- Email: [email protected]
Interaction des ondes de spin dans les ferromagnetiques anisotropes
Solid State Coumeinications. Vol. 23, pp. 113—115.
Pergamon Press.
Printed in Great Britain.
INTERACTION DES ONDES DE SPIN DANS LES FERROMAGNETIQUES ANISOTROPES
Jean SIVARDIERE D~partementde Recherche Fondamentale CENTRE D ‘ETUDES NUCLEAIRES DE GRENOBLE 85 X — 38041 GRENOBLE CEDEX — France (Received 3 May 1977 by E.F. Bertaut) Nous ~tudions lee interactions des ondes de spin dane lea ferromagnAtiques anhsotropes par la méthode de H. Bloch. La renormalisation est tris snisotrope, et particuli~rement accen— tube dane lea aatériaux I caractlre unidimensionnel, en raison de la forte denaité des ondes de spin de basse énergie. 2 a calculd la valeur de la tempera— ture Oguchi critique T 0 par une mCthode 3de fonctions de ~reen ; Si 3’~> > , on a (I)
Nous considérons un ferromagnétique du ty— pe d’Heisenberg, de rdseau primitif, et présen— tant un caractIre orthorhombique : $ S..~+ 3 S~.~ +~ ~
~z[~s.
s’~
Si 3~.3v ~z—3~le matériau eat cubi— que tridimensionnel (d—3), at le spectre d’on— des de spin eat presque isotrope l’Cnergie d’une onde de spin depend peu de La direction du vecteur ~ k. — Si : 3— ~ • J>> 3~—~ , le matCriau prd— sente un caractIre bidimeusionnel (d.’2), comee CrBr 1, cc le spectre d’ondes de spin eat trés anisotrope :.i La vecteur k eat patallIle aux 3 plane inagnCtiques (k, 1), l’Cnergie d’une onde de spin est ClevCe car lea moments d’un mIme plan cant fortement couples ; ci le veoteur k, de mIme module, aCt perpendiculaire aux plans (k~), l’Cnergie de l’onde est basse, car des moments appartenant A deux plans adjacents sont faiblement couples. — Si 3,, — 3~— 3’ << 3~—1T, le matIriau prd— sente un caractIre uaidimensionnel (d—1), le spectre d’ondes de spin eat trés anisotrope comee dams le cas précddent.
colt pour d
—
a)
//[iioJ ///fl
I
///
I
/J’[ioo} 7
I
11/
•
I :
1etpourd—2:
(2)
T (3
C.
d’oü pour n
I 3 ~T’~.
T 4~L S.
Dans un compose cubique coe EuO ou EuS, l’interaction des ondes de spin.est faible A T — .~t par exemple, lee effete de renornalisa— tion ont peu d’influence cur La valeur de l’ai— mantation, car seules des ondes de spin de grandes longueurs d’ondes sont excitCes, et on salt qu’elles interagissent peu. Au contraire
I b)
kL 0
0 Figure 1
—
(4)
C.
Spectre d’ondes de spin d’un ferromagnCtique a)- cubique ; b)— uni— ou bi—dimensionnel. ]j3
If
ONDES DE SPIN DANS LES FERROMAGNETIQUES ANISOTBOPES
114
dams un compose lamellaire cos~e CrBr
Vol. 23, No. 2
3, i’m— teraction des ondes de ~pin influence fortement La valeur de M : 1 T — -t , Lea branches de bases énergie du spectre sont entiIrement peu— plées (fig.1); or lea ondes de spin de petites iongueurs d’onde interagissent fortement, d’oü La possibilité d’un test trés sensible des theories de La renormalisation~. Dams un matCriau unidimensionnel, cet effet est I priori plus accuse, car La densitC d’ondes de spin de basse Inergie y eat plus forte que dana un matCriau lamel.laire. Nous avoms effectud des calculs d’interac— tions d’omdes de spin dams les ferromagnCtiques anisotropes en utilisant mCthode appliquIe 5 aux composesLacubiques. AprIs transformations de Dyson—Maleev et de Fourier, par M. Bloch l’haniltonien ~ s’écrit
IL eat alors possible d’introduire des facteurs de renormalisation 1(T)~ ~7(-r) at tels qua
~JC,5~~+?44
(5)
Z [~~(~)5(ki~ Q
(6)
~S les facteurs cont CvaluCs de mauière self— consistence, nous avons choisi S • 1. MatCriaux cubi~ues5 — ~,, ~,, — T~ J. M. Bioch
avec ~a~=E,+LS
1~~~II ~..
~.
p,I 4~3I~
(7)
&~4—(~3_h1~)
t
a
—
+ ~
‘1
Z..
+~
t
+ ~
~K
~.
~ ~
(8)
~(~)
+ 3
En ne retenant que les termes diagonaux deX ii vient : ‘t + 4. ~
w
~ {(h.)e~(k~)_2(o)_3(~~h,)] ~ k, l~ ~,L
Utilisant l’approximation de Hartree, ii vient: ~
~: I”
~
t;~ICA~k$
—
+
~
). S
3T~¶~~(o) — ~
—3(k,)
(11)
~
(-r) —
4
~
~
JS
L’aiaantation
t4(-r)
~(O)
.4
(12)
~ ç~
_..t
est
—
(15) t
donnée par
MCD)
‘~
Z. ~
(16)
de spin dams de Hartree. solution pour i’approximation ~ est obtenue pour T < T Une : T 0 .0 est tree voisine de La temperature de transi— tion théorique T~, La “transition” eat du premier ordre, N(T ) 0.3 M(0). MatCriaux bid~mensiomnels Des que n est infCrieur 1 10~, ia “tran— sition” de N. Bloch A T devient du deuxiAme La formule d’Oguchi. Quel ordre. T8nnCe set par voisine d~La temperature criti— que T~d soit ,i, on constate que Lea effete de re— normalisation sont importants et trés anisotro— pee — ‘> >> ~, ~ Ctant le facteur de renormalisation caiculé 1 ia mAne tempCratu— re pour un compose cubique (tableau 1). A T • T , lea ondes de spin de haute Cmergie sont encor~ trés peu renornalisIes. Matëriaux unjdimensjonnels Lea résultats sont analogues. Cependant les effets de renormalisatlon sont, coe prd— vus, plus marques que dams lea matériaux lamel— laires (tableau 1) et, pour n < 10~, la tempé— rature T devient nettement infdrisure I La
T •!T 20
d•3, n•1 0.01
______
~:
d.2, i~.10~d1, ______r~.’10~ 0.025 0.06
______
0.963 _________
_________
0.997 0.925 __________
0.86 0.999 _________
Variation des effete non—linlaires, I T -~T 2o avec La dimensionalitC du système. ~.Meat l’Ccart entre les aimantations calcuiées dans les theories lirtCaire et non—lindaire.
on peut montrer aisdment qus ~
(~(~~) ~
k.1
M
—
_____
Z. 3~,-h~)
~“)
avec par example
0.963 4
(14)
TA3LEAU 1
~S~:J(o~— s~i~j
L
~_
~ 3; {i.~.— T5(k))L &r) ~(y Ce) — ~7(k1)J ~ (.r)
(10)
~
avec
—
a nontrC que le facteur eat indCpendant de k1 et qu’il n’y a pas d’dlargissement de l’onde
3(k~kwij~
—
~
~‘,,(k
(~~)
1)~,1 a. +
~
__________
i,.(o) —I. ~ ~—
~
—
(13)
valeur thdorique de T~d’aprAs Oguchi. La figure 2 illustre l’jnfluence de is dimensionnalité du matCriau sur l’ainantation M(T). En conclusion, dane un ferromagnétique d’Reisenberg, 1 caractCre uni— ou bi—dimension—
Vol. 23, No. 2
~DES DE SPIN DANS LES PERRC!(AGNETIQUES ANISOTROPES
Ii 5
M
1
•——-~.—~.___. —.~.-
1
....—.—
~ a)
\
~ •“..
~
\“
0.5
~—.
b)
F
0.5
T
T
_______________________ U
~
I
T~
0
2
Figure 2
—
To 2
Variation thermique de l’aimantagion M(T) d’un ferroinagnCtique a)— matCriau cubique, S — 1, n — I b)— matCriau umi—dimensionnei, S — 1, n — IO~. La variation de M dams La thCorie iinCaire est reprCsentCe en tireta, Le facteur de ramormalisation 3 (d—3) ou (d—1) en pointillCs.
mci, les ondes spin vecteurs paraliCles aux de plans ou de aux chaines,d’onde de hautes energies, sont peu renormalisCes mIme 1 T (La tempCratu~e caractCristique de rCférence eat en effet~ et non T ) : on sait d’ailieurs qu’elies soot observ~biesdans la phase parama—
t. gnCtique Au contraire ies ondes de spin de basses energies, de vecteurs d’onde perpendiculaires aux plans ou chatnes, at principales responsa— bias de la dCcroissance de l’aimantation quand T augmente, soot fortement renormalisCes.
REFERENCES I. 2. 3. 4. 5. 6.
1
SIVARDIERE J. cc SILBERGLITT R., Phys. Rev. 34, 2236 (1971). OGUCHI V., Phys. Rev. 133, A 1098 (1964). RICHARDS P.M., Phys. Rev. BlO, 4687 (1974). SILBERGLITT R., J. Appi. Phys. 42, 1412 (1971). BLOCH M., Phys. Rev. Letters 9, 286 (1962). Dc WIJN 14W., WALKER I.R. et WALSTEDT R.E., Phys. Rev. 38, 285 (1973).
Pergamon Press.
Printed in Great Britain.
INTERACTION DES ONDES DE SPIN DANS LES FERROMAGNETIQUES ANISOTROPES
Jean SIVARDIERE D~partementde Recherche Fondamentale CENTRE D ‘ETUDES NUCLEAIRES DE GRENOBLE 85 X — 38041 GRENOBLE CEDEX — France (Received 3 May 1977 by E.F. Bertaut) Nous ~tudions lee interactions des ondes de spin dane lea ferromagnAtiques anhsotropes par la méthode de H. Bloch. La renormalisation est tris snisotrope, et particuli~rement accen— tube dane lea aatériaux I caractlre unidimensionnel, en raison de la forte denaité des ondes de spin de basse énergie. 2 a calculd la valeur de la tempera— ture Oguchi critique T 0 par une mCthode 3de fonctions de ~reen ; Si 3’~> > , on a (I)
Nous considérons un ferromagnétique du ty— pe d’Heisenberg, de rdseau primitif, et présen— tant un caractIre orthorhombique : $ S..~+ 3 S~.~ +~ ~
~z[~s.
s’~
Si 3~.3v ~z—3~le matériau eat cubi— que tridimensionnel (d—3), at le spectre d’on— des de spin eat presque isotrope l’Cnergie d’une onde de spin depend peu de La direction du vecteur ~ k. — Si : 3— ~ • J>> 3~—~ , le matCriau prd— sente un caractIre bidimeusionnel (d.’2), comee CrBr 1, cc le spectre d’ondes de spin eat trés anisotrope :.i La vecteur k eat patallIle aux 3 plane inagnCtiques (k, 1), l’Cnergie d’une onde de spin est ClevCe car lea moments d’un mIme plan cant fortement couples ; ci le veoteur k, de mIme module, aCt perpendiculaire aux plans (k~), l’Cnergie de l’onde est basse, car des moments appartenant A deux plans adjacents sont faiblement couples. — Si 3,, — 3~— 3’ << 3~—1T, le matIriau prd— sente un caractIre uaidimensionnel (d—1), le spectre d’ondes de spin eat trés anisotrope comee dams le cas précddent.
colt pour d
—
a)
//[iioJ ///fl
I
///
I
/J’[ioo} 7
I
11/
•
I :
1etpourd—2:
(2)
T (3
C.
d’oü pour n
I 3 ~T’~.
T 4~L S.
Dans un compose cubique coe EuO ou EuS, l’interaction des ondes de spin.est faible A T — .~t par exemple, lee effete de renornalisa— tion ont peu d’influence cur La valeur de l’ai— mantation, car seules des ondes de spin de grandes longueurs d’ondes sont excitCes, et on salt qu’elles interagissent peu. Au contraire
I b)
kL 0
0 Figure 1
—
(4)
C.
Spectre d’ondes de spin d’un ferromagnCtique a)- cubique ; b)— uni— ou bi—dimensionnel. ]j3
If
ONDES DE SPIN DANS LES FERROMAGNETIQUES ANISOTBOPES
114
dams un compose lamellaire cos~e CrBr
Vol. 23, No. 2
3, i’m— teraction des ondes de ~pin influence fortement La valeur de M : 1 T — -t , Lea branches de bases énergie du spectre sont entiIrement peu— plées (fig.1); or lea ondes de spin de petites iongueurs d’onde interagissent fortement, d’oü La possibilité d’un test trés sensible des theories de La renormalisation~. Dams un matCriau unidimensionnel, cet effet est I priori plus accuse, car La densitC d’ondes de spin de basse Inergie y eat plus forte que dana un matCriau lamel.laire. Nous avoms effectud des calculs d’interac— tions d’omdes de spin dams les ferromagnCtiques anisotropes en utilisant mCthode appliquIe 5 aux composesLacubiques. AprIs transformations de Dyson—Maleev et de Fourier, par M. Bloch l’haniltonien ~ s’écrit
IL eat alors possible d’introduire des facteurs de renormalisation 1(T)~ ~7(-r) at tels qua
~JC,5~~+?44
(5)
Z [~~(~)5(ki~ Q
(6)
~S les facteurs cont CvaluCs de mauière self— consistence, nous avons choisi S • 1. MatCriaux cubi~ues5 — ~,, ~,, — T~ J. M. Bioch
avec ~a~=E,+LS
1~~~II ~..
~.
p,I 4~3I~
(7)
&~4—(~3_h1~)
t
a
—
+ ~
‘1
Z..
+~
t
+ ~
~K
~.
~ ~
(8)
~(~)
+ 3
En ne retenant que les termes diagonaux deX ii vient : ‘t + 4. ~
w
~ {(h.)e~(k~)_2(o)_3(~~h,)] ~ k, l~ ~,L
Utilisant l’approximation de Hartree, ii vient: ~
~: I”
~
t;~ICA~k$
—
+
~
). S
3T~¶~~(o) — ~
—3(k,)
(11)
~
(-r) —
4
~
~
JS
L’aiaantation
t4(-r)
~(O)
.4
(12)
~ ç~
_..t
est
—
(15) t
donnée par
MCD)
‘~
Z. ~
(16)
de spin dams de Hartree. solution pour i’approximation ~ est obtenue pour T < T Une : T 0 .0 est tree voisine de La temperature de transi— tion théorique T~, La “transition” eat du premier ordre, N(T ) 0.3 M(0). MatCriaux bid~mensiomnels Des que n est infCrieur 1 10~, ia “tran— sition” de N. Bloch A T devient du deuxiAme La formule d’Oguchi. Quel ordre. T8nnCe set par voisine d~La temperature criti— que T~d soit ,i, on constate que Lea effete de re— normalisation sont importants et trés anisotro— pee — ‘> >> ~, ~ Ctant le facteur de renormalisation caiculé 1 ia mAne tempCratu— re pour un compose cubique (tableau 1). A T • T , lea ondes de spin de haute Cmergie sont encor~ trés peu renornalisIes. Matëriaux unjdimensjonnels Lea résultats sont analogues. Cependant les effets de renormalisatlon sont, coe prd— vus, plus marques que dams lea matériaux lamel— laires (tableau 1) et, pour n < 10~, la tempé— rature T devient nettement infdrisure I La
T •!T 20
d•3, n•1 0.01
______
~:
d.2, i~.10~d1, ______r~.’10~ 0.025 0.06
______
0.963 _________
_________
0.997 0.925 __________
0.86 0.999 _________
Variation des effete non—linlaires, I T -~T 2o avec La dimensionalitC du système. ~.Meat l’Ccart entre les aimantations calcuiées dans les theories lirtCaire et non—lindaire.
on peut montrer aisdment qus ~
(~(~~) ~
k.1
M
—
_____
Z. 3~,-h~)
~“)
avec par example
0.963 4
(14)
TA3LEAU 1
~S~:J(o~— s~i~j
L
~_
~ 3; {i.~.— T5(k))L &r) ~(y Ce) — ~7(k1)J ~ (.r)
(10)
~
avec
—
a nontrC que le facteur eat indCpendant de k1 et qu’il n’y a pas d’dlargissement de l’onde
3(k~kwij~
—
~
~‘,,(k
(~~)
1)~,1 a. +
~
__________
i,.(o) —I. ~ ~—
~
—
(13)
valeur thdorique de T~d’aprAs Oguchi. La figure 2 illustre l’jnfluence de is dimensionnalité du matCriau sur l’ainantation M(T). En conclusion, dane un ferromagnétique d’Reisenberg, 1 caractCre uni— ou bi—dimension—
Vol. 23, No. 2
~DES DE SPIN DANS LES PERRC!(AGNETIQUES ANISOTROPES
Ii 5
M
1
•——-~.—~.___. —.~.-
1
....—.—
~ a)
\
~ •“..
~
\“
0.5
~—.
b)
F
0.5
T
T
_______________________ U
~
I
T~
0
2
Figure 2
—
To 2
Variation thermique de l’aimantagion M(T) d’un ferroinagnCtique a)— matCriau cubique, S — 1, n — I b)— matCriau umi—dimensionnei, S — 1, n — IO~. La variation de M dams La thCorie iinCaire est reprCsentCe en tireta, Le facteur de ramormalisation 3 (d—3) ou (d—1) en pointillCs.
mci, les ondes spin vecteurs paraliCles aux de plans ou de aux chaines,d’onde de hautes energies, sont peu renormalisCes mIme 1 T (La tempCratu~e caractCristique de rCférence eat en effet~ et non T ) : on sait d’ailieurs qu’elies soot observ~biesdans la phase parama—
t. gnCtique Au contraire ies ondes de spin de basses energies, de vecteurs d’onde perpendiculaires aux plans ou chatnes, at principales responsa— bias de la dCcroissance de l’aimantation quand T augmente, soot fortement renormalisCes.
REFERENCES I. 2. 3. 4. 5. 6.
1
SIVARDIERE J. cc SILBERGLITT R., Phys. Rev. 34, 2236 (1971). OGUCHI V., Phys. Rev. 133, A 1098 (1964). RICHARDS P.M., Phys. Rev. BlO, 4687 (1974). SILBERGLITT R., J. Appi. Phys. 42, 1412 (1971). BLOCH M., Phys. Rev. Letters 9, 286 (1962). Dc WIJN 14W., WALKER I.R. et WALSTEDT R.E., Phys. Rev. 38, 285 (1973).