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Étude du système de Schrödinger–Bloch modélisant la propagation d'un laser dans un gaz
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 689–692, 2001 Analyse numérique/Numerical Analysis
Étude du système de Schrödinger–Bloch modélisant la propagation d’un laser dans un gaz Rémi ABGRALL, Thierry COLIN, Boniface NKONGA Mathématiques appliquées de Bordeaux, Université Bordeaux-1 et CNRS UMR 5466, 351, cours de la Libération, 33405 Talence cedex, France Courriel : [email protected]; [email protected]; [email protected] (Reçu le 19 juillet 2001, accepté le 3 août 2001)
Résumé.
Dans cette Note, nous étudions un système modélisant un faisceau laser. Dans un premier temps, nous mettons en évidence un petit paramètre. Ensuite nous démontrons un résultat d’existence et un résultat de convergence. Enfin, nous proposons un schéma numérique « uniforme » par rapport au petit paramètre. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Study of a Schrödinger–Bloch system that describes the interaction of a laser with a gas Abstract.
In this Note, we study a two-level Schrödinger–Bloch system: first we introduce a nondimensional form of the system in which a small parameter appears. Then we prove an existence theorem and an asymptotic result. Finally, we propose an efficient numerical scheme that is uniform with respect to the small parameter. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
1. Introduction et position du problème On décrit l’interaction d’un laser avec un gaz peu dense par le système de Maxwell–Bloch à deux niveaux suivant : ∂ H + 1 ∇ ∧ E = 0, ∂ E − 1 ∇ ∧ H = − 1 ∂ P , t t t µ0 ε0 ε0 (1) ∂t c1 + i ω1 c1 = i Ωc2 , ∂t c2 + i ω2 c2 = i Ωc1 , où P = Nµ(c1 c¯2 + c¯1 c2 ) u et Ω = µh E · u. Les vecteurs E et H désignent les champs électriques et magnétiques. Les constantes N et µ désignent respectivement le nombre de molécules de gaz par unité de volume et le moment magnétique de ces molécules. Les quantités ε0 et µ0 sont les constantes habituelles de l’électromagnétisme et est la constante de Planck. u est un vecteur fixe donnant la direction de l’impulsion laser, c1 et c2 décrivent les probabilités de présence dans les deux niveaux d’énergie, ω1 et ω2 sont les fréquences propres de ces niveaux. On a de plus la condition de normalisation |c1 |2 + |c2 |2 = 1. L’état de repos avant le passage du laser correspond à c1 = 1 et c2 = 0. On a considéré des impulsions Note présentée par Jean-Michel B ONY. S0764-4442(01)02105-X/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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R. Abgrall et al.
d’environ 50 ns. La dimension transverse du laser est de quelques centimètres. Un paramètre important est la pulsation Rabi qui donne l’ordre de grandeur du champ électrique : µE/ ∼ 109 s−1 . La fréquence laser ω est proche de ω21 = ω2 − ω1 ∼ ω ∼ 1015 s−1 et ω12 − ω = 1010 s−1 . Nous effectuons sur ce système plusieurs transformations : (i) passage dans les variable de Bloch [4] : On pose Q = c1 c¯2 et N = 1 + |c2 |2 − |c1 |2 . On obtient alors P = 2Nµ Ré(Q) u et les équations en c1 et c2 s’écrivent : ∂t Q = i ω21 Q + i Ω(N − 1),
∂t N = −4Ω Im(Q) ;
(2)
(ii) on s’attend à ce que le rendement de l’opération soit faible et donc que c1 reste proche de 1 et c2 petit. Dans ce cas, on aura N |Q| et le terme non linéaire dans la deuxième équation de (2) sera raide (voir [1,2] pour les détails). On effectue alors un changement de variables qui trouve sa source dans [2] mais qui est particulièrement simple ici : on a, grâce à la condition de normalisation, |Q|2 = |c1 c¯2 |2 = (1− |c2 |2 )|c22 | et N = 2|c2 |2 . Donc |Q|2 = (1 − N/2)N/2. La condition N |Q| implique que N = 1 − 1 − 4|Q|2 . Puisque Q est petit, on se contentera ici de la simplification N = 2|Q|2 . Le système (2) se réduit donc à une équation : ∂t Q = i ω21 Q − i Ω + 2i Ω|Q|2 ; (iii) la troisième transformation est l’approximation d’enveloppe [4] ou approximation de l’optique diffractive [3] qui conduit au système adimensionné suivant sur les enveloppes des champs (on a pris l’axe z comme direction de propagation) : (∂t + ∂z )E + i εL∆⊥E = −i βQ,
i ∂t Q + (Q + E) = i E |Q|2 . ε
(3)
Les paramètres L et β sont d’ordre 1, ε est de taille 10−3 −10−4 . L’opérateur ∆⊥ désigne de Laplacien dans les variables transverses x et y. 2. Le problème de Cauchy et le comportement asymptotique Le résultat est le suivant : T HÉORÈME 2.1. – Soient a et b deux fonctions dans Hs (Rd ) pour s suffisamment grand. Soit E0 la solution de (∂t + ∂z )E0 = i βE0 avec E0 (t = 0) = a et Q0 la solution de ∂t Q0 + i βQ0 = −i |E0 |2 Q0 telle que Q0 (t = 0) = (b + a). Alors il existe T > 0 (indépendant de ε) et une unique solution (E ε , Qε ) de (3) dans C([0, T ]; Hs ) vérifiant (E ε , Qε )(t = 0) = (a, b). On a de plus ε E − E0 ∞ = O(ε) et Qε − Q0 e−it/ε + E0 L∞ (0,T ;Hs−2 ) = O(ε). L (0,T ;Hs−2 ) Démonstration. – Par les techniques usuelles, il est facile de voir qu’il existe une solution (E ε , Qε ) de (3) définie sur [0, Tε ]. La première étape consiste alors à montrer qu’il existe T > 0 tel que Tε T et que (E ε , Qε ) est borné sur [0, T ] indépendamment de ε. On considère tout d’abord la transformée de Fourier en espace du système : + i ξE = −i β Q, + i Q +E = 0, ∂t Q (4) ∂t E ε où i ξ désigne le symbole de ∂z + i εL∆. Soit M (ξ) la matrice définie par : M (ξ) =
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−i ξ i − ε
−iβ i − ε
.
Systèmes de Maxwell–Bloch
On écrit explicitement la décomposition√spectrale de M (ξ) pour résoudre (4). Les valeurs propres de M (ξ) i sont données par λ± = − 2ε (1 + εξ ± δ) où δ = (1 − εξ)2 + 4εβ. Les projecteurs spectraux Π+ et Π− sont donnés par : 1 1 1 1 I + √ J et Π− = I − √ J, 2 2 δ δ où I est la matrice identité et la matrice J est définie par : Π+ =
εξ − 1 2 J = 1
(5)
εβ 1 − εξ . 2
√ √ La difficulté ici est que δ n’est pas minorée uniformément par rapport à ξ et ε, ainsi le terme en 1/ δ √ dans (1/ δ)J pose problème (les trois autres termes sont bornés). Il n’est donc pas possible d’obtenir une borne de (E, Q) solution de (4) sous la forme : |E(t)| + |Q(t)| c(|E0 | + |Q0 |) avec C indépendant de ε et ξ. Néanmoins, la structure particulière de la nonlinéarité dans (3) permet d’obtenir des bornes sur le système non linéaire. En effet, soit (E ε , Qε ) solution de (3), alors X ≡ (E ε , Qε ) vérifie : X(t) = eλ+ t Π+ + eλ− t Π− X(0) +
t
e
λ+ (t−s)
Π+ + e
λ− (t−s)
Π−
0
0 i E ε |Qε |2
(s).
(6)
La preuve du théorème repose alors sur les trois lemmes suivants dont les démonstrations sont directes. L EMME 2.2. – Il existe C1 > 0 tel que, pour toute f ∈ Hs (Rd ), on a Π± f0 Hs C1 |f |Hs . L EMME 2.3. – Il existe C2 > 0 telle que, pour toutes f et g dans Hs (Rd ), pour tout ε 1/2 avec √ support(f) et support( g ) inclus dans {|ξ| 1/ ε}, on a Π± fg Hs C2 |f |Hs + |g|Hs . L EMME 2.4. – Il existe C3 > 0 telle que, pour toutes f et g dans Hs (Rd ), pour tout ε 1/2 avec √ support(f) et support( g ) inclus dans {|ξ| 1/ ε}, on a Π± fg Hs C3 |f |Hs+1 + |g|Hs+1 . Les lemmes 2.3 et 2.4 permettent de contrôler le terme linéaire de (6) tandis que le lemme 2.2 donne le contrôle du terme non linéaire ce qui montre qu’il existe T > 0 tel que Tε T . Le développement asymptotiques s’obtient en cherchant la solution par la méthode BKW habituelle (voir [1] pour les détails). 3. Approximation numérique Le problème physique à résoudre est un problème aux limites avec conditions initiales nulles : E(t, x, z = 0) = f (t, x), E(t = 0, x, z) = Q(t = 0, x, z) = 0. On se donne f à support compact en temps. On utilise une discrétisation par différence finies en z, une méthode spectrale en x, y. Le calcul en temps est effectué en deux phases. (i) Phase d’entrée : tant que la donnée au bord n’est pas nulle, on résout (3) par un schéma à pas fractionnaires. Dans l’étape 1, on résout ∂t E + ∂z E = 0 de façon exacte (donc à CFL= 1) en utilisant la condition en z = 0. Dans l’étape 2 on résout de façon exacte ∂t E + i εL∆⊥ E = −i βQ,
i ∂t Q + (Q + E) = 0. ε
La troisième étape est non linéaire : on résout ∂t Q = i E |Q|2 avec E fixé avec le schéma d’Euler explicite. (ii) Phase de propagation : dès que la donnée en z = 0 est nulle, on fait un changement de variable en z pour suivre la propagation, l’étape 1 devient la résolution de ∂t Q − ∂z Q = 0 avec donnée au bord à droite nulle, les étapes 2 et 3 sont inchangées. Le schéma s’avère robuste. La figure concerne le cas d’une donnée
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R. Abgrall et al.
Figure 1. – Profil temporel de la norme du champ électrique en z = 1 km.
au bord de la forme e−(t−t0 ) /tlaser eiα cos(βt) (i.e. modulée en phase et qui ne rentre pas dans le cadre d’application du théorème précédent) après 1 km de propagation, pour différentes discrétisations en z. Il s’agit de la norme au carré du champ électrique en fonction du temps exprimé en ns. N z désigne le nombre de points de discrétisation utilisés sur la longueur de l’impulsion. Les courbes semblent être superposées à partir de N z = 20000. En consultant [1], on trouvera des applications aux cas bi et tridimensionnels. 2
Remerciements. Ce travail a été partiellement financé par le CEA/DEN/DPC/SPAL.
Références bibliographiques [1] Colin T., Nkonga B., Numerical model for light interaction with two-level atoms medium, Preprint MAB, Université Bordeaux-1, LRC-01.16, 2001. [2] Joly J.-L., Métivier G., Rauch J., Transparent nonlinear geometric optics and Maxwell–Bloch equations, J. Differ. Eq. 166 (2000) 175–250. [3] Joly J.-L., Métivier G., Rauch J., Diffractive nonlinear geometric optics with rectification, Indiana Univ. Math. J. 47 (4) (1998) 1167–1241. [4] Newell A.C., Moloney J.V., Nonlinear Optics, Addison-Wesley, 1991.
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Étude du système de Schrödinger–Bloch modélisant la propagation d’un laser dans un gaz Rémi ABGRALL, Thierry COLIN, Boniface NKONGA Mathématiques appliquées de Bordeaux, Université Bordeaux-1 et CNRS UMR 5466, 351, cours de la Libération, 33405 Talence cedex, France Courriel : [email protected]; [email protected]; [email protected] (Reçu le 19 juillet 2001, accepté le 3 août 2001)
Résumé.
Dans cette Note, nous étudions un système modélisant un faisceau laser. Dans un premier temps, nous mettons en évidence un petit paramètre. Ensuite nous démontrons un résultat d’existence et un résultat de convergence. Enfin, nous proposons un schéma numérique « uniforme » par rapport au petit paramètre. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Study of a Schrödinger–Bloch system that describes the interaction of a laser with a gas Abstract.
In this Note, we study a two-level Schrödinger–Bloch system: first we introduce a nondimensional form of the system in which a small parameter appears. Then we prove an existence theorem and an asymptotic result. Finally, we propose an efficient numerical scheme that is uniform with respect to the small parameter. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
1. Introduction et position du problème On décrit l’interaction d’un laser avec un gaz peu dense par le système de Maxwell–Bloch à deux niveaux suivant : ∂ H + 1 ∇ ∧ E = 0, ∂ E − 1 ∇ ∧ H = − 1 ∂ P , t t t µ0 ε0 ε0 (1) ∂t c1 + i ω1 c1 = i Ωc2 , ∂t c2 + i ω2 c2 = i Ωc1 , où P = Nµ(c1 c¯2 + c¯1 c2 ) u et Ω = µh E · u. Les vecteurs E et H désignent les champs électriques et magnétiques. Les constantes N et µ désignent respectivement le nombre de molécules de gaz par unité de volume et le moment magnétique de ces molécules. Les quantités ε0 et µ0 sont les constantes habituelles de l’électromagnétisme et est la constante de Planck. u est un vecteur fixe donnant la direction de l’impulsion laser, c1 et c2 décrivent les probabilités de présence dans les deux niveaux d’énergie, ω1 et ω2 sont les fréquences propres de ces niveaux. On a de plus la condition de normalisation |c1 |2 + |c2 |2 = 1. L’état de repos avant le passage du laser correspond à c1 = 1 et c2 = 0. On a considéré des impulsions Note présentée par Jean-Michel B ONY. S0764-4442(01)02105-X/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés
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d’environ 50 ns. La dimension transverse du laser est de quelques centimètres. Un paramètre important est la pulsation Rabi qui donne l’ordre de grandeur du champ électrique : µE/ ∼ 109 s−1 . La fréquence laser ω est proche de ω21 = ω2 − ω1 ∼ ω ∼ 1015 s−1 et ω12 − ω = 1010 s−1 . Nous effectuons sur ce système plusieurs transformations : (i) passage dans les variable de Bloch [4] : On pose Q = c1 c¯2 et N = 1 + |c2 |2 − |c1 |2 . On obtient alors P = 2Nµ Ré(Q) u et les équations en c1 et c2 s’écrivent : ∂t Q = i ω21 Q + i Ω(N − 1),
∂t N = −4Ω Im(Q) ;
(2)
(ii) on s’attend à ce que le rendement de l’opération soit faible et donc que c1 reste proche de 1 et c2 petit. Dans ce cas, on aura N |Q| et le terme non linéaire dans la deuxième équation de (2) sera raide (voir [1,2] pour les détails). On effectue alors un changement de variables qui trouve sa source dans [2] mais qui est particulièrement simple ici : on a, grâce à la condition de normalisation, |Q|2 = |c1 c¯2 |2 = (1− |c2 |2 )|c22 | et N = 2|c2 |2 . Donc |Q|2 = (1 − N/2)N/2. La condition N |Q| implique que N = 1 − 1 − 4|Q|2 . Puisque Q est petit, on se contentera ici de la simplification N = 2|Q|2 . Le système (2) se réduit donc à une équation : ∂t Q = i ω21 Q − i Ω + 2i Ω|Q|2 ; (iii) la troisième transformation est l’approximation d’enveloppe [4] ou approximation de l’optique diffractive [3] qui conduit au système adimensionné suivant sur les enveloppes des champs (on a pris l’axe z comme direction de propagation) : (∂t + ∂z )E + i εL∆⊥E = −i βQ,
i ∂t Q + (Q + E) = i E |Q|2 . ε
(3)
Les paramètres L et β sont d’ordre 1, ε est de taille 10−3 −10−4 . L’opérateur ∆⊥ désigne de Laplacien dans les variables transverses x et y. 2. Le problème de Cauchy et le comportement asymptotique Le résultat est le suivant : T HÉORÈME 2.1. – Soient a et b deux fonctions dans Hs (Rd ) pour s suffisamment grand. Soit E0 la solution de (∂t + ∂z )E0 = i βE0 avec E0 (t = 0) = a et Q0 la solution de ∂t Q0 + i βQ0 = −i |E0 |2 Q0 telle que Q0 (t = 0) = (b + a). Alors il existe T > 0 (indépendant de ε) et une unique solution (E ε , Qε ) de (3) dans C([0, T ]; Hs ) vérifiant (E ε , Qε )(t = 0) = (a, b). On a de plus ε E − E0 ∞ = O(ε) et Qε − Q0 e−it/ε + E0 L∞ (0,T ;Hs−2 ) = O(ε). L (0,T ;Hs−2 ) Démonstration. – Par les techniques usuelles, il est facile de voir qu’il existe une solution (E ε , Qε ) de (3) définie sur [0, Tε ]. La première étape consiste alors à montrer qu’il existe T > 0 tel que Tε T et que (E ε , Qε ) est borné sur [0, T ] indépendamment de ε. On considère tout d’abord la transformée de Fourier en espace du système : + i ξE = −i β Q, + i Q +E = 0, ∂t Q (4) ∂t E ε où i ξ désigne le symbole de ∂z + i εL∆. Soit M (ξ) la matrice définie par : M (ξ) =
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−i ξ i − ε
−iβ i − ε
.
Systèmes de Maxwell–Bloch
On écrit explicitement la décomposition√spectrale de M (ξ) pour résoudre (4). Les valeurs propres de M (ξ) i sont données par λ± = − 2ε (1 + εξ ± δ) où δ = (1 − εξ)2 + 4εβ. Les projecteurs spectraux Π+ et Π− sont donnés par : 1 1 1 1 I + √ J et Π− = I − √ J, 2 2 δ δ où I est la matrice identité et la matrice J est définie par : Π+ =
εξ − 1 2 J = 1
(5)
εβ 1 − εξ . 2
√ √ La difficulté ici est que δ n’est pas minorée uniformément par rapport à ξ et ε, ainsi le terme en 1/ δ √ dans (1/ δ)J pose problème (les trois autres termes sont bornés). Il n’est donc pas possible d’obtenir une borne de (E, Q) solution de (4) sous la forme : |E(t)| + |Q(t)| c(|E0 | + |Q0 |) avec C indépendant de ε et ξ. Néanmoins, la structure particulière de la nonlinéarité dans (3) permet d’obtenir des bornes sur le système non linéaire. En effet, soit (E ε , Qε ) solution de (3), alors X ≡ (E ε , Qε ) vérifie : X(t) = eλ+ t Π+ + eλ− t Π− X(0) +
t
e
λ+ (t−s)
Π+ + e
λ− (t−s)
Π−
0
0 i E ε |Qε |2
(s).
(6)
La preuve du théorème repose alors sur les trois lemmes suivants dont les démonstrations sont directes. L EMME 2.2. – Il existe C1 > 0 tel que, pour toute f ∈ Hs (Rd ), on a Π± f0 Hs C1 |f |Hs . L EMME 2.3. – Il existe C2 > 0 telle que, pour toutes f et g dans Hs (Rd ), pour tout ε 1/2 avec √ support(f) et support( g ) inclus dans {|ξ| 1/ ε}, on a Π± fg Hs C2 |f |Hs + |g|Hs . L EMME 2.4. – Il existe C3 > 0 telle que, pour toutes f et g dans Hs (Rd ), pour tout ε 1/2 avec √ support(f) et support( g ) inclus dans {|ξ| 1/ ε}, on a Π± fg Hs C3 |f |Hs+1 + |g|Hs+1 . Les lemmes 2.3 et 2.4 permettent de contrôler le terme linéaire de (6) tandis que le lemme 2.2 donne le contrôle du terme non linéaire ce qui montre qu’il existe T > 0 tel que Tε T . Le développement asymptotiques s’obtient en cherchant la solution par la méthode BKW habituelle (voir [1] pour les détails). 3. Approximation numérique Le problème physique à résoudre est un problème aux limites avec conditions initiales nulles : E(t, x, z = 0) = f (t, x), E(t = 0, x, z) = Q(t = 0, x, z) = 0. On se donne f à support compact en temps. On utilise une discrétisation par différence finies en z, une méthode spectrale en x, y. Le calcul en temps est effectué en deux phases. (i) Phase d’entrée : tant que la donnée au bord n’est pas nulle, on résout (3) par un schéma à pas fractionnaires. Dans l’étape 1, on résout ∂t E + ∂z E = 0 de façon exacte (donc à CFL= 1) en utilisant la condition en z = 0. Dans l’étape 2 on résout de façon exacte ∂t E + i εL∆⊥ E = −i βQ,
i ∂t Q + (Q + E) = 0. ε
La troisième étape est non linéaire : on résout ∂t Q = i E |Q|2 avec E fixé avec le schéma d’Euler explicite. (ii) Phase de propagation : dès que la donnée en z = 0 est nulle, on fait un changement de variable en z pour suivre la propagation, l’étape 1 devient la résolution de ∂t Q − ∂z Q = 0 avec donnée au bord à droite nulle, les étapes 2 et 3 sont inchangées. Le schéma s’avère robuste. La figure concerne le cas d’une donnée
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R. Abgrall et al.
Figure 1. – Profil temporel de la norme du champ électrique en z = 1 km.
au bord de la forme e−(t−t0 ) /tlaser eiα cos(βt) (i.e. modulée en phase et qui ne rentre pas dans le cadre d’application du théorème précédent) après 1 km de propagation, pour différentes discrétisations en z. Il s’agit de la norme au carré du champ électrique en fonction du temps exprimé en ns. N z désigne le nombre de points de discrétisation utilisés sur la longueur de l’impulsion. Les courbes semblent être superposées à partir de N z = 20000. En consultant [1], on trouvera des applications aux cas bi et tridimensionnels. 2
Remerciements. Ce travail a été partiellement financé par le CEA/DEN/DPC/SPAL.
Références bibliographiques [1] Colin T., Nkonga B., Numerical model for light interaction with two-level atoms medium, Preprint MAB, Université Bordeaux-1, LRC-01.16, 2001. [2] Joly J.-L., Métivier G., Rauch J., Transparent nonlinear geometric optics and Maxwell–Bloch equations, J. Differ. Eq. 166 (2000) 175–250. [3] Joly J.-L., Métivier G., Rauch J., Diffractive nonlinear geometric optics with rectification, Indiana Univ. Math. J. 47 (4) (1998) 1167–1241. [4] Newell A.C., Moloney J.V., Nonlinear Optics, Addison-Wesley, 1991.
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