Minimisation de fonctionnelles dans un ensemble de fonctions convexes

C. R. Acad. iquations

Sci. Paris, t. 325,

Skrie I, p. 851-855,

1997

Differential Equations

aux dCriv6es partielles/Partia/

Minimisation

de fonctionnelles

de fonctions

convexes

Thomas T. L.-R. 4, place

LACHAND-ROBERT

R&urn&

et Mark A. PELETIER

: Laboratoire d’ilnalyse NumCrique, Jussieu, 75252 Paris cedex 05.

M. P. : University

of Bath,

Claverton

Down,

Tour

55-65, 5’ &age, Universit6

Bath

BA2 7AY (UK)

Paris

VI,

On Ctudie les minimums de fonctionnelles de la forme s, f(Vu), oh R c R' est un domaine born6 et f : R” + h! est une fonction rCguli&e, parmi l’ensemble des fonctions u : n + R qui sont convexes et comprises entre deux fonctions fixCes U et g. De tels problirmes apparaissent dans diffkrents domaines, et notamment dans le cas du probkme de r&stance minimale de Newton, comme exposC dans [2]. Dans le cas simple oh f est convexe ou concave, on montre dans [3] que le minimum est atteint par (I ou 14 si ces fonctions sont Cgales au bord. Si f est non-convexe, on montre dans [4] que le minimum a une structure particulikre dans la zone oh il n’kgale pas les contraintes : sur tout ouvert oti il est diffkrentiable, il n’est pas strictement convexe. 11 s’agit done d’un cas trh spCcia1 de fonction convexe, puisque presque toutes les fonctions convexes sont diffkrentiables et strictement convexes (voir [S]); ceci montre Cgalement que le minimum des fonctions radiales donnC par Newton n’est pas le minimum global pour ce problkme.

Minimizing finctionals Abstract.

dans wn ensemble

on a set of convex functions

We investigate the minima of functionals of the form J, f (Vu), where 0 c R" is a bounded domain and f a smooth function. The admissible functions u : n + R are convex and satisfy a 5 II, 5 7i on 0, where g and ;ii;are fixed functions on 0. An important example is the problem of the body of least resistance formulated by Newton (see [2]). If f is convex or concave, we show that the minimum is!attained by either g or ?i if these functions are equal on XL In the case where f is nonconvex, we prove that any minimizer u has a special structure in the region where it is different from 14and G: in any open set where u is d@erentiable, u is not strictly convex. Convex functions with this property are ‘rare’ in the sense of Baire (see [S]). A consequence of this result is that the radial minimizer calculated by Newton does not attain the global minimum for this problem.

Note prbent6e par Hdim BR~ZIS. 0764~4442/97/0325085 I 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier. Paris

851

1. Lachand-Robert

Abridged

et M. A. Peletier

English Version

We consider

problems

of the form

where R c W2 is a bounded

domain,

f : W2 4

C = {u E C’(2)

W is smooth,

; 145 ‘1~< ?i

and

and u is convex}.

Here a, U E C”(a) are fixed; we will suppose that Q is convex. An important example is the problem of the body of least resistance formulated by Newton (see [2]), where u. and U are constant and f(E) = Ml) = (1 + IU)-‘. We are interested in the behaviour of a minimizer In certain cases, this region is simply empty: THEOREM 1. -

Suppose

u in the region

that Yx E dR.

Q(Z) = G(2)

(2)

R’ = {X E R ; g < u < U}.

If f is strictly convex, the minimizer of (1) is unique and equal to E**, the convex regularization If f is strictly concave and if 14 is convex, then the minimizer of (1) is unique and equal to g.

of E.

The proof of this theorem is given in [3]. The main building block is that if f is strictly convex and u E C, then for any affine function 0 : R -+ R, the function u V b’ = max{u, 19} satisfies F(u V 19) 5 F(u) with strict inequality if u V 6’ $ ‘1~.The theorem follows since YZ**and Q are precisely the maximal and minimal elements in C. We next turn our attention to functions f that are nowhere convex, i.e. at every point < E R2, the Hessian matrix d2f(c) h as at least one negative eigenvalue. In particular, f~ is concave near the origin and indefinite elsewhere, and therefore satisfies this condition. For this case, since the mapping t E W+ H f(t<) is decreasing for all E E R2, a minimum necessarily assumes all values between the constants 14 and U. Therefore the set 0’ where u does not coincide with the constraints is not empty. It is on this zone that we concentrate. Almost all convex functions, in the sense of Baire category (see [IS]), are both differentiable and strictly convex. A minimizer of (1) is one of the rare exceptions: THEOREM2. -

nowhere

convex

Let u be a minimizer for (1). If u is differentiable in Vu(ni), then u is not strictly convex in RI.

The proof of this theorem

is given in [4]; here we only discuss

in an open set 01 c R and if f is some consequences.

COROLLARY1. - Under the conditions of Theorem 2, if 4 is differentiable open subset of RI, then u - 4 is not convex.

Consequently, Euler equation

u is everywhere “on the boundary associated with (l), F’(u)

. (U - V) = 0

of convexity”.

Vu E C,

or

and strictly convex in an

Also, Corollary

div df(Vu)

1 implies

that the

= 0,

need not be satisfied. In fact, in the proof of Theorem 2, we show that - under the conditions of theorem - this equation is not satisfied, even restricted to some subdomain. This explains the failure of traditional differential calculus-approaches to this problem.

852

Minimisation

de fonctionnelles

dans un ensemble

de fonctions

convexes

On examine des problbmes de la forme

ou R c W2 est un domaine borne, f : R2 + R est une fonction reguliere (C211 suffit), et C =

{u E

CO(Q); g < u 5 I

et u est convexe}

avec g et ;ii deux fonctions donnees dans C”(a); 11 sera supposee convexe ici. Ce type de problbme survient dans des problemes de transport (voir [l]), d’economie (voir [6]) et est une formulation particuliere (voir [2]) du ctlebre problbme de resistance minimale pose par Newton dans [5]. Dans ce dernier cas, on a u z 0, U = c > 0 (constante) et la fonction f est simplement fin = (1 + Ip]2))‘. Si la fonction f(p) a un comportement adequat a l’infini (par exemple, si elle est minoree par une fonction affine en IpI), la fonctionnelle F(U) := Jo f(Vu) est bornee inferieurement sur C, et dans ce cas, un minimum de (1) est atteint car l’ensemble C est compact dans la topologie de W,::(0), oti F est continue (voir [2]) ; nous nous placerons toujours dans ce cas ici. On s’indresse ici au comportement d’un tel minimum u dans la zone R’ := {Z E R ; g < u < u}. Dans certains cas, cette zone est simplement vide : THBORPME 1. -

Supposons

que

g(x) = $2)

(2) Alors, si f est strictement de Ti. Si f est strictement

vx E m.

convexe, le minimum de (1) est unique et est tfgal d ES*, la rkgulariske convexe concave et u est convexe, alors le minimum de (1) est unique et est &al 2 u.

Nous renvoyons le lecteur a [7], par exemple, pour la definition de la rCgularisCe convexe dune fonction. La demonstration complete de ce theoreme se trouve dans [3]. Elle resulte essentiellement des proprietes des fonctions de la forme u V 8, avec u E C et f~’affine (ou V designe le maximum des deux fonctions, dont nous rappelons qu’il s’agit d’une operation interne a C); on a en particulier le lemme suivant, que nous admettrons ici : LEMME 1. -

{X E II;

Si f est strictement convexe, u E C et 0 est une fonction afine telle que l’ensemble O(z) > U(X)} soit non vide et inch dans s2, alors F(u V 6’) < F(u).

La demonstration du theoreme suit facilement, -i-** &ant precisement l’tlement maximal de C et a l’element minimal. 11est possible de gtneraliser ce type de resultat de differentes faGons, par exemple pour des fonctions f(u, Vu), ou des fonctions qui ne sont pas strictement convexe ou concave, etc. Ces points ainsi que l’importance de la condition (2) sont discutes dans [3]. Nous examinons a present le cas de fonctions f plus gerkrales, et notamment de fonctions (>dans un ouvert Q c R2, au sens suivant : pour tout < E Q, la matrice hessienne d2f(<) a une valeur propre strictement negative. La fonction fin en particulier verifie cette condition dans R2 tout entier; elle n’est done pas convexe, mais est cependant concave dans un voisinage de l’origine. Pourtant, cette concavite n’est pas utile ici : en effet, il a CtC montre dans [2] que pour u minimal, IVu] 4 IO, l[ (ce resultat peut aussi &tre montre en utilisant le theoreme 1). Dans le cas particulier ou f = SN, l’application t E R+ H f(tE) est decroissante pour tout c E R2 ; il en resulte que l’infimum de (1) (avec 14 z 0, ?i z c) atteint ses valeurs minimale et maximale ; comme il s’agit aussi d’une fonction continue, car convexe, on voit que 0’ ne peut &n-evide. Dans la suite, nous examinons le comportement d’un minimum u dans cette zone. 853

T. Lachand-Robert

et M. A. Peletier

Presque tomes les fonctions convexes (au sens de Baire : voir [S]) sont a la fois strictement et differentiables. Ce n’est pas le cas pour une solution minimale de (1) :

convexes

TH~OR~ME2. - Soit u un minimiseur de (1); s’il existe un ouvert 01 c R oti u est differentiable, que f n’est nulle part convexe duns VU(&), alors u n’est pas strictement convexe duns 01.

Ce theoreme est demontre dans [4]. Nous en discutons l’une des consequences du theoreme 2 est : COROLLAIRE1. -

ici certains

Sous les conditions

duns un sous-ensemble

du theoreme 2, si $J est differentiable ouvert de RI, alors u - 4 n’est pas convexe.

C’est en ce sens que u est c partout h la limite de la convexit d’Euler associee au probleme (I), c’est-a-dire F’(u)

des aspects inhabituels.

(u - II) = 0

VW E C,

ou encore

et strictement

et

Ainsi, convexe

D. I1 en rksulte aussi que l’equation

div @(V-u) = 0,

n’a en gCnCra1 pas de sens dans ce contexte ; en fait, il rksulte de la dkmonstration du theoreme 2, exposee dans [4], que cette equation est presque partout fausse (voir aussi le lemme d’instabilite ci-apt&). Ceci explique que les mtthodes habituelles du calcul differentiel des variations ne puissent etre utilisees ici. Une version similaire de ce theoreme now CtC signalee precedemment par H. Berestycki et les auteurs de [2], mais en supposant u de classe C ‘. Cette hypothese est essentielle dans leur demonstration (exposee aussi dans [4]) ; elle n’a pu &tre montree pour ce type de probleme, et elle ne nous semble pas pouvoir etre verifiee en general, car presque toutes les fonctions convexes sont hors de C2 (voir [S]), et ce type de problbme n’induit pas <>comme on peut en voir dans la theorie des equations aux derivees partielles elliptiques par exemple. La demonstration du thtoreme 2 repose sur deux resultats intermediaires, dont le premier au moins nous parait avoir son propre inter& : THBOF&ME3. -

dont la plus petite

Soit w c R2 un domaine convexe de bord Cl, et M E W2” une matrice symetrique valeur propre est notee X1. Alors inf

sWMv4’v4

SW lV4l” d COnYe*

&H,‘(w)

=X

l.

On remarque qu’il s’agit d’une propriete bien connue, et Clementaire, lorsque 4 varie dans Hi(w), mais n’est pas astreinte a Ctre convexe. Le lecteur peut done s’etonner que le resultat reste le mCme avec cette contrainte supplementaire. Cependant, alors que w peut &tre n’importe quel ouvert dans le cas general, il est essentiel dans notre demonstration que son bord soit differentiable (et w convexe, pour que l’ensemble admissible pour 4 soit different de (0)) ; sans cette hypothese, nous pensons en fait que le rtsultat est faux ; l’infimum serait alors strictement superieur a XI. La demonstration de ce resultat est donnee dans [4]. On y donne aussi une generalisation avec une matrice M(z) dependant (regulierement) de x E W. L’autre rtsultat important dans la demonstration du theoreme 2 est un <
strictement 854

Soit u un minimum du probltme 1, et supposons que u est differentiable et convexe sur un ouvert RI. Alors il existe au moins une fonction a&e 0 telle que

l’ensemble

w := {x E R;

u(x)

Minimisation

de fonctionnelles

dans un ensemble

< d(x)}

est non vide et inch

de fonctions

convexes

duns 01, et que

O(u -6J) <0. Jwdf(Vu).

Ce lemme montre que u ne peut &tre stable par de petites consid&e la fonction dCfinie par : (1 + E)(U - 0) + ti

U E :=

{

U

perturbations;

en particulier,

si l’on

dans w, dans R \ w,

alors on a F(Q) < F(u) pour E > 0 petit. La dkmonstration du thCor&me utilise principalement cette idCe, mais avec un argument rendu plus complexe par le fait que la fonction u, ci-avant n’est pas admissible (elle n’est pas convexe) : il faut done la modifier en considkrant une fonction IJ, := UL, V 6, oti B est la plus petite fonction convexe satisfaisant la condition G E u hors de w. On montre que si E > 0 est assez petit, alors on a encore F(u,) < F(U), bien que v, E C, ce qui donne une contradiction. Note remise

le 13 juillet

Remerciements. Pierre-et-Marie-Curie

1997, acceptCe le 17 juillet

1997.

of this work was carried out during a visit of the second under the contract of the European Union 921 CHRX CT 94.

Part

RCfkrences

author

to Universite

bibliograpbiques

[l] Brenier Y., 1991. Polar factorization and Monotone rearrangement of Vector-valued functions, Comm. Pure Appl. Math., XLIV, 1991 p. 375-417. [2] Buttazzo G., Ferone V. et Kawohl B., 1993. Minimum Problems over Sets of Concave Functions and Related Questions, Math. Nachrichten, 173, p. 71-89. [3] Lachand-Robert T. et Peletier M. A. Points of a Functional on the Set of Convex Functions, g paraftre. [4] Lachand-Robert T. et Peletier M. A. An Example of Non-convex Minimization and an Application to Newton’s Problem of the Body of Least Resistance, ?I paraitre. [5] Newton I., 1686. Philosophiae Naturalis Principia Mathematics. [6] Rochet J.-C. et Chone P. Ironing, Sweeping, and Multidimensional Screening, to appear in Economica. [7] Rockafellar T., 1970. Convex Analysis, Princeton University Press. [8] Zamfirescu T., 1991, 1987. Baire Category in Convexity, Atti Sem. Mut. Fix Univ. Modena, 39, p. 139-164. See also: Nearly All Convex Bodies are Smooth and Strictly Convex, Monatsh. Math., 103, p. 57-62..

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