La classification des systèmes aux q--différences singuliers réguliers par la matrice de connexion de Birkhoff

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Systi?mes dynamiqueslDynamica1 (Equations diff&entielles/Ordinary

SCrie

I, p. 51-56, Systems Differential

1999 Equations)

La classification des sys&mes aux q-diffhrences singuliers r6guliers par la matrice de con.nexion de Birkhoff

R&urn&

G.D. Birkhoff a posC le probl&me de Riemann-Hilbert pour les syst&mes fuchsiens aux q-diffkrences linCaires, 2 coefficients rationnels. II I’a r&olu dans le cas g6nCrique (semi-simple) : l’objet claxsifiant est constitu6 de la matrice de connexion I’ et des exposants en 0 et 2~. Nous reprenons sa mgthode dans le C;IS d’un sys~~me sinpuliel rigulier gCnt!ral, mais en traitant symCtriquement 0 et 32, aans rccours h ties solutions i croissance savage et saris fonctions multivalu~es : la matrice P est alors Li coetTicients elliptiques. 0 AcadCmie des Science\/Elsevier. Pari\

The

ckcssijication

connection

Abridged

English

of y-diflerence

systems

by their

Birkhojf

mutrix

Version

Let 7 be a complex number such that Irn(7) > 0 and let y = c,-“~~. For ./ a function on an appropriate domain of the Riemann sphere S = PIC, write (T,,J’(z) = f(qz). The change of variables 2 = c2i7i.’ allows one to identify the group C*/y’ with the elliptic curve E = C/(Z f 2-r) and .A4(C*)U’~ (the field of functions meromorphic on C* and n,,-invariant) with ;W(E) (the tield of elliptic functions). G.D. Birkhoff. in [2], extended the Riemann-Hilbert problem to linear q-difference Note prbent6e 0764-4442/YY/O32XOOS

par Bernard 1

MAI.GK,ANGL

0 AcatJ6mle des

SciencesEkvier,

Paris

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J. Sauloy

systems with rational coefficients (I) (see the french version). The gauge group GL,,,(C(z)) operates on such equations, whence the relation of n~erotnorphic. equivalence: A - (o,E‘)--~AF for every F E (:I,,, (C(Z)). and the corresponding classification problem. Assuming .i(O) E GL,(C) (the system is then said to be,fic#zsiun at O), one can find a fundamental matrix solution -Y (5 GL,, (Kb) with coefficients in an extension Kb of C( {z}) which contains, for all (’ E Sp(A(0)). an element v’~,,. such that ‘T,~c:~,, = u:,,,‘.: and, if A(O) is not semi-simple, an element I,, such that ‘~,,l,, = I,, + 1. Then, because of (I ), the coefficients actually belong to the sublield K. = ,:‘~?(c)(l,~. (c’,,.< )I.E~ ) c K&. While one classically uses the multivalued functions z”‘~(“~/ ‘~(‘1) and log(z)/ log(q) (.se(e [I], [3]), we use only unit&n functions and obtain meromorphic solutions on C’. Writing tic1, the theta function of Jacobi: ~,ltZ(-l)“~-“(” ~‘)/‘,z” (see [5]). we shall take I,(Z) = z(+->:(z)/~~~(x) and Ok,,,. = (-)il(;~)/(-),,(r:-‘z). w h’IC.h die ’ - rrlrmmor/-l?hic, on C* . The (simple) poles of 1, are the elements of the discrete spiral q‘. . the (simple) zeroes and (simple) poles of e’,,‘. are the elements of (I’ and of ~1 respectively. We have therefore replaced the rmnodrornq: of the classical choices with cliscrrtr spitwls qf polt~s. In case ,,I E (:1,,,(C). a multiplicative Dunford decomposition A = I)Ci (II semi-:simple, Ii unipotent, [fI. IT] =: 0) provides us with a canonical (‘,,,.A E GL,,(Kn) such that (T,,P~,,~~:= Ar: ,,,.4 = f’,,,-4 A: if /I = ()tlia,g(c, . . . .. c.,,)dt)--’ and II := I,, + 1li. write (!,l,d~ = f:g,Dey,~‘, where c~,~,D= Qdi:r~:(f ,, , , . . .. . facI,’ ,, )()-’ and c (,.c. = (I,, + I%‘)‘~~ (it is a Dunford decomposition too). Call B system sinplnr regular if it is meromorphically equivalent to a fuchsian system. Call a fuchsian system (I) m~z-rcwm~t if no two eigenvalues of ,4(O) have their quotienl. in qN*. Also, write S(i3) for the “singular locus” of ,4. made up of the poles of .1 and the zeroes of cl&(A).

Therefore the system (1) always admits a fundamental solution Xi’)) E GL,,(Kn). The so#Jutions of (I) are now exactly the X (“)\,’ where I’ t M(E)“: indeed, it can be seen that Kg” = M(E). To put the above canonical solutions in “normal form” , one requires each exponent c to satisfy: 1 2; I(:/ < lcjl (which can be done, since c’~,,,‘. = -I.-’ z(’ ,,,,): one sorts them using an arbitrary order on C*/y” and one sorts the Jordan blocks belonging to a given exponent c by increasing sizes. THEOKEM 2. -- A giwn cwwrlic~al :bilN und AI’M’, arc .SLK~ that iv’

solution has a unique mrtnal form; two .sol&ons it1 nornlal,farm.s, = it’ and 121’ = !lPR, w~hcrp R E Gl,,, (C) and [R, .iV] = ().

Now assume ( I) to be regular singular both at 0 and at Y. It is then actually meromorphically equivalent to a system fuchsian at 0 and at X. Let S’“) = i\{(0)N(O) and X7(“) = &f(“),v(“,) be canonical solutions in normal forms (the latter is found using the change of variable ‘1,; = l/z), 0 ne associates with (1) the triple Then, the connection matrix I’ = (,Y(X))PIX(0) t GJ,,,[.:q(E)). (.v(“‘. 1’. ?I(“’ ). The latter is not well defined, but, because of Theorem 2, its image in the following set is: F,;, is the quotient of the set of triples (N,. P. /Vrl) (where P E IGL,,(~,~(E)) and N1, iv? are log-car matrices in normal forms) by the equivalence relation (N,, I’, ,vX) ru (IV:, 17’. ,v;) if !Ir, zz 1y. N2 zz !A?., and RIP’ = Plr’?. where RI. I?? E <:1,,,(C) and [RI! N,] = [R2, N2] = 0. THHNU:M 3. -~ 0~ thu.s olmins a hjrction ,frm the .set t;, of merornorphic equiva(ence ~~/a,sse,saf regular .siriguIar .s~\~stmu of rank II, to 3,).

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Classification

des systemes aux q-difftirences

Notations. - On fixe un nombre complexe T-de partie imaginaire > 0, et I’on pose (I = c:p2’TTT. Si f est une fonction B valeurs scalaires, vectorielles ou matricielles sur une partie convena.ble de la sph&re de Riemann S = PIC, on note ~,,,f(z) = ,f(q~?). Le changement de variables z =: c2’T.r’ permet d’identifier le groupe C*/$ g la courbe elliptique E = C/(Z + ZT) et M(C*)“c (corps des fonctions mCromorphessur C* et cT,-invariantes) A M(E) (corps des fonctions elliptiques). Si A E GL,,(C(x)), on note S(A) le cj de A. oii I’on considkre comme singularit& les pales de A et les zeros de d&(A).

1. Introduction G.D. Birkhoff a pos6 le probleme de Riemann-Hilbert pour les systkmes linkaires aux g-differences j coefficients rationnels (voiu 121) :

Le groupe de jauge GL,, (C(z)) op?re 5 gauche sur les solutions vectorielles ou matricielles de telles Cquations et done sur les 6quations elles-m&mes,ce qui conduit ti introduire la notion d’@uitrzlerzcr me’romorphe : A - (rr,F)-l,4F lorsque F E GL,,(C(
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I. Sauloy I’aide de 1’ et des exposants en 0 et en IX et montre clue l’on peut rCsoudre le problitme inverse dans le cas oti A(O) et A(X) sont semi-simples. Nous montrons au paragraphe 3 que nos solutions mkromorphes conduisent li une matrice de c’est-&dire 2 coefficients dans M(E). Notre mCthode fait jouer un rtile connexion elli+tiqut~, symktrique g 0 et ?cj et Cvite le recours :I des fonctions h croissance sauvage, du type cl’ c-i #(t-1j/2 (~oir- 151). Nous obtenons alors le thCor&me de classification des systkmes singuliers rCguliers ainsi que des pr&isions sur la possibilit& de prescrire les p6les.

2. Solutions

fondamentales

en 0

On obtient des solutions fondamentales en 0 h coefficients dans le corps de fonctions ]Ko par un dkvissage analogue 5 celui du cas diffkentiel. I, Dans le cas d’un ,sy.st~nze ir [email protected] c’onstunts(A E GL,, (C)), on construit une matrice fondamentale canonique (J,~,-~ E C:I,,,(KO) telle que (T,~(:,,.,.I = Av,,.J = P,..A,II. g&e B la dtkomposition de Dunford multiplicative .A = nri (U semi-simple, (: unipotente. [II: I’] = 0). Si II = ()cliilg(c’l, . . . . c:,,j(j-‘, on pose o,,,u = Qcliag(P,,,,, . .. . . ocI,‘.,,IQ-l, qui ne dtpend que de D. Si ci = I,, + N, on pose P,,-~. = (I,, + ,c’)‘cl = I,, + I,,,,# + I,,,ziV’ + . . (oti l’on note br,,h.= /,,(I,, - I) . (/(, - X. + 1)/A.!). On pose enfin (:,,,.A = P,, I,(‘~,.(.; c’est d’ailleurs une dCcomposition de Dunford multiplicative. Notons I’analogie de (:‘,,,.1 avec le 2.’ de la thCorie des kquations diffkrentielles linkaires. 2. Si le systkme est ,fi4chsien ozoner~sonnunt (autrement dit. si A(0) E GI,,,(C) et si delux valeurs propres de .A(()) n’ont pas leur quotient dans cjN. ), il se ram&e au systkme de matrice constante A(0) par une transformation de jauge RI mkromorphe sur C, holomorphe en 0 et telle que M(0) == I,.: I’Cquation en AI est (cr,A!) - ‘AAI = A(0). qui admet une unique solution formelle (hypothkse de non-rksonnancej et la mkthode des skies majorantes permet de prouver la convergence au voisinage de 0. En it&ant I’Cquation equivalente n,A?’ = ilMA(O)-‘, on voit que ;V est holomorphe sur C - (1N S(A), B valeurs dans GL,,( C) et n’a que des p6les sur ilN S(.4). L.es coefficients de la solution correspondante A/~c~~,.~(~,Jsent done bien dans K,,. 3. Le cas d’un .rystPmc ,fkh.sien yuelcorzq~w se ramtine au prC&dent par une transformation de jauge mkromorphe qui est un produit de matrices constantes rCgu1iPres et de matrices de <r ; la mkthode est analogue :I l’algorithme du pivot de Gauss. 4. Enfin, on peut gCn&aliser au cas des .q.stPmr.r sin,yu/irrv t-6gulier.v : c’est tautologique, d’aprks la definition de ces derniers. On peut r&umt:r les rksultats qui pr6ckdent en un :

Cette dernkre forme s’obtient simplement par rkduction de .l.ordan de la valeur en 0 de ]a matrice non rkonnante a laquelle on s’est ramenk. Toutes les solutions de (I) sont alors de la forme .Yc”)V oh 1,’ E M(E)” : en effet. KO”,f = M(E). Cela se dkduit d’un <
Classification

des

syst&mes

ordre arbitraire sur C*/qz ; les blocs de Jordan simples d’un exposant do& de taille croissante. Du m&me lemme d’indkpendance. on deduit alors le :

aux

q-diffiirences

sont ran&s

par ordre

THI~OR~ME 2. - Une solution canonique donne’e n une ,fomze normale unique ; deux solutions en ,fiwmes not-males A/lN et M’N’ sorzt telles que N’ = N et M’ = !14R oci R E GL,, (C) et [I?, I\‘] = 0.

3. Classification

des systkmes singuliers

rkguliers

sur S

Le changement de coordon&es w = l/z permet d’appliquer ces consid&ations au cas oti le systkme (1) est singulier &plier sur S, c’est-h-dire singulier rCgulier en 0 et en ecz. Une adaptation des algorithmes prCc&dents permet de montrer que (1) est alors Cquivalent ?I un systttme fuchsien en I) et en x. Soient X(O) = M(‘)N(‘) et Xc”) = ;Lil(“)N”“‘) des solutions canoniques sous forme normale : cette derniere s’obtient par le changement de variable w = l/z, done comme solution du sys&me de matrice (/!(l/(r~~r))-‘. On peut d’ailleurs prouver, r&iproquement, que tout systkme admettant des solutions X(“). X(%) de ces formes est singulier rt?gulier. Soit Fr, le quotient de l’ensemble des triplets (-VI. P, N,) (oti p E GL,,(M(E)) et ob lil. IV, sont des matrices log-car en forme normale) par la relation d’kquivalence : (IV,, P, N2) - (Ni: P’. Ni) si N1 = Ni, Nz = 11;; et RIP = PI?z, oti I?,, R2 E GL,,(C) et [RI, N,] = [n,, Nz] = 0. On introduit alors la matrice de connexion I’ = (X(w))-lX(o) E GL,, (M(E)) et I’on associe g (1) le triplet (JV’“), I? N(“)) : il n’est pas dCfini de man&e univoque, mais son image dans F,, I’est d’aprks le thCor?me 2. TH~OR~ME 3. - On ohticxt ainsi une bijection de 1‘ensemble f,, des clr~.ssrs d ‘Pquivaltwce de systt?mes sinpliers kguliers dr rung II dans l’ensrmble 3,,.

me’romnrphe

Seul point non trivial, la surjectivitk se prouve en iScrivant 1’ = (N(n))~1i5~N(“), oti M E GL,,(M(C*)) : 1a <2. - Sens inverse : supposons que les singularit& de M appartiennent g c/‘>!. L’invocation du (c Preliminary Theorem j> de [2] (lemme de Birkhoff) B la place de l’argument de trivialit des fib& mCromorphes permet de choisir les singular&% de :W(“) et A@” respectivement dans 4N’ C et dans q pNC ; le syst&me (1) correspondant est alors tel que S(A) c C. I1 existe une version <>de ce thCoreme (wir [8]). Ainsi, malgre le gros (c corps des constantes >>M(E) qui exclut le recours B la thCorie de Picard-Vessiot comme dans [4], on a les outils de base pour une thCorie de Galois. Dans 171, nous donnerons une interprktation gCom6trique de P en montrant son lien awe la monodromie lorsque le systkme (I) conflue en un systkme diffkrentiel fuchsien non r&onnant.

J. Sauloy Remerciements. son

soutien

et pour

’ L’analogie

suivie

Ce travail

fait partie ses conseils.

est (u,, - l)/(n

d’une

- 1) ti

these

b = ~(d/&)

sous

la direction

(roir

de Jean-Pierre

Ramis.

Je le remercie

pour

[5]).

RCf&ences bibliographiques [l] Adams C.R., On the Linear Ordinary q-Difference Equations, Ann. Math. (SCrie 2) 30 (2) (1929) 195-205. [2] Birkhoff G.D., The generalized Riemann problem for linear differential equations and the allied problems for linear difference and q-difference equations, Proc. Amer. Acad. 49 (1913) 521-568. [3] Carmichael R.D., The General Theory of Linear q-difference Equations, Amer. J. Math. 34 (1912) 147-168. ]4] van der Put M., Singer M.F., Galois theory of difference equations, Lect. Notes in Math. 1666, Springer-Verlag, 1997. [5] Ramis J.-P., About the growth of entire functions solutions to linear algebraic q-difference equations, Ann. Fat. Sci. Toulouse (SCrie 6) 1 (1) (1992) 53-94. [6] Sauloy .I., Matrice de connexion d’un systeme aux q-differences confluant vers un systeme differentiel et matrices de monodromie, preprint, Fat. des Sciences de Toulouse, 1998. [7] Sauloy J., Matrice de connexion d’un systeme aux q-differences confluant vers un systeme differentiel et matrices de monodromie, C. R. Acad. Sci. Paris 328 SCrie I (1999) (a paraitre). [8] Sauloy J., ThCorie de Galois des equations aux q-differences fuchsiennes, (1998) (en preparation).

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