Meilleurs approximants pour des espaces métriques

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Skrie I, p. 159-l 62, 1999 ProbabilitCslProbability Theory

Meilleurs Henri

approximants

des espaces mktriques

HEINICH

UPRES-A CNRS 6085, INSA de Mont-Saint-Aignan cedex, France Courriel : heinichainsa-rouen.fr (Rey

pour

le 31

RCsumC.

mars

1999,

Introduction

aprk

dhpartement

&vision

le 25

de

mai

gBnie

mathbmatique,

place

E.-Blondel,

76131

1999)

Soit E un espace de Kothe de variables aleatoires (v.a.) reelles definies sur ([0, 11, 8, X), invariant par rCarrangement et faiblement sequentiellement complet. Soit M un espace metrique separable finiment compact. On montre que pour toute sous-tribu 3 et toute v.a. a valeurs dans A4 telle que, Vx E M, d(X,zr) E E (on Ccrit X E E(M)), il existe un meilleur approximant de X sachant F, c’est-a-dire une v.a. Y E E(M), F-mesurable telle que ]]d(X, Y)]]r < ]]d(X, .Z)]]r, V Z, F-mesurable. La clef consiste a montrer que E(M) est, lui aussi, en un certain sens, faiblement sequentiellement complet. Diverses consequences sont Ctablies. 0 Academic des SciencesiElsevier, Paris

Best

Abstract.

accept&

Rouen,

approximations

in metric

spaces

Let E be a Kiithe space of real random variables (r.v.) on ([0, 11, B, A), rearrangement invariant and weakly sequentially complete. Let M be a metric separable space whose closed and bounded parts are compact. We show that, for every sub-algebra F and every M-values r.v. X E E(M), i.e. Vx E M, d(X,z) E E, there exists a best approximant of X for F, that is to say: a r.v. Y E E(M), F-measurable such that ]]d(X, Y)llE 2 ]]d(X, Z)(~E, VZ, F-measurable. The key consists inproving that E(M) is also, in a certain way, weakly sequentially complete. We give some consequences. 0 Academic des SciencesElsevier, Paris

et notations

Le probleme de l’existence de meilleurs approximants est classique, citons par exemple [5], [6] et [7]. Une version est donnee dans [l] lorsque les variables aleatoires (v.a.) appartiennent a un espace de Kothe. Nous allons Ctudier ce probleme pour des v.a. a valeurs dans certains espaces metriques complets. L’existence de contre-exemples (CT&[8]), pour des espaces de Banach generaux, nous conduit a particulariser l’espace metrique. La theorie de l’integration, au sens de Doss [2], des v.a. a valeurs dans un espace metrique ntcessite, pour obtenir un theoreme de convergence des martingales, des hypotheses restrictives sur l’espace. Pour ces raisons, dans toute la suite, M est un espace metrique Note pr&entt!e

par Marc YOR.

0764-4442/99/03290159

0 Acadkmie des SciencesfElsevier, Paris

159

H.

Heinich

separable complet finiment compact, i.e. ses boules fermees bornees sont compactes. La distance de deux points z et y est notee d(z, y). Tomes les v.a. considerees sont definies, par simplification, sur l’espace canonique ([0, 11, f?, X). On designe par E un espace de KGthe invariant par rkrangement (r.i.) et faiblement sequentiellement complet (f.s.c.). Le problbme des meilleurs approximants se pose ainsi : soit X une v.a. a valeurs dans kf, telle que pour tout 5 E M, d(X,z) E E, on Ccrit X E E(M), et soit 3 une sous-tribu de D. On appelle meilleur approximant (m.a.) de X sachant 3, une v.a. Y, 3-mesurable telle que ]]d(X, Y)]]E 5 ]]d(X, Z)]]E, V 2 3-mesurable. On dit, plus simplement, meilleur approximant lorsque 3 = (0, [0, l]}. Les principaux resultats de cette Note sont : TH~ORJ?ME1. - L’espace E(M) est CCsous-faiblement sequentiellement complet >); c’estd-dire, si une suite (Xn) c E(M) est telle que, Vx E M, la suite (d(X,, x)) est relativement compacte pour a(E, IE’), alors il existe une sous-suite (rz;) et une v.a. Y E IE(M) telles que, pour tout x E M, la suite (d(X,;, x)) converge faiblement dans IE vers une v.a.r. f” et d(Y, x) 5 S” p.s. THBOR~ME2. - Pour toute sous-tribu 3 et toute v.a. X E IF(M), il existe un meilleur approximant de X sachant 3. TI&OR~ME 3. - L’ensemble des meilleurs approximants empiriques d’une v.a. X E E(M), est relativement compact dans M et ses valeurs d’adherences sont des meilleurs approximants de X. 1. EspCrances

au sens de Doss

Une v.a. X a valeurs dans M est dite integrable si, pour un point 2 E M (et done pour tout point), la v.a.r. d(X, x) est integrable. Pour X integrable, I’ensemble E[X] = {m 1.m E M, d(z, m) 5 E[d(X, CC)],pour tout z E M} est l’espe’rance de X au sens de Doss. L’ensemble E[X] est fern-k (Cventuellement vide) et ne depend que de la loi de X. Afin d’eviter les cas pathologiques, on suppose que IE[X] n’est jamais vide : (M, d) est Doss-convexe. Plus generalement, une partie A c M est dite Doss-convexe si, V (a, b) E A2 et Q E [0, l], l’esperance de la v.a. X de loi CM?,+ (1 - (Y)&, est non vide et E[X] c A. Soit 3 une sous-tribu de .13,on dit qu’une v.a. Y a valeurs dans M est une espe’rance conditionnelle de X relativement a 3 si : (i) Y est 3-mesurable ; (ii) Vx E M, d(Y, x) 5 EF[d(X,x)] p.s. On note EF[X] l’ensemble des v.a. Y verifiant (i) et (ii). Une suite (Y,) adaptee a une filtration monotone (&) est une martingale si Y, E E3n [Y,+l]. Rappelons le theoreme de convergence des martingales de Doss [3] : c Si M est finiment compact, alors toute martingale (Y,) ve’ri$ant la condition de Doob : sup E[d(x, Yn)] < +CC pour tout x E M, est convergente p.s., i.e. lim Y, existe p.s. >) n-CC n 2. Espaces de Kiithe

Un espace de Banach (iE, ]I . ]IE) est un espace de K&he de v.a.r. si : (i) IL” C E C I-l, les injections &ant continues ; 160

Meilleurs

approximants

pour des espaces mktriques

(ii) Si f et g sont deux v.a.r. sur ([0, 11, f3, X) verifiant If] 2 g, g E E, alors

.f E E et II Ifl IIE= llfll~ I IlsllE. Nous adoptons les notations de [9], en particulier E* est le dual topologique de E et IE’ son dual X+ E FL1 pour tout f E E}. A ce sujet rappelons que E’ = E* si et seulement si E est g norme continue pour Z’ordre, i.e. si fi E E decroit vers 0, alors 11f; JJE-+ 0 ; E = E” si et seulement si E vCrifie la propritfte’ de Futou, c’est-a-dire que si une suite (fn) c IE croit p.s. vers f et sup ]lfn]]n < co, alors f E IE et lim ]]fn]]E = Ilf]]~. En particulier, si E est f.s.c. les deux proprittes precedentes sont verifiees. L’espace E est invariant par rkurrungement (r.i.) si lorsque deux v.a.r. f et g ont m&me loi, alors de Kiithe : E’ = {f$ E hl,

f

E

E

imphue

g

E

E

et

ll.fl]~

=

11g11E.

Enfin, soit 3 une sous-tribu, on Ccrit IE(3, n/r) pour le sous-ensemble de E(M) v.a. 3-mesurables. 3. PropriCtCs

de l’espace

formee par les

E(F, 1M)

Le theoreme suivant montre que si E est f.s.c. il en est de CFpour E(M). THBOR~ME 1 bis. - Soit E un espuce de K&he r.i. et $s.c. et soit 3 une sous-tribu. Si une suite (X,) c IE(A4) est telle que, V’s E 111, la suite (d(X,, CC))est relutivement compucte pour a(lE, E’), il existe une sous-suite (TL~)et une V.U. Y E E(3, n/ir) telles que, Vx E M, la suite (d(X,, , z)) converge fuiblement vers une v.u.r. f” E E et d(Y, x) 2 EF(f”) p.s. Id&e de la dkmonstrution. - L’existence d’une sous-suite (ni) telle que pour tout x E M, la suite (d(X,“, x)) converge faiblement vers une v.a.r. f”, se fait avec la stparabilite de M. On montre ensuite le theoreme pour une sous-tribu finie, en utilisant le fait que M est finiment compact. Le passage a une sous-tribu quelconque 3 = lim 3r, 06 les tribus 3r sont finies, s’etablit en construisant une martingale au sens de Doss. On verifie ensuite que cette martingale converge p.s. vers une v.a. Y satisfaisant les assertions du theoreme. 0

4. Meilleurs

approximants

dans des espaces mktriques

L’existence de m.a. satisfaisant a (1) est CnoncCe dans le theoreme 2. La preuve se deroule de C>a celle don&e dans le theoreme 7 de [l]. Si (X,) est une suite approximante de X sachant 3, c’est-a-dire X, est 3-mesurable et I]d(X, X,)ll~

-

inf { ]]d(X, Y)]]E,

Y 3-mesurable}.

Alors, pour a E M la suite Y, = X,llg: + allBn, oti B, E 3 et X(B,) -+ 0, est elle aussi approximante et IE-uniformement integrable (CT&[l]). Par sous-suite, avec le theoreme 1 bis on determine une v.a. Y qui est un meilleur approximant. q Proprie’tks des meilleurs upproximunts. - Notons M(3, X) (resp. M(X)) l’ensemble des m.a. de X sachant 3 (resp. sachant (0, [0, 11)). La proposition suivante donne quelques proprietes de cet ensemble. PROPOSITION 1 1. L’ensemble M(3, X) est un ferme Doss-convexe. 2. Si E est strictement convexe, alors

VK,

y2 E M(3’,X),

d(Yl, X) = d(Ya, X) p.s.

161

H. Heinich

3.

Si X,

+ X dans E(M)

et Y, E M(F,X,),

alors

]]d(X, Yn)]]E --+ inf { ]]d(X,Y)]]E,

VY

F-mesurable}.

4. Si Y est un m.a. de X sachant .7=, alors ]]d(z, Y)]]E 5 21)EF[d(z,X)]II,. Remarque 1. - L’assertion 2 admet, lorsque que E est strictement monotone [I], la version suivante : Si (M, d) est strictement convexe au sens suivant : pour tout Q: E]O, l[ et tout a E M, d(a, ax + (Ialors M(3,

THBORBME

2 # y,

X) est un singleton.

5. Convergences K5thefis.c.

Q)Y> < ad(a, x) + (1 - a) d(y, a),

des meilleurs

approximants

empiriques

4. - Soient IVf un espace me’trique ¶ble completjniment compact et E un espace de et r.i. Pour une suite (Xn) i.i.d. de m&me loi que X E lE(ikf), notons Y,“(.) une v.a. de loi

Alors, p.s., la suite (mk) est relativement compacte dans &I et ses valeurs d’adhe’rences appartiennent d M(X). La preuve utilise le theorbme de representation de Skorohod [4], qui assure l’existence d’une suite de v.a. (Y,“(e)), q ui converge p.s. vers une v.a. Yt de m&me loi que X. L’inegalite :

d(z,d) I2E[d(z,Y:(.))]= p kd(s,Xr(t)) i et la loi des grands nombres donnent, p.s., lim d(z, mk) 5 2 E[d(z, X)]. Ce qui montre que la suite (m:) que la limite est un m.a. de X.

est p.s. bornee. On verifie, en prenant une sous-suite convergente, 0

RCfkences

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