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Structures magnetiques anisotropes dans les spinelles
J. Phys. Chem. Solids
Pergamon Press 1970. Vol. 3 1, pp. 225 l-2266.
STRUCTURES
Printed in Great Britain.
MAGNETIQUES ANISOTROPES LES SPINELLES”
DANS
B. BOUCHER, R. BUHLt et M. PERRINt Service de Physique du Solide et de RCsonance Magnktique, Centre d’Etudes NuclCaires de Saclay, BP no 2,9 1, Gif-sur-Yvette, France (Received 2 1 November 1969) R&urn&-On dkveloppe une thkorie de champ mokulaire afin de dkterminer les configurations de moments magnktiques tnergttiquement stables en prisence d’anisotropie dans les spinelles cubiques et quadratiques. Les hypothtses de base sont: dans un spinelle normal contenant des ions magnktiques dans les sous-rbseaux A et B, les interactions A-B sont prkdominantes et anisotropes. Les moments A sont ordonnCs ferromagrktiquement et n’ont pas d’anisotropie, seuls les moments B possbdent une anisotropie locale. La maille magktique reste soit cubique faces centrkes soit quadratique centrte. Le
oti H, est le champ crCC par I’ensemble des spins S,. H,,lechamp exttrieur, [g”] et [Gk] sont les tenseurs representant les anisotropies locale et d’kchange relatives B I’ion Et, ils ont m&me symktrie que I’octakdre d’oxygtne. En minimisant I’tnergie la plus basse, on trouve ?I 0°K et champ extkeur nul une solution g&n&ale correspondant 5 une configuration non rkguliire des moments B. Les moments rksultants des sous-rkseaux A et B ne sont en gdrkral pas colinkaires. On d&it quelques cas particuliers de structures magnktiques possibles suivant des directions cristallographiques simples. L’Cvolution de quelques unes de ces configurations en presence d’un champ magnktique exttrieur est d&rite et, fait apparaitre des proprittks spkcifiques aux structures anisotropes. Ces propriktks ont CtOtrouvkes expkrimentalement sur quelques manganites spinelles. Abstract-A molecular field theory is developed to find the magnetic moment configurations which are energetically stable when anisotropy is present in cubic and tetragonally distorted spinels. The starting assumptions are: in a normal spine1 having magnetic ions in both A and B sublattices, A-B interactions are predominant and anisotropic. A moments are ferromagnetically ordered and have no anisotropy, only B moments have a local anisotropy. The magnetic cells remain either fc for the cubic or bc for the tetragonal spinels. The general Hamiltonian for the whole system of magnetsublatices is: X=-C
li [~cL~H~[G”ISB,+CL~H~[~“IS~,]-~~H~.S~
where H, is the field created by S, spins, Hothe external field, [G “1 and [R”] are the tensors representing exchange and local anisotropy for the Br ion, they have the same symmetry as the surrounding oxygen octahedron. By minimizing the lowest energy we find at 0°K and zero external field a general solution corresponding to a non regular configuration of B moments. The resulting moments of A and B sublattices are generally not collinear. Some particular cases of possible magnetic structures along simple crystallographic directions are described. The evolution of some of these configurations when an external magnetic field is applied, is described and this shows the specific behaviour of anisotropic structures. These properties have been found experimentally in some spine1 manganites. *Cet article recouvre une partie de la thtse de Doctorat d’Ctat de R. Buhl soutenue le 2 Juin 1969 ?I Paris (No CNRS: A033 14). tlaboratoire de Magnktisme, DCpartement de Recherches Physiques Facultk des Sciences, 11, Quai St Bernard, 75 Paris France.
1. INTRODUCTION
IL EST remarquable
de constater que toutes les thCories classiques permettant de dkfinir les structures magnktiques possibles soient basCes uniquement sur des considkations
22s I
JFCSVd31:NoI.F
2252
B. BOUCHER,
R. BUHL et M. PERRlN
d’itchange isotrope ~f~~rna~~tisme de Nkel [13* de Yafet et Kittel[2], structure en ‘ktoile’ [31 ou h&mag&isme [4I). L’anisotropie ne joue alors que ie rcile d’une perturbation venant soit determiner la direction de facile aimantation dans le cristal soit faire dCvier I~g~rement les moments par rapport B un antiferromagnktisme rigoureux comme dans le cas de NiF, trait& par Moriya [5]. La plupart des compost% de la sCrie des manganites spinelles de formule MeMn,O, posskdent une t&s forte anisotropie fpar example Me = Co [C;], Gr [?I, Fe@] ou Mn [97). Leurs structures magnCtiques ne sont pas simples et certaines de leurs propriCk% obligent B penser que I’anisotropie a un r61e dkterminant dans la stabilitk et la configuration des motifs magnCtiques dans le cristal. Nous d6veloppons done ici une thkorie de champ mokulaire f&ant intervenir les anisotropies locale et d%change comme facteurs de base pour la d~te~ination des structures magrktiques possibles dans fes spinelles cubiques et quadratiques. 2. GENERALITE-S ET ~~~~T~~~S DE BASE Now ne considkrerons ici que les spinelies dont la maille magnCtique reste B 0°K cubique faces centrCes ou quadratique centrke. II n’existe done que deux sowrkseaux magnCtiques A: M, et M2 (sites Gtraedriques) et quake B: MS, M4, M5 et iV6 (sites octoddriques). Dans un spinefte cubique on quadratique contenant des ions magrktiques dans chaque sous-r&eau, on fait les hypoth&ses suivantes: f I> Les sites tetrabdriques A sont occup~s par une sorte d’ion dent les moments sont ordon& ferromagn&iquement et ne possb dent pas d’anisotropie locale. (2) Les sites octakdriques B sont occupCs par une autre sorte d’ion dont les moments poss&dent une anisotropoe locale. (3) Les interactions d’khange prkdominantes sont les interactions A-B, elles sont anisotropes. fft faut noter que l~introdu~t~on d’interactions B-B isotropes ne modifie pas
qu~tativement fes r&&tats et pour simplifier les calculs, elles seront done nkglig6es), Dam ces conditions, I’Cnergie d’interaction entre un moment magn&ique Bk (de spin SBk) et la champ HA crCC par l’ensemble des spins du sow-kseau A est: --PBH&WS~~
(1)
H, est proportionnel B S, et [Ck] est le tenseur reprksentant f’anisotropie d’Cchange A-B et relatif B I’ion &_ En prt5sence d’un champ extkieur @>, le ~amiltoniel~ de l’ensemble des sous-rt?seaux magn$tiques s’kcrit: X=-q
[~BHA[G~ISB~+~~HO[~~IS~~] - PBH, . SA
(2)
[gk] &ant le tenseur d’anisotropie locale d’un ion Bk. L’kergie minimum par rapport aux spins sB et exprim&e en fonciion des composantes sur les trois axes est:
Soit lorsque le champ extkrieur est nul:
En mi~imis~t cette knergie par rapport B W, if est done possible de determiner B 0°K et li champ nul les solutions possibles pour HA puis de calculer Ies moments MB et ainsi de dkfinir compl&tement les configurations magndtiques possibles. Dam le cas des spinelles, l’octddre d’oxyg&e entourant un ion B n’a pas ia sym&rie idbale ~~(4~~(~~2~~) mais ii est ddforme et ne posdde plus qu’une symbie trigonale L),d(Sm) dans le groupe d’espace cubique Oh7(Fd 3 m) I ou monoclinique
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
C,,(2/m) dans le groupe quadratique 0:; (14,/2md). Connaissant la symetrie du site, il est possible de determiner la forme des tenseurs G et g qui ont mCmes axes. La forme la plus generale correspond Cvidemment a la symetrie la plus faible, c’est-a-dire ici a C,, dans le cas du spinelle quadratique. Spinelle quadratique
En prenant pour axes de reference de l’octaedre: l’axe binaire: Ox correspondant d’ailleurs a la direction [ 1001 de la maille, les deux autres axes sont contenus dans le miroir m et sont pris de la man&e suivante: Oy parallele a la direction[O lo] et Oz parallele a la direction [00 11. En appliquant au tenseur le plus general (9 composantes non nulles) les operations de symetrie de l’octaedre, il apparait des simplifications qui conduisent au tenseur representant l’anisotropie dans un octaedre de symetrie 2/m:
Spinelle cubique
L’octaedre ayant une symetrie plus &levee: Trn, la forme du tenseur d’anisotropie doit etre plus simple. Prenons en effet comme axes de reference: Ox: l’axe binaire perpendiculaire au miroir contenant l’axe 5 Oy: l’axe 7 et Oz: l’axe perpendiculaire aux deux premiers.
5m:
2253
SPINELLES
kl = 0 $2g2,+g11) Ofi
0
0
g11
$g22-g11)
VT +T22-g11)
$g2,+2g1,) I
tenseur a exactement la meme forme que celui determine pour les spinelles quadratiques, seules des relations entre les composantes en reduisent la generalite. En conclusion, il suffira de traiter en detail le cas des spinelles quadratiques puis de voir si les particuliarites du systeme cubique entrainent des modifications aux resultats.
ce
a la meme forme.
En appliquant les operations on est conduit au tenseur I’anisotropie dans un octaedre
LES
[g] a done une forme extremement simple dans ce systeme d’axes propres a l’octaedre. Les operations de symetrie de la maille cubique faisant passer d’un octaedre a l’autre ne sont malheureusement pas d&rites dans ce systeme de reference. 11 est done necessaire d’effectuer un changement d’axes de l’octaedre afin de d&ire son anisotropie dans un systeme commun a celui de la maille. Au lieu de prendre comme axes de reference trois directions de la forme [loo], il est plus avantageux de prendre les axes: Ox parallele a la direction [ 1101 , Oy// [ 1 lo] et Oz// [OOl ] . (Ces axes dans le systeme cubique faces centrees correspondent a ceux que nous avons pris pour le systeme quadratique cent&). Dans ce systeme de reference le tenseur [g] devient:
I [G]
DANS
de symetrie representant de symetrie
3. STRUCTURES POSSIBLES
MAGNETIQUES ANISOTROPES A 0°K ET A CHAMP NUL
(3.1) Cas gtntral (3.1.1) Spinelles quadratiques. Les ions Bk porteurs des moments MS, M, etc.. . sont definis par leur position dans la maille du groupe 0:; (origine a 2 m2) B3(0,&$); BAO, $, 8) ; B,(k O,#) et B&
0,8).
En tenant compte de la symetrie quadratique da la maille et en l’absence de champ magnetique exterieur, l’energie s’ecrit:
2254
B. BOUCHER,
[
R. BUHL
~GdL2+ (G,,H,+
Pour determiner la direction stable de HA, il suffit done de minimiser cette Cnergie. En tenant compte du fait que HA2 = 2 (HA*)2 on obtient:
et M. PERRIN
G23HzY+ (G&f,+
Gs,H,)~
I
correspondante des moments des ions B afin de d&-ire completement la structure magnetique. On peut determiner les composantes des moments MB en ecrivant: MB, = I: g&S& J
- (GzzGm+
GrzGxx)
+ (G,,G,,+
GzGxA
(ce qui oblige a calculer les composantes des spins) ou bien, ce qui revient au meme. en derivant directement l’expression de l’energie d’un ion B par rapport au champ exterieur. L’energie d’un ion B est:
H,
+ (C&$-G;,-G;,-G;,)
& = -/-+,Se j/T
X (H+)
[F (H,iJG:+H&$i,]?
(7)
(6)
Les compostantes aE/aH,
a exactement la meme forme, il sdffit de permuter H, et H, . cx,p, y et 6 sont respectivement les quatre racines carrees contenues dans l’expression de l’energie (equation (5)). Les conditions necessaires aE/aH, et aE/aH, = 0 ne sont pas des relations simples et il existe a priori, une solution generale oti H,, H, et H, sont tous differents de zero. On voit done que pour un systbme de Gij et g, donne. il existe une configuration magdtique dont l’energie est don&e par l’equation (5) en remplacant H,, H, et H, par les valeurs qui annulent aE/aH, (equation (6)). Supposons done stable une telle solution g&r&ale definie par les composantes HAL et, cherchons a determiner la configuration
M3x =vG:,H,‘+
d’un moment M, sont:
-aE, M’,,=m
=
T
s;[7
d 7 [T
W,qJG;+ H,jt#] (H,jG;
+ H,;g;,jP
(‘)
Soit lorsque le champ exterieur est nul:
Nous pouvons done Ccrire par example les composantes du moment de l’atome B, 21 champ exterieur nul et dans le cas dune solution g&r&ale:
g,,G,,H, (G,,H,+
“S”.
G23H,)Z+
(G,,H,+
Gs3HZY pBSe’
(10)
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
DANS
LES SPINELLES
2255
(11)
(12)
La structure magnetique correspondant au cas gCn&aI est done caracterisee par une configuration pyramidaie des ions des sites B. La base de cette pyramide est de for-me trapezoidale irrCguli&re et les longueurs des moments des ions B ne sont pas identiques. On vCrifie aisement que la resultante Rs des moments B n’est pas colineaire &S,+ La forme de la pyramide, les longueurs des moments B et l’angle de RB avec SA sont des fonctions de la direction de Ha dans l’espace cristallin. On voit done que dans le cas general ii peut exister dans les spinelles quadratiques des structures ma~~tiques non colineaires t&s complexes lorsque I’on tient compte des anisotropies locale et d’echange. (3.1.2) Spinelles cubiques. Un calcul analogue a celui effect& dans le cas du spinelle quadratique mais en considerant cette fois les tenseurs d’ansisotropie relatifs aux spinelles cubiques conduit aux conditions d’equilibre:
Ces equations sont une forme simplifiee de l’bquation (6) et il existe done a priori une solution g&r&ale ou H,, H, et H, sont tous differents de zero. On obtient les composantes des moments de la meme facon que pour les spinelles qu~ratiques et la structure magne-
tique aussi definie est tout a fait semblable a celle deja d&rite dans le quadratique. (3.1.3) Remarques. Les configurations magnetiques possibles dans le cas general sont t&s complexes et I est diflkile de suivre leur comportement en presence d’un champ magnetique exterieur. 11est done plus avantageux de d&-ire quelques cas particuliers plus simples se rapprochant de resultats experimentaux. 11 faut remarquer Cgalement que les equations dE/aH,= dE/aH,= 0 conduisent a des relations de la forme:
et ceci pour un quart de l’espace du cristal. A un systeme H,, H,, H, minimisant l’energie, correspondent done dans le cas general: 16 directions equivalentes de HA B chacune desquelles est associee une structure magnetique semblable et d’energie Cgale mais les dispositions relatives des moments des ions I3 ne sont pas les me^mes quand on passe d’une direction de H, d we autre. Ceci
est t&s facile a verifier en calculant les com~santes des moments des sites B pour les differentes directions possibles de HA. Les domaines magnetiques existant ZS champ exterieur nul dans un monocristal ne sont pas uniquement caracterises par une direction de facile aimantation mais aussi par une configuration propre des moments des ions B. 13.2) Solutions particufit?res: H, = 0 Nous allons d&ire ici quelques solutions particulieres proches de rksultats experimentaux.
1256
3. BOUGWER,
R. BUHt
(3.2. I ) S~~~~~~~~~~~~~~~~~~@S~ Supposons que 16% vafeurs des parametres G,- soient felles qu’une structure magnetique ait son dnergie minimale pour H, = 0. Les equations (4) et (5) n’entrainent aucune solution particuliere pour H, et H,. La direction de HA done de SA est eontenue dans le plan (010). Cherchons pour une direction donnie de HA quelle configuration adoptent les moments B. II sufft de calculer Ies composantes de chacun des moments B: (cf. equations IO-I f et 12). On obtient ies relations: I M,” = III,” ’ MaY= -M,” et M,” = M6v = 0 Maz = M,” Mszr Msz, M$ et MeZ ont des valeurs toutes distinctes et different aussi de celles des composantes de A& et M4. La structure ma~~t~que correspondante est done caracterisee par la conjuration des moments B suivante:-Les moments M3 et M4 sent de longueur 6gaIe et sent disposes symetriquement par rapport au plan (0 10). - Les moments M5 et Me ne sant pas de longueur egale entre eux et n”ont pas non plus celle de M3 et M,; ils sont contenus dans le plstn (0 10). -Les resultantes: M3 -t M4 et MB-t M6 contenues dans k plan (0 IO) ne sent pas colineaires entre ehes et aucune ne Pest non plus avec SA. Le resultante gentkale RB = Ma-+M4+ MS-FM6 n’est pas non plus colinC&e B SA_ La configuration magndtique correspondant A N, = 0, representee Fig. 1, est danc de type pyramidal distordu et elle n’admet comme element de symetrie qu’un plan (010). Cette structure extremement complexe a et& trouvee experimentalement dans le cas de FeMn,O, [&I bien gue la diffraction des neutrons sur poudre n’ait pas permis de rafhner les param&es.
et M. PERRIN
M4&c
Hyz 0
Structure Magnitiqua
Fig. 1. Configuration magnktique en forme de pyramide distordue correspondant 21la solution H, = 0, H, et H, diffihnts de zkro.
pond B un minimum de l’energie, l’equation la condition de stabihte devient:
( 11) qui represente
I1 n’y a pas de relation simple entre H, et H, et il peut done exister une solution dans le plan H, ==0, c’est-&dire en revenant au systbme d’axes naturels du cube, dans les pkns de ia forme f 1 IO). En cafcuiant de la meme man&e que pr~~~demment ks composantes des moments des ions B pour une direction don&e de fi, dans le plan N, = 0, on trouve exactement les memes relations que dans le cas des spinelles quadratiques (cf: 3.21). La configuration des moments magnetiques est done tout A fait semblable & celle trouvee dans le cas precedent et la Fig. 1 qui la represente dans le cas general quadratique est Cgalement valable pour k cubiqne a condition de remplacer Les axes cristailo~ap~ques [loo] et fO1O] du systeme quadra-
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
tique par [ 1 lo] et [l lo] resp~ctivement, pour le systeme cubique. (3.2.3) Remarques. 11est interessant de voir que darts le cas oii H, = 0 est une solution stable, les spinelles cubiques et quadratiques se comportent de la meme man&e. 11 existe des solutions encore plus particulibres dans ce plan: celles qui correspondent a des directions cristallographiques simples: [loo] et [OOl] dans le quadratique et 11 lo], [ 1111 et [00 l] dans les spinelles cubiques. (3.2.4) La direction [loo] du quadratique (ou [l lo] du cubique) est caractk-isee par la relation supplementaire: H, = 0. En annulant done N, dans l’expression des composantes des moments B, on est conduit aux relations suivantes:
et
DANS
2257
I-ES SPINELLES
Fig. 2. Configuration magn6tique co~espondant % ia solution particuli&e H, = H, = 0 et H, = H4.
La structure particuliere correspondante est done caracterisee par un arrangement pyramidal regulier des moments B (de longueur identique) d’axe de symetrie [OOl]. La resultante des moments B est colineaire a SA. Cette configuration magnetique est representee Fig. 3.
MS1 = Msz Msy = MGg = 0. j MS2 = -M$
La structure magnetique correspondante est beaucoup plus simple que dam le cas general, en effet: -1es moments M3 et M4 (de longueur egale) sont colineaires a SA suivant l’axe Ox (direction [ 1001 du quadratique ou [ 1101 de cubique)-les moments MS et MS sont dans le plan xOz et symetriques par rapport a l’axe Ox. Cette configu~tion magnetique est reprkentee Fig. 2. (3.2.5) La direction [OOI] (cubique et quadratique) est caracterisee par la relation supplementaire H, = 0 qui entraine pour les composantes des moments B les relations suivantes:
Fig.
3.
Configuration magnetique H,= cr,=O,H,=H,.
correspondant
&
(3.2.6) La direction [l 111 dans le systeme cubique est une direction t&s particuliere qui n’a pas d’equivalent dam le sysdme quadratique. Elle est caracteride par la relation H,= vIzH,= (%5/X&f,. I1 est interessant dans ce cas d’expliciter les ~om~santes des moments M, :
fO deux en supposant (G:, -G~z-G&J solutions sont ividentes: III H, = 0 qui, joint B H, = 0, conduit a une solution tout B F&t semblabie ci cetfe dCcrite pour H, = H, = 0 t voir 32.43 f2) f/n - II@= 0 ceci entraine H, = H, = H.&E Les moments SA sent done dirigh su~v~t une d~re~~o~ [ f f S] du spiueife quadrat~que. Les ~orn~s~~tes des moments B corresOn constate ~rnrn~d~~terneut que MS est co&l&tire g SR et si I’oa caIcu~e la r~sultante pondant B cette so&ion ob&sent aux relagkmk& des moments B: RB = Ma-i-Md-I-M5 tions: -i-Mfsan la trouve ~galement ~o~i~~~~re 21S,. M,” = M,” = M,” = Iv@” Gette structure rna~~t~que est done ext~~m~rne~t eurieuse car bian que Ies i moments 13 soient de ~o~ue~~ in&ale et occupent des positions non p~~c~~~~r~s ni dans t’espaee wistdfin ni par rapport B SA &auf M& feur r&&t-ante RP)est aligr&e avec Sa+C&e ~ou~~~t~ou est ~~r~se~t~e Fii. 4, &que a done les caratLa ~t~~~re t~~stjques suivantes: (?,3) ~~t~~~~~F~~ ~~r~~~~t~~P~~ w, m 0 (a) les rnorn~~ts des sites A sont parali&Ies XJ m intkessant de voir quelles s~I~tio~s B la direction [ I 1Q] pwvent exister lorsque I’&~ergiedu systt?me (b) ies rno~~~~ts des sites 3 -de longueur est minimum pour H, = 0 c’est-h-dire SAdans identique- sont divisCs en 4 sous-rkseaux un plan de base. formant une pyramide d’axe [I 101 et comportant camme plans de symh-ie les plans fOO1) et f 110). Cette ~o~~g~t~o~ est repr6senEk Fig, 5. (3*3.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~*~_3~q~~t~o~ ~~qu~~~~re~~~~~~ = 0 se red& ici ‘a:
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
DANS
2259
LES SPINELLES
Msx = M,Y
Mz,l= MS11
! 1 M,” = Mgx
et
MsY = MGZ
Fig. 5. Configuration magnktique correspondant solution H, = 0 et H, = H, = H,/X/2.
B la
MdY = M,“. M,” = MS2
Les moments B forment done une pyramide de base trapezo’idale admettant le plan ( 110) comme plan de symetrie. La forme de la pyramide est d’ailleurs fonction de sa direction dans l’espace ( Fig. 6). Les solutions limites correspondent d’une part a S,]][OOl] et celle-ci a deja CtC d&rite en (3.2.5) et d’autre part a S,]([llO] Cgalement deja d&rite en (3.3.1).
(Gf,--G:,)H,(;-;) =0. Les deux solutions trouvees dans le cas du systeme quadratique se retrouvent ici, les configurations magnetiques correspondantes sont les memes et il suffit de changer les directions [ 1001 et [ 1101 du quadratique en [ 1101 et [ 1001 respectivement pour etre dans le systeme d’axes cristallographiques naturels du spinelle cubique.
X
Fig.
6.
Configuration H,=
(3.4) Solutions particuli~res H, = H, (3.4.1) Spinelfes quadratiques. La condition d’equilibre dE/aH, = 0 s’ecrit dans ce cas: (G:,+G;,+G;,-2G;,-2G;,)
+(G,,G,,+G,,G,,)(~-~)(H,-~)
(
d+;
)
H,
=0
(15) en appliquant la relation HA2 = 2Hx2 + Hz2 ne conduit pas a des solutions particulieres en H, ou H,. I1 existe done une
qui meme
solution generale correspondant a une direction quelconque de SA dans le plan ( 110). La configuration des moments des ions des sites B correspondant A une direction don&e de SA est caracterisee par les relations suivantes:
(3.4.2)
magnetique H,etH,
Spinelles
correspondant
B
# 0.
cubiques.
La condition
d’equilibre se reduit a: (Gf2-G:I)(H,-~)(;-;)
= 0
ce qui conduit a deux solutions seulement: (1) l/a-- l//I = 0 qui entraine HZ = 0. Ce casadejaCtCdCcriten(3.3.l)et(3.3.2. (2) Hz- 2H,*/H, = 0 soit H, = $ 2 H,. Dans ce cas SA est dirige suivant une direction [ 1011 de cube. Cette solution est Cvidente car elle est tout a fait semblable a celle trouvee pour une direction cristallographique Cquivalente: [l lo] en (3.3.1) et (3.3.2). 4. REMARQUES
L’etude des structures magnetiques possibles engendrees par l’anisotropie dans les
2260
B. BOUCHER,
R. BUHL
spinelles quadratiques et cubiques et dans le cadre des hypotheses formulees au debut du chapitre II, montre qu’il existe des configurations de spins non colineaires et m&me parfois trits complexes. L’interet de ce dkveloppement est qu’il demontre qu’il n’est pas besoin de considerer des interactions BB du meme ordre de grandeur que les interactions AB pour qu’existe une structure non-lineaire et en particulier une structure de type YafetKittel teas particulier d’une structure pyramidale). 11 est tres important de remarquer qu’a une structure magnetique anisotrope don&e dans une direction donnee et diterminle par son correspondent d’autres structures Cnergie, d’energie &gale dans des directions cristallographiques Cquivalentes. Mais les dispositions relatives des moments des quatre soasrheaax B sont d@&wztes (cf. 3.1.3). 11 n’est
pas possible de retrouver ce resultat par un calcui de champ moleculaire sans tenir compte de l’anisotropie. Or des etudes experimentales par diffraction de neutrons [6-S] ont montrC indiscutablement que les configurations des moments B dependaient de leur direction dans le cristal. La determination de structures par le calcul expose ici entraine automatiquement l’existence d’anisotropie. Ceci peut sembler evident mais montre bien la difference d’origine de structures non-lin~~res et partant de Ieurs propriCtCs. Celles ayant pour origine l’anisotropie, en comportent obligatoirement alors que celles ayant pour origine de fortes interactions BB ne peuvent avoir qu’une anisotropie faible, sinon on retombe automatiquement dans le traitement precedent. Le comportement de ces deux types de structure est t&s different lorsqu’un champ exterieur est applique comme nous allons le voir au chapitre suivant et ceci est un critere de distinction.
et M. PERRIN
5. COMPORTEMENT D’UNE CONFIGURATION MAGNETIQUE ANISOTROPE EN PRESENCE D‘UN CHAMP EXTERIEUR
Les ~onfi~rations ma~~tiques anisotropes que nous venons de definir sont etroitement likes a leurs directions dans l’espace cristallin, it est done tres interessant de suivre leurs comportements lorsqu’un champ magnetique exterieur est applique et les force a changer leur o~entation. (5.1) Cas ge’ndral Nous avow deja k-it l’energie minimale par rapport aux spins Ss en presence d’un champ exterieur: equation (3). I1 est possible de determiner la direction stable de S4 en presence de champ exterieur, en minimisant cette energie par rapport a SA tou HA) et en procedant de la m&me faGon c’est-a-dire en derivant par rapport aux composantes sur les axes, on aboutit en tenant compte de la 2 CS,4*)z= S.,* a deux equations: ~~~~S,~x= 0
e\ dE/aS,+ = 0 par exemple, qui donnent directement la relation entre SA(ou HA) et H,,, par l’intermediaire de leurs composantes. Dans le cas general ces relations sont extr~mement compliqu~es mais permettent theoriquement de resoudre completement le systbme en fonction de la valeur de H,,. 11 devient en effet possible de calculer ensuite toutes les composantes des divers moments M, qui s’ecrivent:
7 g,j T (HA”G,j$-Ho”g,j) = LLR 4 7 [7 (N,‘G,+H,‘g,)]zS,;16) Pour donner une idee de la complexite des expressions ecrivons par exemple la compoSante du moment M, sur Oz dans le cas d’un spinelle quadratique:
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
Toutes les autres composantes sont aussi compliquees et il n’est pas interessant de vouloir discuter dans le cas general. 11est par compte beaucoup plus facile de voir ce qu’il se passe lorsque le champ magnetique est applique suivant des directions cristallographiques simples et dans des cas de configurations magnetiques correspondant a des solutions particulieres a champ nul. Les cas que nous allons Ctudier sont pris dans le systeme quadratique et proches de resultats experimentaux qui seront publies prochainement: (a) cas de la structure pyramidale distordue de plan de symetrie (OlO), Ho &ant applique suivant la direction [0 lo] (b) cas de la structure pyramidele d’axe [ 1 lo], le champ H, Ctant applique successivement suivant les directions [OOl] et [loo]. (5.2) Structure pyramidale distordue de plan de syme’trie (010) Cette structure definie au section (3.2.1) et represent&e Fig. 1 est caracterisee par la seule condition particuliere a champ nul: H,=O.
(5.2.1) Ho paralkle 2 la direction [OlO]. Les composantes Hf et Hoz du champ I-&,sont nulles. En appliquant les conditions d’equilibre aE/aH,j = 0, on ne trouve pas de relations simples entre les composantes de HA et celles de I$, mais il est tout de meme possible de d&ire le type d’evolution de la structure magnetique en Ctudiant les variations avec HA et H,, des diverses composantes des moments magnetiques B. Sans entrer dans les calculs compliques, la Fig. 7 donne quelques phases de l’evolution de la configuration des moments B lorsque H, croit. On peut voir que la pyramide qui existait a champ nul se transforme complbtement au fur et a mesure du changement de son orientation pour aboutir finalement quand H,, devient grand par rapport a l’anisotropie a une configuration limite analogue a celle deja trouvee en (3.2.4)I f Fig. -Y 2). I
DANS
2261
LES SPINELLES
(5.3.) Structure pyramidele d’axe [llO] Cette structure a CtC definie au paragraphe (3.3.1) et est caractk-isee a champ nul par H,=OetH,=
H,=H&%
(5.3.1) H, paralkle ci la direction [OOl]. On a e’videmment dans ce has H,‘= H,Y = 0
En remplacant dans l’equation 3 les composantes sur Oy de HA (et S,), en fonction de celles sur Ox et 02 et en appliquant les conditions d’equilibre, on voit immediatement rend identiquement nulle que H, = H, l’equation aE/aH, et qu’alors l’equation aE/aH, = 0 donne une relation entre HA et H,. L’on voit done bien que partant dune structure dirigee a champ nul suivant la direction [ 1 lo], l’application d’un champ magnetique suivant la direction [OOl] fait deplacer S, dans le plan (TlO) (c’est-a-dire H, = k, quel que soit H,) puisque cette solution correspond au minimum de l’energie. Sans Ccrire ici les expressions detaillees des composantes des moments B on a toujours entre elles les relations suivantes: M,” = Msu
M,” = M,” Msu = M,”
i MS2 = M,”
et
Mz,#= MsX.
1 M4%= Msz
La configuration magnetique reste done toujours symetrique par rapport au plan (ilO). La Fig. 8 presente quelques Ctats intermediaires de la configuration des moments B en fonction de l’intensite croissante de H,,. Lorsque Ho est devenu suffisamment grand par rapport a l’anisotropie les relations entre composantes des moments deviennent a la limite:
c’est une pyramide de base cake pour axe de symetrie la direction
et ayant [OOl]. La
B. BOUCHER,
R. BUHL
et M. PERRIN
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
Ho
Ho= 0
Ho crowant
croissant
DANS
2263
LES SPINELLES
-
Ho grand
_.+
Fig. 8. Evolution de la configuration des moments B- d’une solution H, = du champ exttkieur Ho appliqud suivant la direction [OOl] d’un spinelle quadratique.
0 et H, = H, i champ nul- en fonction de I’intensitk croissante
disposition des moments est tout a fait analogue a celle de la structure d&rite en (3.2.5) (Fig. 3). L’kvolution de la structure entre les deux tin&es correspondant a H, = 0 et II0 grand est intkessante a suivre. En effet, on peut tout d’abord remarquer que M.,” et MgL s’annulent pour une certaine valeur de champ, ceci est nature1 car les moments M, et M5 ttaient au-dessous du plan de base a champ nul. Pour une autre valeur du champ applique, h4,” et MS2 s’armulent, les moments M, et M5 sont contenus alors les plans (0 IO) et ( 100) respectivement; les moments M3 et M6 sont toujours symetriques par rapport au plan
H, suivant la direction [loo] la composante H, restant nulle correspond bien au minimum de l’energie puisque ~E~~H~ est identiquement nul quel que soit Ho et aE/aH, = 0 donne la relation entre HA et H,. Lorsque l’on fait croftre le champ exterieur depuis une valeur nulle, les moments des sites A restent done dans le plan (00 1). Sans expliciter ici les valeurs des composantes des moments B en fonction du champ exterieur, les relations suivantes sont toujours verifiees: M,” = - M,Y =
=
MS”
M," et d MS8 =
M,”
M,5
Msz = -M$
‘M,”
Msr = -M,“.
La configuration magnetique admet done toujours le plan (00 1) comme plan de symetrie quelle que soit la valeur de Ho. En supposant Ho suffisamment grand par rapport a I’anisotropie, les composantes des moments B deviennent B la limite:
2264
B. BOUCHER,
MsX= MdE= g, 1/usB Mzu= M,“=O
MsX=
et
Msz=Mdz=O
( MSu=
R. BUHL
M6X
M6y= 0
MSZ= -MGr
Msx et M,” sont des fonctions de H,,. Les moments M3 et M4 tendent a devenir tous deux paralleles a la direction [ 1001 alors que les moments M5 et M, viennent se placer symetriquement par rapport a la direction [ 1001 dans le plan (010). L’angle entre M, et la direction [ 1001 est fonction de l’intensite de H,. La Fig. 9 schematise le comportement de cette configuration tel qu’il vient d%tre decrit.
Ho=0
HofO
Fig. 9. Evolution de la configuration
et M. PERRIN
structures de meme Cnergie dirigees suivant des directions Cquivalentes de l’espace cristallin. Ces structures sont globalement identiques, la seule difference &ant que pour chaque direction existe un arrangement different des moments B. 11 est evident et tres facile de verifier par le calcul, que les deformations des structures tquivalentes sous l’action d’un champ exterieur dirige de la meme man&e relative par rapport a chacune d’elles, sont les memes. 11 suffit dans chaque cas de considerer la configuration de moments B correspondante. Si maintenant au lieu d’examiner l’action d’un champ dirige de la meme maniere relative par rapport a des structures equivalentes,
Ho grand
des moments B-d’une
solution
H, = 0 et H, = H, B champ nul- en fonction de l’intensitk. croissante
du champ extkieur
Ho applique suivant la direction [ 1001 d’un spinelle quadratique.
(5.4) Remarques L’evolution des configurations magnetiques en presence d’un champ exterieur n’a ete d&rite ici que dans quelques cas particuliers et il faut bien noter que les figures qui les representent, ne sont que des modeles. En effet, les valeurs relatives des parametres g, et Gti conditionnent les deformations de la structure et peuvent Cvidemment modifier l’ordre de la succession des phases intermediaires comme par example celles de la Fig. 8. D’autre part, nous avons toujours examine des structures contenues dam un seul octant de I’espace cristallin. Or comme nous l’avons deja fait remarquer, il existe naturellement des
envisageons l’action d’un champ sur un monocristal. Pour plus de simplicite prenons un spinelle quadratique ayant la structure magnetique definie au (3.3.1) c’est-a-dire une pyramide d’axe [ 1lo]. Dans un monocrista d’un tel done quatre domaines spinelle, existent aux quatre correspondant magnetiques directions Cquivalentes a la [ 1 lo], chacun de ces domaines est caracterise par une configuration de moments B ( Fig. 10). Appliquons le champ exterieur H,, suivant la direction [ 1001. La structure dirigee suivant la [ 1101 va se comporter comme cela a CtC d&it Fig. 9. La structure dirigee suivant la direction [ liO] (qui n’a pas le meme groupement de moments: M, et M, sont permutes) subit les mQmes
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
DANS
LES SPINELLES
2265
11 y a done une solution de continuite dans l’espace entre les structures equivalentes qui se transforment l’une en l’autre si le champ magnetique exterieur les oblige a changer de direction. 6. CONCLUSION
Fig. 10. Disposition des moments MB, dans les quatre configurations d’energie &gale mais dont les axes de symetrie a champ exterieur nul sont les quatre directions cristallographiques Cquivalentes de la forme [ 1 IO] dans un spinelle quadratique.
deformations globales mais par rapport a la precedente: M3 et M4 sont constamment symetriques de leurs homologues par rapport a l’axe [1001,M, et M, eux, sont toujours symetriques de leurs homologues par rapport au plan (010). Lorsque H,, est devenu suffisamment grand, les deux structures sont confondues dans le plan (010) (cf. Fig. 9). De la mCme maniere, il est aise de voir et de calculer que les deux autres - structures dirigees suivant les directions [ 1 lo] et [ilO] se rapprochent progressivement des plans t 100) et (0 10) respectivement, passent par les directions [ 1101 et [ilO] respectivement ou elles retrouvent des groupements de moments analogues a ceux des structures qui y existaient a champ nul et enfin viennent se confondre avec les deux autres dans le plan (0 10) pour ne plus former qu’un monodomaine de structure magnetique unique.
Dans le cadre d’hypotheses simples, il a CtCdeveloppe un calcul de champ moleculaire qui fait intervenir l’anisotropie comme Clement principal dans les spinelles cubiques et quadratiques. Parmi toutes les solutions get&-ales ou particulieres d&rites ici, une seule peut naturellement exister dans un cas donne: c’est celle ayant l’energie minimale. 11 eut CtC possible de faire une discussion suivant les valeurs relatives des GU et gij sur les domaines de stabilite des differentes structures, mais les expressions sont si compliqdes qu’il et3 CtC sans interet de formuler des inegalites trop complexes. L’interet de ce developpement est qu’il permet a partir de structures- solutions des equations d’equilibre - d’analyser leur comportement en presence d’un champ exterieur, ce que ne permet pas la theorie des groupes. L’etude de l’evolution des configurations magnetiques quand un champ est applique montre bien la difference entre des structures definies sans tenir compte de l’anisotropie et celles ou l’anisotropie est un facteur de base. Une structure telle que celle definie par Yafet et Kittel par exemple ne peut avoir ces proprietes et nous verrons que dans le cas des manganites spinelles [lo], l’expkience confirme l’existence d’un tel comportement. -Nous remercions Monsieur le Professeur Herpin qui a suivi de prts ce travail et Monsieur Meriel qui nous a aides par de nombreuses discussions. Remerciements
REFERENCES 1. NEEL L.,Ann. Phys. 3,137 (1948). 2. YAFET Y. and KITTEL C., Phys. Rev. 87, 290 (1952). 3. BOUCHER B., BUHL R. and PERRIN M., J. Phys. Chem. Solids 31.3 ( 1970). 4. VILLAIN J.,J. Phys. Chem. Solids 11,303 (1959). 5. MORIYA T., Phvs. Rev. 117,635 (1960). 6. BOUCHER B.; BUHL R. and PERRIN M., J. appl. Phys. 39,632 (1968).
2266 7. BOUCHER Chem. Solids 8. BOUCHER J. uppl. Phys.
B. BOUCHER,
R. BUHL
B.. BUHL R. and PERRIN M.,J. Phys. 31,363 ( 1970). B., BUHL R. and PERRIN M., 40,1126 (1969).
et M. PERRIN
9. DWIGHT K. and MENYUK N., Phys. 1470(1960). 10. BOUCHER B.. BUHL R. and PERRIN published.
Rec.
119,
M., to be
Pergamon Press 1970. Vol. 3 1, pp. 225 l-2266.
STRUCTURES
Printed in Great Britain.
MAGNETIQUES ANISOTROPES LES SPINELLES”
DANS
B. BOUCHER, R. BUHLt et M. PERRINt Service de Physique du Solide et de RCsonance Magnktique, Centre d’Etudes NuclCaires de Saclay, BP no 2,9 1, Gif-sur-Yvette, France (Received 2 1 November 1969) R&urn&-On dkveloppe une thkorie de champ mokulaire afin de dkterminer les configurations de moments magnktiques tnergttiquement stables en prisence d’anisotropie dans les spinelles cubiques et quadratiques. Les hypothtses de base sont: dans un spinelle normal contenant des ions magnktiques dans les sous-rbseaux A et B, les interactions A-B sont prkdominantes et anisotropes. Les moments A sont ordonnCs ferromagrktiquement et n’ont pas d’anisotropie, seuls les moments B possbdent une anisotropie locale. La maille magktique reste soit cubique faces centrkes soit quadratique centrte. Le
oti H, est le champ crCC par I’ensemble des spins S,. H,,lechamp exttrieur, [g”] et [Gk] sont les tenseurs representant les anisotropies locale et d’kchange relatives B I’ion Et, ils ont m&me symktrie que I’octakdre d’oxygtne. En minimisant I’tnergie la plus basse, on trouve ?I 0°K et champ extkeur nul une solution g&n&ale correspondant 5 une configuration non rkguliire des moments B. Les moments rksultants des sous-rkseaux A et B ne sont en gdrkral pas colinkaires. On d&it quelques cas particuliers de structures magnktiques possibles suivant des directions cristallographiques simples. L’Cvolution de quelques unes de ces configurations en presence d’un champ magnktique exttrieur est d&rite et, fait apparaitre des proprittks spkcifiques aux structures anisotropes. Ces propriktks ont CtOtrouvkes expkrimentalement sur quelques manganites spinelles. Abstract-A molecular field theory is developed to find the magnetic moment configurations which are energetically stable when anisotropy is present in cubic and tetragonally distorted spinels. The starting assumptions are: in a normal spine1 having magnetic ions in both A and B sublattices, A-B interactions are predominant and anisotropic. A moments are ferromagnetically ordered and have no anisotropy, only B moments have a local anisotropy. The magnetic cells remain either fc for the cubic or bc for the tetragonal spinels. The general Hamiltonian for the whole system of magnetsublatices is: X=-C
li [~cL~H~[G”ISB,+CL~H~[~“IS~,]-~~H~.S~
where H, is the field created by S, spins, Hothe external field, [G “1 and [R”] are the tensors representing exchange and local anisotropy for the Br ion, they have the same symmetry as the surrounding oxygen octahedron. By minimizing the lowest energy we find at 0°K and zero external field a general solution corresponding to a non regular configuration of B moments. The resulting moments of A and B sublattices are generally not collinear. Some particular cases of possible magnetic structures along simple crystallographic directions are described. The evolution of some of these configurations when an external magnetic field is applied, is described and this shows the specific behaviour of anisotropic structures. These properties have been found experimentally in some spine1 manganites. *Cet article recouvre une partie de la thtse de Doctorat d’Ctat de R. Buhl soutenue le 2 Juin 1969 ?I Paris (No CNRS: A033 14). tlaboratoire de Magnktisme, DCpartement de Recherches Physiques Facultk des Sciences, 11, Quai St Bernard, 75 Paris France.
1. INTRODUCTION
IL EST remarquable
de constater que toutes les thCories classiques permettant de dkfinir les structures magnktiques possibles soient basCes uniquement sur des considkations
22s I
JFCSVd31:NoI.F
2252
B. BOUCHER,
R. BUHL et M. PERRlN
d’itchange isotrope ~f~~rna~~tisme de Nkel [13* de Yafet et Kittel[2], structure en ‘ktoile’ [31 ou h&mag&isme [4I). L’anisotropie ne joue alors que ie rcile d’une perturbation venant soit determiner la direction de facile aimantation dans le cristal soit faire dCvier I~g~rement les moments par rapport B un antiferromagnktisme rigoureux comme dans le cas de NiF, trait& par Moriya [5]. La plupart des compost% de la sCrie des manganites spinelles de formule MeMn,O, posskdent une t&s forte anisotropie fpar example Me = Co [C;], Gr [?I, Fe@] ou Mn [97). Leurs structures magnCtiques ne sont pas simples et certaines de leurs propriCk% obligent B penser que I’anisotropie a un r61e dkterminant dans la stabilitk et la configuration des motifs magnCtiques dans le cristal. Nous d6veloppons done ici une thkorie de champ mokulaire f&ant intervenir les anisotropies locale et d%change comme facteurs de base pour la d~te~ination des structures magrktiques possibles dans fes spinelles cubiques et quadratiques. 2. GENERALITE-S ET ~~~~T~~~S DE BASE Now ne considkrerons ici que les spinelies dont la maille magnCtique reste B 0°K cubique faces centrCes ou quadratique centrke. II n’existe done que deux sowrkseaux magnCtiques A: M, et M2 (sites Gtraedriques) et quake B: MS, M4, M5 et iV6 (sites octoddriques). Dans un spinefte cubique on quadratique contenant des ions magrktiques dans chaque sous-r&eau, on fait les hypoth&ses suivantes: f I> Les sites tetrabdriques A sont occup~s par une sorte d’ion dent les moments sont ordon& ferromagn&iquement et ne possb dent pas d’anisotropie locale. (2) Les sites octakdriques B sont occupCs par une autre sorte d’ion dont les moments poss&dent une anisotropoe locale. (3) Les interactions d’khange prkdominantes sont les interactions A-B, elles sont anisotropes. fft faut noter que l~introdu~t~on d’interactions B-B isotropes ne modifie pas
qu~tativement fes r&&tats et pour simplifier les calculs, elles seront done nkglig6es), Dam ces conditions, I’Cnergie d’interaction entre un moment magn&ique Bk (de spin SBk) et la champ HA crCC par l’ensemble des spins du sow-kseau A est: --PBH&WS~~
(1)
H, est proportionnel B S, et [Ck] est le tenseur reprksentant f’anisotropie d’Cchange A-B et relatif B I’ion &_ En prt5sence d’un champ extkieur @>, le ~amiltoniel~ de l’ensemble des sous-rt?seaux magn$tiques s’kcrit: X=-q
[~BHA[G~ISB~+~~HO[~~IS~~] - PBH, . SA
(2)
[gk] &ant le tenseur d’anisotropie locale d’un ion Bk. L’kergie minimum par rapport aux spins sB et exprim&e en fonciion des composantes sur les trois axes est:
Soit lorsque le champ extkrieur est nul:
En mi~imis~t cette knergie par rapport B W, if est done possible de determiner B 0°K et li champ nul les solutions possibles pour HA puis de calculer Ies moments MB et ainsi de dkfinir compl&tement les configurations magndtiques possibles. Dam le cas des spinelles, l’octddre d’oxyg&e entourant un ion B n’a pas ia sym&rie idbale ~~(4~~(~~2~~) mais ii est ddforme et ne posdde plus qu’une symbie trigonale L),d(Sm) dans le groupe d’espace cubique Oh7(Fd 3 m) I ou monoclinique
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
C,,(2/m) dans le groupe quadratique 0:; (14,/2md). Connaissant la symetrie du site, il est possible de determiner la forme des tenseurs G et g qui ont mCmes axes. La forme la plus generale correspond Cvidemment a la symetrie la plus faible, c’est-a-dire ici a C,, dans le cas du spinelle quadratique. Spinelle quadratique
En prenant pour axes de reference de l’octaedre: l’axe binaire: Ox correspondant d’ailleurs a la direction [ 1001 de la maille, les deux autres axes sont contenus dans le miroir m et sont pris de la man&e suivante: Oy parallele a la direction[O lo] et Oz parallele a la direction [00 11. En appliquant au tenseur le plus general (9 composantes non nulles) les operations de symetrie de l’octaedre, il apparait des simplifications qui conduisent au tenseur representant l’anisotropie dans un octaedre de symetrie 2/m:
Spinelle cubique
L’octaedre ayant une symetrie plus &levee: Trn, la forme du tenseur d’anisotropie doit etre plus simple. Prenons en effet comme axes de reference: Ox: l’axe binaire perpendiculaire au miroir contenant l’axe 5 Oy: l’axe 7 et Oz: l’axe perpendiculaire aux deux premiers.
5m:
2253
SPINELLES
kl = 0 $2g2,+g11) Ofi
0
0
g11
$g22-g11)
VT +T22-g11)
$g2,+2g1,) I
tenseur a exactement la meme forme que celui determine pour les spinelles quadratiques, seules des relations entre les composantes en reduisent la generalite. En conclusion, il suffira de traiter en detail le cas des spinelles quadratiques puis de voir si les particuliarites du systeme cubique entrainent des modifications aux resultats.
ce
a la meme forme.
En appliquant les operations on est conduit au tenseur I’anisotropie dans un octaedre
LES
[g] a done une forme extremement simple dans ce systeme d’axes propres a l’octaedre. Les operations de symetrie de la maille cubique faisant passer d’un octaedre a l’autre ne sont malheureusement pas d&rites dans ce systeme de reference. 11 est done necessaire d’effectuer un changement d’axes de l’octaedre afin de d&ire son anisotropie dans un systeme commun a celui de la maille. Au lieu de prendre comme axes de reference trois directions de la forme [loo], il est plus avantageux de prendre les axes: Ox parallele a la direction [ 1101 , Oy// [ 1 lo] et Oz// [OOl ] . (Ces axes dans le systeme cubique faces centrees correspondent a ceux que nous avons pris pour le systeme quadratique cent&). Dans ce systeme de reference le tenseur [g] devient:
I [G]
DANS
de symetrie representant de symetrie
3. STRUCTURES POSSIBLES
MAGNETIQUES ANISOTROPES A 0°K ET A CHAMP NUL
(3.1) Cas gtntral (3.1.1) Spinelles quadratiques. Les ions Bk porteurs des moments MS, M, etc.. . sont definis par leur position dans la maille du groupe 0:; (origine a 2 m2) B3(0,&$); BAO, $, 8) ; B,(k O,#) et B&
0,8).
En tenant compte de la symetrie quadratique da la maille et en l’absence de champ magnetique exterieur, l’energie s’ecrit:
2254
B. BOUCHER,
[
R. BUHL
~GdL2+ (G,,H,+
Pour determiner la direction stable de HA, il suffit done de minimiser cette Cnergie. En tenant compte du fait que HA2 = 2 (HA*)2 on obtient:
et M. PERRIN
G23HzY+ (G&f,+
Gs,H,)~
I
correspondante des moments des ions B afin de d&-ire completement la structure magnetique. On peut determiner les composantes des moments MB en ecrivant: MB, = I: g&S& J
- (GzzGm+
GrzGxx)
+ (G,,G,,+
GzGxA
(ce qui oblige a calculer les composantes des spins) ou bien, ce qui revient au meme. en derivant directement l’expression de l’energie d’un ion B par rapport au champ exterieur. L’energie d’un ion B est:
H,
+ (C&$-G;,-G;,-G;,)
& = -/-+,Se j/T
X (H+)
[F (H,iJG:+H&$i,]?
(7)
(6)
Les compostantes aE/aH,
a exactement la meme forme, il sdffit de permuter H, et H, . cx,p, y et 6 sont respectivement les quatre racines carrees contenues dans l’expression de l’energie (equation (5)). Les conditions necessaires aE/aH, et aE/aH, = 0 ne sont pas des relations simples et il existe a priori, une solution generale oti H,, H, et H, sont tous differents de zero. On voit done que pour un systbme de Gij et g, donne. il existe une configuration magdtique dont l’energie est don&e par l’equation (5) en remplacant H,, H, et H, par les valeurs qui annulent aE/aH, (equation (6)). Supposons done stable une telle solution g&r&ale definie par les composantes HAL et, cherchons a determiner la configuration
M3x =vG:,H,‘+
d’un moment M, sont:
-aE, M’,,=m
=
T
s;[7
d 7 [T
W,qJG;+ H,jt#] (H,jG;
+ H,;g;,jP
(‘)
Soit lorsque le champ exterieur est nul:
Nous pouvons done Ccrire par example les composantes du moment de l’atome B, 21 champ exterieur nul et dans le cas dune solution g&r&ale:
g,,G,,H, (G,,H,+
“S”.
G23H,)Z+
(G,,H,+
Gs3HZY pBSe’
(10)
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
DANS
LES SPINELLES
2255
(11)
(12)
La structure magnetique correspondant au cas gCn&aI est done caracterisee par une configuration pyramidaie des ions des sites B. La base de cette pyramide est de for-me trapezoidale irrCguli&re et les longueurs des moments des ions B ne sont pas identiques. On vCrifie aisement que la resultante Rs des moments B n’est pas colineaire &S,+ La forme de la pyramide, les longueurs des moments B et l’angle de RB avec SA sont des fonctions de la direction de Ha dans l’espace cristallin. On voit done que dans le cas general ii peut exister dans les spinelles quadratiques des structures ma~~tiques non colineaires t&s complexes lorsque I’on tient compte des anisotropies locale et d’echange. (3.1.2) Spinelles cubiques. Un calcul analogue a celui effect& dans le cas du spinelle quadratique mais en considerant cette fois les tenseurs d’ansisotropie relatifs aux spinelles cubiques conduit aux conditions d’equilibre:
Ces equations sont une forme simplifiee de l’bquation (6) et il existe done a priori une solution g&r&ale ou H,, H, et H, sont tous differents de zero. On obtient les composantes des moments de la meme facon que pour les spinelles qu~ratiques et la structure magne-
tique aussi definie est tout a fait semblable a celle deja d&rite dans le quadratique. (3.1.3) Remarques. Les configurations magnetiques possibles dans le cas general sont t&s complexes et I est diflkile de suivre leur comportement en presence d’un champ magnetique exterieur. 11est done plus avantageux de d&-ire quelques cas particuliers plus simples se rapprochant de resultats experimentaux. 11 faut remarquer Cgalement que les equations dE/aH,= dE/aH,= 0 conduisent a des relations de la forme:
et ceci pour un quart de l’espace du cristal. A un systeme H,, H,, H, minimisant l’energie, correspondent done dans le cas general: 16 directions equivalentes de HA B chacune desquelles est associee une structure magnetique semblable et d’energie Cgale mais les dispositions relatives des moments des ions I3 ne sont pas les me^mes quand on passe d’une direction de H, d we autre. Ceci
est t&s facile a verifier en calculant les com~santes des moments des sites B pour les differentes directions possibles de HA. Les domaines magnetiques existant ZS champ exterieur nul dans un monocristal ne sont pas uniquement caracterises par une direction de facile aimantation mais aussi par une configuration propre des moments des ions B. 13.2) Solutions particufit?res: H, = 0 Nous allons d&ire ici quelques solutions particulieres proches de rksultats experimentaux.
1256
3. BOUGWER,
R. BUHt
(3.2. I ) S~~~~~~~~~~~~~~~~~~@S~ Supposons que 16% vafeurs des parametres G,- soient felles qu’une structure magnetique ait son dnergie minimale pour H, = 0. Les equations (4) et (5) n’entrainent aucune solution particuliere pour H, et H,. La direction de HA done de SA est eontenue dans le plan (010). Cherchons pour une direction donnie de HA quelle configuration adoptent les moments B. II sufft de calculer Ies composantes de chacun des moments B: (cf. equations IO-I f et 12). On obtient ies relations: I M,” = III,” ’ MaY= -M,” et M,” = M6v = 0 Maz = M,” Mszr Msz, M$ et MeZ ont des valeurs toutes distinctes et different aussi de celles des composantes de A& et M4. La structure ma~~t~que correspondante est done caracterisee par la conjuration des moments B suivante:-Les moments M3 et M4 sent de longueur 6gaIe et sent disposes symetriquement par rapport au plan (0 10). - Les moments M5 et Me ne sant pas de longueur egale entre eux et n”ont pas non plus celle de M3 et M,; ils sont contenus dans le plstn (0 10). -Les resultantes: M3 -t M4 et MB-t M6 contenues dans k plan (0 IO) ne sent pas colineaires entre ehes et aucune ne Pest non plus avec SA. Le resultante gentkale RB = Ma-+M4+ MS-FM6 n’est pas non plus colinC&e B SA_ La configuration magndtique correspondant A N, = 0, representee Fig. 1, est danc de type pyramidal distordu et elle n’admet comme element de symetrie qu’un plan (010). Cette structure extremement complexe a et& trouvee experimentalement dans le cas de FeMn,O, [&I bien gue la diffraction des neutrons sur poudre n’ait pas permis de rafhner les param&es.
et M. PERRIN
M4&c
Hyz 0
Structure Magnitiqua
Fig. 1. Configuration magnktique en forme de pyramide distordue correspondant 21la solution H, = 0, H, et H, diffihnts de zkro.
pond B un minimum de l’energie, l’equation la condition de stabihte devient:
( 11) qui represente
I1 n’y a pas de relation simple entre H, et H, et il peut done exister une solution dans le plan H, ==0, c’est-&dire en revenant au systbme d’axes naturels du cube, dans les pkns de ia forme f 1 IO). En cafcuiant de la meme man&e que pr~~~demment ks composantes des moments des ions B pour une direction don&e de fi, dans le plan N, = 0, on trouve exactement les memes relations que dans le cas des spinelles quadratiques (cf: 3.21). La configuration des moments magnetiques est done tout A fait semblable & celle trouvee dans le cas precedent et la Fig. 1 qui la represente dans le cas general quadratique est Cgalement valable pour k cubiqne a condition de remplacer Les axes cristailo~ap~ques [loo] et fO1O] du systeme quadra-
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
tique par [ 1 lo] et [l lo] resp~ctivement, pour le systeme cubique. (3.2.3) Remarques. 11est interessant de voir que darts le cas oii H, = 0 est une solution stable, les spinelles cubiques et quadratiques se comportent de la meme man&e. 11 existe des solutions encore plus particulibres dans ce plan: celles qui correspondent a des directions cristallographiques simples: [loo] et [OOl] dans le quadratique et 11 lo], [ 1111 et [00 l] dans les spinelles cubiques. (3.2.4) La direction [loo] du quadratique (ou [l lo] du cubique) est caractk-isee par la relation supplementaire: H, = 0. En annulant done N, dans l’expression des composantes des moments B, on est conduit aux relations suivantes:
et
DANS
2257
I-ES SPINELLES
Fig. 2. Configuration magn6tique co~espondant % ia solution particuli&e H, = H, = 0 et H, = H4.
La structure particuliere correspondante est done caracterisee par un arrangement pyramidal regulier des moments B (de longueur identique) d’axe de symetrie [OOl]. La resultante des moments B est colineaire a SA. Cette configuration magnetique est representee Fig. 3.
MS1 = Msz Msy = MGg = 0. j MS2 = -M$
La structure magnetique correspondante est beaucoup plus simple que dam le cas general, en effet: -1es moments M3 et M4 (de longueur egale) sont colineaires a SA suivant l’axe Ox (direction [ 1001 du quadratique ou [ 1101 de cubique)-les moments MS et MS sont dans le plan xOz et symetriques par rapport a l’axe Ox. Cette configu~tion magnetique est reprkentee Fig. 2. (3.2.5) La direction [OOI] (cubique et quadratique) est caracterisee par la relation supplementaire H, = 0 qui entraine pour les composantes des moments B les relations suivantes:
Fig.
3.
Configuration magnetique H,= cr,=O,H,=H,.
correspondant
&
(3.2.6) La direction [l 111 dans le systeme cubique est une direction t&s particuliere qui n’a pas d’equivalent dam le sysdme quadratique. Elle est caracteride par la relation H,= vIzH,= (%5/X&f,. I1 est interessant dans ce cas d’expliciter les ~om~santes des moments M, :
fO deux en supposant (G:, -G~z-G&J solutions sont ividentes: III H, = 0 qui, joint B H, = 0, conduit a une solution tout B F&t semblabie ci cetfe dCcrite pour H, = H, = 0 t voir 32.43 f2) f/n - II@= 0 ceci entraine H, = H, = H.&E Les moments SA sent done dirigh su~v~t une d~re~~o~ [ f f S] du spiueife quadrat~que. Les ~orn~s~~tes des moments B corresOn constate ~rnrn~d~~terneut que MS est co&l&tire g SR et si I’oa caIcu~e la r~sultante pondant B cette so&ion ob&sent aux relagkmk& des moments B: RB = Ma-i-Md-I-M5 tions: -i-Mfsan la trouve ~galement ~o~i~~~~re 21S,. M,” = M,” = M,” = Iv@” Gette structure rna~~t~que est done ext~~m~rne~t eurieuse car bian que Ies i moments 13 soient de ~o~ue~~ in&ale et occupent des positions non p~~c~~~~r~s ni dans t’espaee wistdfin ni par rapport B SA &auf M& feur r&&t-ante RP)est aligr&e avec Sa+C&e ~ou~~~t~ou est ~~r~se~t~e Fii. 4, &que a done les caratLa ~t~~~re t~~stjques suivantes: (?,3) ~~t~~~~~F~~ ~~r~~~~t~~P~~ w, m 0 (a) les rnorn~~ts des sites A sont parali&Ies XJ m intkessant de voir quelles s~I~tio~s B la direction [ I 1Q] pwvent exister lorsque I’&~ergiedu systt?me (b) ies rno~~~~ts des sites 3 -de longueur est minimum pour H, = 0 c’est-h-dire SAdans identique- sont divisCs en 4 sous-rkseaux un plan de base. formant une pyramide d’axe [I 101 et comportant camme plans de symh-ie les plans fOO1) et f 110). Cette ~o~~g~t~o~ est repr6senEk Fig, 5. (3*3.2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~*~_3~q~~t~o~ ~~qu~~~~re~~~~~~ = 0 se red& ici ‘a:
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
DANS
2259
LES SPINELLES
Msx = M,Y
Mz,l= MS11
! 1 M,” = Mgx
et
MsY = MGZ
Fig. 5. Configuration magnktique correspondant solution H, = 0 et H, = H, = H,/X/2.
B la
MdY = M,“. M,” = MS2
Les moments B forment done une pyramide de base trapezo’idale admettant le plan ( 110) comme plan de symetrie. La forme de la pyramide est d’ailleurs fonction de sa direction dans l’espace ( Fig. 6). Les solutions limites correspondent d’une part a S,]][OOl] et celle-ci a deja CtC d&rite en (3.2.5) et d’autre part a S,]([llO] Cgalement deja d&rite en (3.3.1).
(Gf,--G:,)H,(;-;) =0. Les deux solutions trouvees dans le cas du systeme quadratique se retrouvent ici, les configurations magnetiques correspondantes sont les memes et il suffit de changer les directions [ 1001 et [ 1101 du quadratique en [ 1101 et [ 1001 respectivement pour etre dans le systeme d’axes cristallographiques naturels du spinelle cubique.
X
Fig.
6.
Configuration H,=
(3.4) Solutions particuli~res H, = H, (3.4.1) Spinelfes quadratiques. La condition d’equilibre dE/aH, = 0 s’ecrit dans ce cas: (G:,+G;,+G;,-2G;,-2G;,)
+(G,,G,,+G,,G,,)(~-~)(H,-~)
(
d+;
)
H,
=0
(15) en appliquant la relation HA2 = 2Hx2 + Hz2 ne conduit pas a des solutions particulieres en H, ou H,. I1 existe done une
qui meme
solution generale correspondant a une direction quelconque de SA dans le plan ( 110). La configuration des moments des ions des sites B correspondant A une direction don&e de SA est caracterisee par les relations suivantes:
(3.4.2)
magnetique H,etH,
Spinelles
correspondant
B
# 0.
cubiques.
La condition
d’equilibre se reduit a: (Gf2-G:I)(H,-~)(;-;)
= 0
ce qui conduit a deux solutions seulement: (1) l/a-- l//I = 0 qui entraine HZ = 0. Ce casadejaCtCdCcriten(3.3.l)et(3.3.2. (2) Hz- 2H,*/H, = 0 soit H, = $ 2 H,. Dans ce cas SA est dirige suivant une direction [ 1011 de cube. Cette solution est Cvidente car elle est tout a fait semblable a celle trouvee pour une direction cristallographique Cquivalente: [l lo] en (3.3.1) et (3.3.2). 4. REMARQUES
L’etude des structures magnetiques possibles engendrees par l’anisotropie dans les
2260
B. BOUCHER,
R. BUHL
spinelles quadratiques et cubiques et dans le cadre des hypotheses formulees au debut du chapitre II, montre qu’il existe des configurations de spins non colineaires et m&me parfois trits complexes. L’interet de ce dkveloppement est qu’il demontre qu’il n’est pas besoin de considerer des interactions BB du meme ordre de grandeur que les interactions AB pour qu’existe une structure non-lineaire et en particulier une structure de type YafetKittel teas particulier d’une structure pyramidale). 11 est tres important de remarquer qu’a une structure magnetique anisotrope don&e dans une direction donnee et diterminle par son correspondent d’autres structures Cnergie, d’energie &gale dans des directions cristallographiques Cquivalentes. Mais les dispositions relatives des moments des quatre soasrheaax B sont d@&wztes (cf. 3.1.3). 11 n’est
pas possible de retrouver ce resultat par un calcui de champ moleculaire sans tenir compte de l’anisotropie. Or des etudes experimentales par diffraction de neutrons [6-S] ont montrC indiscutablement que les configurations des moments B dependaient de leur direction dans le cristal. La determination de structures par le calcul expose ici entraine automatiquement l’existence d’anisotropie. Ceci peut sembler evident mais montre bien la difference d’origine de structures non-lin~~res et partant de Ieurs propriCtCs. Celles ayant pour origine l’anisotropie, en comportent obligatoirement alors que celles ayant pour origine de fortes interactions BB ne peuvent avoir qu’une anisotropie faible, sinon on retombe automatiquement dans le traitement precedent. Le comportement de ces deux types de structure est t&s different lorsqu’un champ exterieur est applique comme nous allons le voir au chapitre suivant et ceci est un critere de distinction.
et M. PERRIN
5. COMPORTEMENT D’UNE CONFIGURATION MAGNETIQUE ANISOTROPE EN PRESENCE D‘UN CHAMP EXTERIEUR
Les ~onfi~rations ma~~tiques anisotropes que nous venons de definir sont etroitement likes a leurs directions dans l’espace cristallin, it est done tres interessant de suivre leurs comportements lorsqu’un champ magnetique exterieur est applique et les force a changer leur o~entation. (5.1) Cas ge’ndral Nous avow deja k-it l’energie minimale par rapport aux spins Ss en presence d’un champ exterieur: equation (3). I1 est possible de determiner la direction stable de S4 en presence de champ exterieur, en minimisant cette energie par rapport a SA tou HA) et en procedant de la m&me faGon c’est-a-dire en derivant par rapport aux composantes sur les axes, on aboutit en tenant compte de la 2 CS,4*)z= S.,* a deux equations: ~~~~S,~x= 0
e\ dE/aS,+ = 0 par exemple, qui donnent directement la relation entre SA(ou HA) et H,,, par l’intermediaire de leurs composantes. Dans le cas general ces relations sont extr~mement compliqu~es mais permettent theoriquement de resoudre completement le systbme en fonction de la valeur de H,,. 11 devient en effet possible de calculer ensuite toutes les composantes des divers moments M, qui s’ecrivent:
7 g,j T (HA”G,j$-Ho”g,j) = LLR 4 7 [7 (N,‘G,+H,‘g,)]zS,;16) Pour donner une idee de la complexite des expressions ecrivons par exemple la compoSante du moment M, sur Oz dans le cas d’un spinelle quadratique:
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
Toutes les autres composantes sont aussi compliquees et il n’est pas interessant de vouloir discuter dans le cas general. 11est par compte beaucoup plus facile de voir ce qu’il se passe lorsque le champ magnetique est applique suivant des directions cristallographiques simples et dans des cas de configurations magnetiques correspondant a des solutions particulieres a champ nul. Les cas que nous allons Ctudier sont pris dans le systeme quadratique et proches de resultats experimentaux qui seront publies prochainement: (a) cas de la structure pyramidale distordue de plan de symetrie (OlO), Ho &ant applique suivant la direction [0 lo] (b) cas de la structure pyramidele d’axe [ 1 lo], le champ H, Ctant applique successivement suivant les directions [OOl] et [loo]. (5.2) Structure pyramidale distordue de plan de syme’trie (010) Cette structure definie au section (3.2.1) et represent&e Fig. 1 est caracterisee par la seule condition particuliere a champ nul: H,=O.
(5.2.1) Ho paralkle 2 la direction [OlO]. Les composantes Hf et Hoz du champ I-&,sont nulles. En appliquant les conditions d’equilibre aE/aH,j = 0, on ne trouve pas de relations simples entre les composantes de HA et celles de I$, mais il est tout de meme possible de d&ire le type d’evolution de la structure magnetique en Ctudiant les variations avec HA et H,, des diverses composantes des moments magnetiques B. Sans entrer dans les calculs compliques, la Fig. 7 donne quelques phases de l’evolution de la configuration des moments B lorsque H, croit. On peut voir que la pyramide qui existait a champ nul se transforme complbtement au fur et a mesure du changement de son orientation pour aboutir finalement quand H,, devient grand par rapport a l’anisotropie a une configuration limite analogue a celle deja trouvee en (3.2.4)I f Fig. -Y 2). I
DANS
2261
LES SPINELLES
(5.3.) Structure pyramidele d’axe [llO] Cette structure a CtC definie au paragraphe (3.3.1) et est caractk-isee a champ nul par H,=OetH,=
H,=H&%
(5.3.1) H, paralkle ci la direction [OOl]. On a e’videmment dans ce has H,‘= H,Y = 0
En remplacant dans l’equation 3 les composantes sur Oy de HA (et S,), en fonction de celles sur Ox et 02 et en appliquant les conditions d’equilibre, on voit immediatement rend identiquement nulle que H, = H, l’equation aE/aH, et qu’alors l’equation aE/aH, = 0 donne une relation entre HA et H,. L’on voit done bien que partant dune structure dirigee a champ nul suivant la direction [ 1 lo], l’application d’un champ magnetique suivant la direction [OOl] fait deplacer S, dans le plan (TlO) (c’est-a-dire H, = k, quel que soit H,) puisque cette solution correspond au minimum de l’energie. Sans Ccrire ici les expressions detaillees des composantes des moments B on a toujours entre elles les relations suivantes: M,” = Msu
M,” = M,” Msu = M,”
i MS2 = M,”
et
Mz,#= MsX.
1 M4%= Msz
La configuration magnetique reste done toujours symetrique par rapport au plan (ilO). La Fig. 8 presente quelques Ctats intermediaires de la configuration des moments B en fonction de l’intensite croissante de H,,. Lorsque Ho est devenu suffisamment grand par rapport a l’anisotropie les relations entre composantes des moments deviennent a la limite:
c’est une pyramide de base cake pour axe de symetrie la direction
et ayant [OOl]. La
B. BOUCHER,
R. BUHL
et M. PERRIN
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
Ho
Ho= 0
Ho crowant
croissant
DANS
2263
LES SPINELLES
-
Ho grand
_.+
Fig. 8. Evolution de la configuration des moments B- d’une solution H, = du champ exttkieur Ho appliqud suivant la direction [OOl] d’un spinelle quadratique.
0 et H, = H, i champ nul- en fonction de I’intensitk croissante
disposition des moments est tout a fait analogue a celle de la structure d&rite en (3.2.5) (Fig. 3). L’kvolution de la structure entre les deux tin&es correspondant a H, = 0 et II0 grand est intkessante a suivre. En effet, on peut tout d’abord remarquer que M.,” et MgL s’annulent pour une certaine valeur de champ, ceci est nature1 car les moments M, et M5 ttaient au-dessous du plan de base a champ nul. Pour une autre valeur du champ applique, h4,” et MS2 s’armulent, les moments M, et M5 sont contenus alors les plans (0 IO) et ( 100) respectivement; les moments M3 et M6 sont toujours symetriques par rapport au plan
H, suivant la direction [loo] la composante H, restant nulle correspond bien au minimum de l’energie puisque ~E~~H~ est identiquement nul quel que soit Ho et aE/aH, = 0 donne la relation entre HA et H,. Lorsque l’on fait croftre le champ exterieur depuis une valeur nulle, les moments des sites A restent done dans le plan (00 1). Sans expliciter ici les valeurs des composantes des moments B en fonction du champ exterieur, les relations suivantes sont toujours verifiees: M,” = - M,Y =
=
MS”
M," et d MS8 =
M,”
M,5
Msz = -M$
‘M,”
Msr = -M,“.
La configuration magnetique admet done toujours le plan (00 1) comme plan de symetrie quelle que soit la valeur de Ho. En supposant Ho suffisamment grand par rapport a I’anisotropie, les composantes des moments B deviennent B la limite:
2264
B. BOUCHER,
MsX= MdE= g, 1/usB Mzu= M,“=O
MsX=
et
Msz=Mdz=O
( MSu=
R. BUHL
M6X
M6y= 0
MSZ= -MGr
Msx et M,” sont des fonctions de H,,. Les moments M3 et M4 tendent a devenir tous deux paralleles a la direction [ 1001 alors que les moments M5 et M, viennent se placer symetriquement par rapport a la direction [ 1001 dans le plan (010). L’angle entre M, et la direction [ 1001 est fonction de l’intensite de H,. La Fig. 9 schematise le comportement de cette configuration tel qu’il vient d%tre decrit.
Ho=0
HofO
Fig. 9. Evolution de la configuration
et M. PERRIN
structures de meme Cnergie dirigees suivant des directions Cquivalentes de l’espace cristallin. Ces structures sont globalement identiques, la seule difference &ant que pour chaque direction existe un arrangement different des moments B. 11 est evident et tres facile de verifier par le calcul, que les deformations des structures tquivalentes sous l’action d’un champ exterieur dirige de la meme man&e relative par rapport a chacune d’elles, sont les memes. 11 suffit dans chaque cas de considerer la configuration de moments B correspondante. Si maintenant au lieu d’examiner l’action d’un champ dirige de la meme maniere relative par rapport a des structures equivalentes,
Ho grand
des moments B-d’une
solution
H, = 0 et H, = H, B champ nul- en fonction de l’intensitk. croissante
du champ extkieur
Ho applique suivant la direction [ 1001 d’un spinelle quadratique.
(5.4) Remarques L’evolution des configurations magnetiques en presence d’un champ exterieur n’a ete d&rite ici que dans quelques cas particuliers et il faut bien noter que les figures qui les representent, ne sont que des modeles. En effet, les valeurs relatives des parametres g, et Gti conditionnent les deformations de la structure et peuvent Cvidemment modifier l’ordre de la succession des phases intermediaires comme par example celles de la Fig. 8. D’autre part, nous avons toujours examine des structures contenues dam un seul octant de I’espace cristallin. Or comme nous l’avons deja fait remarquer, il existe naturellement des
envisageons l’action d’un champ sur un monocristal. Pour plus de simplicite prenons un spinelle quadratique ayant la structure magnetique definie au (3.3.1) c’est-a-dire une pyramide d’axe [ 1lo]. Dans un monocrista d’un tel done quatre domaines spinelle, existent aux quatre correspondant magnetiques directions Cquivalentes a la [ 1 lo], chacun de ces domaines est caracterise par une configuration de moments B ( Fig. 10). Appliquons le champ exterieur H,, suivant la direction [ 1001. La structure dirigee suivant la [ 1101 va se comporter comme cela a CtC d&it Fig. 9. La structure dirigee suivant la direction [ liO] (qui n’a pas le meme groupement de moments: M, et M, sont permutes) subit les mQmes
STRUCTURES
MAGNETIQUES
ANISOTROPES
DANS
LES SPINELLES
2265
11 y a done une solution de continuite dans l’espace entre les structures equivalentes qui se transforment l’une en l’autre si le champ magnetique exterieur les oblige a changer de direction. 6. CONCLUSION
Fig. 10. Disposition des moments MB, dans les quatre configurations d’energie &gale mais dont les axes de symetrie a champ exterieur nul sont les quatre directions cristallographiques Cquivalentes de la forme [ 1 IO] dans un spinelle quadratique.
deformations globales mais par rapport a la precedente: M3 et M4 sont constamment symetriques de leurs homologues par rapport a l’axe [1001,M, et M, eux, sont toujours symetriques de leurs homologues par rapport au plan (010). Lorsque H,, est devenu suffisamment grand, les deux structures sont confondues dans le plan (010) (cf. Fig. 9). De la mCme maniere, il est aise de voir et de calculer que les deux autres - structures dirigees suivant les directions [ 1 lo] et [ilO] se rapprochent progressivement des plans t 100) et (0 10) respectivement, passent par les directions [ 1101 et [ilO] respectivement ou elles retrouvent des groupements de moments analogues a ceux des structures qui y existaient a champ nul et enfin viennent se confondre avec les deux autres dans le plan (0 10) pour ne plus former qu’un monodomaine de structure magnetique unique.
Dans le cadre d’hypotheses simples, il a CtCdeveloppe un calcul de champ moleculaire qui fait intervenir l’anisotropie comme Clement principal dans les spinelles cubiques et quadratiques. Parmi toutes les solutions get&-ales ou particulieres d&rites ici, une seule peut naturellement exister dans un cas donne: c’est celle ayant l’energie minimale. 11 eut CtC possible de faire une discussion suivant les valeurs relatives des GU et gij sur les domaines de stabilite des differentes structures, mais les expressions sont si compliqdes qu’il et3 CtC sans interet de formuler des inegalites trop complexes. L’interet de ce developpement est qu’il permet a partir de structures- solutions des equations d’equilibre - d’analyser leur comportement en presence d’un champ exterieur, ce que ne permet pas la theorie des groupes. L’etude de l’evolution des configurations magnetiques quand un champ est applique montre bien la difference entre des structures definies sans tenir compte de l’anisotropie et celles ou l’anisotropie est un facteur de base. Une structure telle que celle definie par Yafet et Kittel par exemple ne peut avoir ces proprietes et nous verrons que dans le cas des manganites spinelles [lo], l’expkience confirme l’existence d’un tel comportement. -Nous remercions Monsieur le Professeur Herpin qui a suivi de prts ce travail et Monsieur Meriel qui nous a aides par de nombreuses discussions. Remerciements
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Rec.
119,
M., to be