T~R

un3

ltl

4~r%12q/ml~/~IUl3/~R

= 0,

(50)

qui est strictement identique fl l ' r q u a t i o n d ' e n v e l o p p e o b t e n u e p o u r u n faisceau "3 distribution de Kapchinsky. Par cons6quent, p o u r u n faisceau /~ distribution quelc o n q u e l'6quation d ' e n v e l o p p e o b t e n u e au p a r a g r a p h e p r r c r d e n t reste valable pourvu que les caract6ristiques du faisceau soient d6finies en m o y e n n e quadratique. N o t o n s tout de suite que l ' r q u a t i o n d ' e n v e l o p p e a 6t6 o b t e n u e grgace ~ des h y p o t h r s e s simplificatrices concern a n t le m o d e de calcul du c h a m p de charge d'espace. N o u s allons pr6senter m a i n t e n a n t u n exemple d'application de l ' r q u a t i o n d ' e n v e l o p p e et revenir, en conclusion, sur les hypothrses de calcul.

4. Exemple d'application A titre d'exemple, l ' r q u a t i o n d ' e n v e l o p p e a 6t6 i n t r g r r e p o u r un faisceau d'ions A r + d o n t les caractrristiques h l'injection sont R o = 1,5 m m E 0 = 2,775 × 10 -5 m . r a d et d o n t l'intensit6 est de 300/~A. L'6nergie d'injection est de 35 keV et l'6nergie finale est 635 keV. Le tube a c c r l r r a t e u r 6tant drjh construit on dispose des valeurs mesurres du potentiel sur l'axe [8] mais plut6t

sbo

~

Isbo

2ooo ....

Fig. 3. Reprrsentation du potentiel U(z) de l'accrlrrateur en cours de construction h l'Institut de Mrtallurgie de Shanghai.

que d'introduire n u m r r i q u e m e n t d a n s le p r o g r a m m e de calcul les valeurs mesurres "3 intervalles r6guliers de U ( z ) nous avons choisi de p r e n d r e un modble analytique pour cette fonction: cela 6vite le problbme d61icat des d r r i v a t i o n s n u m r r i q u e s successives. Le mod6le choisi est repr6sent6 sur la fig. 3. D a n s ce m o d r l e l'rnergie des ions est constante et 6gale '3 35 keV p o u r 0~
U(z)

= Uo + ~ C o ( Z

X

(

E0(z-z,)

- Zl) + -

-

a 1Z-Zl) - + tgz-z I a

q7

,

(51)

qui ne reprrsente bien le potentiel sur l'axe que pour z<~z z. D a n s la formule (51) C 0 drsigne le c h a m p acc616rateur: C 0 = 349,85 k V / m , a d6sign6 le rayon de l'61ectrode d'entr6e du tube acc616rateur: a = 57 m m et

Vo= 35 kV. I1 faut rioter qu'avec notre modble U ' ( z ) est discontinue en z = Z1 et z = z z. Par cons6quent en z = z 1 et z = z z U " ( z ) peut 6tre remplacre p a r - C 0 6 ( z - z l ) et +Cor(Z-Z2) respectivement. L'action i n t r g r r e du c h a m p transversal symbolis6 p a r le terme en U " de l ' r q u a t i o n d ' e n v e l o p p e est prise en consid6ration dans nos calculs en plaqant en z I e t z 2 des lentilles minces de distances focales F l e t F 2 calculres grace fl:

± =f=,+, F~

Coa(Z- ~,)

J~,_,

4U(z) C0

4U(Zl)

dz C0

- 4 ' f ' z ~ '(l ; I

)

(52)

Jiang Bin- Yao et al. / Equation d'enveloppe

184

5. Conclusion

R en mm

zl

500

1000

1500

zz 2000

z enmm

Fig. 4. Variation du rayon d'enveloppe du faisceau calcul6 pour I = 300/~A (courbe 1) et pour I = 0 (courbe 2).

~=

~2-'

E0

4U(z)

dz

E0

(53)

Le passage par les abscisses z~ et z 2 se traduit par une variation brusque de la pente de l'enveloppe de AR' = -R(q)/6 en z I et de A R ' = - R ( z 2 ) / F 2 en z z. Les r6sultats de l'int6gration de l'6quation d'enveloppe sont pr6sent6s sur la fig. 4. Sur cette figure la courbe 1 correspond au courant I = 300 I~A tandis que la courbe 2 correspond ~ I = 0 (les effets de charge d'espace sont n6glig6s). Les r6sultats montrent qu'en d6pit de la faible valeur du courant acc616r6 les effets de charge d'espace sont sensibles: la charge d'espace double le rayon d'enveloppe en fin d'acc61+ration. Dans l'exemple pr6sent6 ici l'importance des effets de charge d'espace est surtout due h la faible valeur du rayon initial et ~t la faible valeur de l'6nergie d'injection. Sur les courbes de la fig. 4 on remarquera aussi les changements de pente de l'enveloppe en z~ et z2, changements surtout sensibles en z~ car avec les donn6es num6riques ci-dessus on trouve F 1 ---40 cm et F2 =- 7,26 m. L'exemple pr6sent6 ici incite t~ penser que dans les probl6mes d'acc616ration de faisceau d'ions lourds utilis6s pour les implantations d'ions il est prudent d'estimer les effets de charge d'espace m~me si les courants acc+16r6s sont faibles. L'6quation d'enveloppe 6tablie ici permet une estimation rapide de ces effets, en d6pit des approximations qui ont permis de l'6tablir. Une am61ioration possible des calculs th6oriques est discut6e en conclusion.

Dans cet article nous avons montr6 que l'on peut obtenir l'6quation d'enveloppe d'un faisceau de particules charg6es acc616r6 par un champ 6lectrique sym6trie de rbvolution, la densit6 de particules dans la section du faisceau brant uniforme ou non. A l'aide d'un exemple nous avons montr6 que les effets de charge d'espace ne sont pas n6gligeables en g~n6ral dans les probl6mes que nous consid6rons. Ils peuvent devenir s6rieux pour les ions lourds (Bi + par exemple) pour lesquels l'6nergie finale prbvue est de 230 keV seulement car leur importance, symbolis6e par le terme en k (z) de l'6q. (36) ou (50) varie c o m m e m 1 /2 et IUI 3/2. Cette remarque sugg6re la reprise des calculs effectu6s ici en y incluant Faction d'un champ magn6tique h sym6trie de r6volution dont le r61e focalisant pourrait compenser I'effet divergent de la charge d'espace. Parall61ement h ce travail un programme de simulation [9] susceptible de fournir des renseignements pr6cis sur les distributions de particules dans la section du faisceau et dans les ~mittances a 6t~ adapt6 ~ la situation physique d6crite ici. L'intbgration de l'6quation d'enveloppe permet de d6terminer jusqu'~t quelle 6nergie les effets de charge d'espace sont sensibles ce qui donne une indication pr6cieuse pour l'utilisation rationnelle du programme de simulation. L'6quation d'enveloppe a 6t6 6tablie a l'aide d'hypoth6ses de calcul que nous avons partiellement justifi6es. L'hypoth~se la plus critiquable nous semble ~tre celle selon laquelle le champ de charge d'espace peut 6tre calcul6 comme si le faisceau n'6tait pas acc616r6. Actuellement une 6tude est en cours pour savoir dans quelle mesure cette hypoth6se se justifie. Cette 6rude consiste h calculer le coefficient

Si a ( z ) n'est jamais trop diff6rent de 1 l'6quation d'enveloppe (50) peut ~tre conserv6e sinon elle devra ~tre modifi6e par simple multiplication du terme k ( z ) par a ( z ) . Cette modification pourrait ~tre effectu6e en introduisant la loi a ( z ) soit sous forme analytique soit sous forme num6rique selon que N~(z) [qui doit 6tre compatible avec le loi U(z)] permette un calcul analytique ou simplement num6rique. Ce travail a 6t6 r6alis6 h Shanghai en M a i - J u i n 1982 au cours d'une session de travail organis6e par l'Acad6mie des Sciences Chinoise. Nous tenons ~ remercier ici les responsables de cette Acad6mie ainsi que les chercheurs des divers Instituts et Universit6s qui y ont particip& Nous exprimons notre gratitude h Monsieur Liu Dao-Yu, Recteur de l'Universit6 de Wuhan, qui a 6t6 l'instigateur discret et efficace d'une collaboration scientifique fructueuse; au Prof. Chiang Hsin-Yuan de l'In-

Jiang Bin- Yao et al. / Equation d'enveloppe

stitut de m6tallurgie de Shanghai qui a eu la responsabilit6 de l'organisation du travail; au Prof. A. Durand, Directeur du Laboratoire de Th6orie des Syst6mes Physiques, ainsi qu'/t G. Besnier et D. Thouroude (Universit6 de Rennes) pour leur aide /t la raise en forme d6finitive de cet article.

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