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Équations d'ondes quasi-linéaires et effet dispersif
5. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, S&ie I, p. 117-l 20, 1999 Equations aux dCriv6es partielleslfartial Differential Equations
Equations Hajer
BAHOURI
a Dbpartement Courriel ’ Analyse France Courriel (ReCu
d’ondes
quasi-linhires
a, Jean-Yves
de mathkmatiques, : [email protected] numkique,
case
CHEMIN
facultk
187,
Universitb
et effet dispersif
b
de sciences
de Tunis,
1060
Pierre-et-Marie-Curie,
Tunis,
4, place
Tunisie Jussieu,
75230
Paris
cedex
05,
: [email protected] et
RCsumC.
accept6
le
10
mai
1999)
Dans cette Note, notre but est de resoudre des equations d’ondes quasi-lidaires pour des donnees initiales moins regulieres que ce qu’imposent les methodes d’energie. Pour ce faire, il faut demontrer des estimees de type Strichartz pour des operateurs d’ondes 2 coefficients seulement lipschitziens. Nous ameliorons les indices de regularite obtenus dans [l]. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris Quasilinear
Abstract.
wave equations
and dispersive
efSect
In this Note, our aim is the proof of local wellposedness for quasilinear wave equations for initial data less regular than what is required by energy method. This implies to prove Strichartz type estimates for wave operators whose coeficients are only lipschitz. We improve the index of regularity obtained in [ 11. 0 Academic des SciencesMsevier,
Paris
1. Introduction
et CnoncC du thCor&me
On Ctudie l’kquation
des ondes quasi-linkaire suivante : +A - AU - 8. (G(u) . 8~) = Q(Vu, Vu)F(u),
(El
(u,
oti l’on a posC d f (G .a~) dzf
=
8, (G~)“&u),
C l
&+o
(uo,
w),
et oti Q dCsigne une for-me quadratique sur Wlfd,
k
et F et G deux fonctions de D(R). De plus, on suppose que G est nulle en 0, prend ses valeurs dans un compact convexe K tel que Id+ K soit inclus dans le cone des matrices symetriques dkfinies positives. L’Cquation (E) est localement bien posCe lorsque (uo, ~1) E H” x H”-l avec s > d/2 + 1. Si G = 0, c’est-a-dire dans le cas dit semi-lidaire, l’equation (E) ci-dessus est bien poke pour des donnCes dans H” x H”-l avec s > & avec sd = (d + 1)/2 si d 2 3 et sz = 7/4 (voir [7]). Dans [6], Note prCsentCe par Jean-Michel 0764-4442/99/03290117
0 Acadkmie
BONY.
des SciencesMsevier,
Paris
117
H.
Bahouri,
J.-Y.
Chemin
H. Linblad montre que, pour d = 3, le problbme (E) avec G = 0 est ma1 pose dans H*. Lorsque G $ 0, nous obtenions dans [l] le theoreme suivant : 1. - D@inissons l’indice Zd par :
THBORBME
d&f d 3 & = 5 + 2 si d 2 3,
d&f 15 et F2 = - = 8
Soit (ILO,~1) une don&e initiale dans H” x H”-l avec s > &, il existe alors un temps T strictement positif tel qu’il existe une unique solution u telle que
u E L”([O, T] ; H”) n Lip([O, T] ; H’-‘)
et Vu E L*([O, T] ; L”).
Ce theoreme a CtC demontre d’une manibre differente de la notre par D. Tataru dans [SJ. Nous avons ameliore ce resultat de la maniere suivante : 2. - Dt;finissons l’indice sd par
TH~O&ME d&f
d
1
sd = 5 + - + ,oO avec ,oO= 2
7-a 7 si d 2 3 et s2 = 4 + b. avec ,& = 4
4-a
d&f
2
Soit (UO, ~1) une donnke initiale dans H” x H”-l positif tel qu’il existe une solution u telle que
.
avec s > sd, il existe alors un temps T strictement
u E L”( [0, T] ; H”) n Lip( [0, T] ; HsP1) et Vu E L*( [0, T] ; L”). L’indice pa est strictement inferieur a l/5 et l’indice POstrictement inferieur a 1/9.11s sont solutions d’tquations du second degre et semblent optimaux pour la methode utilisee. 2. Quelques
idCes de demonstration
Les details de la preuve sont donnes dans [2]. Nous devrons regulariser la fonction G(u) a la fois en espace et en temps. Pour cela, on tronque en temps en introduisant une fonction 19de 27(] - 1, l[) telle que 8 vaille 1 p&s de [-l/2,1/2], et en considerant l’equation 8,“~ - Au - B(QT+)G(u)
. &A) = B(T+)Q(Vu,
Vu)&‘(u),
(ET) (u,
{
&U>l,=O
=
(uo,
Ul),
Resoudre l’tquation (ET) sur l’intervalle [-T, T] ou bien globalement revient au m$me et une solution de (ET) est solution de (E) sur l’intervalle [-T/2, T/2]. Notations. - G, designe une fonction localement bomee de ]]r]] + et
N$“(Y) +if IhllH++++a+ TpoIl~ll~s~+~si
d 2 3, et N$‘“(y)
dzf IIYII~~+~ + TPoII~IIHs2+~.
TH~O&ME 3. - Si d > 3, pour tout c~ > 0, il existe C, telle que, si Ti+“N$“(y) 5 CT’, alors il existe une unique solution UT de (ET) telle que VuT E CE(W ; HSd+(Y-l) n Lfo,(R ; L”). Si d = 2, il existe C, telle que, si Ta+Q N$” (7) 5 cyl, abrs il existe une unique solution UT de (ET) telle que VuT E CE(W ; Hs2+a-1) n L4(R ; L”).
On definit la suite (u$?‘) Ned par le premier terme u(O) r qui est solution de l’equation des ondes lint%-e avec donnees (5’0~0, Saul) et par la relation de recurrence suivante : &$+l)
_ Aub+l) T
- a(B(T-‘.)G(u$))
. &A$?+~)) = B(T+)Q(Vu$),
(“g+l)> &ug+l)),t=o 118
= (&+1uo,
Sn+lUl).
Vu&?‘) I+$?)),
iquations
d’ondes
quasi-lin6aires
et effet dispersif
On dCfinit alors le pridicat (Pg) suivant : - si d 2 3, alors, pour tout r6el strictement positif CX,il existe C, telle que l’on ait :
- si d = 2, alors, pour tout r6el strictement positif a, il existe C, telle que l’on ait
IIV&ll,4(,;,,)I c,T”+“Ngyy), Il~F)IILm(R;H”Zf~) 5 wh2+~.
(Pn>
Si l’on dCmontre que (P,) implique (Pn+l), a1ors la demonstration du thbor&me 3 est un exercice classique. Le thCor&me 3 doit Ctre compris comme une estimation de Stichartz pour des Cquations B coefficients variables et t&s peu rkguliers (v&r [4] pour les coefficients indkfiniment diffkrentiables, et [9] pour les coefficients W). La dkmonstration repose sur des techniques de localisation dans l’espace des frt5quences. Soit cp une fonction de D(W \ (0)) telle que CqGz (p(2F47-) = 1. On pose alors : % dzf A,u dAf .F1((p(2Tql
et St+d~ =
c ~~~+d((p(2-qI(~,J)I)~~l+d~). dn-1
(voir [3]) dans l’esprit de [5] donne le lemme suivant :
LEMME 1. - I1 existe une constante C, telle que, sous l’hypothdse (P,) et si T++“N$‘“(r) fonction ~?4+~’ soit, pour un quelconque 6 de l’intervalle [0, 11, solution de l’e’quation
@PPT,q >
a2u("+1) -AUF;" t T,q
- dq(2-q1q)
. (s~S(e(T-l$+$‘))
’ a?$,“‘) vup ,
< C,, la
= fiT,q(+
(n+l) Ita) = YP ’
avec ST>& 9 b dzf S~t;f~l-6) ,0g, T-N o b, @ E D(W \ (0)) valant 1 pr& de Supp,cp et IIRT,q(n)llLgcLz,
5 Cr2N02-q~(2qT)-(“-f-4+6) x T(“-“-+)llrll~s
N?“(y)
+ IIVu$+)I),+(,,)
+ &).
Le thCo&me suivant se dCmontre en construisant une parametrice approchCe de (EPPT,~) en suivant la mCthode de Hadamard, l’indice /3 &ant 1iC au temps de vie de 1’Cquation eikonale. THI?ORI?ME 4. - I1 existe une constante C telle que, si No est asset grand et si vq est, sur I4 dzf [t;, t$] avec t$ - t; 5 T(2QT)-fl avec ,L?= 6(1 - i(sd - t)), une solution de
a&, - Av, - a(p(2-qlDI)
. (SqT)6(@(T-1.)C(~))
WPq)
. 6(2-‘D&q) VU qt=t;
= % = Yq,
on ait, si SuppTq et Supp Fq c 2qC, les estimations suivantes :
IIWllL:*(L-,
< - C,T”2q(q+“)
IlwlL:q(L-)
<- ~‘2’~ ( IMIL~ + IlJ’;,ll~;~~,,))
(
ll~qllLz + IIFqljL;g(Lz,)
si d 2 3 et si d=2.
119
H.
Bahouri,
J.-Y.
Chemin
Prenons sd = $ + $j - fi - g et s,j = kj + i + $. Ainsi done, on choisit ,8 = 1 - 6. Cornme, si d 2 3, la definition de pa et quelques calculs Clementaires impliquent que 0 = 2p. et que pa doit etre solution de l’equation 4X2 - 16X + 3 = 0 ; on trouve ainsi la valeur annoncee de pa. Soit (I{) o<~<[(~~T)PI une partition de l’intervalle [O,T] en [(2%!‘)p] + 1 intervalles de longueur -inferieur ou Cgale a 2’(2’T-0. Pour d 2 3, le theoreme 4 implique que, pour tout j, on a :
Les intervalles 1; formant une partition de [0, T], on obtient apt-es elevation au cart-e et sommation des inegalites ci-dessus que
pu$:‘ql&~)
I
C,T2”24(d-1+2*)((2pT)411vu~:1)I/~T*(r..)
+ T(2’T)-~IIRT,,(n.)lI~:o).
Le lemme 1 applique avec S = Sd + 2o entraine alors que
d’ou la : PROPOSITION 1. - Sous l’hypoth&se (P,) et si 24 est assez grand et T assez petit, pour tout cx > 0, il existe C, telle que
Les basses frequences se traitent aisement et l’on obtient alors (pn+r) par sommation en 4.
RCf&ences bibliograpbiques [l] [2] [3] [4] [5] [6] [7] 181 [9]
Bahouri H., Chemin J.-Y., InCgalitCs de Strichartz et equations d’ondes quasi-lineaires, Seminaire Equations aux D&iv&es Partielles de 1’Ecole polytechnique, 1997-1998; Amer. J. Math. (a paraitre). Bahouri H., Chemin J.-Y., Equations d’ondes quasi-lineaires et effet dispersif, Prepublication du Laboratoire d’analyse numerique, Universite Paris VI. Bony J.-M., Calcul symbolique et propagation des singular& pour les equations aux dtrivees partielles non lintaires, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 14 (1981) 209-246. Kapitanski L., Some generalization of the Strichartz-Brenner inequality, Leningrad Math. J. 1 (1990) 693-721. Lebeau G., Singularin% de solutions d’equations d’ondes semi-lineaires, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 25 (1992) 201-231. Lindblad H., A sharp counterexample to local existence of low regularity solutions to nonlinear wave equations, Duke Math. J. 72 (1993) 503-539. Ponce G., Sideris T., Local regularity of nonlinear wave equations in three space dimensions, Commun. Partial Differ. Eq. 18 (1993) 169-177. Tataru D., Strichartz estimates for operators with nonsmooth coefficients and the nonlinear wave equation, Prepublication. Smith H., A parametrix construction for wave equation with C’,l coefficients, Ann. Inst. Fourier 48 (1998) 797-835.
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Equations Hajer
BAHOURI
a Dbpartement Courriel ’ Analyse France Courriel (ReCu
d’ondes
quasi-linhires
a, Jean-Yves
de mathkmatiques, : [email protected] numkique,
case
CHEMIN
facultk
187,
Universitb
et effet dispersif
b
de sciences
de Tunis,
1060
Pierre-et-Marie-Curie,
Tunis,
4, place
Tunisie Jussieu,
75230
Paris
cedex
05,
: [email protected] et
RCsumC.
accept6
le
10
mai
1999)
Dans cette Note, notre but est de resoudre des equations d’ondes quasi-lidaires pour des donnees initiales moins regulieres que ce qu’imposent les methodes d’energie. Pour ce faire, il faut demontrer des estimees de type Strichartz pour des operateurs d’ondes 2 coefficients seulement lipschitziens. Nous ameliorons les indices de regularite obtenus dans [l]. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris Quasilinear
Abstract.
wave equations
and dispersive
efSect
In this Note, our aim is the proof of local wellposedness for quasilinear wave equations for initial data less regular than what is required by energy method. This implies to prove Strichartz type estimates for wave operators whose coeficients are only lipschitz. We improve the index of regularity obtained in [ 11. 0 Academic des SciencesMsevier,
Paris
1. Introduction
et CnoncC du thCor&me
On Ctudie l’kquation
des ondes quasi-linkaire suivante : +A - AU - 8. (G(u) . 8~) = Q(Vu, Vu)F(u),
(El
(u,
oti l’on a posC d f (G .a~) dzf
=
8, (G~)“&u),
C l
&+o
(uo,
w),
et oti Q dCsigne une for-me quadratique sur Wlfd,
k
et F et G deux fonctions de D(R). De plus, on suppose que G est nulle en 0, prend ses valeurs dans un compact convexe K tel que Id+ K soit inclus dans le cone des matrices symetriques dkfinies positives. L’Cquation (E) est localement bien posCe lorsque (uo, ~1) E H” x H”-l avec s > d/2 + 1. Si G = 0, c’est-a-dire dans le cas dit semi-lidaire, l’equation (E) ci-dessus est bien poke pour des donnCes dans H” x H”-l avec s > & avec sd = (d + 1)/2 si d 2 3 et sz = 7/4 (voir [7]). Dans [6], Note prCsentCe par Jean-Michel 0764-4442/99/03290117
0 Acadkmie
BONY.
des SciencesMsevier,
Paris
117
H.
Bahouri,
J.-Y.
Chemin
H. Linblad montre que, pour d = 3, le problbme (E) avec G = 0 est ma1 pose dans H*. Lorsque G $ 0, nous obtenions dans [l] le theoreme suivant : 1. - D@inissons l’indice Zd par :
THBORBME
d&f d 3 & = 5 + 2 si d 2 3,
d&f 15 et F2 = - = 8
Soit (ILO,~1) une don&e initiale dans H” x H”-l avec s > &, il existe alors un temps T strictement positif tel qu’il existe une unique solution u telle que
u E L”([O, T] ; H”) n Lip([O, T] ; H’-‘)
et Vu E L*([O, T] ; L”).
Ce theoreme a CtC demontre d’une manibre differente de la notre par D. Tataru dans [SJ. Nous avons ameliore ce resultat de la maniere suivante : 2. - Dt;finissons l’indice sd par
TH~O&ME d&f
d
1
sd = 5 + - + ,oO avec ,oO= 2
7-a 7 si d 2 3 et s2 = 4 + b. avec ,& = 4
4-a
d&f
2
Soit (UO, ~1) une donnke initiale dans H” x H”-l positif tel qu’il existe une solution u telle que
.
avec s > sd, il existe alors un temps T strictement
u E L”( [0, T] ; H”) n Lip( [0, T] ; HsP1) et Vu E L*( [0, T] ; L”). L’indice pa est strictement inferieur a l/5 et l’indice POstrictement inferieur a 1/9.11s sont solutions d’tquations du second degre et semblent optimaux pour la methode utilisee. 2. Quelques
idCes de demonstration
Les details de la preuve sont donnes dans [2]. Nous devrons regulariser la fonction G(u) a la fois en espace et en temps. Pour cela, on tronque en temps en introduisant une fonction 19de 27(] - 1, l[) telle que 8 vaille 1 p&s de [-l/2,1/2], et en considerant l’equation 8,“~ - Au - B(QT+)G(u)
. &A) = B(T+)Q(Vu,
Vu)&‘(u),
(ET) (u,
{
&U>l,=O
=
(uo,
Ul),
Resoudre l’tquation (ET) sur l’intervalle [-T, T] ou bien globalement revient au m$me et une solution de (ET) est solution de (E) sur l’intervalle [-T/2, T/2]. Notations. - G, designe une fonction localement bomee de ]]r]] + et
N$“(Y) +if IhllH++++a+ TpoIl~ll~s~+~si
d 2 3, et N$‘“(y)
dzf IIYII~~+~ + TPoII~IIHs2+~.
TH~O&ME 3. - Si d > 3, pour tout c~ > 0, il existe C, telle que, si Ti+“N$“(y) 5 CT’, alors il existe une unique solution UT de (ET) telle que VuT E CE(W ; HSd+(Y-l) n Lfo,(R ; L”). Si d = 2, il existe C, telle que, si Ta+Q N$” (7) 5 cyl, abrs il existe une unique solution UT de (ET) telle que VuT E CE(W ; Hs2+a-1) n L4(R ; L”).
On definit la suite (u$?‘) Ned par le premier terme u(O) r qui est solution de l’equation des ondes lint%-e avec donnees (5’0~0, Saul) et par la relation de recurrence suivante : &$+l)
_ Aub+l) T
- a(B(T-‘.)G(u$))
. &A$?+~)) = B(T+)Q(Vu$),
(“g+l)> &ug+l)),t=o 118
= (&+1uo,
Sn+lUl).
Vu&?‘) I+$?)),
iquations
d’ondes
quasi-lin6aires
et effet dispersif
On dCfinit alors le pridicat (Pg) suivant : - si d 2 3, alors, pour tout r6el strictement positif CX,il existe C, telle que l’on ait :
- si d = 2, alors, pour tout r6el strictement positif a, il existe C, telle que l’on ait
IIV&ll,4(,;,,)I c,T”+“Ngyy), Il~F)IILm(R;H”Zf~) 5 wh2+~.
(Pn>
Si l’on dCmontre que (P,) implique (Pn+l), a1ors la demonstration du thbor&me 3 est un exercice classique. Le thCor&me 3 doit Ctre compris comme une estimation de Stichartz pour des Cquations B coefficients variables et t&s peu rkguliers (v&r [4] pour les coefficients indkfiniment diffkrentiables, et [9] pour les coefficients W). La dkmonstration repose sur des techniques de localisation dans l’espace des frt5quences. Soit cp une fonction de D(W \ (0)) telle que CqGz (p(2F47-) = 1. On pose alors : % dzf A,u dAf .F1((p(2Tql
et St+d~ =
c ~~~+d((p(2-qI(~,J)I)~~l+d~). dn-1
(voir [3]) dans l’esprit de [5] donne le lemme suivant :
LEMME 1. - I1 existe une constante C, telle que, sous l’hypothdse (P,) et si T++“N$‘“(r) fonction ~?4+~’ soit, pour un quelconque 6 de l’intervalle [0, 11, solution de l’e’quation
@PPT,q >
a2u("+1) -AUF;" t T,q
- dq(2-q1q)
. (s~S(e(T-l$+$‘))
’ a?$,“‘) vup ,
< C,, la
= fiT,q(+
(n+l) Ita) = YP ’
avec ST>& 9 b dzf S~t;f~l-6) ,0g, T-N o b, @ E D(W \ (0)) valant 1 pr& de Supp,cp et IIRT,q(n)llLgcLz,
5 Cr2N02-q~(2qT)-(“-f-4+6) x T(“-“-+)llrll~s
N?“(y)
+ IIVu$+)I),+(,,)
+ &).
Le thCo&me suivant se dCmontre en construisant une parametrice approchCe de (EPPT,~) en suivant la mCthode de Hadamard, l’indice /3 &ant 1iC au temps de vie de 1’Cquation eikonale. THI?ORI?ME 4. - I1 existe une constante C telle que, si No est asset grand et si vq est, sur I4 dzf [t;, t$] avec t$ - t; 5 T(2QT)-fl avec ,L?= 6(1 - i(sd - t)), une solution de
a&, - Av, - a(p(2-qlDI)
. (SqT)6(@(T-1.)C(~))
WPq)
. 6(2-‘D&q) VU qt=t;
= % = Yq,
on ait, si SuppTq et Supp Fq c 2qC, les estimations suivantes :
IIWllL:*(L-,
< - C,T”2q(q+“)
IlwlL:q(L-)
<- ~‘2’~ ( IMIL~ + IlJ’;,ll~;~~,,))
(
ll~qllLz + IIFqljL;g(Lz,)
si d 2 3 et si d=2.
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H.
Bahouri,
J.-Y.
Chemin
Prenons sd = $ + $j - fi - g et s,j = kj + i + $. Ainsi done, on choisit ,8 = 1 - 6. Cornme, si d 2 3, la definition de pa et quelques calculs Clementaires impliquent que 0 = 2p. et que pa doit etre solution de l’equation 4X2 - 16X + 3 = 0 ; on trouve ainsi la valeur annoncee de pa. Soit (I{) o<~<[(~~T)PI une partition de l’intervalle [O,T] en [(2%!‘)p] + 1 intervalles de longueur -inferieur ou Cgale a 2’(2’T-0. Pour d 2 3, le theoreme 4 implique que, pour tout j, on a :
Les intervalles 1; formant une partition de [0, T], on obtient apt-es elevation au cart-e et sommation des inegalites ci-dessus que
pu$:‘ql&~)
I
C,T2”24(d-1+2*)((2pT)411vu~:1)I/~T*(r..)
+ T(2’T)-~IIRT,,(n.)lI~:o).
Le lemme 1 applique avec S = Sd + 2o entraine alors que
d’ou la : PROPOSITION 1. - Sous l’hypoth&se (P,) et si 24 est assez grand et T assez petit, pour tout cx > 0, il existe C, telle que
Les basses frequences se traitent aisement et l’on obtient alors (pn+r) par sommation en 4.
RCf&ences bibliograpbiques [l] [2] [3] [4] [5] [6] [7] 181 [9]
Bahouri H., Chemin J.-Y., InCgalitCs de Strichartz et equations d’ondes quasi-lineaires, Seminaire Equations aux D&iv&es Partielles de 1’Ecole polytechnique, 1997-1998; Amer. J. Math. (a paraitre). Bahouri H., Chemin J.-Y., Equations d’ondes quasi-lineaires et effet dispersif, Prepublication du Laboratoire d’analyse numerique, Universite Paris VI. Bony J.-M., Calcul symbolique et propagation des singular& pour les equations aux dtrivees partielles non lintaires, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 14 (1981) 209-246. Kapitanski L., Some generalization of the Strichartz-Brenner inequality, Leningrad Math. J. 1 (1990) 693-721. Lebeau G., Singularin% de solutions d’equations d’ondes semi-lineaires, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 25 (1992) 201-231. Lindblad H., A sharp counterexample to local existence of low regularity solutions to nonlinear wave equations, Duke Math. J. 72 (1993) 503-539. Ponce G., Sideris T., Local regularity of nonlinear wave equations in three space dimensions, Commun. Partial Differ. Eq. 18 (1993) 169-177. Tataru D., Strichartz estimates for operators with nonsmooth coefficients and the nonlinear wave equation, Prepublication. Smith H., A parametrix construction for wave equation with C’,l coefficients, Ann. Inst. Fourier 48 (1998) 797-835.
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