Les lentilles quadrupolaires magnetiques (I)

NUCLEAR

INSTRUMENTS

AND

METHODS

6 (1960)

126-156;

NORTH-HOLLAND

PUBLISHING

CO.

LES LENTILLES QUADRUPOLAIRES 1HAGNETIQUES(I) PIERRE

G R . I V E T et A L B E R T

SEPTIER?

Laboratoire d'Eleclronique et Radiodleetricitd de la Facultd des Sc@nces de Paris B . P . No. 9, Fontenay-aux-Roses (Seine) R e g u le 19 m a i 1959 I n t h e first p a r t we recall t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s of q u a drupole lenses. I n t e g r a t i o n of t h e e q u a t i o n s of m o t i o n is possible if t h e characteristic f u n c t i o n of t h e t r a n s v e r s e g r a d i e n t is represented b y simple m a t h e m a t i c a l models i.e. r e c t a n g u l a r or bell s h a p e d modeIs. W e g i v e t h e f o r m u l a e of t h e m a i n e l e m e n t s of a lens a n d of a s y s t e m of two crossed lenses. T h e second p a r t is d e v o t e d to m e a s u r e s of field a n d g r a d i e n t on t y p i c a I m a g n e t i c lenses for C E R N ' s 50 iVleV

linear p r o t o n accelerator, i.e. d e t e r m i n a t i o n of t h e various c o m p o n e n t s of field a n d t r a n s v e r s e g r a d i e n t inside the lens a n d in t h e l e a k a g e fields, caIculation of e q u i v a l e n t lengths r e l a t i v e to t h e t r a n s v e r s e field a n d to t h e g r a d i e n t a n d correction of t h e v a r i a t i o n s of these e q u i v a I e n t lengths in t h e useful space. 5/[easurements m a d e w i t h v e r y h i g h intensities on satura t e d lenses s h o w t h a t t h e poles do n o t s a t u r a t e a n d t h u s t h e field configuration is n o t disturbed. T h e m e a s u r i n g instrum e n t s used are described in detail and results are g i v e n in g r a p h i c a l form.

INTRODUCTION

1. Applications actuelles des lentilles quadrupolakes 1.1. L E S L E N T I L L E S Q U A D R U P O L A I R E S D A N S L E S Y N C t t R O T t ~ O N A P R O T O N S D U CElZN

Le groupe du synchrotron k protons, utilisera des lentilles quadrupolaires magn6tiques dans deux buts bien distincts: 1.1.1. A i'injection, pour adapter all miellx l'@mittance de la source (constitu6e ici par l'orifice de sortie de l'acc616rateur lin6aire de 50 MeV) et l'acceptance rill synchrotron1). On recherche le rendement llnit6 dans cette op6ration el1 tenant compte de Faction des d6flecteurs. Une 6rude all premier ordre des propridtds optiques devra 6tre compl6t6e d'lme estimation puis d'une correction pouss@e des aberrations, cellesci provoquant une perte de particules difficile k 6valuer. Le dispositif se compose en principe de t f Cet article r6sulte d u t r a v a i l effectn6 d e p u i s I953 p a r les d e u x auteurs, au sein du " P r o t o n s y n c h r o t r o n G r o u p du C E R N " . Ils s e n t h e u r e u x de r e m e r c i e r les m e m b e r s de ce groupe, MM. J. B. A d a m s , H . G. H e r e w a r d e t P. L a postolle a v e c q u i ils o n t eu d e s discussions fructueuses. P a r opposition all r 6 g i m e d ' i m p u l s i o ~ q u i p e u t ~tre e n v i s a g 6 aussi darts ce t y p e & a p p l i c a t i o n p o u r r@duire l'6cb_auffement m o y e n .

deux gronpes de 2 lentilles qnadrnpolaires magn6tiques, fonctionnat en %gimestatique?*. Dans chaque groupe, les centres des lentilles seront distants de 0.50 m e t la distance locale globale pollrra varier de ! 5. 3.5 m environ. 1.1.2. Tout au long de l'anneau, des paires de lentilles r@guli~rement disposdes permettront de compenser, durant le cycle d'acc616ration, les perturbations provoqlldes par les variations de l'indice n des aimants (ou plus exactement de compenser la valehr de ces variations int@gr@e sur un tour) et de traverser plus facilement la zone de l%nergie de transition. On pent ainsi dviter pratiquement les zones d'instabilit6 et les oscillations qui provoqueraient la destruction du faisceau. Ces lentilles, fonctionnant en impulsions, selon une loi de courant li6e directement aux variations de n, sent beaucoup plus importantes que !es pr@c6dentes, puisqu'agissant sur des particules plus rapides, mais le m@me soin deft @tre apport6 dans la r6alisation du champ, i) H. G. H e r e w a r d , K. J o h n s e n e t P. Lapostolle, P r o b l e m s of Injection. C E R N . S y m p o s i u m 1956, p a r t I, p. 179-191; P. Lapostolle, N o u v e a u s c h 6 m a de d6flection, C E R N , P S / P L 5 (1955) non publi6. 126

LES LENTILLES

QUADRUPOLAIRES

en particulier sur les bords, pour ne pas imposer de nouvelles perturbations au faisceau. L'4tude du profll k donner aux p61es a 4t6 d4termin6e par vote analogique2). Mats l'intdr~t des lentilles quadrupolaires d6passe de beaucoup ce premier cadre. Nous envisagerons rapidement les autres applications possibles, pour lesquelles les r4sultats de l'4tude qui va suivre conservent leur valeur. 1.2. LES LENTILLES ACCELERATEURS

QUADIZUPOLAIRES

DANS

LES

1.2.1. Focalisation des/aisceaux dmergents On pourra les utiliser pour focaliser le faisceau 4mergent sur une cible, afin d'y accroitre la densit4 de courant; il s'agit alors de syst~mes optiques simples, qu'on peut calculer k l'aide des lois de l'optique classique. L'astigmatisme des lentilles est particuli6rement utile pour former l'image d'nne source ronde sur la fente d'entr4e d'un analyseur. On pourra aussi constituer ~ l'aide d'un tr~s grand nombre de !entilles faibles k convergence altem4e, un dispositii de canalisation permettant de guider snr une grande distance des particules de tr~s haste 4nergie, en particulier des m4sons #3). 1.2.2. Focalisation dans les accdldrateurs lindaires La focalisation par grilles entraine une forte perte de particules. On a song6 k introduire des quadrup61es dans les tubes de glissement. Pour des 4nergies sup4rieures k I0 MeV, les tubes sont longs et la force d6focalisante est relativement faible: des gradients de quelques webers par m6tre suffisent et on pourra utiliser des quadrup61es magn4tiqnes en rdgime statique, des aimants permanents par exemple. 3) Van der Meet, The Design of Quadrapole lenses for the proton synchrotron, CERN-PS/M~VI 31 (1957). s) A. Citron et H. OverAs, On a focusing channel for collecting /~ mesons from ~r-/~-decay in flight, CERN-SC 27/3/57. 4) R. ~rauthier, Un dispositif p o u r focaliser Ies particules neutres-C.R. 228 (1949) 1113. ~) R. Keller, Projet d'une source d'ions polaris6s, CERN-SC/57-30 (1957). ~) W. Paul et i~I. Raether, Das elektrische Z~assenfilter, Zeit. f[ir Phys, 140 (1955) 262-273.

MAGNETIQUES

(I)

127

Vers les faibles dnergies au contraire, les tubes sont tr~s courts et les forces ddfocalisantes beaucoup plus fortes : on ne pourra atteindre les convergences n4cessaires qu'en alimentant les quadrup61es magn4tiques en impulsions de courant, solution qui, 6tudide au CERN par P. Lapostolle, sera appliqude entre 0.5 et 10 MeV, dans la premiere cavit6 de l'acc416rateur lin4aire. 1.3. LES LENTILLES QUADRUPOLAIRES D'AUTRES D OI~IAINES

DANS

1.3.1. Action sur les dip61es Les lentilles quadrupolaires permettront de focaliser toute particule doude d'un moment magndtique ou dlectrique en appliquant la proposition initiale de R. Vauthier4). Certaines mol4cnles poss~dent un moment dipolaire 41ectrique; d'autres l'acqui~rent lorsqu'eltes sont plac4es dans un champ 41ectrique. Une lentille quadrupolaire suffisamment longue permettra de s4parer des mol6cules d'4nergies thermAques diffdrentes sortant d'une source convenable, et de les focaliser en un point. Un jet de mo14cules d'ammoniac de moment donn6 pent ainsi 6tre concentr4 dans une cavit4 r4sonnante pour l'obtention d'un oscillateur, ou d'un amplificateur du type "Maser". 1.3.2. Sources d'ions polarisds La m~me id4e peut 6tre transpos6e dans le domaine magn4tique: la Ientille polarise tout d'abord des atomes d'hydrog~ne puis canalise jusqu'~ nne chambre d'ionisation k faisceau 61ectronique les atomes ayant une polarisation donn4e, en 41iminant les atomes ind4sirables. On obtient ainsi directement une source de protons polaris6s de folte intensit4, pouvant servir darts tons les types d'acc41drateurs. Une source de ce type est en vote de r4alisation au CERNS). 1.3.3. Sdparation des ions Des lentilles quadrupolaires magn6tiques fonctionnement statique peuvent permettre la s6paration d'isotopes 16gets; nous le verrons ~ la fin de cette 4rude. Mats des Ientilles 41ectriques excit4es en H.F. (de 5 k 15 MHz) sont utilis4es effectivement pour flltrer des masses6); les ions

128

P I E R R E GRIVET ET ALBERT SEPTIEt~

inject6s k trSs faible 6nergie (200 k 400 volts) traversent des zones alternativement convergenies et divergentes. A chaque masse M eorrespondra une seule fr6quence f du champ H.F. conduisant ~ des trajectoires stables. Avec une lentflle suffisamment longue et des courants tr~s faibles, le pouvoir s6parateur peui facilement d6passer 100.

un outil commode pour la focalisation de particules d'~nergie relativement basse, inf6rieure 10 ou 20MeV. Les ph6nom~nes de claquages limitent en effet les differences de potentiel entre 6Iectrodes voisines k 50 keV environ, et, bien que la convergence soit proportionnelle ~ la [ongueur de la lentille, nous verrons qu'on ne peut accroitre trop la valeur de ce param~tre sans perdre une grande partie des particules focaliser. Un fonctionnement en impulsions de tension tr~s courtes (de l'ordre de la microseconde) permettrait d'accroltre encore la tension par un facteur 2 au moins, donc la convergence. Ce mode de fonctionnement puls6 pourrait 6tre envisag6 pour des faisceaux d'6lectrons issus d'accdl6rateurs lindaires. Ces lentilles doivent ~tre plac6es dans l'enceinte ~ vide, ce qui est parfois un d6savantage. Mais leur maniement faciIe et leur fonctionnement insensible k la masse des particules, permettent de les utiliser comme module pour l'6tude des propri~t6s d'un syst6me opticlue complexe. I1 suffit de le r6aliser k petite 6chelle et d'y injecter des particules charg6es de faible 6nergie. Une similitude convenable permet ensuite de revenir au syst~me original.

1.3.4. Obtention de syst~mes de rdvolution L'associafion de lentilles qtladrupolaires conduit ~ des syst~mes tr~s astigmatiques. En choisissant bien los excitations, on peut faire l'image d'un point donn6 ell un autre point, mais en gdngral Ies grandissements lin6aires different duns les deux plans de sym6trie radiaux. On a cherch6 s'il 6tait possible d'obteiair un syst~me optique 6quivalent ~ u n syst&me de rdvohtion: il fant que les convergences et Ies foyers soient les m6mes dans los deux plans. Avec deux lentilles identiques nous avons ddterrnin6 ici un point de fonctionnement possible, et monir6 qu'on pouvait faire des images de bonne qualit6 en microscopie 61ectronique, mais le syst~me a alors ses foyers immerg6s. La distance focale ets de l'orch-e de 3 k 5% de Ia longueur d'une lentille. 11 serait tr~s intdressant de d6terminer un 2.2. L E N T I L L E S M A G N E T I Q U E S syst~me de rdvolution form6 de plusieurs lentilles Beaucoup plus encombrantes que les priedfortes ayant ses foyers k l'ext6rieur: la version denies, elles offrent 1'immense avantage d'etre dectrostatique pourrait 6ire utilisde pour !a encore efficaces jusqu'aux plus hautes ~nergies focalisation des faisceaux issus de sources d'ions, actueUement r~alis~es. I1 s u ~ t de les dimencar les tensions k appliquer seraient tr~s faibles, sionner de fagon convenable. et les lentilles quadrupolaires pourraient travailPour une construction et des particnles ler avec des ouvertures plus fortes et des d'6nergie donn~es, la convergence est limit6e par aberrations plus faibles que les lentilles classi- les ph6nom~nes de saturation de la carcasse ques utilis6es jusqu'ici duns ce but. magn6tique. Nous verrons qu'il est praticluement impossible de saturer les p61es eux-m~mes: 2. Diff6rents types de lentiUes ceux-ci restant des surfaces dquipotentielles Le mode d'excitation des pSles, 61ectrique ou magn6tiques. Les propri6t~s opticlues resteront magn6tique, permet de distinguer deux cate- donc semblables ~ elles-m~mes, si on conserve gories de lentilles, dont los limiies vers les hautes la mSme relation entre l'excitation de la lentille 6nergies soni tr~s diff6rentes. et l'6nergie des particules iujectdes, ce qui nous a permis l'6tnde directe de cos propri~t6s (en 2.1. L E N T I L L E S E L E C T R O S T A T I Q U E S particulier des aberrations) ~ l'aide de faisceaux De construction simple, et tr~s 16g~res si on d'ions de faible 6nergie. Avec ces lentilles il est los compare aux lentilles magn6tiques, elles sont m~me possible de simuler des particules 16g~res

LES L E N T I L L E S Q U A D R U P O L A I I t E S MAGNETIQUES (I)

de baute gnergie en ntilisant des ions lourds de basse 6nergie, puisque seule la quantit6 de mouvement intervient darts les 6quations du mouvement.

3. But du travail E n r4sum6, t'6tude elitreprise duns notre laboratoire sous l'impulsion du groupe du proton synchrotron du CERN a eu pour but: - l a rdalisation pratique de lentilles relativement faibles destili6es k l'adaptation du faiscean l'injection duns le synchrotron; - I a d4termiliation pr4cise de la r@artition des composantes du champ magngtique, aussi bien dans la zone centrale Oil on s'efforce d'obtenir la distribution tb4orique k gradient radial constant dalis une r6gion la plus 4tendue possible, que dans les champs de fnite des

129

extr4mit4s oh apparaissent des perturbations provoquant des aberrations; - d e d6terminer l'influelice possible de la saturation sur la topographic du champ darts la zone utile; - la d6termination des propri4t4s optiques au premier ordre d'un syst@me de deux Ientilles; - I a mesure des aberrations par un proc4d4 direct, en utilisant des faisceanx ioniques sur un banc d'optique sp4cialement construit et adapt4 ce genre d'4tude; -enfili, la correction de ces aberrations, dont la pr4sence se traduit par une perte de particules. Nous donnerons en outre les r6sultats des calculs d'aberrations effectugs concnrremment aux exp6riences ~ l'aide de machines 41ectroniques,

PREIVflERE PARTIE

PROPRIETES OPTIQUES AU PREMIER ORDRE Nous r@sumerons icilesr~sultatsessentielsde cette th4orie classique,auxquels nous aurons recours tr&s souvent dans la suite.

1. Expression du potentiel et des champs Duns l'hypoth~se oil les dlectrodes matdrialisent des surfaces dquipotcntielles, la rdpartition cherchde du champ est obtenne gr£ce ~ quatre dlectrodes de longueur l disposdes parall~lement l'axe Oz et dont la mdridienne, darts uI1 plan X O Y normal ~ Oz est une hyperbole ~quilat@re (fig. la) d'6quation X Y = :~ ½ a 2 ou x 2 - - y2 =

B~ et B v duns les autres plans de sym6trie xOz et yOz. Dans tout ce qui suit, on convient de d6signer le plan X O z par la d6nomination Y ]l'

JX%.

,, 0

/-~"

,

X

~

y ],~

-"" k O

/*'x

/ ..... X

-~- 17.2.

Les quatre hyperboles sont tangentes ~ un cercle de rayon a, que nous appellerons "cercle de gorge", n taut en r6alitd se limiter ~ des segments d'byperbole (fig. lb) de largeur D telle que la r4partition id4ale subsiste sensiblement dans l'espace utile : X, Y ,
Fig. 1

"plan convergent" et Y O z par celle de "plan divergent", pour des particules positives incidentes. Le potentiel scalaire %oen un point quelconque M de l'espace utile est donn6 par une expression de la forme sa) 6a) IVL Y. Bernard, Lentilles @lectrostatiques perrnettant la focalisation des particules de grande 6nergie--R@partition des champs, C.R. 236 (1953) 185-187.

130

PIERRE

GRIVET BT ALBERT

(x, y,z) = --

d2k

=

SEPTIER

e sa charge et B le vecteur induction. On utilise 6galement l'int~grale premiere de la force r i v e ½my3 = e~ o .

La fonction k(z) est dgale g l'unit~ dans la zone centrale dloignde des extrdmitds (k(0) = 1), mais n'est pas reprdsentde par une fonction anaiytique simple dansla zone des champs de fuites. Le potentiel .~, est reli6 de fagon simple au nombre d'ampSretours n [ relatifs ~t un p61e, dans le cas oh l'on peut attribuer une perm4abilit6 infinie ~ l'acier doux. Y~l = h i .

De l'expression B = #ograd % on tire l'expression des composantes du champ; si on s'en tient au terme fondamental de ~: . . . .~ tz) Bu = 2~ # o n [ ~"

B, = 2 ~on~Ia2Y" k(z) .

BIz) = 2 I~onI X Y a 'a '

dk(z) . dz

On peut ndgliger la correction relativiste, ce qui est encore justifi6 pour des protons de •0 = 50 MeV. On consid~re en premiOre approximation que la vitesse est purement longitudinale: dz

~

off

d~X

-K(z)

~gB Y OX

dz~

2 ,uonf ae h(z)

2 I~onI

a~

et

1~(0) = 1.

K(0) repr~sente le gradient dans la zone centrale (on suppose Ia lentille assez longue pour que la r~partition id6ale existe sur une certaine iongueur an voisinage de z = 0). La fonction k(z) est la "fonction caract6ristique" de la lentille.

fi2,k(z). Y = 0

off fl est un facteur caract6ristique de l'excitation des lentilles

~2 = K(0).Emy

oh

='-%.:!;o pour des particules relativistes on aurait ~2=mni/

Relnarque :

a~

Dans le cas dlectrique, on aurait les m6mes expressions, en remplacant l~on[ par g}~, potentiel de l'41ectrode positive, et ~ par #, potentiel en un point. La fonction k(z) serait inchang4e. 2. E q u a t i o n s du m o u v e m e n t a n p r e m i e r ordre

O n part de l%quation fondamentale dv

m ~ - = e (v A

B)

oh v est la vitesse, m la masse de la partieule,

d.

+ fl2.k(z).X = o

d2y dz 2

oh encore K ( z ) = K ( O ) . k ( z ) avec K(0)

/2e

ce qui revient A n~gliger les termes en d X / d t et d Y / d t c'est&-dire l'inclinaison sur l'axe Oz du veeteur vitesse v. On suppose au premier ordre que l'induction B e s t purement transversale et proportionnelle la distance ~t l'axe : on n~glige ici les termes non lindaires, du type de ceux qui apparaissent darts les champs de fuite, et dus en partieulier k la presence de la composante B= parall~le g Oz. On arrive alors aux 6quations des trajectoires dans les plans de sym6trie X O z et Y O z :

Le gradient radial du champ transversal est alors ~gBX ~gY

d.

2e "~moq~o(1 + ½ e)

avec 8

#~o SW.0G2

6nergiecindtique energm au ~epos "

On aboutit doric g u n syst~me simple d'dquations non coupl4es. Nous verrons dans la quatri6me pattie qu'il n'est plus de mgme au 3gme ordre Remarque:

O n obtient des 6quations de m o u v e m e n t identiques dans line lentilledlectfique, g condition de faire subir aux axes de eoordonndes tree

LES LENTILLES

QUADRUPOLAIRES

rotation de + ¼~: OX et OY sent remplffc6s par Ox et Oy. Darts ce cas le facteur caract@istique est donn6 par 1~ a~ q%

pour les faibles 6nergies et

MAGNETIQUES

d2X + fl~X = 0 dz2

--

d2y dz 2

fl2y = 0

et X = A cos/~z + B Sill flZ

3,1. I N T E G R A T I O N D E S E Q U A T I O N S : N I O D E L E RECTANGULAIIRE

On pent int6grer les 6quations du mouvemetit. dans les plans OX et OY, si on connalt k(z) Cette function a y a n t nne expression analytique complexe6b), il taut avoir recours k des mod~les plus simples. k(z) repr6sente en effet, k n n facteur prgs, la r@artition du champ transversaI Br snr des parall~les k Oz; celle-ci a l'aspect repr6sentd fig. 2 pour une lentiUe suffisamment longue:

13!

La longueur L, comme nous le verrons, est 16g~rement suup6rieure k la longueur m6canique l des p61es. L sera appelde "longueur efficace" de la lentille. On a alors, puisque k(z) = 1 dans tout l'espace occup6 par la lentille et k ( z ) = 0 en dehors:

1 q~l(l +~) a~ ~P0(1 + ½e) pour des particules relativistes. 3. T r a j e c t o i r e s , 6 1 6 m e n t s c a r d i n a u x d ' u n e l e n f i l l e

(I)

Y=

Cch/3z +Dshflz

A, B, C et D sent d6termin6es grace aux conditions initiales, l'origine des z 6tant maintenant darts le plan d'entrde. Si on consid~re u n faisceau incident parallgle, OR ddtermine facilement les dlgments cardinaux d~finis k partir des rayons extdrieurs £ la lentille (fig. 3). Dans Ie plan convergent X O z (fig. 3a) ['X ~ H'xF'x

1 = fl s i n / ~

Zn'x

et

;

L cos flL Z F ' X = 2 + fl sin fi~

L

1 - - cos flL

2

~ sin •L

Dans le plan divergent OY (fig. 3b) /'g = H'yF'y

1 ~ - - fl sh flL ;

0' L et

Fig. 2. lV[od~Ie reetangulaire.

deux demi-cloches s@ar6es par u n plateau central oh Br = B e. La sohution la plus simple eonsiste & considdrer une lentille fictive dquivalente ~ la lentille rdelle et ayant les propri6t6s suivantes : le champ Br est nul de - - oo ~ - - ½L et de + ½L k + co ; il est 6gal ~ B 0 de - - ½L k + ½L. La IOlaction champ B(z) est alors u n rectangle de hauteur B 0 et de longueur L telle que son aire suit 6gale k celle de la courbe rdelle (fig. 2).

ZHtY

L 2

L 2

ZF'y

ch flL f l s h flL

c h fiL - - 1 f i s h flL

Une lentille settle transforme u n faisceau incident de rdvolution en uu faisceau ~t section elliptique s'appuyant stlr une locale r6elle et une locale virtuelle. Dans l e c a s oh Ie facteur (ilL) est tr&s petit, on peut 6crire sin fiL = s h 13L = [1L , et

chilL ~

->

{I.

cos fiL = 1 - -

½($L) 2

1 + ½(ilL) 2.

;

~

s = f+__fiB e~ = Be L C'est le "mod~le rectangulaire". ab) 3/[. Y. Bernard, L a focalisa±ion forte darts les acc616rateurs lirl6aires d'ions, Ann. de Phys. Paris 9 (1954) 633.

LklILl I

I I

(,)

(b)

Fig. 3. (a) P l a a c o n v e r g e n t XOz. (b) P l a n d i v e r g e n t YOz.

1~2

PIERRE

GRIYET

ET

ALBERT

On a alors l'approximation des lentilles faibles et

/'x = - - f i r = 1/flgL

1

rsin2 ~ol~

~1'--~ = ~ ~.o [--gT~

Z u , x = ZH, y = O.

-

cos2~oi~m + ~-

~,~J--'s i n 601~

Les plans principaux sont confondus au centre, et on peut remplacer la lentille 6paisse par une lentille mince. 3.2. : ~ I O D E L E A N A L Y T I Q U E

SEPTIER

b

1

PLUS EVOLUE

2fizo

1

1_o..) b s i n eox~

2a

1 cos 2flz0.cos o~l~J

Z / y = 2,o + / ~ [__ fla sh 2flzo ( l

1=~,

",023

b sin ~2~ 2a 8

cos 2~z0

a s i n eo2~ c h

/~(z)lB(z)

-4

a)l

• co2½~+ 1~-~-~7] C0S2 ~02½7/" - shflz0[sin2

On peut encore int6grer les 6quations du mouvement 5. l'aide d ' u n procddd plus dvolu6: on consid~re (fig. 4) que:

-

- -

1 -- o~2-/

]

ch 2flZo.cos eo~] .

"~

40

4. El6ments cardinaux d'un doublet Fig. 4. h~Iod&le 6volu&

k(z) k(2)

= 0 1

1-t- ( ~ 2 )

k(z)

i

pour

--Zo

pour

--

~<

~
~ pour

zo < z <

+ oo

b e s t la !argeur 5. mi-hauteur des demi-cloches ainsi d~finies; on d6termine ze et b en conservant l'~galit~ des aires des courbes exp4rimentale et th6orique, et en les faisant coi'ncider au mieux dans les zones oh B varie le plus rite. Si on pose: on arrive aux expressions suivantes, apr~s intdgration dans les trois domaines successifs et raccordemeat des ¢rajectoires en z = - - z o et z = + z o.

Nous appellerons "doublet" u n syst&me optique 6pais form6 par deux ientilles crois6es de m~me axe Oz, s6pardes par un espace sans champ. Le plan convergent X O z de la premiere coincide avec le plan divergent de la seconde, et r6ciproquement. Le plan X O z sera donc le plan "convergent-divergent" (C-D) du doublet, et le plan Y O z , !e plan "divergent-convergent" (D-C). Nous n'envisagerons ici que le cas oh les deux lentilles sont identiques: elles sont caract6ris6es par une m6me longueur efficace L; seuls les facteurs caractSristiques fl peuvent diff6rer: fll pour la premiere, fl~ pour la seconde. Le syst~me peut &re sch6matis6 par deux r6partitions de champs rectangulaires Q1 et Q2 de longueur L sdpardes par une distance D (fig. 5). On nomme X o X ' o Yo Y'o les conditions initiales 5. I'entrde de la premiere lentille X 1 X ' ] Y 1 Y ' I les valenrs correspondantes 5. la sortie,

Fig. 5

LES L E N T I L L E S

Q U A D R U P O L A I R E S M A G N E T I Q U E S (I) 1

etc. On arrive ainsi k X, X' a 113 Y'3 a la sortie de la seconde. Les 6quations d'un rayon k la sortie de Q1 sont donn6es par: X'o X1 = X0 cos rilL + ~ sin f i l l

F~(A1 + ( D - - L )

H'xF'x I H'~'F'r

Y'O Yz = Yo ch filL + -fx- sh filL

C~ (D1 + ( D - - L ) F1) + A ~ F 1

1 HyF~-'~

H'xF'x

= H'yF'x" = -- HxFx

= -- HrFt,

et

Y ' l = rilYo shriIL + Y'o ch filL

1

qu'on peut repr6senter par l'expression 1

I G1) +D2C1 = _ _ H xF x

Les distances focales objet et image sont 6gales darts chaque plan, mais diff6rentes d'un plan k l'autre, saul si (filL) = (fl~L). Dans ce cas on a alors

Xq. = - - filXo sin rilL + X'o cos rilL

V't

133

fi [cos ilL- sh flL - - sin riL. ch/~L

H'xF" x

s 'qV°t

- - ri (D - - L) Sill riL. sh fiLl .

\ X ' I ] = \ - - fll sin filL cos filL / \ X ' ° / = \ Ci d 1] \ X ' o ]

La position des foyers est donn& par S2F'x

X8

x%

X ~ - I t x F ' x et S 2 F ' y = Y s H ' y F ' I ,

soit: Y'I]=\+

ril s h r i l l t h r i l L

]\Y'o]~\F1

D1/\Y'o]"

& F ' x = [D2 (A1 + (19 - - L) C1) + E~C1] H ' x F ' x "

La marrice de transfert relative k l'espace de glissement de longueur ( D - - L ) situ6 entre les lentilles s'6crit :

S 2 F ' y = [As (D1 + (D - - L) F1} + B~Fl ~ H ' I , F ' y S 1 F X = [A1 (D2 + (D - - L) F~) + B1F2] ~r x F x S i F r = [DI (A~ + (t) - - L) C2) + E1C~] H r F r

.

Pour deux lentilles identiques, on a la relation D'ofi finalement, en attribuant l'indice 2 aux grandeurs correspondantes de Q~: (~£8) = [DUE2)[1 D - - L~ \F2D2 \ 0 1 ]

(

:

(AiBi~ (X,2) \C1AJ

. \F1D1/ \ Y'o/

Dans le cas d'un rayon incident parall~le l'axe X ' a Y'o ~ 0. On peut calculer les distances locales (fig. 5). x0 I"o H'xF'x

d'oh:

= ---X'a

et

H'yF':r. = - - - Y's

~

S

S~F'x = -- SIFt-

et

S 2 F ' y ~ - - S1F x .

Si on consid6re un .point source situ6 sur l'axe g distance finie, il aura en g6n6ral deux images diff6rentes dans les plans XOz et YOz, chaque image 6tant constitu6e par deux lignes /ocales. La locale du plan C - D sera nomm6e "premi6re locale" et celle du plan D - C "seconde locale". Suivant la position du point source par rapport k la lentille et ta valenr des excitations, elles peuvent 4tre r6elles ou virtuelles. L'utilisation normale d'un doublet conduit 5. des locales r6elles (fig. 6).

x

f Fig. 6

,

s~

PIERRE

134

G R I V E T ET A L B E R T

Les deux focales peuvent se rejoindre pour certains couples de valeurs de (filL) et (fl2L), la position de l'obj et 4tant fixde. Si les deux lentilles sont identiques, il existera egalement une valeur de ~L) p e r m e t t a n t d'amener les deux focales dans le m6me plan image. Objet et image occupent alors des positions telles que xlx'l

/z/q

darts le p l a n O X

x~x'~ = /~['~

d u n s le p l a n O Y

=

(voir fig. 7)

des 614ments optiques d'un doublet destin4 remplir une fonction donn6e soit excessivement longs, et, bien que l'approximation des lentilles faibles ne soit valable que pour de trgs petites valeurs de (~L) les utilisateurs effectuent souvent les calcnls en utilisant les formules simplifi4es. Chaque lentille est remplac4e par line lentille mince situ6e au centre de la lentille r6elle, et de distance locale f x = - - f r = 1/fl3L = f i Pour denx !entilles minces distantes de D, on aurait alors:

Plan C-D '~'x iHx PlanD'C '~

x-2

,

Hy

HT/

re--<

~f-~

1

1

Fx

fix

1

2 ~',-.2

avec x~ = x' 2 et x 3 = x'~ dans le cas des lentilles identiques. Mats les grandissements restant diff4rents dans les deux plans, car la position des plans principaux est diffdrente. Les distances foeales peuvent gtre infinies; duns le plan z O X par exemple flzL. t g 31L I --ill ( D - - L )

1

+

1

D

1

1

l".Y

fix/~r

h

/3

!

D

I

+ 1

2)

Ii13 D

/~h~ h + ~ +/,I-% Si les deux lentilles sont identiq.ues

F~

Fig. 7

H ' x F ' x = oo si fl2L. t h fl3L =

SEPTIER

±g31L'

Si l'objet est 5. l'infini, le doublet est alors afocal duns l'nn ou l'autre plan, pour (filL)3= 0.5 OU (~3L) 3 = 0 . 5 .

On concoit que dans le cas g4n4ral le calcul

~

+ /~x 1

1

D

Fx

Fr

/2

On obtient bien un doublet convergent dans les deux plans, grace k l'4cartement D de deux lentilIes divergente et convergente de m6me force. O11 pent obtenir une meilleure approximation en supposant les plans principaux confondus au centre, mats les distances locales donn4es par ieur expression exacte en sin~L et shilL. Nous verrons plus loin que le module rectangnlaire (et les formules auxque!les il conduit) fonrnit des rdsnltats tr~s proches de la r4alitC

DEUXIEME PARTIE

M E S U R E S M A G N E T I QUES

1. R6alisation des lentiUes magn6tiques I. 1. D E S C R I P T I O N

Le schdma de la section des pi~ces poIaires par nn plan perpendiculaire k l'axe est donnd sur !a figure 1 avec les notations utilisdes darts la suite.

7.1.1.ExcitaEons prdvues La donn6e initiale est ici le cercle de gorge, de rayon a, qui d4finit la zone utilisable pour le faisceau. Le cercle de gorge prdvu 5 l'origine,

pour l'application particuli~re envisag4e (adaptation injecteur-synchrotron), avait un rayon 6~ ~

4 Cnl.

Duns notre cas particulier, pour des protons de 50 MeV, on a e/m o ~ l0 s M.K.S. et e#o/2moc ~ 2.6 × 10 -3. On pent donc n4gliger ce terme duns l'expression du facteur caract4ristique f12, qu'on 4crira simplement

mo#o

LEg LENTILLES QUADRUI~OLAIRES MAGNETIQUES

L a distance locale f d ' u n e lentille est donn6e approximativement par 1

7 = fl sin/~L d a n s le plan convergent. L e s t la " l o n g u e u r efficace" de la lentille. I! suffit de savoir qu'elle est voisine de la longueur l des pi~ces polaires et reli6e p a r la relation empirique L # l + a. P o u r o b t e n i r : 2 > f > 0.8 m, avec, a ~- 4 cm, L = 0.2 m, et des p r o t o n s de 50 MeV, il faut pouvoir disposer d ' e n v i r o n 1700 < n I < 5000 A.t par p61e. Les valeurs remarciuables du c h a m p m a g n 6 t i q u e et de son g r a d i e n t K(0) sont alors: g r a d i e n t : 2.60 < K(0)

< 8

weber/mz

induction sar le cercle de gorge: 0.104 < Ba< 0.32 weber/ms . Nous avons 6tudi6 n n e autre r6alisation caract6risde p a r a = 6 c m et L = 0 . 2 m il r a n t alors multiplier les valeurs prfc6dentes p a r le facteur (6/4) ~ = 2.25, d ' o h : 8825 < nI < 11 250 A.t. 0.234 < Ba< 0.72 Wb/m~. Ces valeurs sont r e l a t i v e m e n t faibles pour f = 2 m, et ais6es k o b t e n i r : elles n ' e n t r a i n e n t ni 4chauffement prononc4, ni saturation. Mais pour f ~ 0.8 m il f a n d r a i t p r e n d r e des prfcautions pour 6viter la s a t u r a t i o n de la carcasse et, k priori, des pi~ces polaires. C'est lk que ses effets seraient les plus nuisibles: elle am~nerait des distorsions notables dans la r6partition d u c h a m p ; une s a t u r a t i o n de la carcasse n ' a g i r a i t que snr la loi de v a r i a t i o n de 13 en fonction de l'intensit6 I du courant d'excitation, ce qui n ' e s t pas en g6n6ral prdjudiciable, saul dans ta " c o m p e n s a t i o n " des variations de ~ dans le synchrotron. Dans cette application particuli~re, le c h a m p et le g r a d i e n t doivent avoir k u n i n s t a n t donn4 n n e valeur d6finie en relation avec ce!le @ existe s i m u l t a n 6 m e n t dans les a i m a n t s ; le plus simple, pour assurer cette concordance, est d ' a v o i r des lentilles de compensation qni a l e u t m4me loi c h a m p - c o u r a n t que les aimants, ou g d6/aut une loi lin6aire.

(I)

135

Nous verrons dans la suite que la s a t u r a t i o n se p r o d u i t toujours loin des p61es, c o n t r a i r e m e n t ce qui se p r o d u i t pour les lentilles magndtiques g sym6trie de r6volution, pour lesquelles une b o n n e construction amSne k saturer d ' a b o r d les p61esT,S).

1.1.2. Choix des pi~ces polaires 9) E n principe, la distribution de c h a m p g r a d i e n t radial c o n s t a n t et 6gal dans toutes les directions n e p e u t ~tre obtenue qu'avec des pi~ces polaires hyperboliques. Mais des 6tndes ~t la cuve rhdographique nous ont montr6 que le r e m p l a c e m e n t de l'hyperbole thdorique p a r u n cercle convenable n ' i n t r o d u i s a i t aucune diff6rence apprdciable dans la rdgion intdressante, int4rieure a u cercle de gorge. D ' a u t r e p a r t , p o u r 6viter que le gradient ne varie darts diff4rentes directions radiales, il faut d o n n e r une largeur D suffisante a u x pi~ces polaires, de l'ordre de 2a all moins, si on v e n t que l ' a p p r o x i m a t i o n reste tr~s b o n n e dans t o u t le cercle de gorge. Si oi1 se eontente de D = 1.1 a, une distorsion i m p o r t a n t e a p p a r a l t pour X, Y >10.8 a. Dans nos premieres lentilles, que nous n o m m e r o n s Q1 et Q=, pour a = 4 cm, les pi~ces polaires sont des portions de cylindre circulaire de r a y o n R = 1.15a = 4 . 6 c m et d ' @ a i s s e n r 4 c m ; elles sont viss6es sur des supports parall4ldpip4diques de largeur D = 1 0 c m = 2.5a, fix6s ~ demeure sur la carcasse magn6tique. Cette disposition p e r m e t u n c h a n g e m e n t rapide des p61es sans avoir ~ d d m o n t e r la lentille. L ' h y p e r b o l e thdoriqne X Y = 8 cm 2 est remplac6e ainsi p a r u n cercle t a n g e n t en son s o m m e t A, et la r e c o u p a n t en des points B e t C (fig. 8) sans que l'6cart fl entre les deux courbes d@asse 0.25 ram, soit d/a = 6.2 X 10-a; cette approxim a t i o n est valable jusqu'g des points d'abscisse X, Y= 5cm. ~) G. Liebmann, The Effect of Pole Piece Saturation in magnetic Electron lens, Proc. Phys. Soc. (London) B 66

(1953) 448-458. 8) p. Durandeau et Ch. Fert, Lentilles 61ectroniques magn6tiques, Revue d'Optique 36, No. 5 (1957) 206-234. 9) A. Septier, R6alisation pratique d'une Ientille quadrupolaire magn6tique pour particules de tr6s haute 6nergie, C.R. 243 (1956) 132-135; A, Septier, CERN-PS/Sp 12 (t955) non publi6.

136

PIERRE

GRIVET

ET ALBERT

Nous avons utilis4 une deuxi~me sdrie de pi~ces polaires fixdes sur les m~mes supports (lentilles Q'I et Q'~), avec a = 6 cm et R == 6.9 cm; l'4paisseur des p61es n'est plus que de 2 cm. Dans ce cas le rayon R o de la zone utile, qui reste 4gal 5. 4 cm, ne repr6sente plus que R 0 = { a; la diminution de !argeur des pi~ces polaires (D = ¢ a) ne se fern pas sentir 5. l'int4rieur de la zone utile. Nos mesures de champ v4rifieront le bien fond~ de ces hypothgses de d4part.

SEPTIER

sont en fer Armco, la carcasse ell acier doux (C < 0 . ! 5 % , S i < 0 . 2 % , Mn ~ 0.3%) type AFN O R XC 10 F t. A l'origine, les Ientilles ~taient munies d'un circuit de refroidissement par eau; il 4fair form4 de plaques de laiton entourant les bobines, et refroidies par une circulation d'eau darts des tubes de cuivre soud4s sur !es bords des plaques. Le dispositif s'est avdr6 inutile en r4gime normal.

Y.

///

~Y \\

x \ 0

ZO

40

60

mm

Fig. 8

Fig. 9 1.2. ECI-IAUPFElXlENT E N S E R V I C E C O N T I N U

1.1.3. Ceractdristiques mdcardques et 61ectriques Les lentilles construites 5. !'dchelle 1 ont les caract6ristiques suivantes: R a y o n du cercle de gorge a = 4 c m , on ct= 6cm; Rayon des pi~ces polaires R ~ 1.15 a; Longueur des pi~ces polaires l = 15 cm; Carcasse magn4tique carrie: c6t~ ext4r/eur, 48 cm, @aisseur 6 cm; Supports des pi~ces polaires: largeur, D ---- 10 cm, profondeur 10 cm; Entrefer minimum entre 2 p61es adjaceuts, 29.6 m m ; Quatre bobines 5. section trap4zoidale de n=627 spires, en fil m @ l a t de 2 × 4 m m , d@assant de 1 2 c m environ aux extr4mit4s; R4sistance des 4 bobines en s4rie: 4.25 ohm 5.2O ° C; Une des lentilles est repr6sentde darts la fig. 9. Les p61es et les supports de pi~ces polaires 1" D~finition de I'Associafion F r a n g a i s e de Normalisatioxl, 23 r u e N . D . des Victoires, Paris.

Pour une distance locale de 2 m~tres, Ie courant d'excitation serait de 3 amperes environ dans Q1, Q~ et de 7 ampgres dans Q'I Q'2. La mesure de l'4chauffement a fit4 effectu4e en marcln.e continue avec I = 10 A. La temp4rature 4tait mesur6e en deux points A e t B (fig. I0) entre bobine et carcasse, et entre deux spires de la surface non refroidie d'une bobine, gr~.ce deux thermocouples. Les courbes de Ia fig. I i montrent la mont6e de temp4rature en ces points, au cours du temps, lorsque la circulation d'eau fonctionne (ddbit 3//min)et lorsqu'elle est coupge. Sans refroidissement forc4, l'~quilibre thermique est atteint au bout de 8 heures; la carcasse

Fig. 10. Bobines 2 et~ 3 coup4es. B o b i n e 1 r u e p a r dessus. A e t B = Thermocouples. T ~ Tubes. P ~ P l a q u e s de Cuivre.

LES LENTILLES QUADRUPOLAIRES MAGNETIQUES (I)

137

1.3 CARACTERISTIQUE CHAMP-COURANT T t Degr~s C 8o

e._.~2°_~_

/= I O A

70 60

@ 60°C

~"~

54°C

i /Y

50

40 l ~ /

30

35°C

~--"~'~"~"' "~"

/

iI '

~o

10

t o

4

® ®

(

~5

2

10

Fig. 11 Avec circulation ..... Sans circulation d'eau. d'eau, @ Surface des enronlements. (~) Carcasse magn6tique.

magn6tique a alors une t e m p 6 r a t n r e de 54°C et celle du centre des bobinages doit 6tre voisine de 100 ° C. Les bobines impr4gn6es a u vernis bak41ite p e u v e n t s u p p o r t e r des t e m p 6 r a t u r e s de 180°C: le circuit de refroidissement p e n t donc 4tre supprim6 sur ce t y p e de lentille. La r6sistance des bobines passe de 4.25 ohms 5 o h m s dans ces conditions de fonctionnement. D ' a u t r e p a r t la carcasse et les supports des p61es a y a n t des coefficients 2 de dilatation lin6aire voisins, l'accroissement des c6t6s de l'entrefer est tr&s faible : il s'agit d ' u n ph4nom~ne diff6rentiel. P o u r At ~ 35 ° C et ~ = 10 -5, on a Aa/a ~ 0.35 × 10 -3, soit Aa < 1.5 × 10 - ~ m m , ce qui est inf6rieur aux tol6rances m6caniques de fabrication (Aa = 2.5 x 10 -2 ram).

Le c h a m p m a g n 6 t i q u e B mesur4 dans le plan radial p a s s a n t p a r le centre de la lentille Q1 varie en fonction de I comme l'indique la figure 12, p o u r n n p o i n t P situ4 sur O X & 4 cm de l ' a x e ( X = a). L a caract4ristique est p a r f a i t e m e n t lin6aire ]usqu% I = 9 A; p o u r i = 20 A, t'4cart entre le c h a m p mesur4 et le c h a m p th4orique est de l'ordre de 15%; p o u r I = 3 3 A , on observe seulement Ba = 0.75 w e b [ m 2 au lieu de Ba = 1.32 w e b / m 2 que d o n n e r a i t la loi linfaire d u d 4 b u t ; il y a donc lme i m p o r t a n t e saturation. P o u r ir = 0, le c h a m p r 4 m a n e n t varie de 12 16 X 10 -4 w e b / m S, cl'une expfrience ~ l'autre, sans p r e n d r e de prdcaution sp4ciale (d6magndtisation, etc.). 1.4. SATURATION DU CIRCUIT MAGNETIQUE

P o u r simplifier la construction des bobines, les supports des pi&ces polaires o u t une section c o n s t a n t e : S = 1 5 0 c m ~, entre les p6Ies et la carcasse. Le flux a t o u t d ' a b o r d 4t4 estim4 dans l'4tude pr41iminaire en utilisant les formules empiriques de Hubbard1°), duns diff~rentes sections; puis il a 4t4 mesurd sur la lentille. Nous donnons les r4snltats compar4s de cette 6tude: 1.4.1. Estimatio~ d u ~ u x Le flux ~0 t r a v e r s a n t les supports des pi&ces polaires de Q1 a 6t4 calcul4 dans trois plans de section droite (fig. 13). On t r o u v e : %OA(weioer) ~ 330 × 10-4 Ba (web/m2)

%V~(weber)~ 385 X 10-4 Ba (web/m2)

8000.0.8

~C(weber) --~-390 x 10.4 Ba (web/ms) . -0.6

P o u r Ba = 0.32 w e b / m S, on aurait %vc ~ 1.28 X 10-2web c'est-~-dire une induction m o y e n n e dans le fer, Bm ~ 0.85 w e b / m s.

/ -0.4

~000

0

0

B1

Zx,*O4

!0 4 10

20

Fig. 12

30

nIA.t 40

IA

Fig. 13

c~

1S8

P I E R R E GRIVET

ET ALBERT SEPTIER

Duns la lentille Q'I (a -----6 cm), la valeur de *Pc est sensiblement la m4me:-~oc ~ 400 X 10 .4 Ba, mais il faut un champ Ba plus grand. Pour B~ = 0.72 web/mL on aurait une induction dans le fer de B ~ -~ 1.92 web/m ~ ce qui est encore possible avec le fer Armco.

constant en tous points, et Bm ne d6passe pas 2.2 web/m 2 dans le fer Armco an voisinage de la carcasse pour 12 : 33 A. La saturation n'est doric pas atteinte dans les supports des p61es. ~.]~I 106

Bm Wb/m2

MaX.

1.4.2. Mesure du flux Pour comparer Ia r6alit6 aux pr6visions pr6c6deutes et ddterminer les limites d'utilisation de la carcasse, le flux ~o et la densit6 Bm out 4t6 mesur6s en diff6rents points du circuit magn6tique de Q15.1'aide de spires coll6es sur le fer et d'un fluxm~tre int4grateur 5. galvanomgtre asservP1), pour diff6rentes hatensit6s de fonctionnement. Le courant magn6tisaut 6tait 6tabli durant un temps tr~s court, pour 6viter un 4chauffement trop grand auk fortes intensit6s; il 6tait mesur4 grace 5. line r6sistance 6talon de 10 -~ ohms, et d'tm millivoltm~tre de pr6cision, pnis coup4; chaque spire 6tait reli6e successivement au fluxmgtre. Cet appareil dispose de plusieurs sensibilitds allant de 10-6web/volt 5. 10 -2 web/volt (soit 102 m a x w / v o l t 5. 10~ maxw/ volt). La tension de sortie est lue sur un voltm~tre 5. lampes.

.From

/ J

1=33A ~+~

(Ir)

2

, 0

40

80 120 Fig. i5

160

"Xmm -0

Dans la carcasse par contre, on a B~I # 1.9 web/m 2. L'acier doux est alors pratiquement satur4, ce qui explique la difficult6 d'obtenir de tr~s fortes valeurs de Ba duns t'entrefer. Contre la carcasse, on a *pmax ~ 440 × 10 -~ B~ web/m2; d'autres mesures, effectu6es sur une lentille de forme diff4rente, (et que nous ddcrivons plus loin) confirment qne les formules empiriqnes cit6es plus haut conduisent 5. des r6sultatstrop optimistes (10 5.20% se!onles cas).

Fig. 14

La figure 14 indique l'emplacement des 8 spires de mesure sur l'un des supports de pi~ces polaires et sur la carcasse. La section du fer est de 150 cm 2 pour les spires No. 1 5. 5 et 90 cm e pour les spires suivantes. Les r6sultats relatifs 5. *psont donn6s figure 15 pour I~ = 6 A (courbe 1) et 12 = 3 3 A (courbe 2), ce qni correspond respectivement 5. n I I = 3762 et n I 2 # 20 700 A.t. par pSle. Le rapport ~o~/,pl est pratiquement 10) E. L. Hubbard, Design of strong focusing magnets for Iinear Accelerators, U.C.R.L. Eng. Note DV-7, 4111-

4163 0953). n) M. Sauzade, Sur la r6alisation d'un fluxm6tre 61eetronique photo61ectrique, C.R. 246 (1958) 272-730.

2. Topograplfie des champs 2.1. METHODES

DE

MESUIZE

2.1.1. Com~osantes intdressantes Dans une lentille quadmpolaire infiniment longue, le champ Br est purement transversal. Suivant O X n'existe que la composante B r et r6ciproquement (fig. 16). Si on ne consid~re que la grandeur de [ B ] la distribution est de r4volution autour de l'axe Oz, sauf pour r > a, oh apparaissent les perturbations dues 5. la largeur finie des pi~ces polaires. Mais dans une Ientille de longueur finie, des effets de bout se produisent et jouen~ lm r61e

LES L E N T I L L E S Q U A D R U P O L A I R E S M A G N E T I Q U E S (I)

d ' a u t a n t plus important que la lentille est plus courte. Dans les champs de fuite apparalt une composante parall~le 5. Oz:Bz. La connaissance de B~ est n6cessaire pour le calcul:

z

Fig. 16

- de l'effet du champ de fuite, que l'on peut considfirer eomme un d~faut particulier aux lentilles quadrupolaires, - des aberrations proprement dites. Nous avolls donc eherch~ 5. mesurer Br et son gradient k, darts les plans OX, OY, Ox et Oy Bz en diff~rents points de l'espace utile.

139

voisines montdes sur le m6me arbre tournant pour d'6terminer le gradient radial k. C'est pourquoi nous avons mis au point un dispositif spdcial 5. bobine courte vibrant transversalement. Un autre syst~me 5. bobine longue vibrant parall&lement 5. Oz nous a permis de mesurer Bz. Pour ces mesures, l'axe de la lentille, placde sur un support de bois orientable est vertical; les appareils de mesure sont port6s par un plateau de fraiseuse ofientable et ddplaqable dans trois directions perpendiculaires. La figure 17 groupe la photographie des divers appareils, clue nous allons d6crire.

2.1.2. Composante transversale Br: bobine tournante La bobine courte de 5 mm de diam~tre, et 5 m m de long, fix6e 5. l'extrdmit6 d'un axe isolant est entraln6e 5. 1500 tours-minute par un motenr synehrone tfiphas6. Les balais sont en carbo-argent~ et frottellt sur des bagues en argent, ce qui rarn~ne les parasites de balais 5. un niveau inf6rieur 5. 0.01 InV. Une des extr6mit6s de la bobine est reli6e 5. la masse du

~'ig. 17 (a)

On peut d6terminer Br grace 5. nne bobine courte tournante dont l'axe de rotation est parall~le 5. Oz, disposition diffdrente de celle

]Fig. 17 (c)

Fig. 17 (b)

adopt6e pour les mesures sur les maquettes d'dlectroaimants du synchrotron dont ies entrefers sollt accessibles lat6ralement. Ici, on ile peut donc pas utiliser deux bobines

montage. L'axe tournant form6 par un tube de bakelite de 5 m m de diam~tre, traverse trois pallets graphit6s fixds dans un manchon figide t Produit de la Soci6t6 "'Le Carbone Lorraine".

140

PIERRE

G R I V E T ET A L B E R T S E P T I E R

de laiton, et il est raccord6 k l'arbre moteur par u n flector de K1EgEcell. Apr6s centrage de la bobine et des paliers, aucune perturbation g4nante due aux vibrations n ' a 4t6 enregistr6e. La sensibilit6 de la bobine 6tait de 7 volt par web/m 2 soit 7 x 10 -4 volt/gauss, pour une frEquence f0 = 25 Hz. Stir l'axe de la lentille subsiste u n signal parasite v 1 parfaitement sinusoidal de frEquence double de celle du signal fondamental. Son amplitude est rigouretisement proportionnelle au gradient radial, taut clue celui-ci reste constant. On peut le v6rifier en m o n t a n t en opposition deux bobines identiques juxtaposEes, alignEes sur l'axe de rotation, et en les dEplaga.nt suivant une direction radiale Or, au voisinage dti plan z = 0 : le signalprincipal ~ fo = 25 Hz est nul. (a) C e n t r a g e a u m o y e u de va. La presence de v 1, permet un alignement rigoureux de l'axe Oz et dti d6placement vertical de la sonde tournante: vt est de l'ordre de 10-~volt sur l'axe pour I = 4 A dans Q1. Un d6placement lateral infErietir ~ 5 X 10-2ram dEforme la sitiusoide observEe k l'oscillographe, en ltii superposant le fondamental v0. (b) M e s u r e s a v e c v0. Pour les mesures, v 1 et les termes sup6rieuurs sont 61imin6s par filtrage, grace k u n filtre passe-bus ayant une frEcluence d e couptire k 37 Hz; la sensibilit6 de la bobine est abaiss4e ~ 6 v o l t . w e b - ~ . m -2 et v~ est divis4 par 100. La reproductibilit6 des mesures avec cet appareillage est meilleure clue I%, l'intensitE du courant dans la lentille & a n t ltie sur u n appareil de classe 0.2. Nous dEcrirons plus loin un autre type de bobine tournante qui fournit direetement u n signal proportionnel A l'hltdgrale

1 = j+:B, dz. 2.1.3. Mesure du gradient transversal 1~) Soit une bobine courte M d'axe parall&le OY, vibrant duns une direction radiale OX (fig. 18) avec tin mouvement: x~) A. Septiex, Mesure des gradients ef des champs darts une lontille quadrupolaire, CERN-PS/Sp 8 (1955)nonpubli6.

=

XOC O S

COt.

S i x 0 est petit, on obtiendra u n signal fondamental V0 de ia forme:

Vo

=

kxoB" cos cot

proportionnel ~ x 0 et auu gradient B' ~- OB r/OX.

!~.,'bl t J

x~

Fig. 18

Nous avons titiHs6 une bobitie portEe par l'extrEmitE libre d'tine tige de plexiglas parall41e Oz, done verticale, l'autre extrEmit4 6taut rigidemetit fix&. La tige, longue de 500 ram, de section rectangulaire (15 × 5 ram) porte, fixes 10 cm du point tixe, deux disques d'acier doux, qui font face ~ deux petits Electroaimants E , et E= (fig. 19). Si on alimente ceux-ci avec des

9 X o

Fig. 19

courants alternatifs de fr~quence quelconque, el1 opposition de phase dans Ies deux bobines, la tige vibre. Pour une fr4quence 6gale k l'une des fr6quences propres de la tige, il y a r6sonance et on a des amplitudes importantes avec une puissance d'excitation reladvement faible. La frdquence fondamentale &ant trop faible, nous utiiisons le partiel d'ordre 2 pour lequel f0 = 85 FIz. L'amplitude est alors rdglable de

LES LENTILLES

QUADRUPOLAIRES

2x 0=0 5. 2 x 0 = 2 . 5 m m , en faisant varier l'excitation des 41ectroaimants. Ces 41ectroaimants sont aliment6s par deux lampes mont4es en pushpull fonctionuant en classe B. La fr4quence d'attraction est alors 6gale 5. celle du cotirant. Grace 5. l'excitation symdtriqne, l'attraction constante due au conrant continu qui traverse E i et E 2 est nulle, et le mouvement de la bobine (et par suite le signal induit) est parfaitement sinuso~dal. Pour des mesures absolues de gradient, il est possible de d6terminer l'amplitude x 0 du mouvement avec pr6cision gr{me A un miroir fixd en bout de tige et un dispositif optique amplificateur, Cette mesure absolue permet d'4talonner la tension fournie par tin cristal pi~zo-61ectrique qtii presse contre la tige au voisinage dn point fixe o~ les amplitudes sont faibles. I1 fournit une tension V qui sert en service normal 5. mesurer x o, d'apr~s la courbe x 0 = f ( V ) 6tablie une lois pour toutes. Ce syst~me de contr61e permet de v4rifier qu'5. excitation constante, la tension de sortie de !a bobine est parfaitement constante; alors il n'existe pas de vibrations parasites. Pour rendre x0 aussi stable que possible malgr4 une variation accidentelle du courant d'excitation des 61ectroaimants, on peut mettre k profit la tension V fournie par le cristal. Celle-ci

~

MAGNETIQUES

(I)

141

volt par gauss- cm -1. Un pr4amplificateur de gain 100tt permet l a mesure commode de gradients de quelques 10 -3 web/m S (quelques gauss/cm). 2.1.4. M e s u r e de la com#osante longitudinale B ,

Un sol~noide d'axe parall~le 5. Oz, vibrant longitudinalement, et tel que ses extr~mit4s A et B soient respectivement dans des zones o~ (B~)i :# 0 et (Bz)• = 0 (fig. 21) donne tm signal v proportionnel 5. B , au point A13). v = (n~a2co) z o cos mr. (B,)A + termes sup6rieurs, avec n = hombre de tours par unit4 de longueur, a = rayon des spires co = 2xf0, fo 4taut la fr4quence de vibration, et z0, amplitude du motivement. Nous avons utilis4 une bobine longue de 300 m m 5. spires jointives, bobinde sur un tube de verre de 5 m m de diam~tre. Cette bobine, fix4e dans un tube T i de bak61ite (fig. 22) vibre 5. la fr6quencef0 = 50 Hz grace ~ un moteur 41ectrodynamique M analogue 5. celui d'un hantpafleur. Le tube de bak41ite support est fix4 5. une extr4mit6 stir l'axe moteur de M, et suspendu par 3 ressorts R formant palier vibrant sans amortissement darts un tube rigide T~ qui

II .............. Quartz

s

:(2x i o

- : t x,, ~

TJ

v--

Fig. 20

Fig. 21 et 22

amplifi6e, puis d6tect4e, est envoy6e sur la grille de la premifire lampe de I'amplificateur de puissance alimentant E1 'et E~, qui est une lampe 5, pente variable (6SK7). Le sch4ma de i'ensemble des alimentations est donn4 (fig. 20)t Pour x 0 = 1 mm, fo = 85 Hz; la sensibilit6 est de v = 10 -3volt pour l w e b / m 3, v = 10 -5

l'entoure. Des vis de centrage V permettent d'aligner l'axe du sol4noide et celui du vibreur. Le signal, apr~s travers4e d'un amplificatetir de gain 100 et d ' u n flltre passe-bas qui ~limine au mieux les composantes parasites de frdquence sup6deure 5. 50 Hz atteint 3 v o l t . w e b - i . m -~.

I" Cet appareil a 6t4 r6alis6 p a r A, Hampikian. ~ Pr6amplificateur t y p e GM 4574 Philips.

i3) p. Gautier, lVl6thode d'induction pour l'4tude de la topographie du c h a m p sur l'axe d'une lentile 41ectronique magn6tique puissante, J. Phys. Rad. 15 (1954) 684-691.

142

PIERRE

GRIVET ET ALBERT SEPTIER

Alors que les bobines tournantes sont des (K)Q1 # 0.01 w b . m ~ . A -1. Une ldg6re dimiinstruments robustes, il est k remarquer que la nution du gradient se manifeste pour I > 10 A, mise all point de la bobine vibrante est d61icate due k la saturation (mais les courbes restent des malgr@ sa position verticale: une I6g~re dissym6trie dans la tension des ressorts constituant les paliers fait apparaltre un signal parasite de fr@quence multiple de celle du fondamental, s "~ f re@me lorsque l'ensemble est bien centr& Un l@ger excentrage provoque en plus une vibration parasite transversale k la fr6quence du fondamental; le signal parasite proportionnel au gradient du champ transversal est important dans route la zone centrale de la leutille, et peut I I masquer Ia variation de B~. Cette vibration transversale peut 6tre 61imiFig. 23 n@e gr~c@ k un r@glage soigneux des vis de centrage, mais elle peut r6apparMtre apr~s quelques heures de fonctionnement: un nouveau' droites), et pour Y > 3 cm. Le champ passe par r6glage est alors ndcessaire. En prenant soin de nn maximum pour X, Y # 6.2 cm. Dans les directions 0x et Oy, la variation du v6rifier l'6talonnage avaut et apr~s chaque s6rie 8x de mesures, les r@sultats sont reproductibles 103 (3s 1% dans ies r~gions oh Bz prend de fortes -610 "1Wb/m 2 valeurs, 3 ~ 5% lorsqu'on se rapproche de la zone centrale oh Bz s'annule.

a,'=6(~

o~

2.2. C H A M P T R A N S V E R S A L I ~ , 1~)

2.2.1. Rdpartition radiale du champ dans la zone centrale de la lentille Champ. Ddfinissons darts le plan z = 0, un double syst~me d'axes rectangulaires (fig. 16) situ6s dans Ies plans de symdtrie radiaux de la lentille : axes OX et OY dans les entrefers, - a x e s Ox et Oy dans le fer, tels que OX, Ox = ¼=. L'espace utile est limitd par le cercle de gorge de rayon a. Dans la lentille O1, a = 4 cm et dans Q'I, a = 6 cm, mais les deux lentilles ne sont pas homoth~tiques, puisque les supports de pi6ces polailes restent identiques (fig. 23). La r@partition transverse de B x est donn6e pour Q1 sur la figure 24 pour diff6rentes intensitds, y compris I = 0 qui donne le champ r6manent, suivant OY. La variation est parfaitement lindaire jusqu'k Y = 3 cm, avec un gradient Nous avons utilis6 u n m o t e u r fabriqu6 p a r la firme suisse Dreyfus-Graf.

Z=O

4

'3

~

8A

~

6A

4A

lA

1

2

3

'4

5

6

,

0A

7

Ycm

Fig. 24 ~4) A. Septier, R6partition du c h a m p dans la premiere m a q u e t t e de lentille quadrupolaire, C E R N - P S / S p I3 (1955) non publi@. ; Mesures effectu6es sur le deuxi~me module de lentille quadrupolaire, C E R N - P S / S p 16 (1956) non publi@. as) A. Septier, E t u d e des c h a m p s de fuite d ' u n e lenfilIe quadrupolaire magn6tique, C.LR. 243 (1956) 1026-1029.

143

LES LENTILLES QUADRUPOLAIRES MAGNETI{~UES (I) champ estidentique ;les courbesreprdsentativesse confondent avec les prdcddentes jusqu'& x, y ----a. La fig. 25 est relative & Q'I: on y a portd ]es points expdfimentaux relatifs & 0 X et Ox pour I = 4 A: toutes les eourbes sont conf0ndues jusqu'& X, x = 45 m m = ~ a, avec une droite de pente (K)Q' 1 = 0.0177web/m 8, ce qui correspond bien

(K) Q1/(K)Q,1 : \(a,)Q1 / "

K x = #Bv/OX, et K~ = #Bx/#x, SOllt raises en 4vidence sur les courbes de la figure 26 relatives QI' et obtenues k l'aide du vibreur ~ bobine

1

0.95

Pour X, x > } a, un ldger dcart se manifeste entre les deux rdpartKions, le champ dtant ldg~rement plus faible sur 0x, Oy. Cette dissymdtrie est due ~ rinfluence des angles des

LENTILLEQ1

0.90

~Xcm

/

1000 ~s

a~

9

4

6

Fig. 26

2'*

900

zz

c o m e : cette mdthode de mesure permet de d6celer tr~s facilement les faibles variations clui se manifestent dans la rdpartition du champ transversal.

800

700

600

500

400

~

Y

300

2001

/

~:6~mm

| / 100 r / Ok" 0

- Axes Ox, O.v + Axes OX, OY i 10

i 20

i 30

* 40

i 50

I ) 60

Fig. 25 supports des pi~ces polaires: un accroissement du champ sur OX, O Y entraine automatiquement une diminution sur Ox, Oy au voisinage du fer. G r a d i e n t #B/Or. Les variations des gradients

2.2.2. Rdpartition du champ transversal en suivant des parall~les ~ l' axe optique Pour r < ½ a, l'allure des courbes B = f(z) est la mSme dans tous les plans radiaux, mais pour r > ½a ces courbes commencent & diff6rer sensiblemellt, suivant qu'on les relive darts les plans OX, O Y ou dans les plans Ox, Oy. S i r < { a, elles prdsentent un plateau central de l'ordre de 7 cm dans Qv 3 & 4 cm dans Q ' v puis le champ transversal ddcrolt et s'annule pratiquement ~ 2 4 c m du centre (figure 27). Pour r > ½a, le plateau central s'allonge mesure qu'on s'dloigne de l'axe suivant O X et O Y ; suivant Ox et Oy les bords du plateau se rel~vent et, an voMnage du fer on obtient des pointes tr~s marcludes (fig. 28, relative A Qz). Le champ transversal peut atteindre sur le fer une valeur double de celle qu'il a en z = 0. L'effet est encore plus visible si on se reporte aux courbes dormant Br ~ f(r) darts les plans O X et Ox pour diff4rentes valeurs de z (fig. 29, Q1) et aux rdpartitions du gradient (fig. 30, Q1). Les pertubations sont dues A un "effet de

144-

PIERRE G R I V E T

ET ALBERT

SEPTIER

y=34

/% B:,/G~ f 1400

i Y

o

6 xmm

0.6~,

1800

j

t

-15

-10

~

i\~

!4oo

-5

0

X=40mm

/ ~

o.4~

II

-20

I=4A

I I

5

10

15

20

25

200 175 150 125 100 75 50 25

F i g . 27

25 50 75 lO0 125 150 175 200 225

Fig. 28

:2000

,

S~)/o,

2000

'/ -,6oo-~ ~-o ~

/ ,/

-,~oo-

~,'-

f ~:o-

/~o//

,~oo

7o,,,~ / . / 1

~,

,

H

•8 o o - -

0

I

//'""

•6 o o

~ - y / z . / . / 9 0

600

.~oo

////i~<$---~,

~oo

"

lao~ /

__f

.

140

, 0

a 10

20

30

a=40

50

0

Fig. 29

10

20

30

,,Vimml 40

50

LES L E N T I L L E S Q U A D I ~ U P O L A I R E S M N G N E T I Q U E S

(I)

145

surface d u fer en e x t r a p o l a u t les courbes de la figure 29 puisque

p o i n t e " a n voisinage de l'angle v i i de l'extr6mit6 des pigces polaires. Elles sont m a x i m u m duns les plans Ox et Oy, mais la figure 29 m o n t r e qu'elles se m a n i f e s t e n t encore s u i v a n t O X et OY.

f;Bdx=#onI=

joaBOdx

OBs/OX Gs/cm

]'=4A

-2OOLo100 F~/

X=0

L40

X = 4 0 mm

~X

-25

-20

-15

-10

-5

5

0

10

= 20 mm

15

20

25

Fig. 30

D o n n o n s que!ques valeurs typiques tirdes de la figure 29. S u i v a n t O X et O Y , jusqu'5, z = 40 ram, les courbes r e s t e n t des droites jusqu'5. X , Y = a. Mais pour 70 < z < 80 m m , la p e n t e des courbes se relgve apr~s X , Y = ½ a a v a n t de d6crottre pour X , Y = a. P o u r z = 70 mm, k = 0 . 0 3 6 5 w e b / m 3 pour X - - - - } et k = 0 . 0 3 9 w e b / m 3 pour X = a. Dans les plans Ox et Oy, ]USClU'5. x, y = ½ a, les courbes sont confondues avec les prdcddentes. Mais p o u r ½ a < x, y < a, eUes d e v i e n n e n t tr~s diff6rentes: el1 z = 70, on a k = 0.0365 w e b / m 3 pros de l'axe et 0.08 w e b / m a 5. 0.8 a de l'axe; en z = 75 m m , on a r e s p e c t i v e m e n t k = 0.029 et 0 . 1 0 w e b / m a. On p e u t d d t e r m i n e r Ie c h a m p transverse ~ la

B 0 ddsignant ta valeur en z = 0. P o u r z = 70, on a donc sur le fer B~ de l'ordre de 0.2 w e b / m 2, au lieu de 0.16 en z = 0 , lorsque I = 4 A . Le r e m p l a c e m e n t des angles vifs p a r des arrondis de r a y o n 5 m m , ou p a r des p a n s coup6s 5. 45 ° de 5 m m d'6paisseur n ' a m ~ n e aucuue am61ioration sensible (figure 31). Les figures 32 et 33 sour relatives 5. la lentille

Q tl. 2.2.3. Influence de la deuxi~me tentille Q2 U n syst6me convergertt c o m p r e n d tiltes juxtaposdes Q1 et Q2 crois6es axe (face 5. u n p61e sud de Q1, on p61e N de Q~ et rdciproquement).

deux lende m6me trouve u n On p e u t

146

PIERRE

GI~IVET ET ALBERT

SEPTIER

t By Gs

1500 80

:r

75 S

-2 N

X t000

500

X 10

20

30

,.Vmm ,40

0

10

20

30

mm 40

Fig. 31

8y Gs

240C

i

~000

1600i

X=6Omm

120G / = 9A a:60mm SO0 o

400

100

200

Fig. 32

zoL 30O

0

100

200

Fig. 33

t

300

147

Lt~S LENTILLES QUADRUPOLAII~-ESMAGNETIQUES(I) simuler dconomiqtiemelit l'influence de Qs sur le champ de Qz en approchant progressivement de Q i seule ulie placlue d'acier doux P suffisammelit @aisse reprdsentant l'dquipotentielle magndtiqtie ~o = 0, situde ~ mi-chemili des deux t

I" I

L.___.J :° i I I

$

z

I I I

Plan Po tg:o)

Fig. 34

2.3. COMPOSANTELONGITUDINALEBz 2.3.1. Rdsultats Par raison de symdtrie, B~ est untie duns tes plans OX et OY, ainsi que dans la zone centrale ofi B , reste constant, en vertu de la loi div B = 0. Les valeurs de B~ olit dtd mesurdes stir des parall~les k Oz; la positioli de ces droites est ddterminde ell coordonndes x e t y mesurdes le long des axes de sym6trie mddians. La figure 36 donne les valeurs de B~ dans te plan Ox de Qi, face k tin p61e sud, pour diffdrentes valeurs de x. On obtient des colirbes en cloche dissymdtriclties dont le m a x i m u m se situe entre z = 75 et z = 85 ram. Pour x ~ a = 40 mm, il serait sitlid en z = 75 ram, sur l'angle de la piece

lentilles duns le cas rdel. Un trou de diamgtre 12 m m permet le passage de la sonde de mesure darts la plaque ~ 20 m m de l'axe (figure 34). La figure 35 montre l'influence de P sur le champ transversal pour 3 distances de la plaque au centre de Q I : D = 22.5, 20.5 et 16cm. Pour D = 22.5, aucune modification car le champ de fuite est ndgligeable ~ cette distance. Mais pour D = 16cm, la rdpartition est modifide: B devient liul stir P (on pent noter line Id@re pdndtration dans le trou de passage de la sonde), et i l , y a fin Idger rel&vemelit de la valeur du champ au centre. Dolic, pour une distance entre lelitilles supdrieure k 45 cm, on pourra considdrer comme ind@endantes les r@artitions de Q1 et Q~.

Bz Wb/m 2

10-2

1

i BvGs

8oo'[' ~3,:~m) 4

0

0

oou

~ 3 5

10

Fig. 35

1-5

20

cm

0

25

so

7s

~oo ~2s 1so ~7s 2oo s2s

Fig. 36

148

PIERRE

GRIVET

ET

polaire, off il d@asse 0.2 web/m 2 (avec I = 4 A). Bz est nulle sur l'axe, et encore tr~s faible pour x = ½a. Sa variation radiale, pour diff~rentes valeurs de z e s t donn6e figure 37, dans le plan Oy, face ~ un p61e nord. On note une l~g~re dissym4trie entre p61es nord et p61es sud, les valeurs de Bz dtant l~g~rement sup6rieures au voisinage des p61es nor& Nous n'avons pas trouv6 d'explication A cet effet, la construction m6canique 4tant tr~s pr6cise et parfaitement sym6trique. La figure 38 donne les valeurs de B~ dans le plan Ox de Q'I: les courbes sont plus larges que celles de Qv

ALBERT

SEPTIER

Pour I = 4 A, on a K ( 0 ) = 0.04 web/m n. Les valeurs de L 1 mesurdes au planim&tre, et de L 1 ealcul4es, sont port4es figure 39 pour la lentille Q1. Dans deux lentilles diffdrentes, ayant m~me gradient radial, on dolt retrouver les mSmes de LI: c'est ce qu'on v4rifie sur la figure 40 off o n a port4 les points expdrimentaux relatifs 5. Q1 pour I = 4 A et 5. Q'I avec I = 9 A. La courbe obtenue est bien nne parabole. La figure 41 est une carte k lignes de niveaux dormant la r@artition de L 1 dans l'entrefer de 01. On peut y noter tree 16gSre dissym~trie entre les p61es nord et sud.

2.3.2. Cornparaison avec la thdorie

A partir des r@artitions de B,, on peut calculer l'int6grale

L1 foBZ dz

soo

p

=

mesur6e en web/In (ou en gauss × cm), et comparer sa valeur ~ celle qne fournit le calcul. On a en effet an premier ordre la relation LI = 2/~°n! XY

70o

f,,o dk(x ) dz do d~

a2

Bz Gs

60o

L1 = I4(0) X Y = K(O) ½x2 sur Ox.

5oo "

z=s s,

-1o00

'm [

\ 4NN

:,oo :,oo

le

Q¢

P

•

1

10

20

30

Fig. 37

40

50

60

Z 0

25

50

75 100 125 150 175 200 225 250 275300mm

Fig. 38

149

LES LENTILLES QUADRUrOLAIRES MAGNETIQUES (I) °+~

o

8zdz

"-----~ YLes valeursde Lsonfdonr~esen ~ m

WB/m

!

x

~ "////////,

G °S, ,/,, 0

~0

/ ,,

,,o,oo

--,-,-,

20 Fig. 41

90

40 mm

3. L o n g u e u r efficace de la lentille 16) 3.1. DEFINITIONS

3.1.1. Moyenne sur le gradient LG

10

20

40

30

A p a r t i r des courbes d o n n a n t K(z) on p e u t d6finir u n e longueur efficace LG de la lentille iddale 6quivalente, dire " l o n g u e u r efficace" d u gradient

Fig. 39 K(0) J-~

3.1.2. Moyenne sur le champ L c

Avec l'approximation du mod~le rectangulaire, on p e u t considdrer stir des parall41es & Oz des r 4 p a r t i t i o n s de c h a m p radial 6 g a l e m e n t r e c t a n gula/res. Si B o d4signe le c h a m p en z -----O, on p e u t d6finir u n e l o n g u e u r efficace L c "du champ".

/

GS xcm 3x10"

2xI0 ~

L C = ~ o1 f_+~B(r)dz

On peut montrer ~) qu'on a la relation L~ = Lc +

103

÷LenfilleQt, Z=4A o Lentille Q~I, 2" = 9 A

10

20

Fig. 40

30

40

mm

B(r)

aLe

09Bl#r), ~r

x6) A. Septier, Etude de la longueur efffieace d'une lentille quadrupolaire magn6tique et de sos variations dans l'entrefer, C.R. 243 (1956) 1297-I300; CEI~N-PS/Sp 14 (1956) non publi6; CERN-PS/Sp 15 (1956) non publi6. xT) 1VL G. N. Hine, Effects of Systematic 1Viagnet and Momentum Errors, CElZN-PS/1VfGNH- - Note 17 (1956) non publi6.

150

PIERRE

oh r d6signe la distance

GRIVET

ET ALBERT

~ l'axe, soit, en premiSre

approximation #Lc Lo = Lo + r--

Or

et on n'aura LG = Lo que si OLc/Or = 0, oti s i r = 0 (axe de la lentille). Duns c e cas on posera : Lo = Lo = L0. 3.2.1VIESURE D I R E C T E

DE LA MOYENNE

Lc

Les valeairs de LG et L c petivetit ~tre calctfl6es partir des r6partitions longitudinales de K(z) ou de Br(z), apr~s int6gration graphique. Pour L c il existe tin moyen simple d'en suivre les variations datis touute ia zone utile. Une bobine longue et 6troite de section rectangulaire, ayant ses deux extr6mitds A et B e n dehors duu champ (fig. 42), et totirnant autour d'un axe parallSle k 0z donnera tm signal proportionnel l'int~grale

SEPTIER

signal produit ~ 25 Hz comporte 6galement une composante parasite g 50 Hz qu'un filtrage soignd permet d'~lilniner. 3.3. V A R I A T I O N S

D E LC D A N S L ' E N T R E F E R

3.3.1. Lentille Ol A une intensit6 donn6e, la longuenr L c d6crott l~@rement lorsqu'on s'61oigne de l'a×e et cette d6croissance est la m~ine dans routes les directions radiales, Cette ddcroissance atteint 1% pour r = ~ a et 2.5% environ pour r = a = 4 cm. La valeur de L c sur l'axe est L o = 195 ± 0.5 Into, soit L o = l + 1.1 a. On volt title L 0 est nettement sup6rieure h la longtieur mdcanique / de la lentille, et l'6cart (Lo --l)/l, atteint 30%. La figure 43 montre ta

d'oh 0.98

Lo = AI.

La constante A est d6termin6e si on connait L c en tin point de l'entrefer, par une mesure $ l'aide de la bobine tournante courte, et la variation radiale de B 0. Nous avons rdalis~ une bobine de ce type, form6e de 12 spires de fil de 0.1 m m bobindes fond de gorge dans deux rainures parall~les m6nag6es dans une tige de plexiglas longue de 700 mln et de diam~tre 20 mm. Le Inoteur, le collecteur et le syst~me de d6placelnent sent identicNes k cetix de la sonde k bobine courte. La tige de plexiglas est guidde sur une certaine longtieurparun tube de laiton fixe muni de paliers graphites. La disposition verticale durant les Inesures permet seuule une rotation sans vibrations parasites, si la tige est bien rectiligne. Le

aBr=o A

/% .0

F i g . 42

A Ox, O~ , o Ox. O.X, x Oy, O y '

C

r . rota'iion

;

I

LENTILLE ,~, /=4A

/

3 I

I ~)ct

AI

(C~

x,X cn~

Fig. 43

ILd,o[ LENTFLLE Q1 |

L

Br=O

•2

I

0.96

o

BobineABCD

0.96

I I

+z=2A o ,,

L

4A 6A

I

I

2

o

Fig. 44

3

4

,.~',X cm

LES L]~NTILLES OUADRUPOLAIRES MAGNETIQUES (I) , L/L °

Boblne Iongue

I

oOx, os

I

+°X'°Y

I

o -0.99

-0.98 -0.97

151

v a r i a t i o n de L e / L o en fonction de la distance l ' a x e ; la conrbe tracde est une courbe moyenne, les points e x p ~ r i m e n t a u x se plagant d a n s n n e zone d ' @ a i s s e u r 1.5 & 2°/o. Cette loi de v a r i a t i o n reste la m~me lorsque l'intensitd I varie (fig. 44). 3.3.2. Lentille Q'I

~

l = 150 rnm

it [ 0

+

a = 160 mm /=9A

.

20

30

10

J+ ~ *

, 40

50

Fig. 45 ,LG/L °

I

1

0.98

0.96 LENTILLE

L 0 est de l'ordre de 207 ram, d ' o h L 0 # I + 0.95a. Les variations de L c n e sont plus identiqnes darts les plans OX, O Y d ' u n e p a r t et Ox, Oy d ' a u t r e part, si on calcule L c avec les vraies valeurs de B o en z = 0; le fl6chissement du gradient face mix p61es se t r a d u i t p a r des valeurs de Bo inf~rieures aux valeurs thdoriques, et p a r u n e remont6e a p p a r e n t e de L c (fig. 45). Mais si on calcule L c ~ p a r t i r des valeurs th6oriques de B o (ce qui t r a d u i t mieux les propri6tds r6elles de convergence de la lentille), les deux courbes sont p r a t i q u e m e n t confondues, avec n n e d6croissance A L / L de 3 % & 50 m m de l'axe, et cette courbe c o m m u n e est confondue avec celle de Q~ si on utilise des coordonn~es r~duites, avec a pour unit6 d'abscisses; il y a u r a done a v a n t a g e & utiliser tree lentille & gros trous, p o u r u n faisceau de taille donnde.

QI 3.4. COMPAI~AISONDE Lc ET LG

I x , Xcm

L

0~

3.4.1. Lentille Q1 Les m e s u r e s de L G a u v i b r e u r o n t 6td effectu6es seulement dans O X et O Y pour les gradients de B x et B y :

Fig. 46

L.o

Plans

o

Plans

0.99 3.98

3.97 3.96

\

./=9A . a =

9.95 - -

60 mm

_

. r r,.,;, ~. + ~OBx - Su

3.94

3.98 0,92 3.91

& - ~

81.1I" 0 X

....

sur O x . , O v

t 10

20

80

Fig. 47

x;ym2 40

50

B~. =# 0 /£1 = #By/#X

OY

B~, = 0

K ' , = ~gB~,lva2x2 .

OY

Bx @ 0

K2

OX

Bx

K'~ =tgBx[#Y.

= 0

= #Bx/#Y

Les mesures p e r m e t t e n t de vdr~fier que K" 1 = K s = K'= et que la d6croissance est 16g~rement plus rapide que celle (fig. 46): ALG/L o a t t e i n t 3.5% pour mais reste infdrieure & 1% p o u r r = ½ a.

,4":.y'

I

).90

OX

60

K 1= de L a de L c r = a,

3.4.2. Lentille Q't Le m~me ph6nom&ne se manifeste (fig. 47), la ddcroissance a t t e i g n a n t 5 & 5.5% pour r = a.

152

PIERRE

GRIVET ET &LBERT SEPTIER

La relation th6oriqne entre L c et LG est v6rifi6e la pr&ision des mesures pros ( i % environ) sur les valeurs de Lc et LG. 3.5. CORRECTION DES VAI~IATIONS I)E Zc Physiquement la d6croissance de L e lorsqu'on s'dloigne de 1'axe entraine tme d6croissance de la convergence de la !entille (supposde mesurde

l'espace central 5` l'aide de la bobine longue renseignait sur l'efficacitd de Ia correction. Le syst&me de masselottes fournissant la correction snivant les qnatre plans radiaux de sym6trie (on peut alors supposer que la correction est effectu4e dans les autres directions) est reprdsent6 fig. 48: il s'agit pour chaque piece polaire de trois cylindres de fer doux de 15 m m de hauteur et de diam~tres 25 m m pour les pi&es lat6rales, 10 m m pour la pi&ce centrale.

I L/Z-o

4

(x, Xj

I

0

r

X

-2%1~

I X

-17o -270, 0

2c

x,X 10

20

30

40

n~m"

Fig, 48

Fig. 49

pour un pinceau de rayons cheminant initialement 5. la distance r de l'axe) c'est-g-dire, en langage optique, une aberration d'ouverture n6gative, de signe oppos6 5. celui de l'aberration d'ouverture des autres lentilles convergentes ntilis&s en optic!ue corpuscnlaire. Si on se prdoccupe de r6duire l'aberration d'onvertnre, il faut r~duire ou annuler la variation de L. Ii suffit de raisonner sur L c car si ALj~-~ O, on aura partout L c = L a = L0. Nous avons cherch6 empiriquement un moyen d'accroltre L c stir les bords, sans changer la valeur de L 0 au centre; la diNcult6 est de r6aliser une correction identique dans routes les directions radiales. Cette correction a pu &re efiectivement rdalis6e sur Q1 en accroissant localement la longueur des pi~ces polaires par l'addition de masselottes de fer doux convenablement dispos&s. A chaque modification l'exploration de

Leurs actions respectives sont reprgsentdes fig. 49; en 491, on retrouve la courbe L / L o = f(r) de la lentille non eorrigde; en 4911, Faction de la masselotte centrale dddouble la courbe : le plan Ox est snr-corrigd, tandis que la ddcroissance est accrue suivant OX; en 49iii, d6doublement inverse, dfi aux pi&ces latdrales. Enfin en 49iv, action conjugude de toutes les pi&ces; on a L = L o dans tout l'espace utile. Nous avons vdrifi6 que l'addition des masse!ottes n'infiuait pas sur la r@artition du champ ell z = 0. Par contre la r@artition du champ Bz est perturb6e, surtout duns le plan Ox: le raccordement des lignes de champ sur la pi&ce polaire et la masselotte centrale devient compliqude, et la courbe dormant B~ pr~sente deux maxima successifs (figure 50). L'influence des correcteurs commence 5` se manifester pour x ~ ½ a. L'aire des courbes reste pratiquemeut inchangde : on peut supposer que Faction globale

LES LENTILLES

OUADRUPOLAIRES

de B~ restera la m6me et que le terme d'aberration provoqu6 par cette composante parasite sera inchang6 par la correction. Cette m6thode de correction n6cessite la presence aux extr6mit~s des pibces polaires d'un espace libre qui ne soit pas recouvert par les enroulements: elle est possible pour les lentilles off l'excitation est faible. On peut songer k remplacer l'action des masselottes lat6rales par nne modification du profil des pi~ces ~olaires ell r6duisant les entre-

MAGNETIOUES

(I)

153

sp6cialement 6tudi6es pour obtenir des gradients intenses tout en retardaut all maximum l'apparition de Ia saturationt. Leur forme et leurs dimensions sont indiqudes figure 51a; leur longueur est de 88 ram, puis passe ~ 108 mm, pour diminuer l'induction moyenne; dans le m6me but, la largeur des p61es, ~ l'origine de D = 44 mm-----1.1 a, passe progressivement D = 100 mm = 2.5 a. Chaque p61e a u n e m6ri252 ~O-

Bz Gs i

500. /~

j

O~ss y

"

Proffi

Vued~dess~ I J (a)

Fig. 51

60 "'--'~

(b)

3OO soo

~yil \\ \L/ =/ /

loc ~ 6

2'5

=2,~ 2o~

12~

50 ~75 100 125 150 175 200 22Stem

~o

~'ig. 50

fers lat6ranx; on accroi~ le champ, et par suite la longueur Lc calcul~e k partir du champ th6orique k gradient constant. C'est lasolation adopt6e en particulier pour les lentilles quadrupolaires de compensation placdes entre les unitds du synchrotronS). Mais on ne peut effectuer par ce proc6d6 la correction suivant Ox, Oy. L'6tude des aberrations nous montrera que la non correction de L suivant 0x, Oy conduit en rdalitd k une aberration d'ouverture plus faible.

30

20

40

2"A

Fig. 52

i

c

0 Fig. 53

4. Influence du r6tr6eissement des pi~ces polaires et de la saturation sur la topographic du champ dans la zone utilOs) Sur la carcasse magndtique carr6e de Q~ nous avons mont6 4 pi~ces polaires trapdzoidaies,

dienne form~e d'un arc de eercle de rayon R = 4 4 m m ~--1.1 a, prolong~ par deux segments de droites tangentes (figure 51b), situ~es ~. l'ext~rieur de l'hyperbole th~orique afin de compenser ie rdtr~cissement des p61es. Ce

t Le projet de ces modifications a 6t6 propos6 p a r MM. IV[. ~¢~orpurgo et A. Citron, de la division du Syllchrocyclotron du CERN.

is) A. Septier, Influence de la saturation sur la topographic du c h a m p darts Ulm lentille quadrapolairo magn~tique, CERN-SC/Sp 1 (1958) non publiC.

4.1. FOR2CIE DES P O L E S U T I L I S E S

154

PIERRE

GRIVET ET ALBERT SEPTIER

r~tr~cissement est ici n6cessaire pour toger le maximum d'ampSres-tours magn6tisants. Les bobines comportent 695 spires, grace ~ l'addifion de petites bobines de 68 spires placdes au voisinage du cercle de gorge.

10 i B ~ . B v

4.2. CAI~ACTE:RISTIQUE C H A M P - C O U R A N T

En X = a ----40 ram, la courbe B = f(/) est donn~e fig. 52 ; dans la zone lin6aire de la caract6ristique, le gradient mesur6 est de 1.09 web.m-~.A -1, en bon accord a v e c l a valeur th~orique. On pent comparer cette courbe ~ celle de Q1 (fig. 12). Pour n I - - - 2 0 700 A.T., on aurait ici B~ = 0.91 web/m s, au lieu de Ba = 0.75 web/In2. Notons toutefois qne pour cette valeur de n I la convergence de Q1 serait sup~rieure k celle de la nouvelle lentille Q3, car la longueur efficace de Q3 est tr~s inf~rieure k celle de Q1 (135 mm au lieu de 195 ram), le rapport des facteurs caract~ristiques (/~L)Q~I(~L)Qs

1

2

3

~ig. 54

est de l'ordre de 1.3 en faveur de Q1. 4.3. T O P O G R A P H I E D U CHAMP, L O N G U E U R E F F I C A C E LC

Dans le plan z = 0 on obtient pour diff6rentes intensit6s, les courbes de la figure 54; malgr6 la saturation les rdpartitions radiales restent /dentiques: aprSs une zone lin6aire, le champ crolt plus rapidement qne la droite th6ofique jusqu'en X = ~ a, puis d~crolt ensuite en recoupant cette droite vers X = a. Dans les plans Ox, Oy, les valeurs de /3 sont toujours ell dessous de la droite th~ofique: il existe une l~g~rc dissym6trie suivant les directions radiales. Les mesures de gradient le confirmeront. Suivant des parall~les k Oz, on obtient par exemple les courbes de la figure 55. Ces courbes ont permis d'obtenir les valeurs de la longueur efficace Lc. Celle-ci est de 135 mm sur l'axe, et varie Iorsqu'on s'en 61oigne selon les courbes de la figure 56: les variations sont diffdrentes suivant OX et Ox. Les courbes en trait continu correspondent aux valeurs deL c obtenues k raide des valeurs r~elles de Be, tandis que pour les courbes en trait discontinu on a utilis6 les valeurs th6oriques de Bo.

I'-4B

/2o~

/=5A

Z cm

0

5

TO

15

20

0

5

10

15

20

Fig. 55

sur Ozc,

_ ~

/ 0

\ i

I Fig. 56

JSA

155

LES L E N T I L L E S Q U A D R U P O L A I R E S M A G N E T I Q U E S (I) 4.4. TO]POGRAPIvtlE D U G R A D I E N T , L O N G U E U R EFFICACE L G

Les mesures du gradient radial B', beaucoup plus seusibles aux inhomog6nies que les mesures de champ, conduisent dans le plan z -~ 0 aux courbes de la figure 57. Suivant OX, on voit que le gradient, d'abord constant pros de l'axe, cro£t lentement, passe par un m a x i m u m peu accus6, i B/Bo

|

trait plein sont obtenues k loartir des valeurs r6elles de B' 0. Suivant OX, on peut ici v~rifier la relation donnde plus haut entre L c et LG: on a bien en effet L e = LG lorsque d L c / d X = O. 4.5. I N F L U E N C E D E L A SATURATION

Quelle que soit l'intensit6 I, la toloogralohie du champ reste la m~me. Les mesures du gra-

aB_v 't.0,'t/" G//" 0

0.92

~.

0.~

O,.x

.L~T

sur 0-z'!4/:#AA

\

~+ surOXjXz=SA ~I=24A

} -x~._l.~

028

I

0.84 0.96

x, Xcm

0

1

2

3

0

4

Fig. 57

Fig. 59

(AB'/B' o ~ 2%) vers X = ~a, louis d6crott ensuite tr~s rapidement; l'6cart AB'/B' o atteint 25%, pour X = a. Dans la direction Ox, la d~croissance est constante, mais ne d6passe pas 6% sur le sommet des p61es. La zone pour laquelle AB'/B' o reste infdrieure & 5% darts routes les directions s'6tend donc jusqn'k r = 0.9 a; sans les sur6paisseurs latdrales des p61es, la chute de B' serait beaucoup plus rapide dans les directions OX, OY. La longueur efficace LG a 6t6 calculde & l'aide des rgloartitions K(z) de B', semblables k celles de la figure 58. Elle coincide avec L c sur l'axe; ses variations suivant O X et Ox sont diff6rentes: elles sont donn6es figure 59, oh les courbes ell

dient effectudes ~t la saturation le confirment: les points corresloondant & I = 33 A se placent bien sur la courbe de la figure 57 avec I = 5 A. L'exploration de la r6partition du flux ~ dans les pi~ces polaires en fournit l'exlolication. Nous avons mesur6 ~v dans les pi~ces polaires et la carcasse par la m6thode ddcrite pour Q1. Les rgsultats relatifs & ~p sont portds figure 56 pour I = 33A. Les raccordements des courbes all voisinage de la discontinuit6 de longneur de la piece polaire, puis de la carcasse, montrent qu'une pal-tie des lignes de champ pr6f6re se fermer darts Fair. Le point T de la figure 60 correspond au flux qui traverse effectivement la carcasse et qui devrait traverser la _

I

i

Bmoyeff Gs

"1c, 2X104

l.)e~it~ deflux O .~- ""~ (~-helfedegauche) ,-~"F"~+~. ~ ~,~ ~+~

/ ".]/q TC I

[B 1.5xlO4

104

/U •~ ' G~¢"

•~

100

150

o

Fig. 58

50

100

150

H

P

P

50

i

20

[ I I

Y'

rnaxwle]ls T~ K

I '

~fl~ ~ , .~1

~,0~ I (echelfe de droite)

II I|

~/1

F

....

Courbes ~h6oriques I I (sans saturaton ousansfuites) ~.1 Courbes reelles) m ~ 4~~]

II

I

I

P

40

50

80

Fig. 60

I 100

p 120

FI 140 mrn

156

PIERRE; GRIVET ET ALBERT

base de la piece polaire s'il n'y avait pas saturation. L'induction moyenne atteint E m = 2.3 web/ m Sk 6 cm environ de la carcasse, ce qui entralne la saturation de cette zone. Dans la carcasse, Bm est plus faible que pour QI:Bm = 1.55 web/mS, et cette carcasse n'est pus satur6e; la limitation est due ici aux pisces polaires qui sont en acier doux et non en Armco. Des pibces polaires plus courtes seraient plus avantageuses mais la diminution devrait d6passer 50%, ce qui ne permettrait plus de loger lm nombre suffisant de spires. L'emploi dn fer Armco permettrait de faire croitre 16gSrement Ba, qui est de 0.94 web/mS. I1 semble que la vaieur Ba = 1 web/InS, soit nne limite difficile ~ atteindre. La figure 61 montre les variations de ~0 telles qu'on peut les obtenir k l'aide des formules empiriques cit6es plus haut; l'dcart a v e c l a r6alit6 est faible pros du p61e, mais devient ensuite trSs grand.

SEPTIER

Les mesures montrent qne la saturation, m~me pour des pi~ces k section variable croissante, se produit loin des p61es. Dans les entrefers lat6ranx, l'induction locale Bm lie ddpasse pus 2 web/m2; nous l'avons v6rifid axe

~

Piece Polaire

•

C uPasse

2tBm/~,! i |

0

40

, 90

, 140

,~ x m m 190

~ig; 61

l'aide de spires de faible dimension coll~es star les angles eu regard des p61es N e t S: aucune saturation locale ne s'y produit. Par suite, Ia surface des p61es r este une surface ~quipotentielle magn~tique: les d~fauts des lentilles resteront les mSmes, quelle que soit l'excitation, ce qui permet leur ~tude ~ champ faible.