Le lemme fondamental de Jacquet et Ye en caractéristiques égales

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, SCrie I, p. 307-312, 1997 Ct?om&rie alg6brique/A/gebraic Geometry

Le lemme fondamental de Jacquet en caract&istiques @gales Bao Chb Institut avenue

et Ye

NG6

GaliKe, Universitb Paris-XIII, Dgpartement J.-B. Clkment, 93430 Villetaneuse.

de Mathematiques,

Dkdie’ B la mkmoire

R&urn&

de Mohamed

Benchaou

On dkmontre dans le cas de caractkistiques Cgalesun lemme fondamenttil conjecturC par Jacquet et Ye pour GL(T). On utilise l’interprktation cohomologique des sommes exponentielles, les faisceaux pervers et la transformation de Fourier-Deligne. The fundamental lemma in positive characteristic

of Jacquet

and

Ye

Abstract.

We prove in the case of equal characteristics a fundamental lemma conjectured by Jacquet and Ye for GL(r). We use the &ale cohomology interpretation of exponential sums, perverse sheaves and Fourier-Deligne’s transformation.

A bridged

English

Version

Let 5 be a finite field of characteristic p. Let 0, = !~[[a]] be the ring of power series with indeterminate w, and let F, be its field of fractions. Let k’ be a quadratic extension of k, Sl, = k’[[w]], and I?& = k/((w)). Denote by z H CEthe non-trivial element of Gal (F&/F,). Fix a non-trivial additive character T,LJ : k --f s,“, where e is a prime which is different from p, and & is an algebraic closure of Qt. Let P denote the character of F, defined by \II(z) = $(res (sdw)). All additive characters of F, with conductor 0, are then of the form x H Q(CKE) with a E 02. Denote by 9’ the character of FL defined by W(z) = !P(z + 3). Let G be the group scheme GL(T), N the subscheme of G formed by unipotent upper triangular matrices, and A the one formed by the diagonal matrices. Finally, denote by g the affine scheme of T x T matrices. For each cz = (a~,... , GE,) E (Oz)‘-l, we define the character 8, : N(F,) -+ Bt by e,(n) = !I!(~;c2aini-l,i). Th’IS ch aracter is trivial on N( O,), and gives rise to a function 8, : N(Fm)/NOm) + @. For each matrix a E A(F,), we consider the finite set X&P> Note prksentke par Pierre 0764-4442/97/03250307

= u

m,nz)~

(WF,)/WW2

I 'man2

E B(Q,)).

DELIGNE.

0 Acadhie

des SciencesElsevier,

Paris

307

6. C. NgS

The generalized Kloostennan sum is then defined by I,(a, o) = ~Cnl,nz)EX,Ca)Ck) t?,(n,)e,(na). H. Jacquet and Y. Ye also introduced the so-called relative Kloosterman sum. For each a E (C)g)‘-‘, denote by Sk : N(Fk) + Qt the character e&(n) = @‘(~~Z‘=2ai~i-r,i). It induces a function 0; : N(F&)/N (C$,) --t Qg. For every a E A (Fm), we consider the finite set Xi(a)(k) = {n E N(FL)/N(C3;) ( %n. E g(O&)}. The relative Kloostennan sum is then defined by Jm(a7 4 = CnExk(a)(b) @Lb). THEOREM.- For every a = diag (al, u;~cQ,. . . , c~;?~a~), put )a) = JJlL,’ ai. Then we have:

I,(u,

cl) = (-l)Yal=W&&

0).

This formula was conjectured by Jacquet and Ye for arbitrary non-archimedian local field and was proved by these authors for T = 2 and T = 3 (see [3] and [4]). In the context of Jacquet’s relative trace formula, this formula plays the role of a “fundamental lemma for the unit of the Hecke algebra”. The key point in the proof of this theorem consists in constructing a deformation from a generalized Kloosterman sum to a product of classical Kloosterman sums. The fundamental lemma of Jacquet and Ye then appears as a “limit” of known identities for classical Kloosterman sums. Passing to the limit is allowed thanks to the &ale cohomology interpretation of exponential sums and to the theory of perverse sheaves. The Fourier-Deligne transformation is used at a crucial point of the proof.

1. honcC Soit k: un corps fini de caracteristique p. On note 0, = k[[w]] l’anneau des series formelles a une indeterminee w et & coefficients dans lo:, et F, = ~((zz)) son corps des fractions. Soient l? une extension de degre 2 de k, 0& = Jc’[[w]] et FL = /~‘((a)). On note z I-+ Z 1’ClCment non trivial du groupe Gal (FL/F,). On fixe un car-act&r-eadditif non trivial $J : Ic + Q:, oti .C?est un nombre premier different de p et ou Qe est une cl8ture algebrique de Qt. On notera 9 le caractere de F, defini par Q’(x) = $(res(xdw)). T ous les caracteres additifs de F, de conducteur 0, sont alors de la forme z H q (WC) avec a E 0:. On note 9’ le caractere de FL defini par 9’(z) = *(z + 5). On note G le schema en groupes GL(r), N le sous-schema en groupes de G form6 des matrices triangulaires suptrieures unipotentes et A le sous-schema form6 des matrices diagonales. On note g le schema affine des matrices T x T. Pour tout cr = (QZ,. . . , cur) E (Sz)r-l, on note 0, : N(F,) -+ Q: le caractere defini par a restriction de ce caractere a N(C),), vu comme sous-groupe de e,(n) = e(~;~‘,,a.ini-l,i). L N(F,), &ant triviale, celui-ci induit une fonction 0, sur N(F,)/N(O,) 2 valeurs dans QF. Pour chaque matrice diagonale a E A(F,), on considbre l’ensemble fini -Gb)(W

= {( m,w)

E (N(Fm)/N(Om))2

I

tn~an2

E g(W).

Voici une autre decription de cet ensemble. On peut voir g = tnruns E g( 0,) comme une forme 0bilineaire de O& dont la restriction au sous-espace 02 engendre par les i premiers vecteurs de la base a pour discriminant a;, le produit des i premiers coefficients diagonaux de a. On a une bijection entre l’ensemble de telles matrices g E g(C),) divise par tN(O,) x N(C),) et X=(CZ)(AZ)en vertu de l’unicite de la decomposition g = tnrun2 dam la cellule ouverte de G( FW). En particulier, X, (a)(!~) est non vide seulement si ai E 8, pour tout i = 1, . . . , T. La somme de Kloosterman g&&aliske associee a la matrice a E A(F,) et au caractere 8, est df%ie Par Mo,o) = C(nl,nz)EX,(a)(lc) M~l)U~Z)*

308

Le lemme

fondamental

de

Jacquet

et Ye en

&ales

caractbristiques

H. Jacquet et Y. Ye ont introduit de nouvelles sommes baptisees sommes de Kloosterman relatives. Pour tout a = (QZ,. . . , a,) E (Oz)‘-l, on note 8b, : N(FA) -+ e,” le caractere defini par e;(n) = xP’(~;==, a&-I,$). L a restriction de ce caractere a N(Ok) etant triviale, celui-ci induit une fonction 19; sur N(F&)/N(O&) a valeurs dans ae,“. Pour chaque matrice a E A(&), on considere l’ensemble fini

La somme de Kloostennan relative est definie par J,(a, a) = xnEx:,CalClc) O;(n). Notons que, si on a pris k’ = k x k au lieu d’un corps, on aura G(FA) = G(F,) x G(F,), que la somme J, sera egale a la somme I,. TH~O&ME

A. - Pour tout a = diag (al, aLlaa,. . . , a;AIu,), &(a,

posons \a( = nlzt

a) = (-l)Ya~~(‘~‘)Jp(u,

si bien

ui. Alors on a

o).

Cette formule a Cd conjecturee par Jacquet et Ye aussi pour les corps locaux de caracteristique nulle. Els l’ont demontree dans les cas GL(2) et GL(3) (uoir [3] et [4]). Dans cette Note, on suppose que (Y E (k” )T-l. Le cas general peut se ramener a celui-ci. 2. InterprCtation

cohomologique

L’ensemble X,(u)(k) est de man&e naturelle l’ensemble des points a valeurs dans k d’une variCtC algtbrique X,(u) de type fini sur k. Cette variete est munie d’un morphisme h, : X,(u) + 6, defini par hcu(nI, na) = res (CL==, o;((nl)i-l,i + (na)i-I,i)da), et d’une involution CTdefinie par (T(TQ,722) = (n2,nI). L’ensemble XL(a)(k) est aussi de manibre naturelle l’ensemble des points a valeurs dans k d’une w-i&e algebrique XL(u) de type fini sur k. Cette variete est munie d’un morphisme hl, : XL( a ) --) 6, defini par h’,(n) = res (CIC2~i(ni-l,; + ti;-r,;)dzz). Soit k une cloture algebrique de k. L’isomorphisme entre k’ @ k et (k x k) @ k induit un isomorphisme entre (X,(u), h,) @k k et (X&(u), h’,) @k k. L’endomorphisme Frobenius Fr’ sur Xp( u) = X,(u) @k k induit par la structure k-rationnelle XL(u) est tgal a Fr o B = 0 o Fr, oti Fr est l’endomorphisme Frobenius induit par la structure k-rationnelle X,(u). Soit C+ le faisceau d’Artin-Schreier sur 6, associe au caractere ?1,: k --f BF. D’apres la formule des traces de Grothendieck, on a :

&(a, a) = Tr(Fr,Rr,(X,(a), hz&));

Jp(u, o) = Tr(Fr o 0, RI’,(X,(a),

hzL+)).

Le theoreme A resulte alors de l’enonce geometrique suivant : THBOREME B. - L’involution o agit dans RPC(Xp(u), h2;C+) comme la multiplication par (+4&4). Ce theorbme est une generalisation d’un resultat de Deligne. Dans le cas n = 2 et a = diag(cw,c’w-‘) avec c, c’ E Oc, la somme

oti C et 15’sont les images de c et c’ dans kx , est une somme de Kloosterman classique. Dans [2], Deligne a dtmontre 1’CnoncC suivant :

309

B. C. N&3

TH~ORI~ME.- Sous les hypothdses ci-dessus, RI’,(xm(a), hL&,) est un ge-espace vectoriel de rang 2, place’ en de& 1, duns lequel o agit comme la multiplication par -1. Dans le cas g&&al, on ne con&t pas aussi explicitement le complexe Rl?,(X,(a), ht.C+) car la varitt6 X,(a) g v&(bO). 3. Sommes

n’est ni lisse ni irrkductible et sa dimension est t&s grande (supkrieure ou Cgale

globales

L’idBe cl6 est de dCformer le complexe RI’,(xw (a), hzL+) en consid&ant des sommes de Kloosterman sur un corps global de caracdristique positive. L’hypothbse sur la caractkristique est ici essentielle. Soient d = g[m] l’anneau des polynames en une variable a et B coefficients dans &, une cl&ure algkbrique de k, et F son corps des fractions. Pour tout IC E p, on note sres (zdm) la somme des &idus en tous ses p6les ?I distance finie qui ne dkpend de 2 que modulo 0. Pour tous a E A(F) e_t a E (&x)r-l, on peut dkfinir un triplet (X(u),h,, u ) , oti x(a) est une writ% de type fini sur k dont l’ensemble des &points est

oti h, : X(u) --+ 6, est le morphisme dkfini par ha(nl, n2) = Cl=‘=, pi sres ((~1)i-l,i+(~2)i--l,i)da, et oti CJ: x(a) -+ x(a) est l’involution dkfinie par ~(a~, 7~2) = (n2, nl). Pour tout X E &, on note am--x le complttt de d en zi7 - X et Fw-x son corps des fractions. Pour tout n E A(F,-A), on peut dkfinir un triplet (xp-x, h A,~, UX) comme pr&Cdemment, simplement en remplaqant P par &-A, d par b,-x, et la somme des Aidus par le rksidu en A. Lorsque X = 0 et a E A(F’,), on retrouve bien le triplet (X,(a), h,, a) @ i du paragraphe prkbdent. LEMME 1. - Pour tout a E A(F) etpour tout X E & on a un triplet (xm-x, h+, UX) en co&d&rant a comme un flkment de A(Fw-x). Soit supp (u) l’ensemble des ze’ros de Ial = HI:, ui duns E. On a un isomorphisme

compatible & l’action de u sur le membre de gauche et & l’action de BXEsupp Caj‘TX SW le membre de droite. Dkmonstration. - L’ensemble N(P)/N(B) est en bijection canonique avec l’ensemble des

collections (TIA)~~H, oti nA appartient ri N(F,-x)/N(Ow-x) et est trivial pour presque tout A. On en dCduit un isomorphisme entre x(u) et le produit nXEsupp CaIxm-x via lequel h, = CXEsupp caj h~,~ et u = rLsupp(a) CTX.Le lernme s’ensuit d’aprks la formule de Ktinneth. Supposons a = diag (aI, u11a2,. . . , u-lr--l~r), oii les ui sont des polynbmes unitaires dont on fixera les degrks di = deg(ui). Soient Q d, la varZt6 affine sur 2 des polyn6mes unitaires de degrk di et Qd = IIG1 Qd, avec d = (4,. . . , d,). Les triplets (X(u), h,, CT) dependant de a E Q<(L) et de ry E (kx )+I se mettent naturellement en famille de sorte qu’on obtient une varitt6 xd de type fini sur & munie d’une involution c et deux morphismes (fix& par ~7) fd : xg x (Gm)T-l TQd x (S,)‘-l et hd : X, x (G,)‘-1 -+ G, tels que X(u) et RI’,@(u), h&) sont respectivement les fibres en (~,a) de fg et de W&G&.PROPOSITION 2. - Soit Ud l’ouvert de Qd x (Gm)T-l forma des couples (a, CX)tels que le polyncime nLzl ui n’ait pas de racines multiples. La restriction du complexe Rfd,! h:.C+ h Ud est alors un systgme local de rang 2’(d) place’ en degre’ C(d) duns lequel CTagit comme la mktiplication

310

par (-l)‘(d).

Le lemme

fondamental

de Jacquet

et Ye en Cgales

caractkristiques

Demonstration. - Soit (a, a) E Ud( ]c). Pour chaque X E supp (a), comme w - X intervient dans ]a] = nI:t ai avec au plus la multiplicite 1, et de plus a, est premier a ]a], le complexe RI’,(X,-~(a), hz$,) est associe a une somme de Kloosterman classique. D’apres Deligne, ce complexe est un Qe-espace vectoriel de rang 2 place en degre 1 dans lequel 0 agit comme la multiplication par -1. On conclut d’apres le lemme precedent. le the’oreme B, il @fit de demontrer que pour tout r E N et , r), a agit dans Rfd,!h:L+ comme la multiplication par (-l)‘(d).

PROPOSITION 3. - Pour demontrer

d=

(1,2,...

Demonstration. - Fixons a E A(F,) c GL(r, F,). Pour tout m E N, considerons la matrice diagonale Id, x a E GL(m + r, F,). Les varietts Xp(u) et X,(Id, x a) munies des donnees h, et v sont isomorphes. Pour m assez grand et pour 4 = (1,2,. . . , m + T), RI’,(X,(Id, x a), hzL+) intervient comme facteur local dans la formule de multiplicativite pour la fibre de Rfd;! h:L+ au-dessus d’un point de Qd x (Gm)m+r-l (%). Ce point peut &tre choisi de sorte qu’en plus tous les autres facteurs locaux soient associts a des sommes de Kloosterman classiques. On deduit la proposition en utilisant de nouveau le resultat de Deligne. 4. Le cas d = (1,2,...,r) TH~ORBME C. - Pour d = (1, . . . , r) le complexe de faisceaux Rfd,!hsL+[r2 pervers, prolongement intermediaire de sa restriction a l’ouvert Ud. - COROLLAIRE 4. - L’involution

u agit dans Rfd,!hiLti

+ r - l] est un faisceau

comme la multiplication

par (-l)‘(d).

Demonstration du corollaire. - L’image de (T - (Il)‘@) d ans la categoric abelienne des faisceaux pervers est nulle sur Ud et est done supportee par le ferme complementaire de U+ Or, d’aprbs [l], le prolongement interm%diaire d’un faisceau pervers sur Ud ne peut avoir ni sous-objet ni quotient supportt par le ferrne compltmentaire de 17,. Cette image&t done nulle. PROPOSITION 5. - Pour d = (1, . . . , r), le quadruplet (x6, a, fg, hd) - est isomorphe au quadruplet (sr ,o, f, h),. 02 BT est la varie’te’ afJine sur ,% des matrices r x r, u est E’involution dejinie par cr(z,~u) = ( tz,~), f : & x Gzl -+ Qd x SE1 est Ee morphisme dejmi par f (x, a) = avec Ai = det(s;(z) + wIdi), s;(z) &ant la sous-matrice faite des i ((Al(x), . . . !A,(z)),a) premieres lignes et des i premieres colonnes de x, et h : &. x Gk-’ --+ 6, est le morphisme de&i par h(x,a) = ~~z2~i(xi-~,i + x+1). Demonstration. - En utilisant l’action de “N(a) x N(o), on peut reduire toute matrice g E g(d)

dont le determinant de la sous-matrice si(g) est un polynome unitaire de degre i, a une matrice de la forme x + aId, avec z une matrice a coefficients dans i. De plus, si x + wId = %an’, on a necessairement sres(ni-l,i) = zi,+r et sres(n!,-l,i) = xiel,i. Soit gi la variete affine sur k des matrices i x i. On delinit les varietes Ri en posant R, = Spec (i) et Ri-1 = Ri x Qi x 6,. Soit fi : G, x gi x Ri 4 gi-1 x Ri-1 le morphisme defini par Soit hi : 6, x gi x Rf + 6, le fi(ai, xi, ri) = (G--~(G), ri--l), oii ri-1 = (ri,Ai(xi),Q;). morphisme defini par hi(a;,zi,ri) = (u~(z~-~,~ + x+-~). Soit pr; : 6, x g; x R; -+ gi x & la projection Cvidente. On definit les complexes Ki sur gi x Ri en posant K, = &[r”] et Ki-1 = Rfi,!(prrKi @ hfL+) (voir [l]). On a un isomorphisme gi x R1 2 Qd- x (G,)‘-1 via lequel Ki N Rf! h*L+ [r" + r - 11. On note Gi = GL(i). Le groupe G;-l agit dans g;-l par l’action adjointe et se plonge dans le groupe Gi par l’homomorphisme g H diag (g, 1). 11 agit done dans gi. Si on fait agir G; trivialement sur Ri, le morphisme fi est clairement Gi-r-equivariant. Le morphisme hi n’est pas Gi-l-Cquivariant mais est neanmoins Gi-a-equivariant. Le theoreme C resulte alors de la proposition suivante : 311

B. C. Ngd PROPOSITION 6. -

Soit K un fuisceau pervers Gi-I-kquivariant K’ = Rf;,!(prfK

sur & x Ri. Alors

@ hf.&)[l]

est un faisceau pervers G;-z-kquivariant sur gi-1 x Ri-1. Soit Ui (resp. Ui-1) l’image rkiproque de Ud dans gi x Ri (resp. gi-1 x Ri-1). Si on suppose de plus que K est le prolongement intermkdiairede sa restriction & Ui, alors K’ est le prolongement intermtfdiaire de sa restriction i2 Vi-l. Dkmonsiration. - On utilise la transformation de Fourier-Deligne pour dkmontrer cette proposition. Soit S = gi-1 x Qi x Ri. 11 est clair que S x G, zz gi-1 x Ri-1. Soient V le fibrC trivial S x (Widl)’ et V” son fibr6 dual. On note L : gi x Ri -+ V l’immersion fermCe dtfinie par

L(Zi, Ti) = (xi-1, Ai(

ri, y, y’),

oti

2; est de la forme (2:r’

g.

On note E : 6,

x S -+ V”

l’immersion

fermCe dkfinie par .c(s, ai) = (s, t (0, . . . , 0, ai), t(O,. . . , 0, a;)). On vCrifie que - 1) + I], 06 3v est la transformation de Fourier-Deligne. Puisque K est un faisceau pervers et L est une immersion fermke, L,K est un faisceau pervers. D’aprks [5], F+(L* K) en est un aussi. L’action de Gi-l sur gi x 1: s’ktend ?I V et induit done une action sur V”. Par rapport g cette action, T+(L,K) est Gi-I-kquivariant. Le morphisme composC K’

= E*F..(L,K)[-~(~

s x 6,

x Gi-l

-

V” x Gi-I

-+ V”,

oti le premier morphisme se dCduit de E et le second de l’action de Gipl sur V”, est un morphisme lisse. 11 s’ensuit que K’ est un faisceau pervers sur gi-1 x Ri-1. On dCmontre de la meme man&e que K’ est le prolongement intermkdiaire de sa restriction a Vi-,. Les morphismes qui interviennent dans la formation de K’ sont tous Gi-z-Cquivariants done K’ l’est aussi. Remerciements. Je voudrais remercier profondCment GCrard Laumon qui m’a propose ce sujet et a dir&k ce travail, pour sa patience et pour sa gCnCrositC. Je suis t&s reconnaissant & Pierre Deligne pour ses remarques et corrections dont la prksente version de cette Note a bCnBfici6. Note remise le 19 mai 1997, acceptke le 26 mai 1997.

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