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Etude theorique du refroidissement de bobines sans fer par plaques conductrices de la chaleur
NUCLEAR INSTRUMENTS
AND M E T H O D S 4t
(~966) 277-285; ©
NORTH-HOLLAND
PUBLISHING
CO.
E T U D E T H E O R I Q U E DU R E F R O I D I S S E M E N T DE BOBINES SANS FER PAR P L A Q U E S C O N D U C T R I C E S DE LA C H A L E U R Dr M U G N I E R , P. A R G O U et J. L A F O U C R I E R E
Institut de Physique Nueldaire de Lyon, France Requ le 23 Juillet 1965 Practically, the cooling of ironless coils with current density varying from 5-10 A/ram2, is often realized by juxtaposition of plane circular coils of wire and conducting copper plates cooled with a water circulation. This problem is first treated with a simplified theory. Then a
more elaborated theory takes account of the thermic conductivity between the wires. With the help of an electric analogy, both the temperature and its gradient, are obtained in every point of the coil.
1. Introduction La pr6sente 6tude s'inscrit dans le cadre de la rdalisation d'un spectrographe fl ~ bobines sans fer, utilisant une induction magn6tique ~ sym6trie de r6volution variant en r - 1 dans son plan de sym&rie. On salt que pour maintenir une temp6rature aussi voisine que possible de l'ambiante au coeur de bobinages parcourus par des courants, on peut utiliser des conducteurs tubulaires dans lesquels circule un fluide liquide ou gazeux. Le plus employ6 est incontestablement l'eau distill6e et d6min6ralisde raise en mouvernent par une pompe en circuit ferm6. Cependant si l'on est astreint h utiliser des bobines ~ coefficient de foisonnement r/ (rapport du volume total d'une portion d'enroulernent au volume total de mdtal conducteur contenu dans celle-ci) aussi voisin que possible de l'unit6, la section offerte au fluide rdfrig6rant doit &re la plus faible possible, le d6bit m a x i m u m est donc diminu6 et les possibilit6s de la m6thode sont r6duites d'autant. On peut 6galement utiliser des conducteurs pleins et faire en sorte qu'ils soient maintenus ~t faible distance les uns des autres de faqon que circule entre eux le liquide r6frig6rant. Cette m&hode a 6t6 6tudi6e et expos& par Gaumel), mais 1~ encore, si l'on veut le coefficient q voisin de un, nous arrivons aux m~mes conclusions. De plus, la rigidit6 m6canique de tels bobinages est moins bonne. Donc si l'on veut obtenir un coefficient de foisonnement aussi r6duit que possible et un refroidissement efficace, ces deux proc6d6s tr~s classiques seront inapplicables. C'est pr6cis6ment le cas des petites bobines, ou m~me des bobines plus importantes si l'on veut que celles-ci soient encore assimilables ~ des courants filiformes c o m m e l'a montr6 Lyle2). On se heurte ~ cette difficult6 lorsqu'on combine des bobines circulaires associ6es par paires de faqon "3. obtenir un c h a m p en
r -1 dans leur plan de sym6trie. Un champ suffisant pour focaliser des particules charg6es d'6nergie allant par exemple jusqu'~ 400-500 keV ndcessite de fortes densit6s de courant pour respecter les conditions de Lyle. Mais alors l'&hauffement des bobines rend la topographie obtenue d6pendante de la temp6rature (sans compter les risques 6ventuels de d6t6rioration des isolants et de mise en court-circuit) et l'un des avantages essentiels des bobines sans fer, h savoir la variation lindaire du champ avec l'intensit6 du courant, est par l~t-m~me supprim6. Si la densit6 de courant est 61ev6e, sans &re exag6r6e, par exemple de l'ordre de 10 A/mm z, on peut alors utiliser le mode de refroidissement suivant, d'ailleurs tr6s employ6 en pratique. Chaque bobine est constitu6e d'une superposition de galettes identiques s6par6es par des plaques de m&al tr6s conductrices de la chaleur, par exemple en cuivre, raison d'une plaque pour deux galettes. Ces plaques de rayon extdrieur 16g6rement sup6rieur ~t celui des bobinages sont refroidies par un fort courant d'eau circulant par convection forc6e dans un tube soud6 sur leur pourtour, ~. condition qu'elles soient suffisamment rigides ou distantes de leurs voisines pour le permettre. Dans le cas contraire, en jouant sur la surface d'6change avec des plaques de plus grand rayon maximum, on peut les refroidir par convection au rnoyen d'air puls6 ~t grande vitesse. Tous ces calculs peuvent se traiter par les lois tr~s connues de la thermique relatives g la conductibilit6 et la convection, bien que dans un tel probl6me, elles ne soient pas ais6es g manipuler. Nous avons alors envisag6 l'utilisation d'une analogie 61ectrique qui revient ~ n'utiliser que les lois d ' O h m et de Kirchhoff et qui ram6ne alors les mesures de flux et de tempdrature ~ des mesures d'intensit6s et de tensions 61ectriques.
277
278
D. MUGNIER et al.
2. Rappels sur la th~orie de la conduction de ehaleur dans un solide. Analogie 61ectrique 2.1. CONDUCTIBILITI~ THERMIQUE Rappelons que si dans un corps, on consid6re un 616ment de surface dS et la normale en son centre A, orientde du point le plus chaud A v e r s le point le plus froid A', la quantit6 de chaleur qui traverse dS suivant cette normale dans le temps dt est donnde par la loi de Fourier: dO = - k@T/~n) dS dt, (1) o15 Test la temp6rature en A en °C et k le coefficient de conductibilit6 thermique du mat6riau. Le flux de chaleur ~, qui doit repr6senter l'6coulement de chaleur par unit6 de temps et de surface, s'exprime par : cb = ( dQ/dS) (I/d 0 = - k(OT /On),
soit en notation vectorielle: • = - k grad T.
(2)
Ce flux v6rifie une 6quation classique de continuit6: pc(OT/~t) = div (k grad T),
(3)
off p reprdsente la masse spdcifique et c la chaleur spdcifique du solide. Si k est pratiquement constant, ce qui est trbs souvent le cas, on aura: pc@T~&) ~- kVET.
(4)
S'il existe au sein du solide une source de chaleur (par exemple, si un d6gagement par effet Joule lors du passage du courant se manifeste), qui 6mette une 6nergie H par unit6 de volume, la relation (4) s'6crira: p c ( 6 T / & ) = kV2T + 14.
(5)
En r6gime permanent, avec H =constante, l'6q. (5) se r6duit/t l'6quation de Poisson: VZT = - H / k .
On est donc ramen6 ~t un probl~me classique en imposant des conditions aux limites d6termin6es. 2.2. ANALOGIE ~LECTRIQUE En tout point d'un corps isolant ou conducteur, le potentiel V obeit 6galement /l l'6quation de Poisson: V2V=constante. I1 semble donc que l'on puisse assimiler temp6rature et potentiel et que du point de vue th6orique, il n'existe entre thermique et 61ectricit6 qu'une diff6rence de vocabulaire entre les deux aspects d'un m~me probl6me. D'ailleurs, la loi d ' O h m pour un conducteur filiforme
de largeur dx off R e s t la r6sistance par unit6 de longueur, s'6crit : I = (l/R)(dV/dx) = Q/t. Cette relation est de la m~me forme que (1) 6crite: Q/t = k S ( d T / d x ) .
Les solutions d'un probl6me particulier seront donc identiques dans les deux cas,/a condition d'imposer des conditions aux limites correspondantes. La similitude entre le probl6me de thermique et le probl~me d'61ectricit6 se traduit donc de la fagon donn6e par le tableau 1. TABLEAU 1
Chaleur Quantit6 de chaleur Temp6rature C o u r a n t de chaleur R6sistance t h e r m i q u e Coefficient de c o n d u c t i o n Flux de chaleur
Q T
Q/t Rth = l/(kS) k ~ = (Q/t) ( l / S )
Conservation du courant de chaleur AT = Cte Electricit6 Quantit6 d'61ectricit6 Q T e n s i o n ou potentiel V C o u r a n t 61ectrique I R6sistance 61ectrique Re = p(l/S) Conductibilit6 lip Densit6 de c o u r a n t i = 1IS Conservation du c o u r a n t 61ectrique A V = Cte
3. Etude th~orique simplifi~e du mode de refroidissement adopt~ 3.1. HYPOTHI~SES DE BASE Nous allons supposer que: 1. le r6gime permanent est 6tabli, 2. la bobine est thermiquement isol6e de l'air ambiant, compte-tenu de son tr~s faible coefficient de convection naturelle, et des supports qui sont pr6cis6ment des isolants, 3. la temp6rature de l'eau qui circule dans les canaux soud6s aux plaques est la m~me partout. C'est pratiquement le cas si le d6bit est suffisant, 4. la r6sistance thermique entre deux spires d'une m~me galette est infiniment grande vis-h-vis de celle qui existe entre elles et la plaque en contact. Nous verrons que cette derni6re hypoth6se est assez grossi6re, qu'elle pessimise le probl6me et que la solution qui en d6coule ne convient que si l'on n'est pas
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R E F R O I D I S S E M E N T DE BOBINES SANS FER
t r a p exigeant en ce qui concerne le coefficient de foisonnement q des bobines. 5. les conducteurs utilis6s sont de section rectangulaire 5. couche de vernis isolant d'6paisseur constante le long du p6rim6tre de cette section. Le contact des spires entre elles avec la plaque doit ~tre en effet aussi intime que possible, la moindre couche d'air pouvant r6duire consid6rablement la valeur du flux de chaleur transmis.
3.1.1. Consdquences 1. aucune accumulation de chaleur n'est possible, 2. l'6coulement de chaleur & l'ext6rieur de la bobine ne se fait que par conduction radiale dans les plaques de cuivre, puis par convection forc6e du fluide rdfrig6rant. Tout le probl6me de la conduction obeit donc aux conditions de sym6trie de r6volution. De plus, tout ensemble constitu6 par une plaque et les deux galettes adjacentes se comporte c o m m e s'il 6tait isol6 des autres. L'6tude ne portera donc que sur l'un de ces ensembles et m~me seulement sur une galette et la demi-plaque correspondante, ce qui donne le sch6ma de la fig. 1. Cuivre ~
repr6sentent les conducteurs et a, b, c, ... les points correspondants de la plaque. R d6signe la r6sistance thermique de la demi-plaque conductrice entre deux conducteurs cons6cutifs; r est celle qui existe entre conducteur et demi-plaque (donc celle de l'isolant en premi6re approximation); r' est celle entre deux conducteurs voisins (doric 6galement celle de l'isolant). Le sch6ma (fig. 3) permet de transposer aisdment, l repr6sentant le rayon moyen de chaque spire. -~
~
A x e iz d e la f bobine /
~
[
/Isolant
a
mesur~e perpendiculairement & la fig. 2. A, B, C ...
e
Fig. 3. Vue partielle permettant de transposer la fig. 1 en fig. 2.
/
Si k¢ est le coefficient de conduction du cuivre et kl le coefficient de conduction de l'isolant, en admettant que dans la plaque les lignes de flux sont des plans perpendiculaires /t Oz et les surfaces isothermes des cylindres d'axe Oz, on aura:
//////// P l a q u e d e cuivre
Fig. 1. Ensemble "galette et demi-plaque adjacente". Demisection radiale.
R=al/(kcEldO), r=e/(kialldO) et r' =2c/(kla21dO).
3.2. REPARTIT1ON DES TEMPI~RATURES AU COEUR DE LA
En r6gime permanent, la quantit6 de chaleur Q dissip6e par une des portions de spire par effet Joule est:
BOBINE ET LE LONG DE LA PLAQUE
3.2.1. ScMma #lectrique ~quivalent Nous utilisons comme pr6vu une analogie 61ectrique. Si nous rempla¢ons chaque conducteur par sa fibre moyenne A, B, C . . . . N parcourue par le m~me courant (ce qui revient /~ n6gliger la r6sistance thermique du cuivre des ills vis-h-vis de celle des isolants), on obtient
Q -- (1/J)golEt, off: R o = Pc dx/(ala2) est la r6sistance 61ectrique d'une portion de conducteur, et I o l'intensit6 du courant 61ectrique circulant dans les ills. Q/t est alors une valeur commune pour toutes les portions de conducteurs consid6r6es; son 6quivalent sera appel6 I.
lYquivalent ~lectrique du comportement thermique de l'ensemble (demi-plaque-conducteur) de largeur ldO N
r'
M
....
D
r'
C
. r"
3
,r'"
A
It Fig. 2. Equivalent 6|ectrique du comportement thermique de l'ensemble de la fig. 1.
st
It
i
it
Fig, 4. Equivalent 61ectrique de l'ensemble de la fig. 1 en n6gligeant la transmission de chaleur entre spires adjacentes.
280
D. MUGNIER et al. La courbe VK = f ( k ) s'en d6duit par translation:
5)
I : conducteurs
v,
VK = 1/1 - ½ R I k ( k -
i
,
I I t I I t
rayon r
t
Rint
(7)
La concavit6 de ces courbes sera d'autant plus faible que R sera plus faible. Leur distance croit lin6airement avec r. La diff6rence de temp6rature entre deux conducteurs cons6cutifs, faible & l'int6rieur de la bobine, croit quand on gagne l'ext6rieur, puisque VL- VK= RIk. Elle d6pend de R, r6sistance de la plaque. On a donc int6r~t & prendre une plaque tr~s conductrice de la chaleur pour diminuer R donc le gradient total de temp6rature au sein d'une galette et de la demiplaque adjacente.
plaque
E [o
1)+ rI.
iRext
4. Etude th6orique plus ~labor6e du mode de refroidissement adopt6
Fig. 5. R@artition radiale des temp6ratures dans la plaque et dans les conducteurs adjacents. R 6tant n6glig6 devant r', ce courant I auquel chaque conducteur donne naissance, passera donc uniquement & travers les r~sistances r pour circuler ensuite dans les r6sistances R puisque nous avons n6glig6 les 6changes thermiques entre conducteurs. Le sch6ma 61ectrique simplifi6 est alors donn6 fig. 4.
I1 est en r~alit6 injustifi6 de n6gliger les 6changes thermiques entre conducteurs voisins. Si l'@aisseur d'isolant qui les s6pare est double, par ailleurs, ils pr6sentent entre eux une surface de contact beaucoup plus grande qu'avec la plaque. I1 r6sulte qu'en fait, la r6sistance 6quivalente r' est de l'ordre de grandeur de r. Nous avons en effet: R/r' = (ki/kc) (½al/e) (a2/E) et
3.2.2. Etude de la r~partition des temp&atures Nous avons:
V,,--VA=Vb--VB . . . . .
R / r = (ki/kc) {a~/(eE) }. Le coefficient de foisonnement t/, donn6 par:
V . - VN = - r I .
Les courbes VN = f l ( n ) et I1, =f2(n) se d6duiront donc l'une de l'autre par translation de module rI parall61ement & l'axe des V. Or, dans la plaque (ou le long des R), il est 6vident que la r@artition des potentiels est la suivante: Vk = V1 - ½ R I k ( k - 1).
(6)
Graphiquement on obtiendra donc une succession de points d'une parabole dont le maximum a pour valeur Vt potentiel de la plaque au niveau du premier conducteur. n I~_i
m I~-2
In
In-2
N
)M I~,
g I~-3
rl = l + E/az, devant &re aussi voisin que possible de l'unit6, des exemp]es pratiques montrent ais6ment que R e s t inf6rieur effectivement & r', mais dans un rapport assez faible (de l'ordre de ~o pour fixer les id6es). On voit que l'6change thermique entre ills peut n'~tre pas n6gligeable et intervient pour uniformiser la temp6rature au coeur de la bobine. Notre quatri~me hypoth~se de la th6orie pr6c6dente apparait donc comme la plus sujette & caution. Nous l'abandonnerons dans le calcul qui suit. k
In-3
. JL ~ I'n_~2 [~-'3
c
41
q
13
/K
Fig. 6. R~partition des courants thermiques dans l'ensemble de la fig. 1, en tenant corn )te des 6changes thermiques entre conducteurs voisins.
REFROIDISSEMENT
4.1.
DE BOBINES
R E P A R T I T I O N DES TEMPI~RATURES AU COEUR DE LA BOBINE. E Q U A T I O N S GI~NI~RALES
A l'int6rieur de la bobine, le sch6ma 61ectrique 6quivalent au syst~me est donn6 par la fig. 6. Nous utiliserons les notations suivantes du point de rue intensit6s. I1 est 6vident que: k
I'k=kI--
~
I j,
de temperature entre le point le plus chaud et le point le plus froid. Montrons que la th6orie simplifi6e du d6but donne un VA-- Vr~ et un A V qui peut ~tre tr6s sup6rieur. Pour cela nous indicerons les termes de celle-ci par 1 et ceux de la th6orie plus 61abor6e par 2. 4.2.2. Gradient dans la plaque (Va--V,)2 Puisque ( VA - Va) 1 = rI > (V A - Va)2 r ( I - I~) = rI 1 et comme (VA)I = (VA)2, alors: =
j=l k
I~ = Z I j, )=1 rIg=--r'
281
SANS FER
V.2 = V.,+rI'~;
(8)
(11)
d'autre part:
(k-1)I-
Ij
+ r I g _ l + R ~ Ij.
j=l
k-1
j=l.
(V~- Vk)2 = R ~, ( k - i)I~ < R [ I + 2I + . , .
Connaissant donc I e t I~, on connait de proche en proche tousles Ik,I ~ et I~ et finalement la loi de r6partition des flux thermiques et des temp6ratures en tousles points du syst~me plaque-galette. [nt6ressons-nous h la r6partition des potentiels le long de la plaque et des bobinages comme il a 6t6 fait dans la th6orie simplifi6e: 4.1.1. Diff&ence de tempdrature entre plaque et spire adjacente On montre finalement que: k--I
VK -- Vk = VA -- V,-- ½r'k(k - 1)I + (R + r') ~ (k - i)I,. (9) i=1
Si l'on connait I et I1, on connait en tout point k, V K - V k. On retrouve 6videmment la valeur de la th6orie simplifi6e s i r ' >> R, puisque dans ce cas: Ii = L 4.1.2. Rdpartition des tempdratures le long de la plaque La loi parabolique pr6c6dente est remplac6e par: (10)
On remarque encore que sir' >> R, I~ = l e t l'on retrouve la r6partition de la th6orie simplifi6e. D~s que le r6seau comporte un grand nombre de mailles, il est assez fastidieux de r6soudre ce syst~me. Les cas particuliers simples (i = 2, 3,...) n'ont aucun int6r~t pratique. Nous nous bornerons donc h une 6tude qualitative et nous v6rifierons nos conclusions sur un analogue 6lectronique. 4.2. CONSEQUENCESDES ~QUATIONSGI~N[~RALES 4.2.1. Gradient de temp&ature Nous d6signerons par gradient de temp6rature ~, l'int6rieur des spires d'une galette, la quantit6 (V A - VN) et par gradient de temp6rature total la diff6rence:
AV=V~-V.,
... + ( k - 1)l] = (Vo- v~)l. Alors:
(v~)2 > (v~h + rt; > (v~h, (Va--Vk)z < (Va-Vk),.
(12)
Le gradient de temp6rature dans la plaque est inf~rieur/l celui donn6 par la th6orie simplifi6e. C'est bien normal, puisqu'une partie non n6gligeable du flux thermique s'6vacue/l travers le bobinage lui-m~me. On obtient alors la repr6sentation des temp6ratures dans la plaque donn6e fig. 9. 4.2.3. Gradient le long des eonducteurs (VA--VN)2 Comme: V.2 > V,,, on a: VN2 = V.2+rI. > V.2+rI > V . , + r I = VN, et ( V A - - VN) 2 < ( V A - - VN) 1 .
4.2.4. Gradient total
k-1
V~ - Vk ----R ~, (k -- i)I i. i=1
i=1
AV~ = (VA,-- V.3 < (VA--VN)I+rI = AVl AVz < AV1. Si l'on repr6sente graphiquement la r6partition des potentiels le long des conducteurs, il taut auparavant tenir compte des remarques suivantes: Non seulement VK2 est sup6rieur/t VK1 mais bien que les courants Ik n'aient pas 6t6 explicit6s (puisque 11 est inf6rieur A I et que I. lui est sup6rieur), I, crolt continument avec k et/~ partir d'un certain rang k, devient sup6rieur h L On obtient alors la courbe suivante off les deux aires hachur6es seront 6gales, puisque ~k I, = hi. A partir de k = h, on aura VK~- V** > rI; les conducteurs suivants transmettent /t la plaque un flux sup6rieur A celui cr66 en eux (fig. 7). Quant au flux par conduction C' entre conducteurs,
282
D. MUGNIER et al.
c[I;,
]'K r~
I
h
k
Fig. 7. R6partition des 6changes thermiques entre plaque et conducteurs num6rot6s de 1 5_n. il part d'une certaine valeur If et croit continument au depart c o m m e V s - V L . Mais il doit s'annuler au niveau du dernier eonducteur qui ne transmet rien par conduction (hypothese 2, 26me partie). Ce flux C passe done par un m a x i m u m pour diminuer rapidement. La courbe VK = f ( k ) pr&entera done un point d'inflexion et s'infl6chira vers les V positifs (fig. 8). Finalement la repartition des temperatures au coeur de la bobine est representee fig. 9 off l'on voit nettement que le gradient total A Vz est inferieur ~ A Vt. 4.3. DIMENSIONS OPTIMALES D U FIL A EMPLOYER On sait (hypothese 5) que les ills sont de section reetangulaire, mais rien jusqu'ici n ' a pu m o n t r e r quelles &aient les valeurs o p t i m a p o u r les dimensions at (epaisseur) et az (hauteur) du ill. On con¢oit eependant que, si l'on obtient un A V2 m i n i m u m et qu'ensuite en agissant soit sur l'epaisseur de la plaque, soit sur le debit d'eau ou d'air, on rende (VA) 2 le plus faible
fVoU T
1 n k Fig. 8. R6partition des 6changes thermiques entre conducteurs voisins. possible, alors la bobine chauffera d ' a u t a n t moins et le gradient de temperature au coeur de celle-ci sera d ' a u t a n t plus faible. C o m m e A V2 est inferieur ~t A V~, nous rendrons A V 1 m i n i m u m . A V~ = I [ r + ½ n ( n - I)R] en prenant ldO = 1. Posons a~a2 = k = c t e , ce qui est justifie par le fait que I e s t une constante: AV1/I = [ { ½ n ( n - 1 ) a l / ( k c E )
} + e/(kial)].
D ' a p r e s les normes de fabrication courante, on peut fixer e ~ l ~ a 1 et c o m m e E, I et a t a 2 sont des donnees du probleme, A V1/I croit avec as qu'il faudra rendre le plus faible possible. Mais alors la rigidite m6canique des bobines diminue et le contact thermique avec la plaque devient de moins en moins bon. De plus, si a t e s t faible, on ne peut plus negliger dans la resistance entre plaque et conducteur la resistance de celui-ci. Alors, avec r o = ½ a z / ( k c a l ) et a l a z = k : A I11/I = 1 / (lOk,) + ½k / (k~a 2) + ½n(n - 1)a, / (kcE)
(AV~/I)'a, =0
at =[(2kE)/{n(n-1)}-[ "~, (13)
si
ce qui reprdsente une condition de m i n i m u m pour A V 1 (fig. 10).
AVq I
V
r
Vnl
J F
a,~ k
n
"k
Fig. 9. R@artition des temp6ratures dans la plaque ou le long des eonducteurs, donn6e par les deux th6ories.
--['- 2kE -]½
opt-Ln (n- 1)J
Q1
Fig. 10. Influence de l'epaisseur du fil utilis6 sur le gradient total de temp6rature.
283
R E F R O I D I S S E M E N T DE BOBINES SANS FER
[ 30 ~
Transmission fils- plaque [k=f (K)
20 I=20mA
/
I 1" l
~
Transmission entre fils Ik=f(k)
2_[1~
4
~
3
a
~
6
7
A
~'o
4.4. VI~RIFICATIONS EXPI~R1MENTALES DE L'I~TUDE
I1 est thOoriquement possible de v6rifier par le calcul toutes les cons6quences d6duites de notre 6tude. Cela est simple dans le cas de deux, trois ou m~me quatre conducteurs juxtaposOs et il n'y a aucune contradiction entre ces cas simples et la th6orie gOn6rale. Cependant en pratique, les bobinages employ6s sont beaucoup plus importants et l'6tude thOorique plus 61abor6e devient extrOmement complexe; il vaut mieux faire un montage 61ectrique 6quivalent aux bobinages du point de vue thermique. Nous avons pris comme exemple une galette de 10 spires de section rectangulaire 28 m m 2, ora a 1 = 2.8 m m et a2 = 10 m m et une plaque d'@aisseur 2 E = 3 mm, les coefficients kj et kc 6tant pris dans un rapport de 1 h 300, r6f. 3). Alors: R / r # ~ - ~ et R / r ' # 1 soit r / r ' # s. Entre la sortie du bobinage et le tube soud6 ofa l'on fait circuler l'eau de refroidissement, la r6sistance thermique de la plaque R~ est dans un rapport de 2.7 avec R. Nous avons pris alors les valeurs suivantes pour les r6sistances: r=150f2;
~
<1<:1
\
9
Fig. 11. Repartition des flux thermiques obtenus experimentalement. 1,3. Theorie plus elaboree; 2,4. Theorie simplifiee.
R=10£2;
"
.
O~
i
Plaque~"-
r'=82f2;
R~=27f2
et avons construit un rOseau de 10 mailles aliment6es par une source 5. courant constant I. Celle-ci est constituOe d'une sdrie de 10 transistors npn du type 2 N 1990 dont l'6metteur esl~ reli6 /t la masse par l'interm6diaire d'une r6sistance Re qui assure une contre-rdaction de courant, le potentiel de base de chacun 6tant fix0 par diode Zener. Le courant collecteur I c ne d6pend alors que de Re et de la tension de la diode Zener. Compte-tenu des r6sistances du r6seau, pour avoir des tensions et des puissances mises en jeu raisonnables (quelques V ou W) nous ayahs pris:
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10 k
Fig. 12. Repartition des temperatures obtenue experimentalement. 1. Theorie simplifiee; 2. Theorie plus exacte. vb=10V;
Re=470f2;
/~=20mA.
Nous avons obtenu les courbes experimentales representees figs. 11 et 12 off l'on a represent6 en fonction de k (numero du conducteur compt6 de l'interieur vers l'exterieur de la bobine) le courant transmis dans la plaque I k = f ( k ) , le flux transmis entre conducteurs Ik = f ( k ) et la temperature en tout point de la bobine et de la plaque. On retrouve ainsi exactement les repartitions prevues theoriquement. 4.5. MODES DE REFROIDISSEMENT
4.5.1. Refroidissement par eau Si l'on admet qu'il n'y a pas dissipation de flux des plaques 5- l'air ambiant, le flux dans une section droite de la plaque extOrieure aux bobinages est constant et 6gal fi 2nI; la r6partition des temp6ratures de long d'un rayon est alors lin6aire et si l'on d6signe par R' la rOsistance thermique de la plaque par unit0 de longueur, nous avons (fig. 13): V, - Vc = R'L" (2nI).
Enfin entre la plaque et l'eau, l'6change thermique se fait par convection forc6e: V c - VD = 2nI /(aS).
C o m m e a est trOs 61ev6 pour l'eau, Vc - VD sera tr~s faible.
JJJ Fig. 13. Ensemble plaque-galettes adjacentes.
4
284
D. MUGNIER et al.
En d4finitive, nous aurons: k--1 A V 2 = VA -
VD = rI 1 + R Z (k - i)I, + 2 n R ' L I + 2 n I / ( ~ S ) , i=1
(14) off Vo est donn6 (c'est la temp6rature de l'eau). On r6duira encore A V z en prenant L petit et S surface d'6change cuivre-eau suffisante. En d6finitive la r6partition des potentiels donc des temp6ratures en un point quelconque du syst6me est la suivante (fig. 14).
vection 5. la surface de l'ailette sur laquelle on supposera le coefficient d'6change thermique a constant. Si a d6signe la surface d'une section droite (a = 2EldO) et p son p6rim~tre ( p = 4 E + 2 1 d O ) , en supposant que T = T(r), on obtient facilement: T-To
= ( T , - To)ch { 2 ( L - r ) } / c h ( 2 L ) .
off 2 = (ctp/ak) ½, T 1 est la temp6rature de l'ailette/t la sortie des conducteurs et T O la temp6rature de Fair ambiant, avec: T 1 = 2 n I / { 2 k a th (2L) } + To.
VA2
v. 2
~
(15)
(16)
On pourrait appliquer ce mode de refroidissement des bobines off il est impossible d'utiliser une circulation d'eau pour les raisons d6j~ vues ant6rieurement, ce que nous avons fait pour des petites bobines h densit6 de courant de 6.5 A / m m 2 off il a 6t6 trouv6 un gradient de 6°C maximum.
ucteurs
N
5. Conclusion Tempdrature de I'eau
C D
~1_~ Fig. 14. R6partition des temp6ratures au coeur de la bobine. Nous avons appliqu6 ce principe aux bobines utilis6es par Moussa et al. pour la r6alisation d'un spectrom6tre en 1/~/r au Centre d'Etudes Nucl6aires de Grenoble et dont nous le remercions d'avoir bien voulu nous communiquer les caract6ristiques g6om6triques. Avec une vitesse de l'eau de 0.5 m/sec et un tube de section int6rieure S = 1 cm 2, nous avons obtenu par la th6orie simplifi6e: VA-Va
~. 1 0 - 2 ° C
v.-v.
=3°c
V , - V c = 1.4°C Vc--VD = 7 X 1 0 - 3 ° C soit un gradient total de 3.5°C maximum. On aurait pu 6galement r6aliser un r6seau 61ectrique 6quivalent au syst6me complet, obtenir ainsi t o u s l e s courants Ik et ainsi calculer le gradient total r6el qui serait inf6rieur. 4.5.2. Refroidissement par air La chaleur est alors transmise uniquement par con-
L'analogie 61ectrique nous a permis de faire l'6tude th6orique compl6te du mode de refroidissement couramment employ6 qui consiste ~. intercaler dans les bobinages des plaques de cuivre refroidies par circulation d'eau. Si l'on tient compte de la conductibilit6 thermique entre ills, cela permet en particulier de voir que le gradient de temp6rature au coeur de la bobine est moins 61ev6 que ne le donne la th6orie simplifi6e (qui la suppose nulle). Pour d6terminer le gradient exact, il suffit de construire un r6seau maill6 6quivalent ~ la bobine du point de vue thermique et de mesurer les tensions 61ectriques aux noeuds de celui-ci. Cela est plus simple et plus pr6cis que de mesurer directement les temp6ratures et permet de les connaitre en un point quelconque du coeur de la bobine. On connaitra 6galement par cette m6thode la r6partition des flux thermiques. Dans les applications num6riques, les diff6rences de potentiel mesur6es seront transform6es en diff6rences de temp6rature en 6valuant le courant I en unit6s thermiques, donc en cal/sec ou kcal/h par l'interm6diaire de la relation: I = (Q/t)(Ro1~/4.18) cal/sec off Ro est la r6sistance ohmique r6elle du conducteur et I o l'intensit6 du courant d'alimentation des bobines. Puis dans les diff6rences de potentiel A V = rI mesur6es sur le r6seau 6quivalent ainsi construit, on remplacera les r6sistances ohmiques r par des r6sistances thermiques obtenues en changeant dans r la r6sisti-
REFROIDISSEMENT
DE B O B I N E S S A N S F E R
vit6 p e n I l k inverse du coefficient de conductibilit6. Si l'on pose que le potentiel de r6f6rence (potentiel nul) est celui correspondant ~. la temp6rature de l'eau de refroidissement suppos6e uniforme (si le d6bit est suffisant) sur le pourtour de chaque plaque, alors chaque tension mesur6e sur le r6seau correspondra une seule temp6rature et inversement. Nous tenons & remercier Monsieur le Professeur A. Moussa de la Facult6 des Sciences de Grenoble pour les nombreux renseignements techniques et pratiques qu'il a bien voulu nous communiquer, ainsi que le
285
Centre National de la Recherche Scientifique dont l'aide nous a permis de m e n e r / t bien le pr6sent travail. R~f6rences 1) Gaume, Th6s¢ de Doctorat (Paris, 1956). 2) Th. Lyle, Phys. Soc. Londrcs (190t). 3) A. Mondiez, Cours de Physique Industrielle (Gauthier-Villars, 1947). 4) j. H. Kay, Introduction d la mdcanique des fluides et la transmission de la chaleur (traduit de l'anglais par A. B. Beaufils; Dunod, 1964). 5) M. H. de Lang¢, Application des ph6nom6nes 61ectriques l'6tude des ph6nom6nes thermiques. Conf. Techn. (Bruxelles, 1962).
AND M E T H O D S 4t
(~966) 277-285; ©
NORTH-HOLLAND
PUBLISHING
CO.
E T U D E T H E O R I Q U E DU R E F R O I D I S S E M E N T DE BOBINES SANS FER PAR P L A Q U E S C O N D U C T R I C E S DE LA C H A L E U R Dr M U G N I E R , P. A R G O U et J. L A F O U C R I E R E
Institut de Physique Nueldaire de Lyon, France Requ le 23 Juillet 1965 Practically, the cooling of ironless coils with current density varying from 5-10 A/ram2, is often realized by juxtaposition of plane circular coils of wire and conducting copper plates cooled with a water circulation. This problem is first treated with a simplified theory. Then a
more elaborated theory takes account of the thermic conductivity between the wires. With the help of an electric analogy, both the temperature and its gradient, are obtained in every point of the coil.
1. Introduction La pr6sente 6tude s'inscrit dans le cadre de la rdalisation d'un spectrographe fl ~ bobines sans fer, utilisant une induction magn6tique ~ sym6trie de r6volution variant en r - 1 dans son plan de sym&rie. On salt que pour maintenir une temp6rature aussi voisine que possible de l'ambiante au coeur de bobinages parcourus par des courants, on peut utiliser des conducteurs tubulaires dans lesquels circule un fluide liquide ou gazeux. Le plus employ6 est incontestablement l'eau distill6e et d6min6ralisde raise en mouvernent par une pompe en circuit ferm6. Cependant si l'on est astreint h utiliser des bobines ~ coefficient de foisonnement r/ (rapport du volume total d'une portion d'enroulernent au volume total de mdtal conducteur contenu dans celle-ci) aussi voisin que possible de l'unit6, la section offerte au fluide rdfrig6rant doit &re la plus faible possible, le d6bit m a x i m u m est donc diminu6 et les possibilit6s de la m6thode sont r6duites d'autant. On peut 6galement utiliser des conducteurs pleins et faire en sorte qu'ils soient maintenus ~t faible distance les uns des autres de faqon que circule entre eux le liquide r6frig6rant. Cette m&hode a 6t6 6tudi6e et expos& par Gaumel), mais 1~ encore, si l'on veut le coefficient q voisin de un, nous arrivons aux m~mes conclusions. De plus, la rigidit6 m6canique de tels bobinages est moins bonne. Donc si l'on veut obtenir un coefficient de foisonnement aussi r6duit que possible et un refroidissement efficace, ces deux proc6d6s tr~s classiques seront inapplicables. C'est pr6cis6ment le cas des petites bobines, ou m~me des bobines plus importantes si l'on veut que celles-ci soient encore assimilables ~ des courants filiformes c o m m e l'a montr6 Lyle2). On se heurte ~ cette difficult6 lorsqu'on combine des bobines circulaires associ6es par paires de faqon "3. obtenir un c h a m p en
r -1 dans leur plan de sym6trie. Un champ suffisant pour focaliser des particules charg6es d'6nergie allant par exemple jusqu'~ 400-500 keV ndcessite de fortes densit6s de courant pour respecter les conditions de Lyle. Mais alors l'&hauffement des bobines rend la topographie obtenue d6pendante de la temp6rature (sans compter les risques 6ventuels de d6t6rioration des isolants et de mise en court-circuit) et l'un des avantages essentiels des bobines sans fer, h savoir la variation lindaire du champ avec l'intensit6 du courant, est par l~t-m~me supprim6. Si la densit6 de courant est 61ev6e, sans &re exag6r6e, par exemple de l'ordre de 10 A/mm z, on peut alors utiliser le mode de refroidissement suivant, d'ailleurs tr6s employ6 en pratique. Chaque bobine est constitu6e d'une superposition de galettes identiques s6par6es par des plaques de m&al tr6s conductrices de la chaleur, par exemple en cuivre, raison d'une plaque pour deux galettes. Ces plaques de rayon extdrieur 16g6rement sup6rieur ~t celui des bobinages sont refroidies par un fort courant d'eau circulant par convection forc6e dans un tube soud6 sur leur pourtour, ~. condition qu'elles soient suffisamment rigides ou distantes de leurs voisines pour le permettre. Dans le cas contraire, en jouant sur la surface d'6change avec des plaques de plus grand rayon maximum, on peut les refroidir par convection au rnoyen d'air puls6 ~t grande vitesse. Tous ces calculs peuvent se traiter par les lois tr~s connues de la thermique relatives g la conductibilit6 et la convection, bien que dans un tel probl6me, elles ne soient pas ais6es g manipuler. Nous avons alors envisag6 l'utilisation d'une analogie 61ectrique qui revient ~ n'utiliser que les lois d ' O h m et de Kirchhoff et qui ram6ne alors les mesures de flux et de tempdrature ~ des mesures d'intensit6s et de tensions 61ectriques.
277
278
D. MUGNIER et al.
2. Rappels sur la th~orie de la conduction de ehaleur dans un solide. Analogie 61ectrique 2.1. CONDUCTIBILITI~ THERMIQUE Rappelons que si dans un corps, on consid6re un 616ment de surface dS et la normale en son centre A, orientde du point le plus chaud A v e r s le point le plus froid A', la quantit6 de chaleur qui traverse dS suivant cette normale dans le temps dt est donnde par la loi de Fourier: dO = - k@T/~n) dS dt, (1) o15 Test la temp6rature en A en °C et k le coefficient de conductibilit6 thermique du mat6riau. Le flux de chaleur ~, qui doit repr6senter l'6coulement de chaleur par unit6 de temps et de surface, s'exprime par : cb = ( dQ/dS) (I/d 0 = - k(OT /On),
soit en notation vectorielle: • = - k grad T.
(2)
Ce flux v6rifie une 6quation classique de continuit6: pc(OT/~t) = div (k grad T),
(3)
off p reprdsente la masse spdcifique et c la chaleur spdcifique du solide. Si k est pratiquement constant, ce qui est trbs souvent le cas, on aura: pc@T~&) ~- kVET.
(4)
S'il existe au sein du solide une source de chaleur (par exemple, si un d6gagement par effet Joule lors du passage du courant se manifeste), qui 6mette une 6nergie H par unit6 de volume, la relation (4) s'6crira: p c ( 6 T / & ) = kV2T + 14.
(5)
En r6gime permanent, avec H =constante, l'6q. (5) se r6duit/t l'6quation de Poisson: VZT = - H / k .
On est donc ramen6 ~t un probl~me classique en imposant des conditions aux limites d6termin6es. 2.2. ANALOGIE ~LECTRIQUE En tout point d'un corps isolant ou conducteur, le potentiel V obeit 6galement /l l'6quation de Poisson: V2V=constante. I1 semble donc que l'on puisse assimiler temp6rature et potentiel et que du point de vue th6orique, il n'existe entre thermique et 61ectricit6 qu'une diff6rence de vocabulaire entre les deux aspects d'un m~me probl6me. D'ailleurs, la loi d ' O h m pour un conducteur filiforme
de largeur dx off R e s t la r6sistance par unit6 de longueur, s'6crit : I = (l/R)(dV/dx) = Q/t. Cette relation est de la m~me forme que (1) 6crite: Q/t = k S ( d T / d x ) .
Les solutions d'un probl6me particulier seront donc identiques dans les deux cas,/a condition d'imposer des conditions aux limites correspondantes. La similitude entre le probl6me de thermique et le probl~me d'61ectricit6 se traduit donc de la fagon donn6e par le tableau 1. TABLEAU 1
Chaleur Quantit6 de chaleur Temp6rature C o u r a n t de chaleur R6sistance t h e r m i q u e Coefficient de c o n d u c t i o n Flux de chaleur
Q T
Q/t Rth = l/(kS) k ~ = (Q/t) ( l / S )
Conservation du courant de chaleur AT = Cte Electricit6 Quantit6 d'61ectricit6 Q T e n s i o n ou potentiel V C o u r a n t 61ectrique I R6sistance 61ectrique Re = p(l/S) Conductibilit6 lip Densit6 de c o u r a n t i = 1IS Conservation du c o u r a n t 61ectrique A V = Cte
3. Etude th~orique simplifi~e du mode de refroidissement adopt~ 3.1. HYPOTHI~SES DE BASE Nous allons supposer que: 1. le r6gime permanent est 6tabli, 2. la bobine est thermiquement isol6e de l'air ambiant, compte-tenu de son tr~s faible coefficient de convection naturelle, et des supports qui sont pr6cis6ment des isolants, 3. la temp6rature de l'eau qui circule dans les canaux soud6s aux plaques est la m~me partout. C'est pratiquement le cas si le d6bit est suffisant, 4. la r6sistance thermique entre deux spires d'une m~me galette est infiniment grande vis-h-vis de celle qui existe entre elles et la plaque en contact. Nous verrons que cette derni6re hypoth6se est assez grossi6re, qu'elle pessimise le probl6me et que la solution qui en d6coule ne convient que si l'on n'est pas
279
R E F R O I D I S S E M E N T DE BOBINES SANS FER
t r a p exigeant en ce qui concerne le coefficient de foisonnement q des bobines. 5. les conducteurs utilis6s sont de section rectangulaire 5. couche de vernis isolant d'6paisseur constante le long du p6rim6tre de cette section. Le contact des spires entre elles avec la plaque doit ~tre en effet aussi intime que possible, la moindre couche d'air pouvant r6duire consid6rablement la valeur du flux de chaleur transmis.
3.1.1. Consdquences 1. aucune accumulation de chaleur n'est possible, 2. l'6coulement de chaleur & l'ext6rieur de la bobine ne se fait que par conduction radiale dans les plaques de cuivre, puis par convection forc6e du fluide rdfrig6rant. Tout le probl6me de la conduction obeit donc aux conditions de sym6trie de r6volution. De plus, tout ensemble constitu6 par une plaque et les deux galettes adjacentes se comporte c o m m e s'il 6tait isol6 des autres. L'6tude ne portera donc que sur l'un de ces ensembles et m~me seulement sur une galette et la demi-plaque correspondante, ce qui donne le sch6ma de la fig. 1. Cuivre ~
repr6sentent les conducteurs et a, b, c, ... les points correspondants de la plaque. R d6signe la r6sistance thermique de la demi-plaque conductrice entre deux conducteurs cons6cutifs; r est celle qui existe entre conducteur et demi-plaque (donc celle de l'isolant en premi6re approximation); r' est celle entre deux conducteurs voisins (doric 6galement celle de l'isolant). Le sch6ma (fig. 3) permet de transposer aisdment, l repr6sentant le rayon moyen de chaque spire. -~
~
A x e iz d e la f bobine /
~
[
/Isolant
a
mesur~e perpendiculairement & la fig. 2. A, B, C ...
e
Fig. 3. Vue partielle permettant de transposer la fig. 1 en fig. 2.
/
Si k¢ est le coefficient de conduction du cuivre et kl le coefficient de conduction de l'isolant, en admettant que dans la plaque les lignes de flux sont des plans perpendiculaires /t Oz et les surfaces isothermes des cylindres d'axe Oz, on aura:
//////// P l a q u e d e cuivre
Fig. 1. Ensemble "galette et demi-plaque adjacente". Demisection radiale.
R=al/(kcEldO), r=e/(kialldO) et r' =2c/(kla21dO).
3.2. REPARTIT1ON DES TEMPI~RATURES AU COEUR DE LA
En r6gime permanent, la quantit6 de chaleur Q dissip6e par une des portions de spire par effet Joule est:
BOBINE ET LE LONG DE LA PLAQUE
3.2.1. ScMma #lectrique ~quivalent Nous utilisons comme pr6vu une analogie 61ectrique. Si nous rempla¢ons chaque conducteur par sa fibre moyenne A, B, C . . . . N parcourue par le m~me courant (ce qui revient /~ n6gliger la r6sistance thermique du cuivre des ills vis-h-vis de celle des isolants), on obtient
Q -- (1/J)golEt, off: R o = Pc dx/(ala2) est la r6sistance 61ectrique d'une portion de conducteur, et I o l'intensit6 du courant 61ectrique circulant dans les ills. Q/t est alors une valeur commune pour toutes les portions de conducteurs consid6r6es; son 6quivalent sera appel6 I.
lYquivalent ~lectrique du comportement thermique de l'ensemble (demi-plaque-conducteur) de largeur ldO N
r'
M
....
D
r'
C
. r"
3
,r'"
A
It Fig. 2. Equivalent 6|ectrique du comportement thermique de l'ensemble de la fig. 1.
st
It
i
it
Fig, 4. Equivalent 61ectrique de l'ensemble de la fig. 1 en n6gligeant la transmission de chaleur entre spires adjacentes.
280
D. MUGNIER et al. La courbe VK = f ( k ) s'en d6duit par translation:
5)
I : conducteurs
v,
VK = 1/1 - ½ R I k ( k -
i
,
I I t I I t
rayon r
t
Rint
(7)
La concavit6 de ces courbes sera d'autant plus faible que R sera plus faible. Leur distance croit lin6airement avec r. La diff6rence de temp6rature entre deux conducteurs cons6cutifs, faible & l'int6rieur de la bobine, croit quand on gagne l'ext6rieur, puisque VL- VK= RIk. Elle d6pend de R, r6sistance de la plaque. On a donc int6r~t & prendre une plaque tr~s conductrice de la chaleur pour diminuer R donc le gradient total de temp6rature au sein d'une galette et de la demiplaque adjacente.
plaque
E [o
1)+ rI.
iRext
4. Etude th6orique plus ~labor6e du mode de refroidissement adopt6
Fig. 5. R@artition radiale des temp6ratures dans la plaque et dans les conducteurs adjacents. R 6tant n6glig6 devant r', ce courant I auquel chaque conducteur donne naissance, passera donc uniquement & travers les r~sistances r pour circuler ensuite dans les r6sistances R puisque nous avons n6glig6 les 6changes thermiques entre conducteurs. Le sch6ma 61ectrique simplifi6 est alors donn6 fig. 4.
I1 est en r~alit6 injustifi6 de n6gliger les 6changes thermiques entre conducteurs voisins. Si l'@aisseur d'isolant qui les s6pare est double, par ailleurs, ils pr6sentent entre eux une surface de contact beaucoup plus grande qu'avec la plaque. I1 r6sulte qu'en fait, la r6sistance 6quivalente r' est de l'ordre de grandeur de r. Nous avons en effet: R/r' = (ki/kc) (½al/e) (a2/E) et
3.2.2. Etude de la r~partition des temp&atures Nous avons:
V,,--VA=Vb--VB . . . . .
R / r = (ki/kc) {a~/(eE) }. Le coefficient de foisonnement t/, donn6 par:
V . - VN = - r I .
Les courbes VN = f l ( n ) et I1, =f2(n) se d6duiront donc l'une de l'autre par translation de module rI parall61ement & l'axe des V. Or, dans la plaque (ou le long des R), il est 6vident que la r@artition des potentiels est la suivante: Vk = V1 - ½ R I k ( k - 1).
(6)
Graphiquement on obtiendra donc une succession de points d'une parabole dont le maximum a pour valeur Vt potentiel de la plaque au niveau du premier conducteur. n I~_i
m I~-2
In
In-2
N
)M I~,
g I~-3
rl = l + E/az, devant &re aussi voisin que possible de l'unit6, des exemp]es pratiques montrent ais6ment que R e s t inf6rieur effectivement & r', mais dans un rapport assez faible (de l'ordre de ~o pour fixer les id6es). On voit que l'6change thermique entre ills peut n'~tre pas n6gligeable et intervient pour uniformiser la temp6rature au coeur de la bobine. Notre quatri~me hypoth~se de la th6orie pr6c6dente apparait donc comme la plus sujette & caution. Nous l'abandonnerons dans le calcul qui suit. k
In-3
. JL ~ I'n_~2 [~-'3
c
41
q
13
/K
Fig. 6. R~partition des courants thermiques dans l'ensemble de la fig. 1, en tenant corn )te des 6changes thermiques entre conducteurs voisins.
REFROIDISSEMENT
4.1.
DE BOBINES
R E P A R T I T I O N DES TEMPI~RATURES AU COEUR DE LA BOBINE. E Q U A T I O N S GI~NI~RALES
A l'int6rieur de la bobine, le sch6ma 61ectrique 6quivalent au syst~me est donn6 par la fig. 6. Nous utiliserons les notations suivantes du point de rue intensit6s. I1 est 6vident que: k
I'k=kI--
~
I j,
de temperature entre le point le plus chaud et le point le plus froid. Montrons que la th6orie simplifi6e du d6but donne un VA-- Vr~ et un A V qui peut ~tre tr6s sup6rieur. Pour cela nous indicerons les termes de celle-ci par 1 et ceux de la th6orie plus 61abor6e par 2. 4.2.2. Gradient dans la plaque (Va--V,)2 Puisque ( VA - Va) 1 = rI > (V A - Va)2 r ( I - I~) = rI 1 et comme (VA)I = (VA)2, alors: =
j=l k
I~ = Z I j, )=1 rIg=--r'
281
SANS FER
V.2 = V.,+rI'~;
(8)
(11)
d'autre part:
(k-1)I-
Ij
+ r I g _ l + R ~ Ij.
j=l
k-1
j=l.
(V~- Vk)2 = R ~, ( k - i)I~ < R [ I + 2I + . , .
Connaissant donc I e t I~, on connait de proche en proche tousles Ik,I ~ et I~ et finalement la loi de r6partition des flux thermiques et des temp6ratures en tousles points du syst~me plaque-galette. [nt6ressons-nous h la r6partition des potentiels le long de la plaque et des bobinages comme il a 6t6 fait dans la th6orie simplifi6e: 4.1.1. Diff&ence de tempdrature entre plaque et spire adjacente On montre finalement que: k--I
VK -- Vk = VA -- V,-- ½r'k(k - 1)I + (R + r') ~ (k - i)I,. (9) i=1
Si l'on connait I et I1, on connait en tout point k, V K - V k. On retrouve 6videmment la valeur de la th6orie simplifi6e s i r ' >> R, puisque dans ce cas: Ii = L 4.1.2. Rdpartition des tempdratures le long de la plaque La loi parabolique pr6c6dente est remplac6e par: (10)
On remarque encore que sir' >> R, I~ = l e t l'on retrouve la r6partition de la th6orie simplifi6e. D~s que le r6seau comporte un grand nombre de mailles, il est assez fastidieux de r6soudre ce syst~me. Les cas particuliers simples (i = 2, 3,...) n'ont aucun int6r~t pratique. Nous nous bornerons donc h une 6tude qualitative et nous v6rifierons nos conclusions sur un analogue 6lectronique. 4.2. CONSEQUENCESDES ~QUATIONSGI~N[~RALES 4.2.1. Gradient de temp&ature Nous d6signerons par gradient de temp6rature ~, l'int6rieur des spires d'une galette, la quantit6 (V A - VN) et par gradient de temp6rature total la diff6rence:
AV=V~-V.,
... + ( k - 1)l] = (Vo- v~)l. Alors:
(v~)2 > (v~h + rt; > (v~h, (Va--Vk)z < (Va-Vk),.
(12)
Le gradient de temp6rature dans la plaque est inf~rieur/l celui donn6 par la th6orie simplifi6e. C'est bien normal, puisqu'une partie non n6gligeable du flux thermique s'6vacue/l travers le bobinage lui-m~me. On obtient alors la repr6sentation des temp6ratures dans la plaque donn6e fig. 9. 4.2.3. Gradient le long des eonducteurs (VA--VN)2 Comme: V.2 > V,,, on a: VN2 = V.2+rI. > V.2+rI > V . , + r I = VN, et ( V A - - VN) 2 < ( V A - - VN) 1 .
4.2.4. Gradient total
k-1
V~ - Vk ----R ~, (k -- i)I i. i=1
i=1
AV~ = (VA,-- V.3 < (VA--VN)I+rI = AVl AVz < AV1. Si l'on repr6sente graphiquement la r6partition des potentiels le long des conducteurs, il taut auparavant tenir compte des remarques suivantes: Non seulement VK2 est sup6rieur/t VK1 mais bien que les courants Ik n'aient pas 6t6 explicit6s (puisque 11 est inf6rieur A I et que I. lui est sup6rieur), I, crolt continument avec k et/~ partir d'un certain rang k, devient sup6rieur h L On obtient alors la courbe suivante off les deux aires hachur6es seront 6gales, puisque ~k I, = hi. A partir de k = h, on aura VK~- V** > rI; les conducteurs suivants transmettent /t la plaque un flux sup6rieur A celui cr66 en eux (fig. 7). Quant au flux par conduction C' entre conducteurs,
282
D. MUGNIER et al.
c[I;,
]'K r~
I
h
k
Fig. 7. R6partition des 6changes thermiques entre plaque et conducteurs num6rot6s de 1 5_n. il part d'une certaine valeur If et croit continument au depart c o m m e V s - V L . Mais il doit s'annuler au niveau du dernier eonducteur qui ne transmet rien par conduction (hypothese 2, 26me partie). Ce flux C passe done par un m a x i m u m pour diminuer rapidement. La courbe VK = f ( k ) pr&entera done un point d'inflexion et s'infl6chira vers les V positifs (fig. 8). Finalement la repartition des temperatures au coeur de la bobine est representee fig. 9 off l'on voit nettement que le gradient total A Vz est inferieur ~ A Vt. 4.3. DIMENSIONS OPTIMALES D U FIL A EMPLOYER On sait (hypothese 5) que les ills sont de section reetangulaire, mais rien jusqu'ici n ' a pu m o n t r e r quelles &aient les valeurs o p t i m a p o u r les dimensions at (epaisseur) et az (hauteur) du ill. On con¢oit eependant que, si l'on obtient un A V2 m i n i m u m et qu'ensuite en agissant soit sur l'epaisseur de la plaque, soit sur le debit d'eau ou d'air, on rende (VA) 2 le plus faible
fVoU T
1 n k Fig. 8. R6partition des 6changes thermiques entre conducteurs voisins. possible, alors la bobine chauffera d ' a u t a n t moins et le gradient de temperature au coeur de celle-ci sera d ' a u t a n t plus faible. C o m m e A V2 est inferieur ~t A V~, nous rendrons A V 1 m i n i m u m . A V~ = I [ r + ½ n ( n - I)R] en prenant ldO = 1. Posons a~a2 = k = c t e , ce qui est justifie par le fait que I e s t une constante: AV1/I = [ { ½ n ( n - 1 ) a l / ( k c E )
} + e/(kial)].
D ' a p r e s les normes de fabrication courante, on peut fixer e ~ l ~ a 1 et c o m m e E, I et a t a 2 sont des donnees du probleme, A V1/I croit avec as qu'il faudra rendre le plus faible possible. Mais alors la rigidite m6canique des bobines diminue et le contact thermique avec la plaque devient de moins en moins bon. De plus, si a t e s t faible, on ne peut plus negliger dans la resistance entre plaque et conducteur la resistance de celui-ci. Alors, avec r o = ½ a z / ( k c a l ) et a l a z = k : A I11/I = 1 / (lOk,) + ½k / (k~a 2) + ½n(n - 1)a, / (kcE)
(AV~/I)'a, =0
at =[(2kE)/{n(n-1)}-[ "~, (13)
si
ce qui reprdsente une condition de m i n i m u m pour A V 1 (fig. 10).
AVq I
V
r
Vnl
J F
a,~ k
n
"k
Fig. 9. R@artition des temp6ratures dans la plaque ou le long des eonducteurs, donn6e par les deux th6ories.
--['- 2kE -]½
opt-Ln (n- 1)J
Q1
Fig. 10. Influence de l'epaisseur du fil utilis6 sur le gradient total de temp6rature.
283
R E F R O I D I S S E M E N T DE BOBINES SANS FER
[ 30 ~
Transmission fils- plaque [k=f (K)
20 I=20mA
/
I 1" l
~
Transmission entre fils Ik=f(k)
2_[1~
4
~
3
a
~
6
7
A
~'o
4.4. VI~RIFICATIONS EXPI~R1MENTALES DE L'I~TUDE
I1 est thOoriquement possible de v6rifier par le calcul toutes les cons6quences d6duites de notre 6tude. Cela est simple dans le cas de deux, trois ou m~me quatre conducteurs juxtaposOs et il n'y a aucune contradiction entre ces cas simples et la th6orie gOn6rale. Cependant en pratique, les bobinages employ6s sont beaucoup plus importants et l'6tude thOorique plus 61abor6e devient extrOmement complexe; il vaut mieux faire un montage 61ectrique 6quivalent aux bobinages du point de vue thermique. Nous avons pris comme exemple une galette de 10 spires de section rectangulaire 28 m m 2, ora a 1 = 2.8 m m et a2 = 10 m m et une plaque d'@aisseur 2 E = 3 mm, les coefficients kj et kc 6tant pris dans un rapport de 1 h 300, r6f. 3). Alors: R / r # ~ - ~ et R / r ' # 1 soit r / r ' # s. Entre la sortie du bobinage et le tube soud6 ofa l'on fait circuler l'eau de refroidissement, la r6sistance thermique de la plaque R~ est dans un rapport de 2.7 avec R. Nous avons pris alors les valeurs suivantes pour les r6sistances: r=150f2;
~
<1<:1
\
9
Fig. 11. Repartition des flux thermiques obtenus experimentalement. 1,3. Theorie plus elaboree; 2,4. Theorie simplifiee.
R=10£2;
"
.
O~
i
Plaque~"-
r'=82f2;
R~=27f2
et avons construit un rOseau de 10 mailles aliment6es par une source 5. courant constant I. Celle-ci est constituOe d'une sdrie de 10 transistors npn du type 2 N 1990 dont l'6metteur esl~ reli6 /t la masse par l'interm6diaire d'une r6sistance Re qui assure une contre-rdaction de courant, le potentiel de base de chacun 6tant fix0 par diode Zener. Le courant collecteur I c ne d6pend alors que de Re et de la tension de la diode Zener. Compte-tenu des r6sistances du r6seau, pour avoir des tensions et des puissances mises en jeu raisonnables (quelques V ou W) nous ayahs pris:
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10 k
Fig. 12. Repartition des temperatures obtenue experimentalement. 1. Theorie simplifiee; 2. Theorie plus exacte. vb=10V;
Re=470f2;
/~=20mA.
Nous avons obtenu les courbes experimentales representees figs. 11 et 12 off l'on a represent6 en fonction de k (numero du conducteur compt6 de l'interieur vers l'exterieur de la bobine) le courant transmis dans la plaque I k = f ( k ) , le flux transmis entre conducteurs Ik = f ( k ) et la temperature en tout point de la bobine et de la plaque. On retrouve ainsi exactement les repartitions prevues theoriquement. 4.5. MODES DE REFROIDISSEMENT
4.5.1. Refroidissement par eau Si l'on admet qu'il n'y a pas dissipation de flux des plaques 5- l'air ambiant, le flux dans une section droite de la plaque extOrieure aux bobinages est constant et 6gal fi 2nI; la r6partition des temp6ratures de long d'un rayon est alors lin6aire et si l'on d6signe par R' la rOsistance thermique de la plaque par unit0 de longueur, nous avons (fig. 13): V, - Vc = R'L" (2nI).
Enfin entre la plaque et l'eau, l'6change thermique se fait par convection forc6e: V c - VD = 2nI /(aS).
C o m m e a est trOs 61ev6 pour l'eau, Vc - VD sera tr~s faible.
JJJ Fig. 13. Ensemble plaque-galettes adjacentes.
4
284
D. MUGNIER et al.
En d4finitive, nous aurons: k--1 A V 2 = VA -
VD = rI 1 + R Z (k - i)I, + 2 n R ' L I + 2 n I / ( ~ S ) , i=1
(14) off Vo est donn6 (c'est la temp6rature de l'eau). On r6duira encore A V z en prenant L petit et S surface d'6change cuivre-eau suffisante. En d6finitive la r6partition des potentiels donc des temp6ratures en un point quelconque du syst6me est la suivante (fig. 14).
vection 5. la surface de l'ailette sur laquelle on supposera le coefficient d'6change thermique a constant. Si a d6signe la surface d'une section droite (a = 2EldO) et p son p6rim~tre ( p = 4 E + 2 1 d O ) , en supposant que T = T(r), on obtient facilement: T-To
= ( T , - To)ch { 2 ( L - r ) } / c h ( 2 L ) .
off 2 = (ctp/ak) ½, T 1 est la temp6rature de l'ailette/t la sortie des conducteurs et T O la temp6rature de Fair ambiant, avec: T 1 = 2 n I / { 2 k a th (2L) } + To.
VA2
v. 2
~
(15)
(16)
On pourrait appliquer ce mode de refroidissement des bobines off il est impossible d'utiliser une circulation d'eau pour les raisons d6j~ vues ant6rieurement, ce que nous avons fait pour des petites bobines h densit6 de courant de 6.5 A / m m 2 off il a 6t6 trouv6 un gradient de 6°C maximum.
ucteurs
N
5. Conclusion Tempdrature de I'eau
C D
~1_~ Fig. 14. R6partition des temp6ratures au coeur de la bobine. Nous avons appliqu6 ce principe aux bobines utilis6es par Moussa et al. pour la r6alisation d'un spectrom6tre en 1/~/r au Centre d'Etudes Nucl6aires de Grenoble et dont nous le remercions d'avoir bien voulu nous communiquer les caract6ristiques g6om6triques. Avec une vitesse de l'eau de 0.5 m/sec et un tube de section int6rieure S = 1 cm 2, nous avons obtenu par la th6orie simplifi6e: VA-Va
~. 1 0 - 2 ° C
v.-v.
=3°c
V , - V c = 1.4°C Vc--VD = 7 X 1 0 - 3 ° C soit un gradient total de 3.5°C maximum. On aurait pu 6galement r6aliser un r6seau 61ectrique 6quivalent au syst6me complet, obtenir ainsi t o u s l e s courants Ik et ainsi calculer le gradient total r6el qui serait inf6rieur. 4.5.2. Refroidissement par air La chaleur est alors transmise uniquement par con-
L'analogie 61ectrique nous a permis de faire l'6tude th6orique compl6te du mode de refroidissement couramment employ6 qui consiste ~. intercaler dans les bobinages des plaques de cuivre refroidies par circulation d'eau. Si l'on tient compte de la conductibilit6 thermique entre ills, cela permet en particulier de voir que le gradient de temp6rature au coeur de la bobine est moins 61ev6 que ne le donne la th6orie simplifi6e (qui la suppose nulle). Pour d6terminer le gradient exact, il suffit de construire un r6seau maill6 6quivalent ~ la bobine du point de vue thermique et de mesurer les tensions 61ectriques aux noeuds de celui-ci. Cela est plus simple et plus pr6cis que de mesurer directement les temp6ratures et permet de les connaitre en un point quelconque du coeur de la bobine. On connaitra 6galement par cette m6thode la r6partition des flux thermiques. Dans les applications num6riques, les diff6rences de potentiel mesur6es seront transform6es en diff6rences de temp6rature en 6valuant le courant I en unit6s thermiques, donc en cal/sec ou kcal/h par l'interm6diaire de la relation: I = (Q/t)(Ro1~/4.18) cal/sec off Ro est la r6sistance ohmique r6elle du conducteur et I o l'intensit6 du courant d'alimentation des bobines. Puis dans les diff6rences de potentiel A V = rI mesur6es sur le r6seau 6quivalent ainsi construit, on remplacera les r6sistances ohmiques r par des r6sistances thermiques obtenues en changeant dans r la r6sisti-
REFROIDISSEMENT
DE B O B I N E S S A N S F E R
vit6 p e n I l k inverse du coefficient de conductibilit6. Si l'on pose que le potentiel de r6f6rence (potentiel nul) est celui correspondant ~. la temp6rature de l'eau de refroidissement suppos6e uniforme (si le d6bit est suffisant) sur le pourtour de chaque plaque, alors chaque tension mesur6e sur le r6seau correspondra une seule temp6rature et inversement. Nous tenons & remercier Monsieur le Professeur A. Moussa de la Facult6 des Sciences de Grenoble pour les nombreux renseignements techniques et pratiques qu'il a bien voulu nous communiquer, ainsi que le
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Centre National de la Recherche Scientifique dont l'aide nous a permis de m e n e r / t bien le pr6sent travail. R~f6rences 1) Gaume, Th6s¢ de Doctorat (Paris, 1956). 2) Th. Lyle, Phys. Soc. Londrcs (190t). 3) A. Mondiez, Cours de Physique Industrielle (Gauthier-Villars, 1947). 4) j. H. Kay, Introduction d la mdcanique des fluides et la transmission de la chaleur (traduit de l'anglais par A. B. Beaufils; Dunod, 1964). 5) M. H. de Lang¢, Application des ph6nom6nes 61ectriques l'6tude des ph6nom6nes thermiques. Conf. Techn. (Bruxelles, 1962).