Graphische methoden im schalenmodell der kerne

I.D.I: I

6.B

[

Nuclear Physics 69 (1965) 68--80; ( ~ North-Holland Publishing Co., Amsterdam Not to be reproduced by photoprint or microfilm without written permission from the publisher

GRAPHISCHE M E T H O D E N IM SCHALENMODELL DER KERNE F. DONAU und G. FLACH Zentralinstitut fiir Kernforschung Rossendorf

Eingegangen am 16. Juni 1964 Abstract: The aim of this paper is to present a new graphical method for performing calculations in the shell model of nuclei. Using the graphical technique of Levinson et al, we have represented important operators of the shell model in a graphical manner and described their algebraic properties. 1. Einleitung Seit seiner Entstehung hat das Schalenmodell der Kerne immer mehr an Bedeutung gewonnen. Fiir leichte und mittlere Kerne gibt es bei niedrigen Energien die wesentlichen Ziige der Experimente wieder und sagt neue Effekte voraus. Viele Rechnungen, denen andere Modellvorstellungen zugrunde liegen, haben ihren Ausgangspunkt im Schalenmodell. Als Basisfunktionen werden vektorgekoppelte Produkte yon Einteilchenfunktionen benutzt, aus denen die Zust~inde mit bestimmter Raumsymmetrie, Seniority usw. aufgebaut werden. Die Handhabung dieser Funktionen kann jedoch recht kompliziert und untibersichtlich sein. In der Vergangenheit wurden graphische Methoden ausgearbeitet, die den groBen Aufwand bei der Berechnung von Summen fiber ClebschGordan-Koetiizienten auf ein Minimum reduzieren. Unserer Meinung nach ist dabei die Methode von Levinson et al. 1) am wirksamsten. Sie spielt jedoch in der Literatur bisher eine geringe Rolle. Wir haben uns dariiber Gedanken gemacht, wie sie am besten den Problemen des Schalenmodells angepal3t werden kann. Dabei stellte sich heraus, dab bestimmte Erweiterungen n~Stig sind. So brauchen wit z.B. eine graphische Darstellung bestimmter Operatoren wie Permutationsoperatoren und ,,Paarungsoperatoren". Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, grundlegende Erweiterungen vorzunehmen, um soweit wie m~glich mit der graphischen Technik arbeiten zu ktinnen. Zun~tchst geben wir eine kurze Zusammenfassung der graphischen Methode von Levinson. Das erscheint wegen der geringen Verbreitung ratsam. Eine vollst[indige Darstellung dieser Methoden findet man in Ref. 2). In einem weiteren Abschnitt werden lineare Operatoren definiert und graphisch dargestellt. Es wird sich zeigen, dab die Multiplikation der Operatoren ebenso wie ihre Anwendung auf vektorgekoppelte Funktionen graphisch dutch eine einfache Vorschrift geregelt ist. Schliel31ich untersuchen wit noch Matrixelemente dieser Operatoren in der vektorgekoppelten Basis. Dabei werden wir unter anderem eine Darstellung der Permutationsgruppe finden. 68

GRAPHISCHE METHODEN

69

2. Die graphisehe Methode yon Levinson et al. Levinson fiihrt fiir das 3j-Symbol folgende Graphen ein: jim1

J2 m2

Jedem Paar (jm) wird ein Pfeil zugeordnet, und diese Pfeile laufen in einem Knotenpunkt zusammen. Geh~Sren sie zur Komponente m ( - m ) , so zeigen sie bezogen auf den Knotenpunkt nach augen (innen). Jeder nach innen weisende Pfeil erhglt noch einen Phasenfaktor ( - ) J - = . Erscheinen die Pfeile bei positivem Umlauf um den Schnittpunkt in der gleichen Reihenfolge wie die entsprechenden j-Werte im 3jSymbol, dann erhiilt der Knoten ein Pluszeichen, anderenfalls ein Minuszeichen. Mit dieser Definition ist die Darstellung der 3j-Symbole durch Graphen eindeutig getroffen. Die bekannten Symmetrien der 3j-Symbole lassen sich dann graphisch folgendermaBen darstellen

(,1,2 ml

,3) =

m2

+,2+,3(,2 ,1 ,3)

--m 3

m 2

ml

--m 3

--m 1

--m 2

m3

1~ 1

j3m3 /fj2m2

j3m3

= (__)Jt+J2+J3

=

(_)2j~

' jEm2

/ j2rnz

j3m3

j3m3 = / jlmt

Man kann deshalb in den Graphen sowohl den Umlaufsinn als auch die Pfeilrichtung /indern. AUerdings miissen stets alle Pfeilrichtungen zugleich umgekehrt werden. Die Verkniipfung tier Graphen fiir Summen von Produkten der 3j-Symbole mit Phasenfaktoren wird folgendermaBen erkl/irt: Ist fiber die Projektionen m zweier Pfeile zum gleichen Paar (jm) zu summieren, wobei der eine Pfeil zum Knoten, der andere vom Knoten weg weist, dann werden die Pfeile verbunden.

. jm

jm ~

=

(3)

Man kann leicht nachpriafen, dab die Orientierung der so entstehenden inneren Linien ge/indert werden daft. Dabei tritt ein Phasenfaktor auf:

Im Schalenmodell wie auch bei anderen Aufgaben, die mit der Berechnung yon Win-

70

F. D~NAU UND G. FLACH

kelanteilen zusammenh/ingen, steht man oft vor der Aufgabe, Summen von Produkten der 3j-Symbole auszuwerten. Nach Gleichung (1) werden zuerst alle 3jSymbole graphisch dargestellt. Mit Hilfe yon Gleichung (2) lassen sich dann die Pfeile stets so umorientieren, dab alle Summationen fiber Komponenten in Verbindungen zwischen den Knotenpunkten iibergehen. Summationen fiber den Betrag j treten zumeist mit dem Gewichtsfaktor [j] auf. Diese werden durch eine Strich im Pfeil angedeutet.

J

[j] ~

=

~-~--~,

[j] = 2 j + l .

(4)

Die beiden Orthogonalit~ttsrelationen der 3j-Symbole haben graphisch folgende Gestalt: j t ml

j t m't

jim1

jim'1

(5) J2 me

J2 m~

J2 m2

J2 m~

Jl

[j ]- 16j, ~... = :m

j'm'

(6)

J2 Alle m6glichen Graphen lassen sieh in zwei Klassen einteilen: geschlossene Gebilde und Gebilde mit freien Enden. Erstere stellen 3nj-Symbole dar, wobei 2n die Zahl der Knoten angibt. Am bekanntesten sind sicher die 6j-Symbole und die 9j-Symbole, die graphisch folgendermaBen angegeben werden kSnnen:

[Jl J2 J31

(7) ,;

Js

J9 +

Js

-

Die graphische Technik von Levinson ermSglicht die LSsung von zwei Aufgabentypen: (1) Die Zeflegung von geschlossenen Gebilden in niedrigere Standard-3nj-Symbole (z.B. in Summen fiber Produkte von Racahkoeff~zienten) und (2) die Zerlegung allgemeiner Graphen in geschlossene und sogenannte astartige Graphen, die nicht weiter zerlegbar sind.

GRAPHISCHEMETHODEN

71

Das geschieht auf rein graphischem Wege. Den Sehltissel dazu liefert das Zerschneiden und das Verkntipfen von Enden"

Das Zerschneiden ist nur dann sinnvoll, wenn einer der beiden Teile auBer geschnittenen nur noch innere Linien besitzt. In beliebiger Weise werden Paare yon b-Funktionen dureh Graphen der Form (5) ersetzt und gleichlautende Pfeile verbunden. Die Zahl der Verbindungen zwisehen den Teilen A und B wird so um den Faktor zwei reduziert. DafiJr entstehen nattirlieh neue Summationen der Form (4). Naeh mehrmaligem Sehneiden und Wiederzusammenftigen entsteht sehlieBlieh ein Bild, in welthem die Teile A und B nur noch an einer Linie zusammenh~ingen, tiber derenj-Wert summiert wird. Bei dieser Summation liefert nur der Wert j = 0 einen Beitrag, w~ihrend aUe anderen Terme verschwinden 2) (A soil bis auf diese Linie geschlossen sein). Betrachten wir die folgenden Beispiele:

~

=~ j , ~_~_~J2

Jlt'nt ~ J t m l / ~ ~

= ~/2

m2= "j2mt

~7-/-~jt \J.'zm2 =

+

Jl x [jt]-lSj,j25 . . . .

l/J,ml 0

--

~'~4

/J. 1ml

j2rnz

3. Einfiilmmg mad Darstellung yon Operatoren W~thrend diese Teehnik spezieU zur Behandlung von komplizierten Summen fiber 3j-Symbole ausgearbeitet wurde, woUen wir direkt mit den Graphen arbeiten. Beispielweise bei der Berechnung von Matrixelementen, Anwendung yon Operatoren auf vektorgekoppelte Funktionen usw. Dazu benStigen wir als erstes die graphisehe Darstellung yon vektorgekoppelten Funktionen. Die Einteilehenfunktionen mSgen die Gestalt haben, wobei v~ ein Satz von Quantenzahlen sein soil, so dab die Funktionen ein vollst/indiges System bilden. Um zur vektorgekoppelten Funk-

Iv~jim~(i))

72

F. D(~NAU U N D G . F L A C H

tion zu gelangen, miissen wir die Art A der Kopplung der einzelnen Drehimpulse.ji, die Werte der dabei auftretenden Zwischendrehimpulse (J1, J2 . . . . J k - 2 ) - a und den Gesamtdrehimpuls J M angeben. Damit wird der verallgemeinerte ClebschGordan-Koeffizient festgelegt und es ergibt sich ](vl Jl . . . . . VkJk)a a J M ) = ~_, ((Jl . . . . . jk)AaJMljl ma . . . . . jkmk)lvl Jl ml(1) . . . . . (m) ~Am~(k)>, (8) ] v l j l m l ( 1 ) . . . . . vt,jt, m~,(k)) = [ v l j i m l ( 1 ) ) . . . ]Vkjkmk(k)). ES sei A = Ao das Schema, in dem die Ji naeheinander addiert werden. Dann ergibt die graphische Darstellung von Gleiehung (8) I(vaJl . . . . . vkyk)aa J M ) Jl ml J2rn2 ' ' ' ' ' / = ~.., ~ ( _ ) 2 j , + 2 s [ j 1 . . . j k _ z d ] + j3m3

J1

,~

-&

Iv, j,,,,~(l) . . . . . ,'kj~,,,~(k)).

(9)

Jk - 2 J'k m,~

(

--

JM Die Darstellung einer Funktion bedeutet demnach, die Entwicklungskoeffizienten nach der Produktbasis in Graphen zu iiberfiihren. Ganz/ihnlich wollen wir nun bestimmte lineare Operatoren behandeln. Wir legen uns jetzt auf ein Basissystem Ivlj 1 ml(1 ) . . . . . Vkjkm~(k)) fest. Die Quantenzahlen (vim) m6gen dabei fiir beliebige Teilchen den ganzen Wertebereich durchlaufen. Die Vektoren dieses Raumes werden dann durch ihre Komponenten in der Produktbasis, alle linearea Operatoren 0 aus diesem Raum durch die Matrizen (v'lj~m'l(1) . . . . . v;,j~,m;,(k)lOlVljlmi(1 ) . . . . V k J k m 3 ( k ) ) gegeben. Die Darstellung von Operatoren in der Produktbasis hat den Vorteil, dab ihre Anwendung auf die vektorgekoppelten Funktionen (9) sehr einfach wird. Produkte sind in Form von Matrixmultiplikationen auszufiihren. Wir beschr/inken uns jetzt auf solche Operatoren, bei denen sich die Abh/ingigkeit von den Drehimpulsen abspalten 1/iBt. Da der Winkelteil des Operators nach Tensoroperatoren zerlegbar ist, kann er mit Hilfe des WignerEckart-Theorems a) in Graphen iiberfiihrt werden. Daher erhalten die Matrixelemente des Operators 0 folgende Gestalt: (1'/1J~ m'x(l). . . . . vkjZmk(k)JO]vl Jl ml(1) . . . . . VkJkmk(k)) j ~ m ' l ~ .

--~(v,q

.

.

.

.

. . . . . v~v~)× j ~ m ,

-

l'k'm'k

~

jlmt -

r//////)

j,,,~

~ jkrn k

(1o)

GRAPHISCHE

73

METHODEN

Das Symbol fl repr~entiert den von den Winkeln herriihrenden Teil der Matrix. Es legt die Verbindungen zwischen den 2k Pfeilen fest. Um die Matrixmultiplikation auf unsere Graphen zu iibertragen, wollen wir stets die zu den Zeilenindizes (gestrichen[) geh~renden Enden auf der linken Seite aus dem ,,Kasten" fl herauslaufend und entsprechend die Spaltenindizes (ungestrichen!) auf der rechten Seite in den Kasten einlaufend zeichnen und zwar yon oben nach unten in der natiJrlichen Reihenfolge der Subindizes, die die Teilchennummern andeuten sollen. Die dem Operator 0 zugeordnete Matrix entspricht dann dem Bild ohne Indizierung der Enden. Fiigen wir die Indizes an, so ergeben sich die entsprechenden Matrixelemente. Bilden wir z.B. Matrixelemente des Produkts 0102, so ergibt sich = )-',

×
(p)

re(l) . . . . . pkak k(k)IO Iv A

,

¢

'PkYg)

m

(1) .

× E (a)

"'

VkAmk(k))

. . . .

'

•

:

"%` /

/

'

(11)

' " "

,c

"

Es wurden also immer die gleichlautenden Linien zwischen den beiden Graphen verbunden. Summiert wird auBerdem noch fiber den gesamten Wertebereich (p) und (a). Die Summation fiber (a) tritt nur bei in~iquivalenten Teilchen auf und ist im allgemeinen trivial (siehe Permutationsoperatoren). Aus Gleichung (11) ist zu sehen, dab das Operatorprodukt graphisch einer Verkniipfung yon Bildern gleichkommt. Im weiteren wollen wir die Matrizen ? weglassen, da sie fiir unsere Betrachtungen unwesentlich sind. Im konkreten FaU lassen sie sich leicht hinzuf'dgen. Vektoren im Raum der Produktfunktionen sind die vektorgekoppelten Funktionen (9). Die Anwendung eines Operators auf sie wird nach unseren Regeln auf folgende Weise realisiert: • t

t

J1

mt

.,

,

J2 m 2 • t

" "

J

t /

~

_

Jl

t

J3 m 3

× CJ r . . .

Jk_2d]½(-)2jl+2J°

(12)

tJk- 2

jk m'k

~ ~JM

Dabei muB man beachten, dab (Jl . . . . . Jk) die in der Funktion lest vorgegebenen Werte sind. Um das Ergebnis nach den vektorgekoppelten Funktionen zu zerlegen,

74

F.

DONAU

UND

G.

FLACH

driicken wir den Einheitsoperator durch die Funktionen (9) aus. Dabei benutzen wir die Unitarit~itsbeziehung der verallgemeinerten Clebsch-Gordan-Koefl~zienten, die man auch aus Gleichung (5) ableiten kann, 6m',m, • • • ~='k=~ = ~ <(Jr . . . . . jk)'4aJMIjt m'l . . . . , jkm'k> adM

x <(jl . . . . . Jk)"aJM].]t mt . . . . . jkmk>. Sie fiihrt zu folgendem Bild (A = A o): ---- ~j,;, • • • ~jkj,~ Y', [ a t . . . ak-2] (a)

;, ~ ' ~ J2 z"2

x

j~m~

,

<

--

=

UI

+

"

-

~U2

J'~'m'k

2 m,

J

UI

j~m 3

(13)

I Q2

~ak-2,

'ak~2 jkmk

--

+

Fiir den Graphen (12) ergibt sich daher die Zerlegung [ J ' " " " Jk-2J]½(--) 2jt+2$x E [al . . . ak-2] (a) •/

t

J1 m t ~

./; r~¢ ~' 2 •t

X

/

J3 m 3

.c X_

• t

t

I g

A mk

J~ IJM

= [ S l " " S k - 2 J ] ~ ( - ) 2h+2"I× E [ a l - ' - ak-2] (a)

j~ m '2 - -

x j~m'3

°r

t

Jk mk

04)

,4

i

ijM .I

75

GRAPHISCHE METHODEN

Wir haben dabei die Methode des Zersehneidens und Wiederzusammenfiigens angewandt (siehe Beispiel). Ehe wir zu speziellen Operatoren iibergehen, sei noch folgende Bemerkung gemacht. Ober die konkrete Bedeutung unserer Funktionen haben wir bisher noch nichts gesagt. Unsere Betrachtungen gelten ganz allgemein fiir Einteilchenfunktiohen Ijm>, die sich bei Drehungen nach der irreduziblen Darstellung ~ J der Drehgruppe transformieren. Die Funktionen [jm> k~Snnenalso Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses, Spins, Isospins oder der Vektorsumme von Bahndrehimpulsen und Spin sein. In allen F~illen ist der Formalismus anwendbar. Bei der Konstruktion der antisymmetrischen Vielteilchenzust~inde im Schalenmodell treten zwei Operatortypen auf. Es handelt sich um Permutations- und Paarungsoperatoren. Die Operatoren der Form (10) umfassen zwar eine viel griSSere Klasse, besitzen jedoch nicht so einfache Eigenschaften wie diese. 3.1. PERMUTATIONSOPERATOREN Wir betrachten jetzt Permutationsoperatoren, die auf die Teilchennummern witken. Das bedeutet, dab die Permutationen die Teilchennummern 1. . . . . k in den Produktfunktionen IJ1 m1(1) . . . . , jkmk(k)> in bestimmter Weise vertauschen. Daher besitzen die Matrixelemente eines Permutationsoperators P folgende Gestalt:

k

k

= I-[ 6j.,j:,,6,,,.:,,p-1,

= 1-I (j~m;, 00lje-,,me-,,).

i:l

(15)

i:l

Wendet man also die Permutation P auf die Teilehennummern an, so fiihrt das zur Permutation p-1 hinsichtlich der Subindizes. Die in Gleiehung (15) auftretenden Clebseh-Gordan-Koeffazienten haben besondere Eigenschaften. Da ( j ' m ~ , 00lip-l, m,.-,,) = 6 j , , j e - ,,Omq rap-1t gilt, werden die uns interessierenden Summationen trivial. Wir betrachten dazu die Verkniipfung eines beliebigen Graphen B mit einem solchen Koeffizienten:

(j;rn;, OOlje-,ime-,,) = 6j.ap-,,6m,,m.-, , = [ j , ] *

ji rni

+ i je-,,me-,, 0

7-B =

~

113

Je- 1i Dlp- i i ~

;

= [j,]~x

~

6r..,mp-li6j.dp-1 I x

me,- 11

jp-tilTIp-li

J[~n~ ! Je-,, 0

× ~YdP- I~ Ji mi

76

F.

DONAU

UND

G.

FLACH

Wir verwenden anstelle des Graphen mit dem Pfeilj = 0 und dem Faktor [ji] + eine vereinfachte Darstellung

6jj,6mm, = j m - -

j'm'

(16)

mit folgender Verkniipfungsregel:

Z 6jj,6ram,6 j , j . 6m,ra.= 6M,,6ms,, j'm' ~jm

- -

j'm' j'm' - - j "

m" = jm

j" m"

jl m"

Gleiehlautende Enden sind zu verbinden. Fiir die Anwendung auf Gebilde mit Pfeilen folgt aus Gleiehung (16), dab die Linien die Orientierung der Pfeile iibernehmen. Soil eine Linie der Art (16) yon beiden Seiten her mit Pfeilen verbunden werden, dann miissen diese vorher in eine solche Richtung gebraeht werden, dab die Linie eine einheitliche Orientierung erhalt. Aus Gleiehung (15) erkennt man, dab die den Permutationen zugeordneten Graphen nur aus Linien bestehen, die yon einer Seite zur anderen laufen. Naeh unseren Konventionen (10) werden die Linien so untereinander gesetzt, dab die Subindizes (=Teilehennummer) in der natiiflichen Reihenfolge erscheinen. Es soll nun zum Beispiel das Produkt (12) (23) = (123) gebildet werden:

j .#. l , mt : ~ / j . , •m , _- J.2m21/k~J.2m2 J~m'3: \J3m3

j;m'~-,,,sj~'m'l', j,m, ~, j 2 m ' 2 / \ S z ' m ' 2 " w / j 2 m 2 (j .... ) j 3 m 3 - - j 3 ' m 3 ' / \ j 3 m 3

Es ist leicht anzugeben, wie ein gegebener Graph auf eine Produktfunktion ]Jl ml (1), . . . . j~mk(k)) wirkt: Identifiziert man die Subindizes mit den Teilchennummern, so gibt jede Linie - yon rechts nach links gelesen - an, wie die Teilchennummern zu ersetzen sind: Am rechten Ende einer Linie steht demnach die urspriingliche Teilchennummer und am linken Ende die neue. Auf diese Weise entsteht ein treues Bild der Permutationsgruppe, dennjeder Permutation ist genau ein Bild zugeordnet und umgekehrt. Der Gruppenmultiplikation entspricht die Verkniipfungsregel. Die inverse Permutation wird durch das seitenverkehrte Bild dargestellt, weil die Verkniipfung von Bild und Spiegelbild glatt durchlaufende Linien (Einselement) liefert. Es werden alle Eigenschaften der Permutationsgruppe wiedergegeben. 3.2. PAARUNGSOPERATOREN Es wird jetzt ein System von k ~iquivalenten Teilchen betrachtet. Wir definieren den Operator der Paarung durch folgende Gleichung:

~[ jm,(r), jm=(s)) = ( -- )J- mrf~m,"_ ms

~

II

( - - )J - I~l j#(r),

j -- It(s)).

Er erzeugt aus einem unkorrelierten Paar ein zu J = 0 gekoppeltes Paar, falls es die

GRAPHISCHE

77

METHODEN

Erhaltung des Drehimpulses erlaubt (m, + ms = M = 0) und vernichtet alle anderen Zust/inde. Es ergeben sich die Matrixelemente ( j i n X ( I ) , . . ., Jmk( ' ' k )lrsl ~ Jml " (1), . . ., jmk( k ) ) k

= (--)J-m'r(~m'r,-m's(--)j-mr(~mr,-ms

H ~m'l, mi" i~r,s

(17)

Sie lassen sich mit I-Iilfe der Beziehung (jm', jmlO O) = ( - ) i - m"[j ] - ~ 6~,, _ ~ in Graphen umwandeln. Auch hier werden wir fiir dieses spezielle 3j-Symbol eine vereinfachte Darstellung benutzen. Die Darstellung der Matrixelemente (17) besitzt gem~13 unseren Konventionen Linien, die auf einer Seite beginnen und enden. Nehmen wir zum Beispiel den Operator 12:

(jm'~(1),jm'2(2 )li~l j m , ( 1 ) , j m 2 ( 2 ) ) = I-j-] x jm'2//

\jm2 -

jm'2

-

jm2

(18)

Das letzte Gleichheitszeichen definiert die sogenannten Haken, die ffir die Paarungsoperatoren typisch sind. Die Verkniipfung von Paarungsoperatoren ist genau dieselbe wie die der Permutationen. Bei Anwendung auf Gebilde mit Pfeilen braucht nur darauf geachtet zu werden, dab die Haken auf beiden Seiten dieselbe Orientierung erhalten; d.h. sie weisen entweder beide nach oben oder beide nach unten. Entstehen beim Multiplizieren geschlossene Linien, dann sind diese durch einen Faktor [j] zu ersetzen. Oberpriifen wir das am Produkt i 2 - 12:

jm' 1 m,nl'

• p jm 2

)( )( jm

jm'

• , jm l ~ jJ m

jm 1

t

.

= [jlZx

jm 2

=

jm'2 ~ ~ ~

-jm 2

J •

¢

.

= [j]2x

,

jm2

.

O ;/jml

jmf% ~

p

j m l )( j m 1 = [j]x

Jm2

jm2

jm2

1"-2ist also wie aUe Paartmgsoperatoren ~s im wesentliehen idempotent. Es gibt ½ k ( k - 1) Paarungsoperatoren der Art rs (r, s = 1 . . . k ) . Alle m6glichen Produkte zwischen ihnen fiihren zu Bildern, die 1, 2 . . . . . [k/2] Haken aufjeder Seite und sonst beliebig yon links nach rechts durchlaufende Linien besitzen, die die gleiche Bedeutung wie bei den Permutationen haben. Die Wirkung solcher Operatoren auf die Produktfunktionen Ijm t (1) . . . . . j m k ( k ) ) ist wie folgt erkl~trt: Die Linien geben genau wie bei den Permutationen an, wie die Teilchennummern zu ersetzen sind. Anders ist mit den Haken zu verfahren. Ein Haken auf der linken Seite deutet ein korreliertes Paar beziiglich der durch den Haken verbundenen Teilchen an, d.h. es ist mit dem Gewichtsfaktor (--)J-re'Sin, ' -m fiber die Produkte der beiden zugeh~Srigen Einteilchenfunktionen zu summieren. Ein Ha-

78

F. D 6 N A U UND G. FLACH

ken auf der rechten Seite ist durch einen Faktor (-)~-"6z, _z. zu beriicksichtigen, wobei die Projektionen/~ und/Z zu den Teilchennummern gehfiren, die der Haken verbindet. Betrachten wir noch zwei Beispiele (1 ~ j m l , 2 ~ j m 2. . . . ),

i~.f~ 1' i[ ~ug_ ~1 1 2'"

1~.~

]12=3,,~3

3'--'' 3

1' 2' 1 ( - 1 - 2

~,--~1'1/1 1', I [ - I =2

"""l 2 ;

3'--/\ 3

3'--

4'

2'1' 1121

3 =3'

}( 4

3

4'}14

Hier wird nochmals die Multiplikationsregel deutlich. AuBerdem ist am ersten Beispiel gezeigt, dab - wie allgemein in einer weiteren Arbeit gezeigt wird 4) _ jedes Bild in zwei Faktoren zerlegt werden kann, von denen der eine aus Paarungsoperatoren der Form rs besteht, die untereinander ziffernfremd sind, w~ihrend der andere eine gew~hnliche Permutation darstellt. Wie in Ref. 4) n~iher ausgefiihrt wird, definiert die Menge aller Bilder, die 0, 1. . . . . [½k] Haken und sonst beliebige Linien besitzen, die Basis einer Algebra von der Ordnung (2k-1)!! Das leuchtet unmittelbar ein, da die Multiplikation der Basiselemente nicht aus dieser Gesamtheit herausfiihrt. W~ihrend nun die Untermenge aller Bilder ohne Haken eine graphische Realisierung der Permutationsgruppe ist, hat die Gesamtmenge nur die Eigenschaften einer Algebra. Da bei der Verkniipfung niemals ~iuBere Haken verschwinden k6nnen, existiert unter den Bildern mit Haken kein Einheitselement, also auch kein inverses. Es wird gezeigt werden, dab es sich um die Kommutatoralgebra des k-fachen direkten Produkts der orthogonalen Gruppe O2j + t ( j = ganzzahlig) bzw. der symplektischen Gruppe Sp2j+ 1 (J = halbzahlig) handelt. Neben den Permutations- und Paarungsoperatoren kann man auch Operatoren mit anderen geometrischen Eigenschaften einfiihren. Das soil jedoch nicht Ziel des vorliegenden Artikels sein. 4. Matrixelemente

Zur Anwendung unserer Operatoren auf die vektorgekoppelten Funktionen bentitigen wir die Matrixelemente der Operatoren beziiglich dieser Basis. Aus den Gleichungen (9) und (10) erhalten wir f'tir die Matrizen (A = Ao):

///~½

--

:,

,////--j~--~2

/

+

79

GRAPHISCHE METHODEN

Anstelle des Symbols fl braucht nur der entsprechende Graph eingesetzt zu werden. Es entsteht dann sofort das dem Operator zugeordnete 3nj-Symbol. Betrachten wit zum Beispiel ftir k = 3 die Matrix des Permutationsoperators (23) nach Gleichung

(7) jt

+

(-)2J"+2J~[J1J'l-["}x~~. ~J~ J

+ •

,

{J3 ;1 J'~l

x6j, lj,6j,3j26j,2j 3 = (_)J2+i~+~-; rJIJ,l]~j, lj~fj,3j25j,2j3 J2

J

J1) "

Das Beispiel demonstriert die Einfachheit der graphischen Methode. Die Matrizen (19) bezeichnen wir zur Abkiirzung mit A~,a(/~) wobei a' bzw. a die Gesamtheit der gestrichenen bzw. ungestrichenen Zwischendrehimpulse bedeuten. Offenbar bilden nun die Matrizen A'r(P) eine Darstellung der symmetrischen Gruppe. Diese Darstellung ist treu. Die k[ Permutationen fiihren zu 3nj-Symbolen, von denen sich ein bestimmter Teil nur durch einen Phasenfaktor unterscheidet. Die Zahl der auftretenden verschiedenen Typen hingt entscheidend yon der Wahl des benutzten Kopplungsschemas ab. Sie ist umso kleiner, je mehr Drehimpulse direkt, d.h. nicht tiber einen Zwischendrehimpuls, gekoppelt sind. Fiir das Schema A = Ao haben wir daher die gr~gte Zahl yon Typen zu erwarten. Ganz genauso werden die Matrizen der Paarungsoperatoren gebildet. So findet man zum Beispiel fiir den Operator 1~. ~ im Schema A = A o (~iquivalente Teilchen)

[J1 J i ] ~ J~ li J ~ i

~/1 = [J1]~1~,,oA(J1 j J).

J Jedem Paarungsoperator ist wieder genau eine Matrix zugeordnet. Dem Operatorprodukt entspricht das Matrixprodukt, wobei a' bzw. a als Zeilen- bzw. Spaltenindex fungieren. Die Matrizen (19) erhalten unmittelbar physikalische Bedeutung, wenn /~ der Graph eines Multipols, der Wechselwirkung usw. ist. Zu diesen physikalischen Operatoren treten dann noch Projektionsoperatoren, die die Zust~inde bestimmter Symmetrie, Seniority, usw. erzeugen. Die Anwendung der graphischen Methode bringt dabei groBen Vorteil. 5. SehluB Die von Levinson eingefiihrte Technik verhalf uns zur graphischen Darstellung yon Operatoren, zwischen denen einfache Multiplikationsgesetze herrschen. Die al-

80

F. DONAU UND G. FLACH

gebraische Struktur der beiden einfachsten Operatortypen - Permutations- und Paarungsoperatoren - tritt often zutage. Das Problem der Konstruktion yon Zust/inden mit bestimmter Raumsymmetrie bzw. Seniority h~ingt engstens mit der expliziten Zerlegung der Algebra der Permutations- bzw. Paarungsoperatoren in primitive einseitige Ideale zusammen. Auch die Berectmung von genealogischen Koeffizienten kann von dieser Seite her aufgebaut werden. Die Zerlegung der Permutationsalgebra ist bekannt. Anders verh/ilt sich das bei der Zerlegung der Algebra der Paarungsoperatoren. Die L6sung dieser Aufgabe ist das Ziel einer weiteren Arbeit, wobei die Anwendung der graphischen Methode unumg/inglich sein wird.

Literatur 1) J. B. Levinson, Trudy Fis.-Techn. Inst. Akad. Nauk. Lit. SSR 2 (1957) 17, 31; Trudy Akad. Nauk. Lit. SSR 134 (1957) 3 2) Jucys, Lcvinson und Vanagas, Matemati~cskij apparat teorij momenta koli~cstwa dwi~enija (Vilnius, 1960) (Editor's note: English translation available) 3) M. E. Rose, Elementary theory of angular momentum (Wiley, New York, 1957) 4) F. D6nau und G. Flach, in Vorbereitung