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Le produit star de Kontsevich sur le dual d'une algèbre de Lie nilpotente
C. R. Acad. GCombtrie
Sci. Paris, t. 327, diff~rentielle/Differentia/
Sbrie
I, p. 823-826, Geometry
1998
Le produit star de Kontsevich d’une alg&bre de Lie nilpotente Didier
ARNAL
Lahoratoire Metz, ile (Regu
SW le dual
du
‘Mikhodes Saulcy,
le 13 ao&t
R&urn&
mathtmatiques 57045 Metz
1998,
accept6
le
pour l’analysr France
18 septemhre
des syst&mrs’,
Upres
A CNRS
7035.
UniversitP
de
1998)
Dans [3], Maxim Kontsevich construit explicitement, pour chaque structure de Poisson a sur I’espace W”, un produit star pilot6 par (2. Lorsque N est likaire, done lorsque R” est le dual d’une algkbre de Lie g, Kontsevich compare ce produit avec celui dCfini dans [2] par S. Gutt. La prksence de> dans les graphes de Kontsevich fait que ces produits different. Si g est nilpotente, les roues n’apparaissent pas et les deux produits co’incident. Le but de cette Note est d’ktablir directement ce rksultat en calculant les coefficients du produit de Kontsevich dans ce cas particulikrement simple. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris
Kontsevich Abstract.
cedex,
star product
on the dual of a nilpotent
Lie algebra
In [3], Maxim Kontsevich defines explicitely, for each Poisson structure N on the space R”, a star product on RCi. if (Y is linear. i.e. (f (W”, U) is the dual of a Lie agebra 0, Kontsevich compares his star product with the product dejked by S. Gutt in [2]. Due to the existence of “wheels” in the Kontsevich’s graphs. these two deformations are distinct. rf g is nilpotent, the wheels do not appear and the star products coincide. In this Note, we prove this result by computing directly the cmJ$cients of the Kontsevich’s star product for this vey simple case. 0 AcadCmie des Sclences/Elsevier, Paris
1. Sur l’espace
IId, M. Kontsevich
dans [3] d&nit,
pour chaque structure de Poisson,
CI un star
produit nature1 :
Ici, G,, est un ensemble de graphes ayant (sn+ 2) sommets et 272flkches et Rr,,, est un opkrateur bidiffkrentiel n-linkaire en N, caractkid par I?. Enfin wr est un coefficient, essentiellementl’intkgrale d’une 2n-forme WY associCeB I? sur un espace de configuration ne dkpendant que de n et not6 Note
prCsentCe
07W4442/98/03270823
par
And&
LICHNEROWICZ.
0 Acadkmie
des Sciences/Elsevier,
Paris
823
D. Arnal
c ,],,J. Now renvoyons a [3] pour toutes ces definitions. Cette construction est la premiere Ctape du theoreme principal de [3]. Si le tenseur de Poisson a est constant, il est facile de voir que le produit de Kontsevich est simplement le produit de Moyal : f *n, 9 = 2 $rYf, n=o .
g),
Si ck est lineaire, fiiJ = C, Cyz”, c’est-a-dire si l’espace R” est le dual de l’algebre de Lie g de constantes de structure Cy , on con&t aussi un produit star sur Rd, donne par l’operateur de symetrisation entre l’algebre symetrique S(g) et l’algebre enveloppante U(g) de 8. Ce star-produit est decrit dans [2] par S. Gun, nous le noterons *G, il est caracterise par les formules :
oti les B, sont les nombres de Bernoulli. Kontsevich compare ces deux star-produits dans [3] et remarque que la presence de <>dans certains de ses graphes I’, c’est-a-dire d’un ensemble (~1,. . . ~sk} de sommetsrelies par des fleches a, sup( 2:3). Soit I un graphe de G, tel que Br.o, ne soit pas nul ; notons A = {si, . . : s,,} l’ensemble de ses sommets du premier type et B = {L:R} = {ST, ST} ce1ui. de ses sommets du second type. LEMME. - La
s 5 5” si et .wldO?WntSi s = s’ oli il existe une suite vo, 11~. . . . , Ilk de A telle que uo = s, l:k = s’ et ~‘j.ujest unefZ2clze de r’ pour tout j = 1, . . j k, est une relation d’ordre sur A. relation
La seule chose a montrer est l’antisymetrie de 5. Si on a s < s’, s’ < s et s # s’, on voit apparaitre dans I une roue, done dans Br,m un facteur non nul de la forme C:;“’ C;:“’ . . . C~~-lk’ , ce qui est impossible. Soit X une forme lineaire sur g*. On se restreint aux graphes I? tels que Br,,(X. .) n’est pas nul. Pour un tel I?, il est facile de voir que A ne contient qu’un Clement minimal qu’on note sl, que iz \ (~1) n’en contient qu’un, note ~2, etc., c’est-a-dire que A est totalement ordonne et que les deux fleches issues du sommet sk sont a, s~ si k > 1 et
824
Le produit
star
de Kontsevich
sur
le dual
d’une
algebre
de Lie nilpotente
3. Pour definir l’espace de configuration C il,~ sur lequel on indgre la forme WY,~. on considere l’ensemble Conf(A, B) des (n + 2)-uplets (pl, r)a; . . :p,,: qr. qz), oti les pj sont 72,points distincts du demi plan ‘7-fde Poincare, les qi appartiennent a R et q1 < q2. On quotiente cet espaceConf(A, I?) par le groupe de transformations G2 : (A
(pl?...!pn;cll,Q2)H(Xpl+t,....Xp,,+f:XQ1+t,Xq2+f)
>
0,
t E R).
La variete quotient est l’espace CA4.~. On compactifie cet espace en le plongeant dans un produit de tores et d’espaces projectifs (v&r [3] et [l]). Puisque l’on a choisi l’ordre d’enumeration des fleches de I’,, la forme wrn est :
(2*;‘“n!
Q’“(mm)
Adgi%l.q2)
Adqj”(~z,~l)Ad~“(pz!q2)
+.~d&“(p,,q,,-1)
~d@(l-)n:q2),
oti c$“(p% p’) est Arg( p$!) ; cet angle est un element de R/27rZ et on ne peut en choisir une determination reelle sauf pour les fleches reliant un sommet de A h un sommet de B, s,s, et %G5, pour lesquelles une determination est pl = 2Arg(pI - ql) (resp. BI; = 2Arg(pk - qa)) et on choisit ces demiers arguments entre 0 et T. Appelons aussi dpk la forme d$h(pk,~)k-l) si k > 1; alors wrrL est exacte :
et on peut l’indgrer sur la compactification de C -4,~ en utilisant le theoreme de Stokes. Or on sait que les faces du bord de C;~,B de codimension 1 sont de la forme ~sC~,B (premiere espitce) et 8~~s)C-4.B (seconde espece) (voir [3]). 4. Posons
Alors w[ = -d(&
n,,) ; calculons les @, par recurrence en utilisant la formule de Stokes.
Faces de premiPre espke. - Les faces 3sCA,n, avec S c .4 et 1 < #S < 71,correspondent a la concentration des pi associesaux sommets de S en un point pt, de ‘FI. Elles sont isomorphes 2 cs x Cd\S”{pt}.B. La forme N,, se restreint en une forme produit qui est sur le facteur Cs de degre au plus #S - 1. Or dim Cs = 2#S - 3: on en deduit que #S = 2 et S = {s~-~..T,~} (voir aussi le theoreme 6.6.1 de [3]). Si S # (~~~-1. s,,}, alors cy,,, sur le facteur CzA\su(ptj,n contient d@(pt:qa) A d@(pt,qz), done s’annule. Le seul terme non nul provient de F,, = 3~,s7,~,,,s,,)C=1,B. Avec nos notations, on regarde l’ouvert de notre espacede configuration d&fini par :I:,, = H,,-H,,_l < 0 ; on pose ?J~, = i(en + H,,-r), la forme WE s’ecrit : W0
n = dpn-1
A d&-1
A dy,,
A
do,,
A w;-,
=
-ch,,
A
dy,,
A ~~~~~~~
A
dy,, A w,“,-, ;
D’oh I’orientation de la face. sur Fn, H,, = 0,,-r = yVL,:I:,, = 0 et sa contribution s’tcrit :
825
D. Arnal
Faces de seconde espdce. - Les faces ~~,sIC.AJ, avec S c A, S’ c B et 1 < 2#S+ #S’ < 2n+ 2, correspondent ti la concentration des points associks aux sommets de S et de S’ en un point pt, de R. Elles sont isomorphes 2 (3s.~~ x CA\Sz~\S~,,{Pt). Si S’ n’est pas B, S n’est pas vide; si sj est le plus petit ClCment de S, le facteur d#h(pj, pj-1) (ou d#‘(pl) qi) si s; n’est pas dans S’) devient 0 B la limite (c’est ce que Kontsevich appelle une mauvaise flkche). Done les seules faces B considkrer vkifient S’ = B. On ne peut avoir 5’ = A. Si j est le plus petit Ument de il \ S et si j < a. alors la forme a,, contient sur le facteur C!A\S.B\S’~{~~) un terme d#“(~~I, pt) A d4Sh(yJ, pt) done cy,, = 0. La seule face qui intervient est FA = 81, ,,,.., s,,_,),~C,l.~ = C{,s, ,,..,s, ,-,},n x CI,,~},{~~}. La forme A d$h(p,L: Q) A d0, dkfinit l’orientation de l’espace de configuration et @(pnr ql) - 0, est 4-l nkgatif. Notre face est obtenue lorsque p,, tend vers l’infini, c’est-g-dire lorsque :cn = +h(pn, sl) - en tend vers 0. Le m&me raisonnement que ci-dessus donne : w.,,pl A dq5’L(p,L, ql) A dd,, = d:c,, A w,,-~ A dy,. Sur F7i, z, = 0, yin = 8, et on a l’intkgrale
: $g”+l -Ad& (P + I)!
On a done la relation
de rkurrence
apn = -O”+“a~-l (p + a)! D’autre
:
+ (2n)af’:,
part, si les nombres de Bernoulli B ‘=72.I
done :
(lo7,.= -2
2ka0 ’ 7L-k. k=l (k + l)!(lzT)
sont not& B,, on a :
” _______ 1 B,L--k ck=l (k + I)! (n, - k)!’
puisque la relation esl trivialement
= -$$&.
done :
rL!uir,,
_
4 - 5, (27r)272 *n! !
vraie pour n = 1.
PROPOSITION. - Sur le dual g* d’une alg2bre de Lie nilpotente, les produits star de A4. Kontsevich de S. Gutt coincident, ils sont caracte’riks par la relation :
si X appartient
ci 8. Les B,, sont les nornbres de Bernoulli.
Rdfkences
bibliograpbiques
[I] Fulton W., Mac Pherson R., Compactification of configuration spaces. Ann. Math. 139 (1994) 183-225. [2] Gutt S., An explicit * product on the cotangent bundle of a Lie group, Lett. in Math. Phys. 7 (3) (1983) aussi J. Dixmier, Algkbres enveloppantes (ex. 2.8.12) Gauthier-Villars, Paris, 1974.) [3] Kontsevich M., Deformation quantization of Poisson manifolds, I. Preprint q-alg/9709040, 1997.
826
et
249-259.
(Voir
Sci. Paris, t. 327, diff~rentielle/Differentia/
Sbrie
I, p. 823-826, Geometry
1998
Le produit star de Kontsevich d’une alg&bre de Lie nilpotente Didier
ARNAL
Lahoratoire Metz, ile (Regu
SW le dual
du
‘Mikhodes Saulcy,
le 13 ao&t
R&urn&
mathtmatiques 57045 Metz
1998,
accept6
le
pour l’analysr France
18 septemhre
des syst&mrs’,
Upres
A CNRS
7035.
UniversitP
de
1998)
Dans [3], Maxim Kontsevich construit explicitement, pour chaque structure de Poisson a sur I’espace W”, un produit star pilot6 par (2. Lorsque N est likaire, done lorsque R” est le dual d’une algkbre de Lie g, Kontsevich compare ce produit avec celui dCfini dans [2] par S. Gutt. La prksence de
Kontsevich Abstract.
cedex,
star product
on the dual of a nilpotent
Lie algebra
In [3], Maxim Kontsevich defines explicitely, for each Poisson structure N on the space R”, a star product on RCi. if (Y is linear. i.e. (f (W”, U) is the dual of a Lie agebra 0, Kontsevich compares his star product with the product dejked by S. Gutt in [2]. Due to the existence of “wheels” in the Kontsevich’s graphs. these two deformations are distinct. rf g is nilpotent, the wheels do not appear and the star products coincide. In this Note, we prove this result by computing directly the cmJ$cients of the Kontsevich’s star product for this vey simple case. 0 AcadCmie des Sclences/Elsevier, Paris
1. Sur l’espace
IId, M. Kontsevich
dans [3] d&nit,
pour chaque structure de Poisson,
CI un star
produit nature1 :
Ici, G,, est un ensemble de graphes ayant (sn+ 2) sommets et 272flkches et Rr,,, est un opkrateur bidiffkrentiel n-linkaire en N, caractkid par I?. Enfin wr est un coefficient, essentiellementl’intkgrale d’une 2n-forme WY associCeB I? sur un espace de configuration ne dkpendant que de n et not6 Note
prCsentCe
07W4442/98/03270823
par
And&
LICHNEROWICZ.
0 Acadkmie
des Sciences/Elsevier,
Paris
823
D. Arnal
c ,],,J. Now renvoyons a [3] pour toutes ces definitions. Cette construction est la premiere Ctape du theoreme principal de [3]. Si le tenseur de Poisson a est constant, il est facile de voir que le produit de Kontsevich est simplement le produit de Moyal : f *n, 9 = 2 $rYf, n=o .
g),
Si ck est lineaire, fiiJ = C, Cyz”, c’est-a-dire si l’espace R” est le dual de l’algebre de Lie g de constantes de structure Cy , on con&t aussi un produit star sur Rd, donne par l’operateur de symetrisation entre l’algebre symetrique S(g) et l’algebre enveloppante U(g) de 8. Ce star-produit est decrit dans [2] par S. Gun, nous le noterons *G, il est caracterise par les formules :
oti les B, sont les nombres de Bernoulli. Kontsevich compare ces deux star-produits dans [3] et remarque que la presence de <
s 5 5” si et .wldO?WntSi s = s’ oli il existe une suite vo, 11~. . . . , Ilk de A telle que uo = s, l:k = s’ et ~‘j.ujest unefZ2clze de r’ pour tout j = 1, . . j k, est une relation d’ordre sur A. relation
La seule chose a montrer est l’antisymetrie de 5. Si on a s < s’, s’ < s et s # s’, on voit apparaitre dans I une roue, done dans Br,m un facteur non nul de la forme C:;“’ C;:“’ . . . C~~-lk’ , ce qui est impossible. Soit X une forme lineaire sur g*. On se restreint aux graphes I? tels que Br,,(X. .) n’est pas nul. Pour un tel I?, il est facile de voir que A ne contient qu’un Clement minimal qu’on note sl, que iz \ (~1) n’en contient qu’un, note ~2, etc., c’est-a-dire que A est totalement ordonne et que les deux fleches issues du sommet sk sont a, s~ si k > 1 et
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Le produit
star
de Kontsevich
sur
le dual
d’une
algebre
de Lie nilpotente
3. Pour definir l’espace de configuration C il,~ sur lequel on indgre la forme WY,~. on considere l’ensemble Conf(A, B) des (n + 2)-uplets (pl, r)a; . . :p,,: qr. qz), oti les pj sont 72,points distincts du demi plan ‘7-fde Poincare, les qi appartiennent a R et q1 < q2. On quotiente cet espaceConf(A, I?) par le groupe de transformations G2 : (A
(pl?...!pn;cll,Q2)H(Xpl+t,....Xp,,+f:XQ1+t,Xq2+f)
>
0,
t E R).
La variete quotient est l’espace CA4.~. On compactifie cet espace en le plongeant dans un produit de tores et d’espaces projectifs (v&r [3] et [l]). Puisque l’on a choisi l’ordre d’enumeration des fleches de I’,, la forme wrn est :
(2*;‘“n!
Q’“(mm)
Adgi%l.q2)
Adqj”(~z,~l)Ad~“(pz!q2)
+.~d&“(p,,q,,-1)
~d@(l-)n:q2),
oti c$“(p% p’) est Arg( p$!) ; cet angle est un element de R/27rZ et on ne peut en choisir une determination reelle sauf pour les fleches reliant un sommet de A h un sommet de B, s,s, et %G5, pour lesquelles une determination est pl = 2Arg(pI - ql) (resp. BI; = 2Arg(pk - qa)) et on choisit ces demiers arguments entre 0 et T. Appelons aussi dpk la forme d$h(pk,~)k-l) si k > 1; alors wrrL est exacte :
et on peut l’indgrer sur la compactification de C -4,~ en utilisant le theoreme de Stokes. Or on sait que les faces du bord de C;~,B de codimension 1 sont de la forme ~sC~,B (premiere espitce) et 8~~s)C-4.B (seconde espece) (voir [3]). 4. Posons
Alors w[ = -d(&
n,,) ; calculons les @, par recurrence en utilisant la formule de Stokes.
Faces de premiPre espke. - Les faces 3sCA,n, avec S c .4 et 1 < #S < 71,correspondent a la concentration des pi associesaux sommets de S en un point pt, de ‘FI. Elles sont isomorphes 2 cs x Cd\S”{pt}.B. La forme N,, se restreint en une forme produit qui est sur le facteur Cs de degre au plus #S - 1. Or dim Cs = 2#S - 3: on en deduit que #S = 2 et S = {s~-~..T,~} (voir aussi le theoreme 6.6.1 de [3]). Si S # (~~~-1. s,,}, alors cy,,, sur le facteur CzA\su(ptj,n contient d@(pt:qa) A d@(pt,qz), done s’annule. Le seul terme non nul provient de F,, = 3~,s7,~,,,s,,)C=1,B. Avec nos notations, on regarde l’ouvert de notre espacede configuration d&fini par :I:,, = H,,-H,,_l < 0 ; on pose ?J~, = i(en + H,,-r), la forme WE s’ecrit : W0
n = dpn-1
A d&-1
A dy,,
A
do,,
A w;-,
=
-ch,,
A
dy,,
A ~~~~~~~
A
dy,, A w,“,-, ;
D’oh I’orientation de la face. sur Fn, H,, = 0,,-r = yVL,:I:,, = 0 et sa contribution s’tcrit :
825
D. Arnal
Faces de seconde espdce. - Les faces ~~,sIC.AJ, avec S c A, S’ c B et 1 < 2#S+ #S’ < 2n+ 2, correspondent ti la concentration des points associks aux sommets de S et de S’ en un point pt, de R. Elles sont isomorphes 2 (3s.~~ x CA\Sz~\S~,,{Pt). Si S’ n’est pas B, S n’est pas vide; si sj est le plus petit ClCment de S, le facteur d#h(pj, pj-1) (ou d#‘(pl) qi) si s; n’est pas dans S’) devient 0 B la limite (c’est ce que Kontsevich appelle une mauvaise flkche). Done les seules faces B considkrer vkifient S’ = B. On ne peut avoir 5’ = A. Si j est le plus petit Ument de il \ S et si j < a. alors la forme a,, contient sur le facteur C!A\S.B\S’~{~~) un terme d#“(~~I, pt) A d4Sh(yJ, pt) done cy,, = 0. La seule face qui intervient est FA = 81, ,,,.., s,,_,),~C,l.~ = C{,s, ,,..,s, ,-,},n x CI,,~},{~~}. La forme A d$h(p,L: Q) A d0, dkfinit l’orientation de l’espace de configuration et @(pnr ql) - 0, est 4-l nkgatif. Notre face est obtenue lorsque p,, tend vers l’infini, c’est-g-dire lorsque :cn = +h(pn, sl) - en tend vers 0. Le m&me raisonnement que ci-dessus donne : w.,,pl A dq5’L(p,L, ql) A dd,, = d:c,, A w,,-~ A dy,. Sur F7i, z, = 0, yin = 8, et on a l’intkgrale
: $g”+l -Ad& (P + I)!
On a done la relation
de rkurrence
apn = -O”+“a~-l (p + a)! D’autre
:
+ (2n)af’:,
part, si les nombres de Bernoulli B ‘=72.I
done :
(lo7,.= -2
2ka0 ’ 7L-k. k=l (k + l)!(lzT)
sont not& B,, on a :
” _______ 1 B,L--k ck=l (k + I)! (n, - k)!’
puisque la relation esl trivialement
= -$$&.
done :
rL!uir,,
_
4 - 5, (27r)272 *n! !
vraie pour n = 1.
PROPOSITION. - Sur le dual g* d’une alg2bre de Lie nilpotente, les produits star de A4. Kontsevich de S. Gutt coincident, ils sont caracte’riks par la relation :
si X appartient
ci 8. Les B,, sont les nornbres de Bernoulli.
Rdfkences
bibliograpbiques
[I] Fulton W., Mac Pherson R., Compactification of configuration spaces. Ann. Math. 139 (1994) 183-225. [2] Gutt S., An explicit * product on the cotangent bundle of a Lie group, Lett. in Math. Phys. 7 (3) (1983) aussi J. Dixmier, Algkbres enveloppantes (ex. 2.8.12) Gauthier-Villars, Paris, 1974.) [3] Kontsevich M., Deformation quantization of Poisson manifolds, I. Preprint q-alg/9709040, 1997.
826
et
249-259.
(Voir