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Etude du flux a la paroi a l'aval d'une source lineaire de chaleur placee dans une couche limite turbulente se developpant au-dessus d'une plaque plane lisse et isotherme
LEITERS IN HEAT AND M~SS TRANSFER 0094-4548/79/0101-0045502.00/0 VOI. 6, pp. 45-56, 1979 © Pergamon Press Ltd. Printed in Great Britain
ETUDE DU FLUX A LA PAROI A L'AVAL D'UNE SOURCE LINEAIRE DE CHALEUR PLACEE DANS UNE COUCHE LIMITE TURBULENTE
SE DEVELOPPANT
AU-DESSUS D'UNE PLAQUE PLANE LISSE ET ISO~HERME
M. BELORGEY, M. TRINITE Laboratoire de Thermodynamlque (L.A. au C.N.R.S. n ° 230) Facult~ des Sciences et des Techniques de Rouen B.P. 67 76130 MONT-SAINT-AIGNAN France
(~icated
by E.A. Brun)
ABSTRACT It is shown that in the lower part of the thermal field, between plate and source level, and at some distance from it, it is possible to define universal laws 8+ = f(y+) similar to those obtained in a thermal boundary layer growing above a constant temperature plate. Then our purpose is to calculate wall flux for the considered section, by means of a theory associated to the thermal boundary layer. We define then a pseudo thermal boundary layer which origin is determined at the source position by means of Batchelor's theory. Our results are in good agreement with those evaluated by Spalding's theory.
Fig. I Dispositif exp~rlmental
45
46
M. Belorgey and M. Trinite
Vol.
6, No. i
INTRODUCTION Le probl~me de la diffusion turbulente
a d~J~ fait l'objet de plusieurs
v~es par la pr~vision principaux Cermak
d'une source lin~aire dans la couche limit~
de la diffusion
~tudes,
de polluants
auteurs ayant abord~ ce probl~me
[3], et plus r~cemment
Shlien et Corrsin
dans l'atmosph~re.
en soufflerie
[i] pour une source de mati~re, Wieghart
tes ses ~tudes
la plupart ont 4t~ moti-
[2], Paranth6en
il existe
"d~p6t sec" rencontr~ Nous ~tudions
souvent une absorption
en pollution
lisse avec la condition ~tant consid~r~e
limite de paroi,
(c'est le ph~nom~ne
Tom-
alors de
atmosph~rique).
ici la diffusion
dans une couche limite turbulente
et Trinit~
[4] pour une source de chaleur.
supposent un flux nul comme condition
que pratiquement
Les
sont Davar et
d'une source
se d~veloppant
lin~aire
de chaleur plac~e
au-dessus
de "puits" parfait ~ la paroi
d'une plaque plane
; la source de chaleur
comme un contaminant passif.
Nous avons effectu~
des explorations
fines des champs moyens de tempera-
ture et de vitesse en aval de la source pour diff~rentes derni~re.
Le flux ~ la paroi est d~termin4
gradient,
et nous mettons en ~vidence
les profils de temperature.
hauteurs
par une m~thode
l'influence
de cette
int4grale ou par
des conditions de paroi sur
Nous montrons qu'il est possible
de pr~voir
le
flux ~ la paroi assez loin en aval de la source par un calcul de type couche limite thermique. CONDITIONS
EXPERIMENTALES
La soufflerie en circuit ferm~ donne une vitesse d'essais dont les caract4ristiques geur
sont les suivantes
de 7,5 m/s dans la veine : (longueur 4 m ; lar-
I m ; hauteur 0,6 ~ 0,7 m), la hauteur est variable en fonction
mani~re
~ obtenir un gradient de pression
coulement
libre.
La paroi inf~rieure
Cette derni~re est en mat~riau
longitudinal
n~gligeable
de la veine constitue
de x, de
dans l'4-
la plaque plane.
isolant dans sa plus grande partie,
l'aval de la source o~ nous avons plac~ une plaque de cuivre
sauf
(0,6 m x 0,3 m)
dont la temperature
T est maintenue constante et ~gale ~ la temperature To P du fluide ~ l'ext~rieur de la couche limite, r~alisant ainsi la condition de "puits parfait"
(Fig.
Les explorations
I). thermiques
ont ~t~ faites ~ l'aide d'un thermocouple
de
0,05 m m de diam~tre. La source de chaleur 4tait constitute plac~ parall~lement
d'un fil chauff~ 41ectriquement
~ la paroi et normalement
~ l'~coulement.
dissip~e ~tait pour la plupart des cas ~tudi~s de 0,12
W/m.
La puissance
et
Vol. 6, NO. 1
HEAT T R A N S F E R F R O M A
Le diam~tre du fil source
FINITE FLAT PLATE
47
(0,09 mm) a ~t~ limit~ de mani~re a c e
que les
perturbations apport~es par ce dernier sur l'~coulement soient n~gligeables, sauf au voisinage Im-~diat de la source. De m@me, le chauffage du fil source a ~t~ limit~ de mani~re ~ ce que la temperature puisse ~tre consid~r~e comme ~n contaminant passif, sauf bien entendu au voisinage imm~diat de la source (Ri = 6.10 -s aux points les plus d~licats). L'~tude du champ thermique a ~t~ r~alis~e pour diff~rentes hauteurs de source , les valeurs de y: correspondantes ~tant : 100 ; 125 ; 165 ; 300 ; 480. RESULTATS EXPERIMENTAUX Notre zone de mesure se trouve dans la zone interm~diaire d~finie par Poreh et Cermak [5] et l~g~rement ~ l'amont des premiers points de mesure de ces auteurs. Les r~sultats bruts obtenus par exploration de diff~rentes sections du champ thermique ~ l'aval de la source sont donn~s sur la Fig. 2. L'~tude des profils obtenus montre que le maximum de temperature se rapproche tr~s l~g~rement de la parol dans un premier temps pour se recentrer apr~s sur le niveau de la source. Ce ph~nom~ne peu important est surtout visible pour les faibles hauteurs de source, nous le n~gligerons dans ce qui sult. Les profils de temp4rature moyenne peuvent ~tre trac~s sous forme adimensionnelle en portant
--=
8max (Y0,5) ~tant d~fini N
Ym m 0
10
20
30
40
Fig. 2 : Variation d~ @ en fonction de y pour diff~rentes sections du champ thermique.
(Fig. 31
f(I) -- 0,5
pour la pattie sup~rieure du champ thermique. C'est-~-dirs que pour 8m y = (y0,S)suP: 8 = ~ - .
48
M. Belorgey and M. Trinite
Vol. 6, No. 1
Ys= 6,25
m m
*
Xs
o
..
=
20ram 40
..
,
..
60
..
*
-.
100
..
150
..
°
T
v
I!,
250
..
•
..
350
..
•
-.
450
..
'IF
m~
-4
-3
-2
-1
0
1
2
rl
3
L
y-Y,
4
Fig. 3 : Profils de temperature moyenne trac~s sous forme adimensionnelle Les points correspondant ~ la partie sup~rieure du champ de temperature (compt~e ~ partir de la position de la source)
se r4partissent
sur une courbe
unique. Ce qui montre que dans cette pattie sup~rieure les profils de temperature ~voluent en similitude propre et l'accord avec le profil adimensionnel trouv~ par Paranth6en et Trinit~ Par contre,
[3] est bon.
les profils correspondant ~ la partie inf~rieure du champ
thermique sont affect4s par la presence de la plaque et le ph~nom~ne d'absorption, mais seulement sur une partie. Pass~e l'influence de la paroi, se recollent sur la courbe unique de similitude.
les points
Ceci pourrait ~ventuellement
indiquer la fronti~re sup~rieure de l'influence de la paroi sur le champ thermique. ANALYSE DETAILLEE DU CHAMP THERMIQUE MOYEN Dans une autre publication
[6] nous avions montr~ que le flux de chaleur
la paroi ~tait tr~s important dans une zone, relativement grande, oQ le champ de temperature attaquait la plaque. Le flux de chaleur & la paroi ~p ayant ~t~ calcul~ soit par m~thode int~grale,
y=0
soit par d~termination du gradient
dx
p Cp U @ dy
Vol.
6, No. 1
HEAT TRANSFERFRDMA
Y
X
%%..¸ %,
5 mm
source
FINITE
6,25 mm
LATPLATE
49
8,25 m m
24 m m
QpX 10 ~ W/ram2
p:
P
2O 40
250?
: 275
60
170?
:
8O
110?
: 115
160 160
:
150
95 107
100 120
140
140
86
: 135 :
36
51
:
27
: (20) ?
:
40
35
:
46
: (47) ?
32
28
250 300
75
80
72
150 200
110
32
: (24) ?
60 19
:
20
25
60 :
25
(20) ?:
10
350 400 16
500
:
17
(15)
600
Couche ilmlte t u r b u l e n t e
vI I
Plum r,t.~*,
Tp =
~X
Fig. 4 : Phases d'~volution du champ thermique
14
19
6
16
: 4,2
50
M. Belorgey and M. Trinite
Vol. 6, No. 1
Dans le but d'analyser ce ph~nom~ne de forte absorption, nous avons r~alis~ une ~tude d~taill~e, au voisinage de la paroi, des valeurs moyennes du champ de temperature ~ l'aval de la source de chaleur. Cette derni~re montre que l'on peut distinguer trois phases dans l'~volution de ce champ thermlque (fig. 4). a) Avaunt que le champ de temperature n'atteigne la plaque, le profil reste centr~ sur la position de la source. b) Lorsque le champ de temperature attaque la plaque, le profll reste dans son ensemble centr~ sur la position de la source sauf au voisinage i m ~ diat de la paroi o~ il existe un profil de raccordement impos~ par la condition limite de paroi : (@ = 0
pour
y = 0). Ce profil de raccordement s'am-
plifie lorsqu'on s'~loigne de la source. c) Dans cette phase, le profil de rraccordement remonte jusqu'au maximum du profil de temperature et affecte celui-ci. Nous avons remarqu~ que la phase
(b) correspondait ~ la zone o~ l'absorp-
tion par la plaque ~tait plus forte, ce qui correspond ~ un gradient de temp~rature a la paroi
6~
tr~s important. Dans cette zone, l'~tude d~taill~e du P profil des temperatures nous donne pour dlff~rentes sections les courbes de la figure 5. Lorsqu'on s'~loigne de la source,
Ooc
YSl : 6,25mm
le gradient impos~ par la paroi reconquiert progressivement son origi-
0,2
nalit~ sur le gradient pr~existant, et le profil de raccordement ~volue
0,1
J f
vers un profil de type couche limite. Nous formulerons alors l'hypoth~se
C
/
que loin de la source, il se d~velop-
/
pe au-dessus de la paroi et dans la partie inf~rieure du champ thermique,
/
une "pseudo couche limite thermique
J
locale" dont les caract~ristiques d~pendraient de la section consid~r~e Ymm
0
0~25
0,250
0,375
Fig. 5 : Analyse d~taill~e des profils de t e m ~ r a t u r e au volsinage de la parol
et seraient :
VOI. 6, No. 1
~
=
U0
HEAT TRANSFERFR3MA
vitesse dans l ' ~ c o u l e m e n t
FINITE FLATPLATE
51
fibre
8m(X) du p r o f i l consid~r~
Pour confirmer cette h ~ t h ~ s e ,
nous avons trac~ pour diff~rentes
sec-
tions du champ thermique l'~volution de @+ en fonction de y + . Les figures 6 et 7 donnent les r~sultats pour deux hauteurs de source diff~rentes.
// /
O*
IH
YI=S,25
•
~Z~ i i
X
=
mm
40ram
o
60
..
•
100
..
A
150
..
•
250
..
[]
350
..
.....
450
..
550
..
~
~
(Prt-l) ! h' O ~
-
-
- 10~
y*
'4 1000
100
Fig. 6 : Evolution de @+ en fonction de y + pour Ys = 6,25 m m
......JlJl
,.m° ~HHo
,.
4 III •
: ~
Fig.
,~..
120 ..
.... ~ , . , , ~ r ~
7 : Evolution de @+ en fonction de y+ pour Ys = 8,25 m m
'
52
M. Belorgey and M. Trinite
Vol. 6, No. 1
Nous constatons que loin de la source, quel que soit le profil, les points correspondant ~ la partie inf~rieure du champ thermique se placent sur une courbe unique, de type loi de paroi
(Blom [7]).
Dans la sous-couche @+ = y+ . Pr Darts la couche pleinement turbulente @+ = A Log y
+
+ B
DEFINITION DE L'ORIGINE DE LA PSEUDO COUCHE LIMITE THERMIQUE LOCALE L'4volution en similitude du champ thermique ainsi que l'~tude des grandeurs caract~ristiques
(en particulier l'4volution 1ongitudinale de
l(y0,5)sup.-Ys[ et [ys-(Y0,5)inf.[ - fig. 8) nous ont conduit ~ consid~rer la th~orie qu'avait formulae Batchelor en 1964 [8] selon laquelle, les propri~t~s statistiques de la vitesse d'une particule ~ un temps t apr~s l'~mission ~ une hauteur Ys' sont les m~mes que celles d'une particule ~mise au niveau du sol (y = 0) ~ l'instant (-tl) o~ tl est suppos~ de l'ordre de grandeur de l'~chelle de temps de la turbulence ~ la hauteur Ys : c'est-~-dire de l'ordre de
Ys/U, •
,o
u,..+.. ,.. -+l ~ . . . . + I " "" + , + ,J/Ct I l + 1 ++T 14 +-~+ + t---/-~+~+ +:+ ~ ..... +u+_+ ++++ ...... ++~ ~+P,...+~:+ :: u ..... +
+.:, .... ++++
10
'tO0
++
1000
Xmm
Fig. 8 : Evolution longitudinale de [y0,S-ys[ Dans le cas de nos conditions exp~rimentales et pour les diff~rentes hauteurs de source consid~r~es, nous donnons dans le tableau I -
le temps t I ordre de grandeur du temps pendant lequel la particule
garde la m~moire de son origine. Monin et Yaglom [9] proposent de prendre : tl = 2,2 Ys/Ul
Vol. 6, No. 1
HEAT T R A N S F E R F R O M A
FINITE FLAT PLATE
53
- la distance Xl parcourue par la particule pendant le temps tl X 1 = 2,2 Ys Us+ - la distance correspondant ~ l'expression
(Ys/U,).Us+
En comparant les r~sultats du tableau et ceux de la figure 8, nous reUs marquons que les distances Ys ~ sont de l'ordre de grandeur des distances (~ partir de la source) pour lesquelles l'~volution de lys-(Y0,s)inf, l pr~sente une discontinuitY. De ce r~sultat,
nous avons ~mls l'hypoth~se que l'origine de la pseudo
couche llmite thermique devait se situer ~ une distance de la source de l'ordre de grandeur de Ys Us+ c'est-~-dire de X1 rapport~e au niveau de la plaque. Pour d~terminer cette origine, nous comptons donc Xl ~ partir de la source fictive situ~e au sol et d~flnie dans la th~orie de Batchelor,
ce qui
revient ~ d~finir une source fictive situ~e ~ une distance Ax0 de la source r~elle
(fig. 11). NOUS d~flnissons donc l'origine de la pseudo couche limlte thermique
locale, correspondant ~ chaque hauteur de source, par la distance X0 ~ partir de la source r~elle, telle que : XO = X1 -
Ys ram) t I s
5 6,25 8,25
AXo
Us Us mm/s Ys ~
0,017
4640
0,0219
4761
0,0292
4931
15
0,053
5300
24
0,085
5777
78
X,
171,6 "45,6"
104,28 229,4 144
X0
64,5
316
86
282
620
154,4
491
1080
275
54
M. Belorgey and M. Trinite
Vol. 6, No. 1 I--
c/~cuL
DU FnUX DE C H ~ U R
AnA
PAROI
I
lCpl
Ayant admis l'hypoth~se d'une pseudo couche limite thermique locale, noun avons cherch~ ~ d~terminer le flux ~ la paroi a l'aide de la formulation de Spalding El0]. Dans cette derni~re, pour une couche limite thermique se d~veloppant au-dessus d'une paroi plane ~ temperature constante, et dans une couche limi+ te turbulente, le flux ~ la paroi est d~fini en fonction de X par la relation St
=
SpT (x+'Pr) ~ P r
Dans notre can, en introduisant les conditions locales d'une pseudo couche limite thermique d~finie plus haut, dont l'origine est ~ la distance X0 de la source r~elle, noun obtenons
I~p(X) = p Cp U 0 8m(X)SpTI(X-X0)+,Pr ] Cpf--~r/2
Sur les figures 9 et 10, noun donnons les r~sultats du flux de paroi ~p calcul~ ~ l'aide de la th~orie expos~e plus haut d'une part, et ~ l'aide des manures exp~rimentales de vitesse et temperature comme noun l'avons d~j~ indiqu~. Dans la zone o0 la th~orie que noun venons de formuler peut s'appliquer (x > X0), noun obtenons un bon accord entre les valeurs calcul~es par cette derni~re, e t l e s
valeurs d~duites des mesures exp~rimentales.
Op*~P
l
w/m m2
Ym - ~ 2 5 m m •
~ln~
~q~r~wm~mx
#r i~ints cmtculis
~Xmm 0
Xo
100
50O
Fig. 9 : Evolution longitudinale du flux de paroi pour Ys = 6,25 nun
Vol. 6, NO. 1
HEAT T R A N S F E R F R O M A FINITE FIATPIATE
55
l
w/ram2
YI " 8 . 2 5 mm po*ntl exp~rlmentaux
O
po~tt calculus
20G
r
10(
T Xmm xo.lOO
200
300
5OO
4OO
Fig. I0 : Evolution longitudinale du flux de paroi pour Ys = 8,25 mm
CONCLUSION NOUS avons montr~ dans cette ~tude que lorsqu'un champ thermique issu d'une source lin~aire de chaleur ~e d~veloppait dans une C.L.T. au-dessus d'une paroi plane absorbante,
l'absorption ne modifiait pas le caract~re de
similitude de l'4volution du champ thermique, mais diminuait son ampleur. En ce qui concerne le flux ~ la paroi, nous avons ~mis une hypoth~se de pseudo couche limite thermique locale permettant de calculer ~p par la m~thode de Spalding. Ii est cependant ~ remarquer que cette m4thode ne s'applique qu'~ partir de l'origine fictive X0 de la pseudo couche limite thermique, or cette dlstance X0 est sup~rieure ~ la valeur x c, distance entre le point o~ le champ thermique moyen attaque la plaque et la source
'~'"
Fig.
YOs ,nr
(fig.
11).
.....
,,,
11 : D~termination de l'origine fictive de la source de chaleur
Dans cette zone, du fair de l'intermittence du bord du champ thermique, il serait illusolre de vouloir d~finir le flux ~ la paroi a l'aide des valeurs
56
M. Belorgey and M. Trinite
moyennes.
Vol. 6, No. 1
Ii conviendrait donc dans ce cas d'~tudier de mani~re tr@s precise
le signal de temp4rature en effectuant un 4chantillonnage conditionnel de faqon ~ d~terminer statistiquement l'arriv~e des "tourbillons" transportant la chaleur. NOMENCLATURE --> Ox 1 voir fig. 1 Oy
p%u°~p
O+ = O
origine au pied de la source +
Ys hauteur de la source par rapport ~ la plaque U
vitesse du fluide
T
tempQrature
Y
U 0 /Cf/2 9
= Y
nombre de Richardson Ri
@ = T - TO
g T
(~@/~Y)
conductibilit~ thermique ~p Q
nombre de Stanton
flux de chaleur ~ la paroi quantit~ de chaleur, par unit~ de longueur d~bitQe par la source
Cf coefficient de frottement ~ la paroi Ui
= UO C J ~ f / 2
: vitesse
de
St
=
~p pCpU00
nombre de Prandtl
frottement
Pr = ~Cp
A indices :
SpT : Fonction de Spalding
+ sans dimension 0 relatif A l'~coulement libre p relatif ~ la plaque
pour une plaque isotherme.
REFERENCES
111 Davar et Cermak, Int. J. Air Wat. Poll. 8 (1964) 121 Wieghart, Z. Angew Math. Mech. 28, 346 (1948) 131 Parantho~n et Trinit4,"Profils adimensionnels de
temp4rature en aval d'une ligne source de chaleur", C.R. Acad. Sci. A, t. 276 (1973).
141 Shlien
et Corrsin, "Dispersion measurements in a turbulent boundary layer" Int. J. Heat Mass Transl. 19 (1976).
Isl
Poreh et Cermak, "Study of diffusion from a line source in a turbulent boundary layer, Int. J. Heat Mass Transfer 7, 1083 (1964).
16
B~lorgey et TrinitY, C.R. Acad. Sci. Paris, 282 (1976)
17
Blom, "Experimental determination of the turbulent Prandtl number in a developping temperature boundary layer", Int. J. Heat Mass Transfer (1970) Batchelor "Diffusion from sources in a turbulent boundary layer", Arch. Mech. Stosowanej 3, 16 (1964).
191 Monin
et Yaglom, "Statistical Fluid Mechanics" Mechanics of Turbulence, i, P" 670, The Mit. Press Cambridqe.
11oi
Spalding, Contrlbution to the theory of heat transfer across a turbulent boundary layer", Int. J. Heat Mass Transfer 7 (1964).
ETUDE DU FLUX A LA PAROI A L'AVAL D'UNE SOURCE LINEAIRE DE CHALEUR PLACEE DANS UNE COUCHE LIMITE TURBULENTE
SE DEVELOPPANT
AU-DESSUS D'UNE PLAQUE PLANE LISSE ET ISO~HERME
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(~icated
by E.A. Brun)
ABSTRACT It is shown that in the lower part of the thermal field, between plate and source level, and at some distance from it, it is possible to define universal laws 8+ = f(y+) similar to those obtained in a thermal boundary layer growing above a constant temperature plate. Then our purpose is to calculate wall flux for the considered section, by means of a theory associated to the thermal boundary layer. We define then a pseudo thermal boundary layer which origin is determined at the source position by means of Batchelor's theory. Our results are in good agreement with those evaluated by Spalding's theory.
Fig. I Dispositif exp~rlmental
45
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M. Belorgey and M. Trinite
Vol.
6, No. i
INTRODUCTION Le probl~me de la diffusion turbulente
a d~J~ fait l'objet de plusieurs
v~es par la pr~vision principaux Cermak
d'une source lin~aire dans la couche limit~
de la diffusion
~tudes,
de polluants
auteurs ayant abord~ ce probl~me
[3], et plus r~cemment
Shlien et Corrsin
dans l'atmosph~re.
en soufflerie
[i] pour une source de mati~re, Wieghart
tes ses ~tudes
la plupart ont 4t~ moti-
[2], Paranth6en
il existe
"d~p6t sec" rencontr~ Nous ~tudions
souvent une absorption
en pollution
lisse avec la condition ~tant consid~r~e
limite de paroi,
(c'est le ph~nom~ne
Tom-
alors de
atmosph~rique).
ici la diffusion
dans une couche limite turbulente
et Trinit~
[4] pour une source de chaleur.
supposent un flux nul comme condition
que pratiquement
Les
sont Davar et
d'une source
se d~veloppant
lin~aire
de chaleur plac~e
au-dessus
de "puits" parfait ~ la paroi
d'une plaque plane
; la source de chaleur
comme un contaminant passif.
Nous avons effectu~
des explorations
fines des champs moyens de tempera-
ture et de vitesse en aval de la source pour diff~rentes derni~re.
Le flux ~ la paroi est d~termin4
gradient,
et nous mettons en ~vidence
les profils de temperature.
hauteurs
par une m~thode
l'influence
de cette
int4grale ou par
des conditions de paroi sur
Nous montrons qu'il est possible
de pr~voir
le
flux ~ la paroi assez loin en aval de la source par un calcul de type couche limite thermique. CONDITIONS
EXPERIMENTALES
La soufflerie en circuit ferm~ donne une vitesse d'essais dont les caract4ristiques geur
sont les suivantes
de 7,5 m/s dans la veine : (longueur 4 m ; lar-
I m ; hauteur 0,6 ~ 0,7 m), la hauteur est variable en fonction
mani~re
~ obtenir un gradient de pression
coulement
libre.
La paroi inf~rieure
Cette derni~re est en mat~riau
longitudinal
n~gligeable
de la veine constitue
de x, de
dans l'4-
la plaque plane.
isolant dans sa plus grande partie,
l'aval de la source o~ nous avons plac~ une plaque de cuivre
sauf
(0,6 m x 0,3 m)
dont la temperature
T est maintenue constante et ~gale ~ la temperature To P du fluide ~ l'ext~rieur de la couche limite, r~alisant ainsi la condition de "puits parfait"
(Fig.
Les explorations
I). thermiques
ont ~t~ faites ~ l'aide d'un thermocouple
de
0,05 m m de diam~tre. La source de chaleur 4tait constitute plac~ parall~lement
d'un fil chauff~ 41ectriquement
~ la paroi et normalement
~ l'~coulement.
dissip~e ~tait pour la plupart des cas ~tudi~s de 0,12
W/m.
La puissance
et
Vol. 6, NO. 1
HEAT T R A N S F E R F R O M A
Le diam~tre du fil source
FINITE FLAT PLATE
47
(0,09 mm) a ~t~ limit~ de mani~re a c e
que les
perturbations apport~es par ce dernier sur l'~coulement soient n~gligeables, sauf au voisinage Im-~diat de la source. De m@me, le chauffage du fil source a ~t~ limit~ de mani~re ~ ce que la temperature puisse ~tre consid~r~e comme ~n contaminant passif, sauf bien entendu au voisinage imm~diat de la source (Ri = 6.10 -s aux points les plus d~licats). L'~tude du champ thermique a ~t~ r~alis~e pour diff~rentes hauteurs de source , les valeurs de y: correspondantes ~tant : 100 ; 125 ; 165 ; 300 ; 480. RESULTATS EXPERIMENTAUX Notre zone de mesure se trouve dans la zone interm~diaire d~finie par Poreh et Cermak [5] et l~g~rement ~ l'amont des premiers points de mesure de ces auteurs. Les r~sultats bruts obtenus par exploration de diff~rentes sections du champ thermique ~ l'aval de la source sont donn~s sur la Fig. 2. L'~tude des profils obtenus montre que le maximum de temperature se rapproche tr~s l~g~rement de la parol dans un premier temps pour se recentrer apr~s sur le niveau de la source. Ce ph~nom~ne peu important est surtout visible pour les faibles hauteurs de source, nous le n~gligerons dans ce qui sult. Les profils de temp4rature moyenne peuvent ~tre trac~s sous forme adimensionnelle en portant
--=
8max (Y0,5) ~tant d~fini N
Ym m 0
10
20
30
40
Fig. 2 : Variation d~ @ en fonction de y pour diff~rentes sections du champ thermique.
(Fig. 31
f(I) -- 0,5
pour la pattie sup~rieure du champ thermique. C'est-~-dirs que pour 8m y = (y0,S)suP: 8 = ~ - .
48
M. Belorgey and M. Trinite
Vol. 6, No. 1
Ys= 6,25
m m
*
Xs
o
..
=
20ram 40
..
,
..
60
..
*
-.
100
..
150
..
°
T
v
I!,
250
..
•
..
350
..
•
-.
450
..
'IF
m~
-4
-3
-2
-1
0
1
2
rl
3
L
y-Y,
4
Fig. 3 : Profils de temperature moyenne trac~s sous forme adimensionnelle Les points correspondant ~ la partie sup~rieure du champ de temperature (compt~e ~ partir de la position de la source)
se r4partissent
sur une courbe
unique. Ce qui montre que dans cette pattie sup~rieure les profils de temperature ~voluent en similitude propre et l'accord avec le profil adimensionnel trouv~ par Paranth6en et Trinit~ Par contre,
[3] est bon.
les profils correspondant ~ la partie inf~rieure du champ
thermique sont affect4s par la presence de la plaque et le ph~nom~ne d'absorption, mais seulement sur une partie. Pass~e l'influence de la paroi, se recollent sur la courbe unique de similitude.
les points
Ceci pourrait ~ventuellement
indiquer la fronti~re sup~rieure de l'influence de la paroi sur le champ thermique. ANALYSE DETAILLEE DU CHAMP THERMIQUE MOYEN Dans une autre publication
[6] nous avions montr~ que le flux de chaleur
la paroi ~tait tr~s important dans une zone, relativement grande, oQ le champ de temperature attaquait la plaque. Le flux de chaleur & la paroi ~p ayant ~t~ calcul~ soit par m~thode int~grale,
y=0
soit par d~termination du gradient
dx
p Cp U @ dy
Vol.
6, No. 1
HEAT TRANSFERFRDMA
Y
X
%%..¸ %,
5 mm
source
FINITE
6,25 mm
LATPLATE
49
8,25 m m
24 m m
QpX 10 ~ W/ram2
p:
P
2O 40
250?
: 275
60
170?
:
8O
110?
: 115
160 160
:
150
95 107
100 120
140
140
86
: 135 :
36
51
:
27
: (20) ?
:
40
35
:
46
: (47) ?
32
28
250 300
75
80
72
150 200
110
32
: (24) ?
60 19
:
20
25
60 :
25
(20) ?:
10
350 400 16
500
:
17
(15)
600
Couche ilmlte t u r b u l e n t e
vI I
Plum r,t.~*,
Tp =
~X
Fig. 4 : Phases d'~volution du champ thermique
14
19
6
16
: 4,2
50
M. Belorgey and M. Trinite
Vol. 6, No. 1
Dans le but d'analyser ce ph~nom~ne de forte absorption, nous avons r~alis~ une ~tude d~taill~e, au voisinage de la paroi, des valeurs moyennes du champ de temperature ~ l'aval de la source de chaleur. Cette derni~re montre que l'on peut distinguer trois phases dans l'~volution de ce champ thermlque (fig. 4). a) Avaunt que le champ de temperature n'atteigne la plaque, le profil reste centr~ sur la position de la source. b) Lorsque le champ de temperature attaque la plaque, le profll reste dans son ensemble centr~ sur la position de la source sauf au voisinage i m ~ diat de la paroi o~ il existe un profil de raccordement impos~ par la condition limite de paroi : (@ = 0
pour
y = 0). Ce profil de raccordement s'am-
plifie lorsqu'on s'~loigne de la source. c) Dans cette phase, le profil de rraccordement remonte jusqu'au maximum du profil de temperature et affecte celui-ci. Nous avons remarqu~ que la phase
(b) correspondait ~ la zone o~ l'absorp-
tion par la plaque ~tait plus forte, ce qui correspond ~ un gradient de temp~rature a la paroi
6~
tr~s important. Dans cette zone, l'~tude d~taill~e du P profil des temperatures nous donne pour dlff~rentes sections les courbes de la figure 5. Lorsqu'on s'~loigne de la source,
Ooc
YSl : 6,25mm
le gradient impos~ par la paroi reconquiert progressivement son origi-
0,2
nalit~ sur le gradient pr~existant, et le profil de raccordement ~volue
0,1
J f
vers un profil de type couche limite. Nous formulerons alors l'hypoth~se
C
/
que loin de la source, il se d~velop-
/
pe au-dessus de la paroi et dans la partie inf~rieure du champ thermique,
/
une "pseudo couche limite thermique
J
locale" dont les caract~ristiques d~pendraient de la section consid~r~e Ymm
0
0~25
0,250
0,375
Fig. 5 : Analyse d~taill~e des profils de t e m ~ r a t u r e au volsinage de la parol
et seraient :
VOI. 6, No. 1
~
=
U0
HEAT TRANSFERFR3MA
vitesse dans l ' ~ c o u l e m e n t
FINITE FLATPLATE
51
fibre
8m(X) du p r o f i l consid~r~
Pour confirmer cette h ~ t h ~ s e ,
nous avons trac~ pour diff~rentes
sec-
tions du champ thermique l'~volution de @+ en fonction de y + . Les figures 6 et 7 donnent les r~sultats pour deux hauteurs de source diff~rentes.
// /
O*
IH
YI=S,25
•
~Z~ i i
X
=
mm
40ram
o
60
..
•
100
..
A
150
..
•
250
..
[]
350
..
.....
450
..
550
..
~
~
(Prt-l) ! h' O ~
-
-
- 10~
y*
'4 1000
100
Fig. 6 : Evolution de @+ en fonction de y + pour Ys = 6,25 m m
......JlJl
,.m° ~HHo
,.
4 III •
: ~
Fig.
,~..
120 ..
.... ~ , . , , ~ r ~
7 : Evolution de @+ en fonction de y+ pour Ys = 8,25 m m
'
52
M. Belorgey and M. Trinite
Vol. 6, No. 1
Nous constatons que loin de la source, quel que soit le profil, les points correspondant ~ la partie inf~rieure du champ thermique se placent sur une courbe unique, de type loi de paroi
(Blom [7]).
Dans la sous-couche @+ = y+ . Pr Darts la couche pleinement turbulente @+ = A Log y
+
+ B
DEFINITION DE L'ORIGINE DE LA PSEUDO COUCHE LIMITE THERMIQUE LOCALE L'4volution en similitude du champ thermique ainsi que l'~tude des grandeurs caract~ristiques
(en particulier l'4volution 1ongitudinale de
l(y0,5)sup.-Ys[ et [ys-(Y0,5)inf.[ - fig. 8) nous ont conduit ~ consid~rer la th~orie qu'avait formulae Batchelor en 1964 [8] selon laquelle, les propri~t~s statistiques de la vitesse d'une particule ~ un temps t apr~s l'~mission ~ une hauteur Ys' sont les m~mes que celles d'une particule ~mise au niveau du sol (y = 0) ~ l'instant (-tl) o~ tl est suppos~ de l'ordre de grandeur de l'~chelle de temps de la turbulence ~ la hauteur Ys : c'est-~-dire de l'ordre de
Ys/U, •
,o
u,..+.. ,.. -+l ~ . . . . + I " "" + , + ,J/Ct I l + 1 ++T 14 +-~+ + t---/-~+~+ +:+ ~ ..... +u+_+ ++++ ...... ++~ ~+P,...+~:+ :: u ..... +
+.:, .... ++++
10
'tO0
++
1000
Xmm
Fig. 8 : Evolution longitudinale de [y0,S-ys[ Dans le cas de nos conditions exp~rimentales et pour les diff~rentes hauteurs de source consid~r~es, nous donnons dans le tableau I -
le temps t I ordre de grandeur du temps pendant lequel la particule
garde la m~moire de son origine. Monin et Yaglom [9] proposent de prendre : tl = 2,2 Ys/Ul
Vol. 6, No. 1
HEAT T R A N S F E R F R O M A
FINITE FLAT PLATE
53
- la distance Xl parcourue par la particule pendant le temps tl X 1 = 2,2 Ys Us+ - la distance correspondant ~ l'expression
(Ys/U,).Us+
En comparant les r~sultats du tableau et ceux de la figure 8, nous reUs marquons que les distances Ys ~ sont de l'ordre de grandeur des distances (~ partir de la source) pour lesquelles l'~volution de lys-(Y0,s)inf, l pr~sente une discontinuitY. De ce r~sultat,
nous avons ~mls l'hypoth~se que l'origine de la pseudo
couche llmite thermique devait se situer ~ une distance de la source de l'ordre de grandeur de Ys Us+ c'est-~-dire de X1 rapport~e au niveau de la plaque. Pour d~terminer cette origine, nous comptons donc Xl ~ partir de la source fictive situ~e au sol et d~flnie dans la th~orie de Batchelor,
ce qui
revient ~ d~finir une source fictive situ~e ~ une distance Ax0 de la source r~elle
(fig. 11). NOUS d~flnissons donc l'origine de la pseudo couche limlte thermique
locale, correspondant ~ chaque hauteur de source, par la distance X0 ~ partir de la source r~elle, telle que : XO = X1 -
Ys ram) t I s
5 6,25 8,25
AXo
Us Us mm/s Ys ~
0,017
4640
0,0219
4761
0,0292
4931
15
0,053
5300
24
0,085
5777
78
X,
171,6 "45,6"
104,28 229,4 144
X0
64,5
316
86
282
620
154,4
491
1080
275
54
M. Belorgey and M. Trinite
Vol. 6, No. 1 I--
c/~cuL
DU FnUX DE C H ~ U R
AnA
PAROI
I
lCpl
Ayant admis l'hypoth~se d'une pseudo couche limite thermique locale, noun avons cherch~ ~ d~terminer le flux ~ la paroi a l'aide de la formulation de Spalding El0]. Dans cette derni~re, pour une couche limite thermique se d~veloppant au-dessus d'une paroi plane ~ temperature constante, et dans une couche limi+ te turbulente, le flux ~ la paroi est d~fini en fonction de X par la relation St
=
SpT (x+'Pr) ~ P r
Dans notre can, en introduisant les conditions locales d'une pseudo couche limite thermique d~finie plus haut, dont l'origine est ~ la distance X0 de la source r~elle, noun obtenons
I~p(X) = p Cp U 0 8m(X)SpTI(X-X0)+,Pr ] Cpf--~r/2
Sur les figures 9 et 10, noun donnons les r~sultats du flux de paroi ~p calcul~ ~ l'aide de la th~orie expos~e plus haut d'une part, et ~ l'aide des manures exp~rimentales de vitesse et temperature comme noun l'avons d~j~ indiqu~. Dans la zone o0 la th~orie que noun venons de formuler peut s'appliquer (x > X0), noun obtenons un bon accord entre les valeurs calcul~es par cette derni~re, e t l e s
valeurs d~duites des mesures exp~rimentales.
Op*~P
l
w/m m2
Ym - ~ 2 5 m m •
~ln~
~q~r~wm~mx
#r i~ints cmtculis
~Xmm 0
Xo
100
50O
Fig. 9 : Evolution longitudinale du flux de paroi pour Ys = 6,25 nun
Vol. 6, NO. 1
HEAT T R A N S F E R F R O M A FINITE FIATPIATE
55
l
w/ram2
YI " 8 . 2 5 mm po*ntl exp~rlmentaux
O
po~tt calculus
20G
r
10(
T Xmm xo.lOO
200
300
5OO
4OO
Fig. I0 : Evolution longitudinale du flux de paroi pour Ys = 8,25 mm
CONCLUSION NOUS avons montr~ dans cette ~tude que lorsqu'un champ thermique issu d'une source lin~aire de chaleur ~e d~veloppait dans une C.L.T. au-dessus d'une paroi plane absorbante,
l'absorption ne modifiait pas le caract~re de
similitude de l'4volution du champ thermique, mais diminuait son ampleur. En ce qui concerne le flux ~ la paroi, nous avons ~mis une hypoth~se de pseudo couche limite thermique locale permettant de calculer ~p par la m~thode de Spalding. Ii est cependant ~ remarquer que cette m4thode ne s'applique qu'~ partir de l'origine fictive X0 de la pseudo couche limite thermique, or cette dlstance X0 est sup~rieure ~ la valeur x c, distance entre le point o~ le champ thermique moyen attaque la plaque et la source
'~'"
Fig.
YOs ,nr
(fig.
11).
.....
,,,
11 : D~termination de l'origine fictive de la source de chaleur
Dans cette zone, du fair de l'intermittence du bord du champ thermique, il serait illusolre de vouloir d~finir le flux ~ la paroi a l'aide des valeurs
56
M. Belorgey and M. Trinite
moyennes.
Vol. 6, No. 1
Ii conviendrait donc dans ce cas d'~tudier de mani~re tr@s precise
le signal de temp4rature en effectuant un 4chantillonnage conditionnel de faqon ~ d~terminer statistiquement l'arriv~e des "tourbillons" transportant la chaleur. NOMENCLATURE --> Ox 1 voir fig. 1 Oy
p%u°~p
O+ = O
origine au pied de la source +
Ys hauteur de la source par rapport ~ la plaque U
vitesse du fluide
T
tempQrature
Y
U 0 /Cf/2 9
= Y
nombre de Richardson Ri
@ = T - TO
g T
(~@/~Y)
conductibilit~ thermique ~p Q
nombre de Stanton
flux de chaleur ~ la paroi quantit~ de chaleur, par unit~ de longueur d~bitQe par la source
Cf coefficient de frottement ~ la paroi Ui
= UO C J ~ f / 2
: vitesse
de
St
=
~p pCpU00
nombre de Prandtl
frottement
Pr = ~Cp
A indices :
SpT : Fonction de Spalding
+ sans dimension 0 relatif A l'~coulement libre p relatif ~ la plaque
pour une plaque isotherme.
REFERENCES
111 Davar et Cermak, Int. J. Air Wat. Poll. 8 (1964) 121 Wieghart, Z. Angew Math. Mech. 28, 346 (1948) 131 Parantho~n et Trinit4,"Profils adimensionnels de
temp4rature en aval d'une ligne source de chaleur", C.R. Acad. Sci. A, t. 276 (1973).
141 Shlien
et Corrsin, "Dispersion measurements in a turbulent boundary layer" Int. J. Heat Mass Transl. 19 (1976).
Isl
Poreh et Cermak, "Study of diffusion from a line source in a turbulent boundary layer, Int. J. Heat Mass Transfer 7, 1083 (1964).
16
B~lorgey et TrinitY, C.R. Acad. Sci. Paris, 282 (1976)
17
Blom, "Experimental determination of the turbulent Prandtl number in a developping temperature boundary layer", Int. J. Heat Mass Transfer (1970) Batchelor "Diffusion from sources in a turbulent boundary layer", Arch. Mech. Stosowanej 3, 16 (1964).
191 Monin
et Yaglom, "Statistical Fluid Mechanics" Mechanics of Turbulence, i, P" 670, The Mit. Press Cambridqe.
11oi
Spalding, Contrlbution to the theory of heat transfer across a turbulent boundary layer", Int. J. Heat Mass Transfer 7 (1964).